[MSM] Kelompok 2 (Ghea N 1002514 Dan Eka S 1001102)

7/28/2019 [MSM] Kelompok 2 (Ghea N 1002514 Dan Eka S 1001102)

1/65

Kelompok 2

Eka Septia Tantias 1001102

Ghea Novani 1002514


2/65

Inferensi Vektor Rata-Rata


3/65

Eka Septia Tantias 1001102


4/65

Plausibility dari sebagai sebuah nilai untuk sebuah

rata-rata populasi normal

Hipotesis :

: = ( )

: ( )

0


5/65

Univariat

Jika

1,

2,

,

adalah sampel acak dari sebuah populasi normal,

pengujian statistic yang sesuai adalah

= ( 0)/ dimana :

= 1 2=1

2 =

1

1

2

=1

Uji statistik tersebut sebuah Distribusi t-Student dengan derajat

kebebasan = 1


6/65

=

=

dimana,2 kuadrat jarak dari rata rata sampel dengan nilai uji 0

(simpangan baku yang diperkirakan dari X): unit jarakTolak pada taraf signifikansi jika : >

Dimana

1

2

2

menandakan batas atas persentil ke 100

2

dari distribusi-t dengan

derajat kebebasan adalah 1


7/65

Terima

jika :

/ Yang equivalen dengan

Atau

+


8/65


9/65

Interval Kepercayaan adalah daerah hasil nilai

yang plausible(observasi telah dilakukan).


10/65

Dimana merupakan jarak statistik yangdikuadratkan antara dengan

t2

x0


11/65

MULTIVARIAT

=

=

Dimana

= 1

=1

, ( 1) = 1 1 =1 , ( )

0 = 10

20

0 , ( 1)Dimana

adalah penaksir matriks kovarians dari


12/65


13/65

Karena

Kita dapat menghitung dan

membandingkannya dengan


14/65

Diberikan1 ,2 , , sebuah sampel dari sebuah populasi , Maka dengan

=1

=1 Dan

=

1

1

=1

= P 2 > 1 , ()= P

0

2

1

0

>

1

,

(

)

Apapun yang benar dan . Disini , () adalah batas atas 100 persentil dari distribusi , .


15/65

> ,()


16/65

Latihan Soal

Diberikan data matriks untuk sebuah sampel acak

berukuran n = 3 dari sebuah populasi normalbivariat

Evaluasi yang diamati untuk

dan . Apakah distribusi sampling dari kasus

ini?

369

8106X

2T 5,9'

0

05,0


17/65

= ( )= dimana,

( )=1

1=

Tolak jika : > ,()


18/65

Sifat Invarian Hotelling

bersifat invarian. Yang berarti tidak berubah

ketika ada perubahan dalam pengukuran unituntuk X yang berbentuk

2

T

2

T


19/65


20/65


21/65

Hottelling dan Uji Perbandingan Likelihood

Hipotesis :

: = (): ( )

2

T


22/65

Maksimum likelihood normal multivariate sebagai dan bervarisi nilai kemungkinannya diberikan oleh

max , L, = 122 2 2 Dimana

=1

=1 = = 1

=1

dan adalah penaksir maksimum likelihood

Statistik Perbandingan Likelihood


23/65

Statistik Perbandingan Likelihood

untuk menentukan mungkin tidaknya 0 adalah nilai untuk

=max

,

L

,

max0 , L, = 02

=

02

=

(

)

=1

0( 0)=1 2


24/65

Tolak 0 jika

1

,

(

)

Merupakan dasar dari 2 yang ekuivalen dengan uji rasiolikelihood dari 0: = 0 melawan 1: 0 karena

2

= 1 + 2

1


26/65

Tolak

untuk

Atau

Nilai Dengan

2

= 1

0

1 = 1

0

(

0)

=1

()=1 1


27/65

Metode Perbandingan Likelihood Umum

Diberikan adalah fungsi likelihoodTolak

jika

= < Dimana adalah konstanta tertentu.


28/65

Akibat

Ketika ukuran sampel besar

2 ln

= 2 ln

max0 Lmax L

Adalah aproksimasi dari variable acak02 Dengan derajat kebebasannya

0=

(dimensi dari ) (dimensi dari 0)


29/65

Confidence Regions

(Daerah Kepercayaan)

Oleh

Ghea Novani 1002514


30/65


31/65


32/65


33/65

Ketaksamaan

akan mendefinisikan daerah-- R(x), dalam

ruang dari semua nilai-nilai parameter yang

mungkin

Daerah akan menjadi ellipsoid yang berpusat

di

Ellipsoid ini adalah daerah kepercayaan

100(1- )% untuk

)(

)()1()()'(

,1

pn

FpnxSxn

pnp

x


34/65

Untuk sampel tipikal

Hitung dan S Cari

Pertimbangkan semua yang memenuhi

x

)(

)()1( ,

pn

Fpn pnp

)(

)()1()()'( ,1

pn

FpnxSxn

pnp


35/65

Daerah kepercayaan memuat semua vektor-

vektor yang akan menuju

dengan menggunakan hotelling

Daerah tersebut merupakan ellipsoid yang

mana bentuknya tersebut ditentukan dari S

(nilai eigen dan vektor eigen dari S) p=1,..,3

Ellipsoid berpusat di

Arah dari sumbu-sumbu ditentukan oleh

vektor eigen ei

0

00: H

x


36/65

Dari 4-7, arah dan panjang sumbu-sumbu dari

Ditentukan dari

)(

)()1()()'( ,21

pn

FpncxSxn pnp


37/65


38/65


39/65


40/65

f f


41/65

Alternatif alternatif untuk Daerah

Kepercayaan

Daerah kepercayaan mempertimbangkan semuakomponen dari secara bersama-sama

Yang diinginkan adalah kombinasi linear dari

Juga semua pernyataan yang memuat beberapakemungkinan yang besar secara simultan ataudengan kata lain, peluang sebarang daripernyataan kepercayaan yang salah adalah kecil

Ada tiga cara untuk menentukan interval kepercayaansecara simultan, yakni:

One-at-a-time interval

interval

Bonferroni

2

T

i


42/65

One-at-a-time interval


43/65

Misal dimana

Dan kombinasi linear:

Dari 2.43;

),(~ p

NX ),...,,('21 p

XXXX

ppXXXZ ...

2211

)','(~

')var(

')(

1

2

NZ

Z

ZE

z

z


44/65

Jika sampel acak dari

ada, maka sampel berkoresponden Z dapat

dibentuk dari kombinasi-kombinasi linear

Rata-rata sampel dan varians dari

Dimana dan S adalah vektor rata-rata sampeldan matriks kovarians dari

nXXX ,...,,

21),(

pN

jpjpjjj XXXXZ '...2211

nzzz ,...,,

21

xz ' Ssz '2

z

jx


45/65

Untuk tetap dan tidak diketahui, Interval

kepercayaan 100(1-)% untuk yang

berdasarkan t-student:

2

z

'z

S

xn

ns

zt

z

z

'

)''(

/

n

stz

n

stz z

nz

z

n)2/()2/(

11

n

Stx

n

Sltx

nn

')2/(''

')2/(

11


46/65

Diberikan data dan yang tetap,

interval kepercayaan di atas adalah himpunan

dari yang mana

nxxx ,...,,

21

'

)2/('

)''(

|| 1

ntS

xn

t

)2/('

)''(1

2

2

ntSll

lxln

t


47/65

Interval2

T


48/65

Result 5.3

Misal sampel acak dari

dengan definit positif, Simultan untuk semua l,

selang

Akan memuat dengan peluang (1-)

nXXX ,...,,

21),(~

pNX

SF

pnn

npXSFpnn

npXpnppnp

')()(

)1(',')()(

)1(',,

'


49/65


50/65

Bonferroni Intervals


51/65


52/65


53/65


54/65

Sejauh ini, diasumsikan

Lalu bagaimana jika tidak berdistribusi normal

multivariat ?

Kita masih bisa melakukan pengujian hipotesis

tentang rata-rata populasi jika kita mempunyai

sampel-sampel yang besar yang berhubungan

dengan p (n-p besar)

),(~ p

NX


55/65

Untuk sampel besar

1 = 1( )

mendekati distribusi2

dengan derajat kebebasan p, maka 1 2 1


56/65

Result 5.4

Misalkan X1, X2 ..., Xn adalah sampel acak dari

populasi dengan mean dan kovarians .

Jika n-p besar, hipotesis H0 : =0 ditolak dengan

alternatif H1 : 0 pada taraf signifikansi jika

' 1 2( ) ( ) ( )pn X S X


57/65

Result 5.5

Misalkan X1, X2 ..., Xn adalah sampel acak dari

populasi dengan mean dan kovarians . Jika n-p

besar, maka

akan memuat untuk setiap dengan peluangmendekati 1-

'

nSXp

/')(' 2

Akibatnya kita dapat membuat interval konfidensi 100(1-


58/65

Akibatnya kita dapat membuat interval konfidensi 100(1

)%

2 111 1

2 222 2

2

( ) memuat

( ) memuat

.

.

.

( ) memuat

p

p

pp

p p p

sx

n

sx n

sx

n


59/65

Inferensi vektor rata-rata bilabeberapa observasi hilang


60/65

Dilakukan pendekatan umum untuk

menghitung MLE dari data yang hilang.

Tekniknya dengan EM algorithm.

1. Langkah prediksi

2. Langkah estimasi

Menggunakan statistika cukup untukestimasi parameter


61/65

Misal X1, X2 ..., Xn adalah sampel acak

berpopulasi normal p-variat. Algoritma

prediksi dan estimasi berdasarkan pada

statistika cukup sebagai berikut:

1

1

' '

2

1

( 1)

n

j

j

n

j j

j

T X nX

T X X n S nXX

Langkah prediksi


62/65

Langkah prediksi

Untuk setiap vektor dengan data yang

hilang, misal merupakan komponen-komponen yang hilang dan komponen-

komponen yang ada. Maka

Diberikan penaksir dan Gunakan rata-rata dengan syarat untuk

menaksir komponen-komponen yang hilang

menaksir kontribusi untuk T1

jx)1(jx

)2(

jx

],[ )2()1('jjj

xxx

~

~

)1(x )2(x

)~~(~~~)~,~;|(~ )2()2(12212

)1()2()1()1(

xxXEx

jjj

)1(

jx


63/65

Selanjutnya, kontribusi yang diprediksi dari

untuk T2 adalah

)1(

jx


64/65

Langkah estimasi

Dihitung penduga maksimum likelihoodterevisi

'

2

1

~~~1~

~~

Tn

n

T


65/65

Contoh soal

Estimasilah populasi normal ini dengan mean

dan kovarians dengan datanya sebagai berikut

52

1

5

6

2

7

3

0)4,3(X

[MSM] Kelompok 2 (Ghea N 1002514 Dan Eka S 1001102)

Documents

Transcript of [MSM] Kelompok 2 (Ghea N 1002514 Dan Eka S 1001102)