MOVING AVERAGES

• Metode Peramalan:– Metode Perataan:

• Equally weighted observations

– Metode pemulusan eksponensial (exponential smoothing)

• Pembobotan yang tidak sama pada data historis, dimana bobot meluruh secaraeksponensial dari data terbaru hingga terlama.

• Parameter yang digunakan memiliki nilaiantara 0 dengan 1. Parameter inilah yang menentukan bobot yang diaplikasikan padadata.

Pendahuluan

• Metode perataan

– Jika suatu data runtun waktu dibangkitkan darisuatu subyek proses konstan dengan adanya galatrandom, maka rata-rata merupakan statistik yang berguna sebagai peramalan di periode berikutnya.

– Metode perataan tepat digunakan untuk data runtun waktu yang stasioner, dimana keseimbangandata berada disekitar nilai konstan, dengan variansiyang konstan.

Pendahuluan

• Rata-rata (simple average)– Gunakan rata-rata dari semua data historis untuk melakukan

peramalan

– Ketika terdapat data terbaru, maka peramalan pada t+2 adalahrata-rata seluruh data historis termasuk data terbaru tersebut.

– Metode ini tepat digunakan ketika tidak terdapat pola trend danmusiman

Metode Perataan(Averaging Methods)

t

i

it yt

F1

1

1

1

1

21

1 t

i

it yt

F

• Rata-rata bergerak (moving average) untuk t periode adalahrata-rata dari k data terbaru;

• Nilai konstan k ditentukan di awal ketika melakukanperamalan;

• Semakin kecil nilai k, berarti semakin besar bobot yang diberikan pada data terbaru;

• Semakin besar nilai k, berarti semakin kecil bobot yang diberikan pada data terbaru.

Metode Perataan(Averaging Methods)

• Bagaimana menentukan k? Nilai k yang besar digunakan ketika terdapat fluktuasi yang lebar dan

jarang dalam suatu data;

Nilai k yang kecil digunakan ketikan terdapat pergerakan tiba-tiba padasuatu data. Dengan kata lain, data cukup berfluktuatif.

• Misalkan, pada data kuarter, maka moving average dengan k=4 atau ditulis MA(4), mengeliminasi atau merata-ratakan efekmusiman.

• Untuk data bulanan, maka MA(12) juga mengeliminasi ataumerata-ratakan efek musiman.

Single Moving Averages

• Bobot yang sama diberikan pada setiap data yang digunakandalam perataan.

• Each new data point is included in the average as it becomes available, and the oldest data point is discarded.

Single Moving Averages

• Suatu moving average dengan order k, MA(k), adalah nilaik data berurutan:

– k is the number of terms in the moving average.

• The moving average model does not handle trend or seasonality very well although it can do better than the total mean.

Single Moving Averages

t t 1 t 2 t k 1t 1 t 1

t

t 1 i

i t k 1

(y y y y )ˆF y

k

1F y

k

Example 1: Weekly Department Store Sales

• The weekly sales figures (in millions of dollars) presented in the following table are used by a major department store to determine the need for temporary sales personnel.

1 5.3

2 4.4

3 5.4

4 5.8

5 5.6

6 4.8

7 5.6

8 5.6

9 5.4

10 6.5

11 5.1

12 5.8

13 5

14 6.2

15 5.6

16 6.7

17 5.2

18 5.5

19 5.8

20 5.1

21 5.8

22 6.7

23 5.2

24 6

25 5.8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15 20 25 30

Sa

les

Weeks

Weekly Sales

Example: Weekly Department Store Sales

• Misalkan: gunakan moving average tiga-minggu (k=3) untuk meramalkan penjualan department store minggu 24 dan 26.

• Nilai galat peramalan:

23 22 2124

(y y y ) 5.2 6.7 5.8y 5.9

3 3

24 24 24ˆe y y 6 5.9 .1

Example: Weekly Department Store Sales

• Nilai peramalan untuk minggu ke 26

25 24 2326

y y y 5.8 6 5.2y 5.7

3 3

Example: Weekly Department Store Sales

Example: Weekly Department Store Sales

Period (t) Sales (y)Peramalan e^2 PE

1 5.3

2 4.4

3 5.4

4 5.8 5.033333 0.587778 13.22%

5 5.6 5.2 0.16 7.14%

6 4.8 5.6 0.64 16.67%

7 5.6 5.4 0.04 3.57%

8 5.6 5.333333 0.071111 4.76%

9 5.4 5.333333 0.004444 1.23%

10 6.5 5.533333 0.934444 14.87%

11 5.1 5.833333 0.537778 14.38%

12 5.8 5.666667 0.017778 2.30%

13 5 5.8 0.64 16.00%

14 6.2 5.3 0.81 14.52%

15 5.6 5.666667 0.004444 1.19%

16 6.7 5.6 1.21 16.42%

17 5.2 6.166667 0.934444 18.59%

18 5.5 5.833333 0.111111 6.06%

19 5.8 5.8 0 0.00%

20 5.1 5.5 0.16 7.84%

21 5.8 5.466667 0.111111 5.75%

22 6.7 5.566667 1.284444 16.92%

23 5.2 5.866667 0.444444 12.82%

24 6 5.9 0.01 1.67%

25 5.8 5.966667 0.027778 2.87%

26 5.666667

MSE 0.397323 9.04%

RMSE 0.630336

• Peramalan menggunakanMA(3) menghasilkan MSE = 0.397

Grafik Penjualan Department Store example 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Data asli

Peramalan

Double Moving Average

• Prosedur peramalan:

– Double moving average dapat dikatakan moving average dari moving average;

– Gunakan single moving average orde t (St’)

– Fitting: the difference between single moving average and double moving average at time t (St’ – St’’)

– Fitting: trend from t period to t+1 period (or to t+m period if we want to forecast m period)

•

Double Moving Average

• Secara umum, prosedur melakukan double moving average adalah sebagai berikut:

' t t 1 t 2 t k 1t

'' t t 1 t 2 t k 1t

' ' '' ' ''

t t t t t t

' ''

t t t

t m t t

X X X ... XS

k

S S S ... SS

k

a S S S 2S S

2b S S

k 1

F a b m

Double moving average example 1

Period (t) Sales (y) S't=MA(3)S"t=MA(3x3) at bt F(t+1) e^2 PE

1 5.3

2 4.4

3 5.4 5.033333

4 5.8 5.2

5 5.6 5.6 5.277778 5.922222 0.322222

6 4.8 5.4 5.4 5.4 0 6.244444 2.08642 30.09%

7 5.6 5.333333 5.444444 5.222222 -0.11111 5.4 0.04 3.57%

8 5.6 5.333333 5.355556 5.311111 -0.02222 5.111111 0.239012 8.73%

9 5.4 5.533333 5.4 5.666667 0.133333 5.288889 0.012346 2.06%

10 6.5 5.833333 5.566667 6.1 0.266667 5.8 0.49 10.77%

11 5.1 5.666667 5.677778 5.655556 -0.01111 6.366667 1.604444 24.84%

12 5.8 5.8 5.766667 5.833333 0.033333 5.644444 0.024198 2.68%

13 5 5.3 5.588889 5.011111 -0.28889 5.866667 0.751111 17.33%

14 6.2 5.666667 5.588889 5.744444 0.077778 4.722222 2.183827 23.84%

15 5.6 5.6 5.522222 5.677778 0.077778 5.822222 0.049383 3.97%

16 6.7 6.166667 5.811111 6.522222 0.355556 5.755556 0.891975 14.10%

17 5.2 5.833333 5.866667 5.8 -0.03333 6.877778 2.814938 32.26%

18 5.5 5.8 5.933333 5.666667 -0.13333 5.766667 0.071111 4.85%

19 5.8 5.5 5.711111 5.288889 -0.21111 5.533333 0.071111 4.60%

20 5.1 5.466667 5.588889 5.344444 -0.12222 5.077778 0.000494 0.44%

21 5.8 5.566667 5.511111 5.622222 0.055556 5.222222 0.333827 9.96%

22 6.7 5.866667 5.633333 6.1 0.233333 5.677778 1.044938 15.26%

23 5.2 5.9 5.777778 6.022222 0.122222 6.333333 1.284444 21.79%

24 6 5.966667 5.911111 6.022222 0.055556 6.144444 0.020864 2.41%

25 5.8 5.666667 5.844444 5.488889 -0.17778 6.077778 0.07716 4.79%

26 5.311111

27 5.133333

MSE 0.70458 11.92%

Grafik Penjualan Department Store menggunakan MA (3x3) example 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Data asli

Peramalan

Variasi dari Moving Average

• Single/simple moving average

• Double moving average

• Triple moving average (TRIX)

• Exponential moving average (EMA)

• Weighted moving average (WMA)

• Sinus weighted moving average (SWMA)

• Spencer 15 point moving average (SpMA)

• Dll

Weighted Moving Average (WMA)

• Pembobotan nilai pada WMA tergantung dari period yang kita tentukan, semakin besar period maka semakin pesar pembobotan nilai perhitungannya.

•WMA bisa dihitung menggunakan rumus berikut

1 ( 1)

t;n

1 ...1WMA

( 1) ... 1

t t t nnX n X X

n n

Exponential Moving Average (EMA)

• Pemberian bobot pada EMA sama seperti juga pada WMA, melibatkan periode.

• Rumus EMA:

• Dengan nilai awal EMA diambil dari nilai MA sederhana.

t;n 1 1

2EMA EMA EMA

1t t tX

n

TRIX

• Triple exponential moving average (TRIX)uses exponential moving average three times:

Sinus weighted moving average (SWMA)

• SWMA is a weighted average, based on motivation, that price (asset) fluctuates following some unknown wave. As model, Sine wave is used to adjust price weights.

Spencers 15 point moving average (SpMA)

• SpMA is another version of WMA used by actuaries.

• It is fixed 15 position mean with weights 3, -6, -5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, -5, -6, -3. The problem with this average is high lag.

Latihan

• Perhatikan data ln dari volume penumangberikut:

Tahun Bulan Ln(volume)

201410 15.111 15.112 15.2

2015

1 15.02 14.83 14.94 15.05 15.16 15.07 15.18 15.19 14.9

10 15.011 15.012 15.2

Lakukan peramalan 2 (dua) periode ke

depan menggunakan:

a. WMA (5)

b. EMA (5)

c. SWMA(5)