Modul 2

Sistem Persamaan Linear

A. Tujuan Praktikum

Peserta diharapkan dapat mencari solusi sistem persamaan linear dengan menggunakan

metode eliminasi gaussian dan backsubstitution serta metode iterasi jacobi

B. Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dibentuk dari dua atau lebih persamaan linear yang memiliki beberapa

variabel independen. Contoh sistem persamaan linear antara lain sbb :

6233

20224

283402

1342

dcba

dcba

dcba

dcba

Penentuan solusi persamaan linear tersebut dapat dilakukan dengan proses substitusi-eliminasi

variabel dari semua persamaan.

Penentuan solusi secara numerik dapat dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi

Gaussian. Eliminasi gaussian mengubah sistem persamaan linear ke dalam bentuk matriks

sistem persamaan yang kemudian akan diubah ke dalam bentuk matriks segitiga atas. Solusi

bisa didapatkan melalui proses backsubstitution pada matriks segitiga atas tersebut.

Untuk membuat matriks segitiga bawah,maka diambil titik pivot yang pertama, yaitu 1. Titik

pivot ini digunakan untuk mengubah elemen di kolom bawahnya menjadi nol semua. Misal

untuk baris kedua, baris kedua ini dikurangi oleh baris pertama dikalikan dua (elemen matriks

ke (2,1) ) dibagi oleh satu (elemen matriks ke (1,1) atau titik pivot ). Proses dilakukan juga

untuk baris selanjutnya dgn titik pivot yg sama sampai habis. Sehingga matriksnya berubah

menjadi :

Titik pivot selanjutnya adalah elemen diagonal dari baris kedua, yaitu -4. Lakukan lagi proses

seperti sebelumnya, agar matriksnya menjadi :

Dari bentuk matriks segitiga atas, solusi untuk x4 adalah -18/-9, selanjutnya solusi untuk x3 adalah -35 dikurang -7.5 dikali x4 dan dikurang -5. Solusi untuk selanjutnya dapat anda cari dengan mudah. Proses ini disebut dengan backsubstitution. Metode iterasi jacobi juga dapat digunakan untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear. Contoh :

1552

2184

74

zyx

zyx

zyx

Solusi sistem persamaan tersebut dapat dicari dengan membentuk persamaan iterasi sbb :

5

215

8

421

4

7

1

1

1

iii

iii

iii

yxz

zxy

zyx

D. Program MATLAB

Program MATLAB untuk menentukan solusi sistem persamaan linear adalah sbb :

function X = uptrbk(A,B) [N N] = size(A); X=zeros(N,1); C=zeros(1,N+1); Aug=[A,B]; for p=1:N-1 [Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p))); C=Aug(p,:); Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:); Aug(j+p-1,:)=C; if Aug(p,p)==0 break end for k=p+1:N m=Aug(k,p)/Aug(p,p); Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1); end end P=Aug(1:N,1:N); Q=Aug(1:N,N+1); n = length(Q); X = zeros(n,1); X(n)=Q(n)/P(n,n); for k=n-1:-1:1 X(k) = (Q(k)-P(k,k+1:n)*X(k+1:n))/P(k,k); end

Untuk menggunakan program diatas, di command window MATLAB, masukkan perintah sbb:

Misalnya matriks sistem persamaan yang akan dicari solusinya adalah :

>> A = [1 2 1 4;2 0 4 3;4 2 2 1;-3 1 3 2]

>> B = [13 ; 28 ; 20 ; 6]

>> C = uptrbk(A,B)

E. Tugas Pendahuluan

Diketahui sebuah rangkaian listrik sbb :

Tentukan arus yang mengalir pada tiap resistor jika sumber tegangan di sebelah kiri adalah 25

volt ! (Petunjuk : Gunakan hukum kirchoff)

F. Tugas Praktikum dan Laporan

1. Buatlah solusi numerik dari persoalan di tugas pendahuluan dengan menggunakan metode

eliminasi gaussian di MATLAB dan laporkan dalam format yang telah ditentukan oleh Asisten !

2. Buatlah solusi numerik di persoalan 1 dengan menggunakan metode iterasi jacobi di Excel !