MODUL 1 FUNGSI & VARIABEL DAN TURUNAN PARSIAL Ruang Dimensi TigaRuang dimensi tiga adalah himpunan semua bilangan tripel real, dandinyatakan dengan R3. Setiap titik dalam ruang dimensi tiga dinyatakandengan tiga pasangan bilangan berurut. Untuk menyatakan ruangdimensi tiga, biasanya digunakan sistem koordinat kartesius. Grafik PersamaanGrafik suatu persamaan didalam ruang dimensi tiga adalah himpunansemua titik-titik (x,y,z) yang koordinatnya berupa bialangan yang memenuhipersamaan tersebut. Grafik persamaan di dalam ruang dimensi tiga disebutdengan permukaan.ContohGambarkanlah sketsa grafiksuatu bidang, 2x + 4y + 3z = 12. Grafik Permukaan Benda PejalGrafik permukaan suatu bendadimana permukaannya dibatasioleh beberapa permukaan.ContohBuatlah sketsa grafikpermukaan benda pejal di oktanpertama yang dibatasi olehpermukaan bidang-bidang: (1) y+z=4, (2) x+y = 2, (3) y = x, (4) z = 0, xoy(5) x = 0, yozSketsa Benda Pejal dimaksud Contoh :Buatlah sketsa benda pejal dioktan pertama, dimana sisi-sisinya dibatasi oleh(1) permukaan silinderparaboloida, x = y2, dan y = 2 y2, (2) permukaan bidangy + z = 4, dibatasi pula oleh bidang xy (z = 0) dan yz (x = 0) Contoh :Buatlah sketsa benda pejal yang dibatasi oleh permukaan paraboloida, z = x2+ y2, silinder lingkaran tegak, x2+ y2= 4, dan z=0 (bidang xy). Contoh :Buatlah sketsa benda pejal yang dibatasi oleh permukaan bola, x2+ y2+ z2= 8, dan diatas kerucut : x2+ y2= z2yang terletak diatas bidang xy.x2+ y2+ z2= 8,BolaKerucut Fungsi n VariabelFungsi n variabel adalah aturan yang menghubungkan bilangan pasanganberurut (x1,x2,,xn) dengan tepatsatu bilangan real w.(x1,x2,,xn) wDaerah Asal Daerah Nilai/HasilPersamaan fungsinya adalah :w=f(x1,x2,,xn) W : variabel tak bebasx1,x2,,xn: variabel bebasContoh-contoh :(1) Tekanan (P) merupkan fungsidari temperatur (T) dan volume jenis (v). Jadi, P=f(T,v). Persamaan fungsinya adalah :(2) Bersarnya entalpi (h) uap panaslanjut ditentukan oleh besarnyatekanan P, dan temperatur T. Dengan demikian, h=f(T,P)(3) Besarnya output Q, tergantungpada tenaga kerja L, dan jam kerja mesin, M, dan modal KVnRTP = | oM K AL Q = Grafik FungsiSecara geometri grafik fungsi yang relatif mudah dibuat adalah grafikfungsi dua variabel dari x dan y, fungsi, z = f(x,y). Grafik fungsi biasanyamenunjukkan suatu permukaan daerah asal fungsi f adalah setiap titik(x,y) pada bidang xy, dan daerah nilainya ditunjukkan oleh sumbu z. Dengan demikian grafik fungsi f ditunjukkan oleh permukaan, z = f(x,y).) ( 36 ) , (2 2y x y x f z + = = Contoh :Buatlah seksa grafik fungsi) (2 2) , (y xxe y x f z+ = = Contoh :Buatlah seksa grafik fungsiy x y xy xy x f z 8 33 3) , (2 23 3 + = = Contoh :Bilamana, v(x,y) menyatakan suatu tegagan di setiap titik (x,y) padabidang, kurva-kurva ketinggian tegangan v(x,y) disebut dengan kurvaekuipotensial. Bila tegangan pada bidang diberikan oleh,2 24) , (y xy x v+=4 , 12 2= = + v y x2 , 42 2= = + v y x1 , 162 2= = + v y x21, 642 2= = + v y x Definisi Turunan ParsialAndaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua variabel dari x dan y. (1) Turunan parsial f terhadap x adalah suatu fungsi yang dinyatakandengan fx(x,y) yang nilainya disetiap titik (x,y) diberikan oleh :(2) Turunan parsial f terhadap y adalah suatu fungsi yang dinyatakandengan fx(x,y) yang nilainya disetiap titik (x,y) diberikan oleh :xy x f y x x fy x fxzxxA A += =cc A) , ( ) , (lim ) , (0yy x f y y x fy x fyzyyA A += =cc A) , ( ) , (lim ) , (0Notasi Turunan ParsialAndaikan z = f(x,y) adalah fungsi dua variabel dari x dan y. Notasi-notasiyang dapat digunakan untuk menyatakan turunan parsial antara lain adalah) , ( ) , ( ) 2 ( y x f Dyfy x fyzy y=cc= =cc) , ( ) , ( ) 1 ( y x f Dxfy x fxzx x=cc= =cc ContohDengan menggunakan definisi, hitunglah fx(x,y) dan fy(x,y) bilamanadiberikan, z=f(x,y) = 2x2y 3xy2,Penyelesaian :220202 2003 4 ) 3 2 4 ( lim ) 3 2 4 (lim 3 ) ( 2 4lim ) , ( ) , (limy xyy xy xyxy xy xy xxxy y x xy xxy x f y x x fxzxxxx = A + =A A + A=AA A + A=A A +=cc A A A Axy xy x xy xyy x xy x yyy x y xy y xyy x f y y x fyzyyyy6 2 ) 3 6 2 ( lim ) 3 6 2 (lim ) ( 3 6 2lim) , ( ) , (lim220202 200 =A =AA A=AA A A=A A +=cc A A A ADari contoh diatas, untuk menghitung fx(x,y) dapat menggunakan aturanturunan biasa dengan asumsi y konstan. Demikian pula untuk fy(x,y) dapatmenggunakan aturan baku turunan biasa dengan asumsi x konstan. Contoh :HitunglahJawab) sin( , dari) (2 2xy e zyzxzy x + =cccc) () ( ) () ( ) (2 22 2 2 22 2 2 2)] cos( ) sin( 2 [ )) )( (cos( ) 2 ( ) sin( )) (sin( ) sin(y xy x y xy x y xe xy y xy xy xy e x e xyxyxe exxyxz+ + + + + + =+ |.|

\| =cc+ |.|

\|cc=cc) () ( ) () ( ) (2 22 2 2 22 2 2 2)] cos( ) sin( 2 [ )) )( (cos( ) 2 ( ) sin( )) (sin( ) sin(y xy x y xy x y xe xy x xy yx xy e y e xyxyye eyxyyz+ + + + + + =+ |.|

\| =cc+ |.|

\|cc=ccContoh :HitunglahJawab) 4 3 4 ( , dari3 2y x y x zyzxz =cccc) 16 9 12 ( )] ( 4 ) 4 3 4 ( 3 [ ) 4 0 0 ( ) 3 )( 4 3 4 () 4 3 4 ( ) ( ) 4 3 4 () 8 9 8 ( )] ( 3 ) 4 3 4 ( 2 [ ) 0 3 0 ( ) 2 )( 4 3 4 () 4 3 4 ( ) ( ) 4 3 4 (2 22 23 2 2 23 2 3 2333 2 33 2 3 2y x y xy y x y xy x y x y xy xyy x y xyy xyzy x xyx y x xyy x xy y xy xxy x y xxy xxz+ =+ + =+ + + =+ cc+cc+ =cc+ = + =+ + + =+ cc+cc+ =cc Interpretasi Turunan Parsial) , (0y x fxzx=ccTurunan parsial f terhadap x, fx(x,y) di (x0,y0) dapat ditafsirkan sebagai gradian garis singgung kurva z = f(x,y), dan y = y0, di titik (x0,y0) ) , (0y x fyzy=ccTurunan parsial f terhadap y, fy(x,y) di (x0,y0) dapat ditafsirkan sebagai gradian garis singgung kurva z = f(x,y), dan x = x0, di titik (x0,y0) 0T TVP=ccLaju perubahan tekanan P per satuan perubahanvolume, dengan asumsi temperatur tetap0V VTP=cc Laju perubahan tekanan P per satuan perubahantemperatur, dengan asumsi volume tetap2Tvab vRTP =ContohTentukanlah laju perubahan tekananterhadap temperatur, dan lajuperubahan tekanan terhadap volume jenis, untuk(1) persamaan keadaan Berthelot diberikan oleh,RTvaeb vRTP=(3) Persamaan keadaan Van derWalls,2vab vRTP =(2) Persamaan keadaan Redlich-Kwong,2 / 1) ( T b v vab vRTP+=(4) Persamaan keadaan Deiterici,(5) Persamaan Peng-Robinson,2 2c vab vRTP=Turunan Parsial Fungsi n VariabelAndaikan f fungsi n variabel dari x1, x2,x3, ..., xndengan persamaan :w = f(x1,x2,x3,..., xn)Turunan-turunan parsialnya diberikan oleh,nxnx x xfxwfxwfxwfxw=cc=cc=cc=cc;...; ; ;33 2 12 1Khusus fungsi tiga variabel dari x,y, z persamaan fungsinya adalah :w = f(x,y,z)Sedangkan turunan-turunan parsialnya diberikan oleh :) , , ( ); , , ( ); , , ( z y x fzwz y x fywz y x fxwz y x=cc=cc=ccUntuk menghitung turunan parsialnya dapat digunakan pendekatanturunan biasa. Turunan parsial terhadap x yakni fx(x,y,z),dapat diperolehdengan memandang fungsi f(x,y,z) sebagai turunan biasa dari f terhadapx, dengan asumsi y dan z sebagai konstanta. Sedangkan fy(x,y,z)danfz(x,y,z) dapat diperoleh dengan cara yang sama. Interpretasi TurunanParsial(1) Andaikan, z = f(x,y) permukaanfungsi dua variabel dari x dan y. Turunan parsial f terhadap x, fx(x,y) di (x0,y0) dapat ditafsirkan sebagai gradian garis singgung kurva z = f(x,y), dan y = y0, di titik (x0,y0) (2) Andaikan, z = f(x,y) permukaanfungsi dua variabel dari x dan y. Turunan parsial f terhadap y, fy(x,y) di (x0,y0) dapat ditafsirkan sebagai gradian garis singgung kurva z = f(x,y), dan x = x0, di titik (x0,y0) Contoh :Hitunglah,dariPenyelesaian :zwywxwcccccc, ,) (2 2z yxye w+ =0 ) () () ( ) (2 22 2 2 2+ =((

cc+cc=cc+ + + z yz y z yyeexxy xyxexw) ( 2 ) ( ) () ( ) (2 2 2 2 2 22 2 2 2) 2 ( ) 2 ( ) (z y z y z yz y z ye xy x y xye xeeyxy xyyeyw+ + + + + = + =((

cc+cc=cc) ( ) () ( ) (2 2 2 22 2 2 22) 2 ( 0 ) (z y z yz y z yxyze z xyeezxy xyzezw+ + + + = + =((

cc+cc=cc yze x z y x f w2) , , ( = =yzxxe fxw2 = =cc yzyze x fyw2= =ccyzzye x fzw2= =ccyzxzyzxyyzxxxye fx zwxze fx ywe fxw2222222= =c cc= =c cc= =cc) 1 (22222 222yz e x fy zwxze fy xwe z x fywyzxzyzyxyzyy+ = =c cc= =c cc= =cc) 1 (22222 222yz e x fz ywxye fz xwe y x fzwyzzyyzzxyzzz+ = =c cc= =c cc= =cc ContohDiberikan .Hitunglah, Penyelesaian :Dengan memandang f fungsi dari x, dan y dan z konstan, turunan parsial f terhadap x diberikan oleh :3 2 4 3 3 24 3 2 ) , , ( z y z x y x z y x f + =zfyfxfcccccc, ,4 2 3 4 2 33 2 4 3 3 29 4 0 ) 3 ( 3 ) 2 ( 2 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 (z x xy z x y xz yxz xxy xx xf+ = + =cccc+cc=cc3 2 2 3 2 23 2 4 3 3 28 6 ) 2 ( 4 0 ) 3 ( 2 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 (yz y x z y y xz yyz xyy xy yf = + =cccc+cc=ccDengan cara uang sama diperoleh hasil, 2 2 3 3 2 2 3 33 2 4 3 3 212 12 ) 3 ( 4 ) 4 ( 3 0 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 (z y z x z y z xz yzz xzy xz zf = + =cccc+cc=ccTurunan Parsial Orde-n4 33 4 2x y x fxzx = =cc3 42 3 3y y x fyzy+ = =cc1212 63 222 422y x fx yzxzyx xy fxzxyxx= =c cc=|.|

\|cccc = =cc126 12y3 222 322y x fy xzyyxy y x fyzyzyxyy= =c cc= |.|

\|cccc+ = =cc= |.|

\|cccc) , (3 4 4 3y x y x y x f z + = = Soal Latihan :Buktikanlah bahwa :02222=cc+ccyzxzax e by e zy x zy x xy zy xxxyzby axcos sin ) 4 () 4 4 ln( ) 3 () ( ) 2 (tan ) 1 (2 22 22 21+ =+ = =++ |.|

\|=) ln( ) 2 () 1 (2 2 22 2 2z y x ux y x u+ + =+ + =0222222=cc+cc+cczuyuxuUntuk fungsi-fungsi berikut ini :Buktikanlah pula hubunganberikut ini,Untuk fungsi-fungsi tiga variabelberikut ini, Soal Latihan (Mesin) Pada kondisi tekanan kritis,dantemperatur kritis tentukanlahbesarnya konstanta a dan b padapersamaan keadaan termodinamikaberikut ini. Persyaratan kondisitekanan dan temperatur kritis adalah :0 dan , 0 ) (0 dan , 0 ) (2222=cc=cc=cc=ccvPvPiTPTPi|.|

\|==+===RTvab vRTP ec vab vRTP dT b v vab vRTP cTvab vRTP bvab vRTP aexp ) () () () () () (2 22 / 122Persamaan keadaan dimaksudadalah sebagai berikut : Tugas 1Untuk soal berikut ini, buktikanlahbahwa fxy= fyx) cos( ) , ( ). 5 () ( ) , ( ). 4 () , ( ). 3 () cos( ) , ( ). 2 () ( ) , ( ). 1 (2 2) (2 2by ax e y x fe by ax y x fxye y x fby ax xy y x fay bx ab y x y x fxyxyby axb a+ = ==+ = =Untuk soal berikut ini, buktikanlahbahwa : fxyz= fyzx= fzxy) cos( ) , , ( ). 10 () ( ) , , ( ). 9 () , , ( ). 8 () sin( ) , , ( ). 7 () ( ) , , ( ). 6 () (2 2224 3 2bz ax e z y x fe by ax z y x fe y z y x fbz ay x z y x faz ay bx b z y x z y x fz yyzaxz+ =+ ==+ =+ =+Aturan RantaiRumus 1.Jika, z=f(x,y), x=x(t), y=y(t), makadtdyyzdtdxxzdtdzcc+cc=Contoh :(1) Jika, z=x2+y2, x=cos2t, y= sin2t Hitungalh, dz/dt(2) Untuk persamaan keadaan, Van der Walls, dan Deiterici itunglahlaju perubahan tekanan sesaat, pada kondisi-kondisi tertentu. Rumus 2.Jika, z=f(x,y), x=x(r,t), y=y(r,t), makatyyztxxztzryyzrxxzrzcccc+cccc=cccccc+cccc=cc) 2 () 1 (Rumus 3.Jika, w=f(x,y,z), x=x(r,s,t), y=y(r,s,t), z=(r,s,t) makatzzwtyywtxxwtwszzwsyywsxxwswrzzwryywrxxwrwcccc+cccc+cccc=cccccc+cccc+cccc=cccccc+cccc+cccc=cc) 3 () 2 () 1 ( Contoh :z = 4xy + x2 y2dengan x=t cos t, dan y=tsin t.Mengingat,t t tdtdyt tdtdxy xyzx yxzcos sin sin cot2 42 4+ = = =cc+ =cct t t t t tt t t y xt t t x ydtdyyzdtdxxzdtdz2 cos ) 4 2 ( 2 sin ) 2 4 ( ) cos )(sin 2 4 () sin )(cos 2 4 ( 2 2+ + =+ + + =cc+cc=z = x2+ 4xy y2, dengan x = r cos 2t dan y = r sin 2tMengingatt rtyt rtxtrytrxy xyzy xxz2 cos 2 2 sin 22 sin 2 cos2 44 2=cc =cc=cc=cc =cc+ =cc) 2 cos 2 )( 2 4 () 2 sin 2 )( 4 2 ( ) 2 (2 sin ) 2 4 ( 2 cos ) 4 2 ( ) 1 (t r y xt r y xtyyztxxztzt y x t y xryyzrxxzrz + + =cccc+cccc=cc + + =cccc+cccc=cc Penurunan Secara ImplisitDiberikan, F(x,y)=c. maka) / () / () / () / (x Fy Fdydxy Fx Fdxdyc cc c =c cc c =Demikian pula, jika F(x,y,z)=c, maka) / () / () / () / (z Fy Fyzz Fx Fxzc cc c =ccc cc c =ccHitung, dy/dx dari 3xy2+3y3=x3Misalkan, F(x,y)= 3xy2+3y3=x3Maka :22 2 2 29 6) ( 3 3 3y xyyFx y x yxF+ =cc = =cc Soal-soal Latihan Tugas 2Dalamsoal latihan berikut ini hitunglah,dimana,rutuccccdanat at atat atat aty xe z bt e y bt e x yz xz xy ubt r z bt r y r x z y x ubt e y bt e x y x ubt e y bt e x y xy x ubt r y bt r x e ubt r y at r x y xy x= = = + + == = = + + == = + == = + + == = == = + = +, sin , cos , ). 6 (sin , cos , , ). 5 (sin , cos ), ln( ). 4 (sin , cos ), 2 ( ). 3 (sin , cos , ). 2 (sin , cos , 4 u ). 1 (2 2 22 22 2) (2 22 2 Soal Latihan1.Diberikan suatau fungsipermintaan daging diberikan olehpersamaan,2 , 0 25 , 1 3 / 2) 2 100 ( I A P Q =dimana Q jumlah daging yang diminta, P harga daging, A biayapromosi dan I adalah pendapatanrata-rata konsumen. Pada kondisi, P=18, A=16 dan I=32. hitunglahlaju perubahan permintaan per harinya, jika harga naik 0,05 per hari, promisi naik 0,04 per ari danpendapatan konsumen naik 0,005 per hari2. Suatu gas mengikuti persamaankeadaan DeitericiRTvaeb vRTP=Dengan hukum ideal, hitunglah lajuperubahan tekanan per menitnya, pada saat volume gas 150 cm3, dantemperatur 310 K, apabila diketahuilaju perubahan volume gas adalah 2 cm3/menit, laju perubahantemperatur adalah 0,5 derajad per menit. Konstana gas R= DIFERENSIAL TOTALRumus 1. Andaikan, z = f(x,y)fungsi yang terdeferensiabel di (x,y), danandaikan pula dx dan dy adalahvariabel yang menyatakanpertambahan dari variabel bebas x dan y. Diferensial total dari variabeltak bebas z ditulis dz didefinisikanoleh,dyyzdxxzdzcc+cc=Contoh :Jika, z = f(x,y) = x3+ xy3 x2y2. Hitunglahz dan dz, bilamana (x,y) berubah (2,1) ke titik (2,01, 0,99)JawabMenghitung dzdz=(3x2+y32xy2)dx+(3xy22x2y)dySehingga untuk, x=2,y=1, dx=Ax=0,01, dy=Ay=0,01, maka :dz=(9)(0,01) + (2)(0,01) = 0,11Menghitung AfMenurut definisi,f(x,y) = f(x+x,y+y)f(x,y)F(2,1)=6, dan f(2.01,0.99)=6,1112f(2,1)=6,1112 6 = 0,1112Sedangkan hampirannya diberikanoleh,yyfxxfy x f A A Acc+cc= ) , ( Rumus 2.Andaikan, w = f(x,y,z) dengan fungsi yang dapat didiferensialkan f(x,y,z), danandaikan pula dx, dy, dan dz adalah variabel yang menyatakan pertambahandari variabel bebas x, y, dan z. Diferensial total dari variabel tak bebas w ditulis dw didefinisikan oleh,dzzwdyywdxxwdwcc+cc+cc=Sedangkan hampirannya diberikan, zzfyyfxxfz y x f Acc+ Acc+ Acc= A ) , , (Contoh :Andaikan, w = x3y + y3z xz3, hitunglah dw dan w bilamana (x,y,z) bertambah dari (2,3,1) ke (2,01, 3,02, 0,99).Jawab2 3 2 3 3 23 3 3 xz yzwz y xywz y xxw =cc+ =cc =ccMenurut definisi, diferensial totalnya diberikan oleh :dw=(3x2y z3) dx + (x3 + 3y2z) dy + (y3 3xz2) dz Contoh : Misalkan, Q= 100 K0,75L0.25M0,5E0,4.Pada kondisi, K = 81, L = 256, M = 100, dan E = 32, hitunglah :(a). Besarnya output Q; (b). MP; (c). Elastisitas titik, (d). Jika K naik 10 %, L turun 15 %, M naik 20 %, dan E naik 10 %, berapa % Q naikJawab,(a). Q=100(81)0.75(256)0.25(100)0.5(32)0.4 = 432.000(b). Produkivitas Marjinal (c). Elastisitas Silang40 , 0 400 . 54050 , 0 160 . 25025 , 0 875 , 4212575 , 0 000 . 4756 . 05 . 0 25 . 0 75 . 05 . 04 , 0 25 . 0 75 . 075 . 04 , 0 5 . 0 75 . 025 . 04 , 0 5 . 0 25 . 0= =cc= = =cc== =cc= = =cc== =cc= = =cc== =cc= = =cc=E E EK M MK L LK K KMPQEKQQEEM L KEQMPMPQMMQQMME L KMQMPMPQLLQQLLE M KLQMPMPQKKQQKKE M LKQMPcccc Contoh, Fungsi permintaan (Q) pasar modernDiketahui harga (P), $ 8, (K) $ 5, (Y) $ 4, nilai (I) $ 200, dan (A) $ 100. Padabulan mendatang diperkirakan P naik 10 %, K naik 15 %, Y turun 10 %, I naik1,5 %, dan A naik 20 %. Berdasarkan % kenaikan Q.Jawab(a). Q=10.000 100(8)1.25(100)0.35+200(5)1.5(4)0,45+10(200)0,4(100)0,6 = 8470 6 , 0 4 , 0 45 , 0 5 , 1 35 , 0 25 , 110 200 100 000 . 10 A I Y K A P Q + + == + =cc== =cc== =cc== =cc== =cc= ) 4 35 () 4 () 90 () 300 () 125 (6 , 0 4 , 0 65 , 0 25 , 16 , 0 6 , 055 , 0 5 , 145 , 0 5 , 035 , 0 25 , 0A I A PQAAQQAA IQIIQQIY KQYYQQYY KQKKQQKA PQPPQQPAIYKPccccc Soal-soal latihan :1) Tiga buah tahanan dipasang secara paralel, bila alat ukur yang digunakan mempunyai tingkat kesalahan sebesar 0,015 O. Hitunglah berapa kesalahan pengukuran tahanan penggantinya, jikadiketahui R1=20 O, R2=25 O, dan R3=40 O.2) Sebuah kotak empat persegi panjang mempunyai ukuran 10 cm, 15 cm dan 20 cm, dengan alat ukur yang digunakan mempunyai tingkatketelitian sampai dengan 0,01 cm. Tentukan hampiran untuk galat terbesar untuk volume kotak.3) Sebuah fungsi produksi mengikuti hukum fungsi produksi Cobb Douglass, Q=100K0,45L0,75M0,25.Perusahan menerapkan kebijakan toleransi jam kerja manusia (L) sebesar 2 %, jam kerja mesin (K) sebesar 1 %, dan kebelihan bahan sebear 5 %. Pada kondisi K= 100 jam, L=200 jam, dan M=300 kg. Hitunglah perkiraan kelebihan produksinya pada kondisi tersebut. Soal 4Diberikan fungsi permintaan : dimana Q = jumlah permintaan, P harga jual A promosi dan r jumlahwiraniaga Pada kondisi P = 256, A = 25, dan r = 1024 Hitunglah : Besarnya permintaan Q Bilamana P turun a %, A naik b %, dan r turun (a + b) %, berapa % perubahan QSoal 5Diberikan fungsi permintaan :dimana Q = jumlah permintaan, P harga jual A promosi dan r jumlahwiraniaga Pada kondisi P = 1024, A = 256, dan r = 625 Hitunglah : . Besarnya permintaan Q A promosi dan r jumlah wiraniaga b. Bilamana Pturun a %, A naik b %, dan r turun (a + b) %, berapa % perubahan Q10 / ) ( 5 / 8 /) 300 (b a b ar A P Q+ =4 / ) ( 8 / 5 /) 2500 (b a b ar A P Q+ = Soal 6Diberikan suatau fungsi permintaan daging diberikan oleh persamaan,2 , 0 25 , 1 3 / 2) 2 100 ( I A P Q =dimana Q jumlah daging yang diminta, P harga daging, A biayapromosi dan I adalah pendapatan rata-rata konsumen. Pada kondisi, P=18, A=16 dan I=32. hitunglah prosentase kenaikan permintaan, jika diperkirakan harga daging turun 2,5 %, promisi naik 14 %, danpendapatan konsumen naik 5 %.Soal 7Fungsi permintaan (Q) pasar modernDiketahui harga (P), $ 10, (Y) $ 20, nilai (I) $ 20, dan (A) $ 10. Padabulan mendatang diperkirakan P naik 1a %, Y turun 1b %, I naik 1a %, dan A naik 2b %. Berdasarkan % kenaikan Q.a b b a b a b aA Y A I Y P I P Q, 0 , 0 , 0 , 0 4 , 0 1 , 0 2 , 0 , 120 10 200 100 000 . 10 + + + = Persamaan DiferensialEksak, f(x,y)=cPersamaan diferensial total,df=M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0dikatakan sebagai persamaandiferensial total eksak jika hanya jikayx xyf fxNyM=cc=ccatau,Penyelesaian umumpersamaandiferensial total eksak adalah fungsidua variabel f(x,y) = c, dimana :}+ = ) ( ) , ( ) , ( y g dx y x M y x fg(y) fungsi yang diperoleh dari :) , ( y x Nyf=ccContoh :Carilah penyelesaian persamaandiferensial,(2x+yexy)dx + (x exy+ y2)dy = 0jika persamaan eksakJawabxy xy xyxy xy xye xy y e x exNe xy x e y eyM) 1 ( ) )( () 1 ( ) )( (+ = + =cc+ = + =ccPD eksak, solusinya adalah :) () ( ) 2 ( ) , (2y g e xy g dx ye x y x fxyxy+ + =+ + = }g(y) fungsi yang diperoleh dari :2 2)) ( ( y xe y g e xyxy xy+ = + +cc Persamaan DiferensialEksak, f(x,y,z)=cPersamaan diferensial total,df=M(x,y,z)dx+N(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0dikatakan sebagai persamaandiferensial total eksak jika hanya jikazy yzzx xzyx xyf fxNzNf fxRzMf fxNyM=cc=cc=cc=cc=cc=ccatau, (3)atau, (2)atau, ) 1 (Solusi persamaan diferensial eksakadalah f(x,y,z) = c. dimana :}+ = ) , ( ) , , ( ) , , ( z y g dx z y x M z y x fdimana g(y,z) fungsi dari y dan z diperoleh dari,) , ( ) , ( ) , , ( y x N z y g dx z y x My=((

+cc}} }+ |.|

\|cc = ) ( ) , ( z h dy MdxyN z y gJadi,} } }= |.|

\|cc + = ) (z h dy MdxyN Mdx fSedangkan h(z) diperoleh dari :) , , ( z y x Rzf=cc Contoh :Tentukan penyelesaian persamaan diferensial berikut ini, jika eksak.(2x eyz y2z)dx + (zx2eyz 2xyz + y)dy + (yx2eyz xy2+ z2)dz = 0Jawab :222 2y xyezMyz xzeyMyxyz =cc =ccxy e x yzzNyz xzexNyxyz2 ) 1 (2 22 + =cc =ccxy e x yzyRy xyexRyxyz2 ) 1 (222 + =cc =ccSolusi PD, f(x,y,z)=c dengan :) , ( ) , ( ) 2 (2 22z y g z xy e xz y g dx z y xe fyzyz+ =+ = }g(y,z) diperoleh dari) (21) , (2 ) , ( ) (22 2 2z h y z y gy xyz e zx z y g z xy e xyyzyyz+ =+ = + ccSehingga, ) (212 2 2z h y z xy e x fyz+ + =h(z) diperoleh dari2 2 2 2 2 2) (21z xy e yx z h y z xy e xzyz yz+ =|.|

\|+ + cc Soal LatihanUntuk soal berikut ini, tentukanlahpersamaan diferensial totalnya danselidikilah PD-nya eksak) ln( ). 7 (). 6 () cos( ) ( ). 5 () 4 12 ( ). 4 () (). 3 (). 2 (). 1 (2 2 222 23 22 / 12z y x wye x wxy y x zy x y x zT b v vab vRTPeb vRTPTvab vRTPyzRTva+ + ==+ = =+===Untuk soal berikut ini, tentukanlah fungsipembangkitnya jika persamaan diferensialtotalnya adalah eksak0 )] cos( ( )] cos( ( ). 5 (0 ] ) 1 [( xye ). 4 (0 } ) 1 {ln(1) ( 2). 3 (0 } ) 1 {ln(1). 2 (0 ) ( ) ( ). 1 (x22= + + += + += + + +++= + + +++= + +dy xy x y dx xy y xdy y e x dxdy by x dxxy a xdy by x dxxy axdy by xe dx ye axxxy xy