Modul 7.

Pengujian Hipotesis

1. Konsep Dasar Pengujian Hipotesis

Hipotesis statistik : suatu anggapan atau per-nyataan, yang mungkin benar atau tidak, mengenai satu populasi atau lebih.

Hipotesis nol = H0 : setiap hipotesis yang akan diuji dinyatakan dengan hipotesis nol. Penolakan H0 menjurus, pada penerimaan suatu hipotesis tandingan = H1

Galat jenis I : penolakan H0 padahal hipotesis itu benar.

Galat jenis II : penerimaan H0 padahal hipotesis itu salah.Tindakan H0 benar H0 salahTerima H0

Tolak H0

Keputusan benar

Galat jenis I

Galat jenis II

Keputusan benar

Kuasa suatu uji : peluang menolak H0 bila suatu tandingan tertentu benar

Uji eka arah : uji hipotesis dengan wilayah penolakan H0 ada di satu sisi saja

Uji dwi arah : Uji hipotesis dengan wilayah penolakan H0 ada di dua sisi (kiri dan kanan) sebesar 0,5

1

Nilai -p: taraf (keberartian) terkecil sehingga nilai uji statistik yang diamati masih berarti (nyata).

2. a. Uji Hipotesis suatu rataan (varians diketahui) H0 : = 0

H1 : = 0

= 0,05 Wilayah kritik z > 1,96 atau z < -1,96

Statistik uji

Keputusan tolak H0 bila statistik uji z jatuh di wilayah kritik

b. Uji hipotesis satu rataan ( varians tidak diketahui)

H0 : = 0

H1 : 0

= 0,05 Wilayah kritik : ditentukan dengan meng-

gunakan tabel t

Statitik uji , wilayah kritik kecil dari -t/2

atau besar dari t/2

Statistik uji dan wilayah kritiknya z > z/2 atau z < z1-/2

2

Keputusan tolak H0 bila statistik uji z jatuh di wilayah kritik

c. Hipotesis H1 dan wilayah kritik

H0 Statistik uji H1 Wilayah kritik

3. Uji Hipotesis dua rataan a. Varian dan diketahui

H0 : 1 - 2 = d0

H1 : 1 - 2 d0

Taraf uji = 0,05 Wilayah kritik z > 1,96 atau z < -1,96 Statistik uji:

3

Keputusan: tolak H0 bila statistik uji jatuh di wilayah kritik.

b. Varian tetapi tidak diketahui

H0 : 1 - 2 = d0

H0 : 1 - 2 d0

Taraf uji = Wilayah kritik t > t1/2() atau t < - t1/2() (lihat

pada tabel t) dengan derajat bebas = n1 + n2 – 2

Statistik uji

Keputusan : tolak H0 bila statistik uji jatuh di wilayah kritik.

c. Varians 12 dan 2

2 tidak diketahui dan 1

2 22

H0 : 0 - 2 = d0

H1 : 1 - 2 d0

4

Taraf uji = Wilayah kritik : Statistik uji :

Keputusan : tolak H0 bila statistik uji jatuh di wilayah kritik

d. Uji Pengamatan BerpasanganPengamatan ( xi, yi ) dan di = yi - xi

Peubah acak d1 = {d1,d2, …, dn}

H0 : D = d0

5

H0 : D d0

Taraf uji = Wilayah kritik Statistik Uji :

Keputusan : tolak H0 bila statistik uji jatuh di wilayah kritik

e. Hipotesis H1 dan wilayah kritik untuk Uji Beda Rataan

H0 Statistik Uji H1 Wilayah kritik

6

H0 Statistik Uji H1 Wilayah kritik

4. Uji Hipotesis Tentang Proporsi

a. Uji satu proporsi untuk n besarBila n besar dan p0 yang dihipotesiskan tidak terlalu dekat kepada nol atau satu maka sebaran binom dapat didekati dengan sebaran normal dengan = n p0 dan 2 = n p0 (1-p0) sehingga

Langkah penguji H0 : p = p0

7

H1 : p p0

Taraf uji = Wilayah kritik = Z < - Z ½ atau Z > Z ½ Statistik uji

Keputusan tolak H0 bila statistik uji jatuh di wilayah kritik.

b. Uji beda proporsi untuk sample besar H0 : p1 = p2

H1 : p1 p2

Taraf uji = Wilayah kritik = Z < - Z ½ atau Z > Z ½ Statistik uji =

Keputusan tolak H0 bila statistik uji jatuh di wilayah kritik.

Bila d0 0 sehingga H0 yg di uji p1 - p2= d0 0 maka prosedur pengujinya menjadi H0 : p1 – p2 = d0

8

H1 : p1 – p2 d0 ; H1 : p1 – p2 < d0 ; H1 : P1 – P2 > d0

Taraf uji =

Wilayah kritikZ < - Z1/2 atau Z < - Z1/2 jika H1 : p1 – p2 d0 Z < - Z jika H1 : p1 – p2 < d0

Z < - Z jika H1 : p1 – p2 > d0

Statistik uji

Keputusan tolak H0 bila statistik uji jatuh di wilayah kritik

5. Uji Hipotesis Tentang Ragam (Varians)

a. Uji Hipotesis varians dari populasi normal

Taraf uji = Wilayah kritik =

9

Statistik uji

Keputusan tolak H0 bila statistik uji jatuh di wilayah kritik

Untuk contoh (sampel) besar untuk H0 : 2 = 0

2 maka dapat didekati dengan sebaran normal sehingga statistik uji

; S = Simpangan baku contoh (sampel)

b. Uji Hipotesis kesamaan dua varians dari dua populasi normal Taraf uji = Wilayah kritik :

10

Statistik uji

Keputusan tolak H0 bila statistik uji jatuh dari wilayah kritik.

Untuk ukuran contoh n1, n2 besar, statistik uji

;

S1 = Simpangan baku contoh dari populasi 1S2 = Simpangan baku contoh dari populasi 2

6. Uji Kebaikan Suai

Suatu uji kebaikan suai frekuensi amatan dan harapan didasarkan pada besaran

,

11

Dengan 2 merupakan nilai peubah acak yang sebaran sampelnya mendekati sebaran khi-kuadrat dengan derajat bebas = k – 1.Oi = frekuensi amatan, = frekuensi harapan

Bila ada parameter yang diduga maka = k - 1 - jumlah parameter yang diduga. Uji Kebaikan – Suai dapat digunakan menguji ke-normalan data. Pada uji ini data ditata dalam kelas frekuensi dan dihitung frekuensi amatan dan frekuensi harapan-nya.

H0 : peubah acak x menyebar secara normal H1 : peubah acak x tidak menyebar secara

normal Taraf uji = Wilayah kritik : Statistik uji :

Keputusan tolak H0 jika statistik uji jatuh di wilayah kritik.

Uji kenormalan yang lebih kuasa dari uji khi-kuadrat adalah uji Geary dengan statistik uji

dan wilayah kritik

12

7. Uji Kebebasan

Suatu tabel kontingensi dengan pengamatan Oij. H0 : pij = pi . p.j, Ki = 1, 2, …, b;

j = 1, 2, …, atau peubah pada baris bebas terhadap peubah pada kolom

Statistik uji

Keputusan tolak H0 bila dimana = taraf uji.

13

TUGAS/LATIHAN1. Proporsi orang dewasa yang tamat perguruan

tinggi di suatu kota ditaksir sebanyak p = 0,3. Untuk menguji hipotesis ini sampel acak 15 orang dewasa diambil. Bila banyaknya yang tamat perguruan tinggi dalam sampel tadi antara 2 dan 7, maka hipotesis nol bahwa p = 0,3. Carilah kalau p = 0,3. Carilah untuk tandingan p = 0,2 dan p = 0,4. Apakah ini meru-pakan cara pengujian terbaik?

2. Proporsi keluarga yang membeli susu dari perusahaan A suatu kota di taksir sebesar p = 0,6. Bila sampel acak 10 keluarga menunjukan bahwa hanya 3 atau kurang yang membeli susu dari perusahaan A maka hipotensi bahwa p = 0,6 akan ditolak dan tandingan p > 0,6 didukung. Carilah peluang melakukan galat jenis I bila proporsi sesungguhnya p = 0,6. Carilah peluang melakukan galat jenis II untuk tandingan p = 0,3, p = 0,4, dan p = 0,5.

3. Dalam suatu percobaan besar untuk menentukan kemujaraban suatu obat baru, 400 penderita penyakit sejenis akan diobati dengan obat yang baru tersebut. Bila dari 300 tapi kurang dari 340 penderita yang sembuh maka akan disimpulkan bahwa obat tersebut 80% berhasil. Carilah

14

peluang melakukan galat sejenis I. Berapakah peluang melakukan galat jenis II bila obat baru itu hanya berhasil 70?

4. Suatu zat baru yang berkembang untuk sejenis semen yang menghasilkan daya kempa 5000 kg per cm2 dengan simpangan beku 120. Untuk menguji hipotesis bahwa = 5000 lawan tandingan > 5000, sampel acak sebesar 50 potongan semen diuji. Dengan kritis ditentukan

< 4970.Carilah peluang melakukan galat jenis I. Carilah untuk tandingan =4970 dan =4960.

5. Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya bedistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Ujilah hipotesis bahwa = 800 jam lawan tandingan < 800 jam bila sampel acak 30 bola lampu mempunyai rata-rata 788 jam. Gunakan taraf keberartian 0,04.

6. Suatu sampel acak 36 cangkir minuman yang diambil dari suatu mesin minuman berisikan rata-rata 21,9 desiliter, dengan simpangan baku 1,24 desiliter. Ujilah hipotesis bahwa = 22,2 desiliter lawan hipotesis tandingan bahwa < 22,2 pada taraf keberartian 0,05.

7. Rata-rata tinggi mahasiswa pria disuatu per-guruan tinggi selama ini 174,5 cm, dengan simpangan baku 6,9 cm. Apakah ada alasan mempercayai bahwa telah ada perbedaan dalam rata-rata tinggi mahasiswa pria di perguruan tinggi tadi bila suatu sampel acak 50 pria dalam

15

angkatan yang sekarang mempunyai tinggi rata-rata 177,2 cm? Gunakan taraf keberartian 0,02.

8. Suatu pertanyaan mengatakan bahwa rata-rata sebuah mobil dikendarai sejauh 20.000 km setahun disuatu daerah. Untuk menguji pernyata-an ini sampel acak sebanyak 100 pengemudi mobil diminta mencatat jumlah kilometer yang mereka tempuh. Apakah anda setuju dengan pernyataan diatas bila sampel tadi menunjukan rata-rata 23.500 km dan simpangan baku 3900 km? Gunakan taraf keberartian 0,01.

9. Ujilah hipotesis bahwa rata-rata isi kaleng sejenis minyak pelumas 10 liter bila isi sampel acak 8 kaleng adalah 10,2; 9,7; 10,1; 9,8; 9,9; 10,4; 10,3; dan 9,8 liter. Gunakan taraf keberartian 0,01 dan anggap bahwa distribusi isi kaleng normal.

10. Sampel acak berukuran 20 dari distribusi normal mempunyai rata-rata = 32,8 dan simpangan baku s = 4,51. Apakah ini berarti bahwa rataan populasi lebih besar dari 30 pada taraf keber-artian 0,05?

11. Suatu sampel acak rokok dengan merek tertentu mempunyai rata-rata kadar ter 18,6 dan sim-pangan baku 2,4 mg. Apakah ini sesuai dengan pernyataan pabriknya bahwa rata-rata kadar ter tidak melebihi 17,5 mg? Gunakan taraf

16

keberartian 0,01 dan anggap bahwa distribusi kadar ter normal.

12. Seorang mahasiswa pria rata-rata menghabiskan Rp.800.000 seminggu untuk nonton. Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,01 bahwa = Rp.800.000 lawan tandingan ≠ Rp.800.000 bila sampel acak 12 mahasiswa pria yang menonton menunjukan rata-rata pengeluaran untuk menonton Rp.890.000 dengan simpangan baku Rp.175.000 anggap bahwa distribusi pengeluaran hampir normal.

13. Suatu sampel acak berukuran n1 = 25 diambil dari populasi normal dengan simpangan baku 1

= 5,2 mempunyai rata-rata = 81. Sampel kedua berukuran n2 = 36 diambil dari populasi normal yang lain dengan simpangan baku 2 = 3,4, mempunyai rata-rata =76. Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,06, bahwa = lawan tandingan .

14. Suatu pabrik menyatakan bahwa rata-rata daya rentang benang A melebihi daya rentang benang B paling sedikit 12 kg. Untuk menguji pernyataan ini, 50 potong benang dari tiap jenis diuji dalam keadaan yang sama. Benang jenis A mempunyai rata-rata daya rentang 86,7 kg dengan sim-pangan baku 6,28 kg, sedangkan benang jenis B mempunyai rata-rata daya rentang 77,8 kg dengan simpangan baku 5,61 kg. Ujilah per-

17

nyataan pengusaha tadi dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.

15. Suatu penelitian diadakan untuk menafsir per-bedaan gaji professor universitas negeri dengan swasta di negara bagian Virginia, USA. Sampel acak 100 orang profesor universitas swasta mempunyai gaji rata-rata $ 15.000 dalam 9 bulan dengan simpangan baku $ 1.300. Sampel acak 200 profesor universitas negeri menunjukan rata-rata gaji $ 15.900 dengan simpangan baku $ 1.400. Ujilah hipotesis bahwa selisih rata-rata gaji professor universitas negeri dan rata-rata gaji professor universitas swasta tidak lebih dari $ 500. Gunakan taraf keberartian 0,02.

16. Diberikan dua sampel acak berukuran n1 = 11 dan n2 = 14 dari dua populasi normal yang bebas satu sama lain, dengan = 75, = 60,s1 = 6,1 dan s2 = 5,3. Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa lawan tandingan bahwa . Anggap bahwa kedua poulasi mempunyai variasi yang sama.

17. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah peningkatan konsentrasi subtrat akan mempengaruhi kecepatan reaksi kimia dengan cukup besar. Dengan konsentrasi subtrat 1,5 mol per liter, reaksi dilakukan 15 kali dengan rata-rata kecepatan 7,5 mikro mol per 30 menit dengan simpangan baku 1,5. Dengan konsentrasi subtrat 2,0 mol per liter, 12 reaksi dilakukan dan

18

menghasilkan rata-rata kecepatan 8,8 mikro mol per 30 menit dan simpangan baku 1,2. Apakah anda setuju bahwa peningkatan konsentrasi subtrat menaikan kecepatan rata-rata sebesar 0,5 mikro mol per 30 menit? Gunakan taraf keberartian 0,01 dan anggap bahwa kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

18. Suatu pabrik mobil yang besar ingin menentukan apakah sebaiknya membeli ban merek A atau merek B untuk mobil merek barunya. Untuk itu suatu percobaan dilakukan dengan mengguna-kan 12 ban dari tiap merek. Ban tersebut sampai aus. Hasilnya sebagai berikut:

merek A : = 37.900 km, s1 = 5100 kmmerek B : = 39.800 km, s2 = 5900 km

Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa tidak ada beda kedua merek ban. Anggap bahwa populasinya berdistribusi hampir normal.

19. Data berikut memberikan waktu putar film yang dihasilkan oleh dua perusahaan film gambar hidup:

Waktu (menit)

Perusahaan A 102 86 98 109 92Perusahaan B 81 165 97 134 92 87 114

19

Ujilah hipotesis bahwa rata-rata putar film hasil perusahaan B lebih 10 menit dari rata-rata waktu putar film hasil perusahaan A lawan tandingan eka arah bahwa selisihnya melebihi 10 menit. Gunakan tingkat keberartian 0,1 dan anggaplah kedua distribusi tersebut hampir normal.

20. Berikut ini tabel yang berisi hasil observasi pelemparan sebuah dadu 60 kali.

Hasil Angka 1 Angka 2 Angka 3 Angka 4 Angka 5 Angka 6

Frekuensi 7 12 8 15 11 7

Dengan tingkat signifikansi 5%, ujilah hipotesis bahwa dadu tersebut adalah setimbang.

21. Berikut ini tabel yang berisi distribusi persentase perkerja menurut pendidikannya pada sebuah pabrik pada tahun 1995

Pendidikan Persentase SD 12,4

SMP 35,7SMU 18,0D-3 7,4S-1 17,2S-2 6,5S-3 2,8

20

Pada tahun 1999, dari data 1000 sampel pekerja perusahaan tersebut, distribusinya menjadi sebagai berikut:

Pendidikan Persentase SD 116

SMP 363SMU 164D-3 71S-1 187S-2 61S-3 39

Dengan tingkat signifikansi 1%, ujilah hipotresis bahwa pada tahun 1999, distribusi persentasi pekerja menurut kategori pendidikan tidak berubah sejak tahun 1995.

22. Sebuah perusahaan menjual barang-barangnya

lewat pos. Perusahaan tersebut bekerja 5 hari dalam seminggu. Suatu ketika, perusahaan ter-sebut ingin mengetahui apakah order yang diterima dalam seminggu terbagi rata dalam 5 hari tersebut. Untuk keperluan ini, perusahaan tersebut mendata 400 order yang diterima selama 4 minggu, dan hasilnya adalah sebagai berikut:

Hari Senin Selasa Rabu Kamis Jum’atJumlah order 92 71 65 83 89

21

Dengan tingkat signifikansi 5%, ujilah hipotesis bahwa order yang diterima terbagi rata dalam semua hari kerja dalam tiap minggunya.

23. Disuatu kota pelajar terdapat 4 Perguruan Tinggi yang mempunyai fakultas ekonomi. Pada tahun ajaran baru 1999, jumlah calon mahasiswa baru yang mendaftar di 4 Perguruan Tinggi tersebut dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Perguruan Tinggi UI1 UPM UGM YKPM TotalPendaftar 1450 1400 1600 1550 6000

Dengan = 1%, ujilah H0 bahwa proporsi calon mahasiswa baru yang mendaftar di perguruan-perguruan tinggi tersebut adalah sama.

24. Perhatikan tabel kontigensi berikut ini:

Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3Baris 1 137 67 102Baris 2 98 71 65Baris 3 110 83 118

a. Buatlah hipotesis nol dan hipotesis alternatif untuk uji independensi dari data tabel ter-sebut.

b. Hitunglah frekuensi harapan untuk setiap sel dengan mengasumsikan bahwa hipotesis no adalah benar.

22

c. Untuk = 0,01, temukan nilai kritis dari X2. perlihatkan daerah penerimaan dan daerah penolakan pada kurva distribusi chi-square.

d. Carilah nilai statistik X2.e. Dengan menggunakan = 0,01, apakah anda

menolak hipotesis nol?

25. Perhatikan tabel yang berisi hasil dari 3 sampel dari 4 populasi berikut ini:

Sampel berasal dariPopulasi 1 Populasi 2 Populasi 3 Populasi 4

Baris 1 27 81 55 123Baris 2 46 64 91 72Baris 3 18 39 105 93

a. Buatlah hipotesis nol dan hipotesis alternatif untuk uji independensi dari data tabel tersebut

b. Hitunglah frekuensi harapan untuk setiap sel dengan mengasumsikan bahwa hipotesis nol adalah benar.

c. Untuk = 0,025, temukan nilai kritis dari 2. perlihatkan daerah penerimaan dan daerah penolakan pada kurva distribusi chi-square.

d. Carilah nilai statistik 2.e. Dengan menggunakan = 0,025, apakah

anda menolak hipotesis nol?

23

26. Dengan adanya krisis ekonomi, semakin banyak orang beralih ke merek dalam negeri dari pada barang-barang merek luar negeri (impor). Berikut ini data yang besaral dari 700 remaja dengan perferensi pembeliannya:

Sampel berasal dariMerek dalam negeri Merek luar negeri

Pria 172 143

Wanita 178 207

Dengan menggunakan tingkat signifikansi 1%, dapatkan anda menolak hipotesis nol bahwa dua variabel tersebut, yaitu jenis kelamin dan preferensi pembelian adalah independen?

27. Departemen konsultasi manajamen dari sebuah perusahaan ingin mengetahui hubungan antara kepuasan kerja karyawan perusahaan tersebut dengan tingkat ketidakhadiran para karyawan ter-sebut. Untuk hal itu, lembaga tadi mengumpul-kan sampel berupa 400 karyawan, dan men-dapatkan data seperti pada tabel berikut ini :

Sampel besaral dari

Kurang dari 4 4 sampai 7 Lebih dari 7

Jumlah Kurang dari 6 12 61 107Ketidak- Sampai 12 22 80 50hadiran Lebih dari 12 41 18 9

24

Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%, dapatkah anda menolak hipotesis nol bahwa ketidak-hadiran karyawan tidak berhubungan dengan kepuasan kerja?

28. Kepada 200 remaja ditanyakan tentang preferensi mereka terhadap hobi (musik dan olah raga). Berikut ini data yang dipeloleh:

Olah raga MusikPria 51 39Wanita 68 42

Ujilah dengan tingkat signifikansi 10% bahwa jenis kelamin dan preferensi terhadap hobi (musik dan olahraga) adalah independen.

29. Sebuah perusahaan elektronik membeli inputnya dari dua buah perusahaan komponen. Kadang-kadang terjadi bahwa input-input yang diperoleh dari dua perusahaan komponen tersebut tidak baik (tidak memenuhi standar mutu). Departemen kontrol kualitas dari perusahaan elektronik tersebut ingin mengetahui apakah distribusi komponen yang baik dan yang jelek dari dua perusahaan komponen tersebut ber-

25

beda. Untuk itum diambil 300 komponen dari pabrik A dan 400 komponen dari pabrik komponen B dan diperoleh data sebagai berikut:

Pabrik komponen A Pabrik komponen B

Bagus 284 381Jelek 16 19

Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%, ujilah hipotesis bahwa distribusi komponen bagus dan jelek dari dua perusahaan komponen ter-sebut adalah sama.

30. Dua jenis obat untuk sebuah jenis penyakit diuji-cobakan terhadap dua kelompok pasien. Dari kelompok pasien pertama diuji-coba 60 pasien, dan dari kelompok pasien kedua diuji-coba 40 pasien. Berikut ini data selengkapnya:

Sembuh Tidak sembuh

Obat I 46 14Obat II 18 22

Dengan menggunakan = 1%, tentukan apakah kedua obat tersebut mempunyai distribusi daya penyembuhan yang sama.

26