1

Setiap pengambilan keputusan bisnis akan menghadapi empat kemungkinan, yaitu: a) Kepastian (Certainty); terjadi bila semua informasi yg dijadikan dsr keputusan tersedia. b) Resiko (Risk); terjadi jika informasi untuk mengambil keputusan tidak dlm keadaan sempurna, c) Ketidakpastian (Uncertainty); terjadi jika informasi untuk mengambil keputusan tidak ada, d) Konflik (Conflict); jika terdapat dua kondisi atau lebih sama-sama memiliki tkt kepentingan yang tinggi, shg butuh kebijakan dlm menentukan skala prioritas kepentingan mana yg harus lebih didahulukan. Mtd Statistika sangat membantu dalam pengambilan keputusan bisnis manakala informasi untuk mengambil keputusan tidak ada (Ketidakpastian /Uncertainty).

Contoh Fenomena deskriptif:

Contoh Fenomena inferensia:

BAB I. PENDAHULUANPada masa kini dg perkembangan Teori Peluang, berbagai metode statistika yang digunakan, memungkinkan untuk meneropong jauh di luar data yang dikumpulkan dan masuk kepada wilayah pengambilan keputusan melalui generalisasi dan prediksi. Metode Sattistika adalah prosedur-prosedur yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis, dan penafsiran data. Pengelompokan mtd-mtd tsb menjadi dua kelompok besar, yaitu:

Statistika DeskriptifPengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna.

Inferensia StatistikaMtd yg berhubungan dg cara-cara menentukan suatu penduga bagi suatu parameter serta kemudian menyimpulkan tentang nilai/sifat parameter tersebut

Populasi Mengandung sifat yang

disebut Parameter

SampelMengandung besaran yang disebut Statistik

Parameter tidak bisa diketahui pasti karena populasi yang infinite shg diduga secara ilmiah menggunakan Statistik

Jadi Mtd Statistika adalah suatu cara untuk memperoleh Penduga (Statistik) yang valid bagi suatu Parameter

Mtd Statistika merupakan bagian dari Mtd Kuantitatif , yaitu Pendekatan Ilmiah terhadap Pengambilan Keputusan manajerial & ekonomi yang berangkat dari d a t a.

Salah satu hasil pol pendapat yang dilakukan baru-baru ini adalah bahwa kebanyakan Penduduk Bali tidak menyetujui program pengembangan wisata seks di Provinsi Bali.

Akibat penurunan produksi minyak oleh negara-negara OPEC, maka diramalkan harga minyak dunia akan menjadi dua kali lipat pada tahun yg akan datang.

2

Ukuran Pemusatan Data (Nilai Rata-Rata atau Nilai Tengah)

Menghitung Rata-Rata (m) untuk Data yg telah dikelompokkan

Rata-Rata Ukur : u = (x1.x2.x3.....xn)1/ n = log u = 1/n ∑ log xi

Untuk data yang telah dikelompokkan Log u = ∑ fi .log xi / ∑ fi

Untuk data Contoh 1, maka log u = 167,141/90 = 1,8571 u = 10 1,8571 = 71,965

Nilai Rata-Rata untuk Fenomena yg sedang Tumbuh

Untuk menghitung perkembangan modal, jumlah populasi/penduduk dalam kurun waktu tertentu.

Pt = P0 . (1 + r)t r =m %

BAB II. UKURAN STATISTIK BAGI DATA

Beberapa macam ukuran statistik digunakan untuk meringkaskan dan menjelaskan data. Sebagai suatu ukuran, statistik itu mendefinisikan, dlm pengertian ttt, Pusat segugus data, yang disebut ukuran pemusatan. Yang lain mengukur keragaman antar pengamatan,dan digolongkan sebagai ukuran keragaman/penyebaran. Kedua ukuran statistik itu sangat berguna dalam menjelaskan sebaran pengamatan yang menyusun data.

Parameter: sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi (N; μ, σ) μ = (∑xi)/N σ =√ [∑(xi- μ)2]/N

Statistik: sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu contoh/sampel (n; m, S) m = (∑xi)/n S =√ [∑(xi- m)2]/(n-1)

Nilai Baku (z): Nilai data suatu variabel yang dibebaskan dari satuannya. Zi = (xi – m)/s

Ukuran Pemusatan selain Nilai tengah (m) : Median, Quartil, dan Modus. Ukuran Penyebaran selain Simpangan baku (s) : Jangkauan, dan Simpangan baku standar

Contoh 1 : Diketahui Nilai Income Bulanan (Juta Rp)Pedagang Sayur di suatu daerah sbb:Interval kelas dari Income Fekuensi (fi) Mid Point (Xi) fi.Xi fi .LogXi

31 – 4041 – 50I51 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 - 100

468

14261220

35,545,555,565,575,585,590,5

142273444917

1.9631.0261.910

6,20099.9481

13,954325,427448,826623,183639,6001

Jumlah 90 6.675 167,1410Tentukan rata-rata income pedagang sayur tersebut atau m = ?

m = ∑ fiXi / ∑ fi = 6.675 / 90 = 74,167

3

Menghitung Modus (Mo) untuk data yg telah dikelompokkan

Mo = b + p( b1 / (b1+b2) ) Mo: Nilai modus b: Batas bawah di mana modus terdapat b1: Selisih antara frekuensi modus dan sebelumnyab2: Selisih antara frekuensi modus dan sesudahnya

Ukuran Letak Data (Median-Kuartil-Desil-Persentil)

Menghitung Median data yg telah dikelompokkan

Me = b + p ( (n/2 – F) / f ) Me: Medianb: Batas bawah dimana median terdapatp: Panjang kelas dimana median terdapatn: Jumlah dataF: frekuensi komulatif sebelum kelas medianf: Frekuensi kelas median

Contoh 2. Modal usaha pada tahun 1980 sebesar Rp 3,2 juta, dan pada tahun 1990 bertambah menjadi Rp 12,8 juta. Berapa pertambahan rata-rata modal usaha tersebut setiap tahunnya?

12,8 = 3,2 . (1 + r)10 log 12,8 = log 3,2 + 10 log(1 + r)

Log (1 + r) = (log 12,8 - log 3,2)/10 = 0,060206

1 + r = 10 0,060206 = 1,1487

Jadi r = (1,1487 – 1) = 0,147 = 14,87%

Contoh 3. Nilai Statistika Mahasiswa ”Kelas X”

Nilai Statistika Fekuensi Komulatif31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 - 100

488

10261618

4122030567290

Jumlah 90

Mo = 70,5 + 10 (16 / (16+10) ) = 70,5 + 10 (16/26) = 70,5 + 6,1538 = 76,6538Artinya: pada umumnya nilai Statistika Mahasiswa ”Kelas X” tersebut di sekitar 76,6538

Contoh 4. Gunakan data pada Contoh 3 Letak median data di interval 71 – 80

Me = 70,5 + 10 ( (90/2 – 30) / 26) = 70,5 + 150/26 = 70,5 + 5,7692 = 76,2692

4

Kuartil: Kuartil 1; Kuartil 2 = median; Kuartil 3

Ki = b + p ( (in/4 – F) / f ) Letak Kuartil i adalah data yg ke i.n/4b: Batas bawah dimana kuartil terdapatp: Panjang kelas dimana kuartil terdapatn: Jumlah dataF: frekuensi komulatif sebelum kelas kuartilf: Frekuensi kelas kuartil

;

Soal 1. Diketahui distribusi frekuensi dari kekuatan masa pakai 400 baterai merek TT sbb:

Ukuran Penyebaran Data (Jangkauan-Deviasi Rata-Rata-Simpangan Kuartil-Simpangan baku)

Jangkauan atau R = Xmaks – Xmin untuk data yg tidak dikelompokkan

R = XE – XF XE: Nilai di tengah interval terakhir. XF: Nilai di tengah interval pertama.

Deviasi Rata-Rata atau dX = ∑ | Xi – m | / n atau dX = ∑fi | Xi – m | / ∑fi

Contoh 5. Gunakan data pada Contoh 3 Letak Kuartil 1 adalah data yg ke 1.90/4 = 22,5 atau data di interval 61 – 70

K1 = 60,5 + 10 ( (90/4 – 20) / 10 ) = 60,5 + 2,5 = 63,0

Letak Kuartil 3 adalah data yg ke 3.90/4 = 67,5 atau data di interval 81 – 90

K3 = 80,5 + 10 ( (3.90/4 – 56) / 16) = 80,5 + 115/16 = 80,5 + 7,1875 = 87,6875

Kekuatan Masa pakai (jam) Fekuensi 300 – 399400 – 499500 – 599600 – 699700 – 799800 – 899900 – 999

1.000 – 10991.100 – 1100

14465876686248226

a. Ada brp banyak baterai yg mempunyai kekuatan masa pakai paling tinggi slama 700 jam?

b. Jmlh batarei yg mempunyai kekuatan masa pakai 50% atau lebih paling tinggi 708,32 jam?

c. 10% dari jmlh baterai yg mempu-nyai kekuatan masa pakai paling lama?

d. 25% atau lebih jmlh baterai yg mempunyai kekuatan masa pakai paling rendah?

5

Simpangan Kuartil dK = ½(K3 – K1). Perhatikan Contoh 5. dK = ½(87,6875 – 63,0) = 12,343

Variasi atau Ragam dari Segugus data S2 = ∑(Xi – m)2 / (n -1) S2 = ∑ fi. (Xi – m)2 / (n -1)Simpangan baku S = √ [ ∑ (Xi – m)2 / (n -1) ] S = √ [ ∑ fi. (Xi – m)2 / (n -1) ] untuk data yg telah dikelompokkan.

Koefisien Ragam atau KK adalah Persentase dari Nilai Simpangan baku terhadap Nilai Rata-Ratanya atau KK = (S/m)100% .

Dalam Contoh 7, maka KK = ( 0,1885 / 0,5922 )100% = 31,83%

Contoh 6. Diketahu tingkat efisiensii teknis kegiatan produksi usaha pembesaran ikan kerapu dalam KJA dari 100 Pengusaha Budidaya sbb:

Tk Efisiensi Teknis Fekuensi Xi fi.Xi |Xi – m | fi |Xi – m |0,40 – 0,490,50 – 0.590,60 – 0,690,70 – 0,790,80 – 0,890,90 – 1,00

14212516195

0,4550,5550,6550,7550,8550,955

6,377,779,17

10,5711,9713,37

0,13720,03720,06280,16280,26280,3628

1,92080,52080,87922,27923,67925,0792

Jumlah 100 59,22 1,0256 14,3584

Tentukan Nilai deviasi rata-rata dari efisiensii teknis kegiatan produksi tersebut

m = 59,22 / 100 = 0,5922 dX = ∑fi | Xi – m | / ∑fi = 14,3584 / 100 = 0,143584

Contoh 7. Diketahu tingkat efisiensii teknis kegiatan produksi usaha pembesaran ikan kerapu dalam KJA dari 100 Pengusaha Budidaya sbb:

Tk Efisiensi Teknis Fekuensi Xi fi.Xi (Xi – m)2 fi (Xi – m)2

0,40 – 0,490,50 – 0.590,60 – 0,690,70 – 0,790,80 – 0,890,90 – 1,00

14212516195

0,4550,5550,6550,7550,8550,955

6,377,779,17

10,5711,9713,37

0,01880,0014000390,02650,06910,1316

0,26350,01940,05520,37110,96691,8427

Jumlah 100 59,22 0,2513 3,5188

Tentukan ragam dan simpangan baku dari efisiensii teknis kegiatan produksi tersebut

S2 = 3,5188 / 99 = 0,035543 S = √0,035543 = 0,1885

6

BAB III. PENDESKRIPSIAN DATA

Seringkali kita menghadapi masalah menyajikan sejumlah besar data statistik dlm bentuk yang ringkas dan kompak. Meskipun ukuran numerik bagi Pemusatan dan Ragam jelas merupakan deskripsi yg kompak dan bermanfaat bagi segugus pengamatan, ukuran2 tsb tidak dapat mengidentifikasi semua ciri yang penting. Sejumlah informasi dapat diperoleh kembali bila data asal yg banyak tsb diringkaskan dan disajikan dlm bentuk Tabel, Diagram, dan Grafik yang layak.

Fishermen segment effort

88%

6%3% 3%

Ornamental f ish

Consumption f ish

Sea w eeds

Grouper 20

Penjualan

180

10

240

300

Iklan

360

40 50 060Harga

Surface Plot of Penjualan vs Iklan, Harga

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

Responden HSRT

Pdpt

n/ET/P

dptn

+ET Pdptn+ET

ETPdptn

<0,6 0,6-<0,7 0,7-<0,8 0,8-<0,9 0,9-<0,9 0,9-1,00

7

8

Peluang Bersyarat (CONDITIONAL PROBABILITY): Untuk dua kejadian A dan B yang bersifat bebas maka p(A∩B) = p(A).p(B)p(A/B) = p(A∩B) / p(B). Jika A dan B bersifat bebas maka p(A/B) = p(A).p(B) / p(B) = p(A).

BAB IV. HITUNG PELUANGAkibat pengembangan awal teori peluang, inferensia statistik yg berusaha meramal & menggeneralisasi, telah berkembang pesat di luar permiainan judi shg memasuki bidang2 lain yg ada kaitannya dg kejadian2 yg bersifat peluang, seperti politik, bisnis, peramalan cuaca, dan penelitian ilmiah. Berbagai cara mencacah tersedia untuk menghitung peluang berbagai kejadian. Peluang suatu kejadian memenuhi hukum2 matemati ttt, shg perhitungannya seringkali dapat dipermudah.

Ruang Contoh (U): Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaanMisal 3 produk diambil scr acak dari suatu proses prodksi di pabrik. C=cacat, T=tidak cacat, maka U = {CCC,CCT,CTC,CTT,TCC,TCT,TTC,TTT}

Kejadian: suatu himpunan bagian dari ruang contoh. Misal E=kejadian terambilnya 2 produk cacat, maka E = {CCT,CTC,TCC} Kejadian sederhana terdiri hanya 1 ttk contoh. E1 = {CCC} Kejadian majemuk terdiri beberapa ttk contoh. Em = {CCT,CTC,TCC}

Dalam mencacah titik contoh harus dipahami Kaidah: Penggandaan; Permutasi, Multinasi; dan Kombinasi.

IV. 1 Peluang suatu kejadian A: adalah jumlah peluang semua ttk contoh dlm A. Dengan demikian: 0≤p(A)≤1 p({})= 0 p(U) = 1Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda, dan masing2 mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi, dan bila tepat n di antara hasil percobaan itu menyusun kejadian A, maka peluang kejadian A : p(A) = n/N.

Contoh 1. Peluang terambilnya Kartu Ace dari satu set kartu remi adalah….. N = 52 n = 4 maka p(Ace) = 4/52 = 1/13. Peluang terambilnya Kartu Wajik p(Wajik) = 13/52 =1/4 Peluang terambilnya Kartu Ace atau King = p(Ace U King) = (4 + 4)/52 = 2/13

Peluang terambilnya Kartu Ace dan Wajik = 1/52 Peluang terambilnya Kartu Ace dan King = 0.....why?

Contoh 2. Peluang Pelanggan yg masuk ke toko “SERBA ADA” akan membeli sepatu adalah 0,25. Jika membeli sepatu, peluangnya akan membeli kaus kaki adalah 0,40. Membeli atau tidak membeli sepatu, peluang membeli barang lainnya adalah 0,35. 1. Brp peluang pelanggan membeli sepatu dan kaus kaki?2. Brp peluang pelanggan membeli sepatu dan barang lainnya?S = membeli sepatu K = membeli kaus kaki L = membeli barang lainnya. p(K/S) = 0,401. p(S∩K) = p(K/S).p(S) = 0,40 . 0,25 = 0,102. p(L / [S –S]) = p(L/1) = p(L) = 0,35 p(S∩L) = p(S).p(L) = 0,25 . 0,35 = 0,0875

9

Kaidah BayesJika kejadian2 B1, B2, …Bk merupakan sekatan dari ruang contoh U dg p(Bi)≠0 untuk i = 1,2 …k, maka untuk sembarang kejadian A yg bersifat p(A)≠0 p(Br).p(A/Br)P(Br/A) = p(B1).p(A/B1) + p(B2).p(A/B2) + … + p(Bk).p(A/Bk)

B1B2

B6

B5 B4

B3

Bk

A

Penyekatan Ruang contoh U

Contoh 3. Sebuah perusahaan besar menyediakan tiga motel lokal bagi akomodasi rekanannya. Dari catatan sebelumnya diketahui bahwa 20% rekanannya diinapkan di Ramada Inn, 50% di Sheraton, dan 30% di Lakeview Motor Lodge. Bila 5% diantara kamar2 di Ramada Inn, 4% di Sherataon, dan 8% di Lakeview Motor Lodge terdapat kerusakan pipa air ledengnya, hitung peluang bahwa:

a. Seorang rekanan mendapat kamar dg pipa air ledengnya yg rusak?b. Seorang rekanan yg diketahui mendapat kamar dg pipa air ledeng yg rusak ternyata

menginap di Lakeview Motor Lodge?R = Ramada Inn S = Sheraton L = Lakeview Motor Lodge A = Air ledeng rusakp(R) = 0,20 p(S) = 0,50 p(L) = 0,30 p(A/R) = 0,05 p(A/S) = 0,04 p(A/L) =0,08

a. p(A) = p(A/R).p(R)+p(A/S).p(S)+p(A/L).p(L) = 0,05.0,2+0,04.0,5+0,08.0,3 = 0,054

p(L).p(A/L)

p(R).p(A/R) + p(S).p(A/S) + p(L).p(A/L)

= ( 0,30 . 0,08) / (0,20 . 0,05 + 0,50 . 0,04 + 0,30 . 0,08) = 0,024/0,054 = 0,4444

b. p(L/A) =

10

BAB V. SEBARAN PEUBAH ACAK

Peubah Acak: Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dlm Ruang Contoh. P. acak diskret: Nilai2nya merupakan hasil membilangP. acak kontinu: Nilai2nya merupakan hasil pengukuran.

Sebaran peluang Diskret: Suatu Tabel atau rumusan yang mencntumkan semua kemungkinan nilai suatu P.acak diskret berikut peluangnya.

Sebaran peluang Kontinu (sering disebut Fungsi kepekatan peluang): Fungsi f disebut f.k.p. bagi P acak kontinu X bila luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu-x sama dg 1, dan bila luas daerah di bawah kurva antara x=a dan x=b menyatakan peluang X terletak antara a dan b.

Nilai Harapan (Tengah) Peubah Acak X

Misal X adalah P acak diskret dg sebaran peluang

x x1 x2 . . . xn

p(X=x) f(x1) f(x2) . . . f(xn)

Maka Nilai harapan bagi X adalah μ = E(X) = ∑xi.f(xi)

fkp : f(x)

Xba

11

Misal X adalah P acak diskret dg sebaran peluang

x x1 x2 . . . xn

p(X=x) f(x1) f(x2) . . . f(xn)

Maka Nilai harapan P acak g(x) adalah μ = E[g(X)] = ∑g(xi).f(xi)

Contoh 1. Seorang pembalap ingin mengasuransikan mobilnya pada msm kompetisi ini sebesar $50.000,- Perusahaan asuransi menduga kerusakan total dapat terjadi dg peluang 0,005; kerusakan 50% dg peluang 0,03; dan kerusakan 25% dg peluang 0,1. Dg mengabaikan kerusakan2 lainnya. Brp premium yg harus dibayarkan kepada pihak asuransi per msm kompetisi, bila perusahaan itu menginginkan keuntungan $500,-

xi $50.000 $25.000 $12.500 $0,000

p(X=xi) 0,005 0,03 0,1 0,865 = 1 - 0,135

E(X) = $50.000(0,005) + $25.000(0,03) + $12.500(0,1) + $0(0,865) = $2.250,-

Agar untung $500,- maka premi yg harus dibayar = $2.250 + $500 = $2.750,-

Contoh 2. Misalkan dana sebesar Rp 20 juta mau diinvestasikan dg cara membeli saham pada pilihan dari empat saham perusahaan A, B, C, dan D dg data seperti berikut: (Saham perusahaan mana yg sebaiknya dibeli?)

Prsh Hrg saham Jmlh saham Kondisi Baik dg p(X1) = 0,6 Kondisi Jelek dg p(X2) = 0,4Rp lmbr Deviden/lmbr Ttl Deviden Deviden/lmbr Ttl Deviden

A 8.500 2.353 350 823550 200 470600B 12.300 1.626 2.200 3577200 1.400 2276400C 22.000 909 2.500 2272500 1.900 1727100C 9.000 2.222 400 888800 325 722150

Prsh Baik Buruk Nilai Harapan E(X)A 823550 470600 823550(0,6) + 470600(0,4) = Rp 682370B 3577200 2276400 3577200(0,6) + 2276400(0,4) = Rp 3056880C 2272500 1727100 2272500(0,6) + 1727100(0,4) = Rp 2054340D 888800 722150 888800(0,6) + 722150(0,4) = Rp 822140

Kita memilih untuk membeli saham Perusahaan B, karena memiliki Nilai ekpektasi pembelian saham tertinggi.

12

Ragam atau Variasi Suatu Peubah Acak

Misal X adalah P. Acak diskret dg sebaran peluang

x x1 x2 . . . xn

p(X=xi) f(x1) f(x2) . . . f(xn)

Maka Ragam bagi X adalah σ2 = E[(X - μ)2] = ∑(xi- μ)2.f(xi)

= E(x2) – μ2 = ∑xi2. f(xi) – μ2 = ∑xi

2. f(xi) – [E(X)]2

Sifat-Sifat Nilai Tengah & RagamBila a dan b konstan, maka μ ax+b = aμ + bμ x+y = μx + μy μ x-y = μx - μy Bila P. acak X dan Y bebas (tidak saling mempengaruhi), maka μ xy = μx.μy

Bila a dan b konstan, maka σ2 ax+b =a2σ2 σ2 x+y = σ2

x + σ2y σ2 x-y = σ2

x - σ2y

Peragam: Peragam dua P. acak X dan Y yg dilambangkan dg σxy = E(X – μx)(Y – μy) = E(XY) - μx.μy = E(XY) – [E(X)].[E(Y)]

Variasi antar dua P. Acak X dan Y disebut Peragam antar X dan Y. Variasi suatu P.Acak X disebut Ragam X.

Contoh 3. Perhatikan kasus pada contoh 1. Berapakah besar ragam Tanggungan yg harus dibayarkan oleh pihak asuransi? atau σ2 = .....E(x2) = $50.0002.(0,005) + $25.0002.(0,03) + $12.5002.(0,1) + $0,0002.(0,000) = $46.875.000,-

σ2 = $46.875.000 - $2.2502 = $41.812.500,- dan Simpangan baku = σ = √$41.812.500 =$6.466,3,-

Contoh 4. Misalkan banyaknya mobil, X, yg dicuci di suatu tempat penyucian mobil antara pk 16:00 – 17.00 pd setiap hr Jumat mempunyai sebaran peluang:

x 4 5 6 7 8 9p(X = x) 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6 1/6

E[g(X)]] = E(2X – 1) = ∑(2x -1)f(x) = 7(1/12) + 9(1/12) + 11(1/4) +13(1/4) + 15(1/6) + 17(1/6) μg(X) = $12,67E[g(X)]2 = ∑(2x -1)2 f(x) = 72(1/12) + 92(1/12) + 112(1/4) +132(1/4) + 152(1/6) + 172(1/6) = 169σ2

g(X) = E[g(X)]2 – [μg(X)]2 = 169 – 12,672 = 8,56 σg(X) = √8,56 = $2,925

Jika g(X) = 2X – 1 menyatakan uang yg diba-yarkan ($) oleh manajer kpd petugas pencuci, tentukan penerimaan harapan petugas pencuci pd periode waktu tsb

13

BAB VI. BEBERAPA SEBARAN PELUANG DISKRET

Dlm bentuk apapun suatu sebaran peluang diskret dituliskan (Histogram, Tabel, Rumus) berarti perilaku P. acak itu telah dijelaskan. Seringkali pengamatan yang berasal dari berbagai percobaan statistik yg berbeda memiliki jenis perilaku umum yg sama. Akibatnya P. acak diskret yg berkaitan dg percobaan2 tsb dapat dijelaskan melalui sebaran peluang yang pd hakekatnya sama, dan oleh karena itu dapat disajikan oleh sebuah rumus tunggal. Memang dlm kenyataannya, kita hanya memerlukan beberapa sebaran peluang diskret yg penting untuk dapat menjelaskan hampir semua P. acak yg ditemui dlm praktek.

1. Sebaran Seragam Bila P. acak X mempunyai nilai2 x1, x2, …xk dg peluang yg sama, maka sebaran

seragam diskretnya diberikan oleh:f(x;k) = 1/k untuk x = x1, x2, …xk.

μ = ∑xi/k dan σ2 = [∑xi2 – μ2]/(k-1)

2. Sebaran Binom Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang

kegagalan q = 1-p, maka sebaran peluang bagi P. acak binom X, yaitu banyaknya keberhasilan dlm n ulangan yg bebas adalah

b(x; n, p) = (nCx).(px).(qn-x) , untuk x = 1, 2, …n. μ = n.p dan σ2 = n.p.q

3. Sebaran Multinom Bila setiap ulangan menghasilkan salah satu dari k hasil percobaan E1, E2, …Ek dg

peluang p1, p2, …pk, maka sebaran peluang bagi P.acak X1, X2, …Xk yg menyatakan berapa kali E1, E2, …Ek terjadi dlm n ulangan yg bebas adlh

f(x1, x2, …xk; p1, p2, …pk , n) = [nC(x1, x2, …xk].∏piXi

dengan ∑xi = n ∑pi = 1.

4. Sebaran Poison Sebaran peluang bagi P. acak X, yg menyatakan banyaknya hasil percobaan yg

terjadi selama satu selang waktu atau daerah tertentu adalah e-μ. μx

p(x; μ) = untuk x = 1,2, …, x!

μ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yg terjadi selama selang waktu atau dlm daerah yg dinyatakan, dan e = 2.7182 μ = n.p σ = √n.p.q

5. Sebaran Hipergeometrik Dlm populasi N benda: k benda label”berhasil” & N-k benda lain label”gagal”,

sebaran peluang P.acak hprgeometrik X yg menyatakan banyaknya keberhasi-lan dlm contoh acak berukuran n, adalah

kCx.[(N-k)C(n-x)]h(x; N, n, k) = untuk x = 0, 1,2, …n

NCn

14

Contoh 1. Diduga 30% dari barang yg diproduksi pada Mesin I dlm kategori Reject. Seorang manajer dari perusahaan itu ingin mengetahui kebenaran prakiraan tsb. Untuk itu, diambil contoh acak sebanyak 10 buah barang hasil Mesin I. Brpkah peluang dari 10 buah barang tsb akan berada dlm kondisi: a) rusak sebanyak 6 buah? b) setidaknya ada sebanyak 7 buah yg rusak?X ~ b(x, n; p) a. p = 0,30 q = 1 - 0,30 = 0,70 n = 10 x = 6 p(x=6) = b(6, 10; 0,30) = (6 C 10). (0,30)6.(0,70)10-6 = 210(0,000729)(0,2401) = 0,036757b. p(x ≥ 7) = 1 - p(x ≤ 6) = 1 – 0,989408 = 0,010592

Contoh 3. Pada jam-jam sibuk nasabah yg datang pd sebuah Bank yg akan melakukan transaksi diperkirakan sebanayak 300 orang. Jika rata-rata setiap orang dapat dilayani oleh Customer Service selama 3 menit, maka berapakah tingkat penyimpangan yg mungkin dilakukan oleh Customer Service thdp para nasabahnya? n = 300 μ = n.p 3 = 300.p p = 0,01 q = 1 – 0,01 =0,99 σ = √300.0,01.0,99 = √2,97 = 1,723 menit

Contoh 2. Peluang terdapat telur yg pecah dlm sebuah keranjang telur diperkirakan 0,8%. Apabila diambil sampel acak 1 keranjang yg berisi telur 200 butir untuk dilakukan penelitian thdp prakiraan di atas, brpkah kemungkinan terdapat 3 butir telur yg rusak?p = 0,8% = 0,008 μ = n.p = 200.0,008 = 1,6 p(x = 3) = (2.7182-1,6). (1,63) / 3! = (0,201906).(4,096) / 6 = 0.1378

Contoh 4. Sebuah perusahaan memproduksi 4 jenis barang A, B, C, dan D, dg proporsi 0,3; 0,4; 0,2; dan 0,1. Jika diambil secara acak sebanyak 8 buah produk tsb, brpkah peluang terambil (A, B, C, D) = (2, 1, 3, 2) ?p(A=2, B=1, C=3, D=2) = f(2, 1, 3, 2; 0,3 0,4 0,2 0,1; 8) = = [8C(2, 1, 3, 2)].(0,3)2. (0,4).(0,2)3.(0,1)2

= 8! / (2!.1!.3!.2!).(0,3)2. (0,4).(0,2)3.(0,1)2

= 0.00000288.(1680) = 0.0048384

Contoh 5. Seorang manajer personalia mengambil secara acak lamaran pekerjaan yg disampaikan oleh 12 orang calon karyawannya. Dg anggapan bahwa 5 dari 12 karyawan tsb berasal dari sekolah kejuruan, tentukan peluang bawa 3 dari 4 lamaran tsb benar berasal dari sekolah kejuruan.N = 12 k = 5 N-k = 7 n = 4 x = 3H(x, N, n, k) = 5C3. [12-5C4-3] / 12C4 = 10(7)/495 = 0,1414

15

BAB VII. SEBARAN NORMAL

Peubah acak kontinu dan fungsi kepekatannya muncul bila data percobaan kita didefinisikan pada suatu ruang contoh yang kontinu. Oleh karena itu, bila kita mengukur selang waktu , bobot, tinggi, volume, dan lain sebagainya, maka populasi kita dapat dinyatakan dengan suatu sebaran kontinu. Seperti juga terdapat beberapa sebaran peluang diskret yg khusus, kita juga mengenal banyak sekali sebaran kontinu, yang grafiknya mungkin menunjukkan adanya kemenjuluran atau dalam beberapa kasus setangkup sempurna. Di antara semua itu, yang sejauh ini paling penting adalah suatu sebaran kontinu yang grafik nya berbentuk genta dan menjulur takterbatas dalam ke dua arah. Sebaran inilah yang merupakan landasan bagi sebagian besar teori inferensia statistik.

Kurva Normal. Bila X suatu P. acak normal dg nilai tengah μ dan ragam σ2, maka persamaan kurva normalnya adalah

N(x; μ , σ) = (1/√2π σ).e -1/2[(x - μ) / σ]^2 untuk -∞ < x < ∞ π = 3.14159… e = 2.71828…

μ

σ2

Contoh 1. Buatlah Grafik Sebaran Frekuensi Data Kekuatan masa pakai baterai sbb.

Kekuatan Masa pakai (jam) Fekuensi 300 – 399400 – 499500 – 599600 – 699700 – 799800 – 899900 – 999

1.000 – 10991.100 – 1199

142024324032242014

16

Statistik N Min Max Mean Std. Deviation VarianceMasa Pakai Baterai 220 300 1199 750 222.4620 49489.36

Luas Daerah di bawah Kurva NormalMisal P.acak X ~ N (μ=6,5 , σ=1,4). Luas daerah di bawah kurva normal tsb dari x=2 s/d x=8 adalah:

p(2 < x < 8) = 1/ (√2π 1,4) e -1/2[(x – 6,5) / 1,4]^2 ∂x

Perhitungan ini bisa dipermudah dg transformasi z = (xi - μ)/σ ~ N (μ=0 , σ=1)z1= (2 – 6,5)/1,4 = -3,21 z2 = (8 – 6,5)/1,4 = 1,07

p(2 < x < 8) = p(-3,21 < z < 1,07) = 1/(√2π)) e -1/2 (z^2) ∂z dg melihat

Tabel Z (Tabel Normal Baku) dapat diperoleh p(-3.21 < z < 1.07) = 0.858012 – 0.000654 = 0.857358.

400.00 600.00 800.00 1000.00

Mspkibterai

0

10

20

30

Masa Pakai Baterai (Jam)

8 ∫2

1,07 ∫-3,21

μ = 750

Contoh 2. Sebuah perusahaan membayar karyawannya dg rata-rata $7,25 per jam dan simpangan baku 60 sen. Bila gaji itu kira2 menyebar normal dan dibayarkan sampai sen terdekat. (a) Brp persen karyawan yg menerima antara $6,75 dan $7,69? (b) 5% gaji tertinggi lebih besar dari brp? μ = $7,25 σ = 60 sen = $0,6. (a) p(6,75 < X < 7,69) = p(X < 7,69) – p(X < 6,75) = 0,768322 – 0,202328 = 0,565994 = 56,60% (Gunakan Fungsi Normdist pd Excel).(b) p(X > a) = 5% = 0,05 a = ? 1 - p(X < a) = 0,05 p(X < a) = 1 – 0,05 = 0,95 a = 8.236912 (Gunakan Fungsi Norminv pd Excel). Jadi 5% gaji tertinggi lebih besar dari $8,24 per jam.

17

Bila X adalah suatu P.acak Binom dg nilai tengah μ=np , dan ragam σ2=npq, maka bentuk pelimitan bagi sebaran

Z = (x-np)/npq untuk n ∞ adalah Sebaran normal baku.

Contoh 3. Bagian Mesin sebuah perusahaan ban mobil membuat jenis ban baru dan merencanakan untuk mengujinya. Masa pakai diukur dg jarak tempuh dlm km. Diasumsikan bahwa masa pakai ban menyebar normal dg simpangan baku 2.500 km. Apabila perusahaan menginginkan 80% dari ban yg dicoba memiliki masa pakai sekurang-kurangnya 25.000 km, brpkah rata-rata umur pemakaian terendah yg diterima?

p([x – μ/σ]≥....) = 80% = 0,80 1 - p([x – μ/σ]<....) = 0,80 p([x – μ/σ]<....) = 0,20 ….. = -0,84162 x = 25.000 km σ = 2.500 km

(25.000 – μ) / 2.500 = -0,84162μ = 25.000 + 2.500(0,84162) = 27.104,05

Rata-rata umur pemakaian terendah yg diterima = 27.104,05 km

Contoh 4. Sebuah perusahaan kebun bibit jeruk menjamin bahwa bibit jeruk yg dihasilkannya memiliki daya tumbuh sebesar 82%. Berapakah peluang seorang yg membeli 100 batang bibit jeruk tsb, tidak tumbuh paling banyak 12 batang?p = 1 – 0,82 = 0,18 q = 0,82 n = 100 μ = np = 100(0,18) = 18 σ = √npq = √100(0,18)(0,82) = 3.841875 p(X ≤ 12) = p(Z ≤ [12 – 18]/ 3.841875) = p(Z ≤ -1.561738) = 0.059175

18

BAB VIII. TEORI PENARIKAN CONTOH (SAMPLING THEORY)

Dlm riset managemen maupun bisnis sangat penting melakukan penarikan kesimpulan mengenai parameter populasi berdasarkan data keterangan parsial atau tidak lengkap. Keterangan yg tidak lengkap ini diperoleh melalui pengambilan contoh dan penghitungan nilai2 statistik yg sesuai. Sedangkan nilai suatu statistik bergantung pd nilai2 contoh yg diamati, oleh karena itu akan bervariasi dari contoh satu ke contoh lainnya. Sebelum dapat membuat penarikan kesimpulan yg dapat diandalkan mengenai parameter suatu populasi, sangat penting untuk memahami keragaman acak yg berhubungan dg statistik di atas sesuai dg proses penarikan contoh yg dilakukan.

Sebaran Penarikan contoh adalah Sebaran peluang suatu statistik. Sebaran peluang bagi m disebut Sebaran penarikan contoh bagi nilai tengah.

Bila semua kemungkinan contoh acak berukuran n diambil dg pemulihan dari suatu populasi terhingga berukuran N yg mempunyai nilai tengah μ dan simpangan baku σ, maka untuk n yg cukup besar Sebaran Penarikan contoh bagi nilai tengah X akan menghampiri sebaran Normal dg nilai tengah μx = μ dan simpangan baku σx = σ/√n. Dengan demikian z = (x – μ)/(σ/√n) merupakan suatu nilai bagi P. acak normal baku Z.

Bila contoh acak berukuran n ditarik dari suatu populasi yg besar atau takhingga dg nilai tengah μ dan ragam σ2, maka nilai tengah contoh X akan menghampiri sebaran Normal dg nilai tengah μx = μ dan simpangan baku σx = σ/√n. dengan demikian z = (x – μ)/(σ/√n) merupakan suatu nilai bagi P. acak normal baku Z.

Bila m dan S2 masing2 adalah nilai tengah dan ragam suatu contoh acak berukuran n yg diambil dari suatu populasi normal dg nilai tengah μ dan ragam σ2, maka t = (m – μ)/(S/√n) merupaka sebuah nilai P.acak T yg mempunyai sebaran t dg v = n -1 derajat bebas.

Contoh 1. Sebuah mesin minuman ringan diatur agar jumlah minuman yg dikeluarkan untuk setiap gelas rata-rata 240 ml dan simpangan baku 15 ml. Secara periodik mesin itu diperiksa dg cara mengambil 40 gelas dan dihitung rata-ratanya. Bila nilai rata-rata ke 40 gelas itu berada dalam interval μX ± 1,5σX mesin itu dianggap masih bekerja baik. Jika tidak mesin itu harus diatur kembali. Seorang petugas menemukan bahwa nilai rata-rata ke 40 gelas adalah 236 ml, dan menyimpulkan bahwa mesin itu tidak perlu diperbaiki. Apakah keputusan ini wajar?

μX = 240 ml σX = 15/√40 = 2,371708 ml

Interval Kontrol = [ 240 ± 1,5(2,371708) ] = [236,4424 ; 243,5576] . Jadi keputusan petugas itu tidak wajar, karena nilai rata-rata 236 ml berada di luar interval control.

19

Teknik Penarikan Contoh (Probability Sampling)

1. Penarikan contoh acak sederhana: adalah suatu contoh yg dipilih sedemikian rupa shg setiap himpunan bagian yg berukuran n dari populasi tsb mempunyai peluang terpilih yg sama.

2. Penarikan contoh sistematik: Mengambil setiap unsur ke-k dlm populasi, untuk dijadikan contoh dg titik awal ditentukan secara acak di antara k unsur yg pertama.

3. Penarikan contoh acak berlapis: Mengambil contoh acak sederhana dari setiap lapisan populasi. Bila sebuah populasi berukuran N disekat menjadi k lapisan yg masing2 berukuran N1, N2, …, Nk dan dari setiap lapisan itu ditarik contoh acak sederhana berukuran masing2 n1, n2, …,nk , maka alokasinya dikatakan sebanding bila ni = (Ni C N).n untuk I = 1, 2, …,k Bila diketahui σ1, σ2,… σk adalah simpangan baku bagi k lapisan, maka alokasinya dikatakan optimum bila ukuran contoh setiap lapisan ditentukan oleh rumus [(Ni σi)/(∑ Ni σi)].n

4. Penarikan contoh gerombol: Mengambil beberapa gerombol secara acak dari populasi, dan kemudian memilih secara acak sebagian unsur dari setiap gerombol yg terpilih untuk dijadikan contoh.

Contoh 2. Sebuah perusahaan memproduksi bohlam. Bila umur bohlam itu menyebar normal dg nilai tengah 800 jam, dan simpangan baku 40 jam, hitunglah peluang bahwa suatu contoh acak 16 bohlam mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam.

Sebaran penarikan contoh bagi X adalah normal dg μX = 800 dan σX = 40/√16 = 10.

P(X < 775) = p(Z < [775 – 800]/10) = p(Z < -2,50) = 0,0062.

Contoh 3. Sebuah perusahaan menyatakan bahwa batere yg digunakan dlm alat2 elektroniknya mencapai umur rata-rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai rata-rata ini, 16 batere diuji setiap bulan.Bila nilai t yg diperolehnya jatuh antara -t0,025 dan t0,025 , maka perusahaan itu cukup puas. Apa kesimpulan perusahaan itu bila dari sebuah contoh diperoleh x = 27,5 jam dan s = 5 jam. Asumsikan bahwa sebaran umur batere itu normal.

n = 16 μ = 30 t = ( x - μ)/(s/√n) = (27,5 – 30)/(5/√16) = -2,00 t0,025 = 2,48p-value untuk t = 2,00 dan derajat bebas db = n -1 =16 -1 =15 adalah 0,063945Jadi perusahaan itu cukup puas.

-2,48 2,48

20

Non Probability Sampling: Teknik pengambilan sampel yg tidak memberi peluang/kesempatan yg sama bagi setiap unsur/anggota populasi untuk dipilih menjadi sampel.

1. Accidental Sampling. Teknik atau mtd penarikan sampel berdasarkan kebetulan, yaitu siapa saja yg bertemu dg peneliti dpt digunakan sbg sampel, bila dipandang orang itu cocok sebagai sumber data. Misal data pengeluaran wisatawan di Bali dg mewawancarai wisatawan yg ditemui scr kebetulan di Bandara Ngurah Rai.

2. Quota Sampling. Teknik pengambilan sampel dari populasi yg mempunyai ciri-ciri ttt sampai jumlah (quota) yg diinginkan.

3. Purposive Sampling. Pengambilan sampel dg pertimbangan ttt sesuai dg tujuan penelitian. Besarnya sampel tergantung pd tujuan penelitian, jenis instrumen pengambilan data, biaya dan waktu.

4. Sampling Jenuh (Sensus). Semua anggota populasi digunakan sbg sampel. Hal ini sering dilakukan bila jumlah populasi relatif kecil.

5. Snowbowling Sampling. Pengambilan sampel scr ’snowbowl’ (salju mencair), penentuan sampel mula-mula jumlahnya kecil kemudian membesar. Pertama-tama dipilih satu atau dua orang, kemudian dua orang ini disuruh memilih atau menunjuk teman-temannya untuk dijadikan sampel. Begitu seterusnya shg jumlah sampel semakin banyak.

Besarnya sampel yg harus diambil (Data representatif) bergantung pada 1. Derajat keseragaman (degree of homogenity) dari populasi2. Presisi yg dikehendaki dari penelitian

Contoh 4. Dua lampu berbeda merek: Lampu A Rata-Rata kekuatan 7500 jam dg Simpangan baku 80 jam. Lampu B: Rata-Rata kekuatan 6250 jam dg Simpangan baku 45 jam. Contoh acak diambil: Lampu A sebanyak 62 buah, dan Lampu B sebanyak 70 buah. Tentukan peluang bahwa Lampu A akan memiliki kekuatan masa pakai 240 jam lebih lama dari lampu B.μA = 7500 μB = 6250 σA

2 = 802 = 6400 σB2 = 452 = 2025 nA = 62 nB = 70

μ A – B = μA – μB = 7500 – 6250 = 1250 σA –B = √[ σA

2/ nA + σB2/ nB] = √[6400/62 + 2025/70] = 11,4958

p([XA – XB] > 240) = p( z > {[XA – XB] – [μA – μB]} / σA –B ) = p(z >{240 – 1250}/11,4958 ) = p(z > - 0,86988) = 0,1922

21

BAB IX. PENDUGAAN PARAMETER

Para peneliti, administratot dlm bidang pendidikan, bisnis, atau pemerintah, dan pengamat politik semuanya berkepentingan dlm masalah pendugaan parameter. Pendugaan keefektifan suatu obat, Pengaruh biaya pengiklanan thd hasil penjualan, prediksi penjualan yang akan datang, dan lain sebagainya. Suatu kesimpulan statistik mengenai parameter populasi harus dibuat. Inferensia Statistik dapat dikelompokkan ke dlm dua bidang: Pendugaan parameter, dan Pengujian hipotesis. Mtd pendugaan parameter ada dua: Mtd Klasik, dan Mtd bayes.

Ruang Keputusan: Himpunan semua kemungkinan nilai dugaan yg dapat diambil oleh suatu penduga. Suatu penduga parameter hrs bersifat:

1. Penduga tak bias: statistik θ dikatakan penduga tak bias bagi parameter θ bila E(θ) = θ.

2. Penduga paling efisien: Di antara semua kemungkinan penduga tak bias bagi parameter θ, yang ragamnya terkecil adalah paling efisien.

Pendugaan Nilai Tengah μSelang Kepercayaan bagi μ; dan σ diketahui. Bila m adalah nilai tengah contoh acak berukuran n yg diambil dari suatu populasi dg ragam σ2 diketahui, maka selang kepercayaan (1- α)100% bagi μ adalah

m – z α/2 (σ/√n) < μ < m +z α/2 (σ/√n)Sedangkan z α/2 adalah nilai z yg luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal baku adalah α/2

Ukuran Contoh bagi Pendugaan μ. Bila m digunakan menduga μ, kita boleh percaya (1- α)100% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu nilai ttt e bila ukuran contohnya diambil sebesar 2 z α/2 σ

n = e

^ ^ ^

Contoh 1. Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yg diperlukan oleh sebuah mesin yg digunakan untuk memproduksi suatu jenis kain. Diambil scr acak 36 pis kain, waktu rata-rata yg diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 5 menit. Jika diasumsikan standar deviasi populasi 0,5 menit, tentukan estimasi interval rata-rata dg tingkat kepercayaan 95%.m = 15 σ = 0,5 n = 16 α/2 = 0,025 zTabel = 1.95996

15 – 1,95996(0,5/√16) < μ < 15 + 1,95996(0,5/√16) = 14,755 < μ < 15,245. Bagaimana bila

tingkat kepercayaan estimasinya 99%? α/2 = 0,005 zTabel = 2,57583

15 – 2,57583(0,5/√16) < μ < 15 + 2,57583(0,5/√16) = 14,678 < μ < 15,322

22

Selang Kepercayaan bagi μ untuk contoh berukuran kecil, dan σ tidak diketahui.Bila m dan s adalah nilai tengah dan simpangan baku contoh acak berukuran n < 30 yg diambil dari suatu populasi normal yg ragamnya σ2 tidak diketahui, maka selang kepercayaan (1- α)100% bagi μ adalah

m – t α/2 (s/√n) < μ < m +t α/2 (s/√n)Sedangkan t α/2 adalah nilai t dg v = n -1 derajat bebas yg di sebelah kanannya terdapat daerah seluas α/2.

Pendugaan Proporsi ρSelang kepercayaan bagi ρ untuk contoh berukuran besar. Bila p adalah proporsi keberhasilan dlm suatu contoh acak berukuran n, dan q = 1 – p, maka selang kepercayaan (1- α)100% bagi parameter binom ρ diberikan oleh

p – z α/2√(pq/n) < ρ < p + z α/2 √(pq/n) Sedangkan z α/2 adalah nilai z yg luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal baku adalah α/2

Ukuran Contoh bagi Pendugaan ρ. Bila p digunakan menduga ρ, kita boleh percaya (1- α)100% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu nilai ttt e bila ukuran contohnya diambil sebesar z2

α/2 pq n =

e2

Contoh 2. Perhatikan Contoh 1. Seberapa besar contoh harus diambil dalam kasus Contoh 1 bila diinginkan kepercayaan 95% bahwa nilai dugaan rata-rata waktu yg diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain tidak menyimpang dari μ lebih dari pada 0,05.

n = [1,96(0,5)/0,05]2 = 384,1443

Jadi kepercayaan 95% bahwa suatu contoh acak berukuran 385 pis kain tsb akan menghasilkan nilai dugaan rata-rata waktu yg diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain sebesar m yang selisihnya dari μ tidak melebihi 0,5 menit.

Contoh 3. Distribusi masa pakai produk alat pijat elektronik adalah normal. Jika untuk keperluan suatu penelitian diambil sampel acak sebanyak 20 unit, ternyata alat pijat tsb memiliki umur rata-rata 790 minggu dan simpangan baku sampel 20 minggu. Tentukan batas-batas masa pakai alat pijat tsb pada tingkat kepercayaan 98%.m = 790 s = 20 n = 20 α/2 = 0,01 tTabel = 2,860935

790 – 2,860935(20/√20) < μ < 790 + 2,860935 (20/√20) = 777,2 < μ < 802,8

Contoh 4. Dari suatu contoh acak 500 orang yg makan siang di sebuah restoran selama beberapa hari Jumat, diperoleh informasi x = 160 orang yg menyukai makanan laut (seafood). Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya orang yg menyukai makanan laut untuk makan siang di hari Jumat.Nilai dugaan ρ adalah p = 160/500 = 0,32 q = 0,68 α/2 = 0,025 zTabel = 1,95996 0,32 – 1,95996√[(0,320(0,68)/500] < ρ < 0,32 – 1,95996√[(0,320(0,68)/500] = 0,279 < ρ < 0,361

23

Pendugaan ragam σ2

Statistik Khi-Kuadrat. Bila s2 adalah ragam contoh acak berukuran n yg ditarik dari suatu populasi normal dg ragam σ2 , maka (n – 1)s2 χ2 =

σ2

merupakan sebuah nilai P. acak χ2 yg mempunyai sebaran Khi-Kuadrat dg v = n – 1 derajat bebas.

Selang Kepercayaan bagi σ2. Bila s2 adalah ragam contoh acak berukuran n yg ditarik dari suatu populasi normal, maka selang kepercayaan (1 – α)100% bagi σ2 diberikan oleh rumus (n – 1)s2 (n – 1)s2 < σ2 < χ2

α/2 χ21 - α/2

Sedangkan χ2α/2 dan χ2 1 –α/2 adalah nilai2 χ2 dg v = n – 1 derajat bebas

yg luas derah di sebelah kanannya berturut-turut α/2 dan 1- α/2.

α

Contoh 5. Suatu penelitian ingin menduga persentase penduduk di suatu kota yg menyetujui pemberian fluor pada air minum mereka. Brp besar contoh yg diperlukan bila diinginkan kepercayaan sekurang-kurangnya 95% bahwa nilai dugaan yg diperoleh (0,77) berbeda tidak lebih dari pada 1% dari persentase yg sebenarnya.

p = 0,77 q = 0,23 e = 0,01n = 1,959962(0,77)(0,23)/0,12 = 6.804

χ2χ2α

Contoh 6. Suatu pabrik aki mobil menyatakan bahwa aki produksinya scr rata-rata akan mencapai umur 3 tahun dg ragam 1 tahun. Bila 11 aki mobil tsb mencapai umur: 1,9 2,4 3,0 3,5 4,0 3,7 3,2 2,8 2,2 2,7 2,1 tahun. Berdasarkan data itu buatlah selang kepercayaan 95% bagi σ2, dan simpulkan apakah pernyataan pabrik bahwa σ2 = 1 dapat diterima atau tidak. Asumsikan bahwa populasi umur aki tsb menyebar normal.s2 = 0,472545 n = 11 α/2 = 0,025 1- α/2 = 0,975 χ2

0,025 = 20,483 χ20,975 = 3,247

[ (11 – 1) 0,472545/20,483] < σ2 < [ (11 – 1) 0,472545/3,247] = 0,2307 < σ2 < 1,4553 Pernyataan pabrik bahwa σ2 = 1 dapat diterima

24

Statistik F. Bila s12 dan s2

2 adalah ragam dua contoh acak bebas berukuran n1 dan n2 yg ditarik dari populasi normal dg ragam σ1

2 dan σ22, maka

s12/ σ1

2 σ22/ s1

2

f = = s2

2/ σ22 σ1

2/ s22

Merupakan nilai bagi P.acak F yg mempunyai sebaran F dg v1 = n1 -1 dan v2 = n2 – 1 derajat bebas.

Dg menuliskan fα(v1, v2) untuk fα dg v1 dan v2 derajat bebas, maka 1

F1 – α (v1, v2) = F α (v2, v1)

Jadi F0,95 (6, 10) = 1 / F0,05 (10, 6) = 0,2463

fα

f

Contoh 7. Bila s12 dan s2

2 adalah ragam dua contoh acak bebas berukuran masing2 n1 = 25 dan n2 = 31, yg diambil dari populasi normal dg ragam σ1

2 = 10 dan σ22 =

15, hitunglah p(s12/ s2

2 > 1,26)

p(s12/ s2

2 > 1,26) = p[(s12/ s2

2 )( σ22/ σ1

2) > 1,26(σ22/ σ1

2)] = f 1,26(σ22/ σ1

2) dg v1 = 25 – 1 dan v2 = 31 – 1 = f 1,26(15/ 10) dg v1 = 24 dan v2 = 30 = f 1,89 dg v1 = 24 dan v2 = 30 = 0,049633

25

BAB X. PENGUJIAN HIPOTESIS

Seringkali masalah yg dihadapi bukanlah pendugaan parameter suatu populasi, tetapi berupa perumusan segugus kaidah yg dapat membawa kita pada suatu keputusan akhir, yaitu menerima ataukah menolak suatu pernyataan atau hipotesis mengenai populasi. Berdasarkan bukti-bukti hasil percobaan, apakah suatu vaksin baru lebih baik dari pada vaksin yg sekarang beredar di pasaran, Apakah status penguasaan lahan untuk suatu usaha mempengaruhi besarnya investasi untuk usaha tsb. Prosedur perumusan kaidah yg membawa kita pada penerimaan ataukah penolakan hipotesis menyusun cabang utama inferensia statistik yang disebut Pengujian Hipotesis.

Hipotesis Nol & Hipotesis Alternatif

Hipotesis Statistik: Pernyataan atau Dugaan mengenai satu atau lebih populasi.Hipotesis yg dirumuskan dg harapan akan ditolak membawa penggunaan istilah Hipotesis Nol dilambangkan dg H0. Penolakan H0 mengakibatkan penerimaan suatu Hipotesis Alternatif H1. Hipotesis nol mengenai suatu parameter populasi harus diucapkan sedemikian rupa shg menyatakan dg pasti sebuah nilai bagi parameter itu, sedangkan Hipotesis alternatifnya membolehkan beberapa kemungkinan nilainya. H0: μ = μ0 H1: μ > μ0 atau H1: μ < μ0 (Uji satu arah). H1: μ ≠ μ0 (Uji dwi arah). Prosedur pengambilan keputusan pd uji hipotesis membawa pada dua jenis kesimpulan yg salah, yaitu salah jenis I (α) dan Salah jenis II (β). α = Peluang menolak H0 padahal H0 benar. β = Peluang menerima H0 padahal Ho salah.

Penryataan Hipotesis nol merupaka dugaan thd parameter suatu permsalahan yg akan dilakukan kajian untuk membenarkan dan atau menyanggah informasi dari suatu populasinya, berdasarkan statistik sampel pd tingkat signifikansi ttt. Ada beberapa pengertian dalam pelaksanaan pengujian hipotesis, diantaranya:

Tingkat signifikansi / Taraf nyata (α), adalah luas daerah di bawah kurva yg merupakan daerah penolakan hipotesis nolnya.Tingkat keyakinan / Tingkat kepercayaan (1 – α), adalah luas daerah di bawah kurva yg merupakan daerah penerimaan hipotesis holnya

α/2 1 – α α/2

Untuk Uji Dwi Arah: H0: μ = μ0 H1: μ ≠ μ0

26

Prosedur Pengujian: Uji Mengenai Nilai Tengah Suatu Populasi

Bila sampel kecil (<30) dan tidak diketahui mengenai Ragam Populasi (σ2), maka gunakan statistik uji t hitung = (m - μ0) / (S/√n). t α dg derajat bebas v = n -1.

1 – α α

Untuk Eka Arah: H0: μ = μ0 H1: μ > μ0

Contoh 1. Seorang direktur perusahaan “Hotel Ganapatigum” menyatakan bahwa pendapatan rata-rata karyawan di perusahaan tidak kurang dari Rp 2.500.000,- /bulan, dg simpangan baku Rp 75.000,- /bulan. Untuk mengecek kebenaran informasi tsb seorang wartawan berusaha melakukan wawancara dg 32 orang karyawannya yg dipilih scr acak, dan diperoleh informasi bahwa rata-rata pendapatan karyawan2 tsb Rp 2.510.000,- Ujilah masalah tsb dg menggunakan taraf nyata 5%. Asumsikan pendapatan karyawan “Hotel Ganapatigum” menyebar normal. μ0 = 2.500.000 σ = 75.0000 m = 2.510.000 n = 32H0: μ < 2.500.000 H1: μ ≥ 2.500.000 Z hitung = (m - μ0) / (σ/√n) = (2.510.000 – 2.500.000)/(75.000/√32) = 0,754 H0 ditolakk bila Z hitung ≥ Z0,05 = 1,645. 0,754 tidak lebih besar dari 1,64485 , oleh karena itu terima H0. Jadi tidak benar pendapatan rata-rata karyawan perusahaan “PT Ganapatigum” tidak kurang dari Rp 2.500.000,- /bulan. Pada taraf nyata berapa H0 ditolak? Gunakan NORMSDIST z = 0.754 diperoleh taraf nyata α = 0,775 tetapi mubazir pengujian hipotesis menolak H0 dengan α = 77,5%.

Contoh 2. Diketahui data Produktivitas (jmlh unit barang yg dihasilkan per hari) 13 karyawan perusahaan “PT Ganapatigum” adalah sbb: 60, 59, 57, 56, 56, 58, 62 55, 54, 64, 63, 58, 55. Pada taraf nyata α = 5% ujilah bahwa produktivitas karyawan “PT Ganapatigum” kurang dari 61 unit/hari. H0: μ = 61 H1: μ < 61 Dari sampel 13 data tsb, maka m = 58,23 S = 3,22 n = 13

t hitung = (m - μ0) / (S/√n) = (58,23 – 61)/(3,22/√13) = -3,102H0 ditolakk bila t hitung < -t 0,05 (v = 12) = -2,179

Karena -3,102 < -2,179 maka tolak H0. jadi memang benar produktivitas karyawan “PT Ganapatigum” kurang dari 61 unit/hari

1 – α α

Untuk Uji Eka Arah: H0: μ = μ0 H1: μ > μ0

27

Prosedur Pengujian: Uji Mengenai Perbandingan Dua Nilai Tengah Populasi

Contoh 3. Sebuah perusahaan oleh raga mengembangkan jenis batang pancing sintetis yg dikatakan mempunyai kekuatan menyebar normal dg nilai tengah 8 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Pada taraf nyata 5% Ujilah hipotesis bahwa tidak benar kekuatan batang pancing tsb sama dg 8 kg, bila contoh acak 50 batang pancing itu setelah dites memberikan kekuatan dg nilai tengah 7,8 kg. H0: μ = 8 H1: μ ≠ 8. n = 50 α/2 = 5%/2 = 0,025 σ = 0,5 m = 7,8H0 ditolakk bila Z hitung < - Z0,025 = -1,96 atau Z hitung > Z0,025 = 1,96Z hitung = (m - μ0) / (σ/√n) = (7,8 – 8,0) / (0,5/√50) = -2,828 Tolak H0. jadi tidak benar kekuatan batang pancing tsb 8,0 kg.

Contoh 4. Manajer Pemasaran menyatakan bahwa keuntungan bersih rata-rata per satu unit produk yg terjual tahun ini lebih besar dibandingkan tahun lalu. Untuk membuktikan pernyataan tsb diambil scr acak masing-masing 35 unit produk yg terjual tahun ini dan tahun lalu. Rata-rata keuntungan penjualan tahun lalu adalah Rp 340 dg simpangan baku Rp 25, sedangakan tahun ini memiliki Rata-rata keuntungan penjualan Rp 350 dg simpangan baku Rp 30. Pada taraf nyata 5% ujilah pernyataan Manajer Pemasaran tsb. Keuntungan bersih rata-rata per satu unit produk yg terjual setiap tahunnya menyebar normal dg ragam yg sama.H0: μ2 – μ1 = d0 H1: μ2 – μ1 > d0

n1 = n1 = 35 m1 = 340 S1 = 25 m2 = 350 S2 = 30 σ = 0,5

Sp2

= [ (n1 – 1) S12 + (n2 – 1) S2

2] / (n1 + n2 -2) = [(35 - 1)252 + (35 – 1)302] / (35 +35 -2) = 762,5

Sp = √762,5 = 27,61 thitung = (m2 – m1 – d0) / Sp√[1/n1 + 1/n2)] =

(350 – 340 - 0) /27,61√[1/35 + 1/35) = 10/6,6 = 1,515 Derajat bebas v = n1 + n2 -2 = 68H0 ditolakk bila t hitung > t 0,05 (v = 68) = 1,995. 1,515 tidak lebih besar dari 1,995. Jadi terima H0. Pernyataan Manajer Pemasaran tidak benar.

Contoh 5. Sebuah perusahaan Taxi hendak menentukan apakah penggunaan ban radial disbanding ban biasa dapat menghemat bahan bakar atau tidak. Dua belas mobil dilengkapi dg ban radial dan kemudian dicoba pd suatu rute yg telah ditentukan lebih dulu. Tanpa mengganti pengemudinya, ban mobil-mobil yg sama kemudian diganti dg ban biasa dan dicoba sekali lagi pd rute yg sama. Konsumsi bahan bakarnya, dlm km/ltr, tercatat sbb: Mobil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 m S2 SBan Radial 4,2 4,7 6,6 7,0 6,7 4,5 5,7 6,0 7,4 4,9 6,1 5,2 5,75 1,11 1,05Ban Biasa 4,1 4,9 6,2 6,9 6,8 5,4 5,7 5,8 6,9 4,7 6,0 4,9 5,69 0,85 0,92

Pada taraf nyata 0,025 dapatkah disimpulkan bahwa mobil dg ban radial lebih hemat bahan bakar daripada mobil dg ban biasa?Asumsikan kedua populasi itu menyebar normal dg ragam yg samaH0: μ2 – μ1 = d0 H1: μ2 – μ1 > d0 α = 0,025

Sp2

= [ (12 - 1)1,112 + (12 – 1)0,852 ] / (12 +12 -2) = 0,98 Sp = √0,98 = 0,99 thitung = (m2 – m1 – d0) / Sp√[1/n1 + 1/n2)] = (5,69–5,75-0) /0,99√[1/12 + 1/12) = -0,144Derajat bebas v = n1 + n2 -2 = 22H0 ditolakk bila t hitung < -t 0,025 (v = 22) = -2,405. -0,144 tidak lebih kecil dari -2,405. Jadi terima H0. Mobil dg ban radial dan dg ban biasa tidak berbeda hematnya thdp bahan bakar.

28

Print out Hasil SPSS Kasus Contoh 5

T-TestGroup Statistics

12 5.7500 1.05270 .3038912 5.6917 .92290 .26642

dumi01

BanmobilN Mean Std. Deviation

Std. ErrorMean

Independent Samples Test

.466 .502 .144 22 .887 .05833 .40414 -.77980 .89646

.144 21.630 .887 .05833 .40414 -.78063 .89730

Equal variancesassumedEqual variancesnot assumed

BanmobilF Sig.

Levene's Test forEquality of Variances

t df Sig. (2-tailed)Mean

DifferenceStd. ErrorDifference Lower Upper

95% ConfidenceInterval of the

Difference

t-test for Equality of Means

Prosedur Pengujian: Uji Mengenai Ragam Suatu Populasi

Prosedur Pengujian: Uji Mengenai Perbandingan Ragam Dua Populasi

Contoh 6. Sebuah mesin minuman ringan perlu diperbaiki bila ragam minuman yg dikeluarkan melebihi 1,15 desiliter. Suatu contoh acak 25 minuman dari mesin ini menghasilkan ragam 1,85 desiliter. Pada taraf nyata 5% apakah ini menunjukkan bahwa mesin itu sudah perlu diperbaiki. Asumsikan isi minuman yg dikeluarkan menghampiri sebaran normal. H0: σ2 = 1,15 H1: σ2 > 1,15 α = 0,05 S2 = 2,03 n = 25

χ2hitung = (n – 1)S2/ σ0

2 = (25 -1)1,85/1,15 = 38,61

H0 ditolak bila χ2hitung > χ2

0,05 (v = n – 1 = 24) = 36,42

Karena 38,61 > 36,42 maka tolak H0. Jadi mesin minuman tersebut perlu diperbaiki.

Contoh 7. Sebuah penelitian bermaksud membandingkan waktu yg diperlukan oleh karyawan laki-laki dan perempuan untuk merakit sebuah produk ttt. Pengalaman lalu menunjukkan bahwa sebaran waktu yg diperlukan bagi karyawan laki-laki dan perempuan menghampiri sebaran normal, tetapi ragam bagi perempuan lebih kecil daripada ragam bagi laki-laki. Suatu contoh acak 11 karyawan dan 14 karyawati menghasilkan: SL = 6,1 SP = 5,3 nL = 11 nP = 14 Ujilah Hipotesis bahwa : σL

2 = σP2 lawan alternatif bahwa σL

2 > σP2 pada taraf nyata 2%

fhitung = SL2/ SP

2 = 6,12/5,32 = 1,3247. H0 ditolak bila fhitung > f α/2 (vL = nL - 1, vP = nP - 1) = f

0,02/2 (vL = 11 - 1, vP = 14 - 1) = f0,01 (10, 13) = 4,1003 atau fhitung < f 1 - α/2 (vL = nL - 1, vP =

nP - 1) = f0,99 (10, 13) = 0,2151. Jadi terima H0. Jadi ragam waktu yg diperlukan oleh

karyawan laki-laki dan perempuan untuk merakit sebuah produk ttt adalah sama.

29

Prosedur Pengujian: Uji Mengenai Proporsi dalam Populasi

Uji hipotesis mengenai proporsi diperlukan di banyak bidang. Seorang politikus tentu ingin mengetahui brp proporsi pemilih yg akan memilih partainya dlm pemilihan umum mendatang. Semua pabrik sangat berkepentingan mengetahui proporsi barang yg cacat selama pengiriman. Seorang penjudi tentu sangat bergantung pd pengetahuan mengenai proporsi hasil yg ia anggap menguntungkan.

Dalam pasal ini kita akan membahas masalah pengujian hipotesis bahwa proporsi keberhasilan dlm suatu percobaan binom sama dg suatu nilai ttt. Artinya, kita akan menguji hipotesis H0 bahwa ρ = ρ0 , sedangkan ρ adalah parameter sebaran binom. Hipotesis alternatifnya dapat berupa alternatif yg bersifat satu-arah atau dua-arah; ρ < ρ0 , ρ > ρ0 , artau ρ ≠ ρ0.

Prosedur Pengujian: Uji Mengenai Selisih antara Dua Proporsi

Secara umum Pengujian mengenai selisih antara dua proporsi adalah:

H0: ρ1 = ρ2 atau ρ1 - ρ2 = 0 H1: ρ1 - ρ2 > 0 atau H1: ρ1 - ρ2 < 0 (Uji Eka Arah)

H0: ρ1 - ρ2 = 0 H1: ρ1 - ρ2 ≠ 0 (Uji Dwi Arah)

p1= x1/n1 p2 = x2/n2 p = (x1 + x2) /(n1 + n2) zhitung = (p1 – p2) / √[p(1-p)(1/n1 + 1/n2)]

(Gunakan Sebaran Normal)

Contoh 8. Sebuah perusahaan rokok mengatakan bahwa 30% diantara para perokok lebih menyukai rokok merek Zq. Untuk menguji pendapat ini diambil 20 perokok scr acak, dan ditanyakan rokok merek apa yg mereka sukai. Bila diantara 8 perokok itu menyukai rokok merek Zq, kesimpulan apa yg dapat ditarik? Gunakan taraf nyata 0,10.

H0: ρ = 0,20 H1: ρ ≠ 0,20. n = 20 α/2 = 0,10/2 = 0,05 x = 6Lihat Tabel Sebaran Binom. H0 ditolak bila x ≤ 2 atau x ≥ 9. Terima H0. Benar bahwa 30% diantara para perokok lebih menyukai rokok merek Zq.

Contoh 9. Misalkan di masa lalu 40% orang dewasa setuju dg Hukuman Mati. Apakah kita mempunyai alasan untuk mempercayai bahwa pada saat ini orang yg menyetujui hukuman mati telah meningkat bila diantara 100 orang dewasa yg diambil secara acak 47 orang menyetujui hukuman mati. Gunakan taraf nyata 0,05.

H0: ρ = 0,40 H1: ρ > 0,40. n = 100 α = 0,05 x = 49 H0 ditolak bila x > x0,05 atau x ≥ 48 (Gunakan Fungsi Binomdist pd Excel)Karena x = 47 terima H0. Jadi Orang dewasa yg menyetujui Hukuman Mati pada saat ini tidak meningkat dari 40%

30

SUMBER PUSTAKA

1. Walpole, R.E., 1988. Pengantar Statistika. Jakarta; PT Gramedia.2. Graybill, F.A., Alexander Mood, and Duane Mood, 1983. Introduction to The

Theory of Statistics. Lodon: McGraw-Hill International Book Company.3. Kuncoro, M., 2001. Metode Kuantitatif (Teori dan Aplikasi untuk Bisnis dan

Ekonomi). Yogyakarta: UPP AMP YKPN.4. Nasution, A.H. dan Abdurauf Rambe, 1984. Teori Statistika. Jakarta: Bhratara

Karya Aksara. 5. Supangat, A., 2007. Statistika (Dalam Kajian Deskriptif, Inferensi, dan

Non Parametrik). Jakarta: Kencana Prenada Media Group.

SOFTWARE1. SPSS 15.02. MINITAB 143. FRONTIER 4.14. EXCEL 20035. SYSTAT 12

Contoh 10. Sebuah pabrik rokok memproduksi dua merek rokok yg berbeda. Ternyata 56 orang diantara 200 perokok menyukai Merek A, dan 29 orang diantara 150 perokok menyukai Merek B. Dapatkah kita menyimpulkan pd taraf nyata 6% bahwa Rokok Merek A lebih laris dari pada Merek B?

H0: ρ1 - ρ2 = 0 H1: ρ1 - ρ2 > 0

x1 = 56 x2 = 29 n1 = 200 n2 = 150 p1= x1/n1 = 56/200 = 0,2800 p2 = x2/n2 = 29/150

= 0,1933 p = (x1 + x2) /(n1 + n2) = (56 + 29)/(200 + 150) = 0,2428

zhitung = (p1 – p2) / √[p(1-p)(1/n1 + 1/n2)] =

(0,2800 – 0,1933) / √[0,2428(1-0,2428)(1/200 + 1/150)] = 1,2788

H0 ditolak bila zhitung > z0,06 = 1,5548 Terima H0. Rokok Merek A sama larisnya dg

Merek B.

31

PENGANTAR STATISTIKA UNTUK RISET BISNIS

BAHAN AJAR

OlehIr. Cening Kardi, MMA

32

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ................................................................................................ i

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................ 1

BAB II UKURAN STATISTIK BAGI DATA........................................... 2

BAB III PENDESKRIPSIAN DATA ........................................................ 6

BAB IV HITUNG PELUANG................................................................... 8

BAB V SEBARAN PEUBAH ACAK……….......................................... 10

BAB VI BEBERAPA SEBARAN PELUANG DISKRET........................ 13

BAB VII SEBARAN NORMAL………………………….…………........ 15

BAB VIII TEORI PENARIKAN CONTOH (SAMPILNG THEORY)....... 18

BAB IX PENDUGAAN PARAMETER................................................... 21

BAB X PENGUJIAN HIPOTESIS.......................................................... 25

SUMBER PUSTAKA.................................................................................... 30