Modul Sa Mat 1

7/22/2019 Modul Sa Mat 1

1/14

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA 1/KALKULUS

SEMESTER ANTARA

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI GARUT

1. HIMPUNAN2. ARITMATIKA3. PERSAMAAN LINIER 2 DAN 3 VARIABEL4. PERTIDAKSAMAAN

1.HIMPUNANa. Operasi Himpunan

1 Gabunan (Union) A U B = B A disebut sifat komutatif gabungan

(A B) C = A (B C) disebut sifat asosiatifgabungan

A = A

A U = UA A = A

A A = U Disebut sifat komplemen gabungan2 Irisan (intersection) A B = B W A disebut sifat komutatif irisan

A A = A

A =

A U = A

A A = disebut sifat komplemen irisan(A B) W C = A (B A) disebut sifat asosiatif irisan

2 Distributif A U (B C) = (A B) (A C); disebut sifat distributifgabungan terhadap irisan.

A (B C) = (A B) (A C); disebut sifat distributif

irisan terhadap gabungan.

3 Selisih AA = A = AAB = A W BA(B C) = (AB) (AC)A(B C) = (AB) (AC)

4 Komplemen (A) = A

= = UAA = AA = UAA=

5 Banyaknya Anggota n(A) + n(B) = n(A B)

n(A B) = n(A) + n(B)n(AB)n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C)n(AB)n(BC)n(CA) + n(ABC)

n(A) + n(B) = n(AB) + n(AB)

n(A) + n(B) + n(C) =n(ABC) + n(AB) + n(AC) +

n(BC)n(ABC)

DIAGRAM VENN

Operasi Diagram

Gabungan

Himpunan

A = {a,b,c,d}

B = {e,f}A U B =

{a,b,c,d,e,f,}
http://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTee3isDhQI/AAAAAAAAADQ/vfPmVOcA84k/s1600/7.jpg


2/14

A = {1,2,3,4}C = {3,4,5}

A U C = {1,2,3,4,5}

E = {x,y,z}

F = {x}

E U F = {x,y,z}

Irisan A = {a,b,c,d}

B = {c,d,e}A B= {c,d}

C = {a,b,c,d}D = {a,b}

C D = {a,b}

E = {a,b,c}

F = {1,2,3}

E F = { }

Selisih

Himpunan

A = {a,b,c}B = {d,e}

A / B = {a,b,c}

C = {1,2,3}

D = {3,4}

C / D = {1,2}

D / C = {4}
http://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegPBSJniI/AAAAAAAAADw/VIs36tHLju4/s1600/14.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegBACJ3WI/AAAAAAAAADo/siRlIwOD__A/s1600/13.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTekgxW7kLI/AAAAAAAAAEE/djWlZr3d_rs/s1600/1a.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeklQwIiJI/AAAAAAAAAEI/pj-GfHugCfQ/s1600/1b.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefjhHoyFI/AAAAAAAAADc/RoDtEQacktg/s1600/8.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefcMwG4HI/AAAAAAAAADY/RqT_paaeld0/s1600/9.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefXoCY8KI/AAAAAAAAADU/yxqZZjCEX7M/s1600/8.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegPBSJniI/AAAAAAAAADw/VIs36tHLju4/s1600/14.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegBACJ3WI/AAAAAAAAADo/siRlIwOD__A/s1600/13.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTekgxW7kLI/AAAAAAAAAEE/djWlZr3d_rs/s1600/1a.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeklQwIiJI/AAAAAAAAAEI/pj-GfHugCfQ/s1600/1b.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefjhHoyFI/AAAAAAAAADc/RoDtEQacktg/s1600/8.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefcMwG4HI/AAAAAAAAADY/RqT_paaeld0/s1600/9.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefXoCY8KI/AAAAAAAAADU/yxqZZjCEX7M/s1600/8.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegPBSJniI/AAAAAAAAADw/VIs36tHLju4/s1600/14.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegBACJ3WI/AAAAAAAAADo/siRlIwOD__A/s1600/13.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTekgxW7kLI/AAAAAAAAAEE/djWlZr3d_rs/s1600/1a.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeklQwIiJI/AAAAAAAAAEI/pj-GfHugCfQ/s1600/1b.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefjhHoyFI/AAAAAAAAADc/RoDtEQacktg/s1600/8.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefcMwG4HI/AAAAAAAAADY/RqT_paaeld0/s1600/9.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefXoCY8KI/AAAAAAAAADU/yxqZZjCEX7M/s1600/8.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegPBSJniI/AAAAAAAAADw/VIs36tHLju4/s1600/14.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegBACJ3WI/AAAAAAAAADo/siRlIwOD__A/s1600/13.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTekgxW7kLI/AAAAAAAAAEE/djWlZr3d_rs/s1600/1a.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeklQwIiJI/AAAAAAAAAEI/pj-GfHugCfQ/s1600/1b.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefjhHoyFI/AAAAAAAAADc/RoDtEQacktg/s1600/8.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefcMwG4HI/AAAAAAAAADY/RqT_paaeld0/s1600/9.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefXoCY8KI/AAAAAAAAADU/yxqZZjCEX7M/s1600/8.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegPBSJniI/AAAAAAAAADw/VIs36tHLju4/s1600/14.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegBACJ3WI/AAAAAAAAADo/siRlIwOD__A/s1600/13.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTekgxW7kLI/AAAAAAAAAEE/djWlZr3d_rs/s1600/1a.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeklQwIiJI/AAAAAAAAAEI/pj-GfHugCfQ/s1600/1b.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefjhHoyFI/AAAAAAAAADc/RoDtEQacktg/s1600/8.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefcMwG4HI/AAAAAAAAADY/RqT_paaeld0/s1600/9.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefXoCY8KI/AAAAAAAAADU/yxqZZjCEX7M/s1600/8.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegPBSJniI/AAAAAAAAADw/VIs36tHLju4/s1600/14.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegBACJ3WI/AAAAAAAAADo/siRlIwOD__A/s1600/13.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTekgxW7kLI/AAAAAAAAAEE/djWlZr3d_rs/s1600/1a.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeklQwIiJI/AAAAAAAAAEI/pj-GfHugCfQ/s1600/1b.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefjhHoyFI/AAAAAAAAADc/RoDtEQacktg/s1600/8.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefcMwG4HI/AAAAAAAAADY/RqT_paaeld0/s1600/9.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefXoCY8KI/AAAAAAAAADU/yxqZZjCEX7M/s1600/8.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegPBSJniI/AAAAAAAAADw/VIs36tHLju4/s1600/14.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegBACJ3WI/AAAAAAAAADo/siRlIwOD__A/s1600/13.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTekgxW7kLI/AAAAAAAAAEE/djWlZr3d_rs/s1600/1a.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeklQwIiJI/AAAAAAAAAEI/pj-GfHugCfQ/s1600/1b.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefjhHoyFI/AAAAAAAAADc/RoDtEQacktg/s1600/8.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefcMwG4HI/AAAAAAAAADY/RqT_paaeld0/s1600/9.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefXoCY8KI/AAAAAAAAADU/yxqZZjCEX7M/s1600/8.jpg


3/14

HimpunanKomplemen A atau komplemendari A

(A B) = A U B

A B = (AUB)

1. Jika P={bilangan prima kurang dari 18} dan Q={bilangan ganjil antara 3 dan 13}, maka semuaanggota himpunan

adalah ...

A. {5,7,11}

B. {5,7,13}

C. {3,5,7,11}

D. {5,7,11,13}

2. Diketahui himpunan A adalah himpunan alat tulis menulis yang dimiliki siswa. Manakah diantarapernyataan berikut ini yang salah?

A. pensil A

B. bola basket A

C. penghapus A

D. buku tulis A

3. Manakah diantara pernyataan berikut yang merupakan penyajian himpunan dengan cara mendaftar?

A. B = {himpunan nama bulan yang diawali huruf J}

B. B = himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf J

C. B = {Januari, Juni, Juli}

D. B = {x|x diawali huruf J, x nama-nama bulan}

4. Manakah diantara himpunan berikut yang merupakan himpunan berhingga?

A. S = {0,1,2,3,...}

B. P = {1,2,3, ... ,110}

C. Q = { ...,-3,-2,-1,0}

D. R = {...,-3,-2,-1,0,1,...}
http://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s1600/19.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s1600/18.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s1600/19.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s1600/18.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s1600/19.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s1600/18.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s1600/19.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s1600/18.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s1600/19.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s1600/18.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s1600/19.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s1600/18.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s1600/19.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s1600/18.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s1600/19.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s1600/18.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s1600/19.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s1600/18.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s1600/19.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s1600/18.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s1600/15.jpg


4/14

5.

Perhatikan diagram venn diatas, anggota dari

adalah...

A. {1,2,3,4,5,7,8,10]

B. {3,6}

C. {1,2,3,4,5,6,9,12}

D. {7,8,10,11}

6.

Anggota dari A' adalah ...

A. {1,2,3,4,5}

B. {1,2,4,5}

C. {7,8, 10, 11}

D. {7,8,9,10,11,12}

7. Jika semua anggota himpunan A menjadi anggota himpunan B, maka dikatakan behwa ...

A.

B.C.

D.

8. Diketahui A={1,2,3}, B={2,3,4,5}, C={0,1,2,3,4}, dan D = { }. Diantara pernyataan berikut yangbenar adalah ...

A.D A

B. A B

C. B C

D. C D

9. Diketahui A = {2,3,5,7} dan B = {1,2,3,4,5} Anggota dari A - B adalah ...

A. {7}

B. {1,4}

C. {1,2,3,4,5}

D. {2,3,5,7}

10. Jika A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d,e}, maka pernyataan yang salah adalah ...

A. A B = {a,b,c}

B. A B = {a,b,c,d,e}

C. n(A) = 4D. B - A = {d,e}

11. Jika P = {d,e,f} maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari P adalah ...

A. 3

B. 6

C. 8

D. 9

12. Dalam satu RT terdiri dari 60 warga, 20 warga berlangganan majalah, 35 warga berlangganankoran dan 5 warga berlangganan keduanya. Berapa orang warga yang tidak berlangganan kedua-duanya?

A. 15 warga


5/14

B. 30 warga

C. 55 warga

D. 10 warga

13. Sekelompok siswa terdiri dari 50 orang, setelah di data ternyata 20 orang suka bermain basket, 33orang suka bermain futsal, dan 5 orang tidak suka bermain kedua-duanya. Banyaknya siswa yangsuka bermain basket dan futsal sekaligus adalah ... orang

A. 45

B. 25

C. 15

D. 8

14. Diketahui A = {1,2,3,4,5}, B = { 2,4,6,8}, dan S = {1,2,3,4, ... , 10} Anggota dari

adalah ...

A. {1,2,3,4,5,6,8}

B. {7,9,10}

C. {2,4}

D. {9,10}

2. ARITMATIKASifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah

{0,1,2,3,4,...} = Himpunan bilangan Cacah

{1,2,3,4,5,...} = Himpunan bilangan Asli

a. Sifat-sifat penjumlahan

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:

- Sifat komutatif : a+b = b+a

- Sifat Asosiatif : (a+b)+c = a+(b+c)

- Elemen Identitas pada Penjumlahan : a+0 = 0+a

b. Sifat-sifat pengurangan

Untuk setiap a,b,c,p,q, dan r bilangan cacah berlaku

1. (a - b) + c = (a + c) - b ; syarat: a > b

2. (a - b) + c = a - (b - c) ; syarat: a > b dan b > c

3. a - b = (a + c) - (b + c) ; syarat: a > b

4. (a - b) - c = (a - c) - b ; syarat: a > b dan (a-b) > c

5. (a - b) - c = a - (b + c) ; syarat: a > b dan (a-b) > c

6. a - b = (a - c) - (b - c) ; syarat: a > b dan b > c

7. (a + b + c) - (p + q + r) = (a - p) + (b - q) + (c - r) ; syarat: a > p, b > q, dan c > r

c. Sifat-sifat perkalian

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku

- Sifat Komutatif : a x b = b x a

- Sifat Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)

- Sifat Distributif : (b + c) x a = (b x a) + (c x a)


6/14

perkalian terhadap penjumlahan

- Sifat Distributif

perkalian terhadap pengurangan

: a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

- Unsur identitas pada perkalian : a x 1 = 1 x a = a

- Sifat perkalian dengan bilangan Nol : a x 0 = 0 x a = 0

- Sifat perkalian untuk urutan : Jika a < b, c 0, maka a x c < b x c

d. Sifat-sifat pembagian

1 Sifat bilangan nol dalam pembagian:

Untuk setiap a, b, c, p, q, dan r, bilangan cacah berlaku

0 : a = 0 untuk a 0

a : 0 = tidak didefinisikan

0 : 0 = tidak tentu

2. (a : b) : c = a : (b : c) ; syarat: b faktor dari a dan c faktor dari b.

3. (abc) : (pqr) = a/p x b/q x c/r ; syarat: a, b, c, p, q, r merupakan bilangan-asli

- p faktor dari a

- q faktor dari b, dan

- r faktor dari c

4. a : b = (ca) : (cb) ; syarat: c 0, dan b faktor dari a

5. a : b = [a/c] : [b/c] ; syarat: b faktor dari a dan c faktor dari b

6. (a : b) : c = a : (b : c) ; syarat: b dan c faktor-faktor dari a

7. (a : b) : c = (a : c) : b ; syarat: b dan c faktor-faktor dari a

8. Sifat distributif pembagian terhadap penjumlahan:

(a + b) : c = [a/c] + [b/c] ; syarat: c faktor dari a dan b

9. Sifat distributif pembagian terhadap pengurangan:

(a - b) : c = a/c - b/c ; syarat: a > b dan c faktor dari a dan b

10. Jika a < b, c faktor dari a dan b, maka a/c < b/c

e. Sifat-sifat perpangkatan

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:

1. (a x b)c = ac x bc

2. [a/b]c = ac : bc

3. ab x ac = ab+c

ab

: ac

= ab-c ; syarat: b c, (ab)c = abc

4. Bilangan nol dalam perpangkatan


7/14

0a = 0

a0

= 1

f. Sifat-sifat penarikan akar

Untuk setiap a, b, c bilangan cacah berlaku

CONTOH

1. Jika persamaan pemfaktoran

Sederhanakanlah persamaan dibawah ini

2. Sederhanakan persamaan dibawah ini

a.

b. .

c.

d.
http://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TPBhwvL5t_I/AAAAAAAAABc/H4lbSRfObdo/s1600/Rumus-Matematika-05.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TPBhwvL5t_I/AAAAAAAAABc/H4lbSRfObdo/s1600/Rumus-Matematika-05.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TPBhwvL5t_I/AAAAAAAAABc/H4lbSRfObdo/s1600/Rumus-Matematika-05.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TPBhwvL5t_I/AAAAAAAAABc/H4lbSRfObdo/s1600/Rumus-Matematika-05.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TPBhwvL5t_I/AAAAAAAAABc/H4lbSRfObdo/s1600/Rumus-Matematika-05.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TPBhwvL5t_I/AAAAAAAAABc/H4lbSRfObdo/s1600/Rumus-Matematika-05.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TPBhwvL5t_I/AAAAAAAAABc/H4lbSRfObdo/s1600/Rumus-Matematika-05.jpg


8/14

e.

f.

g. = . 3-4

=

h.

i.

j.

k. =

l.

m. =

n.

3. PERSAMAAN LINIER

Penyelesaian Sistem persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan :

a. Metode substitusi

Bila menggunakan metode subtitusi kita dapat menggantikan suatu variabel dengan variabel dari

persamaan lain.

Contoh :

2xy = 6 ..(i)x + y = 3 ..(ii)

Langkah awalUbahlah salah satu persamaan dalam bentuk X = . Atau y = .Dari persamaan (i), kita dapat memperoleh : 2x6 = y

Langkah kedua

Subtitusikan persamaan diatas ke perssamaan (ii) sehingga diperoleh :x + (2x6) = 33x6 = 33x = 9

x = 3

Langkah KetigaNilai x = 3 disubtansikan ke persamaan (i) atau ke persamaan (ii).Misalkan x = 3 disubtansikan ke persamaan (i), diperoleh :

2.3y =66y = 6y = 6-6

y = 0

b. Metode eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Contoh diatas dapat

diselesaikan menggunakan metode eliminasi berikut.


9/14

Contoh :

2xy = 6 . (i)

x + y = 3 . (ii)

Langkah awalmulailah dengan menghilangkan variabel x

2xy = 6 | x 1 |2xy = 6x + y = 3 |x 2 | 2x + 2y = 6

-3 y = 0

y = 0

Langkah Kedua

hilangkan variabel y2 xy = 6

x + y = 3

3x = 9

x = 3jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

c. Metode Grafik

Dengan metode grafik, kita harus menggambar grafik dari kedua persamaan, kemudian titikpotong kedua grafik tersebut merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel.

Contoh :

2xy = 6x + y = 3

Langkah awalgambarlah grafik persamaan 2xy = 6.kita harus menentukan terlebih dahulu titik potong grafik terhadap sumbu X dan sumbu Y.

1) titik potong terhadap sumbu X, maka y= 02xy = 62x0 = 62x = 6

x = 3

2) titik potong terhadap sumbu Y, maka x = 0.

x + y = 3

0 + y = 3y = 3

titik potong terhadap Y adalah (0,3).

d. Metode campuran dari metode eliminasi dan substitusi

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan metode

campuran dari eliminasi dan subtitusi.

Contoh :

2xy = 3 .. (i)

x + y = 3 .. (ii)

Langkah awal: metode eliminasihilangkan variabel x

2xy = 6 |x 1 |2xy = 6x + y = 3 |x 2 | 2x + 2y = 6

-3y = 0y = 0


10/14

Langkah kedua : metode subtitusi

masukkan nilai y = 0 ke persamaan (i) atau ke persamaan ke (ii), misalkan nilai y = 0dimasukkan ke persamaan (i).

2x0 = 62x = 6

x = 3jadi, penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel diatas adlah x = 3 dan y = 0, dituliskan

HP = {(3,0)}

1. Carilah nilai x dari persamaan dibawah ini

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g. Diketahui x1 dan y1 memenuhi persamaan

2x 3y = 7 dan 3x 4y = 9 maka Nilai x+ y = .

h

i. Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linier:

4379

1023

yx

yxadalah .

j. Nilai x dan y yang memenuhi persamaan

22)42(3

635)1(4

xyx

yxyxadalah .


11/14

k.Harga 2 koper dan 5 tas adalah Rp. 600.000,00 sedangkan harga 3 koper dan 2 tas adalah Rp570.000,00. Harga sebuah koper dan 2 tas adalah .

l. Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp. 14.400,00 harga 6 buah buku tulis dan 5 buah

pensil Rp. 11.200,00. Jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil adalah

m. Umur Sani 7 tahun lebih tua dari umur Ari. Sedangkan jumlah umur mereka adalah 43 tahun.

Berapakah umur masing-masing

4. PERTIDAKSAMAAN

Sifatsifat Ketidaksamaan

Perlu Diingat bahwa " < " adalah suatu relasi pada himpunan bilangan real dan didefinisikan

dalam pengertian yang berkaitan dengan kesamaan.

Definisi 1

Jika a < b, maka ada bilangan positif c sedemikian hingga a + c = b

Dari definisi 1 diatas, maka maka bisa mengemukakan alasan

2 < 5 sebab ada bilangan positif 3 sedemikian hingga 2 + 3 = 5.

-3 < 4 sebab ada bilangan positif 7 sedemikian hingga -3 + 7 = 4.

Definisi 2

Jika a b, maka ada bilangan tidak negatif c sedemikian hingga a + c = b

Dari definisi 2 diatas, maka dapat mengemukakan alas analas an

3 < 7 sebab ada bilangan tidak negatif 4 sedemikian hingga 3 + 4 = 7

2 2 sebab ada bilangan tidak negatif 0 sedemikian hingga 2 + 0 = 2

Sifatsifat yang akan digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan semesta


12/14

pembicara himpunan real adalah sebagai berikut :

1. Untuk sebarang dua bilangan real a dan b, terdapat satu diantara hubungan a = b, a < batau b < a

2. Jika a < b, dan b < c, maka a < c untuk semua bilangan real a, b, dan c3. Jika a < b, maka a + c < b + c untuk sebarang bilangan real a, b, dan c

4. Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc untuk sebarang a, b R5. Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc untuk sebarang a, b R6. Jika a < b dan ab < 0, maka 1/a < 1/b7. Jika a < b dan ab > 0, maka 1/b < 1/a8. Jika a < b, maka a < b untuk sebarang a > 0 dan b > 09. Jika mn, maka -n m n10.a + b a+ b11.Jika ab > 0, maka a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 012.Jika ab < 0, maka q > 0 dan b < 0 atau a < 0 dan b > 0.

Berikut ini adalah langkah penyelesaian pertidaksamaan bentuk pangkat tinggi (suku banyak) dan pecahan dari

bentuk suku banyak.

Langkah penyelesaian:

1. ruas kanan dinolkan!2. Ruas kiri difaktorkan! Hasilnya adalah perkalian bentuk linier (ax + b) dan bentuk definit.3. Sederhanakan yang definit dengan mengganti tanda definitnya!4. Tentukan nilai positif, negatif, dan pembuat nol (pembilang atau pun penyebut) pada garis bilangan!

Langkah-langkahnya dapat dirinci sebagai berikut:

a. Pembuat nol. Pada pembilang menghasilkan nol, pada penyebut tidak terdefinisi.b. Tanda bilangan bagian paling kanan akan sama dengan tanda koefisien pangkat tertinggi dari ruas

kiri pertidaksamaan.

c. Apabila melewati pembuat nol yang faktor liniernya berpangkat ganjil tanda akan berubah danmelewati pangkat genap tanda akan tetap.

1. Tentukan himpunan penyelesaian (2x2 + x 9) (x3x2 6x) < 0!

Jawab: (2x2 + x 9) (x3 x26x) < 0 ( ) (x3 x26x) < 0

x (x2 x 6) < 0

x( x 3) ( x + 2) < 0

Jadi, 2 < x < 0 atau x >3

2. Pertidaksamaan (x2 )(x + 1 ) 0, x R, mempunyai himpunan penyelesaian :

3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

2x2

+ x 9 definitne atif

2 0 3

+ +

Koefisien pangkat tertinggi

(1) (1) (1) = ()


13/14

Menentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan kuadrat

menggunakan langkah2 berikut :

1. Ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan

2. Tentukan akar2 dari persamaan kuadrat tersebut.

3. Tentukan letak akar2 persamaan kuadrat pada garis bilangan.

4. Tentukan daerah + dan daerah -

5. Tulislah HP sesuai soal yang diminta

Contoh Soal :

Tentukan HP dari pertidaksamaan berikut

1. x22x - 3 0

Jawaban :

a. x22x - 3= 0

b. (x - 3) (x + 1) = 0,

maka x = 3,-1

c. dan d. Gambar disampingyang dimin ta () maka daerahnya (-)e. HP {x-1 x 3}

2. -2x2

11x - 15 < 0Jawaban :

a. -2x211x - 15 = 0

b. (2x - 5) (-x + 3) =0,

maka x = 5/2,3

c. dan d. gambar disamping

yang diminta ( 3}

3. x24x + 4 < 0

Jawaban :

a. x24x + 4 = 0

b. (x - 2)2

= 0

maka x = 2

misal x = 3 => (3 - 2)2

= 1 (+)

x = 1 => (1 - 2)2

= 1 (+)
http://1.bp.blogspot.com/-ozuZh_T6AJM/TvPJOnxg0SI/AAAAAAAAABY/Hl2Prq1dpis/s1600/grafik4.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-4oXL6FXXfNU/TvPGDwi66lI/AAAAAAAAABM/UIFYmUNUJuQ/s1600/grafik3.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-6jPmo45r1j4/TvPBgldkLOI/AAAAAAAAABA/XBVs8hxRsoQ/s1600/grafik2.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-ozuZh_T6AJM/TvPJOnxg0SI/AAAAAAAAABY/Hl2Prq1dpis/s1600/grafik4.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-4oXL6FXXfNU/TvPGDwi66lI/AAAAAAAAABM/UIFYmUNUJuQ/s1600/grafik3.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-6jPmo45r1j4/TvPBgldkLOI/AAAAAAAAABA/XBVs8hxRsoQ/s1600/grafik2.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-ozuZh_T6AJM/TvPJOnxg0SI/AAAAAAAAABY/Hl2Prq1dpis/s1600/grafik4.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-4oXL6FXXfNU/TvPGDwi66lI/AAAAAAAAABM/UIFYmUNUJuQ/s1600/grafik3.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-6jPmo45r1j4/TvPBgldkLOI/AAAAAAAAABA/XBVs8hxRsoQ/s1600/grafik2.jpg


14/14

c. dan d. gambar disampingyang diminta (

Modul Sa Mat 1

Documents

Transcript of Modul Sa Mat 1