Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

46
MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA KOMPUTASI (FA225611) Oleh : I Wayan Sumarjaya, S.Si., MStats. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA SEMESTER GENAP 2015/2016

Transcript of Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

Page 1: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA KOMPUTASI(FA225611)

Oleh :I Wayan Sumarjaya, S.Si., MStats.

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANASEMESTER GENAP 2015/2016

Page 2: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

KATA PENGANTAR

Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611) merupakan panduan praktikum untuk mata kuliahStatistika Komputasi (FA225620). Praktikum 1 berisi materi tentang ukuran-ukuran statistik untuk data.Kemudian deskripsi data berupa menampilkan data kuantitatif dan kualitatif dilakukan pada Praktikum2. Materi peluang dibahas pada Praktikum 3–6.

Materi sebaran pengambilan sampel dibahas pada Praktikum 7–10. Kemudian praktikum diakhiridengan materi uji hipotesis pada Praktikum 11.

Akhir kata semogamodul ini bermanfaat bagi mahasiswa yangmengambil mata kuliah statistika kom-putasi. Segala kritik dan saran guna perbaikanmodul ini harap dikirim via email ke [email protected].

Bukit Jimbaran, Februari 2016

Penulis

i

Page 3: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i

DAFTAR ISI ii

DAFTAR GAMBAR iv

DAFTAR TABEL v

PRAKTIKUM 1. Ukuran-ukuran Statistik untuk Data 11.1 Pengantar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Memulai R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Operasi-operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Operasi-operasi lainnya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Penamaan variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Memasukkan data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Ukuran-ukuran statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Mengakhiri sesi R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

PRAKTIKUM 2. Deskripsi Data 92.1 Menampilkan Data Kuantitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Plot batang-daun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Tabel frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.4 Poligon frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.5 Box plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Menampilkan Data Kualitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1 Membuat diagram lingkaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Diagram batang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

PRAKTIKUM 3. Peluang 173.1 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

PRAKTIKUM 4. Peluang (Bagian Kedua) 204.1 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

PRAKTIKUM 5. Peluang (Bagian Kedua) 23

PRAKTIKUM 6. Peluang (Bagian Kedua) 256.1 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Penghitungan dengan R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.2.1 Sebaran Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

ii

Page 4: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

DAFTAR ISI iii

6.2.2 Sebaran Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2.3 Sebaran Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

PRAKTIKUM 7. Sebaran Pengambilan Sampel 287.1 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

PRAKTIKUM 8. Sebaran Pengambilan Sampel(Bagian Kedua) 30

8.1 Perhitungan Menggunakan R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.2 Latihan Lanjutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

PRAKTIKUM 9. Sebaran Pengambilan Sampel(Bagian Ketiga) 33

PRAKTIKUM 10. Sebaran Pengambilan Sampel(Bagian Keempat) 35

10.1 Penggunaan R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

PRAKTIKUM 11. Uji Hipotesis 38

DAFTAR PUSTAKA 40

Page 5: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Tampilan perangkat lunak R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Gambar 1.2 Konfirmasi kotak dialog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Gambar 2.1 Histogram serangga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Gambar 2.2 Histogram serangga sesuai dengan interval yang diinginkan. . . . . . . . . . . . . . 13Gambar 2.3 Poligon frekuensi serangga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Gambar 2.4 Plot kotak (box plot)serangga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Gambar 2.5 Diagram lingkaran data obat antidepresan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Gambar 2.6 Diagram lingkaran data obat antidepresan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

iv

Page 6: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Situasi I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Tabel 4.2 Situasi II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

v

Page 7: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 1Ukuran-ukuran Statistik untuk Data

Kompetensi DasarMemahami ukuran statistik untuk data

Indikator Pencapaian

1. memahami pengertian tentang parameter dan statistik;

2. memahami pengertian ukuran pemusatan data dan mengetahui berbagai jenis ukuran pemusa-tan data yang ada serta penggunaannya;

3. memahami pengertian ukuran penyebaran data dan mengetahui berbagai jenis ukuran penye-baran data yang ada serta penggunaannya.

Materi Pokok

1. Definisi parameter dan statistik

2. Ukuran pemusatan data

3. Ukuran keragaman data

1.1 PengantarPada praktikum ini kita akan menggunakan perangkat lunak bebas (free) dan atau open source R . Tidakseperti perangkat lunak SPSS, Minitab atau paket lunak komersial lainnya yang berbasiskan graphicaluser interface (GUI), perangkat lunak ini merupakan perangkat lunak yang biasanya digunakan denganmengetikkan perintah secara interaktif pada konsol. Namun demikian, R juga memiliki antarmuka grafisdenganmenginstal pustaka (library) tambahan. Pada praktikum ini dan praktikum-praktikum selanjutnyakita akan menggunakan R secara interaktif pada konsol.

Sebelum kita menggunakan R terlebih dahulu buat folder pada drive khusus data atau drive yangmana kita mempunyai akses. Misalkan kita membuat folder pada drive D dengan nama statkom. Ke-mudian, buat lagi subfolder pada statkom, beri nama, misalnya prak-01. Sangat disarankan Andamembuat subfolder setiap kali melakukan praktikum, sehingga memudahkan manajemen analisis datadan melihat kembali setiap praktikum yang Anda lakukan sebagai bahan dalam membuat Laporan Prak-tikum. Diasumsikan Anda telah membuat folder berikut:

D:\statkom\prak-01

1

Page 8: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 1. UKURAN-UKURAN STATISTIK UNTUK DATA 2

1.2 Memulai RSetelah Anda berhasil menginstal R , akan muncul tampilan seperti pada Gambar berikut (tergantungkepada versi R yang diinstal pada komputer).

Gambar 1.1: Tampilan perangkat lunak R .

Begitu Anda memulai R akan muncul tampilan berikut.

R version 3.2.2 (2015-08-14) -- "Fire Safety"Copyright (C) 2015 The R Foundation for Statistical ComputingPlatform: i386-w64-mingw32/i386 (32-bit)

R is free software and comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY.You are welcome to redistribute it under certain conditions.Type ’license()’ or ’licence()’ for distribution details.

Natural language support but running in an English locale

R is a collaborative project with many contributors.Type ’contributors()’ for more information and’citation()’ on how to cite R or R packages in publications.

Type ’demo()’ for some demos, ’help()’ for on-line help, or’help.start()’ for an HTML browser interface to help.Type ’q()’ to quit R.

[Previously saved workspace restored]

>

Tanda >menunjukkan konsulR . Langkah selanjutnya adalahmempersiapkan direktori kerja, yaitu D:\statkom\prak-01,dengan perintah

> setwd("D:/statkom/prak-01")

Page 9: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 1. UKURAN-UKURAN STATISTIK UNTUK DATA 3

> getwd()[1] "D:/statkom/prak-01"

Setelah itu kalau Anda memulai sesi R baru pastikan Anda membersihkan semua objek. Hal inibertujuan untuk menghindari nama objek yang sama sesi R sebelumya, misalnya nama variabel x atau yyang biasa digunakan dan nilainya belum tentu nilai yang dimaksud. Hal ini tentu saja tidak berlaku jikaAndamemang inginmelanjutkan sesiR sebelumnya. Untukmembersihkan ataumenghapus semua objekklik Misc, lalu Remove all objects. Pada konfirmasi Are you sure? klik Yes. Untuk memastikansemua objek telah dibersihkan ketikkan pada konsol:

> ls()character(0)> objects()character(0)

Luaran charater(0) menunjukkan sudah tidak ada objek atau objek yang sebelumnya sudah dihapus.

1.2.1 Operasi-operasi matematikaOperasi-operasi matematika dapat dilakukan seperti halnya menggunakan kalkulator. Contoh-contohberikut adalah operasi-operasi matematika yang disertai komentar #:

> 12 + 23 # penjumlahan[1] 35> 12 * 23 # perkalian[1] 276> 12/23 # pembagian[1] 0.5217391> 12 - 23 # pengurangan[1] -11> log(10) # logaritma natural[1] 2.302585> log10(10) # logaritma basis 10[1] 1> sqrt(8) # akar 8[1] 2.828427> 8^2 # 8 dikuadratkan[1] 64

1.2.2 Operasi-operasi lainnyaBerikut ini adalah beberapa fungsi lain R yang sering digunakan:

> rep(3,4) # mengulang 3 sebanyak 4 kali[1] 3 3 3 3> rep(4,3) # mengulang 4 sebanyak 3 kali[1] 4 4 4> seq(1,10) # membuat barisan bilangan dari 1 s.d 10[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10> seq(1,10,by=2) # membuat barisan bilangan dari 1 s.d 10 dengan kenaikan 2[1] 1 3 5 7 9

Tentu saja ada ratusan fungsi R yang lain. Namun, kita hanya menggunakan yang perlu dan relevandengan praktikum ini saja.

Page 10: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 1. UKURAN-UKURAN STATISTIK UNTUK DATA 4

1.2.3 Penamaan variabelNama variable bersifat sensitif, artinya huruf besar dan huruf kecil dibedakan. Sebagai contoh namavariabel mhs, MHS, mHs, dan Mhs adalah berbeda. Dan setiap variabel dapat ditugaskan (diberikan) suatunilai atau variabel lain. Penugasan ini disimbolkan <-, =, atau -> tergantung kepada arah penugasan.

> mhs <- 20 # mhs diberi nilai 20> mhs[1] 20> mhs = 30 # mhs diberi nilai 30> mhs[1] 30> 35 -> mhs # sekarang diberi nilai 35> mhs[1] 35> MHS # tidak ditemukan atau belum adaError: object ’MHS’ not found> Mhs # tidak ditemukan atau belum adaError: object ’Mhs’ not found> mHs # tidak ditemukan atau belum adaError: object ’mHs’ not found

Nilai dari suatu variabel adalah nilai terakhir yang ditugaskan. Pada contoh di atas, nilai mhs padaawalnya adalah 20. Namun, setelah mendapat dua kali penugasan (30 dan 35) nilai terakhirnya adalah35. Dengan demikian mhs bernilai 35. Untuk melakukan penghitungan-penghitungan matematika kitadapat menggunakan fungsi seperti pada contoh di atas. Misalnya log untuk menghitung logaritma atausqrt untuk menghitung akar kuadrat.

1.2.4 Memasukkan dataMemasukkan data pada R dapat dilakukan dengan beberapa metode. Metode pertama dengan menggu-nakan fungsi c.

> x <- c(2,5,6,10,9) # memasukkan data dan simpan pada variabel x> x # melihat nilai-nilai variabel x[1] 2 5 6 10 9> x[1] # mengakses elemen ke-1 dari x[1] 2> x[3] # mengakses elemen ke-3 dari x[1] 6> x[2:4] # mengakses elemen ke-2 s.d ke 4 dari x[1] 5 6 10> x[-1] # mengakses x, tetapi tanpa elemen ke-1[1] 5 6 10 9> x[-c(2,4)] # mengakses x, tetapi tanpa elemen ke 2 dan 4[1] 2 6 9> x[-(1:3)] # mengakses x, tetapi tanpa elemen ke 1 s.d. 3[1] 10 9

Sekarang misalkan kita mempunyai data tinggi badan 10 orang mahasiswa (dalam cm).

> # variabel tb akan berisi data tinggi badan 10 orang mahasiswa> # length(tb) menghitung panjang tb, dalam hal ini ukuran sampel tb> tb <- c(165,168,170,159,165,168,175,180,170,160)

Page 11: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 1. UKURAN-UKURAN STATISTIK UNTUK DATA 5

> length(tb) # menghitung banyaknya data[1] 10> tb # mengakses data tinggi badan[1] 165 168 170 159 165 168 175 180 170 160

Fungsi c efektif untuk data yang jumlahnya sedikit. Untuk data dalam jumlah yang besar, fungsi lainyang dapat digunakan adalah scan. Fungsi scan ini digunakan untuk data dalam jumlah yang besar dantidak memiliki kepala (header) dan data tersimpan dalam suatu berkas teks.

Sebagai contoh berikut ini adalah data lebar sayap serangga rumah tersimpan dalam berkas serangga.txtdengan bentuk seperti berikut.

3.63 3.71 3.83 3.86 3.91 3.99 4.05 4.09 4.09 4.094.01 4.11 4.13 4.15 4.15 4.16 4.23 4.24 4.25 4.264.27 4.28 4.29 4.30 4.33 4.35 4.38 4.39 4.39 4.394.40 4.40 4.42 4.43 4.46 4.47 4.47 4.48 4.50 4.504.52 4.53 4.54 4.56 4.57 4.58 4.59 4.59 4.59 4.594.60 4.61 4.61 4.61 4.62 4.63 4.64 4.65 4.68 4.694.72 4.73 4.73 4.74 4.74 4.76 4.78 4.80 4.80 4.804.81 4.81 4.84 4.86 4.86 4.87 4.88 4.91 4.91 4.974.99 4.99 4.99 5.00 5.00 5.03 5.08 5.08 5.08 5.085.10 5.13 5.15 5.20 5.26 5.27 5.34 5.38 5.40 5.57

Memasukkan data serangga dapat dilakukan dengan perintah berikut.

> serangga <- scan("serangga.txt") # memasukkan dataRead 100 items> # data serangga.txt ini tersimpan pada direktori kerja Anda> # jika tidak demikian Anda harus mengisi lokasi file

Untuk data yang berisi kepala, kita dapat menggunakan fungsi read.table. Berikut adalah cup-likan data waktu tunggu antar erupsi dan lama erupsi Old Faithful geyser di Yellowstone National Park,Wyoming, USA.

erupsi waktu3.600 791.800 543.333 742.283 624.533 852.883 554.700 883.600 851.950 514.350 851.833 543.917 844.200 781.750 474.700 832.167 521.750 624.800 841.600 524.250 79

Page 12: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 1. UKURAN-UKURAN STATISTIK UNTUK DATA 6

Untuk memasukkan data dengan read.table:

> erupsi <- read.table("erupsi.txt",header=T)> # header=T berarti mengikutkan kepala, jika tidak ingin> # gunakan header=F> erupsi

erupsi waktu1 3.600 792 1.800 543 3.333 744 2.283 625 4.533 856 2.883 557 4.700 888 3.600 859 1.950 5110 4.350 8511 1.833 5412 3.917 8413 4.200 7814 1.750 4715 4.700 8316 2.167 5217 1.750 6218 4.800 8419 1.600 5220 4.250 79

1.3 Ukuran-ukuran statistikPada bagian ini kita akan menghitung nilai rata-rata, median, varians, simpangan baku, rentang, dankuartil untuk data serangga.

> summary(serangga) # ringkasan dataMin. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.3.630 4.345 4.595 4.603 4.863 5.570> fivenum(serangga) # sama dengan summary(serangga)[1] 3.630 4.340 4.595 4.865 5.570> mean(serangga) # rata-rata serangga[1] 4.6028> var(serangga) # varians serangga[1] 0.1557719> sd(serangga) # simpangan baku serangga[1] 0.3946795> median(serangga) # median serangga[1] 4.595> range(serangga) # rentang serangga (belum dihitung)[1] 3.63 5.57> # untuk menghitung rentang sesungguhnya kita perlu> # mengurangkan 5.57 dengan 3.63> rentang.serangga <- range(serangga)[2] - range(serangga)[1]> rentang.serangga

Page 13: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 1. UKURAN-UKURAN STATISTIK UNTUK DATA 7

[1] 1.94> # cara lain menghitung rentang> rentang2 <- max(serangga) - min(serangga) # cara lain menghitung rentang> rentang2[1] 1.94> # menghitung kuantil ketiga dan kuantil pertama> quantile(serangga,0.75) # kuantil ketiga75%4.8625> quantile(serangga,0.25) # kuantil pertama25%4.345> # menghitung rentang antar kuantil> # untuk menghitung skewness dan kurtosis> # dengan menginstal pustaka moments> # caranya install.packages("moments")> # tetapi Anda harus konek ke Internet> library(moments)> skewness(serangga)[1] -0.03259344> kurtosis(serangga)[1] 2.715839

1.4 Mengakhiri sesi RKemudian Anda dapat mengakhiri sesi penggunaan R dengan mengklik menu File lalu menu Exitatau dengan mengetikkan q() pada konsol. Berikut adalah tampilan konfirmasi kotak dialog pada saatmengakhiri sesi: Ingat untuk selalu menyimpan sesi R dengan memilih Yes.

Gambar 1.2: Konfirmasi kotak dialog.

1.5 LatihanUntuk setiap data yang diberikan berikut hitunglah rata-rata, median, nilai minimum, nilai maksimum,rentang, varians, simpangan baku, kuartil pertama, kuartil ketiga, rentang antarkuartil, kurtosis, dankepencongan.

1. Berikut ini adalah berat badan burung jantan Phaethon rubricauda, suatu burung yang sangatlangka di beberapa pula sepanjang pantai Queensland, Australia. Berat badan burung jantan (dalamkg) adalah sebagai berikut: 2,86; 2,65; 2,75; 2,60; 2,30; 2,49; dan 2,84. [Sumber data: Glover andMitchell (2002)]

2. Berikut ini adalah data dari percobaan kimia untuk mempersiapkan kurva standar dalam menen-tukan formaldehida denganmenambahkan asam kromatropik dan asam sulfur terkonsentrasi. [Sum-ber data: R library data sets] dengan carb adalah karbohidrat (ml) dan optden adalah densitas op-tikal.

Page 14: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 1. UKURAN-UKURAN STATISTIK UNTUK DATA 8

carb optden

0,1 0,0860,3 0,2690,5 0,4460,6 0,5380,7 0,6260,9 0,782

3. Berikut ini adalah data panjang daun kelopak Iris setosa (dalam cm). Data ini merupakan cup-likan 50 data yang diambil dari data yang dikumpulkan oleh R. A. Fisher (1936) dan E. Anderson.[Fisher, R. A. (1936) The use of multiple measurements in taxonomic problems. Annals of Eugen-ics, 7, Part II, 179–188. dan Anderson, E.(1935). The irises of the Gaspe Peninsula, Bulletin of theAmerican Iris Society, 59, 2–5.]

5,1 4,9 4,7 4,6 5,0 5,4 4,6 5,0 4,4 4,95,4 4,8 4,8 4,3 5,8 5,7 5,4 5,1 5,7 5,15,4 5,1 4,6 5,1 4,8 5,0 5,0 5,2 5,2 4,74,8 5,4 5,2 5,5 4,9 5,0 5,5 4,9 4,4 5,15,0 4,5 4,4 5,0 5,1 4,8 5,1 4,6 5,3 5,0

Page 15: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 2Deskripsi Data

Kompetensi DasarMelakukan pendeskripsian data

Indikator Pencapaian

1. menguraikan sebaran frekuensi;

2. menyajikan data dalam bentuk grafik.

Materi Pokok

1. Sebaran frekuensi

2. Penyajian grafik

3. Kesetangkupan dan kemenjuluran

Pada praktikum ini kita akan mempelajari bagaimana menampilkan data kuantitatif yang meliputi plotbatang-daun, tabel frekuensi, histogram, box plot, dan poligon frekuensi. Selain itu kita juga akanmenampilkan data kualitatif berupa tabel frekuensi, bagan lingkaran, dan bagan batang.

2.1 Menampilkan Data Kuantitatif

2.1.1 Plot batang-daunLihat kembali data serangga pada Praktikum sebelumnya. Jika Anda belum memasukkan data silakangunakan perintah scan. Misalkan Anda telah menyimpan data ini dengan nama serangga:

> serangga[1] 3.63 3.71 3.83 3.86 3.91 3.99 4.05 4.09 4.09 4.09 4.01 4.11 4.13 4.15 4.15[16] 4.16 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 4.33 4.35 4.38 4.39 4.39 4.39[31] 4.40 4.40 4.42 4.43 4.46 4.47 4.47 4.48 4.50 4.50 4.52 4.53 4.54 4.56 4.57[46] 4.58 4.59 4.59 4.59 4.59 4.60 4.61 4.61 4.61 4.62 4.63 4.64 4.65 4.68 4.69[61] 4.72 4.73 4.73 4.74 4.74 4.76 4.78 4.80 4.80 4.80 4.81 4.81 4.84 4.86 4.86[76] 4.87 4.88 4.91 4.91 4.97 4.99 4.99 4.99 5.00 5.00 5.03 5.08 5.08 5.08 5.08[91] 5.10 5.13 5.15 5.20 5.26 5.27 5.34 5.38 5.40 5.57

Untuk membuat plot batang daun kita gunakan perintah stem.

> stem(serangga) # plot batang-daun

9

Page 16: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 2. DESKRIPSI DATA 10

The decimal point is 1 digit(s) to the left of the |

36 | 3138 | 361940 | 159991355642 | 3456789035899944 | 0023677800234678999946 | 0111234589233446848 | 000114667811799950 | 003888803552 | 0674854 | 07

Apa yang bisa Anda amati dari plot batang daun ini?

2.1.2 Tabel frekuensiTerlebih dahulu tentukan rentang, kemudian tentukan banyak kelas yang diinginkan.

> max(serangga) # nilai maksimum serangga[1] 5.57> min(serangga) # nilai minimum serangga[1] 3.63> max(serangga)-min(serangga) # rentang serangga[1] 1.94> # kita menginginkan 5 kelas> (max(serangga)-min(serangga))/5[1] 0.388> # membuat panjang kelas> breaks <- seq(3.63, 5.57, by=0.388)> # kita membuat interval di kanan terbuka> serangga.cut <- cut(serangga,breaks,right=FALSE)> serangga.cut[1] [3.63,4.02) [3.63,4.02) [3.63,4.02) [3.63,4.02) [3.63,4.02) [3.63,4.02)[7] [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [3.63,4.02) [4.02,4.41)[13] [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41)[19] [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41)[25] [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.02,4.41)[31] [4.02,4.41) [4.02,4.41) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79)[37] [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79)[43] [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79)[49] [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79)[55] [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79)[61] [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79) [4.41,4.79)[67] [4.41,4.79) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18)[73] [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18)[79] [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18)[85] [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18)[91] [4.79,5.18) [4.79,5.18) [4.79,5.18) [5.18,5.57) [5.18,5.57) [5.18,5.57)[97] [5.18,5.57) [5.18,5.57) [5.18,5.57) <NA>Levels: [3.63,4.02) [4.02,4.41) [4.41,4.79) [4.79,5.18) [5.18,5.57)> # menghitung frekuensi

Page 17: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 2. DESKRIPSI DATA 11

> serangga.frek <- table(serangga.cut)> serangga.frekserangga.cut[3.63,4.02) [4.02,4.41) [4.41,4.79) [4.79,5.18) [5.18,5.57)7 25 35 26 6> # menampilan tabel frekuensi agar lebih nyaman dibaca> cbind(serangga.frek)serangga.frek[3.63,4.02) 7[4.02,4.41) 25[4.41,4.79) 35[4.79,5.18) 26[5.18,5.57) 6

Anda bisa mencoba nilai-nilai yang lain. Sebagai contoh:

> breaks2 <- seq(3.63,5.57,by=0.5) # lebar interval 0,5> serangga.cut2 <- cut(serangga,breaks2,right=FALSE) # interval terbuka di kanan> serangga.frek2 <- table(serangga.cut2) # menghitung frekuensi> cbind(serangga.frek2)serangga.frek2[3.63,4.13) 12[4.13,4.63) 43[4.63,5.13) 36

Bagaimana dengan tabel distribusi frekuensi relatif? Tabel ini bisa dibuat dengan perintah prop.tableseperti berikut:

> # frekuensi relatif> serangga.relfrek <- prop.table(serangga.frek)> serangga.relfrekserangga.cut[3.63,4.02) [4.02,4.41) [4.41,4.79) [4.79,5.18) [5.18,5.57)0.07070707 0.25252525 0.35353535 0.26262626 0.06060606> # menampilkan frekuensi relatif agar lebih nyaman dibaca> cbind(serangga.relfrek)serangga.relfrek[3.63,4.02) 0.07070707[4.02,4.41) 0.25252525[4.41,4.79) 0.35353535[4.79,5.18) 0.26262626[5.18,5.57) 0.06060606

Sekarang kita akanmembuat tabel distribusi frekuensi kumulatif dengan perintah cumsum sebagai berikut:

> ## frekuensi kumulatif> serangga.kumfrek <- cumsum(serangga.relfrek)> serangga.kumfrek[3.63,4.02) [4.02,4.41) [4.41,4.79) [4.79,5.18) [5.18,5.57)0.07070707 0.32323232 0.67676768 0.93939394 1.00000000> ## menampilkan frekuensi kumulatif agar lebih nyaman dibaca> cbind(serangga.kumfrek)serangga.kumfrek[3.63,4.02) 0.07070707

Page 18: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 2. DESKRIPSI DATA 12

[4.02,4.41) 0.32323232[4.41,4.79) 0.67676768[4.79,5.18) 0.93939394[5.18,5.57) 1.00000000

Sekarang kita akan gabung ketiga tabel frekuensi tersebut di atas.

> cbind(serangga.frek,serangga.relfrek,serangga.kumfrek)serangga.frek serangga.relfrek serangga.kumfrek[3.63,4.02) 7 0.07070707 0.07070707[4.02,4.41) 25 0.25252525 0.32323232[4.41,4.79) 35 0.35353535 0.67676768[4.79,5.18) 26 0.26262626 0.93939394[5.18,5.57) 6 0.06060606 1.00000000

Silakan Anda coba bereskperimen dengan nilai-nilai yang lain.

2.1.3 HistogramUntuk membuat histogram, gunakan perintah hist. Sebagai contoh histogram untuk data seranggaadalah sebagai berikut. Perintah hist akan membuat histogram dengan panjang kelas dan jumlah kelas

Histogram of serangga

serangga

Fre

quen

cy

4.0 4.5 5.0 5.5

05

1015

Gambar 2.1: Histogram serangga.

yang ditentukan secara default oleh R . Untuk membuat histogram berdasarkan panjang kelas yang telahditentukan dapat menggunakan perintah berikut.

2.1.4 Poligon frekuensiUntuk membuat poligon frekuensi kita tinggal menambahkan garis-garis yang menghubungkan titik-titiktengah pada histogram.

> ## menyimpan nilai-nilai dari histogram> ## agar bisa digunakan untuk membuat garis> tmp = hist(serangga,breaks=c(3.63,4.02,4.41,4.79,5.18,5.57),probability=FALSE)Warning message:In plot.histogram(r, freq = freq1, col = col, border = border, angle = angle, :the AREAS in the plot are wrong -- rather use ’freq = FALSE’> tmp$breaks

Page 19: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 2. DESKRIPSI DATA 13

Histogram of serangga

serangga

Fre

quen

cy

4.0 4.5 5.0 5.5

05

1015

2025

3035

Gambar 2.2: Histogram serangga sesuai dengan interval yang diinginkan.

[1] 3.63 4.02 4.41 4.79 5.18 5.57

$counts[1] 7 25 35 26 7

$density[1] 0.1794872 0.6410256 0.9210526 0.6666667 0.1794872

$mids[1] 3.825 4.215 4.600 4.985 5.375

$xname[1] "serangga"

$equidist[1] FALSE

attr(,"class")[1] "histogram"> ## membuat garis poligon> lines(c(min(tmp$breaks),tmp$mids,max(tmp$breaks)),c(0,tmp$counts,0),type="l")

Gambar poligon frekuensi yang diperoleh adalah sebagai berikut:

2.1.5 Box plotPlot kotak (box plot) dapat dibuat dengan perintah boxplot seperti pada sintaks berikut:

> boxplot(serangga)

Page 20: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 2. DESKRIPSI DATA 14

Histogram of serangga

serangga

Fre

quen

cy

4.0 4.5 5.0 5.5

05

1015

2025

3035

Gambar 2.3: Poligon frekuensi serangga.

4.0

4.5

5.0

5.5

Gambar 2.4: Plot kotak (box plot)serangga.

2.2 Menampilkan Data KualitatifLihat kembali data jumlah tiga jenis obat antidepressan A, B, dan C berikut.

Antidepressan Jumlah

A 60B 50C 55

Page 21: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 2. DESKRIPSI DATA 15

2.2.1 Membuat diagram lingkaranMembuat diagram lingkaran dapat dilakukan dengan mengetikkan perintah pie. Lihat gambar berikut:

> ## Obat antidepressan> ## Misalkan A = 1, B = 2, C = 3> ## tujuannya adalah untuk menghitung banyaknya frekuensi> obat.A <- rep(1,60) # A ada sebanyak 60> obat.B <- rep(2,50) # B ada sebanyak 50> obat.C <- rep(3,55) # C ada sebanyak 55> obat.antidepressan <- c(obat.A,obat.B,obat.C) # gabung> tabel.antidep <- table(obat.antidepressan)> tabel.antidep # Melihat masing-masing obatobat.antidepressan1 2 360 50 55> pie(tabel.antidep) # membuat diagram lingkaran> names(tabel.antidep) <- c("A","B","C") # memberi label nama> pie(tabel.antidep) # membuat diagram lingkaran yang diberi label nama

1

2

3

A

B

C

Gambar 2.5: Diagram lingkaran data obat antidepresan.

2.2.2 Diagram batangUntuk membuat diagram batang gunakan perintah barplot. Untuk contoh ini

>barplot(tabel.antidep)

2.3 LatihanGunakan data pada Praktikum 1, kemudian buatlah plot batang-daun, distribusi frekuensi, histogram, danpoligon frekuensi.

Page 22: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 2. DESKRIPSI DATA 16

A B C

010

2030

4050

60

Gambar 2.6: Diagram lingkaran data obat antidepresan.

Page 23: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 3Peluang

Kompetensi DasarMemahami konsep peluang

Indikator Pencapaian

1. menguraikan ruang contoh,

2. menjelaskan kejadian,

3. mencacah titik contoh,

4. menentukan peluang suatu kejadian,

5. menjelaskn kaidah penjumlahan,

6. menghitung peluang bersyarat,

7. menjelaskan kaidah penggandaan,

8. menguraikan kaidah Bayes.

Materi Pokok

1. Menguraikan ruang contoh

2. Menjelaskan kejadian

3. Mencacah titik contoh

4. Peluang suatu kejadian

5. Kaidah penjumlahan

6. Peluang bersyarat

7. Kaidah penggandaan

8. Kaidah Bayes

Pada praktikum ini kita akan membahas penggunaan R untuk membantu penghitungan peluang. Untukperhitungan-perhitungan peluang biasa, penggunaan R seperti penggunaan kalkulator. Namun, untukpenghitungan faktorial n!, permutasi, dan kombinasi R mempunyai fungsi factorial() dan choose().

17

Page 24: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 3. PELUANG 18

Fungsi factorial(), sesuai namanya, berguna untuk menghitung nilai factorial

n! = n(n − 1)(n − 2)⋯ 2 ⋅ 1. (3.1)

> factorial(0) # 0![1] 1> factorial(1) # 1![1] 1> factorial(3) # 3![1] 6> factorial(10) # 10![1] 3628800> factorial(20) # 20![1] 2.432902e+18> factorial(50) # 50![1] 3.041409e+64> factorial(100) # 100![1] 9.332622e+157

Untuk menghitung kombinasi kita dapat menggunakan fungsi choose(n,k) yang akan menghitung

nCk =n!

k!(n − k)!. (3.2)

Sebagai contoh untuk menghitung

5C2, 10C3, 100C3 (3.3)

kita dapat mengetikkan perintah

> choose(5,2)[1] 10> choose(10,3)[1] 120> choose(100,3)[1] 161700

Fungsi dasarR tidakmempunyai fungsi khusus untukmenghitung permutasi nPk, namun kita bisamenghi-tung permutasi dari hubungan

nPk = n!nCk. (3.4)

Sebagai contoh untuk menghitung

5P2, 10P3, 100C3 (3.5)

kita dapat mengetikkan perintah:

> factorial(2)*choose(5,2)[1] 20> factorial(3)*choose(10,3)[1] 720> factorial(3)*choose(100,3)[1] 970200

Page 25: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 3. PELUANG 19

3.1 LatihanSoal nomor 3– 6 diadaptasi dari Ott and Longnecker (2001).

1. Hitunglah:

a) 9!

b) 7P3c) 6P6d) 9C4

e) 8C3

2. Berapakah n jika

a)(

n2

)

= 21,

b)(

n2

)

= 105.

3. Sebuah uang logam dilemparkan sebanyak tiga kali. Daftar semua hasil yang mungkin dari padasetiap lemparan (hasil pada lemparan pertama, hasil pada lemparan kedua, dan dan hasil padalemparan ketiga).

4. Asumsikan bahwa masing-masing hasil dari pelemparan pada soal nomor 3 memiliki peluangmuncul 1∕8.

a) A: mengamati dengan tepat satu muka,b) B: mengamati satu atau lebih muka,c) C: tidak muncul kepala

5. Lihat kembali soal nomor 4 hitunglah.

a) Komplemen kejadian A, B, dan C;b) Apakah kejadian A dan B saling hindar?c) Hitunglah P (A|B), P (A|C), dan P (B|C).d) Apakah kejadian A dan B saling bebas? Kenapa atau kenapa tidak? Bagaimana dengan A

dan C? Bagaimana pula dengan B dan C?

6. Sebuah dadu dilemparkan dan kitamengamatimunculnyamata dadu. Carilah peluang dari kejadian-kejadian berikut:

a) A: mengamati munculnya 6,b) B: mengamati sebuah angka genap,c) C: mengamati angka yang lebih besar daripada 2,d) D: mengamati angka yang lebih besar dari 2 dan angka genap.e) Kejadian manakah di antar A, B, dan C yang saling bebas? Yang mana pula saling hindar?

Page 26: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 4Peluang (Bagian Kedua)

Kompetensi DasarMemahami konsep peluang

Indikator Pencapaian

1. menguraikan ruang contoh,

2. menjelaskan kejadian,

3. mencacah titik contoh,

4. menentukan peluang suatu kejadian,

5. menjelaskn kaidah penjumlahan,

6. menghitung peluang bersyarat,

7. menjelaskan kaidah penggandaan,

8. menguraikan kaidah Bayes.

Materi Pokok

1. Menguraikan ruang contoh

2. Menjelaskan kejadian

3. Mencacah titik contoh

4. Peluang suatu kejadian

5. Kaidah penjumlahan

6. Peluang bersyarat

7. Kaidah penggandaan

8. Kaidah Bayes

Pada praktikum ini kita akan melanjutkan pembahasan tentang peluang. Latihan pada praktikum inidiambil dari soal-soal latihan pada modul.

20

Page 27: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 4. PELUANG (BAGIAN KEDUA) 21

4.1 Latihan1. Pohon ginseng Ginkgo biloba dianggap telah punah sampai akhirnya ditemukan pada awal abad ke-

20 ketika suatu populasi ditemukan di Cina timur. Tanaman ini sekarang ditanam di seluruh dunia.Tiga puluh lima persen dari spesimen tanaman ini memiliki daun yang bervariasi (berwarna-warni),sementara sisanya memiliki daun berwarna hijau. Tujuh puluh persen dari tanaman ini memilikibunga berwarna putih dan sisanya berwarna merah muda. Hanya 20% dari pohon ginseng memilikidaun yang bervariasi dan bungnya berwarna putih. (Glover and Mitchell, 2002, hlm. 41)

a) Berapakah peluang bahwa spesimen yang dikumpulkan secara acak memiliki daun bervariasiatau bunganya warna putih?

b) Berapakah peluang bahwa spesimen yang dipilih secara acak memiliki bunga berwarna putihdan daun berwarna hijau?

c) Berapakah peluang bahwa spesimen yang dikumpulkan secara acak memiliki daun berwarnahijau dan berbunga merah muda?

2. Misalkan dalam suatu perjalanan ke Guatemala seorang Anda memutuskan untuk mempelajarikumbang Stenotarsus rotundus. Populasi yangAnda selidiki terdiri dari 60% betina dan 40% jantan.Selain itu, terdapat dua warna morf, cokelat 70% dan perunggu 30%. Separuh dari kumbang adalahcokelat betina. (Glover and Mitchell, 2002, hlm. 44)

a) Berapakah peluang bahwa kumbang yang dipilih secara acak adalah cokelat atau betina?b) Jika seekor kumbang adalah betina, berapakah peluang kumbang tersebut berwarna:

i. cokelat?ii. perunggu?

c) Jika seekor kumbang adalah jantan, berapakah peluang bahwa kumbang tersebut berwarna:i. cokelat?ii. perunggu?

3. Sebaran golongan darah di Amerika Serikat adalah sebagai berikut: golongan darah A 41%, go-longan darah B 9%, golongan darah AB 4%, dan golongan darah O 46%. Diperkirakan pada saatperang dunia kedua, 4% orang dengan golongan darah O dituliskan bergolongan darah A; 88%orang dengan golongan darah A dituliskan dengan benar; 4% orang dengan golongan darah B di-tuliskan bergolongan darah A; dan 10% orang dengan golongan darah AB dituliskan bergolongandarah A. Seorang tentara yang sedang terluka akan dioperasi bedah. Tentara ini dituliskan sebagaiorang bergolongan darah A.

a) Berapakah peluang bahwa ini adalah memang benar golongan darahnya?b) Berapakah peluang bahwa seorang yang dituliskan bergolongan darah A sebenarnya adalah

bergolongan darah B?

4. Uji ELISA untuk keberadaan antibodi HIV dikembangkan pada pertengahan tahun 80-an untukmenapis sampel-sampel darah. Untuk pengujian kasus yang melibatkan sampel yang diketahuitelah terkontaminasi, ELISA melaporkan dengan benar 98%. Dalam pengujian sampel yang dike-tahui bersih, ELISA menyatakan 7% dari mereka adalah HIV-positif. Misalkan sebuah perusahaanmemiliki 10.000 karyawan dan semuanya akan ditapis untuk HIV menggunakan ELISA. Apa yangbisa kita katakan tentang sensitivitas dan spesifisitas serta nilai prediktif untuk uji tapis tersebut?Silakan lihat Tabel 4.1 dan 4.2 berikut.

Page 28: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 4. PELUANG (BAGIAN KEDUA) 22

Tabel 4.1: Situasi IDiagnosis Sesungguhnya

+ − JumlahHasil + 1.470 595 2.065Uji − 30 7.905 7.935Jumlah 1.500 8.500 10.000

Tabel 4.2: Situasi IIDiagnosis Sesungguhnya

+ − JumlahHasil + 490 665 1.150Uji − 10 8.835 8.845Jumlah 500 9.500 10.000

Page 29: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 5Peluang (Bagian Kedua)

Kompetensi DasarMemahami konsep peluang

Indikator Pencapaian

1. menjelaskan pengertian peubah acak,

2. menguraikan sebaran peluang diskret,

3. menguraikan sebarang peluang kontinu,

4. menguraikan sebaran peluang bersama,

5. menentukan nilai tengah peubah acak,

6. menentukan ragam peubah acak,

7. sifat-sifat nilai tengah dan ragam,

Materi Pokok

1. Pengertian peubah acak

2. Sebaran peluang diskret dan beberapa sebaran binom

3. Sebaran peluang kontinu

4. Sebaran peluang bersama

5. Nilai tengah peubah acak

6. Ragam suatu peubah acak

7. Sifat-sifat nilai tengah dan ragam

1. Gambarlah grafik x versus f (x) pada contoh 5.1.1 dan 5.1.2. Amati dan beri komentar.

2. Lihat kembali contoh 5.1.1. Hitunglah:

a) P (X = 5)

b) P (X < 5)

c) P (2 < X < 5)

23

Page 30: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 5. PELUANG (BAGIAN KEDUA) 24

d) P (X ≥ 5)

3. Lihat kembali tabel pada halaman 39. Kemudian buatlah grafik:

a) x versus f (x)b) x versus F (x)

Amati dan beri komentar.

Page 31: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 6Peluang (Bagian Kedua)

Kompetensi DasarMemahami konsep peluang

Indikator Pencapaian

1. menjelaskan pengertian peubah acak,

2. menguraikan sebaran peluang diskret,

3. menguraikan sebarang peluang kontinu,

4. menguraikan sebaran peluang bersama,

5. menentukan nilai tengah peubah acak,

6. menentukan ragam peubah acak,

7. sifat-sifat nilai tengah dan ragam,

Materi Pokok

1. Pengertian peubah acak

2. Sebaran peluang diskret dan beberapa sebaran binom

3. Sebaran peluang kontinu

4. Sebaran peluang bersama

5. Nilai tengah peubah acak

6. Ragam suatu peubah acak

7. Sifat-sifat nilai tengah dan ragam

Pada praktikum ini kita akan menghitung sebaran peluang secara manual dan menggunakan R .

6.1 Latihan1. Asumsikan jenis kelamin pada bayi mengikuti sebaran binomial, carilah fungsi densitas peluang

dan fungsi sebaran kumulatif jumlah perempuan di dalam keluarga berukuran 10.

25

Page 32: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 6. PELUANG (BAGIAN KEDUA) 26

2. Banyaknya kesalahan ketik per halaman dalam suatu buku anatomi memiliki sebaran Poisson. Mis-alkan 90,4% dari halaman-halaman buku tersebut tidak berisis kesalahan.

a) Berapakah nilai harapan banyaknya kesalahan per halaman?b) Berapakah peluang bahwa suatu halaman berisi paling tidak dua kesalahan?

3. Dalam suatu populasi besar, 16% orang adalah kidal. Dalam sampel acak berukuran 20 hitunglah:

a) Peluang bahwa dengan tepat dua orang adalah kidal.b) Peluang bahwa kurang dari dua adalah kidal.

4. Suatu studi skala besar tentang nustrisi menemukan bahwamasukan karbohidrat total pria Amerikausia 12 sampai 14 tahun berdistribusi normal dengan nilai tengah 124 g/1000 cal dan simpanganbaku 20 g/1000 cal.

a) Berapakah peluang bahwa anak laki-laki yang terpilih secara acak dari kelompok usia iniyang memiliki masukan kurang dari 140 g/1000 cal?

b) Berapakah peluang bahwa anak laki-laki yang terpilih secara acak dari kelompok usia iniyang memiliki masukan lebih dari atau sama dengan 130 g/1000 cal?

6.2 Penghitungan dengan R

6.2.1 Sebaran BinomialUntuk sebaran binomial kita dapat menggunakan fungsi dbinom untuk menghitung f (x) = P (X = x)dan pbinom untuk menghitung F (x) = P (X ≤ x). Sebagai contoh lihat kembali bagian 5.1.1 tentangbanyak perempuan dalam lima keluarga.

> dbinom(0,5,prob=0.5) # f(0) = P(X = 0)[1] 0.03125> dbinom(1,5,prob=0.5) # f(1) = P(X = 1)[1] 0.15625> dbinom(2,5,prob=0.5) # f(2) = P(X = 2)[1] 0.3125> dbinom(3,5,prob=0.5) # f(3) = P(X = 3)[1] 0.3125> dbinom(4,5,prob=0.5) # f(4) = P(X = 4)[1] 0.15625> dbinom(5,5,prob=0.5) # f(5) = P(X = 5)[1] 0.03125

Demikian pula untuk menghitung F (x) kita dapat menggunakan pbinom

> pbinom(0,5,prob=0.5) # F(0) = P(X <= 0)[1] 0.03125> pbinom(1,5,prob=0.5) # F(1) = P(X <= 1)[1] 0.1875> pbinom(2,5,prob=0.5) # F(2) = P(X <= 2)[1] 0.5> pbinom(3,5,prob=0.5) # F(3) = P(X <= 3)[1] 0.8125> pbinom(4,5,prob=0.5) # F(4) = P(X <= 4)[1] 0.96875> pbinom(5,5,prob=0.5) # F(5) = P(X <= 5)[1] 1

Page 33: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 6. PELUANG (BAGIAN KEDUA) 27

6.2.2 Sebaran PoissonLihat kembali Contoh 5.1.3, untuk distribusi Poisson kita dapat menggunakan dpois dan ppois.

> dpois(0,4) # f(0) = P(X=0)[1] 0.01831564> dpois(0,4)+dpois(1,4)+dpois(2,4)+dpois(3,4)+dpois(4,4)+dpois(5,4) # P(X < 6)[1] 0.7851304> dpois(3,4)+dpois(4,4)+dpois(5,4) # P(2 < X < 6)[1] 0.5470271

Dengan analogi serupa kita dapat menghitung misalnya F (3) = P (X ≤ 3):

> ppois(3,4)[1] 0.4334701

6.2.3 Sebaran NormalUntuk sebaran normal kita dapat menggunakan pnorm. Liha kembali Contoh 5.2.1. Catatan untuk meng-gunakan pnorm ada dua cara. Cara yang pertama menggunakan transformasi Z artinya pnorm secaradefault mengganggap sebaran normal baku.

> pnorm(-0.625) # P(Z < -0.625)[1] 0.2659855

Cara kedua adlaha menggunakan langsung pnorm dengan menentukan nilai tengah dan variansnya.

> pnorm(90,100,16) # P(X < 90)[1] 0.2659855

Demikian pula

> 1-pnorm(1.5) # P(Z > 1.5) = 1 - P(Z < 1.5)[1] 0.0668072> 1-pnorm(124,100,16) # P(X > 124) = 1 - P(X < 124)[1] 0.0668072

6.3 LatihanSekarang kerjakan soal Latihan 6.1 menggunakan R .

Page 34: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 7Sebaran Pengambilan Sampel

Kompetensi DasarMemahami teori pengambilan sampel

Indikator Pencapaian

1. menjelaskan sebaran penarikan sampel;

2. menjelaskan sebaran penarikan sampel bagi nilai tengah;

3. menjelaskan sebaran t;

4. menjelaskan sebaran penarikan contoh bagi beda dua nilai tengah;

5. menjelaskan teknik pengambilan sampel.

Materi Pokok

1. Sebaran pengambilan sampel

2. Sebaran pengambilan sampel bagi nilai tengah

3. Sebaran t

4. Sebaran pengambilan sampel bagi beda dua nilai tengah

5. Teknik pengambilan sampel

Pada praktikum ini kita akan menghitung sebaran sebaran pengambilan sampel secara manual dan meng-gunakan R .

7.1 Latihan1. Suatu sampel acak berukuran 9 diambil secara berulang dari suatu distribusi normal dengan nilai

tengah 65 dan simpangan baku 18. Carilah sebaran pengambilan sampel dari X̄.

2. Perjalanan antara dua kampus dari suatu universitas dalam suatu kota dengan shuttle bus memer-lukan waktu rata-rata 28 menit dengan simpangan baku 5 menit. Dalam seminggu, sebuah busmenggangkut penumpang 40 kali. Berapakah peluang bahwa rata-rata tempuh lebih dari 30 menit?Asumsikan bahwa nilai tengah waktu diukur dalam menit terdekat.

3. Tinggi dari 1000 siswa mendekati sebaran normal dengan nilai tengah 174,5 cm dan simpanganbaku 6,9cm. Misalkan 200 sampel acak berukuran 25 diambil dari populasi ini. Hitunglah:

28

Page 35: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 7. SEBARAN PENGAMBILAN SAMPEL 29

a) nilai tengah dan simpangan baku dari distribusi pengambilan sampel X̄;b) banyaknya nilai tengah sampel yang berada di antara 172,5 dan 175,8 cm;c) banyaknya nilai tengah sampel yang lebih kecil dari 172 cm.

4. Seorang spesialis dermatologimenyelidiki suatu jenis tertentu kanker kulit, menginduksikan kankerpada sembilan tikus dan kemudian memberi perlakuan berupa obat percobaan baru. Untuk setiaptikus ia mencatat waktu (jam) sampai remisi dari kanker. Tikus-tikus tersebut memiliki nilai tengahremisi 400 jam dan simpangan baku 30 jam. Hitung selang kepercayaan 95% untuk � dan �2 daridata ini.

5. Seorang ahli toksikologi hidupan liar (wildlife toxicologist) mempelajari efek polusi pada ekosistemalami mengukur konsentrasi logam berat pada darah dari singa laut Galapagos, Zalophus califor-nianus. Singa laut yang terambil semuanya betina dan berumur 3 sampai 5 tahun. Nilai tengahkonsentrasi logam berat adalah 6,2�∕l dan simpangan baku 1,5�∕l. Hitunglah selang kepercayaan95% untuk nilai tengah populasi dan varians populasi.

6. Isi kafein (dalam miligram) diuji dari suatu sampel acak 50 kopi hitam pada suatu mesin baru.Nilai tengah dan simpangan bakunya adalah 110 mg dan 7,1 mg. Gunakan data ini untuk membuatselang kepercayaan 98% untuk � dan �2.

Page 36: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 8Sebaran Pengambilan Sampel

(Bagian Kedua)

Kompetensi DasarMemahami teori pengambilan sampel

Indikator Pencapaian

1. menjelaskan sebaran penarikan sampel;

2. menjelaskan sebaran penarikan sampel bagi nilai tengah;

3. menjelaskan sebaran t;

4. menjelaskan sebaran penarikan contoh bagi beda dua nilai tengah;

5. menjelaskan teknik pengambilan sampel.

Materi Pokok

1. Sebaran pengambilan sampel

2. Sebaran pengambilan sampel bagi nilai tengah

3. Sebaran t

4. Sebaran pengambilan sampel bagi beda dua nilai tengah

5. Teknik pengambilan sampel

Pada praktikum ini kita akan menghitung sebaran sebaran pengambilan sampel secara manual dan meng-gunakan R .

8.1 Perhitungan Menggunakan R

Lihat kembali modul, Bab 6. Untuk melakukan komputasi dengan R kita akan menggunakan fungsiqnorm untuk sebaran normal, qt untuk sebaran t, dan qchisq untuk sebaran khi-kuadrat. Berikut inicontoh komputasi menggunakan R untuk menghitung selang kepercayaan seperti yang ada pada Bab 6.

> ## Contoh 6.2.1> n <- 25 # banyak sampel n> sigma.2 <- sqrt(16) # varians

30

Page 37: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 8. SEBARAN PENGAMBILAN SAMPEL(BAGIAN KEDUA) 31

> x.bar <- 15 # rata-rata> batas <- qnorm(0.975)*sigma.2/sqrt(n)> batas.bawah <- x.bar - batas # batas bawah <= mu> batas.atas <- x.bar + batas # batas atas> batas.bawah # lihat nilai batas bawah[1] 13.43203> batas.atas # lihat nilai batas atas[1] 16.56797> selang <- c(batas.bawah,batas.atas)> selang[1] 13.43203 16.56797> # Contoh 6.2.1> # Selang kepercayaan 99%> n <- 25 # banyak sampel n> sigma.2 <- sqrt(16) # varians> x.bar <- 15 # rata-rata> batas.2 <- qnorm(0.995)*sigma.2/sqrt(n)> batas.bawah.2 <- x.bar - batas.2 # batas bawah <= mu> batas.atas.2 <- x.bar + batas.2 # batas atas> batas.bawah.2 # lihat nilai batas bawah[1] 12.93934> batas.atas.2 # lihat nilai batas atas[1] 17.06066> selang.2 <- c(batas.bawah.2,batas.atas.2)> selang.2[1] 12.93934 17.06066> # Contoh 6.2.3 (menggunakan distribusi t)> db <- n-1> batas.3 <- qt(0.975,df=db)*sigma.2/sqrt(n)> batas.bawah.3 <- x.bar - batas.3> batas.atas.3 <- x.bar + batas.3> batas.bawah.3 # lihat batas bawah[1] 13.34888> batas.atas.3 # lihat batas bawah[1] 16.65112> selang.3 <- c(batas.bawah.3,batas.atas.3)> selang.3[1] 13.34888 16.65112> # Contoh 6.3.1> n <- 25> db <- n - 1> s.2 <- 4.25 # varians sampel> batas.bawah <- (n-1)*s.2/qchisq(0.975,db)> batas.atas <- (n-1)*s.2/qchisq(0.025,db)> batas.bawah[1] 2.591195> batas.atas[1] 8.225044> selang.4 <- c(batas.bawah,batas.atas)> selang.4[1] 2.591195 8.225044

Page 38: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 8. SEBARAN PENGAMBILAN SAMPEL(BAGIAN KEDUA) 32

8.2 Latihan LanjutanKerjakan kembali latihan pada Praktikum 7 menggunakan R .

Page 39: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 9Sebaran Pengambilan Sampel

(Bagian Ketiga)

Kompetensi DasarMemahami teori pengambilan sampel

Indikator Pencapaian

1. menjelaskan sebaran penarikan sampel;

2. menjelaskan sebaran penarikan sampel bagi nilai tengah;

3. menjelaskan sebaran t;

4. menjelaskan sebaran penarikan contoh bagi beda dua nilai tengah;

5. menjelaskan teknik pengambilan sampel.

Materi Pokok

1. Sebaran pengambilan sampel

2. Sebaran pengambilan sampel bagi nilai tengah

3. Sebaran t

4. Sebaran pengambilan sampel bagi beda dua nilai tengah

5. Teknik pengambilan sampel

Pada praktikum ini kita akan menghitung sebaran sebaran pengambilan sampel secara manual dan meng-gunakan R .

1. Dua percobaan saling bebas dilakukan untuk membandingkan dua jenis cat berbeda. Enam puluhspesimen dicat menggunakan jenis A menghasilkan rata-rata waktu pengeringan 2 jam dan sim-pangan baku 0,5 jam. Lima puluh lima spesiman dicat menggunakan jenis B dan menghasilkanrata-rata waktu pengeringan 1,8 jam dan simpangan baku 1 jam. Hitung selang kepercayaan 90%,95%, 98%, dan 99% untuk selisih dua rata-rata populasi tersebut.

2. Suatu studi dilakukan untukmenentukan apakah perlakuan tertentumemiliki pengaruh pada jumlahlogam yang dihilangkan dari suatu tindakan yang disebut pickling. Suatu sampel acak berukuran100 direndam dalam suatu bak selama 24 jam tanpa perlakuan, menghasilkan rata-rata 12,2 mmlogam yang dihilangkan dan simpangan baku 1,1 mm. Sampel kedua sebanyak 200 diberikan

33

Page 40: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 9. SEBARAN PENGAMBILAN SAMPEL(BAGIAN KETIGA) 34

perlakuan dengan merendam pada bak selama 24 jam menghasilkan rata-rata 9,1 mm dihilangkandengan simpangan baku 0,9 mm. Hitung selang kepercayaan 90%, 95%, 98%, dan 99% untukselisih dua rata-rata populasi tersebut.

3. Dua jenis benang dibandingkan untuk melihat kekuatannya. Lima puluh jenis dari masing-masingbenang diuji pada kondisi yang serupa. Merek A memiliki kekuatan rata-rata 78,3 kg dengansimpangan baku 5,6 kg. Sedangkan merek B memiliki kekuatan 87,2 kg dengan simpangan baku6,3 kg. Hitung selang kepercayaan 90%, 95%, 98%, dan 99% untuk selisih rata-rata populasi.

4. Dua katalis dalam suatu proses kimia dibandingkan untuk melihat pengaruhnya pada luaran darisuatu proses reaksi. Sampel dari 50 batch disiapkan menggunakan katalis 1 dan menghasilkan rata-rata 85 dan simpangan baku 4. Kemudian sampel dari 40 batach disiapkan menggunakan katalis 2dan menghasilkan rata-rata 81 dan simpangan baku 5. itung selang kepercayaan 90%, 95%, 98%,dan 99% untuk selisih rata-rata populasi.

Page 41: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 10Sebaran Pengambilan Sampel

(Bagian Keempat)

Kompetensi DasarMemahami teori pengambilan sampel

Indikator Pencapaian

1. menjelaskan sebaran penarikan sampel;

2. menjelaskan sebaran penarikan sampel bagi nilai tengah;

3. menjelaskan sebaran t;

4. menjelaskan sebaran penarikan contoh bagi beda dua nilai tengah;

5. menjelaskan teknik pengambilan sampel.

Materi Pokok

1. Sebaran pengambilan sampel

2. Sebaran pengambilan sampel bagi nilai tengah

3. Sebaran t

4. Sebaran pengambilan sampel bagi beda dua nilai tengah

5. Teknik pengambilan sampel

Pada praktikum ini kita akan menghitung sebaran sebaran pengambilan sampel secara manual dan meng-gunakan R .

1. Suatu sampel acak 200 papan sirkuit tercetak (printed circuit boards atau PCB) berisi 18 unit rusakatau tidak standar. Hitunglah selang kepercayaan 90%, 95%, 98%, dan 99% untuk bagian rusaksesungguhnya pada proses produksi tersebut.

2. Dua proses digunakan untuk memproduksi penempaan forging dalam perakitan sayap pesawat.Dari 200 penempaan pada proses pertama, 10 tidak mengikuti standar kekuatan yang telah diten-tukan. Sedangkan dari 300 penempaan pada proses kedua, 20 tidak mengikuti standar. Hitungselang kepercayaan 90%, 95%, 98%, dan 99% untuk selisih bagian yang tidak memenuhi standarpada kedua proses.

35

Page 42: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 10. SEBARAN PENGAMBILAN SAMPEL(BAGIAN KEEMPAT) 36

3. Dua proses pengerasan berbeda: saltwater quenching dan oil quenching digunakan pada jenis ter-tentu paduan logam (metal alloy). Diasumsikan pengerasan berdistribusi normal.

saltwater quench oil quench

145 152150 150153 147148 155141 140152 146146 158154 152139 151148 143

a) Asumsikan bahwa varians �21 dan �22 sama. Hitunglah selang kepercayaan 90%, 95%, 98%,dan 99% untuk selisih rata-rata pengerasan.

b) Asumsikan bahwa varians �21 dan �22 tidak sama. Hitunglah selang kepercayaan 90%, 95%,98%, dan 99% untuk selisih rata-rata pengerasan.

c) Hitung selang kepercayaan 90%, 95%, 98%, dan 99% untuk rasio �21∕�22 .

10.1 Penggunaan R

Berikut ini contoh penggunaan R untuk menghitung selang kepercayaan pada latihan soal.

> ## Berikut ini contoh penggunaan R untuk menghitung> ## selang kepercayaan 95%> ## Soal No. 1> n.pcb <- 200 # banyak sampel PCB> p.hat <- 18/200 # banyak proporsi yang rusak> # menghitung batas bawah dan batas atas> # alfa dalam hal ini sudah dibagi 2, jadi yang dicari> # adalah luas daerah 1 - 0.025 = 0.975 sehingga> # Z_0.025 dalam R menjadi qnorm(0.975)> bwh.proporsi <- p.hat - qnorm(0.975)*sqrt(p.hat*(1-p.hat)/n.pcb)> ats.proporsi <- p.hat + qnorm(0.975)*sqrt(p.hat*(1-p.hat)/n.pcb)> selang.proporsi <- cbind(bwh.proporsi,ats.proporsi)> selang.proporsibwh.proporsi ats.proporsi[1,] 0.05033796 0.129662> ## Soal Nomor 2> n.1 <- 200> p.hat.1 <- 10/200> n.2 <- 300> p.hat.2 <- 20/300> ## menghitung batas bawah selisih proporsi> bwh.selisih.proporsi <- (p.hat.1 - p.hat.2) - qnorm(0.975)*sqrt(p.hat.1*(1 -p.hat.1)/n.1 + p.hat.2*(1 - p.hat.2)/n.2)> ats.selisih.proporsi <- (p.hat.1 - p.hat.2) + qnorm(0.975)*sqrt(p.hat.1*(1 -p.hat.1)/n.1 + p.hat.2*(1 - p.hat.2)/n.2)

Page 43: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 10. SEBARAN PENGAMBILAN SAMPEL(BAGIAN KEEMPAT) 37

> selang.selisih.proporsi <- cbind(bwh.selisih.proporsi,ats.selisih.proporsi)> selang.selisih.proporsibwh.selisih.proporsi ats.selisih.proporsi[1,] -0.05800785 0.02467452> ## Soal Nomor 3(a)> ## Asumsi varians sama> quench <- read.table("quench.text",header=TRUE)> attach(quench)> ## misalkan 1 = saltwater quench, 2 = oil quench> n.salt <- length(saltwater) # n untuk saltwater> n.oil <- length(oil) # n untuk oil> x.bar.1 <- mean(saltwater)> s2.1 <- var(saltwater)> x.bar.2 <- mean(oil)> s2.2 <- var(oil)> db <- n.salt + n.oil - 2> sp.2 <- ((n.salt - 1)*s2.1 + (n.oil - 1)*s2.2)/(n.salt + n.oil - 2) # sp^2> sp <- sqrt(sp.2) # menghitung s_p> db.q <- n.salt + n.oil - 2 # menghitung derajat bebas> bwh.var.sama <- (x.bar.1-x.bar.2) - qt(0.975,df=db.q)*sp*sqrt(1/n.salt +1/n.oil)> ats.var.sama <- (x.bar.1-x.bar.2) + qt(0.975,df=db.q)*sp*sqrt(1/n.salt +1/n.oil)> selang.selisih.mean.var.sama <- cbind(bwh.var.sama,ats.var.sama)> selang.selisih.mean.var.samabwh.var.sama ats.var.sama[1,] -6.706152 3.106152>> ## 3(b)> ## Pertama hitung v (lihat persamaan 6.28)> ## Kita permudah dengan pembilang a, dan penyebut (b + c)> a <- (s2.1/n.salt + s2.2/n.oil)^2> b <- (s2.1/n.salt)^2/(n.salt - 1)> c <- (s2.2/n.oil)^2/(n.oil - 1)> v = a/(b + c)-2> bwh.var.tak.sama <- (x.bar.1-x.bar.2) - qt(0.975,df=v)*sqrt(s2.1/n.salt +s2.2/n.oil)> ats.var.tak.sama <- (x.bar.1-x.bar.2) + qt(0.975,df=v)*sqrt(s2.1/n.salt +s2.2/n.oil)> selang.selisih.mean.var.tak.sama <- cbind(bwh.var.tak.sama,ats.var.tak.sama)> selang.selisih.mean.var.tak.samabwh.var.tak.sama ats.var.tak.sama[1,] -6.754465 3.154465> v.1 <- n.salt - 1> v.2 <- n.oil - 1> bwh.rasio.var <- (s2.1/s2.2)*(1/qf(0.975,v.2,v.1))> ats.rasio.var <- (s2.1/s2.2)*(1/qf(0.025,v.2,v.1))> selang.rasio.var <- cbind(bwh.rasio.var,ats.rasio.var)> selang.rasio.varbwh.rasio.var ats.rasio.var[1,] 0.205816 3.335995

Page 44: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 11Uji Hipotesis

Kompetensi DasarMelakukan pengujian hipotesis

Indikator Pencapaian

1. menentukan hipotesis statistika;

2. melakukan pengujian hipotesis statistika;

3. melakukan uji satu arah dan dua arah;

4. menentukan uji mengenai nilai tengah satu populasi;

5. melakukan pengujian mengenai dua populasi saling bebas;

6. uji mengenai dua populasi tidak saling bebas;

7. uji hipotesisi terhadap proporsi.

Materi Pokok

1. Hipotesis statistika

2. Pengujian hipotesis statistika

3. Uji satu arah dan dua arah

4. Uji mengenai nilai tengah satu populasi

5. Pengujian mengenai nilai tengah dua populasi saling bebas

6. Uji mengenai nilai tengah dua populasi tak bebas

7. Uji hipotesis terhadap proporsi

Pada praktikum ini kita akan melakukan pengujian hipotesis secara manual dan menggunakan dan meng-gunakan R .

1. Enam belas bintang laut, Linckia laevigata, dikumpulkan dan lengan terpanjangnya diukur dalamcentimeter terdekat. Diasumsikan populasi menyebar normal untuk populasi bintang laut tersebut.Berikut ini adalah data keenambelas bintang laut tersebut.

38

Page 45: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

PRAKTIKUM 11. UJI HIPOTESIS 39

10,3 11,0 10,5 10,0 11,3 14,3 13,0 12,112,1 9,4 11,3 12,0 11,5 9,3 10,1 7,6

a) Apakah nilai tengah panjang lengan bintang laut tersebut berbeda secara signifikan dari 12cm?

b) Apakah varians panjang lengan bintang laut tersebut berbeda secara signifikan dari 5 cm2?

2. Seorang pembiak tanaman memilih pohon apel Crispin selama bertahun-tahun untuk menurunkanvariabilitas dalam ukuran buah. Ketika pembiak memulai memilih, varians apelnya adalah 400gram2 untuk buah matang. Suatu sampel acak berukuran 30 apel dari panen terbarunya memilikivarians 300 gram2. Apakah pembiak tersebut berhasil menurunkan variabilitas apel Crispin?

3. Berikut ini adalah data tekanan darah sistolik (dalam mmHg) 14 pasien yang menjalani terapi un-tuk hipertensi. Diasumsikan tekanan darah sistolik menyebar normal. Berdasarkan data berikut,dapatkah disimpulkan bahwa nilai tengah kurang dari 165 mmHg? Berikut data tekanan darahpasien-pasien tersebut.

183 152 178 157 194 163 144194 163 114 178 152 118 158

Page 46: Modul Praktikum Statistika Komputasi (FA225611)

DAFTAR PUSTAKA

Thomas Glover and Kevin Mitchell. An Introduction to Biostatistics. McGraw-Hill, Boston, 2002.

R Lyman Ott and Michael Longnecker. An Introduction to Statistical Methods and Data Analysis.Duxbury, Pacific Groove, California, fifth edition, 2001.

40