Modul Praktikum Logika Dasar - lab.ilkom.unila.ac.idlab.ilkom.unila.ac.id/modul/semester ganjil/D3...

i Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Daftar Isi

Modul Praktikum

Logika Dasar

Dosen Pengampu:

Anie Rose Irawati M.Cs.

Penyusun:

Tim Asisten Logika

Edisi 1 (2017)

Laboratorium Komputasi Dasar

D3 Manajemen Informatika

FMIPA Universitas Lampung

ii Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Daftar Isi

Deskripsi Mata Kuliah

Kebanyakan orang setuju bahwa logika memainkan peranan penting dalam

berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika terkait erat

dengan berbagai ilmu lain yang berhubungan dengan komputer, misalnya

matematika, statistika, algoritma,dan mata kuliah-mata kuliah pemrograman.

Materi logika, yaitu dasar-dasar logika, tabel kebenaran, proposisi majemuk,

tautologi, ekivalensi logis, pembuktian logika dan analisis argument, kuantor, dan

rangkaian logika.

Tujuan Perkuliahan

Agar mahasiswa dapat memahami mata kuliah logika dan dapat

mengimplementasikannya.

Deskripsi Isi Perkuliahan

Materi pembelajaran dalam Mata Kuliah Logika disusun dalam 6 pokok bahasan,

yaitu: konsep logika proposisi yang mencangkup operator, hukum, dan tabel logika,

konsep logika predikat yang mencangkup tentang kuantor, terjemahan kalimat

berkuantor, dan teorema kalimat berkuantor, Teori inferensi yang mencangkup

argumentasi, tautologi, dan validitas argumen, deskripsi teori himpunan yang

mencangkup operasi, hukum dan sifat operasi himpunan, jenis himpunan, perkalian

himpunan, Aljabar Boolean yang mencangkup ekspresi boolean, prinsip dualitas,

hukum aljabar boolean, bentuk kanonik, penyederhanaan fungsi, dan Rangkaian

Logika yang mencangkup cara pembuatan rangkaian.

iii Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Daftar Isi

Daftar Isi

Daftar Isi ........................................................................................................................... iii

Memahami Konsep Logika Proposisi ............................................................................. 4

Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2) ............................................................... 10

Memahami Konsep Logika Predikat ............................................................................ 17

Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2) ............................................................... 19

Teori Inferensi ................................................................................................................. 24

Teori Inferensi (bag.2) .................................................................................................... 26

Mendeskripsikan Teori Himpunan ............................................................................... 29

Aljabar Boolean .............................................................................................................. 34

Aljabar Boolean (bag.2) .................................................................................................. 38



Rangkaian logika ............................................................................................................ 50

4 Modul Responsi Logika D3 MI FMIPA Unila

Memahami Konsep Logika Proposisi

Pertemuan 1


Sebelum membahas lebih jauh tentang logika proposisi, terlebih dahulu kita bahas

pengertian dari logika proposisi. Logika proposisi / kalkulus proposisi adalah

bidang logika yang membentuk proposisi pada peryataan yang mengandung

peubah.

Proposisi itu sendiri adalah peryataan dalam bentuk kalimat yang mengandung nilai

benar atau salah, tetapi tidak sekaligus mengandung nilai benar dan salah. Benar

diartikan sebagai adanya kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan fakta yang

sebenarnya.

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil (misal: p, q, r). Contoh dari proposisi:

p : 13 adalah bilangan ganjil.

q : Soekarno adalah almnus UGM.

r : 2 + 2 = 4

Mengkombinasikan proposisi

Beberapa proposisi tunggal, dapat dikombinasikan menjadi satu kesatuan.

Contoh:

Tujuan Instruksional : Pengantar

Tujuan dari materi ini adalah untuk memahami konsep dari logika proposisi.

Kompetensi yang Diharapkan :

Mahasiswa dapat mengerti tentang konsep logika proposisi

Waktu Pertemuan : 100 menit



Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Konjungsi (conjunction) : p dan q

Dinotasikan dengan p ∧ q

2. Disjungsi (disjunction) : p atau q

Dinotasikan dengan p ∨ q

3. Ingkaran (negation) dari p : tidak p

Dinotasikan dengan ~p

Dalam hal ini, p dan q disebut sebagai proposisi atomik. Sedangkan kombinasi dari

proposisi tersebut menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition).

Berikut ini adalah contoh dari kalimat logika proposisi.

Diketahui :

p : hari ini hujan.

q : murid-murid diliburkan dari sekolah.

p ∧ q : hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah.

p ∨ q : hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah.

~p : tidak benar bahwa hari ini hujan (atau : hari ini tidak hujan)

Berikut ini adalah contoh penotasian (bentuk simbolik) dari kalimat proposisi

majemuk.



Diketahui :

p : pemuda itu tinggi

q : pemuda itu tampan

1. Pemuda itu tinggi dan tampan

p ∧ q

2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan

p ∧ ~q

3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan

~ (p ∧ q)

4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan

~ ( ~p ∨ ~q )

5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan

p ∨ (~p ∧ q)

6. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

~ (~p ∧ q)

Operator logika dan Tabel logika

Didalam konsep logika, terdapat beberapa operator-operator logika. Operator

tersebut berfungsi untuk menggabungkan proposisi-proposisi atomik. Berikut ini

adalah macam-macam operator logika:

- Negasi (NOT)

- Konjungsi (AND)

- Disjungsi (OR)

- Eksklusif or (XOR)

- Implikasi (jika - maka)

- Bikondisional (jika dan hanya jika)



Tabel logika (tabel kebenaran / truth table) adalah tabel yang digunakan untuk

mencari nilai kebenaran dari suatu proposisi majemuk. Tabel ini berisi semua

kemungkinan dari nilai proposisi.

Berikut ini adalah tabel kebenaran yang ada dari dari tiap operator logika:

- Negasi (NOT) : operator uner, lambang: ~

p ~p

Benar Salah

Salah Benar

- Konjungsi (AND) : operator biner, lambang: ∧

p q p∧q

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Salah

Salah Salah Salah

- Disjungsi (OR) : operator biner, lambang: ∨

p q p∨q

Benar Benar Benar

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

- Eksklusif or (XOR) : operator biner, lambang: +

p q p + q

Benar Benar Salah



Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

- Implikasi (jika - maka) : operator biner, lambang: →

p q p → q

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Benar

Salah Salah Benar

- Bikondisional (jika dan hanya jika) : operator biner, lambang: ↔

p q p ↔ q

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Salah

Salah Salah Benar

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator sebelumnya, dapat digabungkan

menjadi suatu pernyataan yang baru. Contohnya:

p q p ↔ q p ∨ (p ↔ q) ~q ( p ∨ (p ↔ q)) ∧(~q)

Benar Benar Benar Benar Salah Salah

Benar Salah Salah Benar Benar Benar

Salah Benar Salah Salah Salah Salah

Salah Salah Benar Benar Benar Benar



Pernyataan-pernyataan dapat memiliki nilai kebenaran yang sama dengan suatu

pernyataan yang lain. Kondisi ini disebut ekivalen. Contoh dari pernyataan ekivalen

dapat dilihat pada tabel berikut:

p q ~(p∧q) (~p) ∨ (~q) (~(p∧q)) ↔ ((~p) ∨ (~q))

Benar Benar Salah Salah Benar

Benar Salah Benar Benar Benar

Salah Benar Benar Benar Benar

Salah Salah Benar Benar Benar

Pernyataan ~(p∧q) dan (~p)∨(~q) adalah ekivalen secara logis,

karena nilai (~(p∧q)) ↔ ((~p) ∨ (~q)) selalu benar.

Catatan : urutan pengerjaan untuk operasi logika adalah: (…), negasi, disjungsi dan

konjugsi, implikasi, biimplikasi.


Memahami Konsep Logika Proposisi (bag.2)

Pertemuan 2


Tautologi dan Kontradiksi

Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar pada semua kasus.

Contoh:

r ∨ (~r)

~(p∧q) ↔ (~p)∨(~q)

Jika s → t sebuah tautologi, kita tulis s ⇒ t

Jika s ↔ t sebuah tautologi, kita tulis s ⇔ t

Jika proposisi majemuk selalu bernilai salah untuk semua kasus, maka proposisi

majemuk tersebut disebut dengna kontradiksi.

Berikut ini tabel kebenaran dari sebuah tautologi:

p q ~(p∧q) (~p) ∨ (~q) (~(p∧q)) ↔ ((~p) ∨ (~q))

Benar Benar Salah Salah Benar

Benar Salah Benar Benar Benar



Berikut ini tabel kebenaran dari sebuah kontradiksi:

Tujuan Instruksional : Pengantar

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang konsep dari logika proposisi secara lebih

lanjut.


Mahasiswa dapat mengerti tentang konsep logika proposisi secara lebih lanjut.




p q (p∧q) (p∨q) ~(p∨q) (p∧q) ∧ (~(p∨q))

Benar Benar Benar Benar Salah Salah

Benar Salah Salah Benar Salah Salah

Salah Benar Salah Benar Salah Salah

Salah Salah Salah Salah Benar Salah

Hukum-hukum logika

Didalam konsep logika, terdapat hukum-hukum yang sering juga disebut hukum-

hukum aljabar proposisi. Macam-macam dari hukum aljabar proposisi yaitu:

1. Hukum identitas

p ∨ False ⇔ p

p ∧ True ⇔ p

2. Hukum null/dominasi

p ∧ False ⇔ False

p ∨ True ⇔ True

3. Hukum negasi

p ∨ ~p ⇔ True

p ∧ ~p ⇔ False

4. Hukum idempoten

p ∧ p ⇔ p

p ∨ p ⇔ p

5. Hukum involusi (negasi ganda)

~(~p) ⇔ p

6. Hukum penyerapan (absorpsi)

p ∨ (p∧q) ⇔ p

p ∧ (p∨q) ⇔ p



7. Hukum komutatif

p∧q ⇔ q∧p

p∨q ⇔ q∨p

8. Hukum asosiatif

p∧(q∧r) ⇔ (p∧q)∧r

p∨(q∨r) ⇔ (p∨q)∨r

9. Hukum distributif

p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)

p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)

10. Hukum De Morgan

~(p∧q) ⇔ ~p ∨~q

~(p∨q) ⇔ ~p ∧~q

Hukum-hukum diatas dapat kita buktikan kebenarannya. Contoh pembuktian dari

hukum penyerapan pada kasus p∧(p∨q) ⇔ p :

p∧(p∨q) ⇔ (p ∨ False) ∧ (p∨q) (hukum identitas)

⇔ p ∨ (False ∧ q) (hukum distributif)

⇔ p ∨ False (hukum Null)

⇔ p (hukum identitas)

Terbukti.

Contoh soal.

Diberikan pernyataan “tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak

belajar Matematika”.

a.nyatakan pernyataan diatas dalam notasi simbolik.

b.berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut.

Penyelesaian:



Missal: p = Dia belajar Algoritma

q = Dia belajar Matematika

Maka,

a. ~ (p∧~q)

b. ~ (p∧~q) ⇔ ~p ∨ q (hukum De Morgan)

dengan kata lain:”dia tidak belajar algoritma atau dia belajar matematika”

disjungsi eksklusif

kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam salah satu dari dua cara:

1. Inclusive or ( ∨ )

Kata “atau” berarti “p atau q atau keduanya”

Contoh: “tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai C++ atau Java”

2. Exclusive or ( + )

Kata “atau” berarti “p atau q tapi tidak keduanya”

Contoh: “ia dihukum 5 tahun penjara atau denda 10 juta rupiah”

Tabel kebenaran Inclusive or Tabel kebenaran Exclusive or

p q p∨q

Benar Benar Benar

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

Proposisis bersyarat (kondisional atau implikasi)

p q p + q

Benar Benar Salah

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah



Bentuk dari proposisi ini adalah “jika p maka q”.

Notasi dari proposisi ini yaitu: p → q.

Proposisi p disebut dengan hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi.

Sedangkan proposisi q disebut konklusi atau konsekuen.

Proposisi ini dapat dianggap sebagai sebab-akibat, contohnya:

“jika besok tidak hujan, maka saya akan pergi ke pantai”

Cara mengekspresikan implikasi ada beberapa macam, yaitu:

- jika p, maka q

- jika p, q

- p mengakibatkan q

- q jika p

- p hanya jika q

- p syarat cukup untuk q

- q syarat perlu untuk p

- q bilaman p

Contoh kalimat proposisi dalam berbagai bentuk kalimat:

- jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.

- jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.

- es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.

- orang itu mau barangkat jika ia diberi ongkos jalan.

- ahmad bisa mengambil mata kuliah teori bahasa formal hanya jika ia telah lulus

mata kuliah matematika diskrit.

- syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan dari api rokok.

- syarat perlu bagi Indonesia agar dapat ikut piala dunia adalah dengan

mengontrak pemain asing ternama.

- banjir bandang terjadi bilamanahutan ditebangi.



Perhatikan, bahwa dalam implikasi yang dipentingkan adalah nilai kebenaran

premis dan konsekuen. Bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya.

Beberapa implikasi dibawah ini valid meskipun secara bahasa tidak memiliki

makna.

- Jika 1+1=2, maka paris ibukota perancis

- Jika n adalah bilangan bulat, maka hari ini hujan

Notasi ~p ∨ q memiliki nilai kebenaran yang sama (ekivalen) dengan notasi

implikasi p → q.

p q ~p p → q ~p ∨ q

Benar Benar Salah Benar Benar

Benar Salah Salah Salah Salah



Varian proposisi bersyarat

Bentuk umum dari implikasi : p → q

Bentuk konvers (kebalikan) : q → p

Bentuk invers : ~p → ~q

Bentuk kontraposisi : ~q → ~p

p q ~p ~q p → q q → p ~p → ~q ~q → ~p

Benar Benar Salah Salah Benar Benar Benar Benar

Benar Salah Salah Benar Salah Benar Benar Salah

Salah Benar Benar Salah Benar Salah Salah Benar

Salah Salah Benar Benar Benar Benar Benar Benar



Contoh varian proposisi bersyarat dalam kalimat:

Implikasi : jika amir memiliki mobil, maka ia orang kaya

Konvers : jika amir orang kaya, maka ia memiliki mobil

Invers : jika amir tidak memiliki mobil, maka ia bukan orang kaya

Kontraposisi : jika amir bukan orang kaya, maka ia tidak memiliki mobil

Bikondisional (bi-implikasi)

Bentuk proposisi dari bikondisional adalah : “p jika dan hanya jika q”

Bentuk notasi dari bikondisional : p ↔ q.

Pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “jika p maka q dan jika q maka

p”. perhatikan tabel.

p q p ↔ q p → q q→p (p → q) ∧ ( q→p)

Benar Benar Benar Benar Benar Benar

Benar Salah Salah Salah Benar Salah

Salah Benar Salah Benar Salah Salah

Salah Salah Benar Benar Benar Benar

Bila dua buah proposisi majemuk yang ekivalen di-bikondisionalkan, maka

hasilnya adalah tautologi.

Teorema : dua buah proposisi majemuk, P(p,q,…) dan Q(p,q,…) disebut

ekivalen secara logika, dilambangkan dengan P(p,q,…) ⇔ Q(p,q,…),

jika P↔Q adalah tautologi.


Memahami Konsep Logika Predikat

Pertemuan 3


Ada beberapa kasus dimana kita tidak dapat menotasikan kalimat dalam notasi

logika. Contohnya pada kasus berikut:

- Semua laki-laki adalah makhluk hidup

- Socrates adalah laki-laki

- Oleh karena itu, Socrates adalah makhluk hidup.

Oleh sebab itu, kita memerlukan logika predikat yang memungkinkan untuk

memanipulasi pernyataan tentang semua atau sesuatu.

Logika predikat memperlihatkan struktur pernyataan atomik, yakni memperhatikan

subjek dan predikat dari suatu kalimat.

First order logic => subjek kalimat berupa obyek tunggal.

Contoh : Socrates adalah laki-laki

Second order logic => subjek kalimat berupa obyek lain.

Contoh : Semua laki-laki adalah makhluk hidup

Dengan logika proposisi diubah menjadi :

Untuk semua X, jika x adalah laki-laki maka X adalah makhluk hidup.

Dengan logika predikat

“x adalah laki-laki” dipecah menjadi:

Tujuan Intruksional :

Pokok Bahasan ini menjelaskan konsep dari logika predikat.

Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa dapat memahami tentang konsep-konsep dari logika predikat

Waktu Pertemuan : 2 x 120 Menit



Subyek = x => disebut term, dilambangkan dengan huruf kecil

Predikat = adalah laki-laki =>dilambangkan dengan huruf besar (misal: L)

Contoh penulisan : Lx (predikat dahulu sebelum term)

Penyebutan : x adalah laki-laki

Selanjutnya:

Jika M menyatakan “adalah makhluk hidup”

Maka Mx menyatakan simbol untuk “x adalah makhluk hidup”

Dengan demikian, pernyataan “jika x adalah laki-laki, maka x adalah makhluk

hidup” ditulis sebagai Lx → Mx

Sehingga untuk menuliskan secara simbolik : “untuk semua x, jika x adalah laki-

laki, maka x adalah makhluk hidup” adalah x[Lx→Mx]

Simbol disebut kuantor, dibaca “untuk setiap”

Macam-Macam Kuantor

- Untuk setiap x, P(x)

Disebut kuantor universal. Disimbolkan dengan :

- Untuk beberapa x, P(x)

Disebut kuantor eksistensial. Disimbolkan dengan :

Kuantor Universal

-misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.

- x, P(x) dibaca : “untuk setiap x, P(x)”

-Pernyataan x, P(x) bernilai benar jika berlaku untuk semua x pada domain D

-Pernyataan x, P(x) bernilai salah jika berlaku hanya sebagian x pada domain D

Kuantor Eksistensial

-Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.

- x,P(x) dibaca: ”untuk beberapax, P(x)”.

- Juga dapat dibaca “untuk beberapa”, “ada”, atau “setidaknya ada”.

-Pernyataan x,P(x) bernilai benar jika berlaku setidaknya salah satu x dari domain

D

-Pernyataan x,P(x) bernilai benar jika berlaku setidaknya salah satu x dari domain

D


Memahami Konsep Logika Predikat (bag.2)

Petemuan 4


Kuantor Dan Teori Kuantifikasi

Term dan variabel

- Variabel/peubah adalah pemegang tempat sementara dalam suatu

ungkapan, untuk kemudian diganti dengan nilai yang pasti.

- Variabel ditulis dengan huruf kecil: x,y,z, atau p,q,r

- Kumpulan variabel membentuk suatu term: x+ y

Predikat

- Pandang kalimat: “semua mahasiswa unila adalah lulusan SMA”

- Untuk setiap x, jika x adalah mahasiswa unila, maka x lulusan SMA

- Ada 2 predikat untuk x: x mahasiswa unila dan x lulusan SMA

- Predikat ditulis dengan huruf besar:

Mx: mahasiswa unila Lx: lulusan SMA

- Kalimat diatas ditulis : untuk setiap x, Mx→Lx

Kuantor Universal

- Ditulis dengan lambang

- pandang kalimat: “semua orang Indonesia adalah orang asia”

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan konsep logika predikat secara lebih lanjut.


Mahasiswa dapat memahami konsep logika predikat secara lebih lanjut.




- diterjemahkan menjadi : untuk semua x, jika Lx adalah Ax

Lx: x orang Indonesia

Ax : x orang asia

- dalam kalimat logika, ditulis : ( x)[Lx→Ax]

- bentuk ini disebut afirmatif umum

- pandang kalimat: “semua orang Indonesia bukan orang eskimo”

- dalam kalimat logika, ditulis : ( x)[Lx→~Ax]

- bentuk ini disebut negatif umum

Kuantor Ekstensial

- ditulis dengan lambang

- pandang kalimat

”ada orang Indonesia yang makan nasi”

”ada beberapaorang Indonesia yang makan nasi”

- diterjemahkan menjadi

ada x yang memenuhi sifat :x orang Indonesia dan x makan nasi

ada x sehingga x orang Indonesia dan x makan nasi

Lx: x orang Indonesia Nx: x makan nasi

- dalam kalimat logika ditulis: ( x)[Lx ∧ Nx]

- bentuk ini disebut afirmatif khusus

.



Menterjemahkan Kalimat Berkuantor


Teori Inferensi

Petemuan 5

Teori Inferensi

Inferensi adalah cara menarik kesimpulan dalam suatu argumentasi.

Argumentasi adalah sederetan pernyataan (premis) yang diakhiri dengan suatu

pernyataan yang disebut sebagai kesimpulan.

Suatu argumentasi dikatakan valid apabila konjungsi dari semua premisnya

berimplikasi secara tautologi pada kesimpulan.

argumentasi

Bentuk umum:

- p1 (premis)

- p2 (premis)

.

.

.

- pn (premis)

- q (kesimpulan)


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori-teori inferensi.


Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang teori-teori inferensi.



Teori Inferensi

Tautologi dan argumentasi

Validitas sebuah argumentasi dan kesimpulannya harus dipastikan (terutama

tautologi implikasi dan tautologi ekivalensi → mengarah pada aturan penalaran)

Ada beberapa aturan penalaran yang sudah terbukti validitasnya:

1. Modus ponen 2. Modus tollen

p→q p→q

p ~q

-------------- --------------

∴ q ∴~p

3. Silogisme disjungtif 4. Simplifikasi

p∨q p∧q

~p --------------

-------------- ∴p

∴q

5. penjumlahan 6. Konjungsi

p p

-------------- q

∴ p∨q --------------

∴ p∧q

7. transitifitas

p→q

q→r

--------------

∴ p→r


Teori Inferensi (bag.2)

Petemuan 6


Berikut ini beberapa argumen yang sudah terbukti sahih (Tautologi ekivalensi)

Negasi ganda

p

∴~ ~p

Hukum Komutatif

p∧q p∨q

∴ q∧p ∴ q∨p

Hukum asosiatif

(p∧q)∧r p∧(q∧r)

∴p∧(q∧r) ∴ (p∧q)∧r

(p∨q)∨r p∨(q∨r)

∴p∨(q∨r) ∴ (p∨q)∨r

Hukum De Morgan


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori-teori inferensi lebih lanjut.


Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang teori-teori inferensi secara

lebih lanjut.




~(p∧q) ~(p∨q)

∴~p∨~q ∴~p∧~q

~p∨~q ~p∧~q

∴~(p∧q) ∴~(p∨q)

Hukum distributif

p∧(q∨r) p∨(q∧r)

∴ (p∧q)∨(p∧r) ∴ (p∨q)∧(p∨r)

Hukum idempoten

p∧p p∨p

∴p ∴p

Switcheroo (hukum ekivalensi untuk implikasi dan disjungsi)

p→q ~p∨q

∴~p∨q ∴p→q

kontrapositif

p→q ~q→ ~p

∴~q→ ~p ∴p→q

Hukum bikondisional

p ↔ q p ↔ q

∴ (p→q) ∧ (q→p) ∴ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)

Validitas Argumen



- sebuah argument dikatakan sahih/valid jika konklusi benar bilamana semua

hipotesisnya benar, dan sebaliknya.

- konklusi mengikuti hipotesis, atau menunjukkan bahwa (p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn) → q

adalah benar/tautologi


Mendeskripsikan Teori Himpunan

Petemuan 7


Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu

kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan

digunakan huruf kapital A, B, C, … sedangkan untuk menyatakan anggotanya

digunakan huruf kecil a, d, c, …

Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :

1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan

didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya

dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u, e, o}.

2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah

disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R

adalah himpunan bilangan riil.

3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum

atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan

bilangan bulat positif}

4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan

tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki

himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat.


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang teori himpunan.


Mahasiswa diharapkan dapat mendeskripsikan teori himpunan secara baik.




Operasi-Operasi Dalam Himpunan



Hukum Dan Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Jenis operasi Hukum dan sifat-sifat operasi

Gabungan (union) A∪B=B∪A ; disebut sifat komutatif gabungan

(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ; disebut sifat asosiatif gabungan

A∪∅=A

A∪U=U

A∪A’=U ; disebut sifat komplemen gabungan

Irisan (intersection) A∩B=B∩A ; disebut sifat komutatif irisan

(A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) ; disebut sifat asosiatif irisan

A∩U=A

A∩A’ = ∅ ; disebut sifat komplemen isiran

Distributif A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) ; disebut sifat distributif

gabungan terhadap irisan

A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) ; disebut sifat distributif

gabungan terhadap irisan

Selisih A-A=∅

A-∅=A

A-B=A∩B’

A-(B∪C)=(A-B) ∩ (A-C)

A-(B∩C)=(A-B) ∪ (A-C)

Komplemen (A’)’=A

U’=∅

∅’=U

Jenis-Jenis Himpunan

jenis notasi keterangan

Himpunan A yang

anggotanya adalah semua

huruf kecil dalam abjad

A={a,b,c,d,…} A adalah nama yang diberikan kepada

suatu himpunan

Himpunan bagian A⊂B A himpunan bagian dari himpunan B



Himpunan kosong { } atau ∅ Himpunan yang tidak memiliki anggota

sama sekali

Himpunan yang sama A=B Himpunan A dikataan sama dengan

himpunan B jika setiap anggota A juga

menjadi anggota B dan sebaliknya

Himpunan universal /

semesta

U atau S Adalah himpunan dari semua unsur yang

dibicarakan

Himpunan komplemen A’ atau Ac Jika:

U={1,2,3,4,5,6}

A={3,5}

Maka : A’ = Ac = {1,2,4,6}

Perkalian Himpunan (Cartesian product)

Jika kita menemukan soal tentang perkalian himpunan, kita dapat mengerjakan

seperti contoh berikut:

A={a,b,c} B={p,q}

A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}


Aljabar Boolean

Petemuan 8

Aljabar Boolean

Misalkan terdapat

- Dua operator biner: + dan ⋅ - Sebuah operator uner: ’.

- B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ⋅ , dan ’

- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.

Tupel

(B, +, ⋅ , ’)

disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma

atau postulat Huntington berikut:


Pokok bahasan ini memberikan penjelasan tentang aljabar boolean


Mahasiswa diharapkan dapat memahami tentang dasar-dasar aljabar boolean.



Aljabar Boolean

Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:

1. Elemen-elemen himpunan B,

2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,

3. Memenuhi postulat Huntington

Aljabar Boolean Dua-Nilai

- B = {0, 1}

- operator biner, + dan ⋅

- operator uner, ’

- Kaidah untuk operator biner dan operator uner:

Cek apakah memenuhi postulat Huntington:

• Closure : jelas berlaku

• Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:

0 + 1 = 1 + 0 = 1

1 ⋅ 0 = 0 ⋅ 1 = 0

• Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.

• Distributif: (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) dapat ditunjukkan benar dari tabel

operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:


Aljabar Boolean

(ii) Hukum distributif a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan

membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).

• Komplemen: jelas berlaku karena pada Tabel memperlihatkan bahwa:

a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1

a ⋅ a = 0, karena 0 ⋅ 0’= 0 ⋅ 1 = 0 dan 1 ⋅ 1’ = 1 ⋅ 0 = 0

Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1}

bersama-sama dengan operator biner + dan ⋅ operator komplemen ‘ merupakan

aljabar Boolean.

Ekspresi boolean

Misalkan (B, +, ⋅, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean

dalam (B, +, ⋅, ’) adalah:

(i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 ⋅ e2, e1’ adalah ekspresi

Boolean

Contoh : 0

1

a b

a + b a ⋅ b

a’⋅ (b + c)

a ⋅ b’ + a ⋅ b ⋅ c’ + b’, dan sebagainya


Aljabar Boolean

Mengevaluasi Ekspresi Boolean

Contoh: a’⋅ (b + c)

jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:

0’⋅ (1 + 0) = 1 ⋅ 1 = 1

Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh:

a ⋅ (b + c) = (a . b) + (a ⋅ c)

Perjanjian: tanda titik (⋅) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean,

kecuali jika ada penekanan:

(i) a (b + c) = ab + ac

(ii) a + bc = (a + b) (a + c)

(iii) a ⋅ 0 , bukan a0


Aljabar Boolean (bag.2)

Petemuan 9


Prinsip Dualitas

Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan

operator +, ⋅, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara

mengganti:

⋅ dengan +

+ dengan ⋅ 0 dengan 1 1 dengan 0

dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.

Contoh.

(i) (a ⋅ 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 ⋅ a’) = 1

(ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b

Hukum-Hukum Aljabar Boolean


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang aljabar Boolean materi selanjutnya


Mahasiswa diharapkan dapat memahami aljabar Boolean lebih dalam




Hukum identitas: Hukum idempotent: Hukum komplemen:

- a + 0 = a - a + a = a - a + a’ = 1

- a ⋅ 1 = a - a ⋅ a = a - aa’ = 0

Hukum dominansi: Hukum involusi: Hukum penyerapan:

- a ⋅ 0 = 0 - a + 1 = 1 - a + ab = a

- a + 1 = 1 - a(a + b) = a

Hukum komutatif: Hukum asosiatif: Hukum distributif:

- a + b = b + a - a+(b+c) = (a+b)+c - a+(b c) = (a+b) (a+c)

- ab = ba - a (b c) = (a b) c - a (b + c) = a b + a c

Hukum De Morgan: Hukum 0/1

- (a + b)’ = a’b’ - 0’ = 1

- (ab)’ = a’ + b’ - 1’ = 0

Fungsi Boolean

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai:

f : Bn → B

yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut

ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z



Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga :

f(1, 0, 1) = 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1’ ⋅ 0 + 0’⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .

Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:

1. f(x) = x

2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’ 3. f(x, y) = x’ y’ 4. f(x, y) = (x + y)’

5. f(x, y, z) = xyz’

Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya,

disebut literal.

Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.



Petemuan 10


Komplemen Fungsi

1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka:

f’’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’

= x’ + (y’z’ + yz)’

= x’ + (y’z’)’ (yz)’

= x’ + (y + z) (y’ + z’)

2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.

Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.

Contoh:

Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka dual dari f : x + (y’ + z’) (y + z)

kemudian komplemenkan tiap literalnya : x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’

Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)


Pokok bahasan ini menjelaskan secara lebih rinci tentang aljabar boolean


Mahasiswa diharapkan dapat memahami materi-materi aljabar Boolean secara

lebih lanjut




Bentuk Kanonik

Ada dua macam bentuk kanonik:

1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)

2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz � SOP

Setiap suku (term) disebut minterm

2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) � POS

Setiap suku (term) disebut maxterm

Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap

Konversi Antara Bentuk Kanonik

Misalkan

f(x, y, z) = Σ (1, 4, 5, 6, 7)



dan f ’adalah fungsi komplemen dari f,

f ’(x, y, z) = Σ (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3

Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:

f’(x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’

= m0’ . m2’ . m3’

= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’

= (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)

= M0 M2 M3

= ∏ (0,2,3)

Jadi, f(x, y, z) = Σ (1, 4, 5, 6, 7) = ∏ (0,2,3).

Kesimpulan: mj’ = Mj

Bentuk Baku

Tidak harus mengandung literal yang lengkap.

Contohnya:

f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP)

f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS)



Petemuan 11


Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh: f(x, y) = x’y + xy’ + y’

disederhanakan menjadi

f(x, y) = x’ + y’

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:

1. Secara aljabar

2. Menggunakan Peta Karnaugh

3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

1. Penyederhanaan Secara Aljabar

Contoh:

• f(x, y) = x + x’y

= (x + x’)(x + y)

= 1 ⋅ (x + y )

= x + y

• f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’

= x’z(y’ + y) + xy’

= x’z + xz’


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang materi terakhir dari aljabar boolean


Mahasiswa diharapkan dapat mengerti secara total tentang materi aljabar

boolean




• f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)

= xy + x’z + xyz + x’yz

= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

2. Peta Karnaugh

Peta karnaugh dengan dua peubah

Peta karnaugh dengan tiga peubah

Peta karnaugh dengan empat peubah

Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh

1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga



Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’

Hasil Penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wxy

Bukti secara aljabar:

f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’

4. wxy(z + z’) 5. wxy(1) 6. wxy

2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga

Sebelum disederhanakan : f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’

Hasil penyederhanaan : f(w, x, y, z) = wx

Bukti secara aljabar:

f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy

= wx(z’ + z)

= wx(1)

= wx



Contoh lain:

Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wx’y’z’ + wx’y’z

Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wy’

= Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga

Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’ + wx’y’z’

+ wx’y’z + wx’yz + wx’yz’

Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w

Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wy’ + wy

= w(y’ + y)

= w



Kondisi Don’t Care

Kondisi ini hanya digunakan untuk bantuan dalam meminimalisir fungsi Boolean.

Jika kita tidak membutuhkan bantuan, maka kita perlu memperdulikan literal

tersebut.



Contoh:

Dari tabel berikut, minimisasi fungsi f sesederhana mungkin.

Jawab:

Hasil penyederhanaan: f(a, b, c, d) = bd + c’d’ + cd


Rangkaian logika

Petemuan 12

Rangkaian logika

Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang rangkaian logika, disini akan di

jelaskan sedikit tentang aplikasi dari aljabar Boolean.

Contoh dari aplikasi aljabar Boolean yaitu:

1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)

Saklar merupakan objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup.

Tiga bentuk gerbang paling sederhana dari jaringan pensaklaran yaitu:

Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka ⇒ x

Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka ⇒ xy

Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka ⇒ x + y

Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:

a. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang bagaimana cara membuat rangkain logika


Mahasiswa diharapkan dapat membaca simbol-simbol dari rangkaian logika

sekaligus dapat merangkai sebuah rangkaian



Rangkaian logika

b. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR

2. Rangkaian Logika

Gerbang-Gerbang Turunan :


Rangkaian logika

ekivalen dengan

ekivalen dengan

ekivalen dengan

Contoh Soal:

Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.

Jawab: (a) Cara pertama


Rangkaian logika

(b) Cara kedua

(c) Cara ketiga

Modul Praktikum Logika Dasar - lab.ilkom.unila.ac.idlab.ilkom.unila.ac.id/modul/semester ganjil/D3...

Documents

Transcript of Modul Praktikum Logika Dasar - lab.ilkom.unila.ac.idlab.ilkom.unila.ac.id/modul/semester ganjil/D3...