Modul Praktikum Fisika Komputasi II - labfisikauntan.com komputasi 2.pdf · Modul II. Metode...

1

Modul Praktikum Fisika Komputasi II disusun Oleh : Yudha Arman

Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Untiversitas Tanjungpura Pontianak 2018

2

Modul I. Metode Regresi Kuadrat Terkecil Linier

Tujuan Praktikum :

1. Mahasiswa dapat menuliskan kembali metode Regresi Kuadrat Terkecil Linier.

2. Mahasiswa dapat membuat sebuah aplikasi komputer terkait penggunaan

metode Regresi Linier Kuadrat Terkecil.

3. Mahasiswa dapat merumuskan sebuah permasalahan fisis dan menyelesaikan

permasalahan tersebut dengan bantuan aplikasi yang telah dibuat.

Dasar Teori

Perumusan Umum Metode Kuadrat Terkecil Linier

Formulasi Matrik untuk Metode Kuadrat Terkecil Linier

Model umum kuadrat terkecil adalah

𝑦 = 𝑎0𝑧0 + 𝑎1𝑧1 + 𝑎2𝑧2 + …+ 𝑎𝑚𝑧𝑚 + 𝑒

dimana 𝑧0, 𝑧1, … , 𝑧𝑚 adalah fungsi-fungsi yang saling berbeda. Terminologi linier

diperoleh dari kebergantungan model pada paramater model, yaitu pada ai.

Dalam bentuk matriks persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

{𝑌} = [𝑍]{𝐴} + {𝐸}

dengan Z adalah matriks nilai dari fungsi yang dihitung untuk setiap variabel bebas,

yang dapat ditulis sebagai :

{𝑍}= [

𝑧01 𝑧11

𝑧02 𝑧12

⋯ 𝑧𝑚1

⋯ 𝑧𝑚2

⋮ ⋮𝑧0𝑛 𝑧1𝑛

⋯ ⋮⋯ 𝑧𝑚𝑛

]

dengan m adalah jumlah parameter model dan n adalah jumlah data. Karena sering

ditemui n ≥ m+1, matriks [Z] juga ditemukan tidak selalu berupa matriks bujur

sangkar. Vektor kolom [Y] berisi nilai dari hasil observasi, yaitu :

{𝑌}𝑇=[ 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑛 ]

Vektor kolom [A] merupakan koefisien parameter model

{𝐴}𝑇=[ 𝑎0 𝑎1 … 𝑎𝑚 ]

dan vektor kolom [E] berisi selisih

{𝐸}𝑇=[ 𝑒1 𝑒2… 𝑒𝑛 ]

3

Selisih kuadrat dari model ini dapat dituliskan sebagai :

𝑆𝑟 = ∑(𝑦𝑖 − ∑𝑎𝑗𝑧𝑗𝑖

𝑚

𝑗=0

)

𝑛

𝑖=1

2

Kuantitas ini diminimumkan dengan mengambil turunan parsial terhadap setiap

parameter model dan membuat turunan parsial tersebut sama dengan nol. Hasil dari

proses tersebut adalah :

[[𝑍]𝑇[𝑍]]{𝐴} = {[𝑍]𝑇{𝑌}}

Pencarian solusi matriks {A} dapat dilakukan dengan metode dekomposisi LU,

eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss-Jordan, Gauss-Seidel maupun metode iteratif

Jacobi.

Langkah Praktikum 1

1. Tuliskan/ turunkan kembali perumusan metode Kuadrat terkecil linier orde 1

secara sistematis untuk kasus z0 = 0 dan z1 = x (biasa disebut dengan regresi

linier).

2. Lengkapi algoritma di bawah ini.

Algoritmanya :

Masukan : Jumlah data (N), xi,yi dengan i=1,2,...,N

Keluaran : A [a1 a2] T

Langkah :

jum_x = ...

jum_y = ...

jum_x2 = ...

jum_xy = ...

Untuk ii =1:N

jum_x = jum_x + x(...);

jum_y = jum_y + y(...);

jum_x2 = jum_x2 + x(...)2;

jum_xy = jum_xy + (x(...)*y(...));

𝑍 = (𝑁 𝑗𝑢𝑚_𝑥… 𝑗𝑢𝑚_𝑥2

)

𝑌 = (𝑗𝑢𝑚_𝑦

…)

𝐴 = 𝑍−1 ∗ …

4

3. Jika terdapat seperangkat data seperti berikut :

x y

1 0,5

2 2,5

3 2

4 4

5 3,5

6 6,5

7 5,5

Lengkapi kode program berikut berdasarkan algoritma yang telah dibuat

Langkah Praktikum 2

1. Diberikan seperangkat data sebagai berikut :

x y

1 0,5

2 1,7

3 3,4

4 5,7

5 8,4

tuliskan perumusan metode regresi linier kuadrat terkecil untuk fungsi :

𝑦 = 𝑎0

𝑥

𝑎1 + 𝑥

clear all;clc; x=[... ]; y=[...]; [m,N]=size (x); jum_x = ...; jum_y = ...; jum_xy = ...; jum_x2 =0; for ii=1:N jum_x = jum_x + x(...); jum_ y = jum_y + y(...); jum_xy = jum_xy + (x(...)*y(...)); jum_x2 = jum_x2 + (x(...)^2); end Z=[ ... ... ; ... ...]; Y=[... ;...]; A= inv(Z)*Y;

5

2. Modifikasi program aplikasi yang telah dibuat sebelumnya untuk menghitung a0

dan a1 sesuai permasalahan di atas.

3. Plot dan analisis model yang telah dibuat.

6

Modul II. Metode Regresi Non Linier

Tujuan Praktikum :

1. Mahasiswa dapat menuliskan kembali metode Regresi Non Linier.

2. Mahasiswa dapat membuat sebuah aplikasi komputer penggunaan metode

Regresi Non Linier.



Dasar Teori

Dalam beberapa kasus di pemodelan sains, terdapat beberapa permasalahan

untuk melakukan pencocokan kurva dengan model yang bersifat non linier, seperti

model cuaca, persamaan pemodelan kedepan Self Potential, peluruhan radioaktif

dan lain-lain.

Seperti halnya kuadrat terkecil, regresi non linier didasarkan pada penentuan

nilai parameter model yang meminimumkan jumlah dari kuadrat kesalahan. Namun,

tidak seperti halnya pada kasus linier, pada kasus non linier solusi diperoleh melalui

proses yang dilakukan secara iteratif.

Pada kasus non linier, secara umum hubungan antara data dengan

persamaan non linier yang dianggap dapat menghampiri data adalah :

𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖; 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑚) + 𝑒𝑖

dengan yi adalah data hasil pengukuran, f(xi) adalah fungsi non linier dari variabel

bebas dengan parameter model a0, a1, ..., am , serta ei adalah kesalahan acak.

Metode Gauss Newton

Pada metode ini, fungsi nonlinier diekspansikan dalam deret Taylor. Bentuk

hampiran tersebut berbentuk fungsi linier.

𝑓(𝑥𝑖)𝑗+1 = 𝑓(𝑥𝑖)𝑗 +𝜕𝑓(𝑥𝑖)𝑗

𝜕𝑎0∆𝑎0 +

𝜕𝑓(𝑥𝑖)𝑗

𝜕𝑎1∆𝑎1

dengan j adalah tebakan awal, j+1 adalah prediksi, a0 = a0,j+1 - a0,j dan a1 =

a1,j+1 - a1,j

7

Dari proses ini terlihat hubungan yang linier antara model asal terhadap

parameter modelnya. Persamaan hampiran kemudian disubstitusikan ke

persamaan model menjadi:

𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖)𝑗 =𝜕𝑓(𝑥𝑖)𝑗

𝜕𝑎0∆𝑎0 +

𝜕𝑓(𝑥𝑖)𝑗

𝜕𝑎1∆𝑎1 + 𝑒𝑖

atau dalam bentuk matriks :

{𝐷} = [𝑍𝑗]{∆𝐴} + {𝐸}

dengan [Zj] adalah matrik turunan parsial fungsi non linier terhadap setiap

parameter model, atau biasa juga disebut sebagai matriks Jacobi,

[𝑍𝑗]=

[ 𝜕𝑓1𝜕𝑎0

𝜕𝑓1𝜕𝑎1

𝜕𝑓2𝜕𝑎0

𝜕𝑓2𝜕𝑎1

⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑎0

⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑎1]

dengan n adalah jumlah data dan 𝜕𝑓𝑛

𝜕𝑎𝑘 adalah turunan parsial fungsi terhadap

parameter model ke k yang kemudian dievaluasi pada data ke i. Vektor {D} berisi

selisih antara data dengan nilai fungsi

{𝐷}=

[ 𝑦1 − 𝑓(𝑥1)𝑦2 − 𝑓(𝑥2)𝑦3 − 𝑓(𝑥3)

⋮𝑦𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛)]

dan vektor {A} adalah vektor yang berisi perubahan nilai parameter model.

{∆𝐴}=

[ ∆𝑎0

∆𝑎1

∆𝑎2

⋮∆𝑎𝑚]

Dengan menggunakan teorema kuadrat terkecil diperoleh

[[𝑍𝑗]𝑇[𝑍𝑗]] {∆𝐴} = {[𝑍𝑗]

𝑇{𝐷}}

Solusi setiap langkahnya dapat diperoleh dengan menggunakan teknik

penyelesaian SPL pada umumnya. Hasil dari proses ini adalah lebar langkah dari

perubahan parameter model, yang kemudian dapat digunakan untuk melakukan

perbaikan hampiran parameter model yang diperoleh pada iterasi sebelumnya.

8

Langkah Praktikum

1. Tuliskan/turunkan kembali perumusan metode regresi non linier secara

sistematis untuk kasus 𝑓(𝑥, 𝑎0, 𝑎1) = 𝑎0(1 − 𝑒𝑎1𝑥)

2. Lengkapi algoritma di bawah ini.

Masukan : xi, yi dengan i =1,2,3,..., jumlah data

𝑎0 0 , 𝑎1

0 parameter model awal

n_iter jumlah iterasi

𝑓(𝑥, 𝑎0 , 𝑎1 )

eps

Keluaran : A solusi

Langkah :

Untuk ii = 1 : n_iter

fx = 𝑓(𝑥, 𝑎0 , 𝑎1 )

𝐷 = {𝑦} − {𝑓𝑥}

[𝑍]=

[

𝜕𝑓(𝑥1)

𝜕𝑎0

𝜕𝑓(𝑥1)

𝜕𝑎1

𝜕𝑓(𝑥2)

𝜕𝑎0

𝜕𝑓(𝑥2)

𝜕𝑎1

⋮𝜕𝑓(𝑥𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑡𝑎)

𝜕𝑎0

⋮𝜕𝑓(𝑥𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑡𝑎)

𝜕𝑎1 ]

dA=(ZT*Z)-1*(ZT*D);

a0 = a0+dA(1,1);

a1 = a1+dA(2,1);

A = [a0; a1]

fx = 𝑓(𝑥, 𝑎0 , 𝑎1 )

jika RMS (y-fx) ≤ eps maka solusi = A

9

3. Berdasarkan algoritma yang dibuat, lengkapi kode program untuk seperangkat

data berikut

x y

0,25 0,28

0,75 0,57

1,25 0,68

1,75 0,74

2,25 0,79

dengan tebakan awal 𝑎0 = 1 dan 𝑎1 = 1

clc;clear all;

x=[...]; y=[...]; [m,jumlah_data]=size(x); a0=...; a1=...; n_iter = 10; eps=1e-3; for iterasi=1:n_iter f = @ (x,a0,a1) a0*(1-exp(a1.*x); dfa0 = @ (x,a0,a1) ...; dfa1 = @ (x,a0,a1) ...; for i = 1 : jumlah_data df_a0(i) = dfa0(a0,a1,x(i)); df_a1(i) = dfa1(a0,a1,x(i)); d=y(i)-fx(x(ii),a0,a1) end D=transpose(d); Zt=[df_a0;df_a1]; Z=transpose (Zt); dA=(Zt*Z)\(Zt*D); a0=a0+dA(1,1); a1=a1+dA(2,1); fx =f(x,a0,a1);selisih=(y-fx); if (norm(selisih)/sqrt(jumlah_data))<=eps A=[a0; a1]; break; end end plot(x,y,'-b',x,fx,'r');

10

Modul III. Interpolasi

Tujuan Praktikum :

1. Mahasiswa dapat menuliskan kembali metode-metode interpolasi.


interpolasi.



Dasar Teori

Estimasi nilai tengah dari suatu rentang nilai eksak sering dijumpai dalam

permasalahan sains. Metode yang sering digunakan untuk mengatasi hal ini adalah

metode interpolasi polinomial. Secara umum polinomial yang digunakan adalah

dalam bentuk seperti di bawah ini :

f(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn

Untuk data sejumlah n+1, terdapat hanya sebuah polinomial berderajat n yang

melewati seluruh titik data. Sebagai contoh adalah sebuah garis lurus (polinomial

orde 1) yang menghubungkan dua titik dan sebuah parabola yang menghubungkan

tiga buah titik. Terdapat beberapa bentuk/format polinomial, yaitu polinomial Newton

dan Lagrange.

Polinom Newton

Interpolasi Linier

Bentuk umum dari interpolasi linier adalah

𝑓1(𝑥) = 𝑓(𝑥0) +𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)

𝑥1 − 𝑥0(𝑥 − 𝑥0)

yang menghubungkan dua titik data (𝑥0, 𝑦0) dan (𝑥1, 𝑦1) dengan sebuah garis lurus.

Interpolasi Kuadratik

Bentuk umum dari interpolasi kuadratik adalah

𝑓2(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)

dimana (buktikan):

11

𝑏0 = 𝑓(𝑥0)

𝑏1 =𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)

(𝑥1 − 𝑥0)

𝑏2 =

𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)

(𝑥2−𝑥1)−

𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥0)

(𝑥1−𝑥0)

(𝑥2 − 𝑥0)

Polinom Interpolasi beda terbagi Newton

Bentuk polinom beda terbagi Newton adalah bentuk umum dari polinom-polinom

sebelumnya yang digunakan untuk mencocokkan kurva polinomial orde n pada data

sejumlah n+1. Polinom ini dituliskan sebagai :

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯+ 𝑏𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)… (𝑥 − 𝑥𝑛−1)

dengan :

𝑏0 = 𝑓(𝑥0)

𝑏1 = 𝑓(𝑥1, 𝑥0 )

𝑏2 = 𝑓(𝑥2, 𝑥1, 𝑥0)

...

𝑏𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2, … 𝑥1,𝑥0)

dimana

𝑓(𝑥𝑖, 𝑥𝑗 ) =𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑗)

𝑥𝑖 − 𝑥𝑗

𝑓(𝑥𝑖, 𝑥𝑗 , 𝑥𝑘) =𝑓(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗) − 𝑓(𝑥𝑗 , 𝑥𝑘)

𝑥𝑖 − 𝑥𝑘

𝑓(𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1, … 𝑥1, 𝑥0) =𝑓(𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1, … 𝑥1) − 𝑓(𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2, … , 𝑥0)

𝑥𝑛 − 𝑥0

Tabel berikut menunjukkan perumusan polinomial Newton beda terbagi.

12

i X(i) F(xi) pertama kedua ketiga

0 X0 F(x0) F(x1, x0) F(x2,x1,x0) F(x3,x2,x1,x0)

1 X1 F(x1) F(x2, x1) F(x3,x2,x1)

2 X2 F(x2) F(x3, x2)

3 X3 F(x3)

Langkah Praktikum

1. Tuliskan/turunkan kembali perumusan metode interpolasi Newton untuk

menghitung nilai dari f(x) = ln(x) dari seperangkat data berikut secara sistematis.

x f(x)=ln(x)

1 0

4 1,3862944

6 1,7917595

5 1,6094379

3 1,0986123

1,5 0,4054641

2,5 0,9162907

3,5 1,2527630

2. Pelajari algoritma di bawah ini.

Algoritma Interpolasi Newton Beda Terbagi

Masukan : x,y (m,n ukuran x) Keluaran : f(xu) Langkah :

untuk i=1:n

R(i, 1) = y(i)

untuk j=2:n

untuk i=1:(n+1-j)

R(i, j) =𝑅(𝑖+1,𝑗−1)−𝑅(𝑖,𝑗−1)

𝑥(𝑗+𝑖−1)−𝑥(𝑖)

untuk i=2:n

b_kw(i)=1;

untuk j=1:(i-1)

b_kw(i) = b_kw(i)*(x_u-x(j))

suku(i)=R(1,i)*b_kw(i)

f(xu) = R(1,1)

untuk i=2:n

f(xu) = f(xu) + suku(i)

3. Salin kode program dalam bahasa Matlab berikut dan modifikasi untuk mencari

nilai dari f(5,5) =ln(5,5)

13

clc;clear all % input data --------------------------- x = [1 4 6 5 3 1.5 2.5 3.5]; y = [0 1.3862944 1.7917595 ... 1.6094379 1.0986123 0.4054641 ... 0.9162907 1.2527630]; [m,jum_data] = size(x); R = zeros(jum_data,jum_data); % ---------------------------------------------f(x)=ln(x); for i=1:jum_data; R(i,1) = y(i); end for j=2:jum_data; for i=1:(jum_data+1-j); R(i,j)=(R(i+1,j-1)-R(i,j-1))/(x(j+i-1)-x(i)); end end xinput=2; for i=2:jum_data; b_kw(i)=1; for j=1:(i-1); b_kw(i)=b_kw(i)*(xinput-x(j)); end suku(i)=R(1,i)*b_kw(i); end fn=R(1,1); for i=2:jum_data fn=fn+suku(i); end fn

14

Polinom Interpolasi Lagrange

Polinom Interpolasi Lagrange merupakan modifikasi dari bentuk polinom interpolasi

beda terbagi Newton. Polinom ini tidak memerlukan penghitungan beda terbagi

seperti halnya pada polinom interpolasi Newton. Bentuk umum dari polinom

Interpolasi Lagrange adalah sebagai berikut :

𝑓𝑛(𝑥) = ∑𝐿𝑖(𝑥)𝑓(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=0

dengan

𝐿𝑖(𝑥) = ∏𝑥 − 𝑥𝑗

𝑥𝑖 − 𝑥𝑗

𝑛

𝑗=0𝑗≠𝑖

Sebagai contoh, untuk orde 1, polinom ini berbentuk :

𝑓1(𝑥) =𝑥 − 𝑥1

𝑥0 − 𝑥1𝑓(𝑥0) +

𝑥 − 𝑥0

𝑥1 − 𝑥0𝑓(𝑥1)

dan untuk orde 2, polinom ini berbentuk :

𝑓2(𝑥) =𝑥 − 𝑥1

𝑥0 − 𝑥1

𝑥 − 𝑥2

𝑥0 − 𝑥2𝑓(𝑥0) +

𝑥 − 𝑥0

𝑥1 − 𝑥0

𝑥 − 𝑥2

𝑥1 − 𝑥2𝑓(𝑥1) +

𝑥 − 𝑥0

𝑥2 − 𝑥0

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1𝑓(𝑥2)

Langkah Praktikum

1. Tuliskan/turunkan kembali perumusan metode interpolasi Lagrange untuk

menghitung nilai dari f(x) = ln(x) dari seperangkat data pada tabel percobaan

sebelumnya secara sistematis.

2. Pelajari algoritma di bawah ini.

15

Algoritma Interpolasi Lagrange

Masukan : x,y (m,n ukuran x) Keluaran : f(xu) Langkah :

f(xu)=0

untuk i=0:n

𝐿𝑖(𝑥) = 1

untuk j=0:n

jika j ≠ i maka 𝐿𝑖(𝑥) = 𝐿𝑖(𝑥) ∗𝑥𝑢−𝑥𝑗

𝑥𝑖−𝑥𝑗

f(xu) = f(xu) + suku(i)

3. Dari Algoritma tersebut, buat sebuah aplikasi dalam bahasa Matlab untuk

melakukan interpolasi pada data tabel percobaan sebelumnya.

16

Modul IV. Akar karakteristik (Eigen)

Tujuan Praktikum :

1. Mahasiswa dapat menuliskan kembali metode pencarian akar karakteristik.


pencarian akar karakteristik.



Dasar Teori

Jika terdapat suatu matriks A, yang berukuran n x n, nilai karakteristik dari matriks

A tersebut salah satunya dapat diartikan sebagai nilai skalar yang berpasangan

dengan vektor x ≠ 0 dan memenuhi persamaan matriks:

𝐴𝑥 = 𝜆𝑥

dimana A adalah suatu matriks berukuran n x n dan X adalah vektor karakteristik.

Persamaan di atas, dengan identitas matriks dapat dituliskan sebagai :

𝐴𝑥 − 𝜆𝐼𝑥 = 0

[𝐴 − 𝜆𝐼]𝑥 = 0

Jika dimisalkan matrix A merupakan suatu matriks bujur sangkar yang berorde 2 x 2

maka dapat dituliskan sebagai :

[𝐴 − 𝜆𝐼]𝑥 = [[𝐴11 𝐴12

𝐴21 𝐴22] − [

𝜆 00 𝜆

]] [𝑥1

𝑥2] = [

00]

Karena vektor x tidak boleh bernilai nol, maka persamaan di atas dapat diselesaikan dengan cara:

𝑑𝑒𝑡[𝐴 − 𝜆𝐼] = 0

dan dapat ditulis sebagai:

𝜆2 − 𝜆(𝐴11 + 𝐴22) − (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21) = 0

Persamaan tersebut dikenal dengan persamaan akar karakteristik. Contoh dari

penggunaan metode ini adalah untuk menentukan besarnya nilai dan vektor Eigen

dari suatu matriks. Untuk matriks yang memiliki orde yang besar, maka penentuan

akar karakteristik dapat dilakukan dengan metode Le Verrier-Faddeev.

17

Metode Le Verrier-Faddeev

Jika nilai matriks di atas ditulis dalam bentuk polinomial:

|𝐴 − 𝜆𝐼| = 𝑎0𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆

𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝜆 + 𝑎𝑛 = 𝑃𝑛(𝜆) dengan:

𝑎0 = (−1)𝑛

𝑎1 = −𝑎0𝑠1

𝑎2 = −(𝑎0𝑠2 + 𝑎1𝑠1)/2

...

𝑎𝐾 = −(𝑎0𝑠𝐾 + 𝑎1𝑠𝐾−1 + ⋯+ 𝑎𝐾−1𝑠1)/𝐾

menurut teorema Newton, untuk sebuah matriks A, jumlah elemen diagonal matriks

A sama dengan jumlah nilai eigen dari matriks A tersebut, yang dapat dituliskan

sebagai :

𝑠𝑘 = ∑𝜆𝑖𝑘

𝑛

𝑖=1

= 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴𝑘) = ∑𝑎𝑖𝑖

𝑛

𝑖=1

dan berdasarkan rumusan Faddeev, maka akan didapatkan:

𝑎𝑖 = −(−1)𝑛𝑃𝑖 𝑖 = 1,2,3, … 𝑛

dengan:

𝑃𝑖 =1

𝑖𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴𝑖) 𝑖 = 1,2,3, … 𝑛

Sehingga dengan formulasi tersebut, persamaan karakteristik untuk matriks berorde

lebih dari 2 (dua) dapat ditentukan. Secara sistematis proses penentuan persamaan

karakteristik dapat dilakukan sebagai berikut :

A1 = A P1 = trace (A1) B1 = A1 -P1*I A2 = AB1 P2 = trace (A2)/2 B2 = A2 -P2*I ... ... ... An-1 = ABn-2 Pn-1 = trace (An-1)/(n-1) Bn-1 = An-1 -Pn-1*I An = ABn-1 Pn-2 = trace (An) / n Bn = An -Pn * I

Langkah Praktikum

1. Tuliskan/turunkan kembali perumusan metode pencarian akar karakteristik untuk

mencari persamaan dan akar karakteristik dari matriks [1 2 32 2 −13 −1 1

]

2. Lengkapi algoritma berikut.

18

function (S) = trace_g(A) S = 0; [m,n] = size(A); for i = 1 : n for j = 1 : m if i==j S = S + A(i,j); end end end

Masukan : A (m,n ukuran x)

Keluaran : persamaan karakteristik Langkah : 0. [m,n] = ukuran (A) Jika m ≠ n maka 'Matriks tidak dapat diselesaikan' 1. penentuan trace matriks trace (A) = 0 untuk i =1 : n

untuk j = 1: m Jika i=j maka trace(A)=trace(A)+Aij

2. penentuan persamaan karakteristik

a. buat matriks B = matriks identitas ukuran n x n b. untuk i=1 : n

A_temp = A * B P(i) = trace(A_temp)/i B = A_temp - P(i) * I

c. persamaan karakteristik

(-1)n ( n - P1 n-1 - P2 n-2

- ... - Pn-1 - Pn ) = 0

3. Penentuan akar karakteristik. Pada bagian ini digunakan subroutine rutis (Munadi,1990)

3. Lengkapi kode program Matlab berikut ini clc;clear all; P=[]; A=[ 1 2 3;2 2 -1;3 -1 1]; [jlh_baris,jlh_kolom]=size (A); n=jlh_baris; B=eye(jlh_baris,jlh_kolom); for hitung=1:n Al=A*B; P=[P trace_g(Al)/hitung]; B=Al-P(hitung)*eye(n,n); end % persamaan karakteristik P =(-1)^n *[1 -P] [akar,ier,D] =Rutis(P,n,60,1e-2)

19

function[Q,IER,D]=Rutis(P,N,KMAX,eps) Q=zeros(1,N); D=zeros(1,N+1); IER=0; K=0; Q(1)=-P(2)/P(1); D(1,1)=0; for j=2:N; Q(1,j)=0; D(1,j)=P(1,j+1)/P(1,j); end D(1,N+1)=0; while K<KMAX K=K+1; Aux=Q(1,1); Q(1,1)=D(1,2)+Q(1,1); D(1,1)=0; E=abs(Q(1,1)-Aux); for j=2:N Aux= Q(1,1); Q(1,j)=D(1,j+1)-D(1,j)+Q(1,j); D(1,j)=Q(1,j)*D(1,j)/(Q(1,j-1)); E=E+abs(Q(1,j)-Aux); end D(1,N+1)= 0; if E<eps IER=1; end end

20

Modul V. Persamaan Diferensial Biasa

Tujuan Praktikum :

1. Mahasiswa dapat menuliskan kembali metode-metode yang digunakan dalam

menyelesaikan persamaan diferensial biasa.


metode Euler, Heun dan Runge Kutta.



Dasar Teori Metode yang akan digunakan pada modul ini adalah metode-metode untuk menyelesaikan berbentuk umum berikut :

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦)

Pada umumnya, untuk menyelesaikan persamaan tersebut digunakan pendekatan

𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑙𝑎𝑚𝑎 + 𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒 𝑥 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎ℎ atau dalam bentuk formulasi matematis :

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ∅ℎ yaitu nilai estimasi slope ∅ digunakan untuk menghampiri nilai 𝑦𝑖+1 dari 𝑦𝑖 sejauh h. Perumusan ini dapat diaplikasikan secara langkah per langkah untuk mendapatkan nilai hampiran yang baru. Metode Euler Metode ini dicirikan dengan nilai ∅ memenuhi persamaan

∅ = 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) dimana 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) adalah persamaan diferensial yang dievaluasi pada 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖 yang

kemudian digunakan untuk menghampiri 𝑦𝑖+1 melalui persamaan

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)ℎ Hal ini dapat berarti nilai baru dari y diprediksi menggunakan slope untuk mengekstrapolasi secara linier dalam selang langkah h.

21

Langkah praktikum.

1. Hitung 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8.5

dari x=0 ke x=4 dengan lebar langkah 0.5. Diketahui syarat awal yaitu y=1 pada x=0.

2. Hitung terlebih dahulu solusi analitik dari persamaan tersebut.

3. tentukan 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8.5 dan substitusikan seluruh nilai x ke persamaan ini.

4. Hitung nilai y menggunakan persamaan

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖)ℎ

5. Buat tabel perhitungan seperti berikut

x F(x) y

0 8.5 1

0.5 ... ...

1 ... ...

... ... ...

4 ... ...

6. Buat algoritma dari metode ini dan salin ke dalam bahasa Matlab.

Metode Heun Merupakan metode yang digunakan untuk memperbaiki estimasi yang dilakukan pada metode Euler. Jika di metode Euler hanya menggunakan satu perhitungan estimasi slope, maka di metode Heun estimasi slope yang pertama digunakan untuk melakukan estimasi slope kedua yang kemudian diambil nilai rata-ratanya untuk estimasi nilai y berikutnya. Dalam formulasi matematis : 1. hitung

𝑦′ = 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)

2. gunakan untuk melakukan ekstrapolasi 𝑦𝑖+1

𝑦𝑖+10 = 𝑦𝑖 + 𝑦′ℎ

yang biasa disebut sebagai persamaan predictor

3. hitung 𝑦𝑖+1′ = 𝑓(𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖+1

0)

4. dan gunakan untuk menghitung

�̅� =𝑦′ + 𝑦𝑖+1′

2

5. yang akan memperoleh hampiran akhir :

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + �̅�ℎ

yang juga biasa disebut sebagai persamaan corrector.

22

Metode Runge-Kutta Metode ini memiliki akurasi seperti pada hampiran deret Taylor namun tidak memerlukan penghitungan turunan yang lebih tinggi. Variasi dari metode ini cukup banyak namun secara umum memiliki bentuk :

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ∅(𝑥𝑖, 𝑦𝑖, ℎ)ℎ dengan ∅(𝑥𝑖, 𝑦𝑖, ℎ) merupakan fungsi increment. Dalam bentuk umum fungsi ini dapat dituliskan sebagai :

∅ = 𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘2 + 𝑎3𝑘3+. . +𝑎𝑛𝑘𝑛 dimana a adalah konstanta dan k : 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) 𝑘2 = 𝑓(𝑥𝑖 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞11𝑘1ℎ) 𝑘3 = 𝑓(𝑥𝑖 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞21𝑘1ℎ + 𝑞22𝑘2ℎ) . . .

𝑘𝑛 = 𝑓(𝑥𝑖 + 𝑝𝑛−1ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑞𝑛−1,1𝑘1ℎ + 𝑞𝑛−1,2𝑘2ℎ + ⋯+ 𝑞𝑛−1,𝑛−1𝑘𝑛−1ℎ)

dan q dan p adalah konstanta. Perlu diingat bahwa nilai-nilai k berhubungan secara secara rekursif. Orde dari metode Runge Kutta ditentukan dari indeks n yang melekat pada k. Setelah disingkat, formulasi matematis untuk berbagai variasi metode Runge-Kutta dituliskan sebagai berikut : a. Metode Runge-Kutta Orde 2 (versi Ralston dan Rabinowitz(1978))

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + (1

3𝑘1 +

2

3𝑘2)ℎ

dengan 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)

𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑖 +3

4ℎ, 𝑦𝑖 +

3

4𝑘1ℎ)

b. Metode Runge-Kutta Orde 3

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +1

6(𝑘1 + 4𝑘2 + 𝑘3)ℎ

dengan 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)

𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑖 +1

2ℎ, 𝑦𝑖 +

1

2𝑘1ℎ)

𝑘3 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 − 𝑘1ℎ + 2𝑘2ℎ)

c. Metode Runge-Kutta Orde 4

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +1

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)ℎ

dengan

23

𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)

𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑖 +1

2ℎ, 𝑦𝑖 +

1

2𝑘1ℎ)

𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑖 +1

2ℎ, 𝑦𝑖 +

1

2𝑘2ℎ)

𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘3ℎ)

Langkah Praktikum

Diberikan persamaan diferensial orde 1 𝑦 ′ = 4𝑒0.8𝑥 − 0.5𝑦 Akan dicari solusi untuk x=0 hingga x=4 dengan langkah h=1 serta kondisi awal x=0 y=2 menggunakan metode Heun dengan pendekatan predictor-corrector.

Predictor : 𝑦𝑖+10 = 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)ℎ

Corrector : 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑖)+𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑖+1

0 )

2ℎ

Solusi analitik telah ditentukan sebelumnya dalam bentuk :

𝑦(𝑥) =4

1.3(𝑒0.8𝑥 − 𝑒−0.5𝑥) + 2𝑒−0.5𝑥

Langkah kerja :

1. Menentukan slope pada (x0,y0),

𝑦 ′ = 4𝑒0 − 0.5(2) = 3

2. Menentukan nilai estimasi y pada x=1.0 menggunakan predictor.

𝑦 10 = 2 + 3(1) = 5

3. Untuk memperbaiki nilai estimasi 𝑦𝑖+1, digunakan nilai 𝑦 10 untuk memprediksi slope di akhir

interval.

𝑦 1′ = 𝑓(𝑥1, 𝑦 1

0) = 4𝑒0.8(1) − 0.5(5) = 6.402164

4. Menggabungkan slope awal untuk menghasilkan slope rata-rata dari interval x=0 sampai 1

𝑦 ′ =3 + 6.402164

2= 4.701082

5. Solusi (4) disubstitusi ke korektor untuk memberikan nilai prediksi pada x=1

𝑦1 = 2 + 4.701082(1) = 6.701082

6. Substitusi balik hasil (5) ke persamaan ruas kanan korektor untuk memperbaiki prediksi 𝑦1

𝑦1 = 2 +[3 + 4𝑒0.8(1) − 0.5(6.701082)]

21 = 6.275811

7. Lakukan langkah (6) sebanyak iterasi yang diinginkan :

𝑦1 = 2 +[3 + 4𝑒0.8(1) − 0.5(6.275811)]

21 = 6.382129

24

8. Salin kode Matlab berikut :

% Program untuk menghitung diffrensial orde satu % y'=(4*exp(0.8*x))-(0.5*y) % menggunakan metode Heun % pada x=0 y=2 dari x=0 hingga x=4 step h=1 clc;clear all; % metoda Heun y0 = 2;h = 1;x = 0;mx(1)= 0;my(1)= 2; for ii = 1:4 f1 = (4*exp(0.8*x))-(0.5*y0); y = y0+(f1*h); x = x+1; f2 = (4*exp(0.8*x))-(0.5*y); m = (f1+f2)/2; y = y0 + m; for jj=1:16 y1=y; y=y0+((f1+((4*exp(0.8*x))-(0.5*y1))*h)/2); y1=y; end mx(ii+1) = ii; my(ii+1) = y; y0 = y; end % Solusi Analitik y_analitik = ((4/1.3)*(exp(0.8.*mx)- exp(-0.5.*mx))) + 2*exp(-0.5.*mx); plot(mx,my,'r',mx,y_analitik,'b');

9. Analisa hasil

10. Diberikan persamaan diferensial orde 1 :

a. 𝑦 ′ = −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8.5 , ∆ℎ = 0.5 , kondisi awal 𝑦(0) = 1 dan untuk x=0

hingga x=4.

b. 𝑦 ′ = 4𝑒0.8𝑥 − 0.5𝑦 , ∆ℎ = 0.5 , kondisi awal 𝑦(0) = 1 dan untuk x=0 hingga x=4.

Menggunakan metoda Runge Kutta orde 4: 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +1

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)ℎ

dan

25

𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)

𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑖 +1

2ℎ, 𝑦𝑖 +

1

2𝑘1ℎ)

𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑖 +1

2ℎ, 𝑦𝑖 +

1

2𝑘2ℎ)

𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘3ℎ)

11. Gunakan bantuan matlab dengan kode berikut :

Untuk 𝑦 ′ = −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8.5 , ∆ℎ = 0.5

clc;clear all; x0=0;y0=1;h=0.5;my(1)=1;mx(1)=0; for ii = 1:8 k1 = (-2*(x0^3))+(12*(x0^2))-(20*x0)+8.5; x1 = x0+(0.5*h);y1=y0+(0.5*h*k1); k2 = (-2*(x1^3))+(12*(x1^2))-(20*x1)+8.5; y2 = y0+(0.5*h*k2); k3 = (-2*(x1^3))+(12*(x1^2))-(20*x1)+8.5; x2 = x0+h; y3=y0+(0.5*h*k3); k4 = (-2*(x2^3))+(12*(x2^2))-(20*x2)+8.5; y = y0 + ((1/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4)*h); x0 = x0 + h; y0 = y; my(ii+1) = y; mx(ii+1) = ii/2; end x_analitik=0:0.5:4 y_analitik=(-0.5.*x_analitik.^4)+(4.*x_analitik.^3)-(10.*x_analitik.^2)+(8.5.*x_analitik)+1 plot(mx,my,'or',x_analitik,y_analitik)

12. Analisa Hasil

26

Modul V. Beda Hingga (Finite Differences) Tujuan Praktikum :

1. Mahasiswa dapat menuliskan kembali metode Beda Hingga untuk berbagai jenis

Persamaan Diferensial Parsial (PDP).


metode Beda Hingga untuk permasalahan PDP Eliptik, Parabolik dan Hiperbolik.



Dasar Teori Bentuk umum dari persamaan differensial parsial (PDP) orde 2 (dua) adalah :

𝐴𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝐵

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+ 𝐶

𝜕2𝑢

𝜕𝑦𝜕𝑥+ 𝐷 (𝑥, 𝑦, 𝑢,

𝜕𝑢

𝜕𝑥,𝜕𝑢

𝜕𝑦) = 0

Jika:

1. 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0 maka persamaan diferensial parsial ini digolongkan dalam persamaan diferensial model eliptik (contoh: persamaan Laplace dan persamaan Poisson)

2. 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0 maka persamaan diferensial parsial ini digolongkan dalam persamaan diferensial model parabolik (contoh : persamaan konduksi panas bergantung waktu dan persamaan difusi)

3. 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0 maka persamaan diferensial parsial ini digolongkan dalam persamaan diferensial model hiperbolik (contoh : persamaan gelombang)

Beda hingga merupakan suatu metode untuk menentukan solusi dari suatu persamaan differensial parsial dengan menghampiri turunan fungsi dengan deret Taylor untuk kemudian diambil selisih dari hampiran maju dan hampiran mundur yang dilakukan pada fungsi tersebut. Terdapat beberapa varian hampiran, namun pada kali ini hampiran turunan ke dua yang digunakan khusus untuk domain ruang adalah hampiran perbedaan nilai tengah. Hal yang terlebih dahulu harus dilakukan untuk menggunakan metode beda hingga adalah membagi (mendiskritisasi) domain permasalahan menjadi subdomain-subdomain yang lebih kecil. Setiap variabel pada titik simpul dari subdomain tersebut kemudian akan digunakan untuk membangun sebuah sistem persamaan linier (SPL) (yaitu pada persamaan Laplace, domain ruang pada persamaan difusi dan persamaan gelombang) ataupun sistem persamaan yang bersifat iteratif (yaitu pada domain waktu di persamaan difusi maupun gelombang). Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah solusi dari SPL maupun solusi iteratif dari sistem persamaan yang dibangun.

27

𝑢7 + 𝑢5 + 𝑢10 − 4𝑢6 + 𝑢2 = 0 Adapun bentuk umum hampiran untuk beda hingga adalah :

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2≅

𝑢(𝑥 + ℎ) − 2𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥 − ℎ)

ℎ2

dengan h merupakan jarak antara satu titik simpul ke titik simpul yang lain. Modul V.1. Metode Beda Hingga untuk PDP Eliptik Tujuan Praktikum :

1. Mahasiswa dapat menuliskan kembali metode beda hingga untuk menyelesaikan

permasalahan persamaan diferensial parsial eliptik.

2. Mahasiswa dapat membuat sebuah aplikasi komputer penggunaan metode beda

hingga untuk kasus PDP Eliptik.



Dasar Teori Bentuk umum dari persamaan Laplace adalah:

∇2𝑢 = 0 Untuk permasalahan dalam ruang 2 (dua) dimensi pada koordinat kartesian, persamaannya dapat dituliskan sebagai :

u2

h

x

h y

u1 u3

u6 u5 u7

u4

u8

u10 u9 u11 u12

28

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 0

Formulasi beda hingga untuk persamaan tersebut dengan spasi jarak antar titik simpul adalah h dituliskan dalam bentuk :

𝑢(𝑥 + ℎ, 𝑦) − 2𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑢(𝑥 − ℎ, 𝑦)

ℎ2+

𝑢(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 2𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑢(𝑥, 𝑦 − ℎ)

ℎ2= 0

yang dapat juga ditulis dalam bentuk

𝑢(𝑥 + ℎ, 𝑦) − 2𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑢(𝑥 − ℎ, 𝑦) + 𝑢(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 2𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑢(𝑥, 𝑦 − ℎ) = 0 dan

𝑢(𝑥 + ℎ, 𝑦) + 𝑢(𝑥 − ℎ, 𝑦) + 𝑢(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 4𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑢(𝑥, 𝑦 − ℎ) = 0 Solusi PDP akan bernilai unik apabila diberikan syarat batas. Dikenal 2 (dua) jenis

syarat batas yang digunakan yaitu:

1. Syarat batas Dirichlet, yaitu nilai paramater fisis permasalahan diketahui di dalam

maupun pada batas domain.

2. Syarat batas Neumann, yaitu nilai turunan pertama dari parameter fisis yang

ditinjau diketahui baik di dalam maupun pada batas domain.

Persamaan linier yang dibangun untuk setiap titik simpul kemudian diselesaikan

dengan metode penyelesaian SPL yang pernah dibahas sebelumnya. Solusi dari

SPL tersebut adalah solusi bagi PDP Eliptik untuk setiap titik simpul yang terdapat di

dalam domain permasalahan.

Syarat batas yang diberikan disubstitusikan pada SPL yang dibangun. Untuk syarat

batas Dirichlet, secara langsung telah diaplikasikan pada SPL yang dibangun.

Khusus untuk syarat batas Neumann, titik simpul ditambah pada bagian subdomain

yang diketahui syarat batas Neumannya. Turunan pertama dihampiri dengan

perbedaan tengah kemudian diaplikasikan pada titik simpul batas domain. SPL yang

telah dibangun sebelumnya kemudian dimodifikasi pada persamaan linier bagian titik

simpul.

29

Langkah Praktikum

1. Diberikan sebuah persoalan berikut :

Sebuah plat baja berbentuk bujur sangkar memiliki dimensi 10 cm x 10 cm. Plat

tersebut dikondisikan memiliki suhu pada 3 (tiga) sisinya 0oC dan satu sisi

lainnya 100oC. Tentukan suhu di bagian dalam dari plat baja tersebut pada

keadaan tunak dan efek sumber pemanas diabaikan.

2. Jika diberikan variabel T adalah temperatur, maka permasalahan tersebut sesuai

dengan persamaan Laplace dalam koordinat kartesian :

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2= 0

3. Diskritisasi domain menjadi 10 bagian sama besar baik dalam arah x maupun y

(yaitu x=y=h=1 cm).

Diskritisasi domain permasalahan

30

4. Beri tanda setiap titik simpul sesuai kaidah matriks. Inisialisasi syarat batas

Dirichlet pada setiap titik simpul yang didefinisikan.

5. Buat sistem persamaan linier dari setiap titik simpul yang berada di dalam

domain.

𝑇(2,2) =𝑇(3,2) + 𝑇(1,2) + 𝑇(2,1) + 𝑇(2,3)

4

...

𝑇(10,10) =𝑇(11,10) + 𝑇(9,10) + 𝑇(10,9) + 𝑇(10,11)

4

dalam bahasa Matlab dituliskan dalam bentuk :

6. Susun sistem persamaan linier tersebut dalam format berikut :

[𝐴]{𝑇𝑢𝑛𝑘𝑛𝑜𝑤𝑛} = {𝑇𝑘𝑛𝑜𝑤𝑛}

dengan

{𝑇𝑢𝑛𝑘𝑛𝑜𝑤𝑛} = [𝑇22 𝑇23 …𝑇1010]

% inisialisasi syarat batas Dirichlet

clc;clear all; nx=10; % jumlah bagian x ny=10; % jumlah bagian y

T(1,1:nx+1)=100; T(1:ny+1,1)=0; T(1:ny+1,nx+1)=0; T(ny+1,1:nx+1)=0;

j_unk = (nx-1)*(ny-1); % jumlah titik simpul yang tidak diketahui u = zeros(j_unk,j_unk); u1=diag(ones(j_unk-1,1),1); u2=diag(ones(j_unk-1,1),-1); u3=diag(ones(j_unk-(nx-1),1),nx-1); u4=diag(ones(j_unk,1)*-4); u5=diag(ones(j_unk-(nx-1),1),-(nx-1)); u=u1+u2+u3+u4+u5; for j=1:fix(nx/2) u((j*(nx-1))+1,(j*(nx-1)))=0; u((j*(nx-1)),(j*(nx-1)+1))=0; end

A = u;

31

dalam bahasa Matlab dituliskan dalam bentuk :

7. Selesaikan SPL yang sudah dibuat dengan memanfaatkan fungsi inversi matriks

built-in dalam Matlab.

8. Analisis hasilnya dan bandingkan dengan solusi analitiknya

M=zeros(j_unk,1); for i = 1:(nx-1) % dirichlet atas M(i,1)=M(i,1)+T(1,i+1); end for i=1:(ny-1) % dirichlet kanan M((nx-1)*i,1)=M((nx-1)*i,1)+T(i+1,nx+1); end for i=1:(ny-1) % dirichlet kiri M((i-1)*(nx-1)+1,1)=M((i-1)*(nx-1)+1,1)+T(i+1,1); end for i=1:(nx-1) % dirichlet bawah M(2*(nx-1)+i,1)=M(2*(nx-1)+i,1)+T(ny+1,i+1); end

T_known = -M;

T_known = -M; T_unknown =(A'*A)\(A'*T_known);

% untuk plot T_unknown = reshape(T_unknown,nx-1,ny-1)'; image(T_unknown(1:nx-1,1:ny-1));figure(gcf);

32

Syarat batas Neumann pada formulasi Beda Hingga untuk PDP Eliptik

Syarat batas ini merupakan syarat batas berbentuk turunan pertama (flux) dari

parameter fisis yang ditinjau. Turunan pertama dihampiri dengan beda tengah

hampiran deret Taylor.

𝜕𝑇

𝜕𝑥≅

𝑇𝑥+∆𝑥 − 𝑇𝑥−∆𝑥

2∆𝑥

Domain permasalahan khusus untuk permasalahan syarat batas ini ditambah satu

node di luar domain yang ada sebelumnya.

Gambar memperlihatkan penambahan node (sub domain) baru untuk dapat

ditambahkan syarat batas Neumann. Jika syarat batas tersebut berupa

𝜕𝑇

𝜕𝑦= −𝑎

dengan a merupakan sebuah konstanta dan syarat batas ini terdapat pada bagian

utara domain permasalahan, maka persamaan hampiran beda hingga untuk T1

adalah (seperti pada gambar) :

𝑇𝑛 − 4𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇7 + 𝑇𝑎 = 0

dengan Tn adalah syarat batas Dirichlet. Variabel Ta dihampiri oleh :

33

𝜕𝑇

𝜕𝑦≅

𝑇𝑎 − 𝑇7

2∆𝑦= −𝑎

sehingga

𝑇𝑎 = 𝑇7 − 2𝑎∆𝑦

persamaan ini kemudian disubstitusikan ke persamaan hampiran beda hingga

sebelumnya,

𝑇𝑛 − 4𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇7 + 𝑇7 − 2𝑎∆𝑦 = 0

untuk kemudian diselesaikan seperti pada contoh sebelumnya.

Modul V.2. Metode Beda Hingga untuk PDP Parabolik Tujuan Praktikum :

1. Mahasiswa dapat menuliskan kembali metode beda hingga untuk menyelesaikan

permasalahan persamaan diferensial parsial parabolik.

2. Mahasiswa dapat membuat sebuah aplikasi komputer penggunaan metode beda

hingga untuk kasus PDP parabolik.



Dasar Teori

Bentuk PDP seperti yang pernah dituliskan sebelumnya dengan nilai:

𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0 adalah PDP jenis parabolik, yaitu yang memiliki bentuk :

∇2𝑢 = 𝐶𝑝

𝜕𝑢

𝜕𝑡

Untuk permasalahan dalam koordinat kartesian dan berdimensi 2 (dua) dapat

dituliskan dalam bentuk :

𝑘 (𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2) = 𝐶𝑝

𝜕𝑢

𝜕𝑡

34

dengan k dan Cp adalah sebuah konstanta. Terlihat, selain terdapat turunan

terhadap domain ruang, terdapat juga turunan terhadap domain waktu. Turunan

terhadap domain waktu hanya dalam orde turunan pangkat 1(satu). Salah satu

contoh PDP jenis ini adalah persamaan difusi.

Syarat batas yang berlaku pada PDP ini sama seperti syarat batas yang

berlaku pada PDP Eliptik, yaitu syarat batas Dirichlet dan syarat batas Neumann.

Terdapat sedikit perbedaan hampiran untuk kedua syarat batas ini jika dibandingkan

dengan PDP Eliptik.

Metode Eksplisit

Pendekatan yang digunakan pada metode ini adalah perbedaan tengah untuk

domain ruang, sementara untuk domain waktu digunakan hampiran perbedaan

maju, yaitu (kasus 1(satu) Dimensi) :

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2≅

𝑢𝑖+1𝑗

−2𝑢𝑖𝑗+ 𝑢𝑖−1

𝑗

(∆𝑥)2

𝜕𝑢

𝜕𝑡≅

𝑢𝑖𝑗+1

−𝑢𝑖𝑗

∆𝑡

subskript i menyatakan indeks posisi dalam domain permasalahan dan superskript j

menyatakan indeks dalam waktu. Jika digabungkan, formulasi dalam metode ini

menjadi :

𝑢𝑖𝑗+1

=∆𝑡

𝐶𝑝(∆𝑥)2(𝑢𝑖+1

𝑗+𝑢𝑖−1

𝑗) + (1 −

2∆𝑡

𝐶𝑝(∆𝑥)2)𝑢𝑖

𝑗

Hampiran yang umum digunakan untuk menjaga kesatabilan perhitungan adalah :

∆𝑡

𝐶𝑝(∆𝑥)2=

1

2

Namun jika terdapat syarat batas Neumann, nilai tersebut harus < 1/2.

Kasus Dua Dimensi atau Lebih pada Metode Eksplisit

Pada kasus ini, jika ∆𝑥 = ∆𝑦 dan

𝑟 =∆𝑡

𝐶𝑝(∆𝑥)2

hampiran beda hingga untuk PDP parabolik ditulis sebagai :

𝑢𝑖,𝑗𝑘+1 − 𝑢𝑖,𝑗

𝑘 = 𝑟(𝑢𝑖+1,𝑗𝑘 − 2𝑢𝑖,𝑗

𝑘 + 𝑢𝑖−1,𝑗𝑘 + 𝑢𝑖,𝑗+1

𝑘 − 2𝑢𝑖,𝑗𝑘 + 𝑢𝑖,𝑗−1

𝑘 )

yang disederhanakan menjadi

35

𝑢𝑖,𝑗𝑘+1 = 𝑟(𝑢𝑖+1,𝑗


𝑘 + 𝑢𝑖,𝑗−1𝑘 ) + (1 − 4𝑟)𝑢𝑖,𝑗

𝑘

dengan nilai r maksimum agar proses perhitungan stabil adalah 1

4. Untuk kasus lebih

umum dimana ∆𝑥 ≠ ∆𝑦, maka kriteria nilai r adalah :

𝑟 =∆𝑡

𝐶𝑝{(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2}≤

1

8

Untuk kasus tiga dimensi dan untuk kasus ukuran grid sama untuk setiap arahnya,

maka koefisien suku terakhir untuk kasus dua dimensi diubah menjadi (1 − 6𝑟) serta

nilai r untuk menjaga kestabilan perhitungan bernilai ≤1

6.

Metode Crank-Nicolson (Implicit)

Pada metode ini, hampiran untuk domain ruang dilakukan pada waktu j dan waktu

j+1, kemudian diambil nilai rata-ratanya. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai :

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2≅

1

2(𝑢𝑖+1

𝑗−2𝑢𝑖

𝑗+ 𝑢𝑖−1

𝑗

(∆𝑥)2+

𝑢𝑖+1𝑗+1

−2𝑢𝑖𝑗+1

+ 𝑢𝑖−1𝑗+1

(∆𝑥)2)

sedangkan terhadap domain waktu

𝜕𝑢

𝜕𝑡≅

𝑢𝑖𝑗+1

−𝑢𝑖𝑗

∆𝑡

sehingga jika dituliskan secara lengkap :

∇2𝑢 = 𝐶𝑝

𝜕𝑢

𝜕𝑡→

1

2(𝑢𝑖+1

𝑗−2𝑢𝑖

𝑗+ 𝑢𝑖−1

𝑗

(∆𝑥)2+

𝑢𝑖+1𝑗+1

−2𝑢𝑖𝑗+1

+ 𝑢𝑖−1𝑗+1

(∆𝑥)2) = 𝐶𝑝 (

𝑢𝑖𝑗+1

−𝑢𝑖𝑗

∆𝑡)

yang dapat juga dituliskan sebagai :

−𝑟𝑢𝑖−1𝑗+1

+(2 + 2𝑟)𝑢𝑖𝑗+1

− 𝑟𝑢𝑖+1𝑗+1

= 𝑟𝑢𝑖−1𝑗

+ (2 − 2𝑟)𝑢𝑖𝑗+ 𝑟𝑢𝑖+1

𝑗

dimana

𝑟 =∆𝑡

𝐶𝑝(∆𝑥)2

untuk penyederhanaan dibuat r=1, sehingga:

−𝑢𝑖−1𝑗+1

+ 4𝑢𝑖𝑗+1

− 𝑢𝑖+1𝑗+1

= 𝑢𝑖−1𝑗

+ 𝑢𝑖+1𝑗

36

Kelebihan dari metode Crank-Nicolson adalah kestabilan perhitungan untuk

berbagai nilai r, namun lebih disarankan untuk menggunakan nilai r yang cukup

kecil. Nama metode implicit juga dilekatkan pada metode ini karena terdapatnya

suku 𝑢𝑖𝑗+1

yang tidak secara langsung diketahui pada saat awal-awal perhitungan.

Nilai u pada t=t1 tidak hanya merupakan fungsi t=t0, tapi juga melibatkan nilai u pada

langkah waktu yang sama. Hal ini menunjukkan diperlukannya menyelesaikan SPL

untuk setiap langkah waktu yang didefinisikan sebelumnya.

Kasus Dua Dimensi atau Lebih pada Metode Implisit

Perumusan untuk kasus dua dimensi pada metode ini dituliskan sebagai :


𝑘 =𝑟

2(𝑢𝑖+1,𝑗

𝑘+1 − 2𝑢𝑖,𝑗𝑘+1 + 𝑢𝑖−1,𝑗

𝑘+1 + 𝑢𝑖+1,𝑗𝑘 − 2𝑢𝑖,𝑗


𝑘+1 − 2𝑢𝑖,𝑗𝑘+1 + 𝑢𝑖,𝑗−1

𝑘+1

+ 𝑢𝑖,𝑗+1𝑘 − 2𝑢𝑖,𝑗

𝑘 + 𝑢𝑖,𝑗−1𝑘 )

Secara unik (dapat dibuktikan) menggunakan skema Alternating Direction Implicit

(ADI) untuk kemudahan proses komputasi dan penghematan penggunaan memori,

metode ini dituliskan sebagai :


𝑘 = 𝑟(𝑢𝑖+1,𝑗𝑘 − 2𝑢𝑖,𝑗


𝑘+1 − 2𝑢𝑖,𝑗𝑘+1 + 𝑢𝑖,𝑗+1

𝑘+1 )

↑

bagian dari 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

↑

bagian 𝜕2𝑢

𝜕𝑦2

sementara langkah waktu berikutnya menggunakan hampiran berikut :


𝑘+1 = 𝑟(𝑢𝑖+1,𝑗𝑘+2 − 2𝑢𝑖,𝑗

𝑘+2 + 𝑢𝑖−1,𝑗𝑘+2 + 𝑢𝑖,𝑗+1

𝑘+1 − 2𝑢𝑖,𝑗𝑘+1 + 𝑢𝑖,𝑗+1

𝑘+1 )

↑

bagian dari 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

↑

bagian 𝜕2𝑢

𝜕𝑦2

Proses diulang hingga jumlah perulangan yang ditentukan sebelumnya.

Syarat Batas Neumann

Pada batas domain terdapatnya syarat batas jenis ini, domain permasalahan

ditambah satu node. Nilai turunan pertama dari syarat batas tersebut didekati

dengan perbedaan tengah. Variabel tak diketahui pada node tambahan kemudian

disubstitusikan pada persamaan sebelumnya untuk langsung diselesaikan secara

iteratif (metode eksplisit) atau dilakukan penyusunan ulang SPL yang telah

didefinisikan sebelumnya (metode implicit).

37

Langkah Praktikum

1. Jika diberikan permasalahan sebagai berikut:

Sebuah kubus alumunium memiliki ukuran 10cm x 10cm x 10cm (k=217 J/smC,

c=946 J/kgC, =2,7.103 kg/m3). Satu sisi pada kubus tersebut tidak diisolasi

dengan baik dan kubus dibuat bersuhu 550C pada saat awal. Panas yang hilang

berasal dari sisi yang tak diisolasi tersebut akibat kontak dengan aliran fluida

berdasarkan persamaan (temperatur fluida = 20C) :

laju kehilangan panas = hA(u-uo)

dengan

h= 98,9117 J/sm2C

A= luas permukaan setiap sisi alumunium

u = temperatur (C)

uo= temperatur fluida

Tentukan distribusi suhu di dalam kubus setiap saatnya.

2. Dari soal dapat ditentukan u(x,0)=550 dan pada sisi terbuka berlaku

−𝑘𝐴𝜕𝑢

𝜕𝑥|𝑥=0

= −ℎ𝐴(𝑢 − 20)

karena laju aliran panas yang keluar sama dengan laju aliran panas yang masuk

ke sistem. Tanda negatif menunjukkan arah yang berlawanan dengan arah positif

gradien. Pada sisi kubus yang lain, laju aliran panas yang keluar adalah

𝜕𝑢

𝜕𝑥|𝑥=4

= 0

3. Jika digunakan metode eksplisit dengan Δ𝑥 = 2𝑐𝑚, dan dengan menggunakan

hubungan berikut :

𝑘∆𝑡

(𝜌Δ𝑥)2=

1

4

maka akan dihasilkan ∆𝑡 = 1,17 s.

Untuk rasio yang dipilih tersebut, persamaan beda hingga untuk kasus ini

menjadi :

𝑢𝑖𝑗+1

=1

4(𝑢𝑖+1

𝑗+ 𝑢𝑖−1

𝑗) +

1

2𝑢𝑖

𝑗

yang akan diaplikasikan pada titik x=0 hingga x=10.

4. Karena terdapat syarat batas Neuman, ujung domain ditambahkan sebuah node

khayal xL (untuk ujung kiri) dan xR(untuk ujung kanan).

fluifluida

domain

x = 0 x = 10

38

dan aplikasikan persamaan berikut pada node khayal.

𝑢1𝑗+1

=1

4(𝑢2

𝑗+ 𝑢𝐿

𝑗) +

1

2𝑢1

𝑗

u6j+1

=1

4(uR

j+ u5

j) +

1

2u6

j

5. Penggunaan syarat batas neumann digunakan untuk menghilangkan titik khayal

ini. Formulasi beda tengah untuk syarat batas ini memberikan :

−𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑥|𝑥=0

= −217 (𝑢2

𝑗− 𝑢𝐿

𝑗

2(2)) = 98,97(𝑢1

𝑗− 20)

−𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑥|𝑥=6

= −217(𝑢𝑅

𝑗− 𝑢4

𝑗

2(2)) = 0

6. Susun ke dalam sistem persamaan linier hasil dari penggunaan syarat batas

tersebut di atas. Selesaikan menggunakan salah satu metode pencarian solusi

pada sistem persamaan linier.

7. Plot hasil yang diperoleh menggunakan fasilitas grafik pada Matlab.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 xL xR

39

Modul V.3. Persamaan Differensial Parsial Hiperbolik Dasar Teori Jenis PDP hiperbolik umumnya ditemukan dalam persamaan gelombang. Dari persamaan umum PDP, jenis hiperbolik diperoleh apabila nilai D, memenuhi hubungan :

𝐷 = 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0 Contoh sederhana dari PDP ini adalah persamaan gelombang pada tali yang berbentuk:

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2= 𝐶

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2

dimana y adalah simpangan tali, x adalah dimensi panjang dan C adalah konstanta. Formulasi beda hingga untuk permasalahan ini dijabarkan dalam penurunan persamaan berikut.

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2= 𝐶

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2

Dengan hampiran deret Taylor diperoleh:

𝑦𝑖𝑗+1

− 2𝑦𝑖𝑗+ 𝑦𝑖

𝑗−1

∆𝑡2= 𝐶 (

𝑦𝑖+1𝑗

− 2𝑦𝑖𝑗+ 𝑦𝑖−1

𝑗

∆𝑥2)

Untuk hampiran nilai x yang menuju nol, didapat nilai y yang stabil memenuhi persamaan :

𝑦𝑖𝑗+1

= 𝑦𝑖+1𝑗

+ 𝑦𝑖−1𝑗

− 𝑦𝑖𝑗−1

Dengan aturan beda tengah maka akan diperoleh nilai untuk 𝑦𝑖1yakni sebesar:

𝑦𝑖1 =

1

2(𝑦𝑖+1

0 + 𝑦𝑖−10 ) + 𝑔(𝑥)∆𝑡

Sehingga solusi persamaan diferential tersebut dapat ditentukan. Langkah Praktikum 1. Jika diberikan kasus berikut : Sebuah alat musik terdiri dari seutas senar dan

sebuah sistem resonansi. Senar alat musik tersebut ditarik hingga 0.6 cm pada titik berjarak 20 cm dari salah satu ujung stasioner, kemudian dilepas dan mengalami osilasi. Jika diketahui C = 40,82 (untuk sementara satuan C diasumsikan setara), tentukan simpangan tali tiap waktunya menggunakan metode beda hingga explicit.

2. Ikuti penurunan persamaan di atas kemudian masukkan paramater fisis pada soal. Diskritisasi ruang dan waktu disesuaikan dengan nilai kestabilan metode ini.

3. Salin Algoritma berikut ke dalam Bahasa Matlab

40

Algoritma Masukan : T,g,w,l(panjang tali),delta_x Keluaran : yj

Langkah : n=l/delta_x C=sqrt((w*delta_x)/(T*g)) x=0:l/n:l [q,p]=size(x) Untuk i=1:q Jika x(i)<2 u(i,1)=0.1*x lainnya u(i,1)=-0.1*x+0.8 Untuk j=2:t

untuk i=2:o-1 u(i,j)=(1/2)*(u(i-1,j-1)+u(i+1,j-1))

4. Plot menggunakan fasilitas grafik pada Matlab kemudian analisa hasilnya.

41

DAFTAR PUSTAKA

Chapra. S., dan Canale,R.P., Numerical Methods For Engineers, McGraw Hill, 2009.

Jogiyanto, H.M., Pengenalan Komputer, Andi Offset, Yogyakarta. 1988

Jogiyanto, H.M., Turbo Pascal : Teori dan aplikasi Program Komputer Bahasa Turbo

Pascal termasuk Databesa Toolbox, Jilid I, Andi, Yogyakarta, 2001

Munir, Rinaldi, Algoritma dan Pemrograman, edisi kedua,Informatika,Bandung.

1999.

Munir, Rinaldi, Metode Numerik, Informatika, Bandung, 2003.

Munadi, Suprajitno, Perhitungan Matriks dengan Fortran, Andi Offset, Yogyakarta,

1990.

Raltson, A. 1971 : Intoduction to Programming and Computer Science

Modul Praktikum Fisika Komputasi II - labfisikauntan.com komputasi 2.pdf · Modul II. Metode...

Documents

Transcript of Modul Praktikum Fisika Komputasi II - labfisikauntan.com komputasi 2.pdf · Modul II. Metode...