MODUL PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN · tersebut adalah modul Program Pengembangan...

MODUL PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN MATEMATIKA TEKNIK SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) TERINTEGRASI PENGUATAN PENDIDIKAN KARAKTER DAN PENGEMBANGAN SOAL KETERAMPILAN BERPIKIR ARAS TINGGI (HOTS) EDISI REVISI 2018 KELOMPOK KOMPETENSI I PROFESIONAL: Sejarah dan Filsafat Matematika Penulis: Wahyu Purnama, S.Si, M.Pd. Maya Siti Rohmah, S.Si, M.Pd. Penalaah: Prof. Dr. Nanang Priatna, M.Pd. Drs. Sukarna, M.Si. Desain Grafis dan Ilustrasi: Tim Desain Grafis Copyright © 2018 Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan Kebudayaan

SejarahdanFilsafatMatematika

i

KATA SAMBUTAN

Peran guru profesional dalam proses pembelajaran sangat penting sebagai kunci

keberhasilan belajar siswa. Guru profesional adalah guru yang kompeten

membangun proses pembelajaran yang baik sehingga dapat menghasilkan

pendidikan yang berkualitas dan berkarakter prima. Hal tersebut menjadikan

guru sebagai komponen yang menjadi fokus perhatian pemerintah pusat maupun

pemerintah daerah dalam peningkatan mutu pendidikan terutama menyangkut

kompetensi guru.

Pengembangan profesionalitas guru melalui Program Pengembangan

Keprofesian Berkelanjutan merupakan upaya Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan melalui Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependikan dalam

upaya peningkatan kompetensi guru. Sejalan dengan hal tersebut, pemetaan

kompetensi guru telah dilakukan melalui Uji Kompetensi Guru (UKG) untuk

kompetensi pedagogi dan profesional pada akhir tahun 2015. Peta profil hasil

UKG menunjukkan kekuatan dan kelemahan kompetensi guru dalam

penguasaan pengetahuan pedagogi dan profesional. Peta kompetensi guru

tersebut dikelompokkan menjadi 10 (sepuluh) kelompok kompetensi. Tindak

lanjut pelaksanaan UKG diwujudkan dalam bentuk pelatihan guru paska UKG

sejak tahun 2016 dan akan dilanjutkan pada tahun 2018 ini dengan Program

Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan bagi Guru. Tujuannya adalah untuk

meningkatkan kompetensi guru sebagai agen perubahan dan sumber belajar

utama bagi peserta didik. Program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan

bagi Guru dilaksanakan melalui Moda Tatap Muka.

Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan

(PPPPTK) dan, Lembaga Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan

Tenaga Kependidikan Kelautan Perikanan Teknologi Informasi dan Komunikasi

(LP3TK KPTK) merupakan Unit Pelaksanana Teknis di lingkungan Direktorat

Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan yang bertanggung jawab dalam

mengembangkan perangkat dan melaksanakan peningkatan kompetensi guru


ii

sesuai bidangnya. Adapun perangkat pembelajaran yang dikembangkan

tersebut adalah modul Program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan

melalui Pendidikan dan Pelatihan Guru moda tatap muka untuk semua mata

pelajaran dan kelompok kompetensi. Dengan modul ini diharapkan program

Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan memberikan sumbangan yang

sangat besar dalam peningkatan kualitas kompetensi guru.

Mari kita sukseskan Program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan melalui

Pendidikan dan Pelatihan Guru ini untuk mewujudkan Guru Mulia karena Karya.

Jakarta, Juli 2018 Direktur Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan, Dr. Supriano, M.Ed. NIP 196208161991031001


iii

KATA PENGANTAR

Undang–Undang Republik Indonesia Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan

Dosen mengamanatkan adanya pembinaan dan pengembangan profesi guru

secara berkelanjutan sebagai aktualisasi dari profesi pendidik. Program

Peningkatan Keprofesian Berkelanjutan dilaksanakan bagi semua guru, baik yang

sudah bersertifikasi maupun belum bersertifikasi. Untuk melaksanakan Program

Peningkatan Keprofesian Berkelanjutan bagi guru, pemetaan kompetensi telah

dilakukan melalui Uji Kompetensi Guru (UKG) bagi semua guru di di Indonesia.

Dengan melihat hasil UKG dapat diketahui secara objektif kondisi guru saat ini,

dan data tersebut dapat digunakan untuk meningkatan kompetensi guru tersebut.

Modul ini disusun sebagai materi utama dalam program peningkatan kompetensi

guru mulai tahun 2017 yang diberi nama Peningkatan Keprofesian Berkelanjutan

(PKB). Program ini disesuaikan dengan mata pelajaran/paket keahlian yang

diampu oleh guru dan kelompok kompetensi yang diindikasi perlu untuk

ditingkatkan. Untuk setiap mata pelajaran/paket keahlian telah dikembangkan

sepuluh modul kelompok kompetensi yang mengacu pada Standar Kompetensi

Guru (SKG) dan indikator pencapaian kompetensi (IPK) yang ada di dalamnya.

Demikian pula soal-soal Uji Kompetensi Guru (UKG) telah terbagi atas 10

kelompok kompetensi. Sehingga program Peningkatan Keprofesian Berkelanjutan

yang ditujukan bagi guru berdasarkan hasil UKG diharapkan dapat menjawab

kebutuhan guru dalam peningkatan kompetensinya.

Sasaran program strategis pencapaian target RPJMN tahun 2015–2019 antara

lain adalah meningkatnya kompetensi guru dilihat dari Subject Knowledge dan

Pedagogical Knowledge yang diharapkan akan berdampak pada kualitas hasil

belajar siswa. Oleh karena itu, materi di dalam modul dirancang meliputi

kompetensi pedagogik yang disatukan dengan kompetensi profesional yang

didalamnya terintegrasi penguatan pendidikan karakter dan pengembangan soal

keterampilan berpikir aras tinggi (HOTS) sehingga diharapkan dapat mendorong

peserta diklat agar dapat langsung menerapkan kompetensi pedagogiknya dalam

proses pembelajaran sesuai dengan substansi materi yang diampunya. Disamping


iv

dalam bentuk hard-copy, modul ini dapat diperoleh juga dalam bentuk digital,

sehingga guru dapat lebih mudah mengaksesnya kapan saja dan dimana saja

meskipun tidak mengikuti diklat secara tatap muka.

Kepada semua pihak yang telah bekerja keras dalam penyusunan modul program

Guru Pembelajar ini, kami sampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya.

Cimahi, Juli 2018

Kepala PPPPTK BMTI,


v

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ..................................................................................................................... III

DAFTAR ISI .................................................................................................................................. V

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................................................... VII

PENDAHULUAN .......................................................................................................................... 9

A. LATARBELAKANG ............................................................................................................. 9 B. TUJUAN ......................................................................................................................... 10 C. PETAKOMPETENSI .......................................................................................................... 10 D. RUANGLINGKUP ............................................................................................................. 11 E. SARANCARAPENGGUNAANMODUL ................................................................................... 11

KEGIATAN PEMBELAJARAN ...................................................................................................... 13

KEGIATANBELAJAR1-SEJARAHMATEMATIKA ............................................................................ 13 A. PENGANTAR ................................................................................................................... 13 B. TUJUAN ......................................................................................................................... 13 C. INDIKATORPENCAPAIANKOMPETENSI ............................................................................... 13 D. URAIANMATERI ............................................................................................................. 13 1. SejarahMatematika ................................................................................................ 14 2. PenemuKonsep-KonsepDasardalamMatematika .................................................. 28 3. SejarahMatematikadalamPembelajaran .............................................................. 38 4. BeberapaTokohMatematika .................................................................................. 40 5. SejarahMatematikaKonsepMatematikaJenjangSMK ........................................... 53 6. KonsepdanSistemBilangan .................................................................................... 54 7. KonsepAljabar ........................................................................................................ 57 8. KonsepGeometri ...................................................................................................... 60 9. KonsepKalkulus....................................................................................................... 62 10. KonsepKombinatorika ........................................................................................ 65 11. TeoriPeluang ...................................................................................................... 65 12. Statistika ............................................................................................................. 66

E. AKTIVITASPEMBELAJARAN ............................................................................................... 68 F. RANGKUMAN .................................................................................................................. 73 G. TESFORMATIF ................................................................................................................ 75 H. KUNCIJAWABAN ............................................................................................................. 76 I. UMPANBALIKDANTINDAKLANJUT ................................................................................... 78 KEGIATANBELAJAR2-FILSAFATMATEMATIKA........................................................................... 79 A. PENGANTAR ................................................................................................................... 79 B. TUJUAN ......................................................................................................................... 79 C. INDIKATORPENCAPAIANKOMPETENSI ............................................................................... 79 D. URAIANMATERI ............................................................................................................. 80 1. Pengertiandanruanglingkupfilsafat ..................................................................... 80


vi

2. Hubunganfilsafatdenganmatematika .................................................................... 81 3. Filsafatmatematika ................................................................................................. 81 4. Epistemologi,Ontologi,danMetodologiMatematika ............................................... 88 5. Etnomathematics ..................................................................................................... 92 6. ImplikasiFilsafatMatematikadalamPembelajaranSekolah ................................... 92

E. AKTIVITASPEMBELAJARAN ............................................................................................... 93 F. RANGKUMAN ................................................................................................................... 96 G. TESFORMATIF ................................................................................................................ 98 H. KUNCIJAWABAN .............................................................................................................. 99 I. UMPANBALIKDANTINDAKLANJUT.................................................................................. 100

PENUTUP ................................................................................................................................. 101

UJI KOMPETENSI ..................................................................................................................... 102

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 105

GLOSARIUM ............................................................................................................................ 106

LAMPIRAN ............................................................................................................................... 108


vii

DAFTAR GAMBAR

Gambar1BatuRosetta...............................................................................................................................15Gambar2PapirusRhind............................................................................................................................16Gambar3PapirusMoskow.......................................................................................................................19Gambar4TulisanPaku...............................................................................................................................21Gambar5SirIsaacNewton.......................................................................................................................29Gambar6GottfriendWilhemLeibniz.................................................................................................30Gambar7KarlWeierstrass.......................................................................................................................32Gambar8MariaGaetanaAgnesi............................................................................................................33Gambar9JosiahWillardGibbs...............................................................................................................34Gambar10GeorgFriedrichBernhardRiemann............................................................................34Gambar11LeonhardEuleur....................................................................................................................36Gambar12JohannBernoulli....................................................................................................................37Gambar13Augustin-LouisCauchy......................................................................................................38Gambar14Pythagoras................................................................................................................................40Gambar15BuktiGeometrisTeoremaPythagoras.......................................................................41Gambar16Euclid...........................................................................................................................................42Gambar17Archimedes..............................................................................................................................43Gambar18Brahmagupta...........................................................................................................................44Gambar19Al-Khwarizmi..........................................................................................................................45Gambar20Fibonacci...................................................................................................................................46Gambar21Descartes...................................................................................................................................47Gambar22Fermat.....................................................................................................................................48Gambar23Pascal...........................................................................................................................................49Gambar24Gauss...........................................................................................................................................51Gambar25Cantor..........................................................................................................................................52Gambar26Aristoteles.................................................................................................................................54Gambar27Al-Kashi......................................................................................................................................55Gambar28JohnNapier..............................................................................................................................56Gambar29DeskripsiSegitigaPascalolehYangHui(1238–1298).....................................57Gambar30JianzhangSuanShu..............................................................................................................59


viii

Gambar31SekiKowa..................................................................................................................................59Gambar32FrustumpadaPapirusMoskow.....................................................................................60Gambar33Leibniz........................................................................................................................................63Gambar34Lobachevsky............................................................................................................................64Gambar35Al-Tusi.........................................................................................................................................64


9

PENDAHULUAN

A. LatarBelakang

Pengembangan keprofesian berkelanjutan sebagai salah satu strategi pembinaanguru dan tenaga kependidikan diharapkan dapat menjamin guru dan tenagakependidikan mampu secara terus menerus memelihara, meningkatkan, danmengembangkan kompetensi sesuai dengan standar yang telah ditetapkan.PelaksanaankegiatanPKBakanmengurangi kesenjanganantarakompetensi yangdimiliki guru dan tenaga kependidikan dengan tuntutan profesional yangdipersyaratkan.

GurudantenagakependidikanwajibmelaksanakanPKBbaiksecaramandirimaupunkelompok.KhususuntukPKBdalambentukdiklatdilakukanolehlembagapelatihansesuai dengan jenis kegiatan dan kebutuhan guru. Penyelenggaraan diklat PKBdilaksanakanolehPPPPTKdanLPPPTKKPTKataupenyedialayanandiklatlainnya.Pelaksanaandiklat tersebutmemerlukanmodulsebagaisalahsatusumberbelajarbagi peserta diklat. Modul merupakan bahan ajar yang dirancang untuk dapatdipelajarisecaramandiriolehpesertadiklatberisimateri,metode,batasan-batasan,dancaramengevaluasiyangdisajikansecarasistematisdanmenarikuntukmencapaitingkatankompetensiyangdiharapkansesuaidengantingkatkompleksitasnya.

UntukmempersiapkankegiatanPKBdalambentukdiklatbagiguru-gurumatematikadiperlukan adanya modul yang tepat sesuai dengan tuntutan dari PermendinasNomor16Tahun2007tentangStandarKualifikasiAkademikdanKompetensiGuru.Dari permendiknas tersebut, standar kompetensi guru yang dikembangkan darikompetensi pedagogik memuat sepuluh kompetensi inti guru yang diantaranyamemuattentangpenguasaankonseppemanfaatanhasilpenilaiandanevaluasiuntukkepentinganpembelajarandarikompetensiprofesionalmemuattentangsejarahdanfilsafatmatematika.


10

B. Tujuan

Tujuan penyusunan modul ini adalah agar peserta diklat PKB dapat menguasaikonseppemanfaatanhasilpenilaiandanevaluasiuntukkepentinganpembelajaransertasejarahdanfilsafatmatematikamelaluikegiatandiskusidenganpercayadiri.

C. PetaKompetensi

PadaGambar1danGambar2berikutdicantumkandaftarkompetensipedagogikdandaftarkompetensiprofesionalsesuaidenganPermendiknasNomor16Tahun2007tentangStandarKualifikasiAkademikdanKompetensiGuruyangakanditingkatkanmelaluiprosesbelajardenganmenggunakanmodulini.

PetaKompetensiPedagogik

9. Memanfaatkan hasil penilaian dan evaluasi untuk kepentingan pembelajaran

9.3 Mengkomunikasikan hasil penilaian dan evaluasi kepada pemangku kepentingan

9.2 Menggunakan informasi hasil penilaian dan evaluasi untuk remedial dan pengayaan

9.1 Menggunakan informasi hasil penilaian dan evaluasi untuk menentukan ketuntasan belajar

9.4 Memanfaatkan informasi hasil penilaian dan evaluasi pembelajaran untuk meningkatkan kualitas pembelajaran


11

PetaKompetensiProfesional

D. RuangLingkup

Ruanglingkupdarimoduliniberisikanmateritentang:

1. Pemanfaatanhasilpenilaiandanevaluasiuntukkepentinganpembelajaran

2. SejarahMatematika

3. FilsafatMatematika

E. SaranCaraPenggunaanModul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu peserta diklat lakukan adalahsebagaiberikut:

1. Bacadanpelajarisemuamateriyangdisajikandalammodulini.

20.12 Menjelaskan sejarah dan filsafat matematika

20.12.1 Menjelaskan sejarah penemuan beberapa konsep dasar dan penting dalam matematika

20.12.3 Menjelaskan sistem aksiomatis pada matematika

20.12.2 Menyebutkan dan menggunakan karakteristik matematika di sekolah

20.12.4 Menjelaskan perkembangan Filsafat Matematika


12

2. Kerjakan soal-soal tes formatif dan cocokkan jawabannya dengan kuncijawabanyangada.

3. Jika ada bagian yang belum dipahami, diskusikanlah dengan rekan belajarAnda. Jika masih menemui kesulitan, mintalah petunjukinstruktur/widyaiswara.

4. Untukmengukurtingkatpenguasaanmaterikerjakansoal-soalujikompetensidiakhirbabdalammodulini.


13

KEGIATAN PEMBELAJARAN

KegiatanBelajar1-SejarahMatematika

A. Pengantar

Dalam kegiatan ini Anda akan melakukan serangkaian kegiatan untuk mencapaikompetensiberkaitandenganSejarahMatematika.Kegiatan-kegiatantersebutakanterbagidalambeberapatopik,diantaranyaadalah:

1. MatematikaMesirKuno,matematikaBabilonia,matematikaYunani,matematikaCina,matematikaIndia,danmatematikaIslam.

2. Penemu konsep-konsep dasar dalammatematika yang pernah dikenal, mulaidariDecrates,Fibonacci,sampaiMarieAgnesi.

B. Tujuan

Tujuan dari kegiatan pembelajaran 1 ini adalah melalui diskusi dan penugasanpeserta diklat dapat menjelaskan sejarah penemuan beberapa konsep dasar danpentingdalammatematikadengancermat.

C. IndikatorPencapaianKompetensi

Indikator pencapaian kompetensi yang harus dikuasai setelahmengikuti kegiatanbelajar ini adalah, peserta diklat dapat menjelaskan sejarah penemuan beberapakonsepdasardanpentingdalammatematika.

D. UraianMateri

PadakegiatanbelajariniakandibahasmengenaisejarahpenemuanmatematikadarijamanMesirkunosampaipadapenemuanbeberapakonsepdasardanpentingsertaperkembangannya menjadi matematika yang saat ini dipergunakan di sekolah.Matematika berasal dari bahasa Yunani “mathemata” yang menunjukkan bentukpengajaran apapun. Pada perkembangannya digunakan untuk bidang khusus dariilmupengetahuan.


14

1. SejarahMatematika

a. MatematikaMesirKuno

SejarahmengatakanbahwamatematikaberasaldariMesiradalahgagasanAristotelesdalam bukunya yang berjudul Metapysics yang menyebutkan bahwa “sains-sainsmatematisberasaldarikawasanMesir,karenadisanakaumyangsekelaspendetamemilikiwaktuluangyangcukup.”

Pandangan Proclus (410-485 S.M.), seorang pengamat ahli dari Yunani, dalamCommentary on the First Book of Euclid’s Elements adalah bahwa sebagian besarcatatansejarahmengatakangeometriadalahilmuyangpertamaditemukandiMesir.Ilmuiniberasaldariperngukuranluastanah.HalinisangatpentingmengingatsungaiNilyangsetiaptahunmeluapakanmenghapusbatas-batastanah.

DaripendapatdiaatasdapatdisimpulkanbahwamatematikadiMesirmunculakibatkebutuhan-kebutuhanpraktis.PeradabanMesiryang terdapatdisepanjangsungaiNilyangsetiaptahunbanjir,menyebabkanlahanbertambahatauberkurang.Aturangeometri sederhana dipakai untuk menentukan batas-batas ladang dan dayatampunglumbung.Selainitu,peradabanMesirmembutuhkanaritematikasederhanauntuk melakukan transaksi perdagangan, pemungutan pajak oleh pemerintah,mengitungbungapinjaman,gaji,sertapenyusunankalenderkerja.

SejarahpenemuanmatematikaMesirkunoadalahpadasaatinvasiNapoleonkeMesirpada tahun 1798. Ketika pasukan Napoleon kalah oleh armada Inggris danmemutuskanuntukmenelititiapaspekkehidupanbangsaMesirpadamasakunodanzamanmodern.Bersamadengan167ilmuwantermasukduamatematikawanyaituGaspard Monge dan Jean-Baptise Fourier, mereka menghasilkan sebuah karyamonumentalyangberjudulDéscriptiondeI’Egypte.

TeksyangmembahastentangperadabanMesirKuno,tentangmonumen-monumenyangmerekabangun,Mesirmodern,dansejarahalamnya.Catatansejarahperadabanawaliniditulisdalamsebuahnaskahyangbelummampudibacasiapapundanbelumdapatditerjemahkan.BarulahpadasaatBatuRosettaditemukanoleh teknisipadasaatinvasimiliterserupayangdilakukanNapoleon,selanjutnyaterungkaplahbahwabatutersebutbergunauntukmenerjemahkantulisanhieroglif.


15

Gambar1BatuRosetta

Matematika Mesir sebagian besar kita peroleh dari dua papirus yang berukurancukupbesar.Apaitupapirus?Papirusadalahalattulissederhanayangberasaldarikulitbatangpohonyangdikeringkandandianyamsehinggadapatdigunakanuntukmenulis.Sumberlainmengatakanpapirusadalahsuatulembaranataumediayangdigunakan oleh orang-orang masa lalu (sekitar 1800-an SM) untukmendokumentasikan sesuatu seperti gambardan tulisan. Dua papirus besar yangmembuka sejarah tentang matematika Mesir adalah Papirus Rhind dan PapirusGolenischevatauyanglebihdikenaldenganPapirusMoskow.

PapirusRhind sendiri atau biasa disebut Ahmes adalah suatu risalahmatematikayang menyerupai buku pentunjuk praktis dan mengandung 85 soal yang ditulisdenganhurufhieratikolehpenulisAhmes.Tulisaninidiperkirakanberasaldaritahun1650SMtetapimungkinlembaranituadalahsalinandaridokumenyanglebihtuadariKerajaanTengahyaitudaritahun2000-1800SM.PapyrusitudibelidiMesirolehahliEgyptologiInggrisA.HenryRhinddankemudiandiserahkankeBritishMuseum.Oleh karena itulah papyrus ini kemudian dinamakan papyrus Rhind. Papyrus inimerupakansumberutamamengenaimatematikaMesirkunodanditerbitkandalamtahun1927.


16

PapirusRhindadalahmanualinstruksibagipelajararitmetikadangeometri.Selainmemberikanrumus-rumusluasdancara-caraperkalian,pembagian,danpengerjaanpecahan. Lembaran itu jugamenjadi bukti bagi pengetahuanmatematika lainnya,termasuk bilangan komposit dan prima, rata-rata aritmetika, geometri, danharmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangansempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran ini juga berisi cara menyelesaikanpersamaanlinearordesatujugabarisanaritmetikadangeometri.

Gambar2PapirusRhind

KandungandalamPapirusRhinddiawalidengansuatupremisyangberkaitandengan“sebuah kajian yang cermat tentang segala hal, memahami semua hal yang ada,pengetahuandarisemuarahasiayangmenghalangi”.IntidariPapirusRhindadalahbagaimanacaramengalikandanmembagi.BerikutadalahcaramengalikanmenurutPapirus Rhind. Perkalian dari dua bilangan dapat diselesaikan dengan caramenggandakan secara berurutan salah satu dari bilangan tersebut dan kemudianmenambahkanpengulangyangsesuaiuntukmemperolehhasilkalinya.Contohnya,untukmencarihasilkali21dengan71,kitamisalkanbilanganyangakandikalikanadalah71,lalukalikandenganduabilangantersebutsepertiberikut:

1 712 1424 2848 56816 1136


17

Kita berhenti sampai di sini, karena jika dilanjutkan maka pengali yang munculselanjutnyauntuk71akanlebihbesardari21.Perhatikanbahwa ,kitaberitandapadaangka16,4,dan1.Makaangkayangdisebelahnyakitatambahkan

1 71 v2 142 4 284 v8 568 16 1136 v+21 1491

Dengan menambahkan kedua kolom didapat 21 dan 1491. Hasil perkalian yangdimaksudadalah1491.Jikadiuraikanmakaakannampaksepertiberikut

Jikakitaambil21sebagaibilanganyangdikalikandan71sebagaipengalinya,makaakandiperolehhasilsebagaiberikut

1 21 v2 42 v4 84 v8 168 16 336 32 672 64 1344 v+71 1491

Terlihatbahwahasilnyaadalahsamadenganyangsebelumnya.Sekarangbagaimanacaramembagi?

Untukpembagian,misalkan35dibagi8.Makapembaginyaakandigandakansampaipenggandaan berikutnya akan lebih besar dari bilangan yang dibagi. Selanjutnya,pembaginya mulai dibagi dua untuk melengkapi sisanya sampai pada nilai 1.Perhitungannyasepertiberikut.

1 8 2 16 4 32 v12 4

14 2 v

141621 ++=

712171)1641(1136284711491 ×=×++=++=


18

18 1 v+

71 1491

Denganmenggandakan16kitaperoleh32,sehingganilaiyanghilangadalah35-32=3.Nilai yang hilang kita lihat di kolom pembagi, nilai yang hilang tersebut akan

terpenuhidenganmenjumlahkan%&dan%

'.Dengandemikianhasilbaginyaadalah:4 +

%&+ %

'.

Permasalahan lain yangberadapadapapirusRhindadalah luas sebuah lingkaran,yaituyangmunculpadapermasalahan50:

Contohdarisebidangtanahyangbulatdengandimensi9khet.Berapakahluasnya?

Kurangilah %*daridiameter tersebut,yaitu1, sehinggasisanyaadalah8.Kalikan8

dengan8,hasilnya64.Jadi,luasbidangtanahituadalah64setat.

Carapenulispapirusmenghitungluaslingkaranadalah:kurangidiameterlingkaran

tersebut oleh %* bagiannya dan kuadratkan sisanya. Dapat disimbolkan sebagai

berikut:

𝐴 = -𝑑 −1912

= -8𝑑912

Cobakitabandingkandenganrumusluaslingkaranyangdipakaisaatini𝐿 = 𝜋 56272

𝜋𝑑2

4= -

8𝑑912

⟺ 𝜋 = 4-8912

= 3,1605…

Papirus besar lainnya adalah Papirus Golenischev disebut juga papirus Moskow,karenadimilikiolehMuseumSeniMurnidiMoskow.Naskahiniberisikansoalkataatau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan. Satu soal dipandangmemiliki kepentingan khusus karena soal itu memberikan metoda untukmemperoleh volume limas terpenggal: "Jika Anda dikatakan: Limas terpenggalsetinggi6satuanpanjang,yakni4satuanpanjangdibawahdan2satuanpanjangdiatas. Andamenguadratkan 4, sama dengan 16. Andamenduakalilipatkan 4, samadengan8.Andamenguadratkan2,samadengan4.Andamenjumlahkan16,8,dan4,samadengan28.Andaambilsepertigadari6,samadengan2.Andaambilduakali


19

lipat dari 28, sama dengan 56. Maka lihatlah, hasilnya sama dengan 56. Andamemperolehkebenaran."

Gambar3PapirusMoskow

GeometriMesirkunodijelaskanolehHerodotusyangmengunjungiNilsekitar460-455S.M.sebagaiberikut:

Mereka juga berkata bahwa raja ini (Sesostris) membagi tanah kepada semuapenduduk Mesir dengan tujuan agar masing-masing dari mereka mendapatkanukuranyangsamadanuntukkemudianmenarikpendapatandarimereka,denganmenarikpajaktahunan.Tetapisiapapunyangtanahnyaterusikharusdatangkepadasang raja dan menjelaskan apa yang sebenarnya terjadi. Sang raja kemudianmengirimtimpeninjau,yangharusmengukurseberapadari luas tanahyang telahberkurang, agar sang pemilik tanah hanya membayar sesuai dengan tanah yangtersisa,agarsebandingdenganbesarpungutanpajaknya.Daricaraini,tampakbahwageometriberasaldariMesir.

BangsaMesir dalammenentukan luas-luas ataupun volume-volume dari berbagaibangundatardanbangunruangsaatitumelaluiperjalananpanjanghasilpengalamandanpenelitiantrialanderror.BangsaMesirmenggalifakta-faktayangbergunabagipengukuran tanpa memusingkan bukti deduktifnya. Beberapa dari rumus yangmerekapunyaimendekatibenarakantetapicukuppraktisuntukdipakaisehari-hari.


20

ContohnyaadalahperhitunganpiramidaterpotongpadaPapirusMoskowyangtelahdiuraikandiatas.

Perhitungan lainadalahpadasebuahnaskahuntuk tujuanperingatan(sekitar100S.M.)diKuilHoruswilayahEdfu, terdapat referensi-referensi yang terkaitdenganbanyaksekalibangunbersisiempatyangdipersembahkanbagikuil itu.Untuktiapbangun tersebut, luas diperoleh dengan mengambil hasil kali dari rata-rata duapasangsisiyangberlawanan,denganrumus

A =14(a + c)(b + d)

Dimanaa,b,cdandadalahpanjang-panjangdarisisi-sisisecaraberurutan.Rumustersebutjelastidakbenar,karenarumusituakanmemberikannilaiyangbenarjikabangunyangdiukurkuranglebihmenyerupaipersegipanjang.

b. MatematikaBabilonia

MatematikaBabiloniamerujuk pada seluruhmatematika yangdikembangkan olehbangsaMesopotamia yang kini bernama Iraq, sejak permulaanSumeriahinggapermulaanperadaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peranutamakawasanBabiloniasebagaitempatuntukbelajar.Lebihdari400lempengantanahliatditemukansebagaisumbersejarahbangsaBabiloniayangdigalisejak1850-an.Lempengan-lempengantersebutditulisdenganmenggunakantulisanberbentukpaku.Lempengantersebutdiberitulisanketikatanahliatmasihbasah,dankemudiandibakar dalam tungku atau dijemur di bawah terikmatahari bahkan beberapa diantaranyaadalahkaryarumahan.

BuktiterdinimatematikamenyebutkanbahwalempenganbertulisantersebutadalahkaryabangsaSumeria,yangmembangunperadabankunodiMesopotamia.Merekamengembangkansistemrumitmetrologisejaktahun3000SM.Darikira-kira2500SMkemuka,bangsaSumeriamenuliskantabelperkalianpadalempengantanahliatyangberkaitan dengangeometridanpembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babiloniajugamerujukpadaperiodeini.

Sebagianbesarlempengantanahliatyangsudahdiketahuiberasaldaritahun1800sampai1600SM,danmeliputitopik-topikpecahan,aljabar,persamaankuadratdankubik, dan perhitunganbilangan regular,invers perkalian, danbilangan primakembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode


21

penyelesaianpersamaanlineardanpersamaankuadrat.LempenganBabilonia7289SMmemberikanhampiranbagi√2yangakuratsampailimatempatdesimal.

TeksmatematikaBabiloniasangatbanyakjumlahnyadantereditdengansangatbaik.Sistem matematik Babilonia adalah seksagesimal atau bilangan berbasis 60.Kemajuanbesardalammatematikainiterjadikarenaduaalasan.Pertama,angka60memiliki banyakpembagi yaitu2, 3, 4,5, 6,10,12, 15, 20,dan30, yangmembuatperhitunganjadilebihmudah.Selainitu,bangsaBabiloniamemilikisistembilanganreal dimana digit yang ditulis sebelah kirimemiliki nilai yang lebih besar sepertibilanganberbasis10.

TulisandanangkabangsaBabiloniaseringjugadisebutsabagaitulisanpakukarenabentuknya seperti paku. Orang Babilonia menuliskan huruf paku menggunakantongkat yang berbentuk segitiga yang memanjang (prisma segitiga) dengan caramenekannya pada lempeng tanah liat yang masih basah sehingga menghasilkancekungansegitigayangmeruncingmenyerupaigambarpaku.

Gambar4TulisanPaku

Pencapaiandalamilmumatematikalainnyayaituditemukannyapenentuannilaiakarkuadrat,bahkanparailmuanBabiloniatelahmendemonstrasikanteoriPythagoras,jauhsebelumPythagorassendirimunculdenganteorinyadanhalinidibuktikanolehDennisRamseyyangmenerjemahkansebuahcatatankunoyangberasaldaritahun1900sebelummasehi.Penjelasannyasepertiberikut:

“4 adalah panjangnya dan 5 adalah panjang diagonalnya, lalu berapalebarnya?.Merekamengumpamakanjikakeduaangkatadidikalikandenganangkaitu


22

sendiri,makaakanditemukannilaitengahnya.Jika4x4=16dan5x5=25,makaselisihantara16dan25adalah9.Dariangkaberapakahkitabisamendapatkanangka9?Angka tersebutharus bisamenghasilkan9 jikaangka tersebut dikalikandenganangkaitusendiri,dan9didapatkandari3x3.Sehinggadisimpulkanbahwa3adalahlebarnyakarenasemuaangkadikalikandenganangkaitusendiri.”

Catatankunotentangkuadratdankubusyangdihitungmenggunakanangka1hingga60, ditemukan di Senkera dimana orang-orang telah mengenal jam matahari,clepsydra,jugatuasdankatrol,padahalsaatitumerekabelummemilikipengetahuantentang mekanika. Bangsa Babilonia juga sudah lama mengenal lensa kristal danpenyalaanbubutsebelumditemukanolehAustenHenryLayarddariNimrud.

BangsaBabiloniajugasudahsangatfamiliardenganaturanumumuntukmengukursuatuarea.Merekamengukurkelilinglingkaransebanyak3kalidiameterdanluasnyasebagaisatuperduabelaskuadratdarilingkaran,danjikahitungannyabenar,makanilaiπakanbernilai3.

Volumesilinderdiambilsebagaiprodukdarialasdantinggi,namun,volumefrustumsebuahkerucutataupiramidapersegidihitung dengan tidak benarsebagaiprodukdariketinggiandansetengahjumlahdari basis. Juga adapenemuanterbarudalamsebuahcatatankunomencantumkanbahwanilaiπadalah

3dan%'.DiBabiloniajugadikenalmil,yangmerupakanukuransebesarjaraksekitar

tujuh mil hari ini. Pengukuranjarak ini dikonversi menjadi satu mil, waktu yangdigunakan untuk mengukur perjalanan matahari, yang mempresentasikanpanjangnyawaktu.

MatematikaBabiloniaditulismenggunakansistembilanganseksagesimal(basis-60).Penggunaan bilangan seksagesimal dapat dilihat pada penggunaan satuan waktuyaitu60detikuntuksemenit,60menituntuksatujam,danpadapenggunaansatuansudutyaitu360(60x6)derajatuntuksatuputaranlingkaran,jugapenggunaandetikdanmenit pada busur lingkaran yangmelambangkan pecahan derajat. KemajuanorangBabiloniadidalammatematikadidukungolehfaktabahwa60memilikibanyakpembagi.BangsaBabiloniamemilikisistemnilai-tempatyangsejati,dimanaangka-angkayangdituliskandilajurlebihkirimenyatakannilaiyanglebihbesar,sepertididalam sistemdesimal. Akan tetapi, terdapat kekurangan pada kesetaraan komadesimal,sehingganilaitempatsuatusimbolseringkaliharusdikira-kiraberdasarkankonteksnya.Padazamaninijugabelumditemukanangkanol.Berikutcontohangkababilonia:


23

Untuksuatusistemposisionaltertentudiperlukansuatukonvensitentangbilanganyangmenunjukkankeunikansuatubilangan.Misalnyadesimal12345berarti:1x104+2x103+3x102+4x10+5

Sistem posisional seksagesimal Babloniamenganut cara penulisan seperti cara diatas,yaitubahwaposisiyangpalingkananadalahuntukunitsampai59,satusisidi

sebelahkirinyaadalahuntuk60xn,dimana danseterusnya.

Sekarang kita menggunakan notasi dimana bilangan dipisahkan dengan koma,misalnya,1,57,46,40menyatakanbilanganseksagesimal1×60pangkat3tambah57kali 60 pangkat dua ditambah 46 kali 60 tambah 40.Yaitu, dalam notasi desimalbernilai424000.

Namunmasihterdapatpersoalandengansistemini.Karenaduadinyatakandenganduakarakteryangmasing-masingmenyatakansatuunit,dan61dinyatakandengansatukarakteruntuksatuunitsebagaibilanganpertamadansebagaibilangankeduaadalahkarakteryangidentikuntuksatuunitmakabilanganseksagesimalBabiloniaia1,1dan2secaraesensialdinyatakansecaraserupa.Namunhalinibukanlahpersoalansebenarnyakarenaadanyaspasidiantarakarakter-karaktertersebutmenunjukkanperbedaan-perbedaannya.Dalamsimboluntuk2keduakarakteryangmenyatakanunitsalingberdempetdanmenjadisimboltunggal.Dalambilangan1,1terdapatsuatuspasidiantaranya.

Satu persoalan yang lebih serius adalah fakta bahwa tidak terdapat nol untukmenyatakanposisiyangkosong.Bilanganseksagesimalmenyatakanbilangan1dan1,0untuk1dan60desimal,memilikipernyataanyangsamapersisdanspasitidakmembawaperbedaaan.BarangkaliperadabanBabilonselanjutnyatelahmenetapkansebuahsimboluntukmenyatakankekosongan.

Jikalau posisi untuk kosong menjadi masalah untuk bilangan bulat maka justruterdapat persoalan yang lebih besar pada fraksi seksagesimal Babilonia. BangsaBabiloniamenggunakansuatusistemfraksiseksagesimalyangserupadenganfraksidesimalkita.Misalnyajikakitamenulis0,125makaberarti1/10+2/100+5/1000=1/8.Tentusajafraksidenganbentuka/b,dalambentuknyayangpalingrendah,dapatdinyatakansebagaifraksidesimalfinitjikadanhanyajikabtidakdapatdibagidenganbilangan Prima selain 2 atau 5. Jadi 1/3 tidakmemiliki fraksi desimal yang finit.Serupa halnya fraksi seksagesimal Vabilonia 0;7,30 dinyatakan dengan 7/60+30/3600yangditulisdengannotasikitasebagai1/8.

591 ££ n


24

Karena 60 dapat dibagi dengan bilangan prima 2,3 dan 5 maka sebuah bilangandengan bentuk a/b, dan bentuknya yang paling rendah, dapatdinyatakan sebagaifraksi desimal finit jika dan hanya jika b tidak dapat dibagi oleh bilangan selain2,3,dan 5. Fraksi yang lain oleh karenanya dapat dinyatakan sebagai fraksiseksagesimaldanbukansebagaifraksidesimalfinit.

Perkiraan notasi tersebut digunakan untuk menyatakan bilangan seksagesimaldenganbilanganpecahan.Untukmenyatakan10,12,5;1.52.30adalah

10x602+12x60+5+1/60+52/602+30/603

Yang dalam notasi kita adalah 36725 1/32. Hal ini berlaku namun di atas telahdikemukakan notasi semikolon untuk menunjukkan dimana bagian integernyaberakhir dan bagian pecahannya dimulai. Inilah “koma seksagesimal” danmemainkanperananyanganalogpadakomadesimal.NamunbangsaBabiloniatidakmemiliki notasi untuk menunjukkan dimana bagian integer berakhir dan bagianpecahan dimulai. Jika kita menulis 10,12,5,1,52,30 tanpa memiliki suatu notasitentang“komaseksagesimal”makabilanganinidapatmemilikibeberapaartisebagaiberikut:

0;10,12,5,1,52,30

10;12,5,1,52,30

10,12;5,1,52,30

10,12,5;1,52,30

10,12,5,1;52,30

10,12,5,1,52;30

10,12,5,1,52,30

Sebagaitambahan,tentusaja,sampai10,12,5,1,52,30,0atau0;0,10,12,5,1,52,30danseterusnya.


25

c. MatematikaYunani

Matematika Yunani ditenggarai dimulai oleh Thales dari Miletus (kira-kira 624sampai546SM)danPythagorasdariSamos(kira-kira582sampai507SM).Menurutlegenda,PythagorasbersafarikeMesiruntukmempelajarimatematika,geometri,danastronomidaripendetaMesir.Thalesmenggunakangeometriuntukmenyelesaikansoal-soalperhitungan ketinggianpiramidadan jarak perahu dari garispantai. Diadihargai sebagai orang pertama yang menggunakan penalaran deduktif untukditerapkan pada geometri, denganmenurunkan empat akibatwajar dari teoremaThales. Teorema Thales sendiri menyatakan bahwa sudut-sentuh-busur yangdilukiskandidalamsetengah-lingkaranadalahsudutsiku-siku.TeoremainimungkindipelajarinyasaatdiaberadadiBabilonia,tetapiyangkhasadalahperagaanteorematersebut. Thales juga dianggap sebagai orang terdini di dalam sejarah, yangkepadanyatemuan-temuankhususmatematikadisematkan.MeskipuntidakdiketahuiapakahThalesataubukanyangpertamamemperkenalkanstruktur logika ke dalam matematika, yang saat ini menjadi hal yang berlaku dimanapun,tetapidiketahuibahwadidalamduaratustahunsesudahkematianThalesbangsaYunanimemperkenalkanstrukturlogikadangagasanpembuktiankedalammatematika.Pythagoras mendirikan Mazhab Pythagoras, yang mendakwakan bahwamatematikalahyangmenguasaisemesta.MazhabPythagoraslahyangmenggulirkanistilah "matematika", dan merekalah yang memulakan pengkajian matematika.MazhabPythagorasdihargaisebagaipenemubuktipertamateoremaPythagoras.Mazhab Pythagoras dihargai dengan beberapapengembanganmatematika tingkatlanjut, seperti penemuan bilangan irasional. Sejarawan menghargai mereka atasperan utamanya di dalam pengembangan matematika Yunani (khususnya teoribilangandangeometri)kedalamsistemlogikautuhmenurutdefinisi-definisiyangjelas dan teorema-teorema yang terbuktikan, yang dianggap sebagai subjek yangpantasdaripengkajiandidalamkebenarannyasendiri, tanpamemandang terapanpraktisyangmenjadiperhatianutamabagibangsaMesirdanBabilonia.


26

d. MatematikaCina

Tulisan matematika yang dianggap tertua dari Cina adalah Chou Pei Suan Ching,berangka tahunantara1200SMsampai100SM.HalyangmenjadicatatankhususdaripenggunaanmatematikaCinaadalahsistemnotasiposisionalbilangandesimal,yangdisebut pula "bilangan batang"dimana sandi-sandi yang berbedadigunakanuntuk bilangan-bilangan antara 1 dan 10, dan sandi-sandi lainnya sebagaiperpangkatan dari sepuluh. Dengan demikian, bilangan 123 ditulis menggunakanlambanguntuk"1",diikutiolehlambanguntuk"100",kemudianlambanguntuk"2"diikutilambangutnuk"10",diikutiolehlambanguntuk"3".KaryatertuayangmasihterawatmengenaigeometridiCinaberasaldariperaturankanonikfilsafatMohismekira-kiratahun330SM,yangdisusunolehparapengikutMozi(470–390SM).MoJingmenjelaskanberbagaiaspekdaribanyakdisiplinyangberkaitan dengan ilmu fisika, dan juga memberikan sedikit kekayaan informasimatematika.Padatahun212SM,KaisarQínShǐHuáng(ShiHuang-ti)memerintahkansemuabukudi dalam Kekaisaran Qin selain daripada yang resmi diakui pemerintah haruslahdibakar. Akibat dari perintah ini adalah begitu sedikitnya informasi tentangmatematikaCinakunoyangterpeliharayangberasaldarizamansebelumitu.Setelah pembakaran buku pada tahun 212 SM, dinasti Han (202 SM–220 M)menghasilkankaryamatematikayangbarangkalisebagaiperluasandarikarya-karyayangkinisudahhilang.YangterpentingdarisemuainiadalahSembilanBabtentangSeniMatematika,judullengkapyangmunculdaritahun179M,tetapiwujudsebagaibagiandibawah judulyangberbeda. Ia terdiridari246soalkatayangmelibatkanpertanian, perdagangan, pengerjaan geometri yang menggambarkan rentangketinggiandanperbandingandimensiuntukmenarapagodaCina,teknik,survey,danbahan-bahansegitigasiku-sikudanπ.IajugamenggunakanprinsipCavalieritentangvolume lebih dari seribu tahun sebelum Cavalieri mengajukannya di Barat. IamenciptakanbuktimatematikauntukteoremaPythagoras,danrumusmatematikauntukeliminasiGauss.LiuHuimemberikankomentarnyapadakaryainipadaabadke-3 M. karya-karya matematika lainnya adalah dari astronom Han dan penemuZhangHeng (78–139)memiliki perumusan untuk pi juga, yang berbedadari caraperhitunganyangdilakukanolehLiuHui.ZhangHengmenggunakanrumuspi-nyauntukmenentukanvolumebola.JugaterdapatkaryatertulisdarimatematikawandanteoriwanmusikJingFang(78–37SM);denganmenggunakankomaPythagoras,Jing


27

mengamati bahwa 53 perlimaan sempurna menghampiri 31 oktaf. Ini kemudianmengarahpadapenemuan53temperamensama,dantidakpernahdihitungdengantepatditempatlainhinggaseorangJerman,NicholasMercatormelakukannyapadaabadke-17.Bangsa Cina juga membuat penggunaan diagram kombinatorial kompleks yangdikenal sebagai kotak ajaib dan lingkaran ajaib, dijelaskan pada zaman kuno dandisempurnakanolehYangHui(1238–1398M).ZuChongzhi(abadke-5)dariDinastiSelatandanUtaramenghitungnilaipisampaitujuhtempatdesimal,yangbertahanmenjadinilaipipalingakuratselamahampir1.000tahun.

e. MatematikaIndia

MatematikaVedantadimulaidiIndiasejakZamanBesi.ShatapathaBrahmana(kira-kira abad ke-9 SM), menghampiri nilai π. Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM)merupakantulisan-tulisanyangberisitentanggeometriyangmenggunakanbilanganirasional,bilanganprima,aturantigadanakarkubik;menghitungakarkuadratdari2 sampai sebagian dari seratus ribuan;memberikanmetode konstruksi lingkaranyangluasnyamenghampiripersegiyangdiberikan,menyelesaikanpersamaanlineardan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikanpernyataandanbuktinumerikuntukteoremaPythagoras.

Pāṇini (kira-kira abad ke-5 SM) yang merumuskan aturan-aturan tata bahasaSanskerta.Notasi yangdia gunakan samadengannotasimatematikamodern, danmenggunakanaturan-aturanmeta,transformasi,danrekursi.Pingala(kira-kiraabadke-3sampaiabadpertamaSM)didalamrisalahnyaprosodymenggunakanalatyangbersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentangkombinatorikameterbersesuaiandenganversidasardari teoremabinomial.KaryaPingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci (yang disebutmātrāmeru).SuryaSiddhanta(kira-kira400)memperkenalkanfungsitrigonometrisinus,kosinus,dan balikan sinus. Aryabhata, pada tahun 499, memperkenalkan fungsi versinus,menghasilkan tabel trigonometri India pertama tentang sinus, mengembangkanteknik-teknik dan algoritmaaljabar, infinitesimal, dan persamaan diferensial, danmemperoleh solusi seluruh bilangan untukpersamaan linear oleh sebuahmetodeyangsetaradenganmetodemodern,bersama-samadenganperhitunganastronomiyangakuratberdasarkansistemheliosentrisgravitasi.Dia jugamemberikannilaiπ


28

yangbersesuaiandengan62832/20000=3,1416.Pada abadke-14,MadhavadariSangamagramamenemukan rumus Leibniz untuk pi, dan, menggunakan 21 suku,untukmenghitungnilaiπsebagai3,14159265359.

2. PenemuKonsep-KonsepDasardalamMatematika

a. ReneDecrates

Rene Decrates dikenal sebagai ahli filsafat modern besar yang pertama. Ia jugapenemubiologimodern, ahli fisikadan seorangmatematikawan.Decrates lahirdiTouraine,Perancis,merupakanputradariseorangahlihukum.Decratesmenyelidikisuatumetodeberfikiryangumumyangakanmemberipertalianpada pengetahuan dan menuju kebenaran dalam ilmu-ilmu. Penyelidikan itumengantarnya ke matematika, yang ia simpulkan sebagai sarana pengembangankebenarandisegalabidang.KaryamatematikanyayangpalingberpengaruhadalahLa Geometrie, yang diterbitkan tahun 1637. Di dalamnya ia mencoba suatupenggabungandarigeometri tuadanpatutdimuliakandenganaljabaryangmasihbayi.BersamadenganPierreFermat(1601-1665),iadiberipujiandengangabungantersebut yang saat ini kita sebut geometri analitik, atau geometri ordinat, yangpengembanganlengkapkalkulustidakmungkintercapaitanpanya.

b. SirIsaacNewton

LahirdiWoolsthorpe-by-Colsterworth, Lincolnshire, 4 Januari1643–meninggal 31Maret 1727 pada umur 84 tahun; KJ: 25 Desember 1642–20 Maret 1726 adalahseorangfisikawan,matematikawan,ahliastronomi,filsufalam,kimiawan,danteologyangberasal dari Inggris. Iamerupakanpengikutaliranheliosentrisdan ilmuwanyangsangatberpengaruhsepanjangsejarah,bahkandikatakansebagaibapak ilmufisikaklasik.


29

Gambar5SirIsaacNewton

KaryabukunyaPhilosophiæNaturalisPrincipiaMathematicayangditerbitkanpadatahun1687dianggapsebagaibukupalingberpengaruhsepanjangsejarahsains.Bukuini meletakkan dasar-dasar mekanika klasik. Dalam karyanya ini, Newtonmenjabarkanhukumgravitasidantigahukumgerakyangmendominasipandangansainsmengenaialamsemestaselamatigaabad.NewtonberhasilmenunjukkanbahwagerakbendadiBumidanbenda-bendaluarangkasalainnyadiaturolehsekumpulanhukum-hukum alam yang sama. Ia membuktikannya dengan menunjukkankonsistensiantarahukumgerakplanetKeplerdenganteorigravitasinya.Karyanyainiakhirnyamenyirnakankeraguan.Dalambidangmatematikapula,bersamadengankarya Gottfried Leibniz yang dilakukan secara terpisah, Newtonmengembangkankalkulus diferensial dan kalkulus integral. Ia juga berhasil menjabarkan teoribinomial,mengembangkan"metodeNewton"untukmelakukanpendekatanterhadapnilai nol suatu fungsi, dan berkontribusi terhadap kajian deret pangkat. Hal inimerupakan salah satu bukti kemajuan para ilmuwan akan heliosentrisme danrevolusiilmiah.

c. GottfriedWilhemLeibniz

Leibniz lahir di kota Leipzig, Sachsen pada tahun 1646. Orang tuanya, terutamaayahnya Friedrich Leibniz sudah sejak awalmembangkitkan rasa ketertarikannyaterhadap masalah-masalah yuridis dan falsafi. Ayahnya merupakan seorang ahlihukumdanprofesordalambidangetikadanibunyaadalahputriseorangahlihukumpula.GottfriedLeibniztelahbelajarbahasaYunanidanbahasaLatinpadausia8tahunberkat kumpulan buku-buku ayahnya yang luas. Pada usia 12 tahun ia telahmengembangkanbeberapahipotesalogikayangmenjadibahasasimbolmatematika.


30

Gambar6GottfriendWilhemLeibniz

Padatahun1661LeibnizmendaftarkandiridiUniversitasLeipzigdankuliahfilsafatpada ahli teologi JohannAdam Schertzer dan teoretikus filsafat Jakob Thomasius.Padatahun1663iaberubahuniversitas,sekarangdiUniversitasJenauntukbelajarlebih lanjutdi bawah ahlimatematika, fisikadanastronomi ErhardWiegel untukmembedah pemikiran Pythagoras. Dengan usia 20 tahun ia ingin promosi dalambidangdoktorhukum,namunparaprofesorLeipzigmenganggapnya terlalumuda.LeibnizmakapergikeNürnberg,untukbelajarlebihlanjutdiUniversitasAltdorf.Kebanyakan ahli sejarah percaya bahwa Newton dan Leibniz mengembangkankalkulus secara terpisah. Keduanya pula menggunakan notasi matematika yangberbeda pula. Menurut teman-teman dekat Newton, Newton telahmenyelesaikankaryanya bertahun-tahun sebelum Leibniz, namun tidak mempublikasikannyasampaidengantahun1693.Iapulabarumenjelaskannyasecarapenuhpadatahun1704,manakalapadatahun1684,Leibnizsudahmulaimempublikasikanpenjelasanpenuh atas karyanya. Notasi dan "metode diferensial" Leibniz secara universaldiadopsidiDaratanEropa,sedangkanKerajaanBritaniabarumengadopsinyasetelahtahun1820.Dalam buku catatan Leibniz, dapatditemukan adanya gagasan-gagasan sistematisyang memperlihatkan bagaimana Leibniz mengembangkan kalkulusnya dari awalsampaiakhir,manakalapadacatatanNewtonhanyadapatditemukanhasilakhirnyasaja.Newtonmengklaimbahwa iaengganmempublikasikalkulusnyakarena takutditertawakan.NewtonjugamemilikihubungandekatdenganmatematikawanSwissNicolas Fatio de Duillier. Pada tahun 1691, Duillie merencanakan untukmempersiapaan versi baru buku Philosophiae Naturalis Principia MathematicaNewton, namuntidakpernahmenyelesaikannya.Pada tahun1693pulahubungan


31

antarakeduanyamenjaditidaksedekatsebelumnya.Padasaatyangsama,DuilliersalingbertukarsuratdenganLeibniz.Padatahun1699,anggota-anggotaRoyalSocietymulaimenuduhLeibnizmenjiplakkaryaNewton.Perselisihaninimemuncakpadatahun1711.RoyalSocietykemudiandalamsuatukajianmemutuskanbahwaNewtonlahpenemusebenarnyadanmencapLeibniz sebagai penjiplak. Kajian ini kemudian diragukan karena setelahnyaditemukanbahwaNewtonsendiriyangmenuliskataakhirkesimpulanlaporankajianini. Sejak itulah bermulainya perselisihan sengit antara Newton dengan Leibniz.PerselisihaniniberakhirsepeninggalLeibnizpadatahun1716.MungkinLeibnizadalahpenciptalambang-lambangmatematikaterbesar.Kepadanyakitaberhutangnama-namakalkulusdifferensialdankalkulusintegral,samahalnya

denganlambang-lambangbaku dan untukturunandanintegral.Istilahfungsi

dan penggunaan secara konsistendari = untuk kesamaanmerupakan sumbanganlainnya.Kalkulusberkembang jauh lebih cepatdi daratanEropadaripada Inggris,sebagianbesardisebabkanolehkeunggulanperlambangannya.

d. KarlWeierstrass

Banyak nama yang terkait dengan deret tak terhingga. Newton, Leibniz, keluargaBernoulli,Taylor,Maclaurin,Euler,danLagrangememakaidansalahmemakaideretdalam karya mereka. Mungkin tidak ada subjek lain menyebabkan pertentanganmatematisyanglebihbanyak,inikarenasemuamatematikawanyanglebihdinigagaluntuk membedakan secara cermat antara derek konvergen dan divergen.Kenyataannya, Cauchy (1789-1857)merupakan orang pertama yangmemberikandefinisi persis tentang kekonvergenan dan membuktikan sejumlah pengujiankekonvergenandalambab ini.SampaikemudianKarlWeierstrasmengembangkanteori lengkap tentang deret fungsi danmenyusun legitimasi operasi-operasi yangdemikiansebagaipengintegralandanpendiferensialansukudemisuku.TerlahirsebagaiwargaJerman,WeierstarssbelajarhukumdiUniversitasBonntetapigagalmemperolehgelar(sebagiankarenakelakarminum-birnya)iamemanglulusujiannegarauntukgurudanuntukselama15tahunmengajarsubjek-subjeksepertimengarangdanolahragasenam,sementaramempelajarimatematikadimalamhari.Dari posisi yang tidakdikenaldisebuahkotakecil, ia kemudianmelakukankaryadalammatematikayangdapatdibandingkandenganyangterbaikdiEropa.Beberapahasil yang diterbitkannya memberinya undangan untuk lebih dulu mengajar di

dxdy

f


32

TechnicalInstitutediBerlinkemudiandiUniversitasBerlin.Darisanapengaruhnyatelahmenyebarkeseluruhduniamatematika.Weierstrassadalahseorangpemikirmetodis yang cermat, ia bersikeras pada ketepatan yang lengkap di semuamatematikadanmenetapkanpembakuanyangdiakuidanditirusampaihariini.

Gambar7KarlWeierstrass

e. MariaGaetanaAgnesi

Hanyaduaorangwanitayangmunculdalamdaftarnamakehormatankalkuluskita.KurangnyaperwakilanwanitamencerminkansuatuprasangkayangtelahlamaadadiEropaBaratdanberlanjuthinggakeabadini.Jarangsekaliwanitadidoronguntukmengejar keunggulan akademisdanmerekayangmelakukanbiasanyamerasakanbahwa karir akademis dihalangi untuk mereka. Untunglah beberapa orang tetapbertahanmeskipunadahalangan-halangantersebut.SalahseorangyangdemikianadalahMariaGaetanaAgnesi.Yangtertuadiantara21anak, iadilahirkandalamkeluarga Italiakayadanterpelajardanmempunyaiayahseorangmatematikawan.Seoranganakyangluarbiasakepandaiannya,iamenguasaibahasaLatin,Yunani,Tahudidanbeberapabahasamodernpadausia9tahun.Padausia 20 tahun, ia memulai karyanya yang terpenting, sebuah buku ajar kalkulus.Untukmasanya,kejelasannyasungguh-sungguhmengagumkandanmerupakanbukuajar kalkulus luas yang pertama sejak karya dari l’Hopital. Buku itumemberinyabanyak kehormatan, termasuk pengakuan oleh Kaisar Maria Theresa dan PausBenedictXIV.


33

Gambar8MariaGaetanaAgnesi

NamaAgnesimenguasisuatu tempatdalamkepustakaanmatematikamelaluisatusumbangan kecil Maria, pembahasannya tentang kurva yang kemudian dikenalsebagaiversiera,yangberasaldaribahasaLatinvertere,membalik.

f. JosiahWillardGibbs

DenganJosiahWillardGibbs,kitaperkenalkanorangamerikapertamadalamgalaksibintang-bintang yang memberikan sumbangan pada perkembangan kalkulus.Mahasiswa-mahasiswaAmerikaseringkaliterkejutsetelahmengetahuibahwatidakterdapatkegiatanmatematikyangberartidibelahanbaratsampaiakhirtahun1800-an.MemangbenarbahwaAmericanJournalofMathematicsmulaiterbitpadatahun1878,tetapipenemuannyaberkatusahaJ.J.Sylverster,seorangInggrisyangmengajaruntukbeberapatahundiUniversitas JohnHopkins.KenyataannyasamapaisetelahperangduniaI,kebanyakanmatematikawanAmerikaadalahemigrandarieropaatautelahmenerimalatihandisana.Gibbs lahirdiNewHaven,Connecticut,wisudawandariYale, danbelajardiParis,Berlin, danHeidelberg. Iaditawari kemahaguruandalam fisikamatematisdiYale,penunjukkanpertamayangdemikiandiAmerika,dansebuahposisitanpagajiuntuk10tahun.


34

Gambar9JosiahWillardGibbs

Gibbs lebih terkenal dengan karena karyanya dalam menerapkan termodinamikadalam ilmu kimia. Tetapi tempatnyapada daftar kita ini adalahpada penggunaanmetode vektor olehnya. Dimulai sekitar tahun 1880, ia mengembangkanperlambangan dan aljabar vektor-vektor. Pada tahun 1901, perlakuan penuhgagasan-gagasannyadisajikanolehsalahseorangmahasiswanya,E.B.Wilson,dalamsebuahbukuyangberpengaruhberjudulVectorAnalysis

g. GeorgFriedrichBernhardRiemann

BernhardRiemannmemilihUniversitasGottingen,yangtelahdanselama100tahunberikutnyatetapmenjadipusatmatematikadunia.DisanaiakenapengaruhW.E.Weber,seorangfisikawankelassatudanKarlF.Gauss,matematikawanterbesarsaatitu.Padatahun1851diamenerimaPh.D-nyadibawahGauss,setelahitudiatinggaldiGottingenuntukmengajardanmeninggalkarenatbc15tahunkemudian.

Gambar10GeorgFriedrichBernhardRiemann


35

Hidupnyasingkat,hanya39tahun.Iatidakmempunyaiwaktuuntukmenghasilkankarya matematika sebanyak yang dihasilkan Euleur atau Cauchy, akan tetapikaryanya mengagumkan untuk kualitas dan kedalamannya. Makalah-makalahmatematikanyamenetapkanarahbarudalamteorifungsikompleksmemprakarsaistudi terdalam dari apa yang sekarang ini disebut dengan topologi. Juga dalamgeometrimemulaiperkembanganyangmemuncak50 tahunkemudiandalan teorirelativitas Einstein. Salah satu karyanya dalam kalkulus adalah definisi moderntentangintegraltentuyangkitakenalsebagaiintegralRiemann.

h. LeonhardEuleur

Eulerlahirtanggal15April1707diBasel,Switzerland.AyahnyaadalahPaulEuler,seorang pastur Calvinisme. Ibunya adalahMarguerite Brucker, anak dari seorangpastur.PendidikanformalEulerberawaldiBasel.Disanadiatinggalbersamanenekdaripihak ibunya.Diusianyayangketigabelas,diamendaftardiUniversitasBasel,danpadatahun1723,diamenerimagelar ‘’MasterofPhilosophy’’dengandisertasiyangmembandingkanfilsafatdariDescartesdanNewton.Setelah kelulusannya, dia mengambil les Sabtu sore dari Johann Bernoulli, yangdengancepatmenemukanbakatluarbiasadarimuridbarunyaitudalammatematika.Dari sini, Euler mempelajari teologi, bahasa Yunani, dan bahasa Ibrani karenadesakanayahnya, agar iamenjadi seorangpastor, tapiBernoullimeyakinkanPaulEuler bahwa Leonhard telah ditakdirkan untuk menjadi seorang matematikawanhebat.Padatahun1726,EulermerampungkandisertasitentangperambatansuaradengangelarDeSono.Kemudian,diaberusahamendapatkanposisidiUniversitasBasel(yangakhirnyagagal).Padatahun1727,diamengikutikompetisiParisAcademyPrizeProblem(kompetisimemecahkanmasalah), yang pada saat itu tantangannya adalahmenemukan caraterbaikuntukmenempatkantiangkapalpada sebuahperahu.Diamendapat juarakedua,kalahdariPierreBouguer—yangsekarangdikenalsebagai"bapakarsitekurangkatanlaut."Eulerkemudianmemenangkankompetisitahunanyangdidambakaniniduabelaskalisepanjangkarirnya.


36

Gambar11LeonhardEuleur

Euler juga dikenang dengan hasil karyanya berupa kurva tertutup untukmenggambarkanpemikiransilogisme(1768).Diagraminitelahdikenaldengannamadiagram Euler. Euler dan temannya Daniel Bernoulli bertolak belakang denganmonadismeLeibnizdanfilosofiChristianWolff.Eulerbersikerasbahwapengetahuandidirikanatasdasarhukumkuantitatif yang tepat, hal yang tidakdapatdijelaskanoleh monadisme dan ilmu pengetahuan Wolffian. Kecenderungan religius Eulermungkinjugamenjadialasanketidaksukaannyaterhadapdoktrin;diabertindaklebihjauhdanmenyebutideologiWolffsebagai"kafirdanateis".Leonhard Euler menyumbangkan tulisan yang setara dengan 75 buku tentangmatematika.Euleuradalah tokohdominandarimatematikaabadkedelapanbelasdan pengarang matematika paling subur sepanjang masa. Ia telah menerbitkanmakalah-makalahpadausia18tahun.MinatEuler terentangdisemuamatematikadan fisika. Sumbangannya pada kalkulus fungsi-fungsi transenden, yaitumemperkenalkan sebagai bilangandasar untuk logaritmaasli,memperlihatkanbahwa dan adalahtakrasional,danmenemukanhubungandari .Ia menjabat di Universitas Basel, St. Petersburg Academy of Sciences, dan BerlinAcademyofScienceskebutaanselama17tahunterakhirdarimasahidupnyatidakmenghambat karyanya. Iamengetahui dalam hati rumus-rumus trigonometri dananalisis.Dikatakanbahwaiatelahmengerjakansuatuperhitungansampai50desimaldi dalam kepalanya. Pada waktu ia meninggal, disebutkan bahwa semuamatematikawanEropaadalahmahasiswanya.

ee 2e 1-=pie


37

Selama21 tahun, ia telahmenulissekitar380makalah.Tahun1771, iamenderitakebutaantotal.NamunEulerterusmenulisbahkanjumlahnyahampirsetengahdaritotaltulisansebelumkebutaan.BahkanStPetersburgAcademymasihmenerbitkankarya Euler yang belum diterbitkan selama hampir 50 tahun setelahkematiannya.Selain di bidang fisika, ia membuat lompatan besar pada geometrianalitik dan trigonometri, kalkulus, dan teori bilangan. Iamemperkenalkan fungsiBetadanfungsiGamma(1729),sertafaktorintegrasiuntukpersamaandifferensial.

i. JohannBernoulli

Johanndan saudaranya Jacques, setelahNewtondanLeibniz,merupakanperintis-perintis yang terpenting dari kalkulus. Kedua saudara inibersaing dengan penuhsemangat dan sengit demi sebuah pengakuan.Walaupun demikian, mereka tetapsalingberkomunikasidanjugaberkomunikasidenganLeibniztentangmatematika.

Gambar12JohannBernoulli

KeluargaBernoullimenanganisemuajenismasalahdasardalamkalkulus,termasuktitik-titik balik, panjang kurva-kurva, deret tak terhingga, dan teknik-teknikpengintegralan.Johannmenulisbukuajarkalkulusyangpertamapadatahun1691dan1692,tetapibagiantentangkalkulusintegrltidakditerbitkansampaitahun1924.Sebagai gantiya, pada tahun1969,GuillaumeF.A. de l”Hôpital,mahasiswa Johann,menerbitkan naskah kalkulus yangpertama. Bentuknya diubah sedikit dari karyagurunya.MungkinpengaruhJohannpalingbaikdilihatdarimahasiswanyayanglaindanyanglebihterkenal,LeonhardEuler.

j. Augustin-LouisCauchy

Augustin-Louis Cauchy lahir di Paris dan didik di Ecole Polytechnique. Karenakesehatannya yang buruk, ia dinasehatkan untuk memusatkan pikiran pada


38

matematika. Selama karirnya diamenjabatmahaguru di Ecole Polytechnique danCollege de France. Sumbangan-sumbangan matematisnya cemerlang danmengejutkan dalam jumlahnya. Produktifitasnya sangat hebat sehingga AcademiParis memilih untukmembatasi ukuranmakalahnya dalammajalah ilmiah untukmengatasikeluarandariCauchy.

Gambar13Augustin-LouisCauchy

Walaupunkalkulusdiciptakanpadaakhirabadketujuhbelas,daasr-dasarnyatetapkacaudanberantakansampaiCauchydanrekansebayanya(Gauss,AbeldanBolzano)mengadakan ketelitian baku. Kepada Cauchy kita berhutang pemikiran tentangpemberiandasarkalkuluspadakonsep limit. Semuabukuajarmodernmengikuti,palingsedikitdalamintinya,penjelasankalkulusyangterincioehCauchy.

3. SejarahMatematikadalamPembelajaran

Salah satu kompetensi guru adalah memahami sejarah matematika. Pentingnyasejarahmatematikabagiguru,tidaksemata-matakarenasejarahmatematikasebagaisalahsatucabangmatematika,tetapilebihdariitu,karenaperansejarahmatematikayang secara langsung maupun tak langsung mempengaruhi pembelajaranmatematika.

Fauvel (2000) menyatakan bahwa terdapat tiga dimensi besar pengaruh positifsejarahmatematikadalampembelajaran:

a. understanding(pemahaman):perspektif sejarahdanperspektifmatematika(strukturmodern)salingmelengkapiuntukmemberikangambaranyangjelas


39

danmenyeluruhtentangkonsepdanteorema,sertabagaimanakonsep-konsepsalingberkaitan,

b. enthusiasm (antusiasme): sejarah matematika memberikan sisi aktivitassehinggamenimbulkanantusiasmedanmotivasi,dan

c. skills (keterampilan):memacu keterampilanmenata informasi,menafsirkansecara kritis berbagai anggapan dan hipotesis, menulis secara koheren,mempresentasikan kerja, dan menempatkan suatu konsep pada level yangberbeda.

Bagaimanakah cara menggunakan sejarah matematika tersebut? Sesungguhnyasangatbanyakcarayangdapatditempuhsesuaidengantujuanapayangdiinginkan.Berikutinisecaralebihrinci,JohnFauvel(Garner,1996)menyarankanbeberapacarayangdapatditempuhdalammenggunakansejarahdalampembelajaranmatematikadikelas,yaitu:

a. Menyebutkanataumenceritakantentangmatematikawanpadazamandahulusecaramenyenangkan.

b. Menyediakanpengantarsejarahuntukkonsep-konsepyangbarubagisiswa.

c. Memacu siswa untuk memahami masalah-masalah sejarah untuk manakonsep-konsepyangtelahmerekapelajarimerupakanjawabannya.

d. Memberitugas-tugastentangsejarahmatematika.

e. Melengkapi latihan-latihan di kelas atau di rumah dengan menggunakantulisan-tulisanmatematikadarizamandahulu.

f. Aktivitasdramalangsungdengankegiatanrefleksiinteraksimatematika.

g. Memacukreasitampilanposteratauproyeklaindengantopik-topiksejarah.

h. Merencanakanproyektentangaktivitaslokalmatematikapadazamandahulu.

i. Menggunakan contoh-contoh penting dalam sejarah matematika untukmenggambarkanteknik-teknikataumetode-metodematematika.

j. Mengeksplorasi miskonsepsi, kesalahan, atau pandangan lain pada zamandahulu untuk membantu pemahaman dan penyelesaian kembali akankesulitan-kesulitanyangdijumpaiolehsiswapadamasasekarang.


40

k. Merencanakansuatupendekatanpedagogikuntuksuatutopiktertentudenganmenggunakanperkembangansejarahnya.

l. Merencanakanurutandanstrukturtopikdalamsilabuspembelajarandenganlandasansejarah.

Pada bagian selanjutnya, dibahasmengenai sejarahmatematika. Ada banyak caramenyajikansejarahmatematika,mulaidarisejarahmatematikatiapperadaban,tiaptokoh,tiaptopikmatematika,hinggadarisudutpandangtertentumisalnyafilsafat.Dibawah ini disajikan sejarahmatematikaberdasarkan tokohmatematikadan topikmatematikasekolah.

4. BeberapaTokohMatematika

Tokoh-tokoh matematika telah banyak dirangkum para sejarawan hingga ribuanjumlahnya. Di bagian ini hanya disajikan sebagian kecil saja dari tokoh-tokohmatematika itu, namun memiliki konstribusi yang penting di dalam matematika,terutamamatematikasekolah.

a. Pythagoras(580-501SM)

PythagorasyanglahirdipulauSamos(diTurki)mendirikanperguruanyangdisebutPerguruan Pythagoras. Dasar perguruan tersebut adalah bilangan, yangmengatursegala sesuatu. Karya perguruan Pythagoras kita ketahui hanya dari tulisanAristoteles,Euclid,Proclus,DiogenesLaertisus,danlain-lain.

Gambar14Pythagoras

SumbanganmatematikayangpentingdariperguruanPythagoras,antaralainbuktiTeorema Pythagoras dan konversinya. Bukti teorema Pythagoras dari perguruanPythagoras berdasarkanpadagambar geometris di bawah. Ada yangmengatakan


41

rumus Tripel Pythagoras: (berasal dari perguruan Pythagoras,

tetapisesungguhnyatelahdikenaldiBabilonia.

Gambar15BuktiGeometrisTeoremaPythagoras

Contohnya6=1+2+3.Bilangan-bilanganbersahabatadalahduabilanganbulatpositif,masing-masingmerupakanjumlahdaripembagi-pembagimurnidaribilanganpasangannya.Contohnya,pasangan220dan284.Selainitu,jugamengenairata-ratahitung, geometris, harmonik, danhubunganketiganya.Teoremayangmenyatakanbahwajumlahsudut-sudutsebarangsegitigasamadenganduakalisudutsiku-siku,pertamakaliberasaldariperguruanPythagoras.

Pythagorasmengajarkanbahwasemuabilanganadalahrasional.Namun,muridnyayangbernamaTheodorusmembuktikanbahwaakardari3,5,6,7,10,11,13,14,15,dan 17 adalah irasional. Sementara bukti bahwa akar suatu bilangan asli adalahirasionaljikadanhanyajikabilanganaslitersebutbukanbentukkuadrat,diberikanolehTheaetetus.

Berdasarkanbeberapaliteratur,Pythagorasmeninggalsekitar507SMsaatkompleksperguruannyadibakarolehpenguasasetempatkarenadianggapmengajarkanaliranyangsesat.

b. Euclid(325-265SM)

EucliddariAlexandriasangatterkenaldalammatematika.Tetapisedikityangdapatdiketahui dari kehidupan Euclid. Data yang dapat dipercaya berasal dari Procussekitar tahun420M.EucliddipastikanpernahbelajardiAkademiPlatodiAthena.Tidak ada karya Euclid yang memiliki kata pengantar, sehingga kita tidak dapatmengetahui“siapa”pengarangnya.

KaryaterkenaldariEuclidadalahElement,yangmerupakankompilasipengetahuandan menjadi sumber belajar selama 2000 tahun. Buku tersebut dimulai dengan

( ) ( )21,

21 22 +- mm


42

definisidanlimapostulat,sertaaksioma.Yangterkenaladalahpostulatkelimaataupostulat paralel. Dengan mengganti postulat ini, kita mengenal geometri non-euclidean. Geometri euclidean adalah geometri yang dipelajari di sekolah. BukuElement yang terdiri dari 13 buah buku terpisah, amat menakjubkan dalam halkecermatandanurutanteoriyangdinyatakandandibuktikan.Bukuinimenjadicikalbakalsistemaksiomatisdalammatematika.Telahadaribuanedisiditerbitkansejakpertamakalidicetaktahun1482.

Gambar16Euclid

Euclidjugamenulisbanyakbukulain,tetapiyangdapatbertahanhinggakiniterkaitmatematika antara lain Data yang berisi 94 proposisi dan On Divisions yangmembahas mengenai cara membagi sebuah bangun menurut perbandingan yangdiberikan.

c. Archimedes(287-212SM)

Archimedes berasal dari Syracuse, pulau Sicilia yang menjadi koloni Yunani.Barangkali ia belajar di Universitas Alexandria sebab ia bersahabat denganErasthothenes, murid Euclid. Ia sering disebut sebagai matematikawan terbesarsebelumIsaacNewton.


43

Gambar17Archimedes

Archimedes mampu memusatkan perhatiannya pada suatu persoalan hinggaterkadangmelupakandirinyasendiri.Cerita tentangpenemuanhukumhidrostatismerupakan salah satu contohnya, ketika ia mendapatkan tugas dari raja Hieron,untuk menguji kemurnian mahkota emas. Di saat mandi, ia menemukan sifathidrostatis, dan karena kegembiraannya ia berlari ke luar dalam keadaan tanpapakaiansambilberteriak“Eureka-Eureka”(akumenemukan,akumenemukan).PadasaatSyracusediserangolehRomawi,Archimedesmembantudenganmembuatkanbeberapamesinuntukmempertahankankotanya.PadasaatSyracuseakhirnyajatuhpada212tahunSM,ArchimedespunterbunuholehtentaraRomawikarenabegituasyiknyamelukiskurvadipasir.

Archimedes menulis banyak subjek, dan seringkali menggunakan cara apa yangsekarang dalam bentuk modern kita sebut dengan kalkulus. Karena itu ia seringdisebut sebagai Bapak Integral. Beberapa karyanya sebagai berikut: The Method(Metode) yang banyak menjelaskan tentang metode menemukan teorema-teoremanya, Qudrature of the Parabola (Membujursangkarkan parabo yangberisi24dalil,MeasurementofaCircle(Pengukuranlingkaran)dimanadengan“metodeklasik”(metodepoligonberaturan)iamendapatkanperbandingan√beradadiantaradan dengan menghitung keliling poligon segi 96 beraturan, On Spirals (Tentangspiral) yang berisi 28 dalil mengenai sifat-sifat spiral yang kini disebut spiralArchimedes, dengan persamaan polar , juga buku tentang Conoida danSferoidayangmemuat40dalilmengenaiisibendaputaranyangterbentukolehkurvaderajatduadansoal-soalmengenaimembagibolasehinggavolumsegmen-segmenbolamengikutisuatuperbandinganyangditentukan.

q×= ar


44

d. Brahmagupta(598-670M)

BrahmaguptaadalahkepalaobservatoriastronomidiUjjainyangmerupakanpusatperkembangan matematika India saat itu. Karya terpenting adalahBrahmasphutasiddhanta (628) yang ditulis di Bhinmal, ibukota Dinasti Gurjara.Sebagaipelengkapkaryadiatas,BrahmaguptajugamenulisKhandakhadyakapadatahun665saatiaberusia67tahun.Brahmasphutasiddhantamemuat25bab.

Gambar18Brahmagupta

Pemahaman Brahmagupta tentang sistem bilangan jauh melebihi orang-orangsejamannya. Dalam Brahmasphutasiddhanta, ia mendefinisikan nol sebagai hasilpengurangan sebuah bilangan dengan dirinya sendiri. Brahmagupta jugamemberikan aturan aritmetika dalam istilah untung (bilangan positif) dan istilahrugi/hutang (bilangan negatif). Brahmagupta jugamemberikanmetode perkalianyang menggunakan nilai tempat, yang menjadi cikal bakal cara perkalian kita.TerdapattigametodeyangdinyatakannyadalamBrahmasphutasiddhanta.

Sumbangan lain adalah algoritmauntukmenghitung akarkuadrat suatubilangan.AlgoritmainikinidikenaldenganrumusiterasiNewton-Raphson.Brahmaguptajugamengembangkannotasialjabardanmetodemenyelesaikanpersamaankuadrat,sertametode menyelesaikan persamaan tak tentu berbentuk ax + c = by. DalamBrahmasphutasiddhanta,iajugamemberikanrumusuntukluassegiempattalibusurdandiagonal segiempat talibusurdenganmenggunakan sisi-sisi segiempat.DalambukuKhandakhadyaka,iamembahasrumusinterpolasiuntukmenghitungnilaisinusyangsekarangdikenaldengannamarumusinterpolasiNewton-Stirling.


45

e. Al-Khwarizmi(780-850M)

AbuMusaal-KhwarizmilahirdiKhiran,al-Khwarizm,Uzbekistandanwafatdikota1001 malam, Baghdad. Aljabar sering dilekatkan dengan nama Ibnu Musa al-Khwarizmi.GandzdalamTheSourceofAl-Khwarizmi’salgebramenyebutbahwaal-Khwarizmiadalah“Bapakaljabar”,begitupulaBoyerdalamAhistoryofmathematics.

Gambar19Al-Khwarizmi

AbuMusaal-KhwarizmimenyusunkaryaaljabarHisabal-Jabrwal-Muqabalayangselama berabad-abad digunakan di Timur maupun Barat, di mana kitab asliberbahasaArabnya telah lamahilang.TerjemahanyangtermasyurolehGerarddeCremona yaitu DeJebra et Almucabala. Di dalam terjemahan karya al-Khwarizmitersebutterdapat6babyangberisi6bentukpersamaanlineardankuadrat.Selainsecaraaljabar,al-Khwarizmijugamemberikanpenyelesaiansecarageometridenganmembuatdiagramgeometris.Salahsatucontohnyauntukpersamaankuadratx2+10x=39.

Lewat sebuah karya aritmetikanya, yaitu Liber Argoritum atau Algorismi deNumeroIndorum (arabnya : Al-Jami’wa at-Tafriq bil Hisab al-Hind) diperkenalkanangka-angka Hindu-Arab untuk pertama kali ke Eropa beserta sistem desimal. Iaberjasa dalam merintis dan memelopori perhitungan dengan angka nol (bahasaInggris: chiper, yang berasal dari bahasa arab sifr) dan sistem desimal. Karenapengkajiannyayanganalitisdalamkarya-karyanya,namanyamenjadisuatu istilah“algoritma”.

Selain karya yang telah disebutkan, terdapat pula karya lain yang terkenal yaituTrattatid’Arithmetica, terjemahanPrinceBoncompagni.Tokoh ini seringdikaitkandenganteoremaTheCastingOut9`s.Sebagaiastronom,al-KhwarizmijugamenyusunZij(daftarastronomi)yangsangatpopulerpadasaatitudanberisinilai-nilaisinusdantangens.Diapunmempersiapkansebuahpetabumibersama-samailmuwanlain.


46

f. Fibonacci(1170-1250M)

Fibonacci adalahmatematikawan Italianyanghidupantara1170–1240/1250M.AdasumberlainjugayangmenyebutkanbahwadialahirdiPisapadatahun1175.Nama lainnya adalah Leonardo if Pisa, Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano.Ayahnya bernama Guilielmo Bonacci adalah seorang pedagang dan ibunyaAlessandra. Fibonacci mengenal sistem matematika ketika mengikuti ayahnyaberdagangsampaikeAfrikaUtara.Setelah15tahunmelancongmFibonaccimenetapdi Italiadanmenulisdasar-dasarmatematika.Tulisannyaantara lainadalahLiberAbaci (1202), PracticaGeometricae/PracticalGeometry (1220), Flos (1225), LiberQudratorum (1225) dan A Letter toMaster Theodorus (1225). Adapun beberapakaryayanglaintentangaritmetikaperdagangandanbilanganirasionaldinyatakanhilang.BeberapakontribusiFibonaccidalammatematikaadalahsebagaiberikut:

a. Memperkenalkan Sistem Bilangan Hindu-Arab di Eropa dan menemukanbilangan Fibonacci Bukunya yang berjudul Liber Abaci (The Book ofCalculating),memberiperhatiankhususpadasistembilanganHindu-Arabdanmungin sebagai pengaruhnya, matematika menggunakan sistem bilangantersebut.Kontribusi inimenjadisalah satu alasanmengapaFibonaccimasihterus dikenang hingga sekarang.Buku tersebut berisi aritmetika danaljabaryangiahimpunselamaperjalanannyadiAfrikaUtara.Padabagianberikutnya,banyak dibahas mengenai soal-soal yang berkaitan dengan perdagangan,sedangpadabagianketigamemperkenalkanbilanganFibonaccidanbarisanFibonacci,yaitu1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,.....(tetapiFibonaccitidakmenulissuku pertama dalam bukunya) dari suatu masalah yang dikenal sebagaimasalahkelinci.Barisaninisangatterkenaldandiketahuibanyakditemukandalamgejalaalam.

Gambar20Fibonacci

b. PerintisdalampenggunaankembalipecahanMesir(Egyptianfraction).Tidakdiketahui pasti siapa yang menemukan pecahan, tetapi Fibonacci telahmenggunakannyadalamperhitunganyangdilakukannya.


47

c. Dalam Liber Quadratum (The Book of Square), Fibonacci memperkenakansalahsatuhasildalamteoribilanganyaitubilangankuadratdapatdituliskansebagai penjumlahan bilangan-bilangan ganjil. Fibonacci juga memberikanbuktiuntukmasalah:tidakadabilangan𝑥dan𝑦sedemikiansehingga𝑥2 + 𝑦2dan 𝑥2 − 𝑦2 keduanya merupakan bilangan kuadrat dan hasil dari 𝑥& − 𝑦&bukanbilangankuadrat.

d. Practicageometriaeditulistahun1220.Bukuiniberisikoleksisoalgeometriyangdibagikedalam8bab.

e. Flosi (1225), Fibonaccimemberikanpendekatan yang akurat terhadapakardari10x+2x2+x3=20.

g. Descartes(1596-1650M)

Rene Descartes selain belajar filsafat, ia juga mempelajari matematika dari bukuClavius.Saatsekolah,kesehatannyamemburuk,laludiijinkanuntuktetapditempattidur hingga jam 11 siang. Hal ini kemudianmenjadi kebiasaanDescartes hinggameninggal dunia. Ia mulai belajar matematika sejak tahun 1618. Tahun 1623, iaberhubungandenganMersenne,seorangmatematikawandiParis.Korespondensiinimeneguhkannyauntukbergelutdenganilmupengetahuan.

Gambar21Descartes

Karenadorongankolega-koleganya,ialalumenerbitkanDiscoursdelamethodepourbienconduiresaraisonetchercherlaveritedanslessciences,sebuahkaryasain.Karyainidilengkapidengantigaapendiks,yaituLaDioptriquetentangoptika,LesMeteorestentang meteorologi, serta La Geometrie. Karya terpenting, terletak pada LaGeometrie yang membahas mengenai matematika. Dalam karya ini terdapat idegeometri analitik yaitu masalah yang memuat gagasan mengaitkan geometri danaljabar. Sebagai penghormatan, kini koordinat silang (tegak lurus) kita namakankoordinat kartesian/kartesius. Karya yang penting lainnya adalah Principia


48

PhilosophiaeyangdipublikasidiAmsterdamtahun1644.Karyainiterbagidalam4bagianyangmembawamasalahalamkedalammatematika.

Tahun1649, ratuChristinadari SwediamengundangDescartesuntukdatangdanmengajar di Stockholm. Karena suatu tugas dari ratu, di sana ia mengubah polabanguntidursiangnya.Setelahbeberapabulandarimusimdinginyangekstrim,iameninggaltahun1650karenapneumonia.

h. Fermat(1601-1665M)

Pierre Fermat mula-mula belajar di universitas Toulouse lalu tahun 1620 diBordeaux.DariBordeaux, iapindahkeOrleansdanmenyelesaikanstudihokumdisana.Ialalubekerjasebagaipengacarasekaligusterpilihdanmasyurdiparlemen.

Gambar22Fermat

Tahun 1636 dimulai kontak antara Mersenne dengan Fermat. Fermat lalumenceritakanpenemuannyamengenaikesalahanyangdibuatGalileomengenaijatuhbebas,jugapenemuannyatentangspiral,danperbaikantulisanApolloniusmengenaititikpadabidang.FermatlalumenulisMethodfordeterminingMaximaandMinimaandTangentstoCurvedLines.

Selama tahun 1643 hingga 1654, ia tidak lagi mengajar di Paris namun banyakmengenai Teori Bilangan walaupun kurang disenangi pada saat itu. TeoremaTerakhirFermat,yangmenyatakanbahwaxn+yn=zn tidakmemilikipenyelesaianbulatx,ydanzuntukn�2menjaditerkenal.IamenulisdalambagiantepiterjemahanBachet terhadapkaryaDiophantus,Arithmetica:”Aku telahmenemukanbuktiyangbenar namun tepi halaman ini terlalu kecil untuk memuat bukti itu”. Sekarang,matematikawanmenunjukkanbahwabuktiFermatsalah.BuktilengkapditunjukkanolehAndrewWilespadaNopember1994.


49

Fermat mulai berkorespondensi dengan Blaise Pascal tahun 1654. Dari siniterungkap idenyamengenai teori probabilitas. Kini, Fermat dan Pascal dihormatisebagai pendiri teori probabilitas. Dalam bukuNew Account of Discoveries in theSciences of Numbers tahun 1659, banyak memuat metode antara lain untukmenunjukkan bahwa setiap bilangan prima berbentuk 4k+1 dapat ditulis sebagaijumlahduabilangankuadrat,namuntidakdetail.Dikemudianhari,Eulermembuatbuktiyanglebihrinci.

i. Pascal(1623-1662M)

Blaise Pascal adalah anak ketiga dari Étienne Pascal. Blaise secaramandiri telahmempelajari geometri di usia 12 tahun. Sejak itu, Ayahnyamemberi Blaise bukuElementdariEuclid.Saatberusia14 tahun,BlaisePascal telahmengikutiayahnyamengikutipertemuan ilmiahatasprakarsaMersennediParis.Padausia16tahun,Pascalmempresentasikanmakalahnyadi bulan Juni1639, yangmemuat sejumlahteoremageometriproyektif,termasukPascal`smystichexagon.Pascalmenyelesaikanbukupertamanya,EssayonConicSectionsyangditerbitkantahun1640.Pascaljugamembuat kalkulator digital pertama, yang disebut Pascaline untuk membantupekerjaanayahnya.Untukmembuatnyaiamembutuhkanwaktuantaratahun1642hingga1645.

Gambar23Pascal

Tahun1651,ayahnyaÉtiennePascalmeninggal.Peristiwainimendorongnyamenulistentang filsafat, yang terkenal,Pensées, sebuahkoleksi pemikirannyaantara tahun1656hingga1658.Tahun1653,PascalmenulisTreatiseontheEquilibriumofLiquids,dimanaiamenjelaskantentangHukumPascalmengenaitekanan.

Setelahsempatdimulaitahun1648,tahun1654iamenyelesaikanbukunyatentangirisankerucut,TheGenerationofConicSections.Pascalmenganggap irisankerucutsebagaihasildariproyeksi titikterhadap lingkaran.WalaupunPascalbukanorang


50

pertamayangmembahasmengenai“SegitigaPascal”,tetapitulisannyadalamTreatiseon theArithmetical Triangle amat penting.Melalui surat-menyurat dengan Fermattahun 1654,Pascal membangun dasar-dasar Teori Probabilitas. Dalam lima buahsuratnya, iamembahasduamasalah terkenal, thediceproblemdan theproblemofpoints.Karyaterakhirtentangkurvacycloid,sebelumiameninggalpadausia39tahunkarenasakit.

j. Newton(1643-1727M)

Isaac Newton dilahirkan di Lincolnshire, Inggris. Masa kecil Newton kurangmendapat perhatian. Menurut de Moivre, ketertarikan Newton pada matematikadimulai tahun 1663 saat ia dibelikan buku astrologi di Cambridge tetapi ia tidakmemahami matematika di dalamnya. Ia lalu memutuskan untuk mempelajaribeberapabukumatematikalainnya.TalentaNewtonmulaiberkembangpesatsetelahkedatangan seorang matematikawan Barrow di Cambridge tahun 1663. Barrowmelihat bakat jenius pada Newton. Tahun 1671, Newton menulis dasar-dasarkalkulus differensial dan integral, dengan Metode Fluxion-nya lewat buku DeMethodisSerierumetFluxionum(diterbitkan1736).

Tahun1669,saatNewtonbaruberusia27tahun,iatelahdipromosikanBarrowuntukmenduduki profesor Lucasian. Karya Newton pertama sebagai profesor Lucasianadalahmengenai optik dimana iameneliti bahwa cahaya putih adalah gabunganberbagaitipe-tipesinarlewataberasikromatik.Tahun1672,NewtonterpilihsebagaianggotaRoyalSocietysetelahmempersembahkanteleskopreflektif.Tahunitujuga,iamenerbitkanmakalahtentangcahayadanwarnadithePhilosophicalTransactionsoftheRoyalSociety.Tahun1666,Newtontelahmembuatversiawaldaritigahukumgeraknya. Ia juga menjelaskan tentang gerak sentrifugal. Atas saran dari Halley,Newton lalu menyusun buku yang terkenal, Philosophiae naturalis principiamathematica(disingkatdengannamaPrincipia).Iamenganalisagerakbenda,geraksentrifugal dan sentripetal, dan bahwa setiap benda sesungguhnya salingmempengaruhi melalui apa yang disebut Hukum Gravitasi Umum, “semua bendamempengaruhibendalaindengansuatugayasebandingdenganhasilkalimassanyadanberbandingterbalikdengankuadratjaraknya”.

Walaumulai tahun 1703, ia terpilih sebagai presiden theRoyal Society hingga IameninggaldanmenerimapenghargaankehormatansebagaiilmuwandariRatuAnne(1705),namundiakhirhidupnyaiaberkonfrontasidenganLeibnizmengenaisiapayangmenemukanKalkulus.


51

k. Gauss(1777-1855M)

CarlFriedrichGaussmulaimasuksekolahdasarsaatberusiatujuhtahun.Gurunya,Büttner,terkejutsaatGaussdenganseketikadapatmenjawabjumlahbilanganasli1hingga 100. Ia masuk akademi Brunswick dan di sana secara mandiri berhasilmenemukan hukum Bode, teorema binomial, rata-rata aritmetik dan geometrik,hukumkebalikankuadratik,danteoremabilanganprima.

Gambar24Gauss

Tahun1795,iamelanjutkankeUniversitasGöttingen.Tahun1798iameninggalkanGöttingen tanpa gelar, namun dengan prestasi yang gemilang tentang konstruksisegi-17 beraturan dengan penggaris dan jangka. Temuan ini diterbitkan dalamDisquisitionesArithmeticae,bagianVIIpadatahun1801.GausskembalikeBrunswick,danmenyelesaikanstudisarjanadiUniversitasHelmstedtdengandisertasimengenaiTeoremaFundamentalAljabar.

Saat bulan Ceres ditemukan posisinya oleh Zach tahun 1801, ini telah diprediksidengan baik oleh Gauss lewat metode aproksimasi kuadrat terkecil. Ia banyakmenulis mengenai astronomi hingga tahun 1817 karena banyak menghabiskanwaktudiobservatorium.Namuniajugamasihmenghasilkanbanyakkaryadibidanglainnya,termasukDisquisitionesgeneralescircaserieminfinitam, tentangderetdanfungsi hipergeometrik.Tahun1820,Gaussbegitu tertarikdengangeodesik.Antaratahun1820hingga1830,Gausstelahmenerbitkanlebihdari70makalah.Sejaktahun1820, Gauss juga telah tertarikdengan eksistensi geometri non-euclidean, namuntidak mempublikasikannya. Gauss juga tertarik dengan geometri differensial danmenerbitkanDisquisitionesgeneralescircasuperficiescurva(1828).

Tahun1832,GaussdanWebermenyelidikiteorimagnetismeterestrial.Hinggatahun1840, ia telahmenerbitkan tigabukumengenai subjek ini.GaussdanWeber jugamenemukanbanyakhukumfisikadanditerbitkandalamkurun1836-1841.


52

Gauss terkenalkarenakesabarannya. Iaseringkalitelahmengetahuisuatumetodeatau masalah tetapi tidak merasa perlu mempublikasikannya, bahkan amatmenghargaimatematikawanlainyangmenemukannyakembali.Dalammasaakhirhidupnya,Gaussbanyakberkecimpungpadamasalahpraktis.Iameninggalpada23Februari1855saattidurpaginya.

l. Cantor(1854-1918M)

George Cantor terkenal sebagai penemu teori himpunan. Kontribusinya inimengubah wacana matematika. Pada 1870, Cantor berhasil menyelesaikan soalketunggalanrepresentasifungsiatasderettrigonometriyangtakdapatdipecahkansebelumnya.Cantormenerbitkanmakalahyangmendefinisikanbilangan irasionalsebagai barisan bilangan rasional yang konvergen tahun 1870. Dedekindmenulisdefinisi bilangan real lewat potonganDedekind (Dedekind cuts) setelahmembacamakalahCantordiatas.Cantormembuktikanbahwahimpunanbilanganrasionaldanbilanganaljabaradalah terhitung(countable)tahun1873.PadaDesember1873 iamembuktikan bahwa himpunan bilangan real adalah tak-terhitung. Tahun 1874,Cantormengajukansoal,apakahadakorespondensi1-1titik-titikpadasatusatuanluasdengansatusatuanpanjang,yangakhirnyadiselesaikanCantorsendiri(1877)bahwaadakorespondensi1-1titik-titikpadainterval[0,1]dantitik-titikpadaruangberdimensi-p. Selamakurunwaktu1877hingga1882,CantormengirimkaryanyatentanglandasanteorihimpunankeJournalCrelle,journalMathematischeAnnalen,danJournalActaMathematica.

Gambar25Cantor

Makalahpentingnyayang terakhir tentang teori himpunan terbit tahun1895dan1897 diMathematische Annalen tentang aritmetika transfinit. Di makalah keduaterdapat teorinyatentang well-ordered set dan bilangan ordinal. Tahun 1897 iamenemukansebuahparadoksdalamteorihimpunannya.


53

Cantormengalamidepresitahun1884karenakekhawatirannyadalammatematikadanhubunganyangkurang serasidenganKronecker, hinggamulai tahun1899 iaberhenti mengajar karena kesehatanmentalnya yangmemburuk. Di tahun-tahunberikutnya aktivitas matematikanya menurun, namun tetap menulis mengenaifilsafat, sastra, dan religi. Tahun 1917 ia masuk ruang perawatan dan akhirnyameninggaltahun1918karenaseranganjantung.

5. SejarahMatematikaKonsepMatematikaJenjangSMK

Pada bagian ini, dikemukakan sejarah beberapa topik atau konseppentingdalammatematika sekolah. Sebagian besar bersumber dari modul Sejarah dan FilsafatMatematika(2012).

a. TeoriHimpunan

Teori himpunan bermula dari diterbitkannya makalah berjudul On aCharacteristicPropertyofAllRealAlgebraicNumberskaryaGeorgeCantortahun1874.Topik yangmenjadi cikal bakal lahirnya Teori Himpunan, salah satunya konsepketakhinggaan.BertrandRusselldanErnstZermelosecaraindependenmenemukanparadoks yang kemudian dikenal sebagai “Paradoks Russell”. Pada tahun 1899,Cantor sendiri juga menyuguhkan sebuah paradoks terkait bilangan kardinal.Walaupun menimbulkan beberapa paradoks, Teori Himpunan terus menemukanperanannya dalam membangun struktur matematika modern. Misalnya, HenriLebesgueyangmenggunakanTeoriHimpunanuntukmembangunteoriukuran.KiniTeoriHimpunandianggapsebagaisalahsatulandasanmatematikamodern.

b. LogikaMatematika

Sejarahlogikadimulaidengantokohnya,Aristoteles.KoleksitulisanAristotelesdalamlogika terkumpul dalam buku Organon. Tulisan lain yang penting adalah PriorAnalytics. Kontribusipenting lainnyaadalah logikadariAvicennaatau IbnuSinna.Sistem logika Ibnu Sinna antara lainmelahirkan silogisme hipotetik, logikamodaltemporal,danlogikainduktif,termasukrintisanpropositionalcalculus.


54

Gambar26Aristoteles

Logikasimbolik(logikamatematika)munculsekitarpertengahanabadke-19sebagaiakibat dari perumusan dasar-dasar matematika. Pada tahun 1854, George Boolemenulis “An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded theMathematical Theoriesof Logic and Probabilities” yang memperkenalkan logikasimbolik dan prinsip-prinsip yangkini dikenal sebagai logika Boole. Tahun 1903,AlfredNorthWhitehead (1861 -1947)&BertrandRussellmenerbitkan “PrincipiaMathematica”yangmengulaskebenaranmatematikaberdasaraksiomadanaturankesimpulandalamlogikasimbolik.

6. KonsepdanSistemBilangan

a. AngkaHindu-Arab

AngkayangkitagunakansekaranginidisebutAngkaArabatauAngkaHindu-Arabdanberasaldari IndiakemudianberkembangdiArab.CatatanArabyangpertamamenjelaskanangkaHindutersebutadalahAlgoritmidenumeroIndorum,terjemahanLatindarikaryaal-Khwarizmi(k.780-k.850).DaribagianbaratkawasanIslam,angkaHindu-Arab beserta sistem desimalnya masuk ke Eropa, yang terpenting olehFibonacci(k.1170-1240)denganbukuLiberAbacitahun1202.

b. BilanganPecahandanDesimal

Menurutcatatansejarah,perkembanganbilanganpecahantertuamungkindimulaidiMesir Kuno. Brahmagupta dalam Brahmasphutasiddhanta menjelaskan tentangpenulisandanperhitunganbilanganpecahan.Sementaraitu,al-Qalasadi(1412-1486)orang pertama yang menulis tanda garis horizontal di antara pembilang danpenyebut, namun Jeff Miller menyebut nama al-Hassar (abad ke-12). Sedangkan


55

pemakaianpecahandesimalberikut caraperhitungannyayang signifikan terdapatpadakaryaal-Kashi(k.1380-1429),Miftahal-Hisab.InidilanjutkanolehSimonStevin(1548-1620)denganmenulisLaDismetahun1585.

Gambar27Al-Kashi

c. BilanganNegatif

DidugaBangsaMesirKunotelahmengenalbilangannegatif.Bilanganpositifdenganlambang kaki melangkah ke kiri, sedang bilangan negatif ditandai dengan kakimelangkahkekanan.MatematikawanCinakunobelummenerimabilangannegatifsebagaipenyelesaiansuatupersamaanbahkanmatematikawanYunaniKunohampirdalamsetiapbukunyatidakmemberikanpenyelesaianbilangannegatif.Penerimaanbilangannegatif lebihmajudi India.Brahmagupta telahmempergunakanbilangannegatifhampirserupadengankonsepmodern.

d. BilanganIrasional

Tentang bilangan irasional, perguruan Pythagoras (sekitar 570- 490 SM)menganggapsemua bilangan adalah rasional. Ketika perguruan ini menemukan

bahwa 2incommensurable,merekalalumerahasiakannya.BerbedadenganYunaniKuno, matematikawan India Kuno memperlakukan akar bilangan bukan kuadratsebagaibilanganjuga.Penangananbilanganirasionalsecaratepatbarudimulaipadaabad ke-19. Adalah Dedekind (1831-1916) dalam bukunya Stetigkeit und dieIrrationalzahlenatauContinuityandIrrationalNumberstahun1872yangmembuatdefinisibilanganirasionalsecaratepatdanjelas.

e. Logaritma

Gagasan yang mendasari penelitian logaritma yaitu prosthaphaeresis, perubahanproses pembagian dan perkalian kepada penambahan dan pengurangan. OrangpertamayangmemulaigagasaniniadalahIbnuYunusAs-Sadafial-Misri(950-1009),


56

denganmenggunakan trigonometri. Gagasan yangmendasari penelitian logaritmayaitu prosthaphaeresis, perubahan proses pembagian dan perkalian kepadapenambahandanpengurangan.OrangpertamayangmemulaigagasaniniadalahIbnuYunusAs-Sadafial-Misri(950-1009),denganmenggunakantrigonometri.

Gambar28JohnNapier

Logaritmaditemukandiawal tahun1600oleh JohnNapier (1550-1617)dan JoostBürgi(1552-1632),walaupunbanyakyangmengatakanNapieradalahperintisyangsebenarnya.NapiermenerbitkanMinificiLogarithmorumCanonisDescriptiotahun1614. Bürgi mempublikasikan Arithmetische und geometrische Progress-Tabulentahun1620,namunpenemuannyaitudaritahun1588.BilaNapierlewatpendekatanaljabarmakaBürgimenggunakanpendekatangeometris.HenryBriggs(1561-1631),mendiskusikanlogaritmaNapierdanmenyarankanmetodeyangdikenalsekarang,misalnya iadapatkanbahwalog(101/2)= log(3,1622277)=0,500000.Briggs jugayangmulaimenggunakanistilah“mantissa”dan“characteristic”.

f. SegitigaPascal

Walaupun diberi nama Segitiga Pascal, tetapi segitiga tersebut telah lama dikenalratusan tahun sebelum Blaise Pascal (1623-1662). Mungkin secara independen,matematikawan Cina dan Muslim (Persia) masing-masing menemukan segitigatersebut,antaralainolehChiaHsienatauJiaXian(sekitar1050)telahmenggunakansegitiga tersebut untukmenentukan akar kuadrat dan akar kubik suatu bilangan,sertaOmarKhayyamdalammenentukanakarsuatubilangan


57

Gambar29DeskripsiSegitigaPascalolehYangHui(1238–1298)(diCina,disebutSegitigaYangHui)

MungkindeskripsitentangsegitigaPascal,yangpalingtuaberasaldariIndia,denganapayangdisebutMeruPrastara(berasaldariabadke-3atau4).SegitigabinomialtersebutmenjaditerkenallewatkaryaBlaisePascal,Traitédutrianglearithmétiquepada tahun 1654. Pascal menulis banyak sifat yang berkenaan dengan segitigabinomialtersebut.

7. KonsepAljabar

a. TeoremaPythagoras

TeoremainidiberinamaPythagoraskarenaiayangpertamamemberisebuahbukti(secarageometris).Tetapihubunganantarasisi-sisisegitigasiku-sikutersebuttelahlamadikenaljauhsebelumPythagorasdanperguruannya.DiUniversitasColumbia,terdapat naskah prasasti bernamaPlimpton 322 (dari 1900 SM hingga1600 SM).Tabelpadanaskah itu terdiri atas tigakolombilangan, yang ternyatabersesuaiandengantripelPythagoras.Sebuahcatatankuno,ChouPieSuanChing(500hingga200SM) menyajikan pembahasan dan bukti secara geometris tentang TeoremaPythagoras.TekskunodariIndiajugatelahmengenaltentangTeoremaPythagorasjauhsebelumPythagoras.DidalamnaskahkunoBaudhayanaSulbasutras(800-600SM) terdapatbahasanTeoremaPythagoras, jugaTripelPythagoras, seperti: (5, 12,13),(12,16,20),(8,15,17),(15,20,25),(12,35,37),(15,36,39),(5/2,6,13/2),dan(15/2,10,25/2).


58

b. PersamaanKuadrat

BangsaBabiloniatelahmenggunakansuatualgoritma‘melengkapkankuadrat’untukmenentukanpenyelesaiansuatupersamaankuadrat,misalnyadalamPapirusBerlin(suatunaskahMesirKuno)daritahun2160-1700SM.Sekitar300SM,EucliddalambukuDatamembahas 3 soalmengenai persamaan kuadrat, namunmenggunakankuantitas geometri. Dalam buku Arithmetica, Diophantus (antara 210-290) jugamenyelesaikanpersamaankuadrat.MatematikawanIndia telahmenggunakancarayangekuivalendenganrumusakarpersamaankuadrat.

Aryabhata I memberikan aturan untuk jumlah suatu deret geometri yangmenunjukkanpengetahuannya tentangpersamaankuadratdengankeduaakarnya.Brahmaguptamenggunakan caramirip Babilonia tetapi dengan variasi yang lebihbaik,termasukdengankuantitasnegatif.PerkembanganpentingberikutnyaolehAl-Khwarizmiyangmenulistipe-tipepersamaankuadratdenganmengabaikanakarnolmaupunnegatif.Al-Khwarizmimenyusun6macampersamaankuadrat.Setiaptipepersamaankuadratdiatas,diselesaikannyadenganmenggunakandiagramgeometrisdanprinsipmelengkapkankuadrat.Menurutsejarawan,AbrahambarHiyyaHa-Nasiatau lebih dikenal di Eropasebagai Savasorda (k.1125) menulis buku Liberembadorum yangditerbitkan di Eropa tahun 1145 danmerupakan buku pertamayangmemberikanpenyelesaianlengkappersamaankuadrat.

c. SistemPersamaanLinear

Babiloniadiketahuiyangpertamamengenaldanmenulistentangsistempersamaan.PadasebuahbatubertulisbangsaBabilonia,darimasa300SM,termuatsebuahsoalyangberkaitandengansistempersamaanlinier.BangsaCinasekitartahun200SMhingga100SM,telahlebihjauhmelangkahdalammenanganisistempersamaan.


59

Gambar30JianzhangSuanShu

DalamtekskunoJianzhangSuanShu,yangterjemahanInggrisnyaNineChaptersoftheMatematical Arts, telah menyuguhkan berbagai soal sistem persamaan linier,termasuk metode untuk menyelesaikannya yang dasarnya merupakan metodematriks,yaitumetodefangcheng,yangkinidisebutMetodeEliminasiGauss.

d. MatriksdanDeterminan

Perkembangan konsep determinan muncul lebih dulu dari konsep matriks. Idedeterminan muncul pertama kali di Jepang dan di Eropa pada waktu hampirbersamaan, tetapi Seki Kowa (1642-1708)mempublikasikan lebih dulu di Jepangtahun1683, lewatbukuMethodof Solving thedissimulatedproblemsyangmemuatmetodematriks.

Gambar31SekiKowa

Leibnizdalamsuratnyake l`Hôpital tahun1683menjelaskanpenyelesaiansebuahsistempersamaandenganmenggunakanistilah“resultant”untukkombinasihasilkalikoefisien dari determinan. Pada tahun 1750, Cramer (1704-1752) lewat bukuIntroductiontotheanalysisofalgebraiccurvememberikanaturanumumuntukaturanCramer pada matriks n n sehingga aturan itu disebut Aturan Cramer. Istilah


60

“determinant” pertama kalidigunakan oleh Carl F. Gauss (1777-1855) dalamDisquisitionesarithmeticae(1801).

EliminasiGauss,yangditelahdigunakandiCinatahun200SM,ditemukanpadakaryaGauss tentangstudiorbitasteroidPallas.Cauchy(1789-1857)pada1812pertamakalimenggunakanistilah“determinant”dalamkonteksmodern.Karya-karyaCauchyhampir mewakili konsep determinan modern. Dia merintis konsep “minor” dan“adjoints’,sertahasilkalimatriks.Dalamkaryatahun1841,Iamenggunakantandadua garis vertikal untuk menunjukkan determinan. Pada 1850, istilah “matrix”(matriks)munculdalamtulisanSylvester (1814-1897).Tahun1853,Cayley(1821-1895)yangdikenallewat“TabelCayley”menulistentanginversmatriks.

8. KonsepGeometri

Sejarah peradaban paling kuno yang tercatat dalam sejarah adalah peradabanBabilonia.PengetahuanBabiloniamengenaigeometrikhususnyakeliling, luas,danvolum cukup teliti. Dalam Batu Susa yang ditemukan tahun 1936, terdapatperhitunganyanglebihteliti. PadaperadabanMesirKuno,terdapatPapirusRhindberisi masalah matematika dan pemecahannya, terkait dengan aritmetika dangeometri.Masalahgeometriterdapatpadasoal41hingga46,lalu48hingga60.Lalutujuhdari25soalpadaPapirusMoskowmerupakansoalgeometri,yangmembahasperhitungan luas segitiga hingga menemukan luas permukaan setengah bola danvolum frustum. Soal nomor 14 berisi perhitungan volum frustum (piramidaterpancung) dengan rumus yang tepat, yaitu V =1/3h(a2+ab+b2 ) dengan a dan bpanjangsisi-sisipersegiatasdanpersegibawah,sertahtinggifrustum.

Gambar32FrustumpadaPapirusMoskow

PadaperadabanIndiakuno,pengetahuangeometripadasulbasutraadalahmengenaitransformasi bentukbangundatar kebentukbangundatar yang lain,dengan luasyangsama.Terdapatcaratransformasipersegimenjadipersegipanjang,trapesium


61

samakaki,segitigasamasisi,belahketupat,danlingkaran.Terdapatsoaltransformasiantarapersegidanlingkaran,denganpenggunaannilai�sebesar3,088dan3,004.

Pada peradaban Cina kuno, dikenal naskah kuno Jiǔzhāng Suànshù dan berisipersoalanaritmetikahinggageometri.Naskahbab5(shangkung,pekerjaantekniksipil)danbab9 (Kouku, sudut siku-siku)berisimasalah geometri. LiuHui sudahberusahamenghitungvolumbola,namunmengakubelumberhasil.ZuKeng(450-520) berhasil menghitung diameter bola jika diketahui volum bola. IamenyelesaikannyamenggunakanprinsipyanglaludisebutprinsipCavalieri.

Dari warisan sejarah geometri pada peradaban kuno, yang paling lestaripemanfaatannyahingga jamanmodernadalahgeometridariYunanikuno.Sumberdan warisan utama geometri Yunani kuno berasal dari Euclid dengan bukunyaberjudulElementsyangterdiridari13buahbuku.Masalahkeliling,luasdanvolumbangungeometri dibahas pada bukuElements tersebut danmenjadi acuanpokokdalampengajarangeometridisekolahdanuniversitasselamaberabad-abad.SelainElement,bukuOntheSphereandCylindermisalnya,dibahasvolumberbagaibangunruang,salahsatunyapenurunanrumusvolumboladengancaramembandingkannyadengan volum kerucut dan tabung. Pada bukuMeasurement of a Circle dibahaspenurunan luas lingkaran, dan yang terpenting penemuannilai pi denganmenggunakan metode pendekatan hingga segi 96 beraturan. Archimedesmenemukan nilai pi berada di antara 3 10/71 dan 3 1/7 . Dari sinilah kemudianpenggunaannilai 22/7untukpimenjaditerkenal.PadabukuTheQuadratureof theParabola, Archimedesmenggunakan metode yang menjadi cikal bakal kalkulusintegralyaitumethodofexhaustion.

Selanjutnyaperkembanganterpentingbidanggeometri,terjadipadamasaperadabanIslam (Arab dan Persia) yaitu rintisan geometri non-euclidean. Mengenai temakeliling, luas, danvolum,dapatdisebutkansalah satunyamengenaipersamaanal-Mahani.Persamaaninimerupakansolusibagaimanamembagisebuahbolamenjadidua segmen bola dengan perbandingan volum yang diberikan. Pada abad-abadselanjutnya, studi keliling, luas, dan volum bangun geometri telah sepenuhnyadipelajaridenganbantuananalisisataukalkulus.Salahsatupenemuanterpentingnyaadalahpenemuanintegralkalkulusyangdapatmenghitungluasdanvolumberbagaibangunruang.


62

9. KonsepKalkulus

a. Fungsi

Penggunaannamafungsipadaawalnyamemangtidakpersissamadengankonsepmodern yang kini ada. Sebagai istilah matematika, kata “fungsi” pertama kalidigunakan oleh Gottfried Leibniz tahun 1673, namun untuk menunjukkan nilaikemiringan kurva pada titik tertentu. Fungsi yang demikian, kini dikenal sebagaifungsi turunan. Leibniz juga memperkenalkan istilah “variable”, “constant” dan“parameter”. Tahun 1718, Johann Bernoulli memperkenalkan fungsi sebagaisebarang ekspresi yangmenggunakanvariabeldanbeberapakonstanta.Demikianjuga yang dianut oleh Euler. Jadi, ekspresi semisal x2+2x+1 juga disebut fungsi.ClairautdanEulerkemudianmemperkenalkanlambangf(x).

b. Limit,Turunan,danIntegral

Perkembangan ide yang melahirkan kalkulus berlangsung sangat lama. MungkinlangkahpentingpertamadimulaiolehmatematikawanYunani.ZenodariElea(k.490-k.430SM) sekitar450SMmengemukakanempatmasalahyangberkaitandenganketakhinggaan, dan dikenal sebagai paradoks Zeno. Masalah lain yang berkaitandengan kalkulus adalah metode exhaustion (metode “melelahkan”). Metode inidisebut demikian karena orang harus berpikir menghitung luas daerah denganmenghitungbagiandemibagian semakinkecil sehinggasemakinmewakili daerahyangakandihitung. Initerkaitdengan idedasardarikalkulus integral.Metode inipertama kali digagas oleh Eudoxus sekitar 70 SM. Archimedes sekitar 225 SMmemberikontribusiyangpenting.Iamenunjukkanbahwaluasdaerahyangdibatasiparabolasamadengan4/3luasdaerahsegitigadenganalasdantinggiyangsama.

Persoalankeduayangpentingadalahmenghitungharga�dengancaraluaspoligon.Masalah “integral” lain yang dikerjakan Archimedes yaitu menghitung luaspermukaandanvolumbola,kerucut,paraboloida,danhiperboloida.Fermat(1601-1665) menyelidiki tentang ‘maksima’ dan ‘minima’ dengan menganggap hal ituterjadi bila kemiringan terhadapkurva, sejajardengansumbumendatar. Ini tentusaja bagian dari studi differensial (turunan). Descartes (1596-1650)mengembangkan suatu caramenentukannormal (garis yang tegak luruskurvadisuatutitik)dalamLaGéométrie(1637)danDeBeaune(1601-1652)mengembangkanmetodenya untukmenentukan garis singgung. Hudde (1628-1704) lalumembuatmetodeyanglebihsederhana,yangpadadasarnyamenggunakanderivatif.Barrow(1630-1677) maupun Torriceli (1608-1647) menggunakan masalah gerak benda


63

dengan variabel kecepatan (sekarang masalah tersebut sering digunakan untukmenunjukkan kecepatan sesaat sebagai masalah turunan). Newton (1642-1727)menulistentangteorifluxionpadaOktober1666.Fluxioniniberkaitandengangerakyangterbagimenjadifluxionx’danfluxiony’.NotasidariNewtonberupabersesuaiandengangarissinggungkurvaf(x,y)=0.Newtonkemudianmengemukakankebalikanmasalah, yaitu bila diketahui x dan ymaka berapa y. Newton lalumenyelesaikanmasalah tersebut dengan cara antidifferensial. Dalam pekerjaan ini terdapatpernyataan tentang Teorema Fundamental Kalkulus. Bukunya sendiri,Method offluxionsandinfinityseries,baruselesaiditulistahun1671,danditerbitkan1736.

Gambar33Leibniz

Leibnizmenggunakanpendekatanyangtelahmengarahkeanalisismodern.Karenaitupulabanyaklambang-lambangkalkulusberasaldariLeibniz,antaralainnotasidx,dy,dy/dx,danpadatahun1675iamenggunakannotasi∫,persissepertiyangkitatulissekarang.Karyanyatentangkalkulusintegraliniditerbitkantahun1684dan1686dengannama‘calculussummatorius’.Dasar-dasarkalkulusmodernmulaijelaslewatkarya-karyadariCauchy.

c. KonsepTrigonometri

Penggunaanfungsitrigonometribermulasebagaihubunganantaramatematikadanastronomi, sehingga trigonometrimula-mulaberkenaandengan trigonometri bola(sphericaltrigonometry).Biladiberikansebuahlingkaranmakamasalahnyaadalahmencaripanjangtalibusur(chord)dihadapansuatusudutpusat.Untuklingkaransatuan(berjari-jarisatu),makapanjang talibusurtersebutdengansudutxdiukurdengan2.TabeltalibusuryangpertamadikenaldariHipparchus(k.180-k.125SM)sekitar140SMtetapibukunyasendiritelahhilang.Darisini,Hipparchuskemudiansering disebut sebagai Bapak Trigonometri. Menelaus (k. 100) antara lainmembuktikan sebuah teorema dalam segitiga bidang yang kini disebut TeoremaMenelaus.


64

Pemakaian setengah tali busur (halfchord) - dalam notasi modern berartimenunjukkannilai sinus-dimulai di India.DalamkaryaAryabhata I, sekitar500M,terdapat tabel setengah tali busur dengan menggunakan nama “jya”. Tabel yangserupajugadihasilkanBrahmaguptatahun628danBhaskaraII(1114-k.1185)padatahun1150.Didalambukunyayangberjudul“OnTheMotionofTheStars”,al-Battaniatau albatenius (k.858-929) adalah orang pertama yang menyusun tabel danmemperkenalkan fungsi cot. Abu al-Wafa` dikenal sebagai yang pertama kalimenggunakanfungsitandanmenyusuntabeltandansindenganinterval15menit

Gambar34Lobachevsky

PendefinisianmoderndimulaidarikaryaDirichlet (tahun1837)danLobachevsky(1838)yangsecaraindependenmendefinisikanistilahfungsisebagairelasidimanaelemen pertamamenentukandengan tunggal elemen kedua. Namun Lobachevskymasihdibatasipadafungsiyangkontinu.

Gambar35Al-Tusi

Studi trigonometri sebagai ilmumatematika - lepasdari astronomi -pertamakalidiberikanolehNashiruddinal-Tusi(1201-1274)dalamTreatiseonthequadrilateral.Bahkan dalam buku ini ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam fungsitrigonometri lewat sebuah segitiga siku-siku (hanya masih dalam trigonometri


65

sferis). Menurut O`Conners & Robertson, al-Tusi yang pertama memperkenalkanAturanSinus(dibidangdatar).Konseptandancotsendirilahirdenganjaluryangberbedadengansindancos.Konseptandancotpadamulanyatidakberhubunganlangsungdengansudut,tetapiberasaldariperhitungantinggimenggunakanpanjangbayanganmatahari(studignomonic).DiArab,studiinidikenaldengannamastudignomon,suatubagianalatpenunjukwaktudenganbantuansinarmataharidanmulaimunculolehmatematikawanArabsekitar860.Konsepsecdancosecpunlahirdaristudi tentanggnomon ini.Tahun1533,Regiomontanusatau JohannMüller (1436-1476) menerbitkan buku De triangulis omnimodis yang dipercaya beberapasejarawansebagaibukulengkappertamayangmembahastrigonometribidang.

10. KonsepKombinatorika

Buku pertama yangmembahasmengenai kombinatorika secara jelas berasal dariperadaban Jain di India, salah satunya buku Bhagati Sutra (k.300 SM). Mahavira(sekitar850M)secaramenakjubkanmenulisrumusumumuntukbanyakpermutasidan juga kombinasi. Pada buku Lilavati, Bhaskaramenulis tentangpermutasi dankombinasidibawahjudulAnkaPasha.Berikutnyabukukuno/Ching,yangmemuatsoalmengenaiberapajenis‘heksagram’yangdapatdibuat.DiCinajugatelahdikenalmasalahmengenai teori graph, bujursangkar ajaib (magic square), sekitar 200M.NamaLoShuadalahnamauntukbujursangkarajaib33.AbrahambinEzra(sekitar1140M)telahmenemukanbuktisifatsimetrikoefisienbinomial.Padasekitar1321,LeviBenGersonatauGersonidesmenulissifatyangterkaitrumusP(n,n),P(n,r)danrumus umumC(n,r). Blaise Pascal, Leibniz, Bernoulli, dan Euler termasuk peletakdasar-dasarkombinatorikamodern.JacobBernoullimenulisArsConjectandisekitar1713,dandapatdianggapsebagaibukupertamayangditulistentangkombinatorika.Pada abad ke-18, Euler mengembangkan masalah-masalah yang terkaitkombinatorika. Ia antara lainmengembangkanuntukpertamakaliTeoriGraf saatmemecahkanmasalahTujuhJembatanKonigsberg,yangmenjadiembrioilmubaru,topologi.

11. TeoriPeluang

Konsep peluang telah muncul ribuan tahun yang lalu, namun sebagai cabangmatematikabaruterlihatjelaspadapertengahanabadke-17M.Sementaraabadke-15munculbeberapakaryaterkaitpeluang.Tahun1494,LucaPacciolimenulisbuku


66

pertama tentang peluang, Summa de arithmetica, geometria, proportioni eproportionalita.Tahun1550,GeronimoCardanomenulisbukuLiberdeLudoAleae(buku tentang permainan peluang). Pada pertengahan abad ke-17, Blaise Pascalberkorespondensi dengan Chevalier de Méré. Dari sinilah, Pascal kemudianmengembangkan teori peluang dan berkorespondensi dengan matematikawanPierredeFermat tahun1654.Keduaorang inilah yangkemudiandikenal sebagaipeletakdasarteoripeluang.BukuJakobBernoulliyaituArsConjectandi(1713)sertabuku Abraham de Moivre yaitu The Doctrine of Chance (1718) menjadi sumberterpenting teori peluang sebagai cabangmatematika.Teori peluangdan statistikapadamasaselanjutnyasalingberhubunganeratdalamtopikdistribusidata.Nama-nama seperti Fisher,Markov, Neyman banyakmemberi kontribusi. Namun kajiansecara deduktif-aksiomatis terhadap Teori Peluang pertama kali diberikan olehKolmogorovtahun1931.

12. Statistika

Penggunaanmetodestatistikyangpalingtuamungkinberasaldari5abadSM.DalambukuHistoryofthePeloponnesianWar(Buku2:71-78)dijelaskanbagaimanatentaraYunanimemperkirakanbanyakbatuyangmenyusuntembokPlatea.JugadalambukuMahabharata,dijelaskanbagaimanaRajaRtuparnamemperkirakanbanyakbuahdandaunpadakebunyangluas.Tulisanpentingpertamaberasaldariabadke-9,dalambukuManuscript onDecipheringCryptographicMessages, karyaAl-Kindi (801–873M). Iamemberikan detil bagaimanamenggunakan statistik dan analisis frekuensi.Konseprerata“mean”dikenaldiYunanikunonamunhanyauntukduabilangan.

Barupadaabadke-16M,TychoBrahememperluaskonsepmeanuntukmenghitunglokasibeberapabendalangit.Ide“median”munculpertamakalidaribukuEdwardWrightdalambukuCertainErrors inNavigation (1599)dalammenentukan lokasimenggunakan kompas. Metode matematis dalammengkaji statistika muncul dariTeori Peluang yang dimulai dari korespodensi Fermat dan Blaise Pascal (1654).Huygens(1657)menulisteoripeluangsecaramatematisuntukpertamakali,tetapikaryaJakobBernoulliyaituArsConjectandi(1713)sertakaryaAbrahamdeMoivreyaituTheDoctrineofChance (1718)yangmembahasteoripeluangsebagaicabangmatematika.


67

Padabukunya,Bernoullimembahas idepeluangkepastiandenganbilangan1,dannilaipeluangdiantara0dan1.DengankajianyangtelahdilakukanLaplace,tahun1795Gaussmemperkenalkandistribusinormalyangmenjadikonsepsentraldalamstatistika. Metode kuadrat terkecil yang digunakan untuk memprediksi dengankesalahansekecilmungkin,pertamakalidiperkenalkanolehAndrien-MarieLegendre(1805), Robert Andrain (1808), dan Gauss (1809). Cournot tahun 1843 untukpertama kali menggunakan konsepmedian untukmembagi distribusi peluang kedalamduakelompok samabanyak. Sedangkata “median”pertamakalidigunakanolehFrancisGaltontahun1881.


68

E. AktivitasPembelajaran

Aktivitas0:MengidentifikasiIsiBahanAjar

Mengawaliprosespembelajaran,diskusikandenganpercayadiridankritisbersamarekanguruuntukmengidentifikasihal-halberikut:

1. AdaberapaaktivitasyangharusAndaikutidalammempelajaribahanbelajarini?Sebutkantopik-topikuntukmasing-masingaktivitas.

2. Kompetensiapayangdiharapkantercapaisetelahmempelajaribahanbelajarini?Sebutkan!

3. Andasaatinimengikutipelatihandenganpolatatapmuka.ApasajayangharusAndalakukansaattatapmuka?

JawablahpertanyaandiatasdenganmenggunakanLK00

Aktivitas1a:SejarahMatematika

DalamAktivitas iniAndaakanmempelajari tentangSejarahMatematika. Jawablahpertanyaan di bawah ini dengan percaya diri menggunakan LK 01a. Jika AndakesulitanmenjawabLK01a,disarankanuntukmembacadengantelitibahanbacaantentangSejarahmatematika.

1. Matematika di Mesir berawal dari dibacanya papirus Rhind denganperantaraanbatuRosetta.Jelaskanbagaimanaalurpenemuanpapirusdanbaturosettahinggaterpecahkannyamatematikamesirkuno!

2. Diskusikan dengan teman satu kelompok Anda apa saja persoalan yangterdapatpadaPapirusRhind.CarisumberlainuntukmelengkapihasildiskusiAnda.

3. Diskusikan tentang penggunaan bilangan berbasis 60 pada matematikaBabilonia! Berikan juga contoh penggunaannya dalam bidang kejuruan dijurusanAnda.

4. Temukanlah hubungan antarapenemuan-penemuanmatematikadariMesir,Babilonia,Yunani,Cina,danIndia!

5. Selain peradaban yang dibicarakan di atas, carilah peradaban lain yangmemilikisejarahtentangmatematika!


69

Aktivitas1b:ManfaatSejarahMatematika

Jelaskanlah manfaat menyertakan sejarah matematika dalam pembelajaranmatematikaSMK!

DiskusikandengankritispendapatAndabersamagurulain.

Tulislahhasildiskusiaktivitas1bdiLK01bpadalampiran.

Aktivitas2:PenemuKonsep-KonsepDasardalamMatematika

DalamAktivitasiniAndaakanmempelajaritentangPenemuKonsep-KonsepDasardalamMatematika.JawablahpertanyaandibawahinidengancermatmenggunakanLK02.JikaAndakesulitanmenjawabLK02,disarankanuntukmembacadengantelitibahanbacaantentangPenemuKonsep-KonsepDasardalamMatematika.

1. Jelaskanbagaimanaalurpenemuankonsep-konseppentingdalammatematika!

2. Carilahtokohmatematikalainyangmenemukankonsepdasarmatematika!

3. MenurutAnda,konsepmatematikamanayangpalingpenting/seringdipakaidijurusan asalAnda? Berikanalasanmengapa konsep tersebutmenurutAndasangatpentingdanbericontohnya!

Aktivitas3:BermainPerantentangSejarahMatematika

Alat:spidolwarna,kertasflipchart

1. Bagikelasdiklatmenjadi5kelompokuntukmendirikancafé.

2. BerinamacafékelompokAndadengannamayangmenarikpengunjung.

3. Setiap café (seluruh anggota kelompok) agar menghidangkan menu spesialsebagaiberikut.Menudapatberupatopik,konsep,atautokohyangdianggappenting dan menarik. (Manfaatkan spidol warna dan kertas flipchart untukmemvisualisasikan menu semenarik mungkin sehingga pengunjung tertarikuntukbertanya).

Kelompok1.TokohMatematikaSebelumAbadke-11M.


70

Kelompok2.TokohMatematikaMulaiAbadke-11M.

Kelompok3.SejarahBilangan

Kelompok4.SejarahGeometri

Kelompok5.SejarahAljabar

Kelompok6.SejarahKalkulusdanTrigonometri

Kelompok7.SejarahTeoriPeluangdanStatistika

4. Tetapkansatuoranganggotakelompoksebagaihost/ tuanrumah/pemilikcafé,dananggotakelompokyanglainsebagaipengunjung.

5. Seluruhanggotakelompok,kecualihost,silahkanberkunjungkecafélainuntukmenikmatimenuyangdisajikanolehhostcaféyangdikunjungi.

Hostbertugas:

§ menjelaskansajianmenudanmemimpindiskusi/konsultasi/tanyajawabterkaitmenuyangdisajikannya.

§ mengarahkan catatan yang diberikan setiap pengunjung agartanggapannyafokus,singkat,danrelevandenganmenusajian.

§ mencatatataumemberimemvisualisasikantambahanpadapendapatatautanggapanpesertadikertasflipchart.

6. Seluruhpesertawajibmengunjungisemuacafé(lainnya).Setiappengunjungdapatmemberikantanggapandengancaramenulispadabagiankosongpadamenuyangtelahdisajikandandiakhiridengannomor.presensidan/ataunama.


71

7. Masing-masinghostdapatmelakukanpenilaianterhadappengunjungsebagaiberikut

Kriteria NilaiMenambahkanlebihdari3ideyangrelevandenganmenudanbelumditambahkanpengunjunglain.

3

Menambahkan2ideyangrelevandenganmenudanbelumditambahkankelompoklain

2


1

Tidakmemberikontribusi 0

8. Setiap pengunjung juga dapat memberikan penilaian terhadap host sebagaiberikut.

Kriteria NilaiPenjelasandanperformanceyangsangatbaik 3Penjelasandanperformanceyangcukupbaik 2Penjelasandanperformanceyangkurangbaik. 1Penjelasandanperformanceyangtidakbaik. 0

PergunakanLK03untukmenulisinformasipadakegiatan3.


72

Aktivitas4:PenggunaanSejarahMatematikadalamTopikMatematika

Pilihlah salah satu topik matematika di SMK, kemudian tuliskan ide Anda secaralengkap dengan percaya diri tentang bagaimana menggunakan sejarah untukpembelajarantopiktersebut.

Andadapatmerujukpada JohnFauvel(Garner,1996) tentangbeberapacarayangdapat ditempuh dalam menggunakan sejarah dalam pembelajaran matematika dikelas.

Aktivitas5:PenyusunanInstrumenPenilaian

Padaaktivitasiniandadimintauntukberlatihmenyusuninstrumenpenilaianpadamateri sejarah matematika dengan mengacu pada panduan penulisan danpenyusunansoaldariPuspendik.Diskusikandenganrekananda,JikaAndakesulitanmenjawab LK05, disarankan untukmembaca dengan teliti bahan bacaan tentangPanduanPenilaiandariPuspendik.

1. Buatlahkisi-kisipenulisansoalmengenaimaterisejarahmatematika!

2. Buatlah20soalberupa15soalpilihangandadan5soaluraiansesuaidengankisi-kisiyangsudahandabuat!


73

F. Rangkuman

1. Matematika Mesir kuno didasarkan pada dua buah papirus besar yangditemukanyaitupapirusRhinddanPapirusMoskow.DalampapirusRhindintinya adalah pengkalian dan pembagian bilangan. Adapun tentanggeometriyangdibahasdalampapirusRhindadalahtentangmenghitungluaslingkaran. Sedangkan dalam papirus moskow adalah bagaimana bangsamesirkunomenghitungvolumebangunruangyaituprismaterpancung.

2. MatematikaBabiloniamenggunakanangkadenganbasis60karenabasis60lebihmudahdigunakan.

3. MatematikaYunanidimulai olehThalesdariMelitusdanPhytagorasdariSamos. Thales menggunakan geometri untuk menyelesaikan soal-soalperhitungan ketinggian piramida dan jarak perahu dari garis pantai. Diadihargai sebagai orang pertama yang menggunakan penalaran deduktifuntukditerapkanpadageometri,denganmenurunkanempatakibatwajardari teorema Thales. Pythagoras mendirikan Mazhab Pythagoras, yangmendakwakanbahwamatematikalahyangmenguasaisemestadandihargaidengan beberapa pengembangan matematika tingkat lanjut, sepertipenemuan bilangan irasional. Sejarawan menghargai mereka atas peranutamanyadidalampengembanganmatematikaYunani.

4. TulisanmatematikaCinayang tertuaadalahChouPeiSuanChing, antara1200 SM sampai100 SM. Penggunaanmatematika di Cina adalah sistemnotasi posisional bilangan desimal, yang disebut pula "bilangan batang"dimana sandi-sandi yang berbeda digunakan untuk bilangan-bilanganantara1dan10,dansandi-sandilainnyasebagaiperpangkatandarisepuluh.AdapulaSembilanBabtentangSeniMatematikayangterdiridari246soalkata yangmelibatkan pertanian, perdagangan, pengerjaan geometri yangmenggambarkan rentang ketinggian dan perbandingan dimensi untukmenarapagodaCina,teknik,survey,danbahan-bahansegitigasiku-sikudanπ.

5. Matematika Vedanta dimulai di India sejak Zaman Besi. ShatapathaBrahmana (kira-kira abad ke-9 SM),menghampiri nilai π. Geometri yangmenggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akarkubik;menghitungakarkuadratdari2sampaisebagiandariseratusribuan;memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri


74

persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat;mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikanpernyataandan bukti numerik untuk teorema Pythagoras. Aturan-aturanmeta,transformasi,danrekursi.Kombinatorial,binomialdantrigonometri.

6. Beberapa penemu konsep dasar matematika dan tokoh-tokoh dalammatematika adalah Phytagoras, Euclid, Archimedes, Brahmagupta, Al-Khawarizmi, Decrates, Fibonacci, Sir Isaac Newton, Pierre Fermat, BlaisePascal, Carl Friedrich Gauss, Cantor, Gottfried Wilhem Leibniz, KarlWeierstrass,Maria Gaetana Agnesi, JosiahWillard Gibbs, Georg FriedrichBernhardRiemann,LeonhardEuleur,JohannBernoulli,danAugustin-LouisCauchy.

7. Terdapat tiga dimensi besar pengaruh positif sejarahmatematika dalampembelajaran,yaitupemahaman,antusiasmedanketerampilan.

8. Sejarah logika dimulai dengan tokohnya, Aristoteles. Koleksi tulisanAristotelesdalamlogikaterkumpuldalambukuOrganon.TulisanlainyangpentingadalahPriorAnalytics.KontribusipentinglainnyaadalahlogikadariAvicennaatauIbnuSinna.

9. Angka Arab atau Angka Hindu-Arab dan berasal dari India kemudianberkembang di Arab. Perkembangan bilangan pecahan tertua mungkindimulai di Mesir Kuno. Brahmagupta dalam Brahmasphutasiddhantamenjelaskan tentang penulisan dan perhitungan bilangan pecahan.Sedangkanpemakaianpecahandesimalberikutcaraperhitungannyayangsignifikan terdapat pada karya al-Kashi (k.1380-1429). Bilangan negatifdiperkenalkan di Mesir, dan lebih maju perkembangannya di India.Penangananbilanganirasionalsecaratepatbarudimulaipadaabadke-19.Dedekind (1831-1916)dalambukunyaStetigkeit unddie IrrationalzahlenatauContinuityandIrrationalNumberstahun1872yangmembuatdefinisibilanganirasionalsecaratepatdanjelas.Logaritmaditemukandiawaltahun1600olehJohnNapier(1550-1617)danJoostBürgi(1552-1632).segitigatersebut telah lama dikenal ratusan tahun sebelum Blaise Pascal (1623-1662). Matematikawan Cina dan Muslim (Persia) masing-masingmenemukansegitigatersebut.

10. Sebuahcatatankuno,ChouPieSuanChing(500hingga200SM)menyajikanpembahasan dan bukti secara geometris tentang Teorema Pythagoras.Bangsa Babilonia telah menggunakan suatu algoritma ‘melengkapkan


75

kuadrat’ untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan kuadrat,misalnyadalamPapirusBerlin(suatunaskahMesirKuno)daritahun2160-1700 SM. Sekitar 300 SM, Euclid dalam buku Data membahas 3 soalmengenai persamaan kuadrat. Diophantus (antara 210-290) jugamenyelesaikan persamaan kuadrat. Matematikawan India telahmenggunakancarayangekuivalendenganrumusakarpersamaankuadrat.Pada sebuah batu bertulis bangsa Babilonia, darimasa 300 SM, termuatsebuah soal yangberkaitandengansistempersamaan linier.BangsaCinasekitar tahun 200 SM hingga 100 SM, telah lebih jauhmelangkah dalammenangani sistem persamaan. Ide determinan muncul pertama kali diJepangdandiEropapadawaktuhampirbersamaan,tetapiSekiKowa(1642-1708) mempublikasikan lebih dulu di Jepang tahun 1683, lewat bukuMethodofSolvingthedissimulatedproblemsyangmemuatmetodematriks.

G. TesFormatif

1. JelaskantentangMatematikaMesirKuno!

2. JelaskantentangMatematikaBabilonia!

3. Sebutkan beberapa orang penemu konsep matematika dan hasilpenemuannya!

4. Jelaskantentangpenemuankonsep-konsepdasarmatematika!

5. Jelaskantentangpenemuankonsepgeometri!

6. Tentukanhasilperkalian15x26,dengancaramenurutPapyrusRhind


76

H. KunciJawaban

1. Matematika Mesir kuno berkembang karena adanya kebutuhan akanpenggunaanaritmatikasederhanadalamkehidupansehari-hari,jugauntukmengukurlahanpertanianyangakandigunakansebagaidasarpembayaranpajak pada kerajaan. Berdasarkan pada dua buah papirus besar yangditemukanyaitupapirusRhinddanPapirusMoskow.DalampapirusRhindinitinya adalah pengkalian dan pembagian bilangan. Adapun tentanggeometriyangdibahasdalampapirusRhindadalahtentangmenghitungluaslingkaran. Sedangkan dalam papirus moskow adalah bagaimana bangsamesirkunomenghitungvolumebangunruangyaituprismaterpancung.

2. Peradaban Babiloniamemberikan bukti perkembanganmatematika padajamannyamelaluipenemuanlempengan-lempengantanah liatyangberisimanuskrip tentang bilangan, topik-topik pecahan, aljabar, persamaankuadrat dan kubik, dan perhitunganbilangan regular,invers perkalian,danbilangan prima kembar, tabel perkalian dan metodepenyelesaianpersamaan lineardanpersamaan kuadrat. Tulisan padalempengan tersebut berbentuk mirip paku, maka disebut tulisan paku.MatematikaBabiloniamenggunakanbilanganberbasis60yangkemudianmenjadidasarpenentuansatujamadalah60menit,1menitadalah60detik.

3. Beberapa penemu konsep dasar matematika adalah Fibonacci (bilanganfibonaci),SirIsaacNewton(kalkulus),GottfriedWilhemLeibniz(kalkulus),KarlWeierstrass,MariaGaetanaAgnesi(kalkulus),danJosiahWillardGibbs(vektor).

4. Angka Arab atau Angka Hindu-Arab dan berasal dari India kemudianberkembang di Arab. Angka ini yang dipakai oleh kita pada saat ini.Perkembangan bilangan pecahan tertua dimulai di Mesir Kuno.Brahmagupta dalam Brahmasphutasiddhanta menjelaskan tentangpenulisan dan perhitungan bilangan pecahan. Sedangkan pemakaianpecahandesimalberikutcaraperhitungannyayangsignifikanterdapatpadakaryaal-Kashi(k.1380-1429).BilangannegatifdiperkenalkandiMesir,danlebih maju perkembangannya di India. Penanganan bilangan irasionalsecaratepatbarudimulaipadaabadke-19.Dedekind(1831-1916)dalambukunyaStetigkeit unddie Irrationalzahlen atauContinuity and IrrationalNumberstahun1872yangmembuatdefinisibilanganirasionalsecaratepatdanjelas.


77

5. Pada peradaban Mesir Kuno, terdapat Papirus Rhind berisi masalahmatematika dan pemecahannya, terkait dengan aritmetika dan geometri.Masalahgeometriterdapatpadasoal41hingga46,lalu48hingga60.Lalutujuh dari 25 soal pada PapirusMoskowmerupakan soal geometri, yangmembahasperhitungan luassegitigahinggamenemukan luaspermukaansetengahboladanvolumfrustum.Soalnomor14berisiperhitunganvolumfrustum (piramida terpancung) dengan rumus yang tepat, yaitu V=1/3h(a2+ab+b2)denganadanbpanjangsisi-sisipersegiatasdanpersegibawah, serta h tinggi frustum.Pada peradaban India kuno, pengetahuangeometri pada sulbasutra adalah mengenai transformasi bentuk bangundatar ke bentuk bangun datar yang lain, dengan luas yang sama.Padaperadaban Cina kuno, dikenal naskah kuno Jiǔzhāng Suànshù dan berisipersoalanaritmetikahinggageometri.Naskahbab5(shangkung,pekerjaantekniksipil)danbab9(Kouku,sudutsiku-siku)berisimasalahgeometri.LiuHui sudah berusahamenghitung volum bola, namunmengaku belumberhasil. Zu Keng (450 - 520) berhasil menghitung diameter bola jikadiketahuivolumbola.

6.

1 15 2 30 v4 60 8 120 v16 240 + v26 390


78

I. UmpanBalikdanTindakLanjut

Pada kegiatan belajar 1 ini telah dibahas mengenai sejarah penemuan beberapakonsepdasardanpentingdalammatematika.

Cocokan jawaban Latihan dan Tugas pada Kegiatan Belajar 1 ini dengan kuncijawabanyangtersedia.HitunglahjumlahskorjawabanAndayangbenar,dangunakanrumusdibawahiniuntukmengetahuitingkatpenguasaanmaterikegiatanbelajarini.

JumlahskorjawabanbenarTingkatPenguasaan= ×100% 15

Bila kebenaran jawab Anda mencapai ≥ 67%, Anda dapat meneruskan dengankegiatan belajar selanjutnya. Akan tetapi bila kebenaran jawaban Anda belummencapai67%,hendanyaandamengulangikegiatanbelajar,terutamapadabagianyangAndaanggaprumitdanberdiskusilahdengantemansejawatyanglainnyaataudengannarasumber/fasilitator.

UntukmengembangkanmateriyanglebihjauhAndasebaiknyamempelajarimateriAljabarpadakegiatanbelajarberikutnya.Lakukantahapankegiatanbelajarmateriselanjutnya dengan mengerjakan aktifitas kegiatannya dan mengerjakan lembarkerjanya. Ukurlah kemampuan pemahaman materi yang Anda pelajari denganmengerjakanlatihansoal-soalnya.


79

KegiatanBelajar2-FilsafatMatematika

A. Pengantar

Dalam kegiatan ini Anda akan melakukan serangkaian kegiatan untuk mencapaikompetensiberkaitandenganFilsafatMatematika.Kegiatan-kegiatantersebutakanterbagidalambeberapatopik,diantaranyaadalah:

a. Pengertian dan ruang lingkup filsafat. Pada bagian ini Anda akan belajartentang pengertian filsafat, apa yang menjadi pertanyaan mendasar dalamfilsafat.

b. Filsafatmatematika. Padabagian iniAndaakanbelajar tentang aliran-alirandalamfilsafatmatematika.

c. Epistemologi,ontologi,danmetodologimatematika.PadabagianiniAndaakanbelajartentangpengertianepistemologimatematika,ontologimatematika,danmetodologimatematika.

d. Etnomathematics.PadabagianiniAndaakanbelajartentangetnomathematics.

B. Tujuan

Tujuandarikegiatanpembelajaran2iniadalahmelaluimembaca,diskusikelompokdan penugasan, peserta diklat dapat menjelaskan perkembangan filsafatMatematika.

C. IndikatorPencapaianKompetensi

Indikator pencapaian kompetensi yang harus dikuasai setelahmengikuti kegiatanbelajariniadalah,pesertadiklatdenganpercayadiridapat:

1. MenjelaskanperkembanganfilsafatMatematika.

2. Menyebutkandanmenggunakankarakteristikmatematikadisekolah.

3. Menjelaskansistemaksiomatispadamatematika.


80

D. UraianMateri

Pada kegiatan belajar ini akan dibahas mengenai pengertian dan ruang lingkupfilsafat, filsafat matematika, epistemologi matematika, ontologi matematika,metodologimatematika.

1. Pengertiandanruanglingkupfilsafat

Katafilsafatsudahseringkalididengar,baikitudidalamperkuliahanataupundalamkehidupansehari-hari.Sebenarnya,apayangdimaksuddenganfilsafat?KatafilsafatberasaldaribahasaYunaniyaituphilosphos,yangterdiriatasduakata,shopiadanphilos. Shopia berarti kebijaksanaan, hikmah, kecakapan, kearifan, ataupunpengetahuan yang benar. Sedangkan philos artinya cinta. Oleh karena itu, secaraharfiah,filsafatberarticintadankebijaksanaan.

Filsafat jugaberarti keinginanyang sungguh-sungguhakankebenaranyang sejati,bukansekedarkebenaranitusendiri.Berfilsafatadalahupayaberfikirdanbertindakbenardenganmenggunakandayarasiosebagaiinstrumenutamauntukmengetahuisecaramurniberbagairealitasyangadadanyangmungkinadadiduniainidannilai-nilaidalamhidupdankehidupanmanusia(Muhmidayeli,2011:1).

Menurut Rene Decrates (1596-1650) bahwa filsafat ialah kumpulan segalapengetahuan di mana Tuhan, alam danmanusiamenjadi pokok penyelidikannya.SedangkanImmanuelKant(1724-1804)berpendapatfilsafatialahilmupengetahuanyang menjadipokok dan pangkal segala pengetahuan yang tercakup di dalamnyaempatpersoalan,yaitu:

a. Apakahyangdapatkitaketahui

b. Apayangseharusnyakitakerjakan?

c. Sampaidimanakanharapankita?

d. Apakahyangdinamakanmanusiaitu?

Keempatpertanyaandiatasmemilikijawabanyangtermasukkedalambidangyangberbeda-beda. Jawaban untuk pertanyaan pertama termsuk ke dalam bidangmetafisika. Jawaban pertanyaan kedua termasuk ke dalam bidang etika. Jawabanpertanyaan ketiga termasuk pada bidang agama, dan jawaban untuk pertanyaankeempat termasuk pada bidang antropologi dan sosiologi, yang semuanyamenyangkut interaksi manusia. (Haryono, 2014). Menurut Burhanuddin Salam


81

(Haryanto, 2014), terdapat tiga karakteristik berfikir dalam filsafat, yaitu: sifatuniversal(menyeluruh),sifatradikal(mengakarataumendasar),dansifatspekulatif.

2. Hubunganfilsafatdenganmatematika

Duabidangpengetahuanrasionalyangtidakdiragukanlagiberhubungansangateratsejakdulusampaisekarangialahfilsafatdanmatematika.Namunhubunganituseringdiuraikansecarakeliruoleh sebagian filsufmaupunmatematikawan. Seperti yangdiungkapkanolehBrumfiel(dalamOktaviandy:2011)bahwapadaawalperadabanYunani, filsafat adalah penelaahan dari semua cabang pengetahuan. Ketikapengetahuanilmiahmanusiabertambahselamaberabad-abad,cabang-cabangilmutertentu tumbuh sampaimerekamemisakandiridari filsafatdanmenjadi bidang-bidang studi yang terpisah.Hal ini sejalandenganyangdiungkapkanolehFrancisBacon (1561-1626) tokoh pembeharu Zaman Renaissances dari Inggris bahwafilsafatsebagai“thegreatmotherofsciences”.

Ternyata pendapat-pendapat tersebut di atas keliru karena filsafat dan geometri(suatu cabang matematika) sesungguhnya lahir pada masa yang berbarengan, ditempat yang sama sekitar640-546SMdiMiletus (terletakdi pantai baratNegaraTurki sekarang). Jadi matematika tidak pernah lahir dari filsafat, melainkankeduanyaberkembangsecarabersama-samadengansalingmemberikanpersoalan-persoalansebagaibahanmasukandanumpanbalik.

Wahyudin (2011: 74) mengemukakan hubungan antara matematika dan filsafatadalahsebagaiberikut:

1. Matematikadanfilsafatmerupakanupaya-upayaintelektualpalingawaluntukmemahami dunia di sekitar kita, dan keduanya lahir di Yunani Kuno sertamengalamitransformasi-transformasipentingdisana.

2. Matematika adalah suatu studi kasus penting bagi filsuf. Agenda filsafatkontemporer memiliki formulasi-formulasi yang sangat jelas berfokus padamatematika,yangmeliputiEpistomologidanOntologi.

3. Filsafatmatematika

Filsafatmatematikatelahlahirsejakribuantahunyanglalu.PerkembanganpentingdiwakiliolehPythagorasdanparapengikutnya,yangberkeyakinanbahwabilanganadalah yang paling bertanggungjawab dalam mengatur alam semester. Filsafatmatematikamerupakankajianfilsafatyangsasarannyaadalahmatematika.


82

Filsafat matematika pada dasarnya merupakan pemikiran reflektif terhadapmatematika. (Haryono, 2014: 47). Objek yang dikaji dan dipertimbangkan secaracermatdanpenuhperhatianadalahmatematika.Secarakhusus,filsafatmatematikamenurutHowardW.EvesdanCarollV.Newson(LiangGie,dalamHaryono,2014:14)adalah:

“In particular, a phylosophy of the mathematics essentially amounts to anattempted reconstruction in which the chaotic mass of mathematicalknowledgeaccumulatedovertheagesisgivenacertainsenseororder”

(secara umum, filsafat matematika pada dasarnya ialah percobaanpenyusunankembalikumpulanpengetahuanmatematikayangtidakteraturselamaberabad-abaddandiberisimbolsertamaknatertentu).

Berdasarkan perspektif epistemologi, kebenaran matematika terbagi dalam duakategori, yaitu pandangan absolut danpandangan fallibilis. Absolutismemandangkebenaranmatematikasecaraabsolut,bahwa“mathematicsistheoneandperhapsthe only realm of certain, unquestionable and objective knowledge‟, sedangkanmenurut fallibilismathematic truth is corrigible, and cannever regardedasbeingaboverevisionandcorrection‟(Ernest,1991).

MenurutWoozley (dalamErnest, 1991), pengetahuan terbagidalamduakategori,yaitupengetahuanaprioridanpengetahuanaposteriori(empirical).Pengetahuanapriorimemuatproposisiyangdidasarkantanpadibantudenganobservasiterhadapdunia.Penalarandisinimemuatpenggunaanlogikadeduktifdanmaknadariistilah-istilah,secaratipikaldapatditemukandalamdefinisi.Secarakontraspengetahuanaposteriori memuat proposi yang didasarkan atas pengalaman, yaitu berdasarkanobservasidunia.

Absolutismemandangpengetahuanmatematikadidasarkanatasdua jenisasumsi;matematikainiberkaitandenganasumsidariaksiomadandefinisi,danlogikayangberkaitandenganasumsi aksioma, aturanmenarikkesimpulandanbahasa formalsertasintak.Adalokal(micro)danadaglobal(macro)asumsi,sepertideduksilogikacukupuntukmenetapkankebenaranmatematika.

MenurutWilder(dalamErnest,1991),pandanganabsolutismenemuimasalahpadapermulaan permulaan abad 20, ketika sejumlah antinomis dan kontradiksi yangditurunkan dalam matematika. Russel telah menunjukkan bahwa sistem yangdipublikasikan Gottlob Frege tahun 1879 dan 1893 tidak konsisten. Kontradiksilainnya muncul dalah teori himpunan dan teori fungsi. Penemuan ini berakibat


83

terkuburnyapandanganabsolutistentangmatematika.Jikamatematikaitupastidansemua semua teoremanya pasti, bagaimana dapat terjadi kontradiksi di antarateorema-teoremaitu?

Tesisdarifallibilismemilikiduabentukyangekivalen,satupositifdansatunegatif.Bentuk negatif berkaitan dengan penolakan terhadap absolutis; pengetahuanmatematikabukankebenaranyangmutlakdantidakmemilikivaliditasyangabsolut.Bentuk positifnya adalah pengetahuan matematika dapat dikoreksi dan terbukauntukdirevisiterusmenerus.Terdapatempataliranbesardalamfilsafatmatematika,yaitualiranLogisisme,aliranFormalisme,aliranIntiutionisme,danplatonisme.

a. AliranLogisisme

Logisismememandangbahwamatematikasebagaibagiandarilogika.Olehkarenaitupengkajiannya juga harus menggunakan logika, sehingga matematika lebih logisuntukdipahami.PenganutaliranLogisismeantaralainG.Leibniz,G.Frege(1893),B.Russell(1919),A.N.WhiteheaddanR.Carnap(1931)(Mulyana,2004).RusselldalambukunyayangberjudulThePrincipleofMathematicsmenyatakanbahwamatematikadan logika berkembang secara bersamaan seperti halnya anak kecil dan orangdewasa.(Haryono,2014).

PengakuanBertrandRussellmenerimalogisimeadalahyangpalingjelasdandalamrumusan yang sangat ekspilisit. Dua 3pernyataan penting yang dikemukakannya,yaitu (1) semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan padakonseplogika;(2)semuakebenaranmatematikadapatdibuktikandariaksiomadanaturanmelaluipenarikankesimpulansecaralogikasemata(Ernest,1991).

Logisismeadalahdesertasibahwamatematikaditurunkanmenjadilogika,olehsebabitutidakadasamasekalibagiandarilogika(Carnap1931/1883,41).ParaahliLogikaberpendapatbahwamatematikdapatdikenalapriori,tetapimerekamenyarankanbahwapengetahuanmatematikaadalahhanyabagiandaripengetahuanlogikasecaraumum,jadisecaraanalitistidakmembutuhkankemampuankhusustentangintuisimatematik. Dalam sudut pandang ini, logika adalah dasar-dasar yang benar darimatematika, dan semua pernyataan matematik memerlukan kebenaran logika.RudolfCarnap(1931)memperkenalkandisertasiparaahli logikayangterdiridariduabagian:


84

1. Konsep-konsepmatematikadapatditurunkandarikonsep-konseplogikamelaluidefinisi-definisiyanggamblang/jelas.

2. Teorema-teoremamatematikadapat diturunkan dari aksioma-aksioma logikamelaluipengambilankesimpulanmurni.

Gottlob Frege adalah penemu logisisme. Dalam tulisannya Die Grundgesetze derArithmetik(BasicLawsofArithmetic) iamembangunaritmetikadarisuatusistemlogikadenganprinsippemahamanyangumum,yangdisebut"BasicLawV"(untukkonsepFdanG,perluasandariFsamadenganperluasandariGjikadanhanyajikauntuksemuaobyeka,FajikadanhanyajikaGa),sebuahprinsipyangdapatditerimasebagaibagiandarilogika.

KonstruksiFregeinicacat.RussellmenemukanbahwaBasicLawVtidakkonsisten.(disebutdenganparadoksRussell). SetelahFregemeninggalkanahli-ahliprogramlogikanya,diteruskanolehRusselldanWhiteheaddenganmenghubungkanparadoks"lingkaransetan"tersebutdankemudianmembangunapayangmerekasebutdenganjenisteoriyangbercabang(ramifiedtypetheory)untukmenanganinya.Dalamsistemini, mereka akhirnya mampu membangun banyak matematika modern, tetapibentuknya berubah dan kebanyakan kompleks (sebagai contoh, ada bilangan asliyangberbedadalamsetiapjenis,danadabanyakjenisyangtakhingga).Merekajugatelah membuat beberapa kompromi untuk mengembangkan begitu banyakmatematika, seperti "axiom of reducibility". Bahkan Russell mengatakan bahwaaksiomainitidakbenar-benartermasuklogika.

Para ahli logika moderen (seperti Bob Hale, Crispin Wright, dan mungkin yanglainnya) telah kembali ke program yang lebih mendekati ke Frege. Mereka telahmeninggalkan Basic Law V dan setuju terhadap prinsip-prinsip abstraksi sepertiprinsip Hume (banyaknya obyek yang jatuh dibawah konsep F sama denganbanyaknyaobyekyangjatuhdibawahkonsepGjikadanhanyajikaextensiondariFdanextensiondariGdapatdigolongkankedalamkorespondensisatu-satu).FregemembutuhkanBasicLawVagarmampumemberikandefinisiekplisitdaribilangan,tetapisemuasifat-sifatbilangandapatditurunkandariprinsipHume.Hal ini tidakcukup untuk Frege karena tidak meniadakan kemungkinan bahwa bilangan 3sebetulnyaadalahJuliusCaesar.

Jika matematika adalah bagian dari logika, maka pertanyaan-pertanyaan tentangobyek matematik mengurangi pertanyaan-pertanyaan tentang obyek logika. Satupertanyaan, apa obyek dari konsep logika? Logisisme dapat diartikan sebagaipergeseranpertanyaan tentang filsafatmatematika beralih ke pertanyaan tentang


85

logika tanpa jawaban secara lengkap. Menurut Ernest (1991), ada beberapakeberatanterhadapLogisismeantaralain:

1. Bahwa pernyataan matematika sebagai impilikasi pernyataan sebelumnya,dengan demikian kebenaran-kebenaran aksioma sebelumnya memerlukaneksplorasitanpamenyatakanbenaratausalah.Halinimengarahpadakekeliruankarena tidak semua kebenaran matematika dapat dinyatakan sebagaipernyataanimplikasi.

2. Teorema Ketidaksempurnaan Godel menyatakan bahwa bukti deduktif tidakcukupuntukmendemonstrasikansemuakebenaranmatematika.Olehkarenaitureduksiyangsuksesmengenaiaksiomamatematikamelaluilogikabelumcukupuntukmenurunkansemuakebenaranmatematika.

3. Kepastian dan keajegan logika bergantung kepada asumsi-asumsi yang tidakterujidantidakdijustifikasi.Programlogisismengurangikepastianpengetahuanmatematika dan merupakan kegagalan prinsip dari logisisme. Logika tidakmenyediakansuatudasartertentuuntukpengetahuanmatematika.

b. AliranFormalisme

Aliran ini menyatakan bahwa matematika merupakan sistem lambang yangdigunakan dalam mewakili benda-benda yang ada atau menggunakan prosespengolahan terhadap lambang-lambang yang digunakan (Haryono, 2014: 49).Formalisme berpegang pada prinsip bahwa pernyataan matematik bisa diartikansebagaipernyataantentangkonsekuensidariaturanrangkaianmanipulasitertentu.Sebagaicontoh,dalam"permainan"darigeometriEuclid(yangkelihatannyaterdiridari beberapa rangkaian yang disebut "aksioma-aksioma", dan beberapa "aturaninferensi" untuk membangun rangkaian baru dari rangkaian-rangkaian yangdiketahui), salah satunya dapat dibuktikanmemenuhi teorema Phytagoras (yaitu,dapat membangun string yang berkaitan dengan teorema Phytagoras). MenurutFormalisme,kebenaranmatematikadalahbukantentangbilangandanhimpunandansegitigadansemacamnyasepertikenyataannya.

Versi lain dari formalisme sering dikenal dengan nama deduktivisme. Dalamdeduktivisme, teoremaPythagoras tidakbenarsecaraabsolut, tetapirelatifbenar:jika Andamenetapkan arti strings sedemikian sehingga aturan-aturan permainanmenjadi benar (contohnya, pernyataan yang benar diberikan untuk aksioma dan


86

aturan-aturaninferensiadalahmemeliharakebenaran),makaAndaharusmenerimateorema, atau sebaliknya, interpretasi yang telah Anda berikan harus menjadipernyataanyangbenar.Jadi,formalismetidakmembutuhkanartibahwamatematikatidak lebih dari permainan simbolis yang tidak berarti. Biasanya diharapkan adasuatuinterpretasidimanaaturan-aturanpermainandipenuhi.(Bandingkandenganposisi strukturalisme). Tetapi formalisme mempersilahkan para ahli matematikamelanjutkan karya-karyanya dan meninggalkan masalah-masalah pada para ahlifilsafatdanilmupengetahuan.Banyakparapenganutformalismeakanmengatakanbahwa dalam prakteknya, sistem aksioma yang dipelajari akan dusulkan olehpeminatilmupengetahuanataubidangmatematikalain.

Pendukung awal dari formalisme adalah David Hilbert, dimana programnyabertujuan mengaksiomakan semua matematika secara lengkap dan konsisten("Konsisten" disini berarti bahwa tidak ada kontradiksi yang dapat berasal darisistem).Hilbertbertujuanmenunjukkankonsistensisistemmatematikdariasumsibahwa "aritmetik yanghingga" (suatu subsistemaritmetik lazimnyadari bilanganbulatpositif,yangterpilihtidakkontroversisecarafilsafat)adalahkonsisten.TujuanHilbert untukmenciptakan suatu sistemmatematika yang lengkap dan konsistentertutupolehteoremaincompletenessGödelkedua,yangmenyatakanbahwasistemaksioma konsisten yang cukup ekspresif tidak pernah dapat membuktikankekonsistenanmerekasendiri.Karenasetiapsistemaksiomaakanberisiaritmetikyang hingga sebagai sebuah subsistem. Teorema Gödel telahmengartikan bahwatidakmungkin aksiomamembuktikan kekonsistenan sistem secara relatif (karenaaksioma akan membuktikan kekonsistenan dirinya sendiri, dimana Gödel telahmenunjukkan ketidakmungkinan). Jadi, untuk menunjukkan bahwa setiap sistemaksioma matematika sebenarnya konsisten, maka salah satunya adalahmembutuhkan asumsi pertama kekonsistenan suatu sistem matematika yangdirasakanlebihkuatdarisistemyangtelahterbuktikonsisten.

Bahasamatematikaberlakusecarauniversal.Matematikaditerjemahkankedalamsimbol-simboltertentuyangdianggapmewakiliberbagaisasaranyangmenjadiobjekmatematika.Formalismemandangmatematikasebagaisuatupermainanformalyangtak bermakna (meaningless) dengan tulisan pada kertas, yang mengikuti aturan(Ernest,1991).MenurutErnest(1991)formalismemilikiduatesis,yaitu:

1. Matematikadapatdinyatakansebagaisistemformalyangtidakdapatditafsirkansebarangan,kebenaranmatematikadisajikanmelaluiteorema-teoremaformal.


87

2. Keamanandarisistemformalinidapatdidemostrasikandenganterbebasnyadariketidakkonsistenan.

Adapun keberatan yang dikemukakan oleh beberapa kalangan terhadap pendapatdanpemahamanpenganutformalismemenurutAnglin(Haryono,2014:51)adalah:

1. Formalisdalammemahamiobyekmatematikasepertilingkaran,sebagaisesuatuyangkongkrit,padahaltidakbergantungpadaobyekfisik.

2. Formalistidakdapatmenjaminpermainanmatematikaitukonsisten

Keberatan-keberatan tersebut dapatpula dijawaboleh parapenganut formalismesebagaiberikut:

1. Lingkarandanyanglainnyaadalahobyekyangbersifatmaterial.

2. Meskipunbeberapapermainan itu tidakkonsistendankadang-kadang trivial,tetapiyanglainnyatidakdemikian,Anglin(Haryono,2014:51)

c. AliranIntiutionisme

Aliraninimemandangmatematikasebagaihasildariintuisi.Intuisidijadikanandalandalam mengkaji dan memahami matematika. Pengetahuan secara intuisi dapatdipergunakansebagai hipotesabagianalisisselanjutnyadalammenentukanbenartidaknyapernyataanyangdikemukakan(Haryono,2014:50).Ketetapanmatematikaterletak dalam akal manusia dan tidak pada simbol – simbol di atas kertas.Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasukmatematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secaraeksternaldianggaptidakada.

Dalam matematika, intuisionisme adalah suatu program menyatukan kembalimetodologi dengan motto bahwa "tidak ada kebenaran matematik tanpapengalaman"(L.E.J.Brouwer).Dariloncatanini,parapenganutintuisionismemencariuntukmerekonstruksiapakahmerekamemperhatikanterhadapbagianmatematikayangdapatdiperbaikisesuaidengankonsep-konsepKantian,benar,pantas,intuisi,dan pengetahuan. Brouwer, pendiri dari gerakan ini, beranggapan bahwa obyek-


88

obyekmatematikmunculdaribentuk-bentukapriorikehendakyangmenerangkanpersepsidariobyek-obyekyangbersifatempirik.

LeopoldKroneckermengatakan: "Bilangan-bilanganaslidatangdariTuhan,segalasesuatunyaadalahkerjalaki-laki."KekuatanbesardibelakangIntuisionismeadalahL.E.J.Brouwer,yangmenolakkegunaandarilogikaformaldarisetiappenggolonganmatematika.

Dalam intuisionisme, batasan "pengkonstruksian eksplisit" tidak dengan tepatdidefinisikan, dan banyak menuai kritik. Ada usaha untuk menggunakan konsepTuringmachineataufungsiyangdapatdihitunguntukmengisikesenjanganini,yangutama adalah klaim bahwa hanya pertanyaan-pertanyaan tentang perilakualgoritma-algoritma yang hingga yang mempunyai makna dan sebaiknyadiinvestigasi dalammatematika. Dari sini lahirlah studi tentang bilangan-bilanganyang terhitung, yang pertama kali diperkenalkan oleh Alan Turing.Maka tidaklahmengherankan bahwa pendekatan terhadap matematika ini kadang-kadangdikaitkandenganteoriilmupengetahuankomputer(computerscience).TokohyangmenganutintiutionismeadalahseorangahlimatematikaasalBelandayangbernamaLuitzenEgbertusJanBrouwer(1881-1966).

d.Platonisme

PandanganPlatoterhadapmatematikabahwaobjekmatematikabersifatabstrakdantidakmemiliki hubungan realitas atau asal-usul sehingga bersifat abadidan tidakberubah. Masalah dari aliran ini antara lain tidak dapat menjawab pertanyaan:tepatnyadimanadanbagaimanaobjekmatematikaituada,danbagaimanacarakitamengetahuikeberadaannya.

4. Epistemologi,Ontologi,danMetodologiMatematika

a. EpistemologiMatematika

Epistemologi matematika merupakan cabang filsafat yang berhubungan denganpengetahuanmatematika.Hal-halyangditelaahdalamcabangfilsafatiniadalahsegi-segi dasar pengetahuan matematika, seperti sumber, hakikat, batas-batas, dan


89

kebenaranpengetahuanbesertaciri-cirimatematikayangmeliputiabstraksi,ruang,waktu,besaran,simbolik,bentuk,danpola.

Matematika sebagai bagian dari sciene artinya matematika merupakan sebuahpengetahuan yang diperoleh dari proses belajar. Beberapa ilmuwan menyatakanbahwa matematika merupakan ilmu pengetahuan yang berhubungan denganbilangan-bilangan, titik, garis, ruang, abstraksi, besaran dan lain sebagainya.Matematikamerupakansuatu ilmuyang lebihbanyakmengkaji tentangkuantitas-kuantitas, bangunan, ruang dan perubahan. Dalam cara pandang lainmatematikaadalah suatu ilmu yangmenggunakan argumentasi logis dengan bantuan kaidah-kaidahdandefinsi-definisiuntukmencapaisuatuhasilyangteliti,cermatdanbaru.

Saat ini seluruh kehidupan manusia menggunakan matematika, mulai dariperhitungansederhanadalamkehidupansehari-harisampaipadaperhitunganyangrumitseperti ilmuastronomi,geologi, informatikadan lainsebagainya.Belum lagiilmu-ilmu lain yangmenggunakanmatematika sebagai alat bantunya, seperti ilmuekonomi,sosial,biologi,danlain-laindalamhalinipengembanganaljabarataupunstatistika. Ini artinya matematika dipakai untuk membantu perkembangan ilmupengetahuan,yangsecaralangsungataupuntidaklangsungmenjadisaranakegiatanilmiah.

Beberapaahlifilsafatmengatakanbahwamatematikaterbagimenjadibeberapailmupengetahuan secara garis besar. Ibnu Khaldun menyatakan bahwa matematikaterbagimenjadiempatmacam,yaituilmugeometri,ilmuaritmatika,ilmumusikadanilmu astronomi. Berbeda dengan pendapat Immanuel Kant yang membagimatematikamenjaditigadisiplinpengetahuan,yaitulogika,aritmetikadangeometri.

Indikator suatupemikiran yaitumenemukan pengetahuan yang benar atau usahauntuk menghasilkan pengetahuan yang benar. Epistemologi membagi kebenaranmenjadi tiga yaitu kebenaran epistemolog, kebenaran ontologis dan kebenaransematis. Adapun teori yang menjelaskan kebenaran ada tiga, yaitu teorikorespondensi,teorikoherensidanteoripragmatisme.

Teori korespondensi menyatakan bahwa kebenaran haruslah bersesuaian denganfakta atau kenyataan yang ada. Jika pertimbangan atau pernyataan sesuaidenganfaktamakadiabenar,jikatidakmakadiasalah.Teorikoherensimenyatakanbahwasuatu pernyataan dianggap benar jika bersifat tetap atau konsisten denganpernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar. Sedangkan teoripragmatismeberanggapanbahwasuatupernyataandianggapbenarjikapernyataantersebutbersifatfungsionaldanmemilikimanfaatdalamkehidupanpraktis.


90

b. OntologiMatematika

Ontologimatematikamerupakancabangfilsafatyangberhubungandenganyangada,sesuatu yang ada termasuk di dalamnya hal-hal metafisik di dalam pengetahuanmatematika.Banyakhalyangdipersoalkandidalamontologimtematika,diantaranyaadalah cakupan dari pernyataan matematika yang berkaitan dengan dunia nyata(fakta)ataupunhanyadalampikiranmanusia.Cakupantersebutmerupakansuaturealitasdarientitasmatematikayangmenjadijugabahanpemikiranfilsafat.

Sejarahmengatakanbahwaparaahlifilosofidanahlimatematikapadajamandahulumempergunakanmatematikasebagaialatdalammelakukansuatupekerjaanataupunmenyelesaikanmasalah.Mulai dari hal-hal yang sederhana sampai pada hal yangmenakjubkan.Kita lihat sajaperkembanganperadabanMesir kunodanBabilonia.Perhitunganmatematikasederhanadiperlukanuntukkehidupansehari-hari.BangsaMesiryangmempergunakanperhitungansederhanauntukmenghitungpajak, luaslumbung, perdagangan, menghitung batas luas tanah yang hilang karena luapansungaiNil,sampaipadapembangunanistanadanpiramidayangtermasukkedalamkeajaibandunia.BagaimanabangsaBabiloniamengukurjarakkapalditengahlautandenganmenggunakanperbandingansegitiga,tanpaharusbenar-benarterjunkelaut.

Semua itu dilakukan para matematikawan pada zamannya menggunakanperbandingan. Perbandingan dari benda nyata yang dapat mereka ukur secaralangsungdengansesuatuyangakanmerekaukur.Suatupemikiranyangluarbiasauntukmasa itu sebelumkonsep-konsepperhitunganbakudalammatematikaada.SepertiperhitunganThalesyangmempergunakantongkatuntukmenghitungjarakperahudilautan,adalahperbandingandalamtrigonometriwalaupunsaatitubelumditemukanapayangdinamakantrigonometri.

Matematikamodern tentangpengukurandigunakanuntukmenghitungketinggianawandalambidangpenerbangan,dalambidangmeteriologiyangberkaitandengankeadaancuaca,ataupuncarakerjakamerayangselalukitapakai.Contohlainadalahlayarbioskop,yangmenggunakanperbandingandenganfilmyangditayangkandaripemutarfilm.

Matematika sebagai bahasa artinya matematika sebagai alat yang menyatukanmanusiadalamhalberhitung.Bahasamatematikaberlakuuniversal,internasional.Di mana pun kita berada, . Dengan bahasa matematika memungkinkanadanya perhitungan secara kuantitatif. Bahasamatematika lebih singkat daripada

211 =+


91

bahasa biasa, lambang dan simbol dipergunakan untuk mempersingkat kata-katayangberlebihan.Padabahasamatematikatelahdisepakatisombol-simboltertentu.Penggunaansimbolinikarenamatematikadigunakanolehparapemikirdunia.Darimanapunparaahliiniberasal,merekaakanmengertisimbol-simboldarimatematikawalaupunlambangatausimbolyangdigunakanberbeda.

c. MetodologiMatematika

Metodologimatematikaadalahpenelaahanterhadapmetodeyangkhususdigunakandalammatematika,yangdikenalsebagaimetodeaksiomatikataumetodehipotetikdeduktif. Metodologi matematika adalah kumpulan cara-cara, rumus-rumus dankaidah-kaidahyangdigunakandalammatematika.Dapatjugadiartikansebagaicarapenyusunanberbagaialurdanasasyangditerapkanpadamatematikasebagaisuatumetode.

Terdapattigametodedalammetodologimatematika,yaitumetodededuksi,metodeinduksidanmetodedialektika.Metodededuksiadalahsuatumetodeberfikiryangmenarik kesimpulan dari prinsip-prinsip umum yang kemudian diterapkan padasesuatuyangbersifatkhusus.Metodeinduksisebaliknya,menarikkesimpulandariprinsip-prinsip khusus kemudian diterapkan pada sesuatu yang bersifat khusus.Sedangkan metode dialektika adalah metode berfikir yang menarik kesimpulanmelaluitigatahap,tesis,antithesis,dansintesisatauberdasarkanpremismayordanpremisminoruntukkemudianmenghasilkankesimpulanyangbaru.

Pokok-pokok penting dalam metode matematika adalah aksioma, definisi danteorema. Aksioma merupakan keterangan yang kebenarannya diterima tanpapembuktian lebih lanjut dan menjadi dasar atau pegangan dalam sebuahperbincangan.Aksiomadisebutjugapostulat.Jugamerupakansebuahproposisiyangjelas dengan sendirinya dan yang menjelaskan hubungan niscaya antara bagian-bagianyangtidakjelas.Ilmu-ilmuaksiomamatematisbersifatanalitik.Definisiadalahsebuah proposisi yang mengantarkan pada hakikat dan kualitas sesuatu. Dapatberupaartianyangdiberibatasan,sifat,pengertianatauhubunganyangbersumberdaripemikiranmanusia.Adapunteoremaadalahsuatupenemuanbentuk,pola,ataurumusmatematikayangbaru,danbisadibuktikanberdasarkanaksioma-aksiomadandefinisi-definisisecaralogis.


92

5. Etnomathematics

Etnomathematics atau etnomatematika, adalah pembelajaranmengenai hubunganantaramatematikadanbudaya.Dapat jugadidefinisikansebagaimatematikayangdipraktekkan bersama dengan kelompok budaya yang diidentifikasi. Tujuannyaadalah untukmemberikan kontribusi terhadapmengerti budaya danmatematika,danintinyamengarahpadasuatuapresiasitentanghubungandiantarakeduanya.

Istilah "etnomathematics" dikenalkan oleh matematikawan dan pengajar BrazilUbiratanD'Ambrosiopadatahun1977selamapresentasiuntukAmericanAssociationfor theAdvancement of Science.Terdapat empatbagianyangmerupakanpenyusunetnomatika, yaitu budaya, tradisi historis, akar sosial-budaya, dan matematika.Keempatunsurtersebutdisatukanuntukmencarisolusiabadidaripertanyaansiswaterhadapmatematikadimanasaja.Bagaimanamenghubungkanmatematikadengansosialbudayayangadaditempatsiswabelajar,denganlingkungansekitarnya.

6. ImplikasiFilsafatMatematikadalamPembelajaranSekolah

Filsafat matematika akan mempengaruhi pola pikir seseorang (guru) dalammemandang matematika sehingga mempengaruhi cara guru membelajarkanmatematika. Guru menganggap matematika hanya merupakan kumpulan angka-angkadanrumusbelaka,makasadaratautidakiatelahmenjadipendukungkaumformalism(yangekstrem).Gurutipeinihanyamengajarkanmatematikabukannyamembelajarkanmatematika.Selanjutnya,guruyanghanyamengandalkanlogikaatauakalsehatbelakatergolonggurulogisis.Biasanyagurutipeinisulitmemahamiataumenerimakebenaran-kebenaranmatematikayangkelihatannyasulitditerimaakalsehat atau mungkin bertentangan dengan akal sehat. Bila guru tersebut tidakmemahami struktur matematika, bisa jadi ia akan terjerembab ke dalammiskonsepsi-miskonsepsi(kesalahankonsep)yangdiajarkankepadasiswa.

Polapikirintuitifekstremjugakurangbaikdalampembelajaran.Contohyangkurangtepatdarigurudenganpolapikirintuitifekstremadalahdenganmembiarkansiswamenemukan jalan penyelesaiannya sendiri atau menggunakan bahasanya sendiri.Guruintuitifhanyamementingkanhasilnyasaja,asalkanbenarmakatidakmenjadimasalah.Seharusnyagurujugaharusberperansebagaifasilitator,yaitumengarahkansiswapadapenalarandanjugapenulisanlambangformal.


93

E. AktivitasPembelajaran

Aktivitas0:MengidentifikasiIsiBahanAjar

Mengawaliprosespembelajaran,diskusikandenganpercayadiribersamarekanguruuntukmengidentifikasihal-halberikut:


2. Kompetensiapayangdiharapkantercapaisetelahmempelajaribahanbelajarini?Sebutkan!


JawablahpertanyaandiatasdenganmenggunakanLK00

Aktivitas1:Pengertiandanruanglingkupfilsafat

DalamAktivitasiniAndaakanmempelajaritentangPenemuKonsep-KonsepDasardalamMatematika.JawablahpertanyaandibawahinidengantepatmenggunakanLK01. JikaAndakesulitanmenjawabLK01,disarankanuntukmembacadengantelitibahanbacaantentangPengertiandanruanglingkupfilsafat.

1. Apayangdimaksuddenganfilsafat?Jelaskan!

2. Apakahmungkinsuatuilmulahirtanpaadanyafilsafat?KemukakanpendapatAndamengenaihalini.

3. Sebutkanempatintidaripersoalanfilsafat!Apayangmenjadijawabannya?Berijugacontohdarimasing-masingpersoalantersebut.

Aktivitas2:Filsafatmatematika

Dalam Aktivitas ini Anda akan mempelajari tentang aliran-aliran dalam FilsafatMatematika. Jawablahpertanyaandibawah inidengantepatmenggunakanLK02.


94

JikaAndakesulitanmenjawabLK02,disarankanuntukmembacadengantelitibahanbacaantentangFilsafatmatematika.

1. Sebutkandanjelaskantentangempataliranbesardalamfilsafatmatematika!

2. Diskusikan dengan teman satu kelompok, bagaimana aliran-aliran filsafatmatematikatersebutmempengaruhipemikiranparaahlimatematikamodern!

3. Diskusikan konsep matematika apa saja yang termasuk ke dalam aliranformalisme,logisisme,intuisisme,danplatonisme.

4. Carilah aliran filsafat matematika lain dan presentasikan hasilnya di depankelas.

Aktivitas3:Epistemologi,ontologi,danmetodologimatematika

DalamAktivitasiniAndaakanmempelajaritentanghubunganantaraepistemology,ontology, dan metodelogi matematika. Jawablah pertanyaan di bawah ini denganpercayadirimenggunakanLK03.JikaAndakesulitanmenjawabLK03,disarankanuntuk membaca dengan teliti bahan bacaan tentang epistemologi, ontologi, danmetodologimatematika.

1. MenurutAnda,apakahterdapathubunganantaraontologi,epistemologidanmetodologimatematika?Jelaskan!

2. Jelaskanapayangdimaksuddenganteorikorespondensi,teorikoherensidanteori pragmatisme, kaitannya dengan kebenaran dalam epistemologimatematika!

3. BagaimanapenerapanontologimatematikadalampembelajaranmatematikadisekolahAnda?

4. Jelaskantigametodeyangmendasarimatematika!Berikancontohkonsepyangdapatdibuktikankebenarannyamenggunakanmetodetersebut!


95

Aktivitas4:Etnomathematics

Dalam Aktivitas ini Anda akan mempelajari tentang Etnomathematics. Jawablahpertanyaan di bawah ini dengan percaya diri menggunakan LK 04. Jika AndakesulitanmenjawabLK04disarankanuntukmembacadengantelitibahanbacaantentangEtnomathematics.

1. Apasajayangmenjadidasardarietnomatematika?Jelaskan!

2. Kumpulkansumberlaintentangetnomatikayangberupabukuataupunjurnaldanpelajarilah.DiskusikandikelompokAndatentangetnomatikatersebut.

3. MenurutpendapatAnda,apakahetnomatikadiperlukandalampembelajaranmatematika?Berikanalasannya!

4. Etnomatikadidasarkanpadasejarah,sosial,danbudayadimanasiswabelajarmatematika. Diskusikan dengan kritis bersama teman satu kelompokbagaimana etnomatika yang dapat diterapkan di tempat asal Anda.PresentasikanhasilnyadenganpercayadirididepankelasdankelompoklainmemberitanggapantentangpresentasikelompokAnda.

Aktivitas5:PenyusunanInstrumenPenilaian

Padaaktivitasiniandadimintauntukberlatihmenyusuninstrumentpenilaianpadamateri filsafat matematika dengan mengacu pada panduan penulisan danpenyusunansoaldariPuspendik.Diskusikandenganrekananda,JikaAndakesulitanmenjawab LK05, disarankan untukmembaca dengan teliti bahan bacaan tentangPanduanPenilaiandariPuspendik.

1. Buatlahkisi-kisipenulisansoalmengenaimaterisejarahmatematika!

2. Buatlah20soalberupa15soalpilihangandadan5soaluraiansesuaidengankisi-kisiyangsudahandabuat!


96

F. Rangkuman

1. Filsafatadalah ilmupengetahuanyangmenjadipokokdanpangkalsegalapengetahuanyangtercakupdidalamnyaempatpersoalan,yaitu:

a. Apakahyangdapatkitaketahui?

b. Apayangseharusnyakitakerjakan?

c. Sampaidimanakanharapankita?

d. Apakahyangdinamakanmanusiaitu?

2. Filsafatmatematikapadadasarnyamerupakanpemikiranreflektifterhadapmatematika.(Haryono,2014:47).Objekyangdikajidandipertimbangkansecaracermatdanpenuhperhatianadalahmatematika.

3. Terdapat tiga aliran besar filsafat matematika, yaitu aliran formalisme,logisisme,danIntuisionisme.

4. Logisismememandangbahwamatematikasebagaibagiandarilogika.Olehkarena itu pengkajiannya juga harus menggunakan logika, sehinggamatematikalebihlogisuntukdipahami.

5. Formalisme menyatakan bahwa matematika merupakan sistem lambangyangdigunakandalammewakilibenda-bendayangadaataumenggunakanproses pengolahan terhadap lambang-lambang yang digunakan.Formalisme berpegang pada prinsip bahwa pernyataan matematik bisadiartikan sebagai pernyataan tentang konsekuensi dari aturan rangkaianmanipulasitertentu.

6. IntuisionismeAliraninimemandangmatematikasebagaihasildariintuisi.Intuisi dijadikan andalan dalam mengkaji dan memahami matematika.Pengetahuan secara intuisi dapat dipergunakan sebagai hipotesa bagianalisis selanjutnya dalam menentukan benar tidaknya pernyataan yangdikemukakan.

7. Epistemologi mengatakan bahwa matematika sebagai ilmu. Epistemologimatematika merupakan cabang filsafat yang berhubungan denganpengetahuanmatematika. Hal-hal yang ditelaah dalam cabang filsafat iniadalah segi-segi dasarpengetahuanmatematika, seperti sumber, hakikat,


97

batas-batas,dankebenaranpengetahuanbesertaciri-cirimatematikayangmeliputiabstraksi,ruang,waktu,besaran,simbolik,bentuk,danpola.

8. Ontologimatematikamerupakancabangfilsafatyangberhubungandenganyangada,sesuatuyangadatermasukdidalamnyahal-halmetafisikdidalampengetahuanmatematika.Banyakhalyangdipersoalkandidalamontologimtematika,diantaranyaadalahcakupandaripernyataanmatematikayangberkaitandengandunianyata(fakta)ataupunhanyadalampikiranmanusia.Matematikasebagaibahasauniversalyangberlakudiseluruhdunia.

9. Metodologi matematika adalah kumpulan cara-cara, rumus-rumus dankaidah-kaidah yang digunakan dalam matematika. Dapat juga diartikansebagai cara penyusunan berbagai alur dan asas yang diterapkan padamatematika sebagai suatu metode. Pokok-pokok penting dalam metodematematikaadalahaksioma,definisidanteorema.

10. Aksioma merupakan keterangan yang kebenarannya diterima tanpapembuktian lebih lanjut dan menjadi dasar atau pegangandalam sebuahperbincangan. Definisi adalah sebuah proposisi yangmengantarkanpadahakikatdankualitassesuatu.Teoremaadalahsuatupenemuanbentuk,pola,atau rumus matematika yang baru, dan bisa dibuktikan berdasarkanaksioma-aksiomadandefinisi-definisisecaralogis.

11. Etnomatematika adalah pembelajaran mengenai hubungan antaramatematika dan budaya. Yang merupakan irisan dari empat hal, yaitu,budaya,tradisihistoris,akarsosial-budaya,danmatematika.


98

G. TesFormatif

1. Secara epistemologi, terbagi menjadi berapa kategorikah kebenaranmatematika?Jelaskan!

2. Apa yang dimaksud dengan mengaksiomakan semua matematika secaralengkapdankonsisten?

3. SiapakahtokohyangmendukungAliranIntuisisme?

4. Apaintidarialiranformalisme?

5. Apayangdimaksuddenganaksioma,definisi,danteorema?

6. Tuliskan perbedaan antara ontologi, epistemologi dan metodologimatematika!

7. Apayangdimaksuddenganetnomatematika?


99

H. KunciJawaban

1. Berdasarkanperspektifepistemologi,kebenaranmatematikaterbagidalamduakategori, yaitu pandangan absolut dan pandangan fallibilis. Absolutismemandangkebenaranmatematikasecaraabsolut,bahwa„mathematicsistheone and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objectiveknowledge‟, sedangkanmenurut fallibilismathematicak truth is corrigible, andcanneverregardedasbeingaboverevisionandcorrection‟(Ernest,1991).

2. Menciptakansuatusistemmatematikayanglengkapdankonsistentertutupolehteorema incompletenessGödelkedua,yangmenyatakanbahwasistemaksiomakonsistenyangcukupekspresiftidakpernahdapatmembuktikankekonsistenanmerekasendiri.Karenasetiapsistemaksiomaakanberisiaritmetikyanghinggasebagai sebuah subsistem. Teorema Gödel telah mengartikan bahwa tidakmungkin aksioma membuktikan kekonsistenan sistem secara relatif (karenaaksiomaakanmembuktikankekonsistenandirinyasendiri,dimanaGödeltelahmenunjukkan ketidakmungkinan). Jadi, untuk menunjukkan bahwa setiapsistemaksiomamatematikasebenarnyakonsisten,makasalahsatunyaadalahmembutuhkan asumsi pertama kekonsistenan suatu sistemmatematika yangdirasakanlebihkuatdarisistemyangtelahterbuktikonsisten.

3. LuitzenEgbertusJanBrouwer.

4. Pernyataanmatematikbisadiartikansebagaipernyataan tentangkonsekuensidariaturanrangkaianmanipulasitertentu.

5. Aksiomamerupakanketeranganyangkebenarannyaditerimatanpapembuktianlebih lanjut dan menjadi dasar atau pegangandalam sebuah perbincangan.Definisiadalahsebuahproposisiyangmengantarkanpadahakikatdankualitassesuatu.Teoremaadalahsuatupenemuanbentuk,pola,ataurumusmatematikayang baru, dan bisa dibuktikan berdasarkan aksioma-aksioma dan definisi-definisisecaralogis.

6. Epistemologimengatakanbahwamatematikasebagaiilmu,ontologimengatakanmatematika sebagai alat untuk menyatukan manusia dengan simbol danlambang yang telah disepakati, sedangkan metodologi matematika adalahkumpulan cara-cara, rumus-rumus dan kaidah-kaidah yang digunakan dalammatematika.

7. Etnomatematikaadalahpembelajaranmengenaihubunganantaramatematikadanbudaya.


100

I. UmpanBalikdanTindakLanjut

Pada kegitan belajar 2 ini telah dibahas mengenai kompetensi berkaitan denganfilsafatMatematika.Kegiatan-kegiatantersebutakanterbagidalambeberapatopik,diantaranyaadalah:

a. Pengertian dan ruang lingkup filsafat. Pada bagian ini Anda belajar tentangpengertianfilsafat,apayangmenjadipertanyaanmendasardalamfilsafat.

b. Filsafatmatematika. Padabagian iniAndabelajar tentangaliran-alirandalamfilsafatmatematika.

c. Epistemologi, ontologi, dan metodologi matematika. Pada bagian ini Andabelajartentangpengertianepistemologimatematika,ontologimatematika,danmetodologimatematika

d. Etnomathematics.PadabagianiniAndabelajartentangetnomatematika.

Cocokan jawaban Latihan dan Tugas pada Kegiatan Belajar 1 ini dengan kuncijawabanyangtersedia.HitunglahjumlahskorjawabanAndayangbenar,dangunakanrumusdibawahiniuntukmengetahuitingkatpenguasaanmaterikegiatanbelajarini.

JumlahskorjawabanbenarTingkatPenguasaan= ×100% 15

Bila kebenaran jawab Anda mencapai ≥ 67%, Anda dapat meneruskan dengankegiatan belajar selanjutnya. Akan tetapi bila kebenaran jawaban Anda belummencapai67%,hendanyaandamengulangikegiatanbelajar,terutamapadabagianyangAndaanggaprumitdanberdiskusilahdengantemansejawatyanglainnyaataudengannarasumber/fasilitator.

UntukmengembangkanmateriyanglebihjauhAndasebaiknyamempelajarimateriAljabarpadakegiatanbelajarberikutnya.Lakukantahapankegiatanbelajarmateriselanjutnya dengan mengerjakan aktifitas kegiatannya dan mengerjakan lembarkerjanya. Ukurlah kemampuan pemahaman materi yang Anda pelajari denganmengerjakanlatihansoal-soalnya.


101

PENUTUP

Setelahmenyelesaikanmodulini,pesertadiklatberhakuntukmengikuti tesuntukmenguji kompetensi yang telah dipelajari. Apabila peserta diklat dinyatakanmemenuhisyaratkelulusandarihasilevaluasidalammodulini,makapesertaberhakuntukmelanjutkanketopik/modulberikutnya.

Mintalah pada widyaiswara untuk uji kompetensi dengan sistem penilaian yangdilakukan langsung oleh pihak institusi atau asosiasi yang berkompeten apabilapeserta telahmenyelesaikan seluruh evaluasi dari setiapmodul, maka hasil yangberupanilaidariwidyaiswaraatauberupaportofoliodapatdijadikanbahanverifikasiolehpihakinstitusiatauasosiasiprofesi.Selanjutnyahasiltersebutdapatdijadikansebagaipenentustandarpemenuhankompetensidanbilamemenuhisyaratpesertaberhak mendapatkan sertifikat kompetensi yang dikeluarkan oleh institusi atauasosiasiprofesi.


102

UJI KOMPETENSI

PilihlahjawabanyangpalingtepatdiantarapilihanA,B,C,danD1. RahasiamatematikaMesirKunoterungkapsetelahditemukannya...

A. PapirusRhindB. PapirusMoskowC. BatuRosettaD. PapirusGolenischevE. Horus

2. MatematikaBabiloniamenggunakanbilanganberbasis...

A. 10B. 20C. 30D. 40E. 60

3. Berikut adalah suatu konsep matematika yang terdapat dalam matematika

India,kecuali...A. BilanganprimaB. TrigonometriC. KombinatorikD. BilanganrasionalE. Persamaanlinear

4. Ketika membuktikan logika matematika, maka sebenarnya kita sedang

menggunakanaliranfilsafat...A. IntuisismeB. FormalismeC. LogisismeD. KonstruktivismeE. Empirisisme

5. MarieAgnesiadalahpenemudari...

A. IntegralB. KalkulusC. VektorD. LimitE. Diferensial


103

6. TokohyangbersilangpendapatdenganNewtontentangpenemuankalkulusadalah...A. LuitzenEgbertusJanBrouwerB. LeonardodaPisaC. GottfriedWilhemLeibnizD. MariaGaetanaAgnesiE. KarlWeierstrass

7. AliranIntuisismedapatdigunakanketikamempelajari...

A. AnalisisRealB. LogikaMatematikaC. AljabarD. FungsiE. MatematikaDiskrit

8. Tokohberikutsecaraumummenganutpandanganlogisisme,kecuali...

A. BernardRussellB. ImmanuelKantC. GottlobFregeD. RudolfCarnapE. BobHale

9. Cabang filsafat yang menyatakan bahwa matematika sebagai bagian dari

scienceadalah...A. OntologimatematikaB. EpistemologimatematikaC. MetodologimatematikaD. EtnomatikaE. Deduksimatematika

10. Konseplogikamatematikasecarametodologitermasukkedalam...

A. MetodededuksiB. MetodeinduksiC. MetodedialektikaD. MetodecarrusE. Metodekoherensi

11. Berikutadalahhal-halyangmenjadidasaretnomatika,kecuali...

A. Sosial-budayaB. SejarahC. EkonomiD. MatematikaE. Budaya


104

12. Tokoh yang menyatakan bahwa bilangan-bilangan asli berasal dari Tuhanadalah...A. LeopoldKroneckerB. L.E.J.BrouwerC. PaulErnestD. DavidHilbertE. Euclid


105

DAFTAR PUSTAKA

BankMathinfo.SejarahMatematikaBabilonia.http://www.bangmath.info/2015/04/sejarah-matematika-babilonia.html.

Ernest,P.(1991).ThePhilosophyofMathematicsEducation.London:TheFalmerPress.

Haryono,Didi.(2014).FilsafatMatematika(SuatuTinjauanEpistemologidanFilosofis).Bandung:Alfabeta.

Muhmidayeli.(2011).FilsafatPendidikan.Bandung:RefikaAditama.Prabowo,Agung.(2014).MatematikaNisbahEmas.Bandung:Alfabeta.Saputra,H.http://hardymath.blogspot.co.id/2013/10/logisisme-formalisme-dan-

fiksionalisme.html.[Online].30November2015.Sumardyono.2004.KarakteristikMatematikadanImplikasinyaterhadap

PembelajaranMatematika.SeriPaketPembinaanPenataran.Yogyakarta:PusatPengembanganPenataranGuruMatematika(PPPGMatematika)

Supu,S(2014).SejarahMatematikaBabilonia.

https://sciencemathematicseducation.wordpress.com/2014/01/28/sejarah-matematika-babylonia/.[Online].30November2015.

Wahyudin,(2013).Hakikat,SejarahdanFilsafatMatematika.Bandung:Mandiri.

Wikipedia.http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/history/HistTopics/Egyptian_papyri.html[online].30November2015

Wikipedia.https://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_matematika.[Online].30November2015.

Wikipedia.https://id.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz.[Online].30November

2015.Wikipedia.https://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_Yunani.[Online].9Desember

2015.


106

GLOSARIUM

Aksioma : Sebuahproposisiyangjelasdengansendirinya

Definisi : Proposisi yang mengantarkan pada hakikat dan kualitassesuatu

EpistemologiMatematika

: Cabang filsafat yang berhubungan dengan pengetahuanmatematika

Etnomatika : Pembelajaranmengenaihubunganantaramatematikadanbudaya

Formalisme : Suatu aliran filsafat yang mengedepankan lambang-lambangformal

Hieroglif : Tulisan Mesir kuno yang disimbolkan dengan gambarbinatang

Intuisisme : Suatualiranfilsafatmatematikayangmengandalkanintuisidalammelakukanpembuktianmatematis

Logisisme : Suatualiranfilsafatyangmengedepankanlogika

MetodologiMatematika

: Penelaahan terhadap metode yang khusus digunakandalammatematika

OntologiMatematika

: Cabang filsafat yang berhubungan dengan yang ada;sesuatuyangadatermasukdidalamnyahal-halmetafisikdidalampengetahuanmatematika

PapirusMoskow : LembaranmanuskriptentangmatematikamesirkunoyangsekarangadadiMoskow

PapirusRhind : Lembaranmanuskriptentangmatematikamesirkuno

Platonisme : Suatu aliran filsafat yang mengemukakan bahwa objekmatematikabersifatabstrak


107

Teorema : Suatu penemuan bentuk, pola, atau rumus matematikayang baru, dan bisa dibuktikan berdasarkan aksioma-aksiomadandefinisi-definisisecaralogis

TulisanPaku : TulisanpadaeadabanBabiloniayangmenyerupaibentukpaku


108

LAMPIRAN

Lampiran1SejarahMatematika

LK-00


......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

..............................................................

2. Kompetensi apa yangdiharapkan tercapai setelahmempelajari bahan belajarini?Sebutkan!

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

..............................................................


................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


109

LK–01a

1. Matematika di Mesir berawal dari dapat dibacanya papirus Rhind denganperantaraanbatuRosetta.JelaskanbagaimanaalurpenemuanpapirusdanbatuRosettahinggaterpecahkannyamatematikaMesirkuno!..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. DiskusikandengantemansatukelompokAndaapasajapersoalanyangterdapatpadaPapirusRhind.CarisumberlainuntukmelengkapihasildiskusiAnda..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Diskusikan tentang penggunaan bilangan berbasis 60 pada matematikaBabilonia! Berikan juga contoh penggunaannya dalam bidang kejuruan dijurusanAnda...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. Temukanlah hubungan antara penemuan-penemuan matematika dari Mesir,Babilonia,Yunani,Cina,danIndia!..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

5. Selainperadabanyangdibicarakandiatas,carilahperadabanlainyangmemilikisejarahtentangmatematika!....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


110

LK–01b

Jelaskanlah manfaat menyertakan sejarah matematika dalam pembelajaranmatematikaSMK!

DiskusikanpendapatAndabersamagurulain.

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

.............................................................................................


111

LK-02

1. Jelaskanbagaimanaalurpenemuankonsep-konseppentingdalammatematika!........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. Carilahtokohmatematikalainyangmenemukankonsepdasarmatematika!........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. MenurutAnda,konsepmatematikamanayangpalingpenting/seringdipakaidijurusan asal Anda? Berikan alasan mengapa konsep tersebut menurut Andasangatpentingdanbericontohnya!................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


112

LK-03

1. Bagikelasdiklatmenjadi5kelompokuntukmendirikancafé.2. BerinamacafékelompokAndadengannamayangmenarikpengunjung.3. Setiap café (seluruh anggota kelompok) agar menghidangkan menu spesial

sebagaiberikut. Menu dapat berupa topik, konsep, atau tokoh yang dianggappenting danmenarik. (Manfaatkan spidol warna dan kertas flipchart untukmemvisualisasikanmenu semenarik mungkin sehingga pengunjung tertarikuntukbertanya)

Kelompok1.TokohMatematikaSebelumAbadke-11M.

Kelompok2.TokohMatematikaMulaiAbadke-11M.

Kelompok3.SejarahBilangan

Kelompok4.SejarahGeometri

Kelompok5.SejarahAljabar

Kelompok6.SejarahKalkulusdanTrigonometri

Kelompok7.SejarahTeoriPeluangdanStatistika

4. Tetapkansatuoranganggotakelompoksebagaihost/tuanrumah/pemilikcafé,dananggotakelompokyanglainsebagaipengunjung.

5. Seluruhanggotakelompok,kecualihost,silahkanberkunjungkecafélainuntukmenikmatimenuyangdisajikanolehhostcaféyangdikunjungi.

Hostbertugas:

§ menjelaskan sajianmenu danmemimpin diskusi/konsultasi/tanya jawabterkaitmenuyangdisajikannya.

§ mengarahkancatatanyangdiberikansetiappengunjungagartanggapannyafokus,singkat,danrelevandenganmenusajian.

§ mencatatataumemberimemvisualisasikantambahanpadapendapatatautanggapanpesertadikertasflipchart.

6. Seluruh peserta wajib mengunjungi semua café (lainnya). Setiap pengunjungdapatmemberikan tanggapan dengan cara menulis pada bagian kosong padamenuyangtelahdisajikandandiakhiridenganno.presensidan/ataunama.

7. Masing-masinghostdapatmelakukanpenilaian terhadap pengunjung sebagaiberikut.


113

Kriteria NilaiMenambahkanlebihdari3ideyangrelevandenganmenudanbelumditambahkanpengunjunglain.

3


2


1

Tidakmemberikontribusi 0

8. Setiap pengunjung juga dapat memberikan penilaian terhadap host sebagaiberikut.

Kriteria NilaiPenjelasandanperformanceyangsangatbaik 3Penjelasandanperformanceyangcukupbaik 2Penjelasandanperformanceyangkurangbaik. 1Penjelasandanperformanceyangtidakbaik. 0

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

LK-04

Pilihlah salah satu topik matematika di SMK, kemudian tuliskan ide Anda secaralengkap tentang bagaimana menggunakan sejarah untuk pembelajaran topiktersebut.

Andadapatmerujukpada JohnFauvel(Garner,1996) tentangbeberapacarayangdapatditempuh dalam menggunakan sejarah dalam pembelajaran matematika dikelas.

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................


114

Lampiran2FilsafatMatematika

LK-00


........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

......

2. Kompetensi apa yangdiharapkan tercapai setelahmempelajari bahan belajarini?Sebutkan!

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

......


........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................

LK-01

1. Apayangdimaksuddenganfilsafat?Jelaskan!................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. Apakahmungkin suatu ilmu lahir tanpaadanya filsafat?KemukakanpendapatAndamengenaihalini.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Sebutkanempatintidaripersoalanfilsafat!Apayangmenjadijawabannya?Berijugacontohdarimasing-masingpersoalantersebut.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


115

LK-02

1. Sebutkandanjelaskantentangtigaaliranbesardalamfilsafatmatematika!................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. Diskusikan dengan teman satu kelompok, bagaimana aliran-aliran filsafatmatematikatersebutmempengaruhipemikiranparaahlimatematikamodern!................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Diskusikan konsep matematika apa saja yang termasuk ke dalam aliranformalisme,logisismedanintuisisme!...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. Carilahaliranfilsafatmatematikalaindanpresentasikanhasilnyadidepankelas.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


116

LK-03

1. Menurut Anda, apakah terdapat hubungan antara ontologi, epistemologi danmetodologimatematika?Jelaskan!................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. Jelaskan apa yang dimaksud dengan teori korespondensi, teori koherensi danteori pragmatisme, kaitannya dengan kebenaran dalam epistemologimatematika!........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. BagaimanapenerapanontologimatematikadalampembelajaranmatematikadisekolahAnda!........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. Jelaskantigametodeyangmendasarimatematika!Berikancontohkonsepyangdapatdibuktikankebenarannyamenggunakanmetodetersebut!


117

LK-04

1. Apasajayangmenjadidasardarietnomatika?Jelaskan!........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. Kumpulkan sumber lain tentang etnomatika yangberupabukuataupun jurnaldanpelajarilah.DiskusikandikelompokAndatentangetnomatikatersebut.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Menurut pendapat Anda, apakah etnomatika diperlukan dalam pembelajaranmatematika?Berikanalasannya!........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. Etnomatikadidasarkanpadasejarah,sosial,danbudayadimanasiswabelajarmatematika. Diskusikan dengan teman satu kelompok bagaimana etnomatikayangdapatditerapkanditempatasalAnda.PresentasikanhasilnyadidepankelasdankelompoklainmemberitanggapantentangpresentasikelompokAnda...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


1

MODUL PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN · tersebut adalah modul Program Pengembangan...

Documents

Transcript of MODUL PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN · tersebut adalah modul Program Pengembangan...