MODUL PEMBINAAN OLIMPIADE BIDANG KOMPUTER

(OSK/OSP/OSN)

Oleh :

Anifuddin Azis, S.Si., M.Kom.

BAB I

PENDAHULUAN

Selain sebagai ajang prestasi tingkat nasional, OSN bertujuan juga untuk

mendapatkan calon peserta pembinaan dan seleksi lebih lanjut hingga dipilih empat siswa

terbaik untuk menjadi anggota TOKI (Tim Olimpiade Komputer Indonesia). Mereka itulah

yang akan mewakili negara dan bangsa untuk bertanding di tingkat dunia yaitu International

Olympiad in Informatics (IOI).

IOI adalah ajang kompetisi pemrograman di tingkat Internasional yang sudah

berlangsung sejak 1985. Indonesia mulai mengikuti IOI sejak 1995. Saat ini IOI diikuti oleh

80-an negara (termasuk semua negara maju) sehingga IOI merupakan lomba paling akbar

dalam bidang ini untuk tingkat SMA.

Dalam perjalanannya problem-problem yang diberikan mengalami peningkatan

tingkat kesulitannya terutama sejak akhir tahun 90-an, hingga pada saat ini pemrograman

hanya satu aspek kecil semata di dalam lomba ini. Dengan demikian, aspek utama yang diuji

adalah kemampuan menyelesaikan masalahnya sendiri. Sehingga bisa dikatakan bahwa

kompetisi IOI adalah menguji kemampuan peserta dalam problem solving dengan

pemrograman komputer. Setiap peserta dalamwaktu yang amat terbatas harus

mengerjakan sejumlah masalah yang diberikan dengan menyusun program yang

menyelesaikan masalah tersebut.

Proses seleksi OSN bidang Komputer idealnya adalah mengacu model IOI di atas

yaitu problem solving dengan pemrograman. Namun, berbeda dengan bidang OSN lain

seperti Fisika, Matematika, Kimia dan Biologi, bidang Informatika khususnya pemrograman

belum menjadi pelajaran resmi. Oleh sebab itu, materi uji IOI “diterjemahkan” ke dalam

materi yang menguji potensi akademis/skolastik tinggi yang relevan dengan aspek-aspek di

atas. Diharapkan dari proses seleksi ini, siswa yang berpotensi walaupun belum mahir dalam

pemrograman dapat terjaring untuk diberikan pembinaan yang intensif di Pelatnas.

Aspek yang sangat bergantung pada ketrampilan peserta dalam pemrograman

dikurangi dan digantikan dengan materi uji “analisa dan logika” dan materi uji kemampuan

algoritmika.

Tingkatan seleksi OSK-OSP dibedakan atas komposisi dari ketiga komponen materi

uji:

• Kemampuan analitika/logika/aritmatika (nonprogramming)

• Kemampuan algoritmika (programming)

Komponen uji pemrograman tidak mungkin untuk diadakan sehingga digantikan

dengan kemampuan dan algoritmika saja.

Metoda pengujiannya pun tidak bisa dihindari bersifat test obyektif (pilihan ganda).

Metoda ini memang banyak sekali kelemahannya yaitu memungkinkan jawaban asal tapi

benar, namun, memungkinkan pemeriksaan yang segera dan efisien. Dampak negatif

tersebut bisa

dikurangi dengan pembuatan soal dan pilihan jawaban yang dirancang dengan matang.

Komposisi analitika/logika di tingkat kabupaten/kota adalah yang paling besar.

Di tingkat propinsi pada dasarnya sama dengan di tingkat kabupaten/kota kecuali

komposisi algoritmika diperbesar dan sifat tesnya diganti dari tes obyektif menjadi test

essay. Ini adalah untuk memacu peserta yang lolos di tingkat kabupaten/kota untuk

memperdalam pemahamannya dan ketrampilan prakteknya dalam pemrograman dan tidak

asal benar tetapi benar-benar memahami algoritma dan pemrograman.

Materi uji tingkat OSN adalah mirip dengan di tingkat IOI. Peserta yang lolos ke

Tingkat Pelatihan Nasional (Pelatnas) diharapkan merupakan peserta yang memiliki

kemampuan analitikal dan merancang algoritma yang tinggi. Referensi mengenai hal

tersebut jauh lebih sulit ditemukan daripada referensi untuk pemrograman itu sendiri.

(Sumber : TOKI, Buku Panduan Olimpiade Sains Bidang Komputer)

BAB II

ANALISA LOGIKA

Dalam pemodelan masalah pemrograman selain dengan model aritmatika, juga

keterhubungan antara entitas/aspek dalam masalah perlu dipahami secara relational untuk

mendapatkan model algoritmis yang lebih akurat. Kemampuan analitis tsb diperlukan dalam

menghasilkan model keterhubungan/relasional tsb. Sayangnya tidak ada metodologi yang

sistematik karena pada dasarnya sangat bergantung pada kreatifitas peserta uji. Namun, ada

kesamaan umum dalampemecahan masalahnya, yaitu :

• penggunaan model diagram sangat membantu untuk menggambarkan keterhubungannya

secara menyeluruh berdasarkan keterhubungan yang fragmental (dari pernyataan-

pernyataan terpisah atau asumsi-asumsi yang dibuat),

• keterhubungan itu sendiri seringkali bersifat implisit sehingga perlu pemahaman yang

hati-hati dan perlu pemahaman akan gaya bahasa “penceritaannya”,

• khususnya untuk asumsi yang dibuat segera dieliminasi jika kontradiksi dengan model

diagram, dan

• model diagram yang telah dibentuk perlu diverifikasi (dikaji ulang) dengan pernyatan-

pernyataan yang diberikan agar terjaga konsistensi, dan

• Selalu berpikir adanya kemungkinan yang tertinggal atau tersamar yang belum dikaji ke

dalam model

Contoh :

1. Terdapat 7 bilangan bulat A, B, C, D, E, F, dan G yang jika diurutkan membentuk deret

bilangan cacah berurutan (misalnya 4,5,6,…) dengan pernyataan-pernyataan berikut:

(1) D berharga 3 kurangnya dari A

(2) B adalah angka di tengah jika semua diurutkan

(3) Kurangnya F dari B = kurangnya D dari C

(4) G lebih besar dari F

Jika diurutkan, urutannya adalah?

Untuk memudahkan urutan tsb misalnya [x1–x2–x3–x4–x5–x6–x7]

Dari perny. (2) diketahui x4=B, maka menjadi [x1–x2–x3–B–x5–x6–x7]

Dari perny. (3) F berada di ruas sebelah kiri B (bisa x1, x2 atau x2).

Jika F=x1 maka D adalah x2 dan C adalah x5 ([F–D–x3–B–C–x6–x7]), atau D adalah x3 dan C

adalah x6 ([F–x2–D–B–x5–C–x7]).

Akan tetapi dari perny. (1) membatalkan kedua kemungk. asumsi ini karena A harus berada

3 posisi di kanan D yang sudah ditempati C.

Jika F=x2 maka

D adalah x1 dan C adalah x3 ([D–F–C–B–x5–x6–x7]), atau

D adalah x3 dan C adalah x5 ([x1–F–D–B–C–x6–x7]), atau

D adalah x5 dan C adalah x7 ([x1–F–x3–B–D–x6–C]).

Akan tetapi dari perny. (1) hanya yang kedua yang mungkin karena yang pertama posisi A =

posisi B atau yang ketiga posisi A berada di luar (setelah x7). Untuk sementara

[x1–F–D–B–C–A–x7] dicatat sebagai salah satu solusi.

Jika F=x3 maka

D adalah x1 dan C adalah x2 ([D–C–F–B–x5–x6–x7]), atau

D adalah x5 dan C adalah x6 ([x1–x2–F–B–D–C–x7]), atau

D adalah x6 dan C adalah x7 ([x1–x2–F–B–x5–D–C]).

tetapi dari (1) semua tidak mungkin (yang pertama posisi A = posisi B, kedua

yang lain posisi A ada di luar).

Jadi ternyata hanya tinggal satu kemungkinan yaitu [x1–F–D–B–C–A–x7].

Dari perny. (4) diperoleh G=x7, sehingga diperoleh juga E=x1. Hasilnya

diketahui urutannya adalah E, F, D, B, C, A, G

2. Delegasi-delegasi dari negara W dan negara R duduk berhadap-hadapan pada meja

perundingan. Masing-masing delegasi terdiri atas seorang ketua, dua atase militer dan dua

wakil kamar dagang negara masing-masing. Delegasi W beranggotakan A, B, C, D, dan E.

Delegasi R beranggotakan F, G, H, I, dan J. Masing-masing delegasi berada pada sisi-sisi

memanjang berlainan (satu negara pada sisi yang sama dan ketua duduk di tengah

delegasinya). Batasan dalam mengatur urutan duduk mereka:

(1) Delegasi W menempatkan A dan B di kedua ujung barisannya.

(2) Kuping kanan G tuli shg ia harus paling kanan dari delegasi R.

(3) Baik D maupun F bukan ketua.

(4) Para atase militer W, salah seorangnya B, didudukkan berdampingan, dan

tidak ada satupun yang berseberangan dengan atase militer R

(5) G bukan atase militer.

(6) C wakil dari kamar dagang, duduk berseberangan dengan H.

Manakah yang paling mungkin mengenai F berikut?

(A) Wakil kamar dagang yang duduk di sebelah I

(B) Wakil kamar dagang yang duduk di sebelah H

(C) Wakil kamar dagang yang duduk berseberangan dengan B

(D) Atase militer yang duduk di sebelah I

(E) Atase militer yang duduk di sebelah J

Seperti pada contoh sebelumnya, dibuat diagram sbb

x1–x2–x3–x4–x5 negara W

y1–y2–y3–y4–y5 negara R

Dari (1) kemungkinan {x1,x5} adalah {A,B} atau {B,A}

Dari (2) maka y5=G yang karena pernyataan (4) dan (5) (G bukan a.m dan B

adalah a.m) menyebabkan x5=B, sehingga (atase militer dengan bold)

A –x2–x3–x4 –B

y1–y2–y3–y4–G

Dari pernyataan (6) dan (4) diperoleh C = x2 dan y2 = H, sehingga

A –C–x3–x4 –B

y1–H–y3–y4–G

Dari pernyataan (3) dan diagram di atas D = x4 dan F = y1 atau y4

A –C –E –D –B

y1–H –y3–y4–G

Jadi tinggal 2 kemungkinan F=y1 (atase militer), atau F=y4 (wakil kamar dagang). Jika atase

militer maka (D) dan (E) salah karena sebelah y1 adalah H. Jika wakil kamar dagang maka (B)

salah karena H atase militerdan (C) salah karena B ada di depan G. Jadi tinggal pilihan (A)

yang paling mungkin.

(Note: ini bukan satu-satunya kemungkinan. Kemungkinan lainnya masih adatapi tidak ada

di kelima pilihan itu).

(Sumber : TOKI, Buku Panduan Olimpiade Sains Bidang Komputer)

Latihan :

1. Fredy, Cindy, dan Sandy masing-masing memiliki dua ekor hewan peliharaan. Salah satu

diantara mereka tidak memelihara anjing. Cindy satu-satunya yang memiliki kucing.

Sandy memelihara anjing. Fredy dan cindy masing-masing memelihara kelinci. Siapa

yang memlihara kura-kura ?

2. Terdapat 7 bilangan bulat A-G, yang jika diurutkan membentuk deret bilangan cacah

berurutan dengan pernyataan-pernyataan berikut ini:

a. D berharga 3 kurangnya dari A

b. B adalah angka di tengah bila semua diurutkan

c. Kurangnya F dari B = kurangnya D dari C

d. G lebih besar dari F

Bila diurutkan, urutannya adalah ?

Di sebuah daerah, ada tepat 5 buah sungai, bernama A, B, C, D, E dan tepat 5 buah kota, bernama F, G, H, I, J. Kota F, H, dan J masing-masing dialiri oleh 3 buah sungai. Sungai B, C, dan D masing-masing mengaliri 2 buah kota. Kota I hanya dialiri oleh sungai B dan E, dan kota G hanya dialiri oleh sungai D dan A. Jika sebuah sungai yang mengaliri sebuah kota meluap, maka kota tersebut akan kebanjiran. 3. Jika ada tepat 4 kota yang kebanjiran, berapa jumlah minimal sungai yang meluap? 4. Jika semua sungai-sungai yang mengaliri kota F meluap, berapa banyak minimal kota

yang kebanjiran? 5. Jika kota H dialiri oleh sungai A, C, dan E, sungai manakah yang tidak mugkin mengaliri F

dan J sekaligus? 6. Jika sungai A mengaliri tepat 4 kota di daerah tersebut, berapa kota yang dialiri oleh

sungai E?

Sebuah alat musik baru sedang dibuat.Musik hanya akan membunyikan 5 nada saja; do,

re,mi, fa dan sol. Terdapat dua tombol untuk membunyikan nada-nadanya: tombol

merah dan tombol putih.Nada yang akan dibunyikan saat penekanan suatu tombol

tergantung pada nada sebelumnya dan tombola apa yang ditekan. Pada saat dihidupkan

alat musik dalam keadaan reset. Seperti tabel berikut (sementara, pada saar dihidupkan

maka mesin akan langsung membunyikan nada do).

Nada

Sebelumnya

Setelah menekan tombol merah Setelah menekan tombol

putih

Do Mi Re

Re Fa Mi

Mi Fa Mi

Fa Sol Fa

Sol mi Do

7. Jika ditekan 7 kali tombol putih setelah dihidupkan maka nada apa yang terakhir

terdengar?

8. Sejak nada do terakhir terdengar sedikitnya berapa kali penekanan yang harus dilakukan agar nada do kembali muncul?

BAB III

ARITMATIKA

Sekali lagi, walaupun mengambil topik mengenai aritmatika, aspek terpenting dari

materi ini bukan pada hitung menghitungnya tetapi pada uji kemampuan analitisnya. Aspek-

aspek analitis dalam persoalan aritmatika dijelaskan pada bagian berikut ini (Sumber : TOKI,

Buku Panduan Olimpiade Sains Bidang Komputer).

1. Mampu Membentuk Model Aritmatika/Matematika serta melakukan

deduksi/induksi Model

Dalam problem solving, seringkali diperlukan tahapan pemodelan masalah yang

sebagian menggunakan model matematika/aritmatika dan menyederhana-kannya sehingga

menjadi model yang lebih sederhana dan siap dikomputasikan dalam bentuk algoritma.

Model yang tidak tepat berakibat pada kegagalan dalam pemecahan masalah.

Contoh:

Uang Amir lebih banyak dari uang Ali. Jika dijumlahkan uang keduanya lebih dari 50 ribu

rupiah, sementara selisih uang Amir dengan uang Ali lebih dari 30 ribu rupiah. Berapakah

kemungkinan uang Amir yang paling tepat?

Model permasalahan: Uang Amir = x, Uang Ali = y, dan dari deskripsi di atas

• Pers-I: x > y

• Pers-II: x+y > 50000

• Pers-III: |x-y| > 30000

Dari Pers-I dan Pers-III: menghasilkan Pers-IV: x-y > 30000

Dari Pers-II dan Pers-IV: jika dijumlahkan menghasilkan 2x>80000.

Maka, x > 40000

2. Memahami Sifat-sifat Bilangan

Untuk sejumlah masalah, sifat-sifat dari bilangan harus dipahami secara logis

Contoh:

Jika n dan p adalah dua bilangan bulat, dan n + p berharga ganjil, manakah dari berikut ini bil

ganjil?

(A) n – p + 1

(B) np

(C) n2 + p2 – 1

(D) 3p + 5n

(E) (p – n)(n – p)

A bukan, karena (n+p) adalah ganjil maka dari n dan p salah satu ganjil dan yang lain genap.

Selisih antara n dan p pasti ganjil sehingga jika ditambah 1 menjadi genap.

B bulan karena perkalian antara suatu bilangan genap dengan bilangan apapun akan

menjadi genap.

C bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan genap, tetap genap, dan ganjil

tetap ganjil, kemudian ganjil ditambah genap dan dikurang ganjil menjadi genap.

D bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan ganjil tetap bilangan ganjil,

dan jumlah dua bilangan ganjil menjadi genap.

E benar, karena perkalian antara dua bilangan ganjil menghasilkan bilangan ganjil.

3. Mengkaitkan dengan Konteks Masalah

Konteks dari soal perlu diperhatikan dan konteks tersebut kadang-kadang hanya

tersirat saja. Yang dimaksud dengan konteks di sini adalah pemahaman umum akan sesuatu

yang sewajarnya diketahui pula.

Contoh:

jika lonceng berdentang setiap 1 detik, dalam jumlah dentang yang sesuai waktu yang

ditunjukkan, maka tepat pada pukul berapa dentang terakhir yang menunjukkan jam 6?

Apakah pukul 6:00:06?

Salah, seharusnya pukul 6:00:05 karena dentang-dentang tsb pada pukul 6:00:00, pukul

6:00:01, pukul 6:00:02, pukul 6:00:03, pukul 6:00:04 dan pukul 6:00:05!! Konteks disini

adalah dentang pertama terjadi pada tepat pukul 6, dan penomoran detik/menit dimulai

dari 0, 1, ... dst.

4. Memahami Formula Rekursif

Banyak masalah pemodelan dengan tingkat kesulitan yang tinggi atau

pemrogramannya sendiri memerlukan pemecahan dengan algoritma rekursif. Pemahaman

fungsi rekursif membantu dalam pemahaman memahami bagaimana bekerjanya algoritma

rekursif.

Contoh:

Jika didefinisikan f(n) = n f(n–1) untuk setiap n > 0 dan f(0) = 1, maka berapakah f(10)/(f (7) x

f(6))?

Pahami perilaku fungsi rekursif tsb, sbb,

f(n) = n.f(n–1) = n.(n–1).f(n–2) = n.(n–1).(n–2).f(n–3) = ... = n(n–1)(n–2)(n–

3)....2.1 = n!

Sehingga, f(10) = 10! dan f(7) = 7! serta f(6) = 6!.

10!/7! = (10.9.8.7.6.5.4.3.2.1)/(7.6.5.4.3.2.1) = 10.9.8

Dan (10.9.8) /(6.5.4.3.2.1) = 1

5. Eksplorasi dalam Masalah Kombinatorik

Dalam problem solving seringkali masalah yang diberikan bersifat kombinatorik

(mendapatkan setiap kemungkinan kombinasi/permutasi jawaban). Untuk memecahkannya

terkadang seluruh kemungkinan tersebut harus diperiksa untuk mendapatkan pemecahan

yang umum.

A. Kaidah Menghitung

Misalkan ada n percobaan, masing-masing dg pi hasil (Rinaldi Munir, 2005)

Kaidah perkalian (rule of product)

o p1 ´ p2 ´ … ´ pn hasil

Kaidah penjumlahan (rule of sum)

o p1 + p2 + … + pn hasil

Contoh :

Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri)

yang

(a) semua angkanya berbeda

(b) boleh ada angka yang berulang.

Penyelesaian:

(a) posisi satuan: 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7, 9) posisi ribuan: 8 kemungkinan angka

posisi ratusan: 8 kemungkinan angka posisi puluhan: 7 kemungkinan angka

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah.

(b) posisi satuan: 5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9); posisi ribuan: 9

kemungkinan angka (1 sampai 9)

posisi ratusan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

posisi puluhan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500

B. Permutasi

Definisi. Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang

dipilih dari n buah elemen, dengan r ≤n, yang dalam hal ini pada setiap kemungkinan urutan

tidak ada elemen yang sama.

P (n , r )=n (n−1 ) (n−2 )… (n−(r−1 ))= n !(n−r )!

Contoh 1:

Tulislah semua permutasi 3 objek {a, b, c} !

Penyelesaian :

Permutasi yang mungkin dari 3 objek {a, b, c} ada 3! = 6 kemungkinan yaitu : abc, acb,

bac, bca, cba, cab.

Contoh 2:

Suatu undian dilakukan s\dengan menggunakan angka yang terdiri dari 7 digit. Jika

digit-digit dalam suatu angka diharuskan berbeda satu dengan yang lain, ada beberapa

kemungkinan nomor undian ?

Penyelesaian :

Dalam undian tersebut, jelas urutan kemunculan angka-angka diperhatikan. Undian dengan

nomor 1234567 akan berbeda dengan nomor 7654321. Karena digit-digitnya diharuskan

selalu berbeda, maka banyaknya kemungkinan nomor undian adalah

P(10 ,7)=10 !3 !

=10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604800 macam kemungkinan.

C. Permutasi dengan Ada Elemen yang Sama

Secara umum, jika suatu himpunan terdiri dari n objek yang tersusun dari :

n1 buah objek sama jenis-1

n2 buah objek sama jenis-2

....

....

nk buah objek sama jenis-k.

dengan n1 + n2 + n3 +…+ nk = n

Maka banyaknya permutasi berbeda yang mungkin dari n objek tersebut adalah :

(n ¿ ) ¿¿

¿¿

Contoh 1 :

Ada berapa banyak cara yang mungkin dari kata MATEMATIKA ?

Penyelesaian :

Kata MATEMATIKA terdiri dari 10 karakter huruf, yang tersusun dari :

2 buah huruf M

3 buah huruf A

2 buah huruf T

1 buah huruf E

1 buah huruf I

1 buah huruf K

Sehingga banyaknya kemungkinan untuk membuat permutasi adalah :

10 !2 ! 3 ! 2 ! 1 ! 1 ! 1 1

=10 . 9 .8 . 7 .6 . 5 .41.2 .1 . 2.1.1 .1 .1

=6048004

=151200 banyaknya cara menyusun elemen-

elemen tersebut.

D. Kombinasi

Misalkan himpunan S mempunyai | S | = n elemen. Banyaknya himpunan bagian S yang

terdiri dari k (k≤n )disebut kombinasi n objek yang diambil sebanyak k objek sekaligus.

Simbolnya adalah

(n ¿ ) ¿¿

¿¿ atau C(n, k) atau nCk. Banyaknya kombinasi yang dimaksud dapat

dinyatakan dalam persamaan C (n, k )= Ck

n=n !(n-k )! k!

Contoh 1 :

Seorang pelatih bola basket akan memilih komposisi pemain yang akan diturunkan

dalam suatu pertandingan. Ada 12 orang pemain yang dapat dipilihnya. Berapa macam tim

yang dapat ia bentuk ?

Penyelesaian :

Dalam memilih pemain yang akan diturunkan, urutan pemilihan tidaklah diperhatikan.

Jadi, yang menjadi masalah hanyalah siapa yang dipilih. Tidak menjadi masalah apakah

seorang pemain (katakanlah A) terpilih pertama ataupun terakhir. Hal ini berbeda dengan

pemilihan ketua dan wakil ketua. Komposisi yang dibuat apabila seseorang (misalnya B)

yang terpilih pertama (menjadi ketua) akan berbeda apabila B terpilih kedua (menjadi wakil

ketua).

Jadi banyaknya tim yang dapat dibentuk oleh pelatih tersebut adalah kombinasi 12

objek yang diambil 5 sekaligus adalah sebagai berikut:

(12 ¿ )¿¿

¿¿tim.

E. Kombinasi dengan Pengulangan

Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak .

Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola. Maka Jumlah

cara memasukkan bola : C(n,r)

Masing-masing kotak boleh diisi lebih dari satu buah bola. Maka Jumlah cara

memasukkan bola : C(n+r-1,r)= C(n+r-1,n-1)

Contoh :

Pada persamaan x1+ x2+x3+x4=12 , x iadalah bilanganbulat≥0. Berapa jumlah

kemungkinan solusinya ?

Penyelesaian :

Kombinasi dengan pengulangan, jadi C(4+12-1,12) = 455 kemungkinan solusi.

6. Berpikir secara “Cerdas”

Jika menghadapi suatu masalah komputasi yang kelihatannya tidak mungkin, pasti

ada sesuatu di balik itu!! Dapatkanlah dengan bantuan pemahaman akan sifat-sifat operasi

aritmatika untuk mendapatkan model matematis yang lebih sederhana.

Contoh 1:

Berapa digit terakhir dari 22003? Apakah anda ingin menghitungnya sendiri(secara manual)?

Tentu tidak, pasti ada penyederhanaannya. Dengan mengubah n=1, 2, 3, …, dst, perhitungan

2n menghasilkan deret 1, 2, 4, 8,

16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, dst. Amati angka terakhir dari setiap bilangan,

kita mendapatkan perulangan dari 6 – 2 – 4 – 8 pada n mod 4 = 0, 1, 2, 3. Jadi jika n=2003,

diperoleh 2003 mod 4 = 3, yaitu memiliki digit terakhir 8.

Contoh 2:

Ketiga digit awal dari hasil perkalian 22002 x 52005 jika dijumlahkan adalah? Ini juga tidak

mungkin dihitung manual. Perhatikan bilangan dasarnya 2 dan 5 yang jika dikalikan menjadi

10. Karena setiap pasang faktor 2 dan 5 menghasilkan 10 berarti hanya menambah 0 di digit

terkanan. Ada 2002 pasang faktor-faktor tsb sehingga 22002 x 52005 = 53 x 102002= 125 x 102002.

Penjumlahan tiga digit awal 1+2+5=8

Contoh 3:

Hitunglah (80! x 38!) /(77! x 40!).

Menggunakan sifat sbb untuk a dan b bulat positif, a > b, maka a!/b! = a.(a – 1).(a – 2)…(b +

1). Maka:

(80! x 38!) /(77! x 40!) = (80!/77!) / (40!/38!)

= (80x79x78) / (40x39)

= (80/40) x (78/39) x 79

= 2 x 2 x 79 = 316

yang dapat dihitung tanpa kalkulator.

Latihan

1. Digit terakhir dari 27001 adalah?

2. Jika 22 x 5 = 4x5 = 20 memiliki digit 2 dan 0 sehingga jumlahnya adalah 2+0=2. Maka

berapakah jumlah semua digit untuk nilai 22005x52007?

3. Jika 4!=4x3x2x1=24. Maka nilai digit terakhir dari (1!+2!+3!+4!+….+999!) dikalikan

dengan 7 adalah?

4. Nilai dari 20022007 x 30052008 dibagi 100 menghasilkan sisa pembagian?

5. Suatu seri angka terdiri dari 4 10 8 14 12 18 angka selanjutnya adalah…

6. Hasil dari 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – ... + 1000 adalah?

7. Sebanyak 3/5 dari peserta kompetisi Pemrograman dan Logika adalah pria. Sebanyak

¼ peserta adalah wanita yang belum memiliki pacar. Bila ada 42 orang peserta wanita yang

sudah memiliki pacar, maka jumlah seluruh peserta kompetisi tersebut adalah … orang.

8. Usia seorang ayah sekarang adalah tiga kali usia anaknya. Dua belas tahun yang lalu

usia ayah enam kali usia anaknya. Tentukan usia mereka saat ini.

9. Wagimin menghabiskan

16 masa hidupnya sebagai anak,

112 hidupnya sebagai

pemuda, kemudian menikah setelah umurnya bertambah

17 hidupnya. 5 tahun kemudian,

anaknya lahir. Namun sayangnya, anaknya mati muda. Umur anak Wagimin hanya setengah

dari umur bapaknya. Karena depresi yang berat setelah kematian anaknya, 4 tahun

kemudian Wagimin pun meninggal. Berapa umur Wagimin sebenarnya ? (OSN 2010)

10. Berapa banyak bilangan yang bisa dibagi 8 atau enam diantara satu hingga 2010?

11. Berapa banyaknya bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999

itu sendiri) yang semuanya angka berbeda?

12. Seorang tukang cat dapat mengerjakan pengecatan suatu ruangan dalam x jam.

Tepat pada jam ke 2, catnya habis sehingga terpaksa menunggu kaleng cat berikutnya yang

sedang dipesan. Berapa bagiankah pekerjaan yang belum ia selesaikan?

13. Sebuah lembaga sepak bola mengadakan survey kepada para pelajar di sebuah

sekolah, untuk mengetahui seberapa populer olahraga sepak bola di antara remaja putra

dan putri. Dari 100 pelajar yang disurvey, ternyata banyaknya remaja putra yang menyukai

sepak bola sama banyak dengan banyaknya remaja putri yang tidak menyukai sepak bola,

dan perbandingan antara banyaknya remaja putra yang menyukai sepak bola dan tidak

menyukai sepak bola adalah 3 : 1.Jika 52% pelajar yang disurvey adalah putri, ada berapa

pelajar putri yang menyukai sepak bola?

14. Sebuah truk pengangkut kelapa mengangkut sejumlah kelapa dan mengantarkannya

ke beberapa pos. Setiap kali truk berhenti di sebuah pos, truk wajib menurunkan separuh

muatannya (dibulatkan ke bawah). Sebagai imbalannya, pos tersebut akan menambahkan

satu butir kelapa ke dalam muatan truk. Jika pada awalnya sebuah truk mengangkut 10000

butir kelapa, berapakah jumlah kelapa yang tersisa di muatan truk ketika truk tersebut tiba

di pos ke 60?

15. Sebuah kereta bergerak meninggalkan sebuah stasiun dengan kecepatan 40 mil/jam.

Dua jam kemudian sebuah kereta yang lainnya berangkat dari stasiun yang sama dengan

kecepatan 60 mil/jam. Ketika kereta kedua dapat menyusul kereta yang pertama, berapakah

jaraknya dari stasiun ?

16. Dari 100.000 bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang

mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5 ?

17. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “CONGRESS”

sedemikian hingga dua buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ?

18. Pada persamaan x1+ x2+x3=10 , jika0≤ x1≤2 , x2>1dan x3≥0, maka banyaknya solusi

adalah…

19. Berapa banyak cara memasang 10 pesawat telepon di 10 ruang kantor, jika pesawat

telepon terdiri dari 4 berwarna merah, 3 warna putih, dan 3 warna biru ?

20. Sebuah data disimpan dalam 8 bit (0 dan 1), misal : 11110101. Ada berapa banyak

data 8 bit yang dimulai dengan 11 atau berakhir dengan 11 ?

BAB IV

STRUKTUR DASAR ALGORITMA

1. Struktur Runtunan

Sebuah runtunan (sequence) terdiri dari satu atau lebih instruksi. Tiap instruksi

dikerjakan sesuai dengan urutan penulisannya, yakni sebuah instruksi dilaksanakan setelah

instruksi sebelumnya selesai dilaksanakan. Urutan instruksi menentukan keadaan akhir

program. Bila urutannya diubah, maka hasil akhirnya mungkin juga berubah.

Contoh berikut adalah program menukar dua buah nilai integer A dan B. Misal

sebelum penukaran nilai A = 5, nilai B=3. Setelah penukaran, nilai A=3, nilai B=5.

Jika urutan instruksi di atas diubah, maka hasilnya juga berubah. Misal :

temp:=A;

A:=B;

B:= temp;

diubah menjadi :

temp:=A;

B:= temp;

A:=B;

2. Struktur Pemilihan

Program Tukar;

VAR A,B, temp : integer;

Begin

write(’Masukkan nilai A :’); readln(A);

write(’Masukkan nilai B :’); readln(B);

temp:=A; A:=B; B:= temp;

writeln(’Nilai A sekarang = ’, A);

writeln(’Nilai B sekarang = ’, B);

End.

Pada umumnya, masalah yang akan diselesaikan memiliki beberapa alternatif

pelaksanaan aksi. Suatu aksi akan dilaksanakan jika persyaratan atau kondisi dipenuhi.

Kondisi adalah sesuatu yang bernilai true atau false, disebut kondisi boolean. Contoh kondisi

:

x > y

m = n

k mod 4 = 0

not(ketemu)

Penentuan kondisi bolean dan aksi yang dilakukan bergantung pada jumlah kasus

yang terdapat pada masalah tersebut : satu kasus, dua kasus, atau lebih dari dua kasus.

Bentuk umum untuk kasus satu kasus :

if kondisi then aksi ;

Contoh program dengan satu kasus :

Program BilanganGenap;

Var Bil : integer;

Begin

write (‘Masukkan bilangan :’); readln(Bil);

if bil mod 2 = 0 then write (Bil,’ adalah bilangan genap’);

end.

Bentuk umum untuk kasus dua kasus :

if kondisi then aksi1

else aksi 2;

Contoh program dengan dua kasus :

Program BilanganGenapGanjil;

Var Bil : integer;

Begin

write (‘Masukkan bilangan :’); readln(Bil);

if bil mod 2 = 0 then write (Bil,’ adalah bilangan genap’)

else write (Bil,’ adalah bilangan ganjil’);

end.

Bentuk umum untuk kasus tiga kasus atau lebih :

if kondisi1 then aksi1

else if kondisi2 then aksi2

if kondisi3 then aksi3

....

else aksiN;

Contoh program dengan tiga kasus atau lebih:

Program KonversiNilai;

{Program untuk merubah nilai angka menjadi nilai huruf}

Var Nilai : integer;

Begin

write (‘Masukkan bilangan :’); readln(Nilai);

if Nilai>= 80 then write (‘Nilai =A’)

else if Nilai>= 65 then write (‘Nilai = B’)

else if Nilai>= 50 then write (‘Nilai = C’)

else if Nilai>= 35 then write (‘Nilai = D’)

else write (‘Nilai = E’);

end.

Untuk masalah dengan tiga kasus atau lebih, struktur Case dapat menyederhanakan

penulisan If-Then-Else yang bertingkat-tingkat seperti contoh di atas.

Struktur Case sebagai berikut :

Case (nama_variabel) of

nilai1 : aksi1;

nilai2 : aksi2;

...

nilaiN : aksiN;

else aksiN1;

Contoh program KonversiNilai menggunakan struktur Case :

Program KonversiNilai;

{Program untuk merubah nilai angka menjadi nilai huruf}

Var NilaiAngka : integer;

Begin

write (‘Masukkan bilangan :’); readln(NilaiAngka);

Case NilaiAngka of

80..100 : write(‘Nilai = A’);

65..79 : write(‘Nilai = A’);

50..64 : write(‘Nilai = A’);

35..49 : write(‘Nilai = A’);

0..34 : write(‘Nilai = A’);

else write(‘ Masukkan nilai salah’);

end.

Nilai bisa berupa nilai tunggal atau beberapa nilai yang disebutkan satu per satu, atau bisa

juga berupa jangkauan nilai.

3. Struktur Pengulangan

Struktur pengulangan secara umum :

<inisialisasi>

awal pengulangan

badan pengulangan

akhir pengulangan

<terminasi>

Awal dan akhir pengulangan tergantung pada struktur pengulangan yang digunakan.

Terdapat tiga macam struktur pengulangan, yaitu :

1. Struktur FOR

2. Struktur WHILE

3. Struktur REPEAT

Struktur FOR

Bentuk umum struktur FOR ada dua macam, yaitu : menaik atau menurun.

FOR menaik :

for pencacah := awal to akhir do

aksi;

Keterangan :

a. Pencacah haruslah dari tipe data yang memilik predecessor dan successor, yaitu integer,

karakter, subrange, dan enumerasi.

b. Aksi adalah satu atau lebih instruksi yang diulang. Jika ada lebih dari satu aksi, maka

dimulai dengan pernyataan BEGIN dan diakhiri dengan END; .

c. Nilai awal lebih kecil atau sama dengan nilai akhir.

d. Pada mulanya, pencacah diinisialisasi dengan nilai awal, kemudian secara otomatis

bertambah satu, sampai akhirnya nilai pencaca sama dengan nilai akhir.

e. Jumlah pengulangan adalah nilai akhir-nilai awal + 1.

Contoh program menghitung nilai faktorial.

Program HitungFaktorial;

Var i,n : integer;

Faktorial : longint;

Begin

write(‘Nilai faktorial berapa ?’); readln(n);

Faktorial :=1;

For i:= 1 to n do

Faktorial :=Faktorial * i;

write(‘Nilai faktorial ‘,N,’ adalah =’,Faktorial);

end.

FOR menurun :

Bentuk umum :

for pencacah := akhir downto awal do

aksi;

Keterangan :

a. Pencacah haruslah dari tipe data yang memilik predecessor dan successor, yaitu integer,

karakter, subrange, dan enumerasi.

b. Aksi adalah satu atau lebih instruksi yang diulang. Jika ada lebih dari satu aksi, maka

dimulai dengan pernyataan BEGIN dan diakhiri dengan END; .

c. Nilai awal lebih kecil atau sama dengan nilai akhir.

d. Pada mulanya, pencacah diinisialisasi dengan nilai akhir, kemudian secara otomatis

berkurang satu, sampai akhirnya nilai pencaca sama dengan nilai awal..

e. Jumlah pengulangan adalah nilai akhir - nilai awal + 1.

Struktur WHILE

Bentuk umum struktur WHILE :

while kondisi do

aksi;

Aksi akan dilaksanakan berulangkali selama kondisi bernilai true.

Contoh program menghitung nilai faktorial :

Program HitungFaktorial;

Var i,n : integer;

Faktorial : longint;

Begin

write(‘Nilai faktorial berapa ?’); readln(n);

Faktorial :=1; i:=1;

While i<=n do

begin

Faktorial :=Faktorial * i;

i:=i + 1;

end;

write(‘Nilai faktorial ‘,N,’ adalah =’,Faktorial);

end.

Struktur REPEAT

Bentuk umum struktur REPEAT :

Repeat

aksi;

Until kondisi;

Aksi akan dilaksanakan berulangkali sampai kondisi bernilai true.

Contoh program menghitung nilai faktorial :

Program HitungFaktorial;

Var i,n : integer;

Faktorial : longint;

Begin

write(‘Nilai faktorial berapa ?’); readln(n);

Faktorial :=1; i:=1;

Repeat

Faktorial :=Faktorial * i;

i:=i + 1;

Until i > n;

write(‘Nilai faktorial ‘,N,’ adalah =’,Faktorial);

end.

Latihan

1. Perhatikan algoritma di bawah ini:

Jika diberikan a, b, c ketiganya adalah 1, maka jika nilai n adalah 20, nilai satuan dari d pada

akhir algoritma adalah ...

2. Diberikan algoritma berikut:

Banyaknya karakter '*' yang dicetak ke layar adalah ...

3. Perhatikan potongan program berikut berikut ini :

for i := 1 to n do begin case x of

1 : x:= (x+22) mod 6; 2 : x := x*2; 3 : dec(x); 4 : x:= 5-x; 5 : x:= x shr 1 + 1; else x := (x*4) mod 5 + 1; end; writeln(x);

end;a. Berapa nilai x yang dicetak terakhir, jika harga mula-mula x = 31 dan n = 1000 ?b. Berapa kali angka 5 muncul pada pencetakan yang dilakukan jika harga mula-mula x = 103

dan n = 100 ?

Perhatikan algoritma berikut ini:

Jika nilai x, y, dan z diberikan masing-masing 2, 6, 21; nilai yang dicetak ke layar adalah…

BAB V

SUB PROGRAM

1. Sub Program

Dalam bahasa pemrograman prosedural, program bisa terdiri dari beberapa sub program.

Dengan membuat sub program, penulisan kode program yang sama berulangkali bisa

dihindarkan, juga memudahkan menulis dan menemukan kesalahan program.

Dalam Bahasa Pascal terdapat dua subprogram, yaitu Prosedur dan Fungsi. Sub

program ini hanya perlu ditulis sekali, tetapi dapat dipanggil berkali-kali oleh program utama

atau sub program lain.

2. Pendeklarasian Prosedur

Bentuk deklarasi prosedur (tanpa parameter) adalah :

Procedure NamaProsedur;

Bagian deklarasi;

Begin

Bagian pernyataan;

End;

Contoh :

Procedure HitungLuasSegitiga;

Var alas, tinggi, Luas : real;

Begin

write(‘Masukkan panjang alas segi tiga :’); readln(alas);

write(‘Masukkan tinggi segi tiga :’); readln(tinggi);

Luas:=(1/2)*alas*tinggi;

write(‘Luas segi tiga = ‘,Luas);

End;

A. Pemanggilan Prosedur

Prosedur bukan program yang berdiri sendiri, jadi tidak bisa dieksekusi secara

langsung. Prosedur baru dilaksanakan dengan cara memanggil namanya dari program

utama atau sub program lain.

Ketika nama prosedur dipangil, kendali program secara otomatis akan berpindah ke

prosedur tersebut. Instruksi di dalam prosedur dilaksanakan. Setelah semua selesai, kendali

program berpindah secara otomatis ke instruksi sesudah pemanggilan tersebut.

Contoh program utama untuk memanggil prosedur HitungLuasSegitiga di atas :

Begin

HitungLuasSegitiga;

End.

B. Variabel Global dan Lokal

Variabel yang dideklarasikan dalam prosedur hanya dikenal di badan prosedur

tersebut, sehingga disebut variabel Lokal.

Sedangkan variabel yang dideklarasikan di dalam program utama bersifat Global,

karena dikenali di semua bagian program.

Program TukarNilai;

Var A, B : integer; {A,B variabel global}

Procedure Tukar;

Var temp : integer;{temp variabel lokal}

begin

temp:= A;

A:= B;

B:=temp;

end;

Begin

write(‘Masukkan nilai A = ‘);readln(A);

write(‘Masukkan nilai B = ‘);readln(B);

Tukar;

writeln(‘Nilai A sesudah ditukar = ‘,A);

writeln(‘Nilai B sesudah ditukar = ‘,B);

End.

C. Parameter

Kebanyakan program memerlukan pertukaran informasi antara prosedur (atau

fungsi) dengan pemanggilnya.Tiap item data ditransfer antara parameter aktual dan

parameter formal yang bersesuaian.

Parameter aktual adalah parameter yang disertakan waktu pemanggilan, sedangkan

parameter formal adalah parameter yang dideklarasikan di dalam bagian Nama Prosedur.

Berdasarkan maksud penggunaannya, terdapat tiga jenis parameter formal yang

disertakan di dalam prosedur :

1. parameter masukan

2. parameter keluaran

3. parameter masukan/keluaran

Parameter masukan adalah parameter yang nilainya berlaku sebagai masukan untuk

prosedur. Pada bahasa pemrograman seperti Pascal, parameter masukan dinamakan

parameter by value.

Parameter keluaran adalah parameter yang menampung keluaran yang dihasilkan

oleh prosedur. Pada bahasa pemrograman seperti Pascal, parameter keluaran dinamakan

parameter by reference.

Parameter masukan/keluaran adalah parameter yang berlaku sebagai masukan

sekaligus keluaran bagi prosedur tersebut. Pada bahasa pemrograman seperti Pascal,

parameter masukan/keluaran termask dalam parameter by reference.

Pada bahasa Pascal, parameter formal by value tidak menggunakan kata VAR dalam

deklarasinya, sedangkan parameter by reference menggunakan kata VAR.

Parameter Masukan (By value)

Contoh program menggunakan parameter masukan dalam deklarasi prosedurnya:

Program SegitigaKarakter;

var M : integer;

K : char;

Proedure CetakSegitiga(C : char; N : integer);

var i,j : integer;

Begin

for i:=1 to N do

Begin

for j :=1 to i do

write(C);

writeln;

End;

End;

Begin

write(‘Masukkan karakter yang akan dicetak :’); readln(K);

write(‘Masukkan tinggi segi tiga :’); readln(M);

CetakSegitiga(K,M);

End.

Parameter Keluaran (By reference)

Bila prosedur menghasilkan satu atau lebih nilai yang digunakan oleh program

pemanggil, maka nilai keluaran ditampung di dalam parameter keluaran. Bila prosedur yang

mengandung parameter keluaran dipanggil, nama parameter aktual akan menggantikan

nama parameter formal yang bersesuaian (berlawanan dengan parameter masukan, yang

dalam hal ini, nilai parameter aktual yang di assign ke dalam parameter formal).

Berikut contoh perbedaan parameter masukan dan keluran :

Program ABC;

Var A, B, C : integer;

Procedure XYZ(X,Y : integer; var Z : integer);

{X dan Y parameter masukan, Z parameter keluaran}

Begin

X:= X + 1;

Y:= Y + 1;

Z := X + Y;

End;

Begin

A:= 2;

B:= 5;

XYZ(A,B,C); {Pemanggilan prosedur XYZ}

writeln(A,’ ‘, B,’ ‘,C); {Menampilkan nilai A, B, dan C setelah pemanggilan prosedur}

End.

Pada Program ABC di atas, X dan Y adalah parameter masukan, sedangkan Z adalah

parameter keluaran. Ketika Prosedur XYZ dipanggil dengan parameter aktual A=2 dan B=5,

maka nilai itu mengisi nilai parameter formal X dan Y. Sedangkan nama parameter aktual C

secara semu menggantikan nama parameter formal C (bukan nilainya yang diisikan).

Sehingga setelah pemanggilan, nilai variabel A dan B tetap, yaitu A=2 dan B =5. Sedangkan

nilai variabel C berubah menjadi 9.

Parameter Masukan/Keluaran (By reference)

Parameter masukan/keluaran berfungsi sebagai masukan untuk prosedur sekaligus

menampung nilai keluaran prosedur. Sehingga bila keluarannya berbeda dengan

masukannya, maka hasilnya mengikuti nilai keluarannya.

Contoh Program TukarNilai berikut : 2 nilai integer A dan B merupakan parameter

formal Prosedur Tukar. Setelah instruksi di dalam prosedur dilaksanakan, maka nilai

keluaran A dan B berubah. Karena A dan B adalah parameter masukan/keluaran, maka nilai

parameter aktual pemanggilnya juga berubah sesuai nilai keluaran yang dihasilkan prosedur.

Program TukarNilai;

Var X, Y : integer;

Procedure Tukar (var A,B : integer);

Var temp : integer;

Begin

temp := A;

A := B;

B:=temp;

End.

Begin

X:= 2; Y:= 5;

Tukar (X,Y);

writeln(‘Nilai X setelah ditukar = ‘,X);

writeln(‘Nilai Y setelah ditukar = ‘,Y);

End.

3. Definisi Fungsi

Fungsi adalah sub program yang memberikan/mengembalikan sebuah nilai dari tipe

tertentu. Sebagaimana halnya prosedur, fungsi diakses dengan memanggil namanya. Selain

itu, fungsi juga dapat mengandung daftar parameter formal. Parameter formal pada fungsi

selalu berupa parameter masukan, karena parameter pada fungsi merupakan masukan yang

digunakan oleh fungsi tersebut untuk menghasilkan nilai.

A. Pendeklarasian Fungsi

Deklarasi fungsi adalah :

function NamaFungsi(daftar parameter masukan):tipe data;

bagian deklarasi

Begin

Bagian Pernyataan;

End;

B. Pemanggilan Fungsi

Fungsi diakses dengan cara memanggil namanya dari program utama atau sub

program lain, diikuti dengan daftar parameter aktual (jika ada). Karena fungsi menghasilkan

nilai, maka nilai tersebut dapat ditampung dalam suatu variabel (peubah) yang bertipe sama

dengan tipe fungsi.

(i). peubah := NamaFungsi(daftar parameter aktual);

atau dimanipulasi langsung seperti :

(ii) write(NamaFungsi(daftar parameter aktual));

(iii) if NamaFungsi(daftar parameter aktual) > 0 then....

(iv) y := 2* NamaFungsi(daftar parameter aktual) +3;

Contoh :

Program Terbesar

Var A,B,C,D,Z : integer;

Function Maks(X,Y : integer) : integer;

Begin

if X > Y then Maks:= X

else Maks := Y;

End;

Begin

A := 3; B := 6; C:= 10; D := 8;

writeln(‘Bilangan terbesar antara ‘,A, ‘ dan ‘, B,’ adalah ‘,Maks(A,B));

Z:= Maks(C,D); writeln(‘Bilangan terbesar antara ‘,C, ‘ dan ‘,D,’ adalah ‘, Z);

If Maks(A,B) > Maks(C,D) then writeln(‘Yang terbesar antara ‘, A,’ ‘,B,’ ‘,C,’ dan

‘,D,’ adalah = ‘, Maks(A,B))

else writeln(‘Yang terbesar antara ‘, A,’ ‘,B,’ ‘,C,’ dan ‘,D,’ adalah = ‘,

Maks(C,D));

End.

4. Rekursi

Suatu subprogram tidak hanya bisa memanggil sub program lain, tetapi juga bisa memanggil

dirinya sendiri. Cara ini dikenal dengan sebutan rekursi.

Rekursi banyak dipakai pada persoalan yang dapat dipecahkan secara induktif.

Misalnya untuk menghitung faktorial.

m!=¿¿

Pemecahan secara rekursif :

0 ! = 1 (penghentian rekursi)

jika m > 0, m ! = m x (m-1) ! (langkah induksi)

A. Fungsi Rekursif

Fungsi yang memanggil dirinya sendiri disebut fungsi rekursif. Contoh fungsi rekursif

untuk menghitung faktorial.

Function FaktorialR(m:byte) : longint;

Begin

If m = 0 then FaktrialR:= 1

else FaktorialR:= m * FaktorialR(m-1);

End;

B. Prosedur Rekursif

Rekursi juga bisa diterapkan pada prosedur. Berikut contoh prosedur Balik :

Procedure Balik (X : integer);

Var Sisa : integer;

Begin;

write (X mod 10);

Sisa := X div 10;

If Sisa <> 0 Then Balik(Sisa);

End;

Jika prosedur di atas dipanggil dengan Balik(1024) apa hasilnya ?

Latihan

1. Perhatikan algoritma rekursif berikut: function f(m,n: integer): integer; begin if (m = 0) or (n = 0) then f := 1else f := f(m-1, n-1) + f(m-1, n);end;

Hasil pemanggilan f(6,6) adalah…

2. Diberikan sebuah fungsi dalam Pseudopascal berikut:function P(x, y: integer):integer;beginif (x = 0) thenP := yelsebeginP := P(x-1, y+1);end;end;

Berapakah nilai writeln(P(5,10), ‘ dan ‘,P(2010,2011)); ?3. Dimiliki suatu prosedur berikut :

procedure coba2(a:integer);

begin

c:=c+1;

if (a>0) then

begin

coba2(a div 2);

write(a mod 2);

end;

end;

Jika dipanggil dengan coba2(10) akan menampilkan hasil…4. Dimiliki prosedur berikut :

procedure coba6(a,b : integer);

begin

if (a<>0) then

begin

coba6(a div b,b);

write(a mod b);

end;

end;

Jika dipanggil coba6(8,2) akan menghasilkan keluaran…

BAB VI

TIPE DATA ARRAY

Array atau larik terdiri atas bagian-bagian komponen yang memiliki tipe data sama. Dalam

penyimpanannya array selalu mempunyai jumlah komponen yang tetap yang ditunjukkan

oleh indeksnya.

A. Deklarasi Array

Variabel array dideklarasikan dengan mencantumkan tipe data dan nama variabel

yang diikuti dengan nomor indeks yang menyatakan banyaknya lokasi memori yang ingin

dibuat.

var nama_variabel : array [indeks] of tipe data;

contoh var N : array[1..100]of integer;

B. Mengakses Data larik :

Cara mengakses data larik adalah dengan menunjukkan :

Nama_Larik[no.indeks] ;

Misal : x[1] berarti kita mengakses data larik x pada no.indeks ke-1.

Keuntungan :

Menggunakan data larik, kita tidak akan kehilangan nilai dari suatu data.

Kelemahan :

Saat ditentukan suatu variabel bertipe data array maka ia akan langsung mengambil

tempat pada memory penyimpanannya sesuai dengan tipe data yang digunakan pada array,

baik nantinya semua komponen pada array itu digunakan ataupun tidak.

C. Array Dimensi Banyak

Dalam pemrograman kadang kita menghadapi masalah saat kita akan

mendeklarasikan suatu matriks. Dengan adanya tipe data array maka masalah itu dapat

diselesaikan, yaitu dengan menggunakan array dengan dimensi dua atau lebih yang

kemudian dikenal dengan array dimensi banyak.

Pendeklarasian :

var nama_variabel : array [indeks,indeks] of tipe data;

contoh var M : array[1..10,1..10]of integer;

Berarti matriks itu akan mempunyai dimensi (10x10), namun itu hanya batas atas

dari indeks yang dipesan dalam memori penyimpanan (di atas itu tidak akan disimpan),

sedangkan apabila nantinya kita hanya memasukkan jumlah baris misal 2 dan jumlah kolom

2 itu boleh saja selama tidak lebih dari 10.

Entry-entry dari matriks tersebut dapat kita panggil dengan mengetikkan

Nama_Array[indeks] ;

dari contoh diatas berarti M[2,3] yaitu entry dari matriks pada baris kedua kolom ketiga.

Contoh Kasus menggunakan tipe data array

Program menghitung nilai maksimum, minimum, rata-rata dari sejumlah data integer.

Var i,n,maks,min,jum,h : integer;

Nilai : array[1..10] of integer;

Rerata : real;

Begin

Write(‘Banyaknya data :’); readln(n);

Jum :=0;

for i:= 1 to n do begin

write(‘Data ke – ‘,i,’ = ‘);

readln(nilai[i]);

jum :=jum + nilai[i];

end;

rerata := jum/n;

maks=nilai[1];

min=nilai[1];

for i:= 1 to n do begin

if (nilai[i]>maks) then

maks :=nilai[i];

if (nilai[i]<min) then

min :=nilai[i];

end;

writeln(‘Nilai Terbesar = ‘ ,maks);

writeln(‘Nilai Terkecil = ‘ ,min);

writeln(‘Nilai Terbesar = ‘ ,maks);

writeln(‘Nilai Rata-rata = ‘ ,rerata);

readln;

end.

Latihan

1. Diberikan array berikut:

dan diberikan algoritma berikut:

Nilai elemen ke 9 dari array tersebut (atau a[9]) adalah...2. Perhatikan kode program di bawah ini “cek” adalah sebuah array dengan indeks mulai dari 1 s/d 1000 yang setiap elemennya bernilai true atau false. Pada awal program semua elemen array “cek” diberi nilai “false”.

for i:=1 to n dobeginj:=i;repeat

cek[j]:=not cek[j];j:=j+i;

until j>n;end;

for i:=1 to n doif cek[i] thenwrite(i,'*');

Jika n berharga 100, maka output yang akan dihasilkan adalah .....

3. Jika pada program didefinisikan sebuah array berikut ini:

dan diberikan sebuah fungsi hitung berikut ini:

Nilai hitung(4) adalah…

4. Dimiliki suatu larik a sebagai berikut :

var a : array [1..10] of integer = (1,3,5,9,8,7,6,6,4,2);dan potongan algoritma berikut :c:=0;for i := 1 to 9 dobegind:=i;m:=a[i];for j:= (i+1) to 10 do if ( m>a[j]) then begin d:=j; m:=a[j]; end;if (d<>i) thenbegin

temp:=a[i];a[i]:=a[d];a[d]:=temp;c:=c+1;

end;end;

Pada saat i = 3 dan iterasi j selesai dilakukan, nilai a[4] adalah…

5. Dimiliki larik x : array [1..7] of integer= (2,4,5,9,11,12,14);

Dan potongan program berikut :

procedure coba1(c,a,b : integer);

var t : integer;

k : boolean;

begin

i:=i+1;

k:= false;

if (a<=b) then

begin

t:= (a+b) div 2;

if c = x[t] then

begin

d:=t;

k:=true;

end

else if (c> x[t]) then coba1(c,t+1,b)

else coba1(c,a,t-1);

end

else d:=-1;

end;

Jika dipanggil dengan coba1(9,1,7), berapa nilai d ?

BAB VII

KOMPLEKSITAS ALGORITMA

Sebuah masalah dapat mempunyai banyak algoritma penyelesaian. Contoh: masalah

pengurutan (sort), ada puluhan algoritma pengurutan. Sebuah algoritma tidak saja harus

benar, tetapi juga harus mangkus (efisien). Algoritma yang bagus adalah algoritma yang

mangkus (efficient).

Kemangkusan algoritma diukur dari waktu (time) eksekusi algoritma dan kebutuhan

ruang (space) memori. (Munir, 2005) Algoritma yang mangkus ialah algoritma yang

meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang. Kebutuhan waktu dan ruang suatu algoritma

bergantung pada ukuran masukan (n), yang menyatakan jumlah data yang diproses.

Kemangkusan algoritma dapat digunakan untuk menilai algoritma yang bagus dari

sejumlah algoritma penyelesaian masalah.

Model Penghitungan Kebutuhan Waktu

Menghitung kebutuhan waktu algoritma dengan mengukur waktu sesungguhnya (dalam

satuan detik) ketika algoritma dieksekusi oleh komputer bukan cara yang tepat.

Alasan:

1. Setiap komputer dengan arsitektur berbeda mempunyai bahasa mesin

yang berbeda à waktu setiap operasi antara satu komputer dengan

komputer lain tidak sama.

2. Compiler bahasa pemrograman yang berbeda menghasilkan kode mesin

yang berbeda à waktu setiap operasi antara compiler dengan compiler lain

tidak sama.

Model abstrak pengukuran waktu/ruang harus independen dari pertimbangan mesin

dan compiler apapun.

Besaran yang dipakai untuk menerangkan model abstrak pengukuran waktu/ruang

ini adalah kompleksitas algoritma.

Ada dua macam kompleksitas algoritma, yaitu: kompleksitas waktu dan

kompleksitas ruang.

Kompleksitas waktu, T(n), diukur dari jumlah tahapan komputasi yang dibutuhkan untuk

menjalankan algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.

Kompleksitas ruang, S(n), diukur dari memori yang digunakan oleh struktur data yang

terdapat di dalam algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n.

Dengan menggunakan besaran kompleksitas waktu/ruang algoritma, kita dapat

menentukan laju peningkatan waktu (ruang) yang diperlukan algoritma dengan

meningkatnya ukuran masukan n.

Ukuran masukan (n): jumlah data yang diproses oleh sebuah algoritma.

Contoh: algoritma pengurutan 1000 elemen larik, maka n = 1000.

Contoh: algoritma TSP pada sebuah graf lengkap dengan 100 simpul, maka n = 100.

Contoh: algoritma perkalian 2 buah matriks berukuran 50 x 50, maka n = 50.

Dalam praktek perhitungan kompleksitas, ukuran masukan dinyatakan sebagai

variabel n saja.

Kompleksitas Waktu

Jumlah tahapan komputasi dihitung dari berapa kali suatu operasi dilaksanakan di dalam

sebuah algoritma sebagai fungsi ukuran masukan (n).

Di dalam sebuah algoritma terdapat bermacam jenis operasi:

o Operasi baca/tulis

o Operasi aritmetika (+, -, *, /)

o Operasi pengisian nilai (assignment)

o Operasi pengakasesan elemen larik

o Operasi pemanggilan fungsi/prosedur

o dll

Dalam praktek, kita hanya menghitung jumlah operasi khas (tipikal) yang mendasari

suatu algoritma.

Contoh Operasi Khas dalam Algoritma

Algoritma pencarian di dalam larik

Operasi khas: perbandingan elemen larik

Algoritma pengurutan

Operasi khas: perbandingan elemen, pertukaran elemen

Algoritma penjumlahan 2 buah matriks

Operasi khas: penjumlahan

Algoritma perkalian 2 buah matriks

Operasi khas: perkalian dan penjumlahan

Contoh 1. Tinjau algoritma menghitung rerata sebuah larik (array).

sum ¬0

for i ¬ 1 to n do

sum ¬ sum + a[i]

endfor

rata_rata ¬ sum/n

Operasi yang mendasar pada algoritma tersebut adalah operasi penjumlahan

elemen-elemen ai (yaitu sum¬sum+a[i]) yang dilakukan sebanyak n kali.

Kompleksitas waktu: T(n) = n.

Latihan

1. Dimiliki potongan program berikut :

for i :=1 to p do

writeln('*');

for j:= 1 to p-1 do

writeln('*');

for k:= 1 to p-2 do

writeln('*');

Berapa kali ‘*’ dicetak, jika p = 10 …

2. Diberikan potongan algoritma berikut :

for i :=1 to p do

c:=c+1;

for j:= 1 to p-1 do

begin

for k:= 1 to p-2 do

c:=c+1;

end;

Jika nilai c mula-mula adalah 0 dan nilai p = 10, maka nilai akhir c adalah…

3. Dimiliki prosedur sebagai berikut :procedure hitungsaja(n : integer; m : integer);var k : integer;begin

if (n < m) then begin

writeln(‘hello’);k := (m + n) div 2;hitungsaja(n,k);hitungsaja(k+1,m);

endelse writeln(‘hello’);

end;

Pada pemanggilan hitungsaja(5,24), berapa kali dicetak ‘hello’ ?

DAFTAR PUSTAKA

Gilles Brassard, Paul Bratley, Fundamentals of Algorithmics, Prentice Hall, New Jersy, 1996

Rinaldi Munir, Algoritma dan Pemrograman, Informatika, Bandung, 2005

Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Informatika, Bandung, 2005

TOKI, Buku Panduan Olimpiade Sains Komputer, 2007