Modul Or2 Fix

RISET OPERASIONAL 2

1

LABORATORIUM MANAJEMEN MENENGAH

MODUL PANDUAN PRAKTIKUM

Riset Operasional 2

EDISI ATA 2012/2013

Oleh:

Tim Pengembangan Laboratorium Manajemen Menengah

Fakultas Ekonomi Universitas Gunadarma

Depok 2012

RISET OPERASIONAL 2

2


KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat rahmatNya yang

telah dilimpahkan kepada penulis, sehingga Modul Operasional Riset Dua ini telah berhasil

kami selesaikan hingga dapat disajikan pada mahasiswa/i dan dapat menjadi sumber ilmu

yang dapat dipahami oleh mahasiswa/i ataupun pembacanya.

Untuk memudahkan penyelesaian masalah yang ada, modul ini juga dilengkapi

dengan cara penggunaan aplikasi Quantative System for Bussines ( QSB ) sebagai software

yang digunakan untuk mengurangi kesalahan penghitungan secara manual, dan

mempertinggi keakuratan dalam memecahkan masalah yang ada.

Dalam kesempatan ini, penyusun ingin mengucapkan terima kasih kepada Kedua

Orang Tua kami, Staff Laboratorium Management Menengah Universitas Gunadarma,

juga para Asisten senior dan rekan rekan asisten lainnya yang telah memberikan bantuan

dalam penyusunan modul Operasional Riset Dua ini.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang terdapat dalam modul ini,

oleh karena itu kami memohon kritik dan saran yang bersifat konstruktif demi perbaikkan

dalam penyusunan modul yang akan datang. Semoga modul ini dapat memberikan manfaat

positif pembacanya.

Depok, Seprember 2012

Litbang OR2

(Desyagita Maharani dan Steven Hamonangan)

RISET OPERASIONAL 2

3


D A F T A R I S I

Kata pengantar 2

Daftar isi 3

BAB I ANTRIAN MULTI CHANNEL SINGLE PHASE

I.1 Pengertian 5

I.2 Asumsi dan ciri Antrian Multi Channel Single Phase 6 I.3 Contoh Soal 8

I.4 Aplikasi Program QSB 10

I.5 Soal Praktikum 11

BAB II PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE II.1 Pengertian dan model jaringan 14

II.2 Distribusi Peta 15

II.3 Penjadwalan 16

II.4 Contoh Soal 17

II.5 Aplikasi Program QSB 21

II.6 Soal Praktikum 22

BAB III ANALISIS MARKOV

III.1 Pengertian dan ciri markov 27

III.2 Penyusunan Probabilitas 28

III.3 Pendekatan Matriks 30

III.4 Probabilitas Steady State 33

III.5 Aplikasi Program QSB 35

III.6 Soal Praktikum 36

BAB IV TEORI PENGAMBILAN KEPUTUSAN

IV.1 Pengertian dan konsep dasar 41

IV.2 Contoh Soal 42

IV.3 Aplikasi Program QSB 46

IV.4 Soal Praktikum 54

BAB V TEORI PERMAINAN (GAME THEORY)

V.1 Pengertian 41

V.2 Unsur Permainan dan jenis permainan 42

V.3 Soal Praktikum 63

DAFTAR PUSTAKA 66

RISET OPERASIONAL 2

4


RISET OPERASIONAL 2

5


BAB I

ANTRIAN MULTI CHANNEL SINGLE PHASE

1. PENGANTAR

Antrian adalah kejadian yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Seperti menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api, menunggu

pengisian bahan bakar, menunggu di pintu jalan tol, menunggu pembayaran di kasir

pada supermarket, dan beberapa kasus menunggu yang lain. Komponen dasar proses

antrian adalah kedatangan, pelayanan, dan antri. Ada dua fungsi dasar model antrian yaitu:

a. Meminimumkan biaya langsung

Biaya langsung adalah biaya yang timbul akibat lamanya waktu pelayanan

yang secara langsung membebani perusahaan. Contohnya, pembengkakan biaya

akibat waktu ini adalah pekerja yang dibayar perjam dan diharuskan melayani

sejumlah pelanggan, perusahaan harus membayar pekerja tersebut persatuan waktu.

b. Meminimumkan biaya tidak langsung

Biaya tidak langsung terjadi apabila pelanggan harus menunggu lama

sehingga mungkin membatalkan niat memakai jasa perusahaan tersebut. Proses

antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut

sifat-sifat fasilitas pelayanan, yaitu:

1. Single Channel - Single Phase (satu saluran satu tahap)

2. Single Channel - Multi Phase (satu saluran banyak tahap)

3. Multi Channel - Single Phase (banyak saluran satu tahap)

4. Multi Channel - Multi Phase (banyak saluran banyak tahap)

Pada praktikum semester lalu kalian telah mempelajari antrian single channel

single phase pada Manajemen Operasional. Kini pada praktikum Riset

Operasional 2 pembahasan antrian masih berlanjut tepatnya antrian MULTI

CHANNEL SINGLE PHASE.

RISET OPERASIONAL 2

6


2. Antrian Multi Channel Single Phase

Asumsi-asumsi dalam multi channel single phase (infinite)

> Jumlah antrian tidak dibatasi

> Kedatangan mengikuti distribusi poisson

> Waktu pelayanan mengikuti distribusi exponential negative

> First come, first served

> Saluran dikalikan dengan tingkat pelayanan > dari tingkat kedatangan.

Ciri ciri distribusi poisson :

> Tingkat kedatangan rata-rata dapat diduga berdasarkan data masa lalu

> Tingkat kedatangan rata-rata persatuan waktu adalah konstan

> Banyaknya kedatangan dalam suatu selang waktu tidak dipengaruhi apa yang

terjadi pada selang waktu sebelumnya

> Probabilitas suatu kedatangan dalam selang waktu yang sangat pendek adalah

sangat kecil sehingga probabilitas > dari satu kedatangan dalam selang waktu

yang pendek akan mendekati 0 (nol)

Multi channel single phase (infinite) = antrian tidak dibatasi

P

Model antrian O O O O

Rumus :

Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system

1

Po =

c-l (λ / µ)n c-l (λ /µ)

c

∑ +∑

n=0 n! n=0 c! (1 – (λ /c.µ))

catatan : untuk yg diketahui C,dihitung dari 1 , 2 , 3 ,dst sampai ke C

C

C

C

RISET OPERASIONAL 2

7


Probabilitas orang ke-n mengantri dalam system

(λ / µ)n

P (n ≤ c) = . Po

n!

(λ / µ)

n

P (n > c) = . Po

C! . C n-c

Tingkat Kegunaan

λ

R =

C × µ

Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian (Lq)

Po (λ / µ)c . [(λ / c) × µ]

Lq =

C! (1 – (λ / c . µ))2

Rata-rata banyaknya pengantri dalam System (L)

L = Lq + λ / µ

Rata-rata waktu mengantri dalam antrian (Wq)

Wq = Lq / λ

Rata-rata waktu mengantri dalam System (W)

W = Wq + 1 / µ

RISET OPERASIONAL 2

8


Contoh Soal

Pada “Toko Fashion Permata” Diketahui memiliki 3 kasir dengan waktu rata-rata

untuk melayani seorang pelanggan 4 menit/orang mengikuti distribusi eksponential

negative. Tingkat kedatangannya 24 orang per jam mengikuti distribusi poisson. Tentukan :

a. Tingkat kegunaan.

b. Proporsi waktu menganggur kasir.

c. Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian.

d. Rata-rata banyaknya pengantri dalam system.

e. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian.

f. Rata-rata waktu mengunggu dalam system.

g. Probabilitas adanya orang ke-4.

h. Probabilitas adanya 4 orang.

Jawab:

λ 24

a. R = = = 0,53 53%

C × µ 3 × 15

1

b. Po =

c-l (λ / µ)n (λ /µ)

c

∑ +

n=0 n! c! (1 – (λ /c.µ))

1

=

(24 / 15)0 + (24 / 15)

1 + (24 / 15)

2 + (24 / 15)

3

0! 1! 2! 3!(1-(24/3x15))

= 0.1876 0.19

Po (λ / µ)c . λ / c × µ

c. Lq =

C! (1 – (λ / c . µ))2

= 0,19 (24 / 15)3× 0,53

3! (1 – 0,53)2

= 0.3112 = 0.31

RISET OPERASIONAL 2

9


d. L = Lq + λ / µ

L = 0.31 + 24 / 15

= 1.91

e. Wq = Lq / λ

Wq = 0.31 / 24 = 0,0129 = 0.01

f. W = Wq + 1 / µ

W = 0,01 + 1 / 15 = 0.0767 = 0.08

(λ / µ)n

g. P (4 > c) = . Po

C! . C n-c

= (24 / 15)4

× 0,19

3! × 3

4-3

= 0.0692

h. P (adanya 4 orang) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)

= 0.8551 + 0.456 + 0.2432 + 0.1297 + 0.0692 = 1.7532 = 1.75

..Software Time.. 1. Buka software QSB

RISET OPERASIONAL 2

10


2. Pilih A-Queing Theory

3. Pilih 2-Enter New Problem

RISET OPERASIONAL 2

11


4. Please Name Your Ploblem using 20 character? Masukan nama

5. Please Specify the time unit? Ketik huruf H

RISET OPERASIONAL 2

12


6. Customer Arival rate (Lambda) per h ? 24

7. How many server (Chanel)? 3

RISET OPERASIONAL 2

13


8. Service rate per h for one server? 15

9. Is customer population finite? N

Lalu continue...

RISET OPERASIONAL 2

14


10. Pilih 5-Solve Problem

Nb : Coba perhatikan apakah hasilnya sama dengan

perhitungan manual?? Untuk lebih jelas silahkan

perhatikan tutor dengan baik..

Output software

RISET OPERASIONAL 2

15


SOAL PRAKTIKUM

1.) Pada “Bank Mutiara Kasih” diketahui memiliki 6 loket dengan tingkat pelayanannya

yaitu 90 detik/orang mengikuti distribusi poisson. Serta diketahui juga tingkat kegunaan

80% Maka tentukan :

a. Tingkat Kedatangan

b. Proporsi tidak adanya pengantri dalam system.

c. Rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian.

d. Rata – rata banyaknya pengantri dalam system

e. Rata – rata waktu mengantri dalam antrian.

f. Rata – rata waktu mengantri dalam system.

g. Probabilitas adanya orang ke 7

h. Analisisnya.

2.) Pada Fresh Market terdapat 6 kasir yang melayani pembelinya. Jika diketahui tingkat

kegunaan dari kasir tersebut sebesar 92% serta tingkat kedatangan pelanggan sebanyak 138

orang/jam mengikuti distribusi poisson. Tentukanlah :

a. Tingkat pelayanan.

b. Proporsi menganggur pelayanan.




f. Rata-rata waktu menunggu dalam system.

g. Probabilitas adanya orang ke-10

h. Probabilitas adanya 7 orang

3.) Pada salah satu Toko Sepatu Sport, diketahui tingkat kedatangan 135 orang / jam

mengikuti distribusi poisson. Sedangkan tingkat pelayanan sebesar 120 detik/orang. Selain

itu pula diketahui tingkat kegunaan sebesar 90%. Tentukan :

a. Berapa kasir yang dimiliki toko tersebut.



d. Rata – rata banyaknya pengantri dalam system.

RISET OPERASIONAL 2

16


e. Rata – rata waktu menunggu dalam antrian.

f. Rata – rata waktu menunggu dalam system.

g. Probabilitas adanya orang ke-10

h. analisisnya

4.)Pada “Pantai Carita” diketahui tingkat kedatangan 216 orang / jam mengikuti distribusi

poisson. Sedangkan tingkat pelayanan mengikuti distribusi exponential negative sebesar 80

detik per orang. Selain itu pula diketahui tingkat kegunaan sebesar 80%. Tentukan :

a. Berapa loket yang dimiliki Pantai Carita tersebut.




e. Rata – rata waktu menunggu dalam antrian.

f. Rata – rata waktu menunggu dalam system.

g. Probabilitas adanya orang ke 7

h. Analisis.

5.) Pada “Bank Sejahtera” diketahui memiliki 5 loket dengan tingkat pelayanannya yaitu 60

detik/orang mengikuti distribusi poisson. Serta diketahui juga tingkat kegunaan 75% Maka

tentukan :

a. Tingkat Kedatangan






g. Probabilitas adanya 6 orang

h. Analisisnya.

6.) Pada “ Toko Jahit Mahmoed” diketahui ada 6 mesin jahit dengan tingkat kegunaan 85%.

Dan tingkat kedatangan mengikuti distribusi poisson sebesar153 orang/jam.

Maka tentukan :

a. Waktu pelayanan untuk melayani seorang pelanggan.

b. Probabilitas tidak ada yang mengantri dalam sistem.


RISET OPERASIONAL 2

17






h. Probabilitas adanya 8 orang

7.) Pada Bank Peduli Rakyat diketahui memiliki 6 loket dengan tingkat kedatangan 60

orang/jam mengikuti distribusi poisson. Dan diketahui juga tingkat pelayanannya yaitu 4

menit/orang. Maka tentukan :

a. Tingkat Kegunaan.







h. Probabilitas adanya orang ke-4.

8.) Pada “Tempat Rekreasi Bintang” terdapat 3 loket yang diketahui mampu melayani 30

orang/jam serta memiliki tingkat kegunaan 90%. Dari data tersebut maka tentukan:

a. Tingkat kedatangan.

b. Proporsi menganggur loket.




f. Rata-rata waktu menunggu dalam system.


h. Analisis.

RISET OPERASIONAL 2

18


BAB II

PROGRAM EVALUATION AND REVIEW

TECHNIQUE

1. Pengantar

Masalah penjadwalan, perencanaan, dan pengawasan suatu proyek dari segi waktu

biasanya dianalisis dengan salah satu model jaringan yang dinamakan Critical Path

Method (CPM) atau Program Evaluation And Review Tehnique (PERT). CPM

dan PERT pada dasarnya serupa, bedanya CPM adalah teknik deterministic sedangkan

PERT bersifat probabilistik. Pada teknik deterministic, waktu kegiatan diasumsikan

diketahui dengan pasti, sehingga merupakan nilai tunggal. Sedangkan pada PERT

waktu kegiatan merupakan variable random yang memiliki distribusi probabilistik.

Salah satu tujuan dari analisis CPM/PERT adalah untuk menentukan waktu

terpendek yang diperlukan untuk merampung proyek atau menentukan critical path, yaitu

jalur dalam jaringan yang membutuhkan waktu penyelesaian paling lama. Kegiatan-

kegiatan yang dilewati critical path dinamakan kegiatan kritis. Keterlambatan

penyelesaian salah satu kegiatan ini akan menyebabkan keterlambatan penyelesaian

proyek.

2. Model Jaringan

Model Jaringan tersusun atas beberapa komponen utama:

• Kegiatan (activity), yaitu bagian dari keseluruhan pekerja yang dilaksanakan.

Kegiatan suatu proyek disimbolkan dengan garis. Setiap kegiatan

menghubungkan dua peristiwa.

• Peristiwa (event), yaitu permulaan dan akhir suatu kegiatan. Biasanya peristiwa

digambarkan dengan suatu lingkaran atau nodes.

• Kegiatan semu (dummy), yaitu kegiatan yang tidak nyata. Suatu dummy

activity tidak memakan waktu dan sumber daya, jadi waktu kegiatan dan biaya

sama dengan nol.

RISET OPERASIONAL 2

19


3. Distribusi Probabilitas Beta

Seringkali waktu penyelesaian kegiatan tidak diketahui dengan pasti atau

merupakan variabel random. Maka diperlukan asumsi tertentu tentang bentuk

distribusi waktu penyelesaian kegiatan. Bentuk probabilistic waktu penyelesaian

kegiatan tersebut dapat menggunakan distribusi beta.

Setiap kegiatan diasumsikan memberikan tiga kemungkinan waktu

penyelesaian, yaitu:

1. Optimistic time (a), ialah waktu terpendek untuk menyelesaikan kegiatan.

Probabilitas waktu penyelesaian lebih pendek dan waktu ini sangat kecil.

2. Most likely time (m), ialah waktu yang paling mungkin untuk menyelesaikan

kegiatan.

3. Pessimistic time (b), ialah waktu terlama untuk menyelesaikan kegiatan.

Probabilitas waktu penyelesaian lebih panjang dari waktu ini sangat kecil.

PERT mengasumsikan bahwa penyelesaian kegiatan mengikuti distribusi

beta, dengan rata- rata (tij) dan varian (vij) seperti berikut:

PERT juga mengasumsikan bahwa waktu kegiatan adalah Independen secara

statistik, sehingga rata-rata dan varians waktu-waktu kegiatan itu dapat dijumlahkan

untuk menghasilkan rata-rata dan varians waktu penyelesaian proyek. PERT juga

mengasumsikan bahwa rata-rata dan varians waktu penyelesaian proyek mengikuti

distribusi normal.

aij + 4mij + bij tij = 6

bij – aij 2

vij = 6

RISET OPERASIONAL 2

20


4. Penjadwalan Kegiatan

Analisis PERT juga bertujuan menentukan jadwal kegiatan yang dapat menerangkan

kapan kegiatan ini dimulai dan berakhir. Penjadwalan itu juga dapat menentukan critical

path (sekaligus waktu minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek) dan

kegiatan apa saja yang dapat ditunda dan berapa lama.

1. Earliest Time : Waktu minimum yang diperlukan untuk

menyelesaikan proyek

2. Latest Time : Waktu terakhir (paling lama) suatu event dapat

direalisasikan tanpa menunda waktu penyelesaian

proyek

3. Slack Kegiatan : Waktu dimana suatu kegiatan dapat ditunda tanpa

mempengaruhi penyelesaian proyek dengan waktu

minimum

Earliest Time (ETj) = Maks {ETj + tij}

Latest Time (LTi) = Min { LTj + tij}

Sij = LTj - ETi - tij

RISET OPERASIONAL 2

21


1

1 4 6 5

3

4

2

Contoh Soal:

Di bawah ini table perkiraan waktu perakitan sebuah sepeda motor:

Kegiatan Kegiatan

Sebelumnya aij mij bij

A - 1 3 5

B - 2 4 6

C B 3 6 9

D A 4 5 6

E C,D 5 7 9

F C,D 6 6 6

G C,D 7 8 9

H E,F,G 8 8 8

Berdasarkan data diatas gambarkan jaringan dari perakitan di atas, distribusi beta, jalur

kritis, dan peluang proyek dikerjakan diatas 30 minggu.

1. Buat Gambar Jaringan

A D G

F H

B C E

2. Buat Tabel Distribusi Beta

Kegiatan A

1 + 4(3) + 5

t12 = = 3

6

v12 = 5 – 1 2 = 4 / 9

6

Kegiatan B

2 + 4(4) + 6

t13 = = 4

6

V13 = 6 – 2 2 = 4 / 9

6

RISET OPERASIONAL 2

22


Kegiatan C

3 + 4(6) + 9

t34 = = 6

6

V34 = 9 – 3 2 = 1

6

Kegiatan D

4 + 4(5) + 6

t24 = = 5

6

V24 = 6 – 4 2 = 1 / 9

6

Kegiatan E

5 + 4(7) + 9

t45 = = 7

6

V45 = 9 – 5 2 = 4 / 9

6

Kegiatan F

6 + 4(6) + 6

t45 = = 6

6

V45 = 6 – 6 2 = 0

6

Kegiatan G

7 + 4(8) + 9

t45 = = 8

6

V45 = 9 – 7 2 = 1/ 9

6

Kegiatan H

8 + 4(8) + 8

t56 = = 8

6

V56 = 8 – 8 2 = 0

6

RISET OPERASIONAL 2

23


Tabel Perkiraan Waktu Kegiatan

Kegiatan tij vij

A 3 4/9

B 4 4/9

C 6 1

D 5 1/9

E 7 4/9

F 6 0

G 8 1/9

H 8 0

3. Tentukan Jalur Kritis

Penentuan Earliest Time (ET)

ET1 = 0 minggu

ET2 = ET1 + t12

= 0 + 3 = 3 minggu

ET3 = ET1 + t13

= 0 + 4 = 4 minggu

ET4 = ET3 + t34

= 4 + 6 = 10 minggu

ET5 = ET4 + t45

= 10 + 8 = 18 minggu

ET6 = maks {ET4 + ET5 + t56}

= maks {10 + 8 + 8} = 26 minggu

Penentuan Latest Time (ET)

LT6 = 26 minggu

LT5 = LT6 – t56

= 26 – 8 = 18 minggu

LT4 = LT5 – t465

= 18 – 8 = 10 minggu

LT3 = min {LT4 -t34}

= min {10 – 6 }= 4 minggu

LT2 = min {LT4 – t23 }

= min {10 – 5 } = 5 minggu

LT1 = LT3 – t13

= 4 – 4 = 0 minggu

RISET OPERASIONAL 2

24


Jalur kritis pada perakitan sepeda motor adalah 1 – 3 – 4 – 5 – 6 (kegiatan B – C – G –H)

µ = t13 + t34 + t45 + t56

= 4 + 6 + 8 + 8 = 26 minggu

σ2

= v13 + v34 + v45 + v56

= 4/9 + 9/9 + 1/9 + 0 = 14/9 minggu

4. Hitung P(tij ≥ 30)

P (tij ≥ 30) = P z ≥ 30 - µ

√σ2

= P z ≥ 30 - 26

√14/9

= P (z ≥ 3.207) Pembulatan 3.2

= 0,5 – 0,4993

= 0,0007

Note : Jika menggunakan software QSB hasilnya adalah P(tij ≤ 30) maka untuk

mendapatkan jawaban P(tij ≥ 30) = 1 – (hasil hitung QSB)


RISET OPERASIONAL 2

25


2. Pilih 7-Project Scheduling—PERT

3. Pilih 2-Enter New Problem

RISET OPERASIONAL 2

26


4. Please Name Your Ploblem using 20 character?

Masukan nama

5. How many activityare there in project include

dummy activity? 8

RISET OPERASIONAL 2

27


6. PERT Entry (Masukan data aij,mij,bij)

7. Pilih 5-Solve Problem

RISET OPERASIONAL 2

28


8. Pilih 1-Solve and display the intermediate result

9.

Nb : Coba perhatikan apakah hasilnya sama dengan

perhitungan manual?? Untuk lebih jelas silahkan

perhatikan tutor dengan baik..

OUTPUT SOFTWARE

RISET OPERASIONAL 2

29


RISET OPERASIONAL 2

30


SOAL PRAKTIKUM

1.) Di bawah ini table perkiraan waktu perakitan sebuah mesin pabrik :

Kegiatan

Kegiatan

Sebelumnya

aij mij bij tij vij

A - 10 11 1/9

B A 3 5 4/9

C A 7 10 9/9

D B,C 21 22 1/9

E - 8 10 4/9

F E 14 17 9/9

G F 7 7 0

H D,G 18 19 1/9

I H 11 13 4/9

J H 16 19 9/9

K B,C 16 16 0

L K,I,J 17 18 1/9

M K,I,J 9 11 4/9

N L,M 10 13 9/9

a. Gambar jaringan

b. Tentukan bij dan tij

c. Tentukan jalur kritisnya

d. Berapa probabilitas pekerjaan diselesaikan dalam waktu lebih dari 115 minggu

2.) Di bawah ini adalah waktu pembuatan Sepatu Kulit :

Kegiatan

Kegiatan

Sebelumnya

aij mij bij tij vij

RISET OPERASIONAL 2

31


A - 6 7 8

B - 6 8 10

C A,B 12 15 18

D C 11 12 13

E C 9 11 13

F E 14 17 20

G E 8 8 8

H F,G 9 10 11

I D,H 21 23 25

J A,B 7 10 13

K J 9 9 9

L I,K 18 19 20

M I,K 7 9 11

N M,N 10 13 16

Berdasarkan data diatas tentukan:

a. Gambar jaringan.

b. Tentukan Distribusi Beta

c. Tentukan jalur kritis.

d. Tentukan probabilitas proyek dikerjakan lebih dari 120 minggu.

3.) Berikut ini adalah waktu pembangunan Jalan

Kegiatan

Kegiatan

Sebelumnya

aij

bij

tij

A - 3 7 5

B - 12 14 13

C A,B 18 24 20

D C 10 16 13

E - 10 10 10

F E 14 18 16

G E 19 23 21

H F,G 26 30 28

I D 6 8 7

J D 15 15 15

Berdasarkan kasus di atas, maka tentukan :

b. Gambar jaringan

RISET OPERASIONAL 2

32


c. Tentukan mij dan vij

d. Tentukan jalur kritisnya

e. Berapa probabilitas pekerjaan diselesaikan dalam waktu lebih dari 65 minggu.

4.) Di bawah ini table perkiraan waktu perakitan sebuah Kendaraan pabrik :

Kegiatan

Kegiatan

Sebelumnya

aij mij bij tij vij

A - 11 14 9/9

B A 10 12 4/9

C A 18 19 1/9

D B,C 8 11 9/9

E - 21 23 4/9

F E 17 18 1/9

G F 9 9 0

H D,G 7 10 9/9

I H 15 17 4/9

J H 25 26 1/9

K B,C 13 13 0

L K,I,J 6 9 9/9

M K,I,J 14 16 4/9

N L,M 8 9 1/9

a. Gambar jaringan

b. Tentukan bij dan tij



5.) Di bawah ini adalah waktu pembuatan Proyek Subway :

Kegiatan

Kegiatan

Sebelumnya

aij mij bij tij vij

RISET OPERASIONAL 2

33


A - 11 14 17

B - 6 8 10

C A,B 17 18 19

D C 10 13 16

E C 7 9 11

F E 16 17 18

G E 7 7 7

H F,G 8 11 14

I D,H 19 21 23

J A,B 22 23 24

K J 10 10 10

L I,K 6 9 12

M I,K 16 18 20

N M,N 15 16 17


a. Gambar jaringan.

b. Tentukan Distribusi Beta



6.) Di bawah ini adalah waktu pembuatan proyek MRT :

Kegiatan

Kegiatan

Sebelumnya

aij mij bij tij vij

A - 12 18 15

B A 9 13 11

C B 9 11 10

D C 13 19 16

E C 11 15 13

F D,E 24 26 25

G - 8 8 8

RISET OPERASIONAL 2

34


H - 9 15 12

I G 15 19 17

J F,I 25 27 26

K H 9 9 9

L H 26 32 29

M J,K,L 17 21 19

N M 8 10 9


a. Gambar jaringan.

b. Tentukan mij dan vij



7.) Berikut ini disajikan perkiraan waktu kegiatan dalam pembuatan Steins Gate :

Kegiatan Kegiatan

Sebelumnya aij mij bij tij vij

A - 12 13 14

B A 22 25 28

C A 6 8 10

D B & C 15 17 19

E D 3 4 5

F - 8 11 14

G F 18 21 24

H G 2 2 2

I E & H 9 10 11

J D & I 21 22 23

K E & H 4 7 10

L I & K 12 14 16

M E & H 19 19 19

N F 12 15 18

O M & N 8 9 10

P L & O 3 5 7


a. Gambar jaringan

RISET OPERASIONAL 2

35


f. Tentukan Distribusi Beta

g. Tentukan jalur kritisnya

h. Berapa probabilitas pekerjaan diselesaikan dalam waktu lebih dari 96 minggu

8.) Di bawah ini adalah perkiraan waktu penyelesaian penyelesaian proyek perancangan XXXG-01D2

Gundam Deathscythe Hell:

Kegiatan Kegiatan

Sebelumnya aij mij bij tij vij

A - 3 7 5

B - 1 7 4

C B 16 16 16

D A & C 19 21 20

E A & B 20 22 21

F A & B 13 15 14

G E & F 5 11 8

H G 10 14 12

I A, C & H 23 25 24

J - 2 4 3

K E & F 4 10 7

L J & K 9 13 11

M D, I & L 18 20 19


a. Gambar jaringan

b. Tentukan mij dan vij



http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Mobile_Suit_Gundam_Wing_mobile_weapons#XXXG-01D2_Gundam_Deathscythe_Hell

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Mobile_Suit_Gundam_Wing_mobile_weapons#XXXG-01D2_Gundam_Deathscythe_Hell

RISET OPERASIONAL 2

36


BAB III ANALISIS MARKOV

1. Pendahuluan

Model Rantai Markov dikembangkan oleh seorang ahli Rusia A.A. Markov pada

tahun 1996. Pada umumnya Riset Operasional bertujuan untuk mengambil keputusan

yang optimal atas suatu permasalahan. Namun Analisis markov digunakan untuk

menghasilkan suatu informasi probabilistik yang dapat digunakan untuk membantu

pengambilan keputusan. Dengan kata lain teknik-teknik yang lain dalam Riset

Operasional pada umumnya merupakan teknik optimisasi sedangkan pada Analisis

Markov merupakan teknik deskriptif.

Rantai Markov adalah suatu teknik matematik yang biasa digunakan untuk

melakukan pembuatan model bermacam-macam sistem dan proses bisnis. Teknik ini

dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan-perubahan yang akan terjadi di waktu

yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar perubahan-perubahan

variabel tersebut di waktu lampau.

2. Ciri-ciri Proses Markov

Probabilitas Transisi adalah perubahan dari satu status ke status yang lain pada

periode (waktu) berikutnya dan merupakan suatu proses random yang dinyatakan dalam

probabilitas.

Untuk lebih jelasnya akan digunakan sebuah contoh kasus pada kendaraan

umum. Dalam kasus ini terdapat dua buah state (kondisi / status) yaitu narik dan mogok.

Jadi kendaraan umum tersebut akan selalu berada pada salah satu dari dua state tersebut,

jika tidak narik maka mogok.

Agar dapat digunakan dalam proses Markov dibutuhkan beberapa asumsi

seperti berikut :

a. Jika state kendaraan saat ini adalah narik maka hanya ada dua kemungkinan untuk

kondisi waktu (hari) berikutnya yaitu narik kembali atau mogok. Sehingga

jumlah probabilitas transisi pada setiap baris adalah satu.

b. Probabilitas transisi itu tidak akan berubah untuk selamanya.

c. Probabilitas transisi hanya tergantung pada status sekarang bukan status

periode sebelumnya.

RISET OPERASIONAL 2

37


3. Menyusun Probabilitas Transisi

Untuk menunjukkan cara penyusunan probabilitas transisi, akan digunakan

contoh kasus diatas dengan probabilitas-probabilitas sebagai berikut:

Status (saat ini) Banyaknya Mobil

Hari l Hari II

Narik 120 144

Mogok 100 76

Jumlah 220 220

Table 3.1

Hari l Hari II

Jumlah Narik Mogok

Narik 70 50 120

Mogok 74 26 100

Jumlah 144 76 220

Tabel 3.2

Dari tabel di atas dapat diperoleh Probabilitas Transisi sebagai berikut:

Hari l Hari II

Narik Mogok

Narik 70/120= 0,5833 50/120 = 0,4167

Mogok 74/100 = 0,74 26/100 = 0,26

Tabel 3.3

4. Probabilitas Tree

Probabilitas Tree merupakan cara yang mudah untuk menggambarkan sejumlah

terbatas transisi dari suatu proses Markov. Agar lebih jelas kita masih akan mengambil

contoh kasus di atas.

Semisal ingin diketahui :

a. Probabilitas hari ke-3 narik jika hari ke-1 narik

b. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 narik

RISET OPERASIONAL 2

38


c. Probabilitas hari ke-3 narik jika hari ke-1 mogok

d. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 mogok

Maka kita akan buat Probabilitas Tree dari kasus di atas sebagai berikut:

Hari ke-1 Hari ke-2 Hari ke-3

Probabilitas Tree hari ke-1 narik

Narik

Mogok

Narik

Narik

Narik

Mogok

Mogok

0,5833

0,5833

0,4167

0,4167

0,4167

0,5833

0,26

0,74

0,3402

0,2431

0,3084

0,1083

RISET OPERASIONAL 2

39


Hari ke-1 Hari ke-2 Hari ke-3

Probabilitas Tree hari ke-1 mogok

Dari gambar 3.1 dan Gambar 3.2 dapat kita jawab soal di atas, sehingga :

a. Probabilitas hari ke-3 narik, jika hari ke-1 narik = 0,3402 + 0,3084 = 0,6486

b. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 narik = 0,2431 + 0,1083 = 0,3514

c. Probabilitas hari ke-3 narik, jika hari ke-1 mogok = 0,4316 + 0,1924 = 0,642

d. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 mogok = 0,3084 + 0,0676 = 0,376

5. Pendekatan Matriks

Ada kalanya kita harus mencari probabilitas pada periode yang sangat besar,

misalkan periode hari ke-9, ke-10 dan seterusnya, akan sangat menyulitkan dan

membutuhkan media penyajian yang khusus jika kita menggunakan Probabilitas Tree.

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Pendekatan

Matriks Probabilitas

Adapun Matriks Probabilitas dari contoh kasus di atas adalah sebagai berikut:

0,5833 0,4167

0,74 0,26

Probabilitas kendaraan narik pada periode ke-i jika pada periode ke-1 narik,

dilambangkan dengan:

Mogok

Mogok

Narik

Narik

Narik

Mogok

Mogok

0,74

0,74

0,26

0,26

0,4167

0,5833

0,26

0,74

0,4316

0,3084

0,192

4

0,0676

RISET OPERASIONAL 2

40


Probabilitas Narik Nn (i) Periode ke-i

Status Awal Narik

Probabilitas kendaraan mogok pada periode ke-3 jika pada periode ke-1

mogok, dilambangkan dengan:

Probabilitas Mogok Mm (3) Periode ke-3

Status Awal Mogok

Jika kendaraan pada hari ke-1 narik maka berlaku probabilitas sebagai berikut:

Nn(l) = 1 sedangkan Mm(l) = 0

Jika probabilitas di atas disusun ke dalam vektor baris, maka kita dapatkan:

(Nn(l) Mm(l)) = (l 0)

Adapun rumus untuk mencari probabilitas periode berikutnya (i+1) adalah:

(Nn(i+1) Mn(i+1)) = (Nn(i) Mn(i)) x Matriks Probabilitas Transisi

Bila rumus di atas kita gunakan untuk mencari probabilitas hari ke-2, maka:

(Nn(2) Mn(2)) = (Nn(1) Mn(1)) ×

= (1 0) ×

= (0,5833 0,4167)

Terlihat bahwa hasilnya sama dengan yang diperoleh dengan menggunakan metode

Probabilities Tree. Dengan menggunakan cara yang sama kita akan dapatkan status untuk

periode-periode berikutnya sebagai berikut:

(Nn(3) Mn(3)) = (0,6486 0,3514)

(Nn(4) Mn(4)) = (0,6384 0,3616)

(Nn(5) Mn(5)) = (0,6400 0,3400)

(Nn(6) Mn(6)) = (0,6397 0,3603)

0,5833 0,4167

0,74 0,26

0,5833 0,4167

0,74 0,26

RISET OPERASIONAL 2

41


(Nn(7) Mn(7)) = (0,6398 0,3602)

(Nn(8) Mn(8)) = (0,6398 0,3602)

Terlihat bahwa perubahan probabilitas semakin lama semakin mengecil sampai

akhirnya tidak tampak adanya perubahan. Probabilitas tersebut tercapai mulai dari periode

ke-7, dengan probabilitas status:

(Nn(7) Mn(7)) = (0,6398 0,3602)

Ini berarti pemilik kendaraan dapat menarik kesimpulan bahwa jika awalnya

kendaraan berstatus narik, setelah beberapa periode di masa depan probabilitasnya narik

adalah sebesar 0,6398 dan probabilitasnya mogok adalah sebesar 0,3602.

Untuk perhitungan probabilitas status hari pertama mogok dapat kita cari dengan

metode yang sama dan akan kita dapatkan probabilitas yang akan sama untuk periode

selanjutnya, mulai dari periode ke-8. Adapun probabilitas pada periode ke-8 adalah:

(Nm(8) Mm(8)) = (0,6398 0,3602)

F. Probabilitas Steady State

Dalam banyak kasus, proses markov akan menuju pada Steady State

(keseimbangan) artinya setelah proses berjalan selama beberapa periode, probabilitas yang

dihasilkan akan bernilai tetap, dan probabilitas ini dinamakan Probabilitas Steady State. Dari

contoh di atas Probabilitas Steady Statenya adalah probabilitas narik sebesar 0,6398 dan

probabilitas mogok sebesar 0,3602.

Untuk mencari Probabilitas Steady State dari suatu Matriks Transisi, maka kita dapat

menggunakan rumus:

(Nn(i+1) Mn(i+1)) = (Nn(i) Mn(i)) x Matriks Probabilitas Transisi

Karena Steady State akan menghasilkan probabilitas yang sama pada periode ke

depan maka rumus tersebut akan berubah menjadi:

(Nn(i) Mn(i)) = (Nn(i) Mn(i)) x Matriks Probabilitas Transisi

Dari contoh kasus di atas dengan status hari ke-1 narik, maka kita dapatkan:

0,5833 0,4167

0,74 0,26

Untuk mengurangi keruwetan, periode (i) dapat kita hilangkan, karena pada saat Steady

State tercapai periode tidak akan mempengaruhi perhitungan. Sehingga perhitungan di

atas akan menjadi:

RISET OPERASIONAL 2

- 42 -


0,5833 0,4167

0,74 0,26

Dari perhitungan di atas akan menghasilkan persamaan berikut:

Nn = 0,5833Nn + 0,74Mn ............................................... (1)

Mn = 0,4167Nn + 0,26Mn .............................................. (2)

Karena salah satu ciri proses markov adalah:

Nn(i) + Mn(i) = 1, maka:

Nn + Mn = 1 Mn = 1 - Nn

Dengan menstubstitusikan Mn = 1 -Nn ke persamaan (1) didapatkan:

Nn = 0,5833Nn + 0,74(l -Nn)

Nn = 0,5833Nn + 0,74 - 0,74Nn

l,1567Nn = 0,74

Nn = 0,6398

Lalu kita masukkan nilai Nn = 0,6398 ke dalam persamaan (2) didapatkan:

Mn = 0,3602

G. Penggunaan Probabilitas Steady State

Dari contoh kasus kita ketahui bahwa Pemilik Kendaraan memiliki 220 kendaraan.

Dengan menggunakan Probabilitas Steady State yang sudah kita dapatkan, Pemilik dapat

mengharapkan jumlah kendaraan setiap harinya narik atau mogok sebanyak:

Narik : Nn x 220 = 0,6398 x 220= 140,756 atau sebanyak 141 kendaraan

Mogok : Mn x 220 = 0,3602 x 220= 79,244 atau sebanyak 79 kendaraan

Misalkan Pemilik kurang puas dengan tingkat operasi yang ada dan ingin

meningkatkannya, sehingga Pemilik mengambil kebijakan untuk menggunakan suku cadang

asli dalam setiap perawatan armada. Kebijakan ini membuat Matriks Probabilitas Transisi

berubah menjadi:

0,7 0,3

0,74 0,26

Artinya kebijakan ini membuat Probabilitas saat ini narik, lalu hari berikutnya

mogok menurun dari 0,4 menjadi 0,3. Probabilitas Steady State yang baru adalah:

(Nn Mn) = (Nn Mn) x

0,7 0,3

0,74 0,26

RISET OPERASIONAL 2

34


(Nn Mn) = (Nn Mn) x

Sehingga kita adpatkan persamaan berikut:

Nn = 0,7Nn + 0,74Mn………………………(1)

Mn = 0,3Nn + 0,26Mn……………………(2)

Substitusikan Nn = 1 - Mn ke persamaan (2), sehingga kita dapatkan:

Mn = 0,2885 dan Nn = 0,7116

Artinya setiap harinya Pemilik dapat mengharapkan kendaraan yang narik atau

mogok sebanyak:

Narik : Nn x 220 = 0,7116 x 220 = 156,55 atau sebanyak 157 kendaraan

Mogok : Mn x 220 = 0,2885 x 220 = 63,47 atau sebanyak 63 kendaraan

Kebijakan tersebut menghasilkan kenaikan operasional dari 141 kendaraan perhari

menjadi 157 kendaraan perhari. Dalam hal ini Pemilik harus mengevaluasi kebijakan ini,

apakah kenaikan pendapatan operasional dapat menutupi kenaikan biaya operasional karena

kebijakan ini. Misalkan karena kebijakan ini terjadi kenaikan biaya perawatan kendaraan

sebesar Rp. 1.000.000,- setiap harinya. Jadi bila kenaikan pendapatan operasional lebih

besar dari Rp. 1.000.000,- maka kebijakan tersebut layak untuk dijalankan.

Dari contoh ini menunjukkan bahwa Analisis Markov tidak memberikan solusi

atau keputusan, namun analisis tersebut memberikan informasi yang dapat membantu

pembuatan keputusan.

RISET OPERASIONAL 2

35


SOFTWARE TIME..

1. QSB

RISET OPERASIONAL 2

36


2. MARKOV PROCESS

3. ENTER NEW PROBLEM

4. Please name your problem : bebas isinya

RISET OPERASIONAL 2

37


5. HOW MANY STATES ARE THERE IN YOUR PROBLEM ? isi 2 (Karena narik dan mogok) 6. Do you know initial state probability? N

7. DO YOU WANT TO USE THE DEFAULT NAME OF STATE? N

8. ENTER NAME STATE : 1 : < Narik> 2:<Mogok>

RISET OPERASIONAL 2

38


9. Isi enter the transition probability ( isi datanya setelah data tersebut telah menjadi

satuan decimal) misal : narik : 70/120 = 0.5833, isi di softwarenya 0.5833

10. Solve problem

RISET OPERASIONAL 2

39


11. Nanti ada iteration terakhir adalah iteration buat cari steady state

RISET OPERASIONAL 2

40


OUTPUT SOFTWARE

RISET OPERASIONAL 2

41


SoaL AnaLisis Markov

1.) Sebuah Lapo telah berdiri sejak 3 tahun yang lalu. Sang Pemilik Lapo ingin mengetahui

perkembangan usahanya tersebut. Berikut ini data-data yang diperoleh Sang pemilik Lapo

selama 2 tahun :

Dalam waktu 2 tahun terakhir terdapat perubahan terhadap keuntungan dan kerugian

pada restorannya. Untuk data lebih jelasnya, lihat tabel dibawah ini :

Tahun 1 Tahun 2

Jumlah Untung Rugi

Untung 698 644 1342

Rugi 768 476 1244

Jumlah 1466 1120 2586

Ditanya:

a) Buatlah tabel probabilitasnya!

b) Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami rugi, jika pada tahun ke-1 rugi !

c) Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami untung, jika pada tahun ke-1 rugi !

d) Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami untung, jika pada tahun ke-1 untung

!

e) Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami rugi, jika pada tahun ke-1 untung !

f) Tentukan probabilitas pada kondisi Steady State

2.) Sebuah Toko Ikan Hias milik Bpk Malih yang dibuka sejak 3 bulan yang lalu, ingin

mengetahui selera pembeli terhadap aneka bunga pada tokonya. Untuk itu, ia memperoleh

data-ikan hias mana yang sering dibeli oleh pelanggan pada toko miliknya. Berikut tabelnya

:

Keterangan Tahun 1 Tahun 2

Untung 1342 1361

Rugi 1244 1225

Jumlah 2586 2586

RISET OPERASIONAL 2

42


Keterangan Bulan I Bulan II

Koi 2365 3539

Cupang 2432 1258

Jumlah 4797 4797

Adapun perubahan selera pembeli dari kedua ikan hias selama 2 bulan :

Bulan I Bulan II

Koi Cupang Jumlah

Koi 1218 1147 2365

Cupang 1089 1343 2432

Jumlah 2307 2490 4797

Dari data diatas tentukanlah:

a. Tabel Probabilitas Transisi.

b. Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli ikan cupang, jika pada

bulan pertama membeli ikan koi !

c. Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli ikan cupang, jika pada

bulan pertama membeli ikan cupang!

d. Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli ikan koi, jika pada bulan

pertama membeli ikan koi !

e. Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli ikan koi, jika pada bulan

pertama membeli ikan cupang!

f. Probabilitas pada kondisi steady state.

3.) Pada warung makan Ayam Tanpa Daging pemiliknya ingin mengurangi salah satu

porsi jenis sambal di warung makan tersebut karena ingin menambah jumlah proporsi

sambal yang lebih sering dipesan oleh pelanggan. Berikut ini data yang diperoleh

pemilik warung makan tersebut selama 2 Minggu terakhir :

RISET OPERASIONAL 2

43


Adapun perpindahan pelanggan pada warung makan, terlihat pada tabel berikut ini :

Minggu 1

Minggu 2

Sambal

Kacang

Sambal Kecap Jumlah

Sambal Kacang 1019 1003 2022

Sambal Kecap 610 1391 2001

Jumlah 1629 2394 4023


a. Tabel Probabilitas Transisi.

b. probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Sambal Kecap, jika pada minggu

pertama memilih Sambal Kacang!

c. probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Sambal Kacang, jika pada

minggu pertama memilih Sambal Kacang !

d. probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Sambal Kacang, jika pada

minggu pertama memilih Sambal Kecap !

e. probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Sambal Kecap, jika pada minggu

pertama memilih Sambal Kecap !

f. Probabilitas pada kondisi steady state.

4.) Seorang manager dari klinik TONG-SENG, ingin mengetahui perkembangan Kepuasan

pelanggannya yang berjumlah 2117 pelanggan. Manager tersebut melakukan pendataan

terhadap pelanggannya. Berikut ini data-data tersebut :

Keterangan Minggu

1 Minggu 2

Sambal Kacang 2022 2012

Sambal Kecap 2001 2011

Jumlah 4023 4023

RISET OPERASIONAL 2

44


Selama 2 minggu terdapat perubahan terhadap kepuasan pelanggan di klinik tersebut.

Di bawah ini data perubahan lebih jelasnya :

Minggu 1 Minggu 2

Jumlah Puas Tidak Puas

Puas 543 472 1015

Tidak Puas 752 260 1012

Jumlah 1385 732 2117

Dari data di atas :

a. Buatlah table probabilitas transisinya!

b. Tentukanlah probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Puas, bila pada

minggu pertama dia Tidak Puas!

c. Tentukanlah probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Puas, bila pada

minggu pertama dia Puas!

d. Tentukanlah probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Tidak Puas, bila

pada minggu pertama dia Tidak Puas!

e. Tentukanlah probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Tidak Puas, bila

pada minggu pertama dia Puas!

f. Tentukanlah probabilitas pada kondisi steady state!

5.) Seorang pelajar yang gemar menonton film di bioskop, ingin mengetahui bioskop

mana saja yang sering didatangi oleh teman-teman sekelasnya. Berikut ini data yang

diperoleh siswa tersebut selama 2 Bulan dari teman-temannya yang berjumlah 4232

orang :

Keterangan Bulan 1 Bulan 2

Bioskop ABC 2535 2699

Keterangan Minggu 1 Minggu 2

Puas 1015 998

Tidak Puas 1012 1119

Jumlah 2117 2117

RISET OPERASIONAL 2

45


Bioskop XYZ 1697 1533

Jumlah 4232 4232

Adapun perubahan terhadap kedua bioskop. Berikut lebih jelasnya :

Bulan 1 Bulan 2

Bioskop ABC Bioskop XYZ Jumlah

Bioskop ABC 1414 1121 2535

Bioskop XYZ 925 772 1697

Jumlah 2430 1893 4232

Maka tentukanlah :

a. Probabilitas Transisi-nya.

b. Probabilitas siswa bulan ke-3 menonton di Bioskop XYZ, jika bulan ke-1 menonton

di Bioskop ABC !

c. Probabilitas siswa bulan ke-3 menonton di Bioskop ABC, jika bulan ke-1 menonton

di Bioskop XYZ !

d. Probabilitas siswa bulan ke-3 menonton di Bioskop ABC, jika bulan ke-1 menonton

di Bioskop ABC!

e. Probabilitas siswa bulan ke-3 menonton di Bioskop XYZ, jika bulan ke-1 menonton

di Bioskop XYZ !

6.) Seorang Kepala Toko,ingin mengetahui perkembangan keaktifan karyawannya yang

berjumlah 4598 karyawan. Manager tersebut melakukan pendataan terhadap karyawannya.

Berikut ini data-data tersebut :

Selama 2 minggu terdapat perubahan terhadap hadir dan absent karyawan di klinik

tersebut. Di bawah ini data perubahan lebih jelasnya :

Keterangan Minggu 1 Minggu 2

Hadir 2299 2354

Absent 2299 2244

Jumlah 4598 4598

RISET OPERASIONAL 2

46


Minggu 1 Minggu 2

Jumlah Hadir Absent

Hadir 1232 1067 2299

Absent 1103 1196 2299

Jumlah 2335 2263 4598

Dari data di atas :

a. Buatlah table probabilitas transisinya!

b. Tentukanlah probabilitas seorang karyawan pada minggu ketiga Hadir, bila pada

minggu pertama dia Absent!

c. Tentukanlah probabilitas seorang karyawan pada minggu ketiga Hadir, bila pada

minggu pertama dia Hadir!

d. Tentukanlah probabilitas seorang karyawan pada minggu ketiga Absent, bila pada

minggu pertama dia Absent!

e. Tentukanlah probabilitas seorang karyawan pada minggu ketiga Absent, bila pada

minggu pertama dia Hadir!

f. Tentukanlah probabilitas pada kondisi steady state!

7.) Sebuah Restoran Sederhana telah berdiri sejak 3 tahun yang lalu. Sang Pemilik Restoran

ingin mengetahui perkembangan usahanya tersebut. Berikut ini data-data yang diperoleh

Sang pemilik restoran selama 2 tahun :

Dalam waktu 2 tahun terakhir terdapat perubahan terhadap keuntungan dan kerugian

pada restorannya. Untuk data lebih jelasnya, lihat tabel dibawah ini :

Tahun 1 Tahun 2

Jumlah Untung Rugi

Untung 148 138 286

Rugi 178 184 362

Keterangan Tahun 1 Tahun 2

Untung 286 400

Rugi 362 248

Jumlah 648 648

RISET OPERASIONAL 2

47


Jumlah 326 322 648

Ditanya:

a. Buatlah tabel probabilitasnya!

b. Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami rugi, jika pada tahun ke-1 untung !

c. Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami rugi, jika pada tahun ke-1 rugi !

d. Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami untung, jika pada tahun ke-1 untung !

e. Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami untung, jika pada tahun ke-1 rugi !

f. Tentukan probabilitas pada kondisi Steady State

8.) Sebuah Toko Aneka Bunga yang dimiliki Ibu Harum yang dibuka sejak 3 bulan yang

lalu, ingin mengetahui selera pembeli terhadap aneka bunga pada tokonya. Untuk itu, ia

memperoleh data-data aneka bunga mana yang sering dibeli oleh pelanggan pada Toko

miliknya. Berikut tabelnya :

Keterangan Bulan I Bulan II

Tulip 140 130

Anggrek 90 100

Jumlah 230 230

Adapun perubahan selera pembeli dari kedua aneka bunga selama 2 bulan :

Bulan I Bulan II

Tulip Anggrek Jumlah

Tulip 80 60 140

Anggrek 35 55 90

Jumlah 115 115 230


a. Buatlah Tabel Probabilitas Transisi!

b. Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli bunga anggrek, jika pada

bulan pertama membeli bunga tulip!

c. Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli bunga anggrek, jika pada

bulan pertama membeli bunga anggrek !

d. Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli bunga tulip, jika pada

bulan pertama membeli bunga tulip !

e. Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli bunga tulip, jika pada

bulan pertama membeli bunga anggrek !

f. Tentukan probabilitas pada kondisi Steady State

RISET OPERASIONAL 2

48


BAB IV

TEORI PENGAMBILAN KEPUTUSAN

1. Pengantar

Dalam Dunia bisnis para manajer sering dipaksa untuk mengambil berbagai

keputusan tanpa tersedianya informasi yang sempurna, keakurasian dan varibilitas

informasi yang diterima oleh para manajer pada hakikatnya di klasifikasikan menjadi tiga,

yaitu : Kepastian, Resiko, dan Ketidakpastian.

Model keputusan dalam kepastian (certainty) menggambarkan informasi yang

menunjukkan bahwa setiap rangkaian (kegiatan) mempunyai suatu hasil (pay off) tertentu

tunggal. Dalam hal ini tidak ada keacakan pada hasil keputusan-keputusan dengan kondisi

kepastian atau dengan kata lain semua informasi dianggap pasti. Misalnya kita akan

menyelesaikan masalah kombinasi dengan linear programming, maka besarnya kontribusi

marginal tiap produk serta tersedianya sumber daya yang dibutuhkan untuk memproduksi

produk tersebut dapat diketahui dengan pasti. Model seperti ini disebut model deterministik.

Model keputusan dengan resiko menggambarkan informasi yang mengidentifikasi

bahwa setiap rangkaian keputusan mempunyai sejumlah kemungkinan hasil dan

probabilitas terjadinya. Model resiko seperti ini disebut model stokastik.

Model keputusan ketidakpastian menggambarkan informasi yang menunjukkan,

semua atau beberapa hasil dari berbagai keputusan yang berbeda, tetapi probabilitas

terjadinya tersebut tidak dapat ditentukan.

Konsep - konsep dasar TPK

1. Keadaan dasar, sekumpulan peristiwa atau kejadian acak yang mungkin

mempengaruhi hasil keputusan.

2. Probabilitas, suatu probabilitas yang berkaitan dengan keadaan dasar

3. Keputusan, sekumpulan kegiatan yang mungkin diambil oleh pengambil keputusan

4. Payoff, sekumpulan laba atau biaya yang mungkin dihasilkan akibat dari kombinasi

keputusan dan keadaan pasar yang acak.

RISET OPERASIONAL 2

49


Contoh soal:

Sebuah perushaan mempunyai dana 200 milyar yang akan digunakan untuk

membuka cabang baru yaitu : Jalan A, Jalan B, Jalan C

Dari masalah di atas diasumsikan bahwa pengambil keputusan bersedia

menginvestasikan semua dana pada salah satu rencana. Payoff dari ketiga investasi

tersebut di dasarkan pada tiga kondisi ekonomi potensial yaitu: Ramai, Biasa, dan Sepi.

Berikut adalah matriks payoff pada masalah di atas.

Matriks payoff hasil investasi (dalam jutaan)

Alternative

Investasi

Prospek Ekonomi

Ramai Biasa Sepi

Jalan A 230 180 150

Jalan B 190 200 210

Jalan C 200 200 200

Pertanyaan:

1. Berdasarkan criteria maximin,maximax, minimax dan laplace, investasi mana

yang sebaiknya dilakukan.

2. Apabila probabilitas pada kondisi perekonomian itu diketahui yaitu sebesar 0,5

pada kondisi Ramai, 0,3 pada kondisi biasa, dan 0,2 pada kondisi sepi. Berapakah

Expected value, dan Expected regret

Jawab:

Kriteria Maximin

Kita buat matrik payoff minimum terlebih dahulu

Matriks payoff minimum

Alternative

Investasi

Payoff terkecil

(minimum)

Jalan A 150

Jalan B 190

Jalan C

Kriteria maximin adalah memilih keuntungan maksimal dari keuntungan yang

200

RISET OPERASIONAL 2

50


minimal, maka dari keuntungan di atas kita memilih Jalan C karena memiliki

keuntungan yang paling besar yaitu sebesar 200 juta.

Kriteria Maximax

Kita buat matriks payoff maksimum terlebih dahulu.

Matriks payoff maksimum

Alternative

Investasi

Payoff terbesar

(maksimum)

Jalan A

Jalan B 210

Jalan C 200

Kriteria maximax adalah memilih keuntungan maksimal dari keuntungan yang

maksimal, maka dari keuntungan di atas kita memilih Jalan A, karena memiliki

keuntungan yang paling maksimal yaitu sebesar 230 juta.

Kriteria Mini max (regret):

Kita buat matrix regretnya terlebih dahulu.

Matriks Regret

Alternatif

Investasi

Prospek Ekonomi

Ramai Biasa Sepi

Jalan A 0 20 60

Jalan B 40 0 0

Jalan C 30 40 10

Matriks regret tersebut diperoleh dari mengurangkan antara keuntungan yang paling

maksimum yang terdapat di dalam kolom matriks payoff dengan keuntungan

yang lain, misal pada kolom Ramai 230 - 230 maka akan menghasilkan 0 ; 230 - 190 maka

akan menghasilkan 40 ; dan 230 - 200 akan menghasilkan 30. Langkah selanjutnya sama

seperti pada kolom Ramai. Pada kolom Biasa dan Sepi pilih keuntungan yang paling

maksimum dan kurangkan dengan keuntungan yang lain yang terdapat pada kolom tersebut.

230

230

RISET OPERASIONAL 2

51


Matriks regret maksimum

Alternative

investasi

Regret

maksimum

Jalan A 60

Jalan B 40

Jalan C

Kriteria niinimax atau regret adalah memilih kerugian atau tingkat penyesalan

yang minimum dari kerugian atau penyesalan yang maksimum, maka dari hasil regret

maksimum diatas kita memilih Jalan C yaitu sebesar 30 juta karena memiliki kerugian

yang paling minimum.

Kriteria Laplace

Pada criteria ini diasumsikan bahwa probabilitas tidak diketahui oleh karena itu

probabilitas untuk setiap keuntungan dalam kondisi perekonomian dianggap sama.

Jalan A : 1/3 (230) + 1/3 (180) + 1/3 (150) = 186.67

Jalan B : 1/3 (190) + 1/3 (200) + 1/3 (210) = 200

Jalan C : 1/3 (200) + 1/3 (200) + 1/3 (200) = 200.01

Dari criteria laplace ini dipilih keuntungan yang paling besar yaitu Jalan C sebesar 200,01

juta.

Konsep keputusan nilai yang diharapkan (Expected Value)

Pada konsep ini nilai yang diharapkan diperoleh dari penjumlahan dari

keuntungan yang sebelumnya dikalikan terlebih dahulu dengan probabilitas dari

setiap kondisi.

n

Rumusnya adalah : E(x) = ∑ Pi I=1

n

Persamaan matematisnya adalah EPj = ∑ P(xi) f (xi,dj) I=1

30

RISET OPERASIONAL 2

52


Jawab:

E (Jalan A) = 230 (0,5) + 180 (0,3) + 150 (0,2) = 199

E (Jalan B) = 190 (0,5) + 200 (0,3) + 210 (0,2) = 197

E (Jalan C) = 200 (0,5) + 200 (0,3) + 200 (0,2) = 200

Dari hasil diatas maka pengambil keputusan sebaiknya memilih investasi pada Jalan

C karena memiliki expected value yang paling besar yaitu sebesar 200

Konsep expected regret

Pada konsep ini diperoleh hasil dengan menjumlahkan hasil perkalian antara

matriks regret dengan probabilitas yang ada pada kondisi suatu masalah

E regret Jalan A = 0 (0,5) + 20 (0,3) + 60 (0,2) = 18

E regret Jalan B = 40 (0,5) + 0 (0,3) + 0 (0,2) = 20

E regret Jalan C = 30 (0,5) + 0 (0,3) + 10 (0,2) = 17

Dari hasil diatas maka pengambil keputusan sebaiknya memilih investasi pada Jalan

C karena memiliki expected regret yang paling kecil yaitu 17

Catatan yang perlu diingat bahwa expected value dan expected regret menghasilkan

kesimpulan atau keputusan yang sama.

RISET OPERASIONAL 2

53



2. Pilih C - Decision/probability theory

3. Pilih 2- Enter New Problem

RISET OPERASIONAL 2

54


4. Please Name Your Ploblem using 20 character? Masukan nama

5. Selanjutnya Enter

6. Please enter the option number? 3

7. How many state of nature (0 to return) berdasarkan prospek ekonomi

yang ada ? 3

8. How many alternative (0 to return) berdasarkan alternative investasi?

3

RISET OPERASIONAL 2

55


9. Payoff represents :1—profit, 2—cost? 1

10. Enter data for payoff table analysis—probabilitas for state of nature

Isi S1 : 0.5 S2 : 0.3 S3 : 0.2

Kemudian enter dan space

11. Enter data for payoff table analysis—payoff values

RISET OPERASIONAL 2

56


State alternative 1

S1 A1: 230 A2: 190 A3: 200

S2 A1: 180 A2: 200 A3: 200

S3 A1: 150 A2: 210 A3: 200

Kemudian space dan enter

12. Pilih 5 – Solve problem

13. Pada payoff table analysis, pilih option yg diinginkan,

Kriteria maximin : 1

RISET OPERASIONAL 2

57


Kriteria maximax : 2

Kriteria minimax regret : 3

Kriteria Laplace : 5

Kriteria expected value : 4

Kriteria expected regret :6

Nb : Coba perhatikan apakah hasilnya sama dengan perhitungan manual??

Untuk lebih jelas silahkan perhatikan tutor dengan baik.. Output Softwarenya :

- Maximin

RISET OPERASIONAL 2

58


- Maximax

- Minimax (regret)

RISET OPERASIONAL 2

59


- Laplace

- Expected value

RISET OPERASIONAL 2

60


- Expected regret

RISET OPERASIONAL 2

61


Soal Latihan

1.) Tong-seng seorang pengusaha yang ingin sukses, mempunyai dana 800 juta yang akan

diinvestasikan pada 4 alternatif yaitu Emas, Rumah, Reksadana dan Tanah. Diasumsikan dana

tersebut akan diinvestasikan terhadap 3 alternatif tersebut. Pada saat investasi, kondisi pasar

berdasarkan atas Naik, Sedang dan Turun. Dan probabilitas kondisi pasar 0.41 pada kondisi Naik,

0.23 pada kondisi Sedang dan sisanya pada kondisi Turun.

Tabel Matriks pay off

Alternative

Investasi

Prospek Pasar

Naik Sedang Turun

Emas 1243 1551 1789

Rumah 1112 1211 1341

Reksadana 1267 1345 1678

Tanah 1334 1567 1679

Dari table Pay off diatas tentukan Maximin, Maximax, Minimax regret, Laplace investasi

Apabila dalam kondisi resiko probabilitas dari prospek pasar tersebut, investasi manakah

yang sebaiknya dipilih berdasarkan konsep expected value dan expected regret!

2.) PT. Malu-Malu Kucing ,Tbk. Mempunyai dana sebesar 400 milyar yang ingin diinvestasikan

terhadap 5 alternatif diantaranya Saham, Tanah, Obligasi, Rumah dan Berlian. Investasi tersebut

berdasarkan pada 3 kondisi yaitu High, Middle dan Low. Sedangkan probabilitas kondisi

perekonomiannya yaitu 0.34 pada kondisi High, 0.24 pada kondisi Middle dan 0.42 pada kondisi

Low.


Alternative

investasi

Prospek Ekonomi

High Middle Low

Saham 1210 1320 1410

Tanah 1230 1430 1560

RISET OPERASIONAL 2

62


Obligasi 1320 1410 1520

Rumah 1220 1490 1670

Berlian 1090 1340 1540


Apabila dalam kondisi resiko probabilitas dari prospek ekonomi tersebut, investasi manakah yang

sebaiknya dipilih berdasarkan konsep expected value dan expected

3.) Bpk Apoy pemilik Sate Lusinan ingin membuka cabang untuk satenya yang berpusat didaerah

Cilandak, Ragunan, Bekasi dan Kemang. Dan kondisi perekonomian terbagi atas Naik, Sedang dan

Turun.


Alternative

investasi

Prospek Ekonomi

Naik Sedang Turun

Cilandak 1299 1318 1419

Ragunan 1236 1515 1677

Bekasi 1456 1576 1878

Kemang 1254 1357 1474


Apabila dalam kondisi resiko probabilitas dari prospek ekonomi tersebut adalah Naik 0.26,

Sedang 0.57, dan sisanya Turun . Investasi manakah yang sebaiknya dipilih berdasarkan

konsep expected value dan expected regret!

4.) Bunga seorang pengusaha yang ingin sukses, mempunyai dana 900 juta yang akan

diinvestasikan pada 4 alternatif yaitu Emas, Intan, Reksadana dan Obligasi. Diasumsikan dana

tersebut akan diinvestasikan terhadap 4 alternatif tersebut. Pada saat investasi, kondisi pasar

berdasarkan atas Naik, Sedang dan Turun. Dan probabilitas kondisi pasar 0.44 pada kondisi Naik,

0.32 pada kondisi Sedang dan sisanya pada kondisi Turun.


Alternative Prospek Pasar

RISET OPERASIONAL 2

63


Investasi Naik Sedang Turun

Emas 1321 1432 1876

Intan 1212 1313 1414

Reksadanana 1342 1567 1877

Obligasi 1341 1418 1679




5.) PT. Jarang Dapet Untung ,Tbk. Mempunyai dana sebesar 750 milyar yang ingin diinvestasikan

terhadap 4 alternatif diantaranya Saham, Tanah, Obligasi dan Berlian. Investasi tersebut

berdasarkan pada 3 kondisi yaitu High, Middle dan Low. Sedangkan probabilitas kondisi

perekonomiannya yaitu 0.38 pada kondisi High, 0.23 pada kondisi Middle dan 0.39 pada kondisi

Low.


Alternative

investasi

Prospek Ekonomi

High Middle Low

Saham 1210 1320 1410

Tanah 1230 1430 1560

Obligasi 1320 1410 1520

Berlian 1090 1340 1540




6.) Bpk Juki pemilik Sate Kiloan ingin membuka cabang untuk satenya yang berpusat didaerah

Joglo, Babelan, Kranggan dan Bekasi. Dan kondisi perekonomian terbagi atas Naik, Sedang dan

Turun.


RISET OPERASIONAL 2

64


Alternative

investasi

Prospek Ekonomi

Naik Sedang Turun

Joglo 1394 1419 1515

Babelan 1136 1211 1479

Kranggan 1352 1474 1778

Bekasi 1259 1345 1475


Apabila dalam kondisi resiko probabilitas dari prospek ekonomi tersebut adalah Naik 0.27,

Sedang 0.47, dan sisanya Turun . Investasi manakah yang sebaiknya dipilih berdasarkan

konsep expected value dan expected regret!

7) Kosim seorang pengusaha yang ingin sukses, mempunyai dana 700 juta yang akan

diinvestasikan pada 3 alternatif yaitu Emas, rumah dan Tanah. Diasumsikan dana tersebut akan

diinvestasikan terhadap 3 alternatif tersebut. Pada saat investasi, kondisi pasar berdasarkan atas

Naik, Sedang dan Turun. Dan probabilitas kondisi pasar 0.45 pada kondisi Naik, 0.35 pada kondisi

Sedang dan sisanya pada kondisi Turun.


Alternative

Investasi

Prospek Pasar

Naik Sedang Turun

Emas 520 480 440

Rumah 515 483 460

Tanah 480 470 420




8). PT. Takut Rugi ,tbk. Mempunyai dana sebesar 300 milyar yang ingin diinvestasikan terhadap 3

alternatif diantaranya Saham, Tanah dan Obligasi. Investasi tersebut berdasarkan pada 3 kondisi

yaitu High, Middle dan Low. Sedangkan probabilitas kondisi perekonomiannya yaitu 0.42 pada

RISET OPERASIONAL 2

65


kondisi High, 0.34 pada kondisi Middle dan 0.24 pada kondisi Low.


Alternative

investasi

Prospek Ekonomi

High Middle Low

Saham 310 300 290

Tanah 350 320 300

Obligasi 420 345 315




RISET OPERASIONAL 2

66


BAB V

TEORI PERMAINAN (GAME THEORY)

Teori permainan adalah suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi

persaingan dan konflik antara berbagai persaingan. Teori ini dikembangkan untuk

menganalisa proses pengambilan keputusan dari situasi persaingan yang berbeda dan

melibatkan dua atau lebih kepentingan.

Kepentingan-kepentingan yang bersaing dalam permainan disebut pemain (players).

Anggapan yang digunakan adalah bahwa setiap pemain mempunyai kemampuan untuk

mengambil keputusan secara bebas dan rasional.

Teori permainan mula-mula dikemukakan oleh seorang ahli matematika Perancis

yang bernama Emile Borel pada tahun 1921. Kemudian, John Von Neumann dan Oskar

Morgenstern mengembangkan lebih lanjut sebagai alat untuk merumuskan perilaku

ekonomi yang bersaing.

Model teori permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara seperti jumlah

pemain, jumlah keuntungan dan kerugian serta jumlah strategi yang digunakan dalam

permainan. Sebagai contoh, bila jumlah pemain adalah dua, permainan disebut sebagai

permainan dua-pemain. Begitu juga, bila jumlah pemain adalah N (dengan N>3), ini

disebut permainan N-pemain.

Jika jumlah keuntungan dan kerugian adalah nol, disebut permainan jumlah-nol

atau jumlah-konstan. Sebaliknya bila tidak sama dengan nol, permainan disebut

permainan bukan jumlah nol (non zero - zum game).

Contoh :

Untuk pembahasan teori ini digunakan contoh permainan dua pemain jumlah nol.

Tabel 4.1 Matriks permainan dua pemain jumlah nol

Pemain A Pemain B

B1 B2 B3

A1 1 9 2

A2 8 5 4

Dari tabel diatas beberapa unsur dasar permainan ini adalah:

RISET OPERASIONAL 2

67


a. Angka-angka dalam matriks pay off (matriks permainan), menunjukkan hasil

dari strategi permainan yang berbeda. Dalam permainan dua pemain jumlah nol

ini, bilangan positif menunjukkan keuntungan bagi pemain baris dan

merupakan kerugian dari pemain kolom.

b. Anggapan yang digunakan adalah bahwa suatu strategi tidak dapat dirusak oleh

pesaing atau faktor lain.

c. Suatu trategi dikatakan dominan bila setiap pay off dalam strategi adalah

superior terhadap setiap pay off yang berhubungan dalam suatu strategi

alternatif. Contoh dalam permainan diatas untuk pemain A, strategi permainan

A1 didominasi oleh strategi A2.

d. Suatu strategi optimal adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang

menyeluruh yang menyebabkan seorang pemaian dalam posisi yang paling

menguntungkan tanpa memperhatikan kegiatan-kegiatan pesaingnya.

e. Tujuan model permainan adalah mengidentifikasikan strategi atau rencana

optimal untuk setiap pemain.

A. PERMAINAN STRATEGI MURNI (PURE-STRATEGY GAME)

Dalam permainan strategi murni, strategi optimal untuk setiap pemain adalah

dengan menggunakan strategi tunggal. Pemain baris mengidentifikasikan strategi

optimalnya melalui aplikasi kriteria maksimin(maximin) dan pemain kolom dengan

kriteria minimaks (minimax). Nilai yang dicapai harus merupakan maksimum dari

minimaks baris dan minimum dari maksimin kolom, titik ini dikenal sebagai titik pelana

(saddle point).

Bila nilai minimaks tidak sama dengan nilai maksimin maka permainan tidak

dapat dipecahkan dengan strategi murni harus menggunakan strategi campuran.

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Carilah nilai minimum baris dan maksimum kolom.

2. Dari nilai-nilai minimum setiap baris cari nilai maksimalnya atau disebut nilai

maksimin. Sedangkan dari nilai maksimum kolom tentukan satu nilai minimal

sebagai nilai minimaks.

3. Bila nilai minimaks sama dengan nilai maksimin, berarti strategi yang paling

optimal untuk masing-masing pemain telah ditemukan.

Dari contoh soal (tabel 4.1), penyelesaian teori permainannya adalah seperti tabel

RISET OPERASIONAL 2

68


berikut:

Pemain A Pemain B

Minimum Baris B1 B2 B3

A1 1 9 2 1

A2 6 5 (4) 4*(maks)

Maksimum

kolom 6 9 4*(min)

Dari hasil tabel diatas nilai maksimin dan minimaks sama, sehingga strategi

yang optimal untuk A adalah strategi A2 (baris dimana terdapat nilai maksimin) dan

untuk B adalah strategi B3 (strategi dimana terdapat nilai minimaks).

B. PERMAINAN STRATEGI CAMPURAN (MIXED-STRATEGY GAME)

Seperti dikatakan sebelumnya bahwa bila nilai maksimin dan minimaks tidak

sama. Penyelesaian soal adalah dengan strategi campuran. Untuk memperjelas

penjelasan strategi ini digunakan contoh berikut:

Tabel 4.3

Pemain A Pemain B

Minimum Baris B1 B2 B3

A1 2 5 7 2*(maks)

A2 -1 2 4 -1

A3 6 1 9 1

Maksimum kolom 6 5*(min) 9

Dari tabel diatas diketahui bahwa nilai maksimin tidak sama dengan nilai

minimaks. Dengan menerapkan aturan dominan maka strategi B3 didominasi oleh

strategi B2 sehingga kolom B3 dihapuskan. Demikian juga strategi A2 didominasi oleh

strategi A1 sehingga baris A2 dihilangkan. Matriks permainan berubah menjadi seperti

berikut :

Tabel 4.4

RISET OPERASIONAL 2

69


Pemain A Pemain B

Minimum Baris B1 B2

A1 2 5 2

A2 6 1 1

Maksimum Kolom 6 5

Karena nilai maksimin tetap tidak sama dengan nilai minimaks maka

penyelesaian permainan strategi ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode

grafik, metode aljabar matriks, metode analitis atau linear programming. Dibawah ini

hanya akan dijelaskan mengenai metode analitis dan linier programming.

a. Metode Analitis

Dalam pola ini kita menentukan suatu distribusi probabilitas untuk strategi-

strateg yang berbeda. Nilai-nilai probabilitas pay off dapat dihitung dengan cara

berikut:

* Untuk pemain A

Anggap bahwa digunakan strategi A1 dengan probabilitas P, dan untuk strategi A3

probabilitasnya 1-p. Jika strategi yang digunakan oleh B adalah B1 maka keuntungan

yang diharapkan A adalah:

2p + 6(1 -P) = 6 - 4p

Bila B menggunakan strategi B2, maka keuntungan yang diharapkan A adalah:

5p + 1(1 - p) = 1 + 4p

Strategi optimal untuk A diperoleh dengan menyamakan kedua payoff yang

diharapkan, sehingga diperolehnya:

6 - 4p = 1 + 4p

p = 0,625

Ini berarti pemain A harus menggunakan strategi A1 62,5% dan strategi A3

37,5%. Keuntungan yang diharapkan pemain A :

= 0,625 ( 2 ) + 0,375 ( 6 )

= 0,625 ( 5 ) + 0,375 ( 1 )

= 3,5

* Untuk pemain B

Dengan cara yang sama dapat dihitung pay off yang diharapkan untuk pemain B.

Probabilitas untuk strategi B1 adalah q dan B2 adalah 1 - q.

RISET OPERASIONAL 2

70


maka :

Kerugian B, jika A menggunakan strategi A1 adalah :

2q + 5 (1 - q) = 5 - 3q

Kerugian B, jika A menggunakan strategi A3 adalah :

6q + 1 (1 - q) = 1 + 5q

Strategi optimal untuk pemain B adalah :

5 - 3q = 1 + 5q

q = 0,50

Hasil ini berarti pemain B seharusnya menggunakan strategi B1 50% dan

strategi B2.

Kerugian yang diharapkan untuk pemain B:

= 0,50 ( 2 ) + 0,50 ( 5 )

= 0,50 ( 6 ) + 0,50 ( 1 )

= 3,5

b. Metode Linear Programming

Metode sebelumnya dalam penggunaan mempunyai ruang lingkup terbatas. Untuk

menyelesaikan permainan strategi campuran 3 x 3 atau dimensi yang lebih besar dapat

digunakan metode linier programming.

Untuk menerangkan teknik ini digunakan contoh permainan dua pemain jumlah nol

dalam tabel 4.4. Notasi yang digunakan :

V = nilai permainan

X1 dan X2 = probabilitas pemilihan strategi A1 dan strategi A3

Y1 dan Y2 = probabilitas pemilihan strategi B1 dan strategi B2

Dengan A sebagai maximizing player maka keuntungan yang diharapkan oleh A

dalam tanda ketidaksamaan >. Dengan demikian nilai keuntungan yang diharapkan

untuk pemain A adalah :

2X1 + 6X2 V (bila pemain B menggunakan strategi B1 seterusnya)

5X1 + 1X2 V (bila pemain B menggunakan strategi B2 seterusnya)

Diketahui bahwa :

X1 + X2 = 1 DAN X1 , X2 0

Dengan B sebagai minimazing player maka dapat dinyatakan kerugian yang

diharapkan oleh B dalam tanda ketidaksamaan ò.

RISET OPERASIONAL 2

71


Dengan demikian nilai kerugian yang diharapkan untuk pemain B adalah :

2Y1 + 5Y2 V (bila pemain A menggunakan strategi A1 seterusnya)

6Y1 + 1Y2 V (bila pemain A menggunakan strategi A3 seteturnya)

Diketahui bahwa :

Y1 + Y2 = 1 DAN Y1 , Y2 0

Dengan membagi setiap ketidaksamaan dan persamaan diatas dengan V diperoleh

:

* Untuk pemain A: * Untuk pemain B:

2X1 + 6X2 1 2Y1 + 6X2 1

5X1 + 1X2 1 5Y1 + 1Y2 1

X1 + X2 = 1/V Y1 + Y2 = 1/V

Kemudian dari masalah diatas diselesaikan dengan linear programming.

Rumusan masalah linear programming untuk A adalah :

Min : X1+ X2

Batasan-batasan : 2X1 + 6X2 1

5X1 + 1X2 1

X1 , X2 0

Rumusan masalah linear programming untuk B adalah :

Maks : Y1 + Y2

Batasan-batasan: 2Y1 + 5Y2 1

6Y1 + 1Y2 1

Y1 , Y2 0

Dengan menggunakan metode simpleks, nilai permainannya (V) diketahui

sebesar 3,5. Dari hasil nilai permainan ini selanjutnya dapat dicari nilai probabilitas

dari pemilihan masing-masing strategi sebagai berikut :

X1 = V . X1 Y1 = V . Y1

X2 = V . X2 Y2 = V . Y2

RISET OPERASIONAL 2

72


SOAL LATIHAN

1.) Dua buah Tim Basket dalam bertanding di suatu kejuaraan mempunyai masing-

masing alternatif yang berbeda untuk dapat menjadi pemenang dalam pertandingan

tersebut. Berikut ini taktik yang digunakan oleh kedua tim Badminton tersebut :

Tim Red Tim Blue

Taktik 1 Taktik 2 Taktik 3

Taktik 1 640 692 652

Taktik 2 664 635 676

Taktik 3 702 680 620

Tentukanlah taktik mana yang harus dipilih dan berapa jumlah kemenangan yang

didapat masing-masing Tim tersebut ?

2.) Dua perusahaan yang bergerak di bidang manufaktur, mempunyai 3 strategi untuk

bersaing untuk menambah laba bagi kedua perusahaan tersebut. 3 strategi yang

digunakan sebagai berikut :

PT.Gaul PT.Keren

Strategi 1 Strategi 2 Strategi 3

Strategi 1 325 245 232

Strategi 2 255 297 265

Strategi 3 320 348 212

Strategi mana yang akan dipilih oleh kedua perusahaan tersebut dan berapa

customer yang didapatkan ?

3.) Dua perusahaan game, pada waktu yang bersamaan meluncurkan produksi game terbarunya.

Kedua perusahaan saling bersaing agar penjualan game terbarunya tersebut menduduki posisi

tertinggi dalam pasar dan mendapatkan rating yang besar. Untuk itu, kedua perusahaan

menyiapkan alternatif strategi berbeda untuk mempromosikan game terbarunya. Berikut adalah

alternatif strategi dari kedua perusahaan dan perkiraan jumlah rating yang diperoleh :

Resident Evil 6

Assassin’s Creed 3


RISET OPERASIONAL 2

73


Strategi 1 2345 1991 2112

Strategi 2 2321 2012 1234

Strategi 3 2222 2729 2332

Tentukanlah strategi mana yang harus dipilih dan berapa jumlah nilai/rating yang didapat oleh masing-

masing perusahaan?

4.) Kedua calon Gubernur saat pemilihan gubernur yang baru harus mempersiapkan

topik untuk kampanye keduanya agar terpilih menjadi gubernur yang baru. Kedua calon

tersebut mempunyai 3 topik yang saling berbeda. Berikut ini perkiraan suara yang akan

didapat kedua calon dari ketiga topik yang dimiliki :

Gubernur 1 Gubernur 2

Topik 1 Topik 2 Topik 3

Topik 1 430 520 470

Topik 2 425 493 500

Topik 3 600 278 356

Tentukan topik mana yang akan dipilih oleh kedua calon Gubernur dan berapa nilai

permainan "Kampanye gubernur" tersebut ?

5.) Dua perusahaan yang bergerak di bidang manufaktur, mempunyai 3 strategi untuk



PT.Caur PT.Koplak


Strategi 1 323 247 230

Strategi 2 255 291 265

Strategi 3 320 359 218



6.) Kedua calon Camat saat pemilihan camat yang baru harus mempersiapkan topik

untuk kampanye keduanya agar terpilih menjadi camat yang baru. Kedua calon tersebut

mempunyai 3 topik yang saling berbeda. Berikut ini perkiraan suara yang akan didapat

RISET OPERASIONAL 2

74


kedua calon dari ketiga topik yang dimiliki :

Camat 1

Camat 2

Topik 1 Topik 2 Topik 3

Topik 1 1364 1721 1553

Topik 2 1949 1112 1766

Topik 3 1837 1991 1174

Tentukan topik mana yang akan dipilih oleh kedua calon Camat dan berapa nilai

permainan "Kampanye Camat" tersebut ?

7) Dua buah Event Organizer menyelenggarakan 2 konser musik disaat hari yang sama,

saling bersaing untuk mendapatkan rating yang besar bagi masing-masing konser musik

dan Event Organizer tersebut. Kedua Konser musik tersebut mempunyai strategi yang

berbeda untuk menarik perhatian besar penontonnya. Berikut ini strategi kedua konser

musik:

Konser Musik

Rock

Konser Musik Pop


Strategi 1 30 17 12

Strategi 2 8 12 15

Strategi 3 19 32 5

Tentukan stretegi mana yang dipilih dan berapa jumlah rating yang didapat oleh

kedua konser musik tersebut ?

8) Dua perusahaan yang bergerak di bidang manufaktur, mempunyai 3 strategi untuk



PT.Keren PT.Gaul


Strategi 1 1200 900 750

Strategi 2 650 500 1500

Strategi 3 650 800 1200



Modul Or2 Fix

Documents

Transcript of Modul Or2 Fix