Modul operasi dan faktorisasi hitung aljabar

“OPERASI HITUNG DAN FAKTORISASI SUKU ALJABAR”

DI SUSUN OLEH :

YOLANDHA TRI PUTRI (06101408010)REZKI YURIKA CANDRA (06101408027)

JARIYAH (06101408036)YOSI TRIA ELFA (06101408032)

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

FAKTORISASI SUKU ALJABAR

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum.Wr.Wb

Puji syukur kami panjatkan kepada ALLAH SWT karena berkat rahmat, bantuan,

serta petunjuknyalah saya dapat menyelesaikan makalah mata kuliah telaah matematika

sekolah menengah II ini dengan tepat waktu. Dimana makalah ini di buat untuk keperluan

pembelajaran pada mata kuliah telaah matematika sekolah menengah II yang diadakan pada

semester 4 ini.

Adapun sedikit penjelasan dari makalah yang kami buat ini yakni, makalah ini

membahas mengenai operasi hitung dan faktorisasi suku aljabar. Di dalam makalah ini

dibahas antara lain mengenai penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pecahan,

serta faktorisasi suku aljabar. Di sini, kami mencoba menjelaskan secara rinci mengenai hal-

hal tersebut, supaya isi dari makalah ini mudah di pahami oleh para pembaca dan khususnya

kami sendiri.

Akhirnya, tak ada gading yang tak retak. Begitupun makalah ini, mungkin jauh dari

kesempurnaan. Maka dari itu, kami akan berusaha untuk selalu menyajikan yang lebih baik

dikemudian hari. Kami pun berharap agar makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca serta

untuk kami sendiri sebagai penulis khususnya.

Demikianlah, jika ada hal yang salah dalam makalah ini kami mohon maaf, kepada ALLAH

saya mohon ampun.

Wassalamualaikum. Wr.Wb

Penulis


DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR..................................................................................................... i

DAFTAR ISI................................................................................................................... ii


A. PENGERTIAN SUKU PADA BENTUK ALJABAR......................................... 1

1. Suku tunggal dan suku banyak......................................................................... 1

2. Suku-suku sejenis.............................................................................................. 1

Latihan soal

B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR............................................. 4

1. Penjumlahan dan penguranganbentuk aljabar................................................... 4

2. Perkalian bentuk aljabar.................................................................................... 5

3. Pembagian bentuk aljabar.................................................................................. 5

4. Pemangkatan bentuk aljabar.............................................................................. 6

Latihan soal

C. FAKTORISASI BENTUK ALJABAR................................................................ 10

a. Faktorisasi dengan hukum distributif............................................................... 10

b. Faktorisasi bentuk x2 + 2xy + y2 dan x2 - 2xy + y2.......................................... 11

c. Faktorisasi selisih dua kuadrat......................................................................... 11

d. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a =1................................................... 12

e. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠1................................................... 13

Latihan soal

D. OPERASI PECAHAN DALAM BENTUK ALJABAR..................................... 16

a. Menyederhanakan pecahan aljabar................................................................... 16

b. Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar............................................... 16

c. Perkalian dan pembagian pecahan aljabar........................................................ 18

d. MenyederhanAkan pecahaN bersusun.................................................................19

Latihan soal

LATIHAN SOAL FAKTORISASI SUKU ALJABAR........................................... 22

DAFTAR PUSTAKA................................................................................................ 23



A. PENGERTIAN SUKU PADA BENTUK ALJABAR

1. SUKU TUNGGAL DAN SUKU BANYAK

Bentuk-bentuk seperti 4a, -5a2b, 2p+5, 8x-4y+9 dan 6x2 + 3xy -8y disebut bentuk

aljabar. Bentuk aljabar seperti 4a dan -5a2b disebut bentuk aljabar suku satu atau suku

tunggal. Bentuk aljabar seperti 2p+5 dan 7p2 –pq disebut bentuk aljabar suku dua atau binom.

i) Bentuk 2p + 5 terdiri dari 2 suku yakni, 2p dan 5

ii) Bentuk 7p2 – pq juga terdiri dari 2 suku yakni, 7p2 dan pq

Bentuk aljabar seperti 6x2 + 3xy -8y disebut bentuk aljabar suku tiga atau trinom.

i) Bentuk 6x2 + 3xy -8y terdiri dari 3 suku, yakni 6x2, 3xy, dan -8y.

Bentuk aljabar yang terdiri dari 3 suku atau lebih disebut suku banyak atau

polinom,misalnya:

i) P3 + 2p2 – 7p – 8 (suku empat)

ii) 9x3 + 4x2y – 5x + 8 – 7y2 ( suku lima).

Contoh soal :

Tentukanlah banyak suku pada bentuk alajabar berikut ini !

4a – 5a + 2ab

Penyelesaian :

Banyak suku pada 4a – 5a + 2ab adalah 3, yaitu 4a, -5a dan 2ab

2. SUKU-SUKU SEJENIS

Perhatikan bentuk aljabar 5a dan -7xy !. pada bentuk 5a, 5 disebut koefisien dan a disebut

variabel (peubah), dan pada bentuk -7xy, -7 adalah koefisien dan xy adalah variabel (peubah).

Selanjutnya perhatikan bentuk aljabar berikut :

12x2 – 9x + 7xy – 8y – 4x2 + 5y

Bentuk aljabar diatas terdiri 5 suku, yaitu 12x2, 9x, 7xy, 8y, 4x2, dan 5y, dan memiliki suku-

suku yang sejenis,yaitu

i) 12x2 dan -4x2

ii) -8y dan 5y


Dari contoh diatas dapat diketahui bahwa ciri untuk suku sejenis adalah memiliki variabel

yang sama, dan variabel yang sama itu harus memiliki pangkat yang sama juga. Dengan kata

lain, suku-suku yang sejenis hanya berbeda pada koefisienya.

12x2 dan -9x bukan suku sejenis, karena x2 tidak sama (tidak sejenis) sengan x.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa

“suku yang sejenis pada aljabar memiliki variabel-variabel yang sama dan pangkat dari

masing-masing variabel-variabel juga sama”.

Contoh soal :

Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut ini !

6a – 5ab + 12a – 10

Penyelesaian :

Suku-suku yang sejenis pada 6a – 5ab + 12a – 10 adalah 6a dan 12a.


LATIHAN SOAL :

1. Tentukan banyak suku aljabar pada bentuk aljabar berikut ini 2x4 – 5x3 – 4x2 + 7x !

2. Tentukan banyak suku aljabar pada bentuk aljabar berikut 9x3 – 4y2 -6x3 + 2y2 -8y !

3. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut ini 9k + 8m – 4km –

15k + 7km !

4. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut ini 7p2 – 8p2q – 11p2 +

p2q + 12pq2 !

5. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut ini 10x3 – 5x3y2 – 4x3 +

15y2 + 8x2y3 – 17y2 !


B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK ALJABAR

Untuk menentukan hasil penjumlahan dan hasil pengurangan pada bentuk aljabar,

perlu diperhatikan hal-hal berikut :

a. Suku-suku sejenis.

b. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan,

yaitu :

i) ab + ac= a(b+c) atau a(b+c) = ab + ac

ii) ab – ac = a (b – c ) atau a ( b - c) = ab – ac

c. Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu :

i) Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

ii) Hasil perkalian bilangan bulat negatif adalah bilangan posotif.

iii) Hasil perkalian bilanagn ulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah

bilangan bulat negatif.

Dengan menggunakan ketentuan-ketentuan diatas, maka hasil penjumlahan maupun hasil

pengurangan pada bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan

memperhatikan suku-suku sejenis.

“ hasil penjumlahan dan pengurangan dalam bentuk aljabar dapat diserhanakan dnegan cara

mengelompokkan dan menyederhanakan suku-suku yang sejenis”.

Contoh soal :

1. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. 6mn + 3mn

b. 16x + 3 + 3x + 4

c. –x – y + x – 3

penyelesaian :

a. 6mn + 3mn = 9mn

b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4 = 19x + 7

c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3 = –y – 3

2. Tentukan hasil dari:

a. penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 dan –4x2 – 2xy + 10,

b. pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari 4p2 – 10p – 5.

Penyelesaian :


a. 10x2 + 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10) = 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10 = 6x2 + 4xy – 2

b. (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15) = 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15 = –4p2 – 20p – 20

2. PERKALIAN BENTUK ALJABAR

Pada perkalian dua dan suku banyak yang perlu diperhatikan yakni

1. x ( x + k ) = x(x) + x(k) = x2 + kx

2. x ( x + y + k ) = x(x) + x(y) + x(k) = x2 + xy + kx

3. (x + p)(x + q) = x(x) + x(q) + p(x) + p(q) = x2 + (p + q)x + pq

4. (x + p)( x + q + r) = x(x) + x(q0 +x(r) + p(x) + p(q) + p(r)

= x2 + xq + xr + px + pq + pr

= x2 + ( p + q + r )x + p(q+r)

Contoh soal :

1. Tentukan perkalian bentuk aljabar berikut :

a. 2(x + 3) b. 3x(y + 5)

penyelesaian :

a. 2(x + 3) = 2x + 6 b. 3x(y + 5) = 3xy + 15x

2. Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan.

a. (x + 5)(x + 3) c. (2x + 4)(3x + 1)

b. (x – 4)(x + 1) d. (–3x + 2)(x – 5)

Penyelesaian :

a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3 = x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15

b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1 = x2 – 4x + x – 4 = x2 – 3x – 4

3. PEMBAGIAN BENTUK ALJABAR

Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor-faktor yang sama, maka hasilo pembagian

kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan

memperhatikan faktor-faktor yang sama.

Bentuk aljabar 3a dan a memiliki faktor yang sama yaitu a, sehingga hasil pembagian

3a dan a dapat disederhanakan, yaitu 3a : a = 3. Demikian hal nya dengan 6xy dan 2y yang

memiliki faktor yang sama 2y sehingga 6xy : 2y = 3x.

Selain itu ada juga perkalian dan pembagian bilangan berpangkat, yakni :

am x an = am + n dan am : an = am – n


contoh soal :

Tentukan hasil pembagian berikut.

a. 8x : 4 c. 16a2b : 2ab b. 15pq : 3p d. (8x2 + 2x) : (2y2 – 2y)

penyelesaian :

4. PEMANGKATAN BENTUK ALJABAR

a. Arti pemangkatan bentuk aljabar

Pemangkatan suatu bilangan diperoleh dari perkalian berulang untuk bilangan yang

sama. Jadi, untuk sebarang bilangan a, maka a2 = a x a, hal ini juga berlaku pada bentuk

aljabar, misalnya :

3a2 = 3 x a x a

(3a)2 = 3a x 3a

-(3a)2 = -(3a x 3a)

2x3 = 2 . x . x . x

(2x)3 = 2x x 2x x 2x

-(2x)3 = - ( 2x x 2x x 2x )

(-2x)3 = (-2x) x (-2x) x (-2x)

Dalam pemangkatan bentuk aljabar perlu dibedakan pengertian-pengertian berikut :

i) 3a2 dan (3a)2

Pada bentuk 3a2, yang dikuadratkan hanya a, sedangkan pada bentuk (3a)2, yang

dikuadratkan adalah 3a. Jadi, 3a2 tidak sama dengan (3a)2.

ii) -(3a)2 dan (-3a)2

Pada bentuk -(3a)2, yang dikuadratkan hanya 3a, sedangkan pada bentuk (-3a)2, yang

dikuadratkan adalah -3a. Jadi, -(3a)2 tidak sama dengan (-3a)2.

Contoh soal :

Tentukan hasil pemangkatan aljabar berikut ini !

a. (5ab)2 b. -(6x)2


http://www.crayonpedia.org/mw/Berkas:Jawab_aljabar_1.jpg

Penyelesaian :

a. (5ab)2 = (5ab) x (5ab) = 25a2b2

b. -(6x)2 = - (6x2 x 6x2) = - 36x4

b. Pemangkatan suku dua

Dalam menentukan hasil pemangkatan suku dua, koefisien dari hasil-hasilo

pemangkatan dapat ditentukan dengans egitiga pascal berikut ini :

Pada segitiga pascal diatas terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah dua

bilangan yang berdekatan yang terletak pada baris yang tepat berada diatasnya.

Hubungan antara segitiga pascal dengan pemangkatan suku dua ditunjukan seperti berikut :

Bilangan-bilangan pada segitiga pascal diatas merupakan koefisien pada hasil pemangkatan

bentuk aljabar suku dua.

Koefisien dari suku-suku pada hasil pemangkatan suku dua diperoleh dari bilangan pada

segitiga pascal

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. (a + b )3 = a3 + 2a2b + 3ab2 + b3

3. (a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

4. (a + b )5 = a5 + 5a2b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Perhatikan, pangkat dari a turun, dan pangkat dari b naik.


http://www.crayonpedia.org/mw/Berkas:Pascal.jpg

http://www.crayonpedia.org/mw/Berkas:Pascal2.jpg

Contoh soal :

c. Pengkuadratan suku tiga

Pengkuadratan suku tiga dapat dijabarkan denngan pengkuadratan suku dua seperti berikut

ini :

(a + b + c)2 = [(a + b)]2

= (a + b)2 + 2(a + b )(c) + c2

= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Contoh soal :

Tentukanlah hasil pengkuadratan berikut ini :

(a + b – c )2

Penyelesaian :

(a + b – c )2 = a2 + 2ab + b2 + 2a(-c) + 2b(-c) +(-c)2

= a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc



LATIHAN SOAL :

1. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. –x – y + x – 3

b. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p

c. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2

2. Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.

a. –5(9 – y) b. –9p(5p – 2q)

3. Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan.

a. (x + 5)(x + 3) c. (2x + 4)(3x + 1)

b. (x – 4)(x + 1) d. (–3x + 2)(x – 5)

4. Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut ini :

a. 8x6 : (12x4 : 3x3)

b. (6a5b x 4ab4) : 8a4b3

5. Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut ini !

a. (4p2q2)3

b. (3y2 – 2y)4

6. Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut ini !

a. (a2 + b2 + c2 )2

b. (5a2 – 4b2 – 7c2)2


C. FAKTORISASI BENTUK ALJABAR

1. FAKTORISASI DENGAN HUKUM DISTRIBUTIF

Hukum distributif dapat dinyatakan sebagai berikut :

ab + ac = a ( b + c ), dengan a, b, dan c sebarang bilangan nyata. Dimana, ab + ac adalah

bentuk penjumlahan dan a ( b + c ) adalah bentuk perkalian.

Bentuk diatas menunjukan, bahwa suatu bentuk penjumlahan dapat dinyatakan dalam

bentuk perkalian jika suku-suku dalam bentuk penjumlahan memiliki faktor yang sama

(faktor persekutuan).

Menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku menjadi bentuk perkalian faktor-faktor

disebut faktorisasi atau memfaktorkan.

Dengan demikian, bentuk ab + ac dengan faktor persekutuan a dapat difaktorkan

menjadi a(b + c) sehingga terdapat dua faktor, yaitu a dan b + c

“Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian. Bentuk

penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat difatorkan dengan

menggunakan hukum distributif “.

Contoh soal :

Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. 5ab + 10b b. 2x – 8x2y

penyelesaian :

a. 5ab + 10b

Untuk memfaktorkan 5ab + 10b, tentukan faktor persekutuan dari 5 dan

10, kemudian dari ab dan b. Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5.

Faktor persekutuan dari ab dan b adalah b.

Jadi, 5ab + 10b difaktorkan menjadi 5b(a + 2).

b. 2x – 8x2y

Faktor persekutuan dari 2 dan –8 adalah 2. Faktor persekutuan dari x dan x2y adalah

x.

Jadi, 2x – 8x2y = 2x(1 – 4xy).


a(b + c)

a b + c

faktorfaktor

2. FAKTORISASI BENTUK X2 + 2XY + Y2 DAN X2 – 2XY + Y2

Sebelumnya telah dipelajari bahwa pengkuadratan suku dua dapat dijabarkan seperti

berukut :

1. (x +3)2 = x2 + 6x + 9

2. (3x – 4)2 = 9x2 – 24x + 16

Dari contoh-contoh diatas, diperoleh bahwa hasil pengkuadratan suku dua menghasilkan suku

tiga dengan ciri-ciri sebgai berikut :

i) Suku pertama dan suku ketiga merupakan bentuk kuadrat.

ii) Sukutengah merupakan hasil kali 2 terhadap akar kuadrat suku pertama dan akar

kuadrat suku ketiga.

Dengan demikian, dengan bentuk penjumlahan diatas dapat difaktorkan dengna cara berikut :

x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2(x)(3) + (3)2

= (x + 3)2

Contoh soal :

Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut ini !

a. a2 + 10a + 25

b. x2 – 18x + 81

penyelesaian :

a. a2 + 10a + 25 = (a)2 + 2(a)(5) + (5)2 = (a + 5 )2

b. x2 – 18x + 81 = (x)2 – 2(x)(9) + (9)2 = (x – 9)2

3. FAKTORISASI SELISIH DUA KUADRAT

Untuk setiap bilangan cacah x dan y, telah dijelaskan bahwa (x + y)(x – y) dapat dijabarkan

sebagai berikut.

(x + y)(x – y) = x2 + xy – xy – y2

= x2 – y2


X2 + 6x + 9

(X)2 (3)2

2(x)(3)

X2 + 2xy + y2 = (x + y)2

X2 – 2xy + y2 = (x - y)2

Bentuk diatas dapat juga ditulis sebagai bentuk faktorisasi,k yaitu :

x2 + y2 = (x + y)(x – y)

bentuk x2 + y2 pada ruas kiri disebut selisih dua kuadrat, karena terdiri dari 2 suku yang

masing-masing merupakan bentuk kuadrat, dan merupakan bentuk pengurangan (selisih).

Sedangkan pada ruas kanan, yaitu (x + y)(x – y), merupakan bentuk perklaian faktor-faktor.

Dengan demikian, bentuk x2 – y2 = (x + y)(x – y) meruopakan rumus untuk pemfaktoran

selisih dua kuadrat.

Faktorisasi selisih dua kuadrat adalah :

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Contoh soal :

Faktorkan bentuk-bentuk berikut.

a. p2 – 4 b. 25x2 – y2

Penyelesaian :

a. p2 – 4 = (p + 2)(p – 2)

b. 25x2 – y2 = (5x + y)(5x – y)

4. FAKTORISASI BENTUK ax2 + bx + c dengan a = 1

Pada bahasan ini, akan dipelajari pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1.

Misalnya, bentuk seperti berikut ini.

x2 + 10x – 21, berarti a = 1, b = 10 dan c = -21

Pada bentuk ax2 + bx + c, a disebut koefisien x2, b koefisien x dan c bilangan tetap atau

konstan(tetap).

Untuk x2 + 10x – 21, maka koefisien x2 = 1, koefisien x = 10 dan -21 adalah bilangan kostan.

Untuk memahami pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1 yang selanjutnya

dapat kita tulis x2 + bx + c , perhatikanlah uraian berikut ini.

(x + 3)(x + 4) = x2 + 4x + 3x + 12 = x2 + 7x + 12

Dari contoh diatas, diperoleh hubungan seperti berikut :

x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

ternyata memfaktorkan bentuk x2 + bx + c dapat dilakukan dengan cara menentukan

pasangan bilangan yang memenuhi syarat sebagai berikut.


3 + 4 3 x 4

i) Bilangan konstan c merupakan hasil perkalian

ii) Koefisien x, yaitu b maerupakan hasil penjumlahan.

Faktorisasi bentuk x2 + bx + c adalah :

x2 + bx + c = ( x + p)(x + q)

dengan syarat c = p x q dan b = p + q

Contoh soal :

Faktorkanlah bentuk berikut.

x2 + 5x + 6

penyelesaian:

a. x2 + 5x + 6 = (x + …) (x + …)

Misalkan, x2 + 5x + 6 = ax2 + bx + c, diperoleh a = 1, b = 5, dan c = 6.

Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6 dan

apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 5. Faktor dari 6

adalah 6 dan 1 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan

Jadi, x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

5. FAKTORISASI BENTUK ax2 + bx + c dengan a ≠ 1

Pada bahasan sebelumnya telah dibahas perkalian suku dua dengan suku dua seperti

berikut ini.

(2x + 3)(4x + 5) = 8x2 + 10x + 12x + 15

= 8x2 + 22x + 15

Dari skema pada ruas kanan dapat disimpulkan bahwa untuk memfaktorkan 8x2 + 22x + 15

terlebih dahulu 22x diuraikan menjasi 2 suku dengan aturan sebagai berikut :

1) Jika kedua suku itu dijumlahkan, maka akan menghasilkan koefisien x.

2) Jika kedua suku itu dilkalikan, maka hasilnya sama dengan hasil kali koefisien x2

dengan bilangan konstan.

Dengan demikian, pemfaktoran 8x2 + 22x + 15 dapatdilakukan dengan cara berikut.

8x2 + 22x + 15 = 8x2 + 10x + 12x + 15

= 2x(4x + 5) + 3(4x + 5)


8 x 15 = 120

10 x 12 = 120

= (4x + 5)(2x + 3)

Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 dilakukan

dengan langkah sebagai berikut.

ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c

p q

p x q = a x c dan p + q = b

Contoh soal :

Faktorkan bentuk berikut

2x2 + 11x + 12

Jawab:

a. 2x2 + 11x + 12 = 2x2 + 3x + 8x + 12

= (2x2 + 3x) + (8x + 12)

= x(2x + 3) + 4(2x + 3)

= (x + 4)(2x + 3)

Jadi, 2x2 + 11x + 12 = (x + 4)(2x + 3).


ac

LATIHAN SOAL :

1. Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut ini !

a. 3a +9b + 6c

b. 8p2q – 16 pq2 + 24pq

2. Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut inidengan terlebih dahulu memfaktorkan suku

dua yang pertama dan suku dua berikutnya !

a. ac + bc + 4a + 4b

b. 2mp – 4mq – 10nq + 5np

3. Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut!

a. 16a2 + 24ab + 9b2

b. 25x4 – 40x2y2 + 16y4

4. Faktorkanlah bentuk – bentuk berikut ini !

a. m2 – 25n2

b. 4(x - y)2 – (x+y)2

5. Faktorkanlah bentuk – bentuk berikut ini !

a. 36 – 20x + x2

b. m2 – mn – 30n2

c. 12 + 4m – 5m2

d. 8x2 + 7xy – 15y2


D. OPERASI PECAHAN DALAM BENTUK ALJABAR

1. MENYEDERHANAKAN PECAHAN ALJABAR

Pada pecahan dikemukakan bahwa jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi

dengan bilangan yang sama kecuali nol, maka diperoleh pecahan baru yang senilai, tetapi

menjadi lebih sederhana.

1824

=3 x 61

4 x 61 =34

Dengan demikian, jika pembilang dan penyebut suat pecahan memiliki faktor yang sam,

maka pecahan tersebut dapat disederhanakan. Hal ini berarti, bahwa untuk menyederhanakan

pecahan aljabar, harus diingat berbagai bentuk aljabar yang dapat difaktorkan beserta

pemfaktorannya.

Ada 2 konsep dalam pecahan, yaitu :

i) Penyebut suatu pecahan tidak boleh nol

ii) Suatu pecahan tidak boleh disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut

dengan nol, karena pembagian dengan nol tidak didefinisikan.

Untuk selanjutnya, yang dibicarakan adalah pecahan aljabr yang penyebutnya bukan nol.

Dalam menyederhanakan pecahan aljabar, kadang-kadang harus digunakan lawan

suatu bentuk aljabar, yaitu –(a – b) = b – a sebagai salah satu langkah dalam

menyederhanakan pecahan.

Contoh soal :

Sederhanakan pecahan-pecahan berikut ini !

a.4 a−12b

8

b.2−xx2−4

Penyelesaian :

a.4 a−12b

8=

4 (a−3b)8

=(a−3b)

2

b.2−xx2−4

= 2−x( x+2 )(x−2)

=(x−2)

(x+2 )(x−2)= −1x+2

= −1x+2

2. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN PECAHAN ALJABAR

Seperti pada pada penjumlahan dan pengurangan aljabar, pecahan-pecahan yang

penyebutnya sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau

mengurangkan pembilang-pembilangnya.


Jika penyebut-penyebutnya berbeda, maka penyebut-penyebut tersebut harus

disamakan terlebih dahulu. Untuk menyamakan penyebut-penyebut pecahan, tentukanlah

persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebut tersebut. Kemudian masing-masing

pecahan diubah menjadi pecahan lain yang senilai dnegan penyebut merupakan KPJK yang

sudah ditentukan.

Contoh soal :




3. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN PECAHAN ALJABAR

Seperti pada pecahan biasa bahwa hasil perkalian dua pecahan dapat diperoleh dengan

mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut, yaitu :

abxcd= a xcb x d

Untuk pembagian dua pecahan, seperti pada pecahan biasa bahwa membagikan suatu

pecahan sama dengan mengalikan pecahan tersebut terhadap kebalikannya, yaitu :

ab

:cd=abxdc=a x db x c

Contoh soal :




4. MENYEDERHANAKAN PECAHAN BERSUSUN

Suat pecahan yang suatu pembilang atau penyebut atau kedua-dua nya memuat pecahan di

sebut pecahan bersusun. Misalnya :

1a+ 1b

a2−b2 atau1+ 1a

ab−ba

Pecahan bersusun dapat disedrhanakan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan

kelipatan persekutuan terkecil ( KPK ) dari penyebut pecahan yang terdapat pada pembilang




maupun penyebut pecahan bersusun. Dengan demikian, pembilang maupun penyebut

pecahan bersusun tidak lagi memuat pecahan.

Contoh soal :

Sederhanakanlah pecahan berikut ini !

1a+ 1b

a2−b2

Penyelesaian :

1a+ 1b

a2−b2=ab( 1

a+ 1b )

ab (a2−b2 )…abadalahKPK dari a danb

= b+a

ab (a+b ) (a−b )

= a+b

ab (a+b ) (a−b )

= 1

ab(a−b)


LATIHAN SOAL :

1. Sederhanakanlah pecahan-pecahan berikui ini !

a. a2

ab

b.5a−5b

a2−ab

c.m2−5mn+6 n2

9n2−m2

2. Sederhanakanlah pecahan-pecahan berikut ini !

a.2x−1

4−

2(2 x−1)3

b.1

x2−x+ 1x

c.3

x2−6 x+9− 2

x2−9

3. Tentukan hasil perkalian pecahan aljabar berikut !

a.a

4bx

6b5a

c. 2m

:m+1m−3

b.m3x

6

m2+2md.

2a3

:9

4 a

4. Sederhanakanlah pecahan-pecahan berikut ini !

a.1+ 1a

ab−ba

b.

1a+3

1

a2−9

5. Sederhankanlah bentuk-bentuk perpangkatan berikut !

a. [ xy2 ]3

b. [ 2 r2+4

3−5 s2 ]2


LATIHAN SOAL-SOAL FAKTORISASI SUKU ALJABAR

1. Jika a + b = 1, dan a2 + b2 = 5, maka a3 + b3 = …a. 6 b. 24 c. 8 d. 22 e. 26

2. Diketahui x + y = 12 dan x3+ y3

= 432. Nilai dari x2+ y2

adalah…a. 260 b. 350 c. 360 d. 340

4. Jika

2aba+b

=1,

aca+c

=17 , dan

bcc+b

=2, maka

1a+1c+ 1b=

...

a. 4 b.

154 c.

204 d.

194 e.

174

5. Jika

x+ 1y=8

dan xy+ 1

xy=38

maka nilai y+ 1x=. . .

6. Diketahui tiga bilangan bulat a, b, dan c. Jika

307

= 1

a+1

b+1c

maka 7a + b - c = …

7. Bilangan x, y, z adalah tiga bua bilangan genap berurutan dengan x < y< z. Jika a =

( z−x )( y−x )( z− y ) , maka a yang memenuhi adalah ...

8. Cari semua bilangan asli x dan y yang memenuhi persamaan 1x− 1y=1

3 !


9. Bila x+1x=1, carilah nilai dari x

20+ 1

x20 !

10. Diketahui a dan b bilangan asli yang memenuhi a+b=14 dan a2−b2=28.

Tentukan nilai a2+b2?

11. Jika a3+a−3=7. Tentukan nilai a6+a−6?a. 27 b. 36 c. 47 d. 55 e.49

12. Jika x + y = 4 dan xy = -12, berapakah nilai x2 + 5xy + y2?

13. Bilangan x, y, z adalah tiga bua bilangan genap berurutan dengan x < y< z. Jika a =

( z−x )( y−x )( z− y ) , maka a yang memenuhi adalah ...

DAFTAR PUSTAKA

Sugijono, M Cholik A. 2004. Metematika untuk SMP kelas VII. Jakarta : Erlangga.


Modul operasi dan faktorisasi hitung aljabar

Documents

Transcript of Modul operasi dan faktorisasi hitung aljabar