MODUL MATRIKULASI

25
TEKNIK SIPIL 2021/2022 MODUL MATRIKULASI MODUL MATRIKULASI MODUL MATRIKULASI MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKA Akreditasi Unggul

Transcript of MODUL MATRIKULASI

Page 1: MODUL MATRIKULASI

TEKNIKSIPIL

2021/2022

MODULMATRIKULASIMODULMATRIKULASIMODULMATRIKULASIMATEMATIKAMATEMATIKAMATEMATIKA

AkreditasiUnggul

Page 2: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 1

BAB I

BANGUN GEOMETRI

I. Bangun Datar (2 Dimensi) Bangun datar adalah suatu bentuk dua dimensi yang memiliki luas dan keliling.

Untuk memahami bangun datar, maka diperkenalkan istilah pengubinan. Pengubinan adalah proses mengisi suatu permukaan dengan menggunakan bidang datar yang sama bentuk dan besarnya.

Ubin-ubin yang sama bentuk dan besarnya disebut kongruen.

Macam-macam bentuk ubin :

1. Ubin bujur sangkar

2. Ubin persegi panjang

3. Ubin segitiga sama sisi

Adapun contoh-contoh bangun datar dijelaskan dalam sub-bab berikut ini

meliputi jajaran genjang, belah ketupat, layang-layang, trapezium, persegi

panjang, persegi empat, bujur sangkar, dan lingkaran.

A. Jajaran Genjang

Proses terjadinya: sebuah segitiga dengan bayangannya diputar ½ putaran

dengan pusat di tengah-tengah salah satu sisinya.

Sifat-sifatnya:

1. AB # DC ; AD # BC

2. ∠A = ∠C ; ∠B = ∠D

3. AO = OC ; BO = OD

Page 3: MODUL MATRIKULASI

2 Modul Matrikulasi Matematika

4. ∠A + ∠B = 180°

∠A + ∠D = 180°

∠B + ∠C = 180°

∠C + ∠D = 180°

5. Mempunyai pusat simetri ½ putaran (titik O)

6. Tidak memiliki sumber simetri 7. Luas jajaran genjang ABCD = a . t

B. Belah Ketupat

Terdiri dari 2 segitiga sama kaki yang kongruen dan berimpit alasnya.

Sifatnya:

1. AB = BC = CD = DA

2. AO = OC ; BO = OD

3. AB ⫽ DC ; BC ⫽ AD

4. ∠A + ∠B = 180°

5. AC ⏊ BD

6. ∠A = ∠C

7. ∠B = ∠D

8. Mempunyai 2 sumbu simetri

9. Mempunyai pusat simetri O

10. Luas belah ketupat ABCD = ½ AC x BD

C. Layang-Layang

Terdiri dari 2 segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan diimpitkan.

Sifatnya:

1. AB = AD

2. BC = DC

3. BD ⏊ AC

4. ∠B = ∠D

5. Mempunyai satu sumbu simetri

6. Luas layang-layang ABCD = ½ AD x BD

Page 4: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 3

D. Trapesium

Trapesium adalah bangun datar yang berbentuk segi empat yang sepasang sisi

berhadapnnya sejajar.

Sifatnya:

1. ∠A + ∠D = 180°

2. ∠B + ∠C = 180°

3. Luas trapesium ABCD = ½ (AB + DC) x t

E. Persegi Panjang

Terjadinya: dari 2 segitiga siku-siku yang

kongruen dengan mengimpitkan sisi

miringnya.

Sifatnya:

1. AB # DC ; AD # BC

2. AC = BD ; AO = OC ; BO = OD

3. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

4. Mempunyai 4 sumbu simetri

5. Titik O merupakan pusat simetri ½ putaran

6. Luas persegi panjang ABCD = AB x BC = p x l

7. Keliling persegi panjang ABCD = 2 (p + l)

F. Bujur Sangkar

Terjadinya: Dari 2 segitiga siku-siku yang kongruen dengan mengimpitkan sisi

miringnya.

Sifatnya :

1. AB = BC = CD = DA

2. AB # DC ; AD # BC

3. AC = BD ; AO = OC ; BO = OD

4. BD ⏊ AC

5. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

A B

C D

O

Page 5: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 4

6. Mempunyai 4 sumbu simetri

7. Titik O merupakan pusat simetri ½ putaran

8. Luas bujur sangkar ABCD = S x S = S2

10. Keliling bujur sangkar ABCD = 4 x S

G. Lingkaran

Nilai perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameter untuk tiap

lingkaran adalah sama yaitu = π, dengan:

𝜋 = 𝐾

𝐷

K= π. D = 2 . π . r

Nilai π = 3,14….

Panjang busur AB dengan sudut pusat α° adalah sebagai berikut :

𝐿α° =α°

360° . 2 . 𝜋 . 𝑟

Luas daerah lingkaran (Alingkaran) = π.r2

Luas juring lingkaran

𝐴α° =α°

360° . 𝜋 . 𝑟2

II. Bangun Ruang (3 Dimensi) Bangun ruang adalah suatu bangun yang memiliki ruang dan dibatasi oleh sisi-sisi.

A. Bangun Geometri Tiga Dimensi dan Kesebangunan

Luas dan Volume Bangun Ruang

1. Prisma

Vprisma = Lalas x t

Page 6: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 5

2. Balok

L bidang-bidang sisinya = 2 (pl+pt+lt)

Vbalok = p x l x t

3. Kubus

L kubus = 6 x s2

V kubus = s3

4. Tabung

V tabung = π. r2 . t

Jaring-jaring tabung

L seluruh tabung =

2 . π. r . (r+t)

5. Limas

𝑉𝑙𝑖𝑚𝑎𝑠 =1

3 . 𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠. 𝑡

Page 7: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 6

6. Kerucut

𝐿𝑠𝑒𝑙𝑖𝑚𝑢𝑡 = 𝜋 . 𝑟 . 𝑠

𝐿𝑎𝑙𝑎𝑠 = 𝜋 . 𝑟2

𝐿𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡 = 𝜋 . 𝑟 . (𝑟 + 𝑠)

𝑉𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡 =1

3𝜋 . 𝑟2. 𝑡

7. Bola

𝐿𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑎 = 4. 𝜋 . 𝑟2

𝑉𝑏𝑜𝑙𝑎 =4

3𝜋 . 𝑟3

Soal Latihan:

1) Sebuah prisma ABCDEF alasnya berupa segitiga siku-siku dengan sisi siku-

sikunya masing-masing 4 cm dan 9 cm. Jika diketahui volume prisma 135

cm3, berapakah tinggi prisma tersebut?

2) Suatu balok dengan ukuran 2 cm x 3 cm x M cm. Jumlah panjang semua

rusuknya 220 cm. Berapakah nilai M?

3) Suatu tangki air berbentuk tabung yang tingginya = 21 cm mempunyai luas selimut 1848 cm2 . Hitunglah :

a) Jari-jari alas tabung

b) Luas seluruh tabung

c) Volume air dalam tabung apabila terisi penuh

4) Diketahui sebuah atap berupa limas dengan alas berbentuk bujur sangkar

yang sisinya 16 m dengan tinggi sebesar 6 m. Buatlah sketsa pada limas

tersebut kemudian hitunglah tinggi, luas permukaan, dan volume pada

bangun tersebut.

5) Jari-jari alas sebuah kerucut = 8 cm. Panjang garis pelukisnya = 17 cm.

Sketsalah kerucut tersebut dan hitunglah tinggi serta volume kerucut

tersebut.

6) Akan dibuat sebuah atap masjid dari beton berbentuk setengah bola dengan

jari-jari sebesar 6 m. Hitunglah luas beton yang diperlukan untuk membuat

atap tersebut.

Page 8: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 7

B. Gambar Berskala

𝑆𝑘𝑎𝑙𝑎 = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑡𝑎

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎

C. Foto dan Model

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑝 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑝 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑓𝑜𝑡𝑜=

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑙 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑙 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑓𝑜𝑡𝑜

D. Bangun Datar yang Sebangun

Dua bangun yang bersisi lurus akan sebangun bila:

➢ Sama sudut, artinya sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

➢ Sisi-sisinya yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama

E. Segitiga-Segitiga yang Sebangun

1. ABC sebangun dengan PQR,

maka :

a) ∠ A = ∠ P

∠ B = ∠ Q

∠ C = ∠ R

b) 𝐴𝐵

𝑃𝑄=

𝐵𝐶

𝑄𝑅=

𝐶𝐴

𝑅𝑃

2. Pada ABC, DE ⫽ AB, maka:

a) 𝐶𝐷

𝐷𝐴=

𝐶𝐸

𝐸𝐵

b) 𝐶𝐷

𝐶𝐴=

𝐷𝐸

𝐴𝐵=

𝐶𝐸

𝐶𝐵

A B

C

D E

A B

C

P Q

R

Page 9: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 8

3. ABC siku-siku di A, AD tegak lurus BC, maka:

a) ABC sebangun dengan DAB

b) ABC sebangun dengan DAC

c) DBA sebangun dengan DAC

Rumus-rumus yang didapat:

a) AB2 = DB x BC

b) AC2 = CD x CB

c) AD2 = BD x CD

d) AB x AC = BC x AD

Catatan:

ABCD trapesium

PQ ⫽ DC ⫽ AB

Jika DP : PA m : n, maka:

• DP : PA = CQ : QB = m :n

• PQ = 𝑛.𝐶𝐷+𝑚.𝐴𝐵

𝑚+𝑛

Contoh :

1. Jarak kota A dan B pada peta = 15 cm. Jarak kedua kota tersebut sebenarnya =

600 km. Berapa skala peta?

(A) 1: 4.000

(B) 1: 40.000

(C) 1: 400.000

(D) 1: 4.000.000

Jawab : (D)

Penjelasan : Skala peta = 15 𝑐𝑚

600 𝑘𝑚=

15 𝑐𝑚

60.000.000 𝑐𝑚=

1

4.000.000

Page 10: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 9

2. Jarak kota M dan kota N adalah 60 km. Pada peta berskala 1 : 2.500.000, jarak

kedua kota itu diwakili oleh ....

(A) 0,24 cm

(B) 2,1 cm

(C) 2,4 cm

(D) 24 cm

Jawab: (C)

Penjelasan : Skala peta = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑑𝑖 𝑝𝑒𝑡𝑎

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎

= 1

2.500.000=

𝑥

6.000.000 𝑐𝑚

x = 6.000.000 𝑐𝑚

2.500.000= 2,4 𝑐𝑚

Soal Latihan:

1) Ukuran suatu kolam renang memiliki panjang 25 m dan lebar 20 m. Pada

model berskala, lebarnya sebesar 8 cm, berapakah panjang kolam pada

model tersebut?

2) Sebuah foto berukuran 20 cm x 24 cm diletakkan pada sehelai karton. Di

bagian atas, kiri dan kanan foto masih terdapat karton

selebar 5 cm. Bila foto dan karton sebangun, berapakah

lebar karton di bagian bawah foto?

3) Dari PQR di samping, PQ ⫽ ST, RS = 6, RP = 8 dan RT =

9. Berapa panjang TQ?

Page 11: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 10

BAB II

SISTEM PERSAMAAN

I. Persamaan dengan Satu Variabel

Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda = (sama dengan).

Bentuk umumnya: ax + b = c

x = variabel

a,b,c = lambang bilangan tertentu

Cara menyelesaikan persamaan:

1. Cara pertama,

Menambah/mengurangi/mengalikan dengan bilangan yang sama.

✓ Kedua ruas suatu persamaan boleh ditambah/dikurangi dengan

bilangan yang sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen.

✓ Kedua ruas suatu persamaan boleh dikalikan dengan bilangan yang sama

untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaiaan persamaan 3x – 4 = 36 – 7x,

Dengan x adalah bilangan real (biasa disingkat dengan simbol: x ∊ R)

Jawab:

3x – 4 = 36 – 7x (kedua ruas +4)

3x – 4 + 4 = 36 + 4 – 7x

3x + 7x = 40 – 7x + 7x (kedua ruas +7x)

10x = 40

1

10 (10x) =

1

10 (40) (kedua ruas dikali

1

10)

x = 4

Himpunannya = {4}

Page 12: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 11

2. Cara kedua,

Pindah ruas, yakni dengan menyatukan variabel yang sama di satu ruas,

dengan ketentuan:

✓ Jika sebelumnya merupakan penjumlahan (tanda +), maka setelah

berpindah ruas berganti menjadi pengurangan (tanda -), dan begitu

sebaliknya.

✓ Jika sebelumnya merupakan perkalian, maka setelah berpindah ruas

berganti menjadi pembagian, dan begitu sebaliknya.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaiaan persamaan 3x – 4 = 36 – 7x, x ∊ R

Jawab:

3x – 4 = 36 – 7x

3x +7x = 36 + 4

10 x = 40

x = 4

Himpunannya = {4}

Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan dari 3

x=

1

4, x ∊ R

Penyelesaian :

Cara pertama,

3

x=

1

4

4𝑥. (3

x) = 4𝑥.

1

4 (kedua ruas dikalikan 4x, yaitu KPK x dan 4)

x = 12

atau x = 12

Himpunannya = {12}

Page 13: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 12

Cara kedua, 3

x=

1

4

3 . 4 = 1 .x Penyebut masing-masing ruas saling berpindah, 12 = x x = 12 Himpunannya = {12}

II. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel

A. Persamaan linear dengan dua variabel

ax + by = c

Bentuk umumnya : ax + by + c = 0

y = mx + n

Contoh : 2x + y = 8

Tentukan himpunan penyelesaiannya bila :

➢ x, y ∊ C (cacah)

➢ x, y ∊ R

Penyelesaian :

➢ Kita buat tabel

x 0 1 2 3 4 5

y 8 6 4 2 0 -2

2x + y 8 8 8 8 8 8

➢ Untuk x, y ∊ C, maka himpunan

penyelesaiannya berupa garis lurus

melalui {(0,8), (1,6), (2,4), (3,2), (4,0)}

x 0 4

y 8 0

Page 14: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 13

B. Sistem Persamaan linear dengan dua variabel

Bentuk umumnya : ax + by + c = 0

px + qy + r = 0

Menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel dapat menggunakan

metode-metode berikut :

1. Grafik

2. Eliminasi

3. Substitusi

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :

3x -2y = 8 ................. (1)

4x + y = 7 ................. (2)

dengan metode : 1. Grafik

2. Eliminasi

3. Substitusi

Penyelesaian :

1. Metode grafik

a. Kita gambar garis k → 3x – 2y = 8 melalui (0,-4) dan

(22

3,0)

x 0 22

3

y -4 0

2x + y 8 8

b. Kita gambar garis l → 4x + y = 7 melalui (0,7) dan (1¾,0)

Page 15: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 14

c. Perpotongan garis k dan l adalah himpunan penyelesaiannya,

yaitu T (2, -1)

2. Metode eliminasi

3x – 2y = 8 x4 12x – 8 y =32 x1 3x – 2y = 8

4x + y = 7 x3 12x + 3y = 21 - x2 8x + 2y = 14 +

-11y= 11 11 x = 22

y= -1 x = 2

Himpunannya = {(2, -1)}

3. Metode substitusi

a. Persamaan (2) atau (1) diubah ke dalam bentuk eksplisit y = mx + n

(2) → 4x + y = 7

y = -4x + 7 ............(3)

b. Substitusikan (-4x + 7) untuk y dalam persamaan (1)

(1) → 3x – 2y = 8

3x – 2 (-4x + 7) = 8

x = 2

c. Nilai x = 2 kita substitusikan ke dalam persamaan (3)

y = -4x + 7

y = -4(2) + 7

y = -1

d. Himpunannya = {(2, -1)}

Contoh-contoh soal dan penyelesaian:

1. Persamaan 2x - y – 6 = 0 memotong sumbu x di titik ..... (A) (-6, 0) (C) (3, 0) (B) (-3, 0) (D) (6,0) Jawab : (C) Penjelasan :

Titik potong dengan sumbu x → y = 0 Jadi, 2x – 0 – 6 = 0 2x = 6 x = 3 → (3, 0)

Page 16: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 15

2. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y – 9 = 0 dan x – 2y = 0

adalah

(A) (-6, 3) (C) (3, 6)

(B) (-3 , -6) (D) (6, 3)

Jawab : (D)

Penjelasan :

x – 2y = 0 → x = 2y

x + y – 9 = 0 →Jadi, 2y + y – 9 = 0

3y – 9 = 0

3y = 9

y = 3

x = 2y

= 2 . 3

x = 6 → (6,3)

Soal Latihan

1. Dengan cara eliminasi, selesaikan sistem persamaan berikut :

3x + y + 10 = 0 x + 3y = 2

2. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari :

a. x – y = 5, x, y ∊ R

b. 2x – 3y + 6 = 0, x, y ∊ R

III. Persamaan Kuadrat : ax2 + bx + c = 0, dengan a ≠ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara :

a. Faktorisasi

b. Melengkapkan kuadrat

c. Dengan rumus “abc”

𝑋1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐

2. 𝑎

Catatan : 1. x1 dan x2 disebut akar-akar persamaan kuadrat, dengan

a = koefisien x2

Page 17: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 16

b = koefisien x

c = konstanta

2. Nilai (b2 – 4 . a . c) umum disebut dengan diskriminan.

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 5x + 6 = 0, dengan cara :

a. Faktorisasi

b. Melengkapi kuadrat

c. Dengan rumus “abc”

Jawab : x2 – 5x + 6 = 0

a. Dengan faktorisasi

(x – 2) (x – 3) = 0

x – 2 = 0 atau x - 3 = 0

x1 = 2 atau x2 = 3 Himpunannya = {2, 3}

b. Dengan melengkapi kuadrat

x2 – 5x + 6 = 0

x2 – 5x = -6

x2 – 5x + (½ . -5)2 = + (½ . -5)2 – 6

x2 – 5x + 25

4 =

25

4 – 6

(𝑥 − 5

2)

2

= 25 − 24

4

(𝑥 − 5

2)

2

= ±√14⁄

(𝑥 − 5

2)

2

= ±1

2

𝑥1 =5

2+

1

2= 3 atau 𝑥2 =

5

2−

1

2= 2

Himpunannya = {2, 3}

Page 18: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 17

c. x2 – 5x + 6 = 0

a = 1 b = -5 c = 6

𝑥1,2 =−(−5) ± √(−5)2 − 4(1)(6)

2(1)

=5 ±√1

2

= 5 ±1

2

𝑥1 =5+1

2= 3 atau 𝑥2 =

5−1

2= 2

IV. Penjumlahan dan Pengurangan Suku-Suku dan Bentuk-Bentuk Sejenis

Penjumlahan bentuk-bentuk sejenis

(Ax + By) + (-Cx – Dy) = (A – C)x + (B – D)y

Pengurangan bentuk-bentuk sejenis

1) A – B = A + (-B)

2) (Ax + By) – (-Cx – Dy) = Ax + By + Cx + Dy

= (A + C)x + (B + D)y

Menyatakan perkalian faktor-faktor sebagai penjumlahan suku-suku

(Ax + B) (Cx – D) = ACx2 – Adx + BCx – BD

= ACx2– (AD + BC)x – BD

(Ax – B) (Cx + D) = ACx2 + ADx - BCx – BD

= ACx2+ (AD - BC)x – BD

V. Penguadratan Dua Suku

a. (Ax + B)2 = (Ax)2 + 2 (Ax) (B) + (B)2 = A2x2 + 2ABx + B2

b. (Ax - B)2 = (Ax)2 + 2 (Ax) (-B) + (-B)2 = A2x2 - 2ABx + B2

c. (-Ax + B)2 = (-Ax)2 + 2 (-Ax) (B) + (B)2 = A2x2 - 2ABx + B2

d. (-Ax - B)2 = (-Ax)2 + 2 (-Ax) (-B) + (-B)2 = A2x2 + 2ABx + B2

VI. Selisih Dua Kuadrat

A2 – B2 = (A + B) (A – B)

9x2 – 4 = (3x + 2) (3x – 2)

Page 19: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 18

16x2 – 25 = (4x + 5) (4x – 5)

VII. Penyederhanaan Pecahan

a. Menyederhanakan pecahan dengan memfaktorkan terlebih dahulu pembilang

dan penyebut

Contoh :

1. 3𝑎−3𝑏

𝑏−𝑎=

3(𝑎−𝑏)

−(𝑎−𝑏)= 3

2. 4𝑥2−1

2𝑥+1=

(2𝑥+1)(2𝑥−1)

(2𝑥+1)= (2𝑥 − 1)

3. 2𝑥+5

6𝑥2+7𝑥−20=

2𝑥+5

(2𝑥+5)(3𝑥−4)=

1

(3𝑥−4)

4. 4𝑥2−9

6𝑥2+11𝑥+3=

(2𝑥+3)(2𝑥−3)

(2𝑥+3)(3𝑥+1)=

2𝑥−3

3𝑥+1

5. 𝑥2+5𝑥+6

𝑥2+𝑥−6=

(𝑥+2)(𝑥+3)

(𝑥+2)(𝑥−3)=

𝑥+3

𝑥−3

6. 3𝑥2−𝑥−2

9𝑥2−4=

(3𝑥+2)(𝑥−1)

(3𝑥+2)(3𝑥−2)=

𝑥−1

3𝑥−2

7. 6𝑥2+7𝑥−3

3𝑥2−𝑥−6=

(2𝑥+3)(3𝑥−1)

(2𝑥+3)(𝑥−2)=

3𝑥−1

𝑥−2

b. Menyederhanakan pecahan bersusun

Contoh :

1. 𝑎+

𝑏

𝑥

𝑐−𝑑

𝑥

=𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥−𝑑 3.

𝑥+𝑎

𝑥+𝑏

𝑥+𝑐

𝑥+𝑑

=𝑥2+𝑏𝑥+𝑎𝑏

𝑥2+𝑑𝑥+𝑐

2.

𝑎

𝑥+

𝑏

𝑦

𝑐

𝑥−

𝑑

𝑦

=𝑎𝑦+𝑏𝑥

𝑐𝑦−𝑑𝑥 4.

𝑎+𝑎

𝑥2

𝑎−𝑎

𝑥

=𝑎(1−

1

𝑥)2

𝑎(1−1

𝑥)

=(1+

1

𝑥) (1−

1

𝑥)

(1−1

𝑥)

= 1 +1

𝑥

c. Menjumlahkan dan mengurangi bentuk-bentuk pecahan

Contoh :

1. 2𝑥+5

4−

𝑥+3

3=

3(2𝑥+5)−4(𝑥+3)

12=

2𝑥+3

12

Page 20: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 19

2. 2

3𝑥+2+

3

9𝑥2−4=

2

3𝑥+2+

3

(3𝑥+2)(3𝑥−2)=

2(3𝑥−2)+3

(3𝑥+2)(3𝑥−2)=

6𝑥−1

9𝑥2−4

3. 4

2𝑥−1+

3

3𝑥+2=

4(3𝑥+2)+3(2𝑥−1)

(3𝑥+2)(2𝑥−1)=

18𝑥+5

6𝑥2+𝑥−2

4. 3

2𝑥2+7𝑥+5+

4

2𝑥+5=

3

(2𝑥+5)(𝑥+1)+

4

2𝑥+5=

3+4(𝑥+1)

(2𝑥+5)(𝑥+1)

=4𝑥 + 7

2𝑥2 + 7𝑥 + 5

5. 4

2𝑥2−5𝑥+3+

1

𝑥2−1=

4

(2𝑥−3)(𝑥−1)+

1

(𝑥+1)(𝑥−1)

=4(𝑥 + 1) + 1(2𝑥 − 3)

(2𝑥 − 3)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)=

6𝑥 + 1

2𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 + 3

Page 21: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 20

BAB III

SISTEM PERTIDAKSAMAAN

I. Pertidaksamaan dengan Satu Variabel

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda <, >, ≥, atau ≤

Bentuk umumnya : ax + b > 0

ax – b ≤ c

Cara menyelesaikan pertidaksamaan:

1. Cara pertama,

Menambah/mengurangi/mengalikan dengan bilangan yang sama

✓ Kedua ruas suatu pertidaksamaan boleh ditambah/dikurangi dengan bilangan

yang sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen.

✓ Kedua ruas suatu pertidaksamaan boleh dikalikan dengan bilangan yang sama

untuk mendapatkan pertidaksamaan yang ekuivalen.

✓ Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang

sama, maka tanda ketidaksamaan harus dibalik untuk mendapatkan

pertidaksamaan yang ekuivalen.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari -5x – 3 ≥ 12, x ∊ R

Jawab :

-5x – 3 +3 ≥ 12 + 3 (kedua ruas +3)

-5x ≥ 15

(-1/5)(-5x) ≥ -1/5 (15) (kedua ruas dikali -1/5)

(tanda berubah akibat dikali minus)

x ≤ -3

Himpunannya = {x|x≤3, x ∊ R}

2. Cara kedua,

Pindah ruas, yakni dengan menyatukan variabel yang sama di satu ruas, dengan

ketentuan:

Page 22: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 21

✓ Jika sebelumnya merupakan penjumlahan (tanda +), maka setelah berpindah

ruas berganti menjadi pengurangan (tanda -), dan begitu sebaliknya.

✓ Jika sebelumnya merupakan perkalian, maka setelah berpindah ruas berganti

menjadi pembagian, dan begitu sebaliknya.

✓ Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang

sama, maka tanda ketidaksamaan harus dibalik untuk mendapatkan

pertidaksamaan yang ekuivalen.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaiaan pertidaksamaan-5x – 3 ≥ 12, x ∊ R

Jawab:

-5x –3 ≥12

-5x ≥12 + 3

-5x ≥15

x ≤15 / (-5)

x ≤ -3

Himpunannya = {x|x ≤ 3, x ∊ R}

Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan dari 3

x>

1

4, x ∊ R

Penyelesaian :

Cara pertama,

3

x>

1

4

4𝑥. (3

x) > 4𝑥.

1

4 (kedua ruas dikalikan 4x, yaitu KPK x dan 4)

12 > x

atau x < 12

Himpunannya = { x|x < 12, x ∊ R }

Cara kedua,

3

x>

1

4

3 . 4 > 1 .x Penyebut masing-masing ruas saling berpindah,

Page 23: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 22

12 > x

x < 12

Himpunannya = { x|x < 12, x ∊ R }

II. Sistem Pertidaksamaan dengan Dua Variabel

A. Pertidaksamaan linear dengan dua variabel

ax + by + c > 0

Bentuk umumnya : ax + by + c ≤ 0

ax + by + c ≥ 0

ax + by + c < 0

Contoh :

Tunjukkan dengan grafik, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + y ≤ 8,

untuk x, y ∊ R

Penyelesaian :

1. Kita gambar garis 2x + y ≤ 8

2. Untuk O (0, 0) → 2.0 + 0 < 8 (memenuhi)

3. Daerah yang sepihak dengan (0, 0) termasuk garis

2x + y = 8 merupakan himpunan penyelesaiannya (daerah yang diarsir)

Catatan :

Apabila 2x + y > 8, x, y ∊ R, maka himpunan

penyelesaiannya adalah daerah yang berlainan pihak

dengan (0, 0) terhadap garis 2x + y = 8 tanpa

garisnya.

B. Sistem pertidaksamaan linear dengan 2 variabel

x ≥ 0

Bentuk umumnya : y ≥ 0

ax + by + c ≤ 0

px + qy + r < 0

Page 24: MODUL MATRIKULASI

Modul Matrikulasi Matematika 23

Himpunan penyelesaiannya adalah interseksi dari himpunan penyelesaian masing-

masing pertidaksamaan tersebut.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem

pertidaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0 dan x + 2y ≤ 4, x, y ∊ R

Penyelesaian :

Himpunan penyelesaian dari x ≥ 0, adalah daerah sebelah kanan sumbu y termasuk

sumbu y nya. Himpunan penyelesaian dari y ≥ 0, adalah daerah sebelah atas sumbu

x termasuk sumbu x nya.

Himpunan penyelesaian dari x + 2y ≤ 4, adalah daerah yang sepihak dengan (0, 0)

termasuk garis x + 2y = 4 sebelah kanan sumbu y termasuk sumbu y nya.

Daerah himpunan penyelesaiannya adalah interseksi (1), (2,), dan (3), yaitu daerah

segitiga OAB.

Soal Latihan

1. (Pilihlah satu jawaban yang benar) Grafik himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan x – 2y ≥ 4 untuk x, y ∊ A berupa :

(A) bagian bidang

(B) noktah-noktah

(C) garis lurus

(D) garis lengkung

2. Gambarlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 2y ≥ 6; x, y ∊ R

3. Gambarlah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan –x + y ≥ -1 dan

x + y ≤ 1, x, y ∊ R

Page 25: MODUL MATRIKULASI

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH YOGYAKARTA

JURUSAN TEKNIK SIPIL | DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING

Jl. Brawijaya, Tamantirto, Kasihan, Bantul, Telp. 0274-387656 ext. 232, Fax. 0274-387646Website : http://tekniksipil.umy.ac.id