Modul Matematika Kelas 9 Semester1

7/24/2019 Modul Matematika Kelas 9 Semester1

http://slidepdf.com/reader/full/modul-matematika-kelas-9-semester1 1/94

FB: [email protected] Modul Matematika SMP/MTs Kelas 9

E-Mail: [email protected] Semester Ganjil Tahun Pelajaran 2014/2015

Blog : reyanbloger.blogspot.com

IGW.SUDIARTA, S.Pd

Oleh:

KELAS IX

MODUL PELAJARANKELAS IX SEMESTER GANJIL

M A T E M A T I K ATahun Pelajaran 2014/2015

SMP NEGERI 1 PENEBE Jalan.penebel-mengesta,penebel,tabanan,Bali

BUKU

GURU






KATA PENGANTAR

“Modul Persiapan Ujian Nasional Matematika SMP/MTS Tahun 2015”

Buku ini menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan

matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan

pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu

permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis,

kreatif, teliti, dan taat aturan.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan Buku ini, oleh karena itu,

penulis mengharapkan saran dan kritik yang sifatnya membangun demi sempurnanya Buku ini. Penulis juga

berharap semoga Buku ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Penebel 07 Juli 2014

Penulis,

IGW.SUDIARTA, S.Pd

NIP.19630324 198601 1 002






DAFTAR ISI

COVER .................................................................................................................................................................................... 1

KATA PENGANTAR ........................................................................................................................................................... 2

DAFTAR ISI ........................................................................................................................................................................ 3

BAB 1 KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN .....................................................................................

BAB 2 TABUNG, KERUCUT, DAN BOLA ........................................................................................................

BAB 3 POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN .....................................................................................

BAB 4 BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR ..........................................................................

TENTANG PENULIS .........................................................................................................................................................






BAB 1

KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN

A. KESEBANGUNAN

1.

Dua Bangun Yang SebangunDua bangun datar dikatakan sebangun jika dan hanya jika memenuhi:a. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.b. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sebanding.

Contoh bangun yang sebangun:

(i)

Besar A = E, B = F, C = G, D = H

(ii)

Besar A = D dan B = E

(iii)

Besar A = P, B = Q, C = R, D = S

(i)

Besar A = R, B = S, C = T

A B

C

D E

A B

C

D E

C

A B

CD

P Q

RS

E F

GH

A B

CD

A B

C

R S

T

Edited by Foxit ReaderCopyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010For Evaluation Only.






2. Menghitung Panjang Sisi Dua Bangun Sebangun

Perhatikan gambar di bawah ini:

(i)

(ii)

E F

GH

A B

CD

A B

C

D E

A B

C

D E

C

BC

EC

AB

DE = DE × AC = DC × AB

BC

EC

AC

DC = DC × BC = EC × AC

AC

DC

AB

DE DE × AC = DC × AB=

GH

CD

EH

AD = AD × GH = CD × EH

FG

BC

EF

AB AB × FG = BC × EF=







(iii)

(iv)

A B

C

R S

T

ST

BC

RS

AB = AB × ST = BC × RS

RT

AC

RS

AB AB × RT = AC × RS=

ST

BC

RT

AC = AC × ST = BC × RT

Smart Solution:

FG =

AD

AB DF DC AF

FH =

AD

AI FD

AI

FH

AD

FD FD × AI = FH × AD=

= FH =

FD AF

AI FD

Panjang FG = FH + HG

Panjang DC = HG = IB

F

A B

D C

G

F

A B

D C

GH

I







Contoh Soal:

1. Berikut ini adalah beberapa ukuran foto:(1). 2 cm 3 cm(2). 3 cm 4 cm(3). 4 cm 6 cm(4). 6 cm 10 cmFoto yang sebangun adalah…

Penyelesaian:

Foto dengan ukuran 2 cm 3 cm sebangun dengan foto dengan ukuran 4 cm 6 cm, karena panjangsisi-sisi yang bersesuaian sebanding.

2. Perhatikan gambar!

Panjang EF pada gambar di atas adalah…

Penyelesaian:

16

32

6

2

3

x

x

x

EF = 1 + 6 = 7 cm

3. Perhatikan gambar berikut!

Panjang PQ pada gambar di atas adalah…

Penyelesaian: PQ2 = PS PR

PQ = )4,66,3(6,3 = 106,3 = 36 = 6 cm

4. Sebuah foto dengan ukuran alas 20 cm dan tinggi 30 cm dipasang pada bingkai yang sebangun denganfoto. Jika lebar bingkai bagian atas, kiri, dan kanan yang tidak tertutup foto adalah 2 cm, makalebar bingkai bagian bawah foto adalah…

P 3,6 cm

S

6,4 cm

Q R







Penyelesaian: Pada foto, alas = 20 cm, tinggi = 30 cmPada bingkai,

36

202430

2220

30

20

t

t

t

Lebar bagian bawah foto = 36 – 30 – 2 = 4 cm

3. Penerapan Konsep Kesebangunan dalam Pemecahan Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari ada beberapa masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan

konsep kesebangunan. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, dapat dibantu dengan membuatsketsa atau gambar. Perhatikan contoh berikut yang merupakan masalah sehari-hari berkaitandengan kesebangunan.

Contoh:1. Suatu gedung tampak pada layar televisi dengan lebar 32 cm dan tinggi 18 cm. Jika lebar gedung

sebenarnya 75 kali lebar gedung yang tampak pada TV, maka lebar gedung sebenarnya adalah…

Penyelesaian:

Lebar pada tv = ……… cm

Tinggi pada tv = ……… cmLebar gedung sebenarnya = 20 Lebar pada tv

= 20 ………

= ……… cm

Tinggi sebenarnya = …?

sebenarnyaLebar

tv padaLebar=

SebenarnyaTinggi

tv padaTinggi

.........

......... = SebenarnyaTinggi

..........

……… Tinggi Sebenarnya = ……… ………

Tinggi Sebenarnya =.............

.............

= ……… cm

= ……… m

Jadi tinggi sebenarnya adalah ………… m






SOAL ULANGAN KESEBANGUNAN

BAGIAN 1

A.

Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

A. Bangun-bangun berikut ini pasti sebangun,kecuali…A. Dua segitiga samasisi yang panjang sisinya

berbedaB. Dua persegi yang sisinya berbedaC. Dua persegi panjang yang panjang dan

lebarnya berbedaD. Dua lingkaran yang jari-jarinya berbeda

Kunci Jawaban: D

Ingat!! Dua bangun datar dikatakan sebangun jika dan hanya jika memenuhi:a. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak)

sama besar.b. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak)

sebanding.

2.Dua segitiga adalah sebangun. Alasan-alasanberikut benar, kecuali…

A.

Dua sudut yang bersesuaian samabesarnyaB. Dua sisi yang bersesuaian sama panjangnyaC. Satu sudut sama dan kedua sisi yang

mengapit sudut itu sebandingD. Ketiga sisi yang bersesuaian sebanding

Kunci Jawaban: B

Ingat!! Dua bangun datar dikatakan sebangun jika dan hanya jika memenuhi:a. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak)

sama besar.b. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak)

sebanding.

3.Segitiga-segitiga berikut ini yang tidaksebangun dengan segitiga yang ukuran sisinya5 cm, 12 cm dan 13 cm adalah…A. 15 m, 36 m, 39 mB. 2,5 dm, 6 dm, 6,5 dmC. 10 cm, 24 cm, 26 cmD. 1,5 m, 6 m, 6,5 m

Kunci Jawaban: D

Syarat sebangun: sisi-sisi yang bersesuaian(seletak) sebanding!!!Sisi-sisinya = 1,5 m, 6 m, 6,5 m.

= 150 cm, 600 cm, 650 cmPerbandingan sisi-sisinya:

150

5 ≠

600

12 =

650

13

30

1 ≠

50

1 =

50

1 (tidak sebangun)

4.Di antara segitiga di bawah ini, yang sebangundengan segitiga dengan panjang sisi 9 cm, 12cm, dan 18 cm adalah…A. 7 cm, 10 cm, dan 15 cmB. 3 cm, 4 cm, dan 5 cmC. 6 cm, 8 cm, dan 12 cmD. 7 cm, 10 cm, dan 16 cm

Kunci Jawaban: C

Syarat sebangun: sisi-sisi yang bersesuaian(seletak) sebanding!!!Sisi-sisinya = 6 cm, 8 cm, dan 12 cmPerbandingan sisi-sisinya:

9

6 =

12

8 =

18

12

3

2 =

3

2 =

3

2 (sebangun)

5.Ali mempunyai selembar karton berbentukpersegi panjang dengan ukuran panjang 12 cmdan lebar 9 cm. Dan di bawah ini adalahsebidang tanah berbentuk sebagai berikut :(i) Persegi panjang dengan ukuran 36 m × 27

m(ii) Persegi panjang dengan ukuran 6 m × 4,5

m(iii) Persegi panjang dengan ukuran 48 m × 24

m(iv) Persegi panjang dengan ukuran 2,4 m × 1,8

m






Maka sebidang tanah yang sebangun dengankarton milik Ali adalah …A. (i) dan (iii) C. (ii) dan (iii)B. (i), (ii), dan (iii) D. (i), (ii), dan (iv)

Kunci Jawaban: D

Syarat sebangun: sisi-sisi yang bersesuaian(seletak) sebanding!!!Persegi panjang dengan ukuran panjang 12 cmdan lebar 9 cm(i) 36 m × 27 m. Perbandingan sisi-sisinya:

3600

12 =

2700

9

300

1 =

300

1 (sebangun)

(ii) 6 m × 4,5 m. Perbandingan sisi-sisinya:

600

12 =

450

9

50

1 =

50

1 (sebangun)

(iv) 2,4 m × 1,8 m. Perbandingan sisi-sisinya:

240

12 =

180

9

20

1 =

20

1 (sebangun)

6.Perhatikan gambar di bawah!

Segitiga siku-siku ABC, A = 90° dan ADtegak lurus BC. Pernyataan berikut benaradalah…A. AD2 = BD × AD

B. AB2

= BC × BDC. AC2 = CD × BDD. AB2 = BC × AD

Kunci Jawaban: B

Gambar segitiga dipecah menjadi:

Perbandingannya yang benar:

BD

AB = AB

BC

AB AB = BC × BDAB2 = BC × BD

7.Perhatikan gambar dibawah!

Perbandingan yang benar adalah …

A. EB

EC

ED

EA C.

ED

EC

EB

EA

B. AB

CD

CA

EC

D. DE

ED

CA

EC

Kunci Jawaban: C

Perbandingan yang benar: EB

EC

ED

EA

8.Perhatikan gambar !

Perbandingan yang benar adalah…

A.cd

ba C.

d cc

bba

B.d

b

c

a D.

d c

c

ba

a

Kunci Jawaban: D

A B

C

D B

A

D C

A

A B

E

C D

E

f

a + b

c + de

a

c






Perbandingan yang benar:d c

c

ba

a


Jika ∆ABC sebangun dengan ∆PQR, makapanjang PR adalah…A. 12 cm C. 18 cmB. 15 cm D. 20 cm

Kunci Jawaban: BPerhatikan ABC: AC2 = AB2 + BC2

AC = 22 68

AC = 100

AC = 10 cmBaru kemudian kita cari panjang PR,perbandingannya:

PQ

AB =

PR

AC

9

6 =

PR

10

6 PR = 9 × 10PR =

6

90 = 15 cm

10. Perhatikan gambar berikut !

Panjang BE adalah …A. 15 cm C. 21 cmB. 18 cm D. 24 cm

Kunci Jawaban: D

CD = 12 cm, CE = 6 cm

AC = AD + CD = 3 + 12 = 16 cm

Panjang BC:

AC

CE = BC

CD

15

6 = BC

12

6 BC = 12 × 15

BC =6

180 = 30 cm

BE = BC – CE = 30 – 6 = 24 cm

11. Perhatikan gambar ∆ABC dibawah ini!

Segitiga tersebut siku-siku di B dengan AB =8 cm dan BC = 6 cm. Titik D terletak di sisi AC

sedemikian sehingga BD AC. Panjang BDadalah…A. 2,4 cm C. 8,2 cmB. 4,8 cm D. 9,6 cm

Kunci Jawaban: B


Perhatikan ABC: AC2 = AB2 + BC2

AC = 22 68

AC = 100

AC = 10 cmBaru kemudian kita cari panjang BD,perbandingannya:

BD

AB

= BC

AC

BD

8

= 6

10

10 BD = 8 × 6

BD =10

48 = 4,8 cm

12. Pada gambar berikut

Panjang AB adalah ….A. 8 cm C. 12 cm

B C

A

D B

A

D C

B

8 cm

6 cm

8 cm 6 cm

8 cm

6 cm

A

B C

D






B. 9 cm D. 15 cm

Kunci Jawaban: D

AC = AD + CD = 3 + 6 = 9 cm.

Panjang AB:

AC CD =

AB DE

96 =

AB10

6 AB = 9 × 10

AB =6

90 = 15 cm

13. Perhatikan gambar dibawah ini!

Segitiga ADE dengan BC⁄⁄DE. Jika DE = 9cm, BC = 6 cm dan AB = 4 cm, maka panjangAD adalah…A. 6 cm C. 10 cmB. 7 cm D. 36 cm

Kunci Jawaban: A

Panjang AD:

DE

BC

AD

AB

9

64

AD

6 AD = 4 9

AD =6

36 = 6 cm

14.

Pada gambar dibawah ini!

Luas DEG = 64 cm2 dan DG = 8 cm. Panjang DFadalah…

A. 4 5 cm C. 256 cm

B. 128 cm D. 320 cm

Kunci Jawaban: ALuas DEG = 64 cm2 dan DG = 8 cmCari panjang EG:

Luas DEG = 64 cm2

2

1 × alas × tinggi = 64

2

1 × DG × EG = 64

21 × 8 × EG = 64

4 × EG = 64

EG =4

64 = 16 cm


Perhatikan DEG: DE2 = DG2 + EG2

DE = 22 168 DE = 25664 DE = 320 cm

DE = 645 cm

DE = 8 5 cm

Kita cari panjang DF:

EG

DG

= DE

DF

16

8

= 58

DF

16 DF = 8 × 8 5

16 DF = 64 5

DF =16

564

DF = 4 5 cm

15. Perhatikan gambar dibawah!

Diketahui panjang AB = 9 cm dan AD = 5 cm.panjang BC adalah…A. 4 cm C. 6 cm

B. 5 cm D. 8 cm

Kunci Jawaban: C

AB = 9 cm, AD = 5 cm

8 cmG D

E

D F

E

16 cm

G F

D

8 cm

AE

D

C

B

A9 cm

6 cm4 cm






Maka BD = AB – AD = 9 – 5 = 4 cm.

BC

BD =

AB

BC

BC

4 =

9

BC

BC2 = 4 9BC2 = 36

BC = 36 = 6 cm


Panjang TQ adalah…A. 4 cm C. 6 cmB. 5 cm D. 8 cm

Kunci Jawaban: C

Panjang TQ:

PR

TS

PQ

TQ

12

8

TQPT

TQ

3

2

3

TQ

TQ

3 TQ = 2 (3 + TQ)3.TQ = 6 + 2.TQ

3.TQ – 2.TQ = 6TQ = 6 cm

17. Perhatikan gambar berikut ini!

Nilai x adalah…

A. 1,5 cm C. 8 cmB. 6 cm D. 10 cm

Kunci Jawaban: B Nilai BE = x

AB

BE = AC

EF

BE AE

BE

=

8

6

BE

BE

2

=

4

3

4 BE = 3 × (2 + BE)4.BE = 6 + 3.BE

4.BE – 3.BE = 6BE = 6 cmx = 6 cm


Gambar trapesium ABCD dengan PQ//AB.Jika diketahui DP = 5 cm, AP= 4 cm dan CB =13,5 cm, maka panjang CQ = …A. 16,9 cm C. 9 cm

B. 10,4 cm D. 7,5 cm

Kunci Jawaban: D

Panjang DA = AP + DP = 9 cm

DA

DP =

CB

CQ

9

5 =

13,5

CQ

9 CQ = 13,5 5

CQ =9

67,5 = 7,5 cm

19. Pada gambar dibawah ini!

Panjang EF adalah…A. 6,75 cm C. 10,5 cmB. 9 cm D. 10,8 cm

Kunci Jawaban: C

Panjang AD = AE + DE = 8 cm

9 cm

B C

A

4 cmD B

C






EF =AD

)A(DEDC)(AE B

EF =8

)81(3)6(5

EF =8

5430 =

8

84

= 10,5 cm


Pada gambar diatas, panjang BD = 24 cm danAD = 16 cm. Luas ABC adalah…B. 192 cm2 C. 432 cm2 C. 624 cm2 D. 1248 cm2

Kunci Jawaban: B

Panjang BD = 24 cm, dan AD = 16 cmGambar segitiga dipecah menjadi:

Kita cari panjang CD:

BD

AD =

CD

BD

28

16 =

CD

28

16 CD = 24 × 24

CD = 16

576

= 36 cm

Perhatikan ABC,AC = alas = AD + CD = 16 + 36 = 52 cmBD = tinggi = 24 cm

Luas ABC =2

1 × alas × tinggi

=2

1 × 52 × 24 = 26 × 24

= 624 cm2

21. Suatu pesawat udara panjang badannya 24 mdan panjang sayapnya 32 m. Jika pada suatu

model berskala panjang sayapnya 8 cm, makapanjang badan model pesawat udara tersebutadalah…A. 18 cm C. 8 cmB. 15 cm D. 6 cm

Kunci Jawaban: D

Pjg badan sbnrnya = 24 m = 2.400 cm

Pjg syp sbnrnya = 32 m = 3.200 cm

Pjg syp model = 8 cm

model bdnPjg

sbnrnya bdnPjg =

modelsypPjg

sbnrnyasypPjg

model bdnPjg

2.400 =

8

3.200

3.200 Pjg bdn model = 8 2.400

Panjang bdn model =3.200

19.200 = 6 cm

22. Sebuah model pesawat, panjangnya 40 cm,lebarnya 32 cm. Jika panjang sebenarnya 30meter, maka lebar pesawat sebenarnyaadalah…A. 42,66 m C. 30 mB. 37,50 m D. 24 m

Kunci Jawaban: D

Panjang pd model = 40 cm

Lebar pd model = 32 cm

Panjang sbnrnya = 30 m = 3.000 cm

sbnrnyaPjg

model pd Pjg =

sbnrnyaLebar

model pd Lebar

3.000

40 =

sbnrnyaLebar

32

40 Lebar sbnrnya = 32 3.000

Lebar sbnrnya = 40

96.000

Lebar sbnrnya = 2400 cmLebar sbnrnya = 24 m

23. Tinggi menara 25 m dan lebar bangunan 20 m.Jika pada layar TV lebarnya menjadi 12 cm,maka tinggi menara pada TV adalah…A. 15 cm C. 20 cmB. 18 cm D. 21 cm

Kunci Jawaban: ATinggi sbnrnya = 25 m = 2500 cm

Lebar sbnrnya = 20 m = 2000 cm

24 cm 16 cmD A

B

D B

C

24 cm

B A

C






Lebar pd tv = 12 cm

tv pd Tinggi

sbnrnyaTinggi =

tv pd Lebar

sbnrnyaLebar

tv pd Tinggi

2.500 =

12

2.000

2.000 Tinggi pd tv = 12 2.500

Tinggi pd tv =2.000

30.000 = 15 cm

24. Tiang bendera dengan tinggi 3 m mempunyaipanjang bayangan 1,8 m. Bila sebuah pohonmempunyai panjang bayangan 2,1 m, makatinggi pohon itu adalah…A. 3,2 m C. 3,5 mB. 3,4 m D. 3,6 m

Kunci Jawaban: C

Tinggi bendera = 3 m

Panjang bayangn bendera = 1,8 m

Panjang bayangn pohon = 2,1 m

PohonTinggi

benderaTinggi =

pohon bygnPjg

bendera bygnPjg

PohonTinggi

3 =

2,1

1,8

1,8 Tinggi Pohon = 3

2,1

Tinggi Sbnrnya =1,8

6,3 = 3,5 m

25. Suatu gedung tampak pada layar televisidengan lebar 32 cm dan tinggi 18 cm. Jikalebar gedung sebenarnya 75 kali lebar gedung

yang tampak pada TV, maka lebar gedungsebenarnya adalah…A. 13,5 m C. 42 m

B. 14 m D. 42,67 m

Kunci Jawaban: A

Lebar pada tv = 32 cm

Tinggi pada tv = 18 cm

Lebar gdg sebenarnya = 75 lbr pd tv= 75 32

= 2400 cm

Tinggi sbnrnya = …?

sebenarnyaLebar

tv pd Lebar=

SbnrnyaTinggi

tv pd Tinggi

2400

32 =

SbnrnyaTinggi

18

32 Tinggi Sebenarnya = 2400 18

Tinggi Sebenarnya = 32

43200

= 1350 cm

= 13,5 m






B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Perhatikan gambar !

Panjang LN = 16 cm, maka panjang KM adalah…

Penyelesaian:

LM

LM =

LN

KM

12

12 =

16

KM

1 =16KM

KM = 1 16KM = 16 cm

2. Perhatikan gambar berikut !

Jika PE = 3 cm, PR = 8 cm, QE = 6 cm, makapanjang SE adalah…

Penyelesaian:

PE = 3 cmRE = PR – PE = 8 – 3 = 5 cmQE = 6 cm

RE

PE =

QE

SE

5

3 =

6

SE

5 SE = 3 6

SE =5

18= 3,6 cm


Gambar diatas menunjukkan bangun datarpersegipanjang. Nilai x, y, z dan p berturut-turut adalah…

Penyelesaian:

Cari nilai y:

24

y =

84

4

24

y =

12

4

12y = 4 2412y = 96

y =12

96 = 8

Nilai y = 8, Cari nilai x:

24

8 =

x6

6 8 (6 + x) = 6 24

48 + 8x = 1448x = 144 – 488x = 96

x =8

96 = 12

Nilai y = 8, x = 12, Cari nilai p:

p

8

= 18126

6

p

8

= 36

6

6p = 8 366p = 288

p =6

288 = 48

Nilai y = 8, x = 12, p = 48, Cari nilai z:

8

4 =

48

84 z

2

1 =

48

12 z

2 (12 + z) = 4824 + 2z = 48

2z = 48 – 242z = 24

z =2

24 = 12

Jadi nilai x = 12, y = 8, z = 12, p = 48.

4. Panjang bayangan tugu karena sinar Matahariadalah 15 m. Pada tempat dan saat yang sama,tongkat sepanjang 1,5 m yang ditancapkantegak lurus terhadap tanah mempunyai

bayangan 3 m. Tinggi tugu adalah…

Penyelesaian:






Panjang bayangan tugu = 15 m

Panjang tongkat = 1,5 m

Panjang bayangan tongkat = 3 m

Tinggi Tugu = …?

TongkatBygnPjg

TuguBygnPjg =

TongkatTinggi

TuguTinggi

3

15 =

1,5

TuguTinggi

3 Tinggi Tugu = 15 1,5

Tinggi Tugu =3

22,5 = 7,5


Seorang pemuda menghitung lebar sungaidengan menancapkan tongkat di B, C, D, dan E(seperti pada gambar) sehingga DCA segaris(A = Benda di seberang sungai). Lebar sungaiAB adalah…

Penyelesaian:

Lebar sungai 12 m = 120 cmGunakan sifat perbandingan sebangun.

AB

DE = BC

CE

AB

4 =

120

3

3 AB = 4 × 1203 AB = 480

AB = 3

480

= 160 cm = 16 m






B.

KEKONGRUENAN

1. Dua Bangun Kongruen

Dua bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi:i. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang.ii. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjangiii. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama

besar

Contoh Bangun-Bangun Kongruen

(i)

Besar A = E, besar B = F, besar C = GPanjang AB = EF, panjang AC = EG, panjang BC = FG

(ii)

Besar A = P, besar B = Q, besar C = R

(iii)

Besar A = R, besar B = S, besar C = T

(iv)

Besar A = K, B = L, C = M, D = O, E = P

A B

C

E F

G

A

x

C

Bo P

x

R

Qo

A

C

B R

T

S

A B

C

DE

K L

M

OP






2. Menghitung Panjang Sisi Dua Bangun Kongruen

(i)

Panjang AB = DE, AC = DF, BC = EF

(ii)

Panjang AB = PQ, AC = PR, BC = QR

(iii)

Panjang AB = RS, AC = RT, BC = ST

(iv)

Panjang AB = KL, BC = LM, CD = MN, ED = NO

Contoh Soal:


A B

C

E F

G

A

x

C

Bo

P

x

R

Qo

A

C

B R

T

S

A B

C

DE

K L

M

OP

D

800

F

E450

6 cm

P

800

R

Q

450

6 cm






Dari gambar diatas:a. Buktikan bahwa DEF dan PQR kongruen!b. Sebutkan pasangan sisi yang sama panjang!

Jawab:

a. Perhatikan DEF dan PQR

………… = PQ = ……… cm (sisi)

E = ……… = ……… 0 (sudut)

…… = R = ……… 0 (sudut)

Jadi DEF dan PQR kongruen (DEF PQR)

b. Pasangan sisi yang sama panjangDE = ………

…… = PR…… = ……


Pasangan sudut yang sama besar adalah…A. A dengan D C. B dengan E

B. B dengan D D. C dengan F

Kunci jawaban: B Penyelesaian

Besar sudut yang sama harus diapit oleh panjang sisi yang sama, makaA = F (diapit oleh sisi 1 dan 3)

B = D (diapit oleh sisi 1 dan 2)dan C = E (diapit oleh sisi 2 dan 3)

3. Perhatikan gambar !C F

x

x o oA B D E

Segitiga ABC dan DEF kongruen.Sisi yang sama panjang adalah…

A B

C F

D E






A. AC = EF C. BC = EFB. AB = DE D. BC = DE

Kunci jawaban: D

Penyelesaian

Panjang sisi yang sama harus diapit oleh besar sudut yang sama, makaAB = EF (diapit oleh sudut x dan o)BC = ED (diapit oleh suduti o dan kosong)dan AC = FD (diapit oleh sudut x dan kosong)


Jika ABC dan PQR kongruen.Tentukan:a. Panjang AC, AB, PQ, dan RQ

b. Besar ABC, ACB, dan PRQ

Jawab:

Karena ABC dan PQR kongruen maka panjang sisi-sisi dan besar sudut-sudut yang bersesuaiansama.a. AC = PR = ……… cn

AB2 = BC2 – AC2

AB = 22 ............

= .....................

= ..........

= ………Panjang AB = ……… cmKarena AB bersesuaian dengan ……… dan ……… bersesuaian dengan RQ, maka …… = AB = ……cm; QR = ……… cm.

b. ABC = PQR = 400.ACB = 1800 – (900 + ABC)

= 1800 – (900 + 400)

= 1800 – ………0

= ………0

PRQ = ACB = ………0

A

10 cm

C

B

i

P R

Qi

6 cm

400






SOAL ULANGAN KONGRUEN

BAGIAN 2

C. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Pernyataan berikut ini yang benar adalah…A. 2 buah segitiga dikatakan kongruen jika

sisi-sisi yang bersesuaian mempunyaiperbandingan yang sama

B. 2 buah segitiga dikatakan kongruen jikasudut-sudut yang bersesuaian sama besar

C. 2 buah segitiga dikatakan kongruen jikasisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

D. 2 buah segitiga dikatakan kongruen jika 2pasang sisi yang bersesuaian sama panjang

Kunci Jawaban: C

Cukup Jelas.

2. Dua segitiga adalah kongruen. Alasan berikutbenar, kecuali…A. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjangB. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besarC. Satu sudut sama besar dan kedua sisi yang

mengapit sudut itu sama panjangD. Dua sudut sama besar dan sisi yang diapit

oleh kedua sudut itu sama panjang

Kunci Jawaban: C

Cukup Jelas.

3. Segitiga ABC siku-siku di B kongruen dengansegitiga PQR siku-siku di P. Jika panjang BC =8 cm dan QR = 10 cm, maka luas segitiga PQRadalah…A. 24 cm² C. 48 cm²B. 40 cm² D. 80 cm²

Kunci Jawaban: APerhatikan gambar dibawah ini!

Karena ABC dan PQR kongruen, maka PR =BC = 8 cm dan QR = 10 cm,PQ2 = QR2 – PR2

PQ = 22810

PQ = 64100 = 36 = 6 cm.

Luas PQR =2

1 a t

=2

1 6 8 = 24 cm cm2


Diketahui A = D dan B = E. ∆ABC dan∆DEF kongruen jika… A. C = F C. AB = DFB. AB = DE D. BC = DF

Kunci Jawaban: B

∆ABC & ∆DEF kongruen jika AB = DE


ABCD adalah persegi panjang. Kedua diagonalAC dan BD berpotongan di O. Segitiga yangkongruen dengan ∆AOB adalah… A. ∆AOD C. ∆DOC

B. ∆DAB

D.∆BOC

Kunci

Jawaban:

C

∆DOC

6. Perhatikan gambar berikut:

Segitiga ABC sama kaki AC = BC, CD garistinggi. Bila AE dan BF garis bagi. Banyak

GF E

BDA

C

B

8 cm

C

A P

R

Q

10 cm






pasangan segitiga yang kongruen pada gambartersebut adalah…A. 4 pasang C. 6 pasangB. 5 pasang D. 7 pasang

Kunci Jawaban: C

Segitiga kongruen ∆ADC & ∆BDC, ∆AFB &∆BEA, ∆AEC & ∆BFC, ∆ADG & ∆BDG, , ∆AFG& ∆AFG, ∆FGC & ∆EGC,


Diketahui ∆ABC siku-siku di A, ∆PQR siku-siku di Q. Jika ∆ABC dan ∆PQR kongruen,pernyataan di bawah ini yang pasti benaradalah…A. B = P C. AC = QRB. AB = PQ D. BC = PR

Kunci Jawaban: A

B = P

8. Perhatikan gambar dibawah ini!Pada gambar di bawah ini, diketahui ABCDadalah layang-layang dengan diagonal AC danBD berpotongan di O. Berdasarkan gambardiatas, pernyataan yang salah adalah…A. ∆ABO dan ∆CBO kongruen B. ∆ABD dan ∆CBD kongruen C. ∆ACD dan ∆ABC kongruen D. ∆AOD dan ∆COD kongruen Kunci Jawaban: C

∆ACD dan ∆ABC tidak kongruen

9. Perhatikan gambar dibawah ini!Pada gambar di atas,diketahui D = R danDE = PR. Jika ∆DEFkongruen dengan ∆RPQ,maka DEF = …

A. QRPC. RQP

B. RPQ D. PQR

Kunci Jawaban: B

DEF = RPQ

10. Perhatikan gambar dibawah ini!Gambar diatas adalah segitiga samakakidengan alas AB. AD dan BE adalah garis tinggipada sisi BC dan AC yang berpotongan di titikP. Banyaknya pasangan segitiga yang kongruenadalah…A. 1 C. 3B. 2 D. 4

Kunci Jawaban: C

Segitiga yang kongruen: APE = BPDABE = BADADC = BEC

11. Perhatikan gambar

dibawah ini!Gambardiatasadalah

jajargen jang

ABCD dengan diagonalAC dan BD yang berpotongan di titik E.Banyaknya pasangan segitiga yang kongruenadalah…A. 4 C. 6

B. 5 D. 8Kunci Jawaban: A

Segitiga yang kongruen: AEB = CED, AED= BEC, ADB = CBD, ABC = CDA


Banyak pasangan segitiga kongruen … pasang.A. 1 C. 3B. 2 D. 4Kunci Jawaban: B

2 pasang.

13. Perhatikan gambar dibawah ini!Segitiga KLMkongruen dengansegitiga STU, maka

besar sudut T adalah…

A. 35°






C. 55°B. 50° D. 70°Kunci Jawaban: C

KLM dan STU sama kakiM = U = 70°T = 55°MKL = MLK = UST = UTS2 × MKL = 180 – 702 × MKL = 110

MKL =2

110 = 55°


Gambar diatas menunjukkan segitiga ABCkongruen dengan segitiga PQR. Makaberturut-turut panjang sisi QR, besar sudutPQR dan besar sudut PRQ adalah…A. 11 cm, 60° dan 50°B. 10 cm, 50° dan 60°C. 9 cm, 50° dan 60°D. 11 cm, 50° dan 60°

Kunci Jawaban: D

Segitiga yang kongruen: ABC = PQRAB = PQ = 10 cmAC = PR = 9 cmBC = QR = 11 cmBAC = QPR = 70°ACB = PRQ = 60°ABC = PQR = 50°


PanjangAB = 12 cm dan EG = 16 cm. Panjang BF= …A. 12 cm C. 20 cm

B. 16 cm D. 28 cm

Kunci Jawaban: B

AB = FE = GH = 12 cmEG = BF = AC = 16 cm

D. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!


Pada gambar diatas, segitiga ABC kongruendengan segitiga DEF. Panjang EF adalah…

Penyelesaian: ABC kongruen dengan DEFAB = DF = 5 cmAC = DE = 6 cmBC = EF = 7 cm

3. Perhatikan gambar di bawah ini.

Diketahui AC =15 cm, GH = 20 cm. Panjang EB

adalah…

Penyelesaian: AC =15 cm, GH = 20 cmAC = GE = BF = 15 cmGH = FE = AB = 20 cmEB = HE = BCEB2 = BF2 + FE2

EB = 22 2015

EB = 400225

EB = 625 EB = 25 cm







Segitiga ABE dan segitiga BCD kongruen. Luassegitiga ABE adalah…

Penyelesaian: CD = AE = 10 cmBC = BE = 6 cm

BD = ABBD2 = CD2 – BC2

BD = 22610

BD = 36100

BD = 64

BD = 8 cmLuas ABE = Luas CBD

=2

1× alas × tinggi

= 2

1

× 6 × 8= 24 cm2


∆ABC kongruen dengan ∆BDE, dengan AB =BE. Besar ACB =…

Penyelesaian: BAC = DBE = 60°BED = ABC = 50°ACB = BDEACB + ABC + BAC = 180°

ACB + 50° + 60° = 180°ACB + 110° = 180°

ACB = 180° – 110°ACB = 70°

6. Segitiga ABC kongruen dengan segitiga ADE.Segitiga ABC sama kaki dengan AC = BC = 25cm dan AB = 14 cm. Luas segitiga ADE adalah…

Penyelesaian: AC = BC = 25 cm dan AB = 14 cm.

Karena ABC kongruen dengan ADE,Maka AC = BC = AE = DE = 25 cm

AB = AD = 14 cmPerhatikan ADE.

Kita cari tinggi segitiga = ET.ET 2 = ED2 – TD2

ET = 22725

ET = 49625

ET = 576

ET = 24 cm

Luas ADE =2

1× alas × tinggi

=2

1× 14 × 24 = 168 cm2

A B

C

25 cm 25 cm

14 cmA D

E

25 cm25 cm

14 cm

A D

E

25 cm25 cm

7 cm7 cmT






BAB 2

TABUNG, KERUCUT DAN BOLA

A. Tabung

Dalam kehidupan sehari-hari kamu sering menjumpai benda-benda yang berbentuk seperti drum,misalnya kaleng susu, kaleng roti, pipa, atau potongan bambu. Bentuk itulah yang dinamakan tabung.

Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah daerah lingkaran yang kongruen danbidang samping yang disebut selimut, berbentuk persegi panjang atau persegi.

1. Unsur-Unsur Tabung

Tabung mempunyai unsur-unsur: Bidang/sisi alas dan bidang atas (dinamakan rusuk

tabung) berupa bidang datar yang berbentuklingkaran

Tinggi (t), yaitu jarak antara bidang alas danbidang atas

Jari-jari tabung (r) atau diameter tabung (d = 2r) Selimut tabung berupa bidang/sisi lengkung

tabung

2. Jaring-Jaring Tabung

Gambar diatas merupakan jaring-jaring tabung terdiri dari: Dua lingkaran yang kongruen berjari-jari r Selimut tabung yang berupa persegi panjang dengan:

Panjang selimut tabung = keliling lingkaran alas tabung = 2πr Lebar selimut tabung = tinggi tabung (l = t)

t

d

r

Bidang atas

Bidang alas

Bidang lengkung/selimut tabung

t

d

r

t

Bidang atas/tutup

Bidang alas

Selimut tabung2πr

r

r






3. Luas Permukaan

Bila tabung dibuka dengan bagian sisi atas dan sisi alasnya serta bagian selimutnya, maka luas tabungdapat dicari dengan menjumlahkan masing-masing luas sisinya.

Keterangan:L = Luas kerucutV = volume kerucutd = diamater kerucutr = jari-jari kerucutt = tinggi kerucut

= 3,14 atau =7

22

Dari gambar diatas diperoleh:1) Luas selimut tabung = Luas persegi panjang = p l

Luas selimut tabung = Keliling alas tinggi

= ……………… ……………

= ………………………

2) Luas sisi/permukaan tabung merupakan gabungan luas selimut, luas alas dan luas sisi atas/tutup

Luas sisi/permukaan tabung = Luas alas + Luas selimut tabung + Luas tutup

= ……………………… + ……………………… + ………………………

= ……………………… + ………………………

= ……………… ( ……… + ……… )

3) Luas sisi/permukaan tabung merupakan tanpa tutup

Luas sisi/permukaan tabung = Luas selimut tabung + Luas tutup

= ……………………… + ………………………

KesimpulanLuas selimut tabung = 2πrt

Luas sisi/permukaan tabung = 2πr2 + 2πrt = 2πr (r + t)

Luas tabung tanpa tutup = πr2 + 2πrt

dengan π = 3,14 atau π =7

22

Ltutup = r2

Lselimut = 2rt

r

rLalas = r2

t

Selimut tabung2πr






4. Volume Tabung

Karena tabung merupakan bagian dari prisma, maka volume tabung sama dengan volume prisma, yaituluas alas dikali tinggi.

Volume Tabung = Luas alas tinggi tabung (Ingat Lalas = Llingkaran = …………)

= …………… ……………

= ……………

Contoh Soal:

1. Volume tabung dengan panjang diameter 7 cm dan tinggi 12 cm ( =7

22 ) adalah…

Penyelesaian

Diketahui : d = ………… cm, r =......

...... cm

t = …………… cmVolume = r2t

=7

22 (

....

....

....

.... ) …………

= ……………… cm3

2. Luas seluruh permukaan tabung tanpa tutup yang panjang jari-jarinya 7 cm dan tingginya 10 cmadalah…Penyelesaian

Diketahui : r = 7 cm dan t = 10 cmLtanpa tutup = Lalas + Lselimut

= r2 + 2rt

= (7

22 × 7 × 7) + (2 ×7

22 × 7 × 10)

= 154 + 440= 594 cm2

3. Sebuah kaleng berbentuk tabung berdiameter 28 cm dan tinggi 60 cm penuh berisi minyak.Minyak tersebut akan dituang ke dalam kaleng-kaleng kecil berdiamater 14 cm dan tinggi 20 cm.Berapa banyak kaleng kecil yang diperlukan untuk menampung minyak dari kaleng besar?Penyelesaian

Banyak kaleng kecil =KecilKaleng

Besar Kaleng

V

V

=t r

T R2

2

.

=

2077

601414

= 12 Buah

4. Sebuah bak air berbentuk tabung yang panjang diameternya 70 cm dan tinggi 1,5 m, penuh terisiair. Setelah air dalam bak terpakai untuk mandi dan mencuci sebanyak 20 liter, berapakah tinggi

air dalam bak sekarang?Penyelesaian

Kesimpulan:

Volume tabung: V = r2 × t






Diketahui: d = 70 cm, r = 35 =2

7 cm, t = 1,5 m = 150 cm

Vair semula = Vtabung = r2 × t =7

22×

2

7×

2

7× 150 = 5.775 cm3

Vair terpakai = 2 liter = 2.000 cm3

Vair terpakai = r2

× t

tair terpakai = 2

aiair terpak

πr

V =

2

7

2

7

7

22

2.000

=

5,38

2.000 = 51,95 cm

Tinggi sisa air = 150 cm – 51,95 cm = 98,05 cm






SOAL ULANGAN 1

TABUNG

A.


1. Rumus luas selimut tabung adalah…A. πr2 C. 2πr2 B. πrt D. 2πrt

Kunci Jawaban: D

Luas selimut tabung = 2rt

2. Sebuah tabung berjari-jari 20 cm, volumenya6280 cm3 dan π = 3,14. Luas selimut tabungtersebut adalah….A. 628 cm2 C. 6280 cm2 B. 1256 cm2 D. 12560 cm2

Kunci Jawaban: A

r = 20 cmVolume = 6280 cm3 π = 3,14.V = r2t

t =2r

V

=202014,3

6280

=12566280 = 5 cm

Luas selimut tabung:= 2rt= 2 × 3,14 × 20 × 5= 628 cm2

3. Jika tinggi tabung adalah 19 cm panjang jari- jari lingkaran alas tabung adalah 7 cm, makaluas permukaan tabung adalah…A. 1.144 cm2 C. 4.144 cm2

B. 1.414 cm2 D. 4.414 cm2

Kunci Jawaban: A

t = 19 cm, r = 7 cmLuas permukaan = 2r (r + t)

= 2 ×7

22 × 7 × (7 + 19)

= 44 × 26= 1.144 cm2

4. Sebuah tangki berbentuk tabungtertutup mempunyai volume 2.156 cm3. Jika

panjang tangki 14 cm dan π =7

22, maka luas

permukaan tangki tersebut adalah…A. 776 cm2 C. 3.696 cm2 B. 924 cm2 D. 4.312 cm2

Kunci Jawaban: B

Volume = 2.156 cm3, π =

7

22

Panjang tangki = t = 14 cmV = r2t

r2 =t

V

=

147

22

2156

=44

2156 = 49

r = 49 = 7 cm

Luas permukaan = 2r (r + t)

= 2 ×7

22 × 7 × (7 + 14)

= 44 × 21= 924 cm2

5. Sebuah tabung terbuka terbuat dari sengdengan jari-jari alasnya 14 cm, tinggi 20 cm.

Jika π =7

22, luas seng yang diperlukan untuk

membuat tabung itu adalah…A. 1.232 cm2 C. 1. 760 cm2 B. 1.496 cm2 D. 2.992 cm2

Kunci Jawaban: D

r = 14 cm, t = 20 cm, π =7

22,

Luas seng = Luas permukaan= 2r (r + t)

= 2 ×7

22 × 14 × (14 + 20)

= 88 × 34= 2.992 cm2

6. Tabung dengan panjang jari-jari alas 10 cmberisi minyak setinggi 14 cm. Ke dalam tabung






itu dimasukkan lagi sebanyak 1,884 liter.Tinggi minyak dalam tabung sekarang adalah…( = 3,14)A. 16 cm C. 19 cmB. 18 cm D. 20 cm

Kunci Jawaban: D

r = 10 cm, tmula-mula = 14 cmVolume minyak tambahan = 1,884 liter

= 1,884 dm3 = 1.884 cm3

V = r2t = 1.884

Tinggi minyak tambahan =2

r

V

=101014,3

884.1

=314

1884 = 6 cm

Tinggi minyak dalam tabung sekarang= 14 + 6 = 20 cm

7. Panjang jari-jari alas sebuah tabung tanpatutup 7 cm. Jika tinggi tabung 20 cm makaluas sisi tabung itu adalah…A. 1.034 cm2 C. 880 cm2 B. 1.043 cm2 D. 517 cm2

Kunci Jawaban: A

r = 7 cm

t = 20 cm, π =7

22

Lsisi = Lpermukaan (tanpa tutup) = r2 + 2rt

= (7

22 × 7 × 7)+(2 ×

7

22 × 7 × 20)

= 154 + 880

= 1.034 cm2

8. Tabung tanpa tutup dengan diameter 20 cmdan tinggi 25 cm, maka luas permukaannyaadalah…A. 1.099 cm2 C. 4.158 cm2 B. 1.884 cm2 D. 4.929 cm2

Kunci Jawaban: B

d = 20 cm, maka r =2

20 = 10 cm

t = 25 cm, π = 3,14 Luas permukaan (tanpa tutup)

= r2 + 2rt= (3,14 × 10 × 10) + (2 × 3,14 × 10 × 25)= 314 + 1.570= 1.884 cm2

9. Jika tinggi tabung 16 cm dan jari-jari alasnya

7 cm (π =7

22), maka luas permukaan tabung

adalah…A. 1.112 cm2 C. 858 cm2 B. 1.012 cm2 D. 704 cm2

Kunci Jawaban: B

t = 16 cm, r = 7 cm, π =7

22

Luas permukaan

= 2r (r + t)

= 2 ×7

22 × 7 × (7 + 16)

= 44 × 23= 1.012 cm2

10. Ari membuat dua tabung tertutup dari kertas

karton dengan ukuran diameter 14 cm dantinggi 35 cm. Jika kertas karton yang tersediaberukuran 100 cm x 50 cm, luas kertas karton

yang tersisa…A. 1.304 cm2 C. 3.152 cm2 B. 1.920 cm2 D. 3.460 cm2

Kunci Jawaban: d = 14 cm, maka r = 7 cmt = 35 cmKarton tang tersedia = 100 cm x 50 cm

Luas karton tersedia = 100 cm x 50 cm= 5000 cm2

Luas 2 buah tabung = 2 Luas tabung= 2 [2r (r + t)]

= 2 [2 ×7

22 × 7 × (7 + 35)]

= 2 [44 × (42)]= 2 [1.848]= 3.696 cm2

Luas kertas karton yang tersisa

= 5.000 – 3.696= 1.304 cm2







Sebuah kaleng susu berbentuk tabung. Tinggitabung 28 cm dan diameternya 10 cm. Jikabagian selimut tabung hendak dipasangi labelmerk dari kertas, maka luas kertas yang

diperlukan adalah… (π =7

22)

A. 3.080 cm2 C. 880 cm2 B. 1.760 cm2 D. 440 cm2

Kunci Jawaban: C

t = 28 cmd = 10 cm, maka r = 5 cmLuas kertas = Luas selimut tabung

= 2rt

= 2 ×7

22 × 5 × 28

= 880 cm2

12. Volume sebuah tabung adalah 785 cm3 dengantinggi 10 cm, maka jari-jari tabung adalah…A. 5 cm C. 20 cmB. 15 cm D. 25 cm

Kunci Jawaban: A Volume = 785 cm3 t = 10 cm (Ingat: V = r2t)

r2 =t

V

=1014,3

785

=

4,31

785 = 25

r = 25 = 5 cm

13. Suatu tangki gas berbentuk tabung dapat diisipenuh 7,7 L. Jika tinggi tabung 50 cm dan π =

7

22, maka panjang jari-jari tabung adalah…

A. 3,5 cm C. 14 cmB. 7 cm D. 21 cm

Kunci Jawaban: B Volume = 7,7 L

= 7,7 × 1.000 cm3

= 7.700 cm3

t = 50 cm, π =722

r2 =t

V

=

507

22

7700

=

7

1100

7700 = 7700 ×

1100

7

r2 = 7 × 7 = 49

r = 49 = 7 cm

14. Jika tabung dengan luas permukaan 471 cm2 dan jari-jari 5 cm, maka tinggi tabung adalah…(π = 3,14) A. 18 cm C. 10 cmB. 14 cm D. 7 cm

Kunci Jawaban: C L.permukaan = 471 cm2 r = 5 cm, π = 3,14Lpermukaan = 2r (r + t)

471 = 2 × 3,14 × 5 × (5 + t)471 = 31,4 × (5 + t)

5 + t =4,31

471

5 + t = 15t = 15 – 5t = 10 cm

15. Kaleng minyak goreng berbentuk tabung berisipenuh 0,924 L. Jika diameternya 14 cm dan π

=7

22, maka tinggi kaleng adalah…

A. 4 cm C. 8 cmB. 6 cm D. 10 cm

Kunci Jawaban: B Volume = 0,924 L = 0,924 × 1.000

= 924 cm3


14 = 7 cm

V = r2t

t =2r

V

=

777

22

924

=154

924 = 6 cm

16. Suatu tabung dengan panjang jari-jari 21 cmdan tinggi 3 cm, maka volume tabung adalah…A. 198 cm3 C. 4.158 cm3 B. 1.386 cm3 D. 8.316 cm3

Kunci Jawaban: C

r = 21 cm, t = 3 cmV = r2t =

7

22× 21 × 21 × 3 = 4.158 cm3

Maju

Asli Madu Asli







Volume tabung di samping, dengan π =722

adalah…A. 168 cm3 C. 792 cm3 B. 252 cm3 D. 3.168 cm3

Kunci Jawaban: r = 6 cm, t = 28 cm

V = r2t =722 × 6 × 6 × 28 = 3.168 cm3

18. Diketahui tabung yang tingginya 10 cm danluas selimut 440 cm2, maka volume tabungtersebut adalah…A. 1.535 cm3 C. 1.545 cm3 B. 1.540 cm3 D. 1.550 cm3

Kunci Jawaban: B t = 10 cm, Lselimut = 440 cm2 Lselimut = 2rt

r =t

L ut Se

2

lim =

107

222

440

=

7

440

440

r =440

7440 = 7 cm

V = r2t =7

22× 7 × 7 × 10 = 1.540 cm3

19. Sebatang pipa berbentuk tabung denganpanjang 14 m. Jika keliling alasnya 44 m dan π

=7

22, volume pipa tersebut adalah…

A. 2.156 m3 C. 3.156 m3 B. 2.165 m3 D. 3.165 m3

Kunci Jawaban: A

Panjang tabung = t = 14 m, π =722

Keliling alasnya = 44 m

K.alas = K.lingkaran = 44 m2πr = 44

2 ×7

22 × r = 44

744 r

= 44

44 × r = 44 × 7

r =44

744= 7 cm

V = r2t =7

22× 7

× 7 × 14 = 2.156 cm3

20. Perhatikan penampang bak berbentuksetengah tabung berikut!

Dua pertiga bagian dari bak tersebut berisiair. Volume air dalam bak adalah…A. 88,75 m3 C. 192,50 m3

B. 96,25 m3

D. 385 m3

Kunci Jawaban: C

t = 15 m = 15 cm

d = 7 m, maka r =2

7 m

Volume air =3

2× bagian

Volume2

1tabung =

2

1r2t

=21 ×

722 ×

27 ×

27 × 15

= 288,75 cm3

Volume air =3

2× bagian

=3

2× 288,75

= 192,5 cm3

21. Dua buah tabung mempunyai tinggi yang samadan masing-masing berjari-jari 6 cm dan 8 cm.Jika volume masing-masing V1 dan V2, maka V1 : V2 adalah…

28 cm

6 cm






A. 3 : 4 C. 3 : 9B. 9 : 16 D. 6 : 16

Kunci Jawaban: B

2

1

V

V =

t r

t r

..

..2

2

2

1

=2

2

8

6 =

64

36 =

16

9 = 9 : 16

22. Sebuah bak penampungan berbentuk tabungdengan tingginya 2 meter dan panjang jari-jari7 dm yang terisi penuh air. Jika air yangkeluar melalui kran rata-rata 7 liter permenit, waktu yang diperlukan untukmenghabiskan air dalam bak itu adalah…A. 4 jamB. 4 jam 20 menitC. 7 jamD. 7 jam 20 menit

Kunci Jawaban: D

t = 2 m = 20 dm, dan r = 7 dmRata-rata air keluar = 7 ltr/menitVolume air = Volume tabung

= r2t

=7

22× 7

× 7 × 20

= 3.080 cm3

Waktu =keluar air rata Rata

Volume

=7

3080

= 440 menit= 7 jam 20 menit

23. Sebuah drum minyak berbentuk tabungmemiliki diameter 84 cm dan tinggi 1 m. Jika

harga 1 liter minyak Rp 1.100,00 makahitunglah harga untuk membeli 1 drum minyak!A. Rp 609.400,-B. Rp 609.840,-C. Rp 709.840,-D. Rp 909.840,-

Kunci Jawaban: B

Ingat 1 dm3 = 1 liter

d = 84 cm, r =2

84 = 42 cm =

10

42 dm

t = 1 m = 10 dmV = r2t =

7

22 ×

10

42 ×

10

42 × 10

=10

544.5= 554,4 dm3 = 554,4 liter

Harga untuk membeli 1 drum minyak:= 554,4 × Rp 1.100= Rp 609.840

24. Sebuah kaleng berbentuk tabung berdiameter21 cm dan tinggi 24 cm penuh berisi minyak.Jika minyak itu, akan dipindah kaleng-kalengkecil dengan volume masing-masing 250 ml,maka banyak kaleng yang akan terisi penuhadalah … kalengA. 31 C. 33B. 32 D. 34

Kunci Jawaban: C


21 cm

t = 24 cmVolume kaleng kecil = 250 ml.Volume kaleng = r2t

=7

22 ×

2

21 ×

2

21 × 24

= 22 × 3 × 21 × 6= 8316 cm3 = 8316 ml

Banyak kaleng yang akan terisi penuh:

=

250

8316

= 33,264= 33 kaleng







1. Tinggi sebuah tabung 15 cm. Jika luas selimut

tabung 1.320 cm2 dan π =7

22, hitunglah:

a.

Jari-jari tabungb. Luas tabungc. Volume tabungPenyelesaian:

t = 15 cm, π =7

22,

L.selimut = 1.320 cm2 a. Panjang jari-jari tabung

Lselimut = 2rt

r =t 2π

L.selimut =

157

22

2

1320

r =

7

660

1320 = 1320 ×

660

7 = 14 cm

b. Luas tabungLuas tabung = 2r (r + t)

= 2 ×7

22 × 14 × (14 + 15)

= 88 × 29= 2.552 cm2

c. Volume tabung

V = r2t=7

22×14×14×15=9.240 cm3

2. Volume tabung adalah 1.078 cm3. Jika tinggitabung 7 cm, hitunglah:a. Jari-jari tabungb. Luas selimut tabungc. Luas permukaan tabung

Penyelesaian:V = 1.078 cm3 dan t = 7 cma. Jari-jari tabung

V = r2t

r2 =t

V

=

77

22

1078

=22

1078 = 49

r = 49 = 7 cm

b. Luas selimut tabungLselimut = 2rt

= 2 ×722 × 7 × 7

= 308 cm2

c. Luas permukaan tabungLuas tabung = 2r (r + t)

= 2 ×

7

22 × 7 × (7 + 7)

= 44 × 14= 616 cm2

3. Volume tabung adalah 18.840 cm3 dan tinggi15 cm. Hitung jari-jari dan luas selimut tabung(π = 3,14)

Penyelesaian:

V = 18.840 cm3 dan t = 15 cma. Jari-jari tabung

V = r2t

r2 =t

V

=1514,3

840.18

=

1,47

840.18 = 400

r = 400 = 20 cm

b. Luas selimut tabungLselimut = 2rt

= 2 × 3,14 × 20 × 15= 1.884 cm2

4. Sebuah tabung diketahui mempunyai panjang

diameter 20 cm dan tinggi 50 cm. Jika π =3,14, hitunglah volumenya?

Penyelesaian:


20 = 10 cm

t = 50 cm, dan π = 3,14V = r2t = 3,14×10×10×50= 15.700 cm3

5. Volume sebuah tabung 1540 cm3. Bila jari-jaritabung 7 cm, maka luas sisi tabung tertutupitu adalah…

Penyelesaian:

V = 1540 cm3 r = 7 cm (Ingat: V = r2t)

t =2r

V

=

777

22

1540

=154

1540 = 10 cm

Luas sisi = Luas tabung= 2r (r + t)

= 2 ×722 × 7 × (7 + 7)






= 44 × 14= 616 cm2

6. Luas selimut tabung = 176 cm2. Jika panjang jari-jari 7 cm, hitung volume tabung!

Penyelesaian:

L.selimut = 176 cm2 r = 7 cmLselimut = 2rt = 176 cm2

t =r 2π

L.selimut=

77

222

176

=44

176 = 4 cm

V = r2t =7

22 ×7×7×4= 616 cm3

7. Volume tabung yang berjari-jari 3,5 cm

dengan tinggi 10 cm dan π =7

22 adalah…

Penyelesaian:

r = 3,5 cm =2

7 cm

V = r2t =7

22

×

2

7 ×

2

7 × 10 = 385 cm3

8. Luas selimut tabung tanpa tutup adalah 456π cm². Perbandingan tinggi dan jari-jari tabung2 : 1. Hitunglah volume tabung!

Penyelesaian:

L.selimut = 456π cm²Tinggi : Jari-jari = 2 : 1

r

t =

1

2 t = 2r

Lselimut = 2rt576π = 2 × × r × (2r)576π = 4.r2

r2 =

4

576 = 144

r = 144 = 12 cmKarena r = 12, maka t = 2r

t = 2 × 12t = 24 cm

V = r2t =

7

22×12×12×14 = 6.336 cm3

9. Sebuah tabung diketahui luaspermukaannya 4.400 cm2. Jika jari-jarinya 14

cm dan π =7

22, hitunglah tinggi tabung itu!

Penyelesaian:Lpermukaan = 4.400 cm2 r = 14 cm, dan π = 3,14

Lpermukaan = 2r (r + t)

4.400 = 2 ×7

22 × 14 × (14 + t)

4.400 = 88 × (14 + t)

5 + t =88

400.4

5 + t = 50t = 50 – 5 = 45 cm

10. Sepotong pipa besi yang berbentuk (tabung),panjangnya 4 m dan jari-jarinya 7 mm.Hitunglah:a. Volume pipa besib. Berapa kg berat besi jika setiap 1 cm3

beratnya 12 gr?

Penyelesaian:Panjang tabung = t = 4 m = 400 cmr = 7 mm = 70 cm

a. Volume pipaV = r2t

= 3,14 × 70 × 70 × 400

= 6.154.400 cm3

b. Berapa kg berat besi jika setiap 1 cm3 beratnya 12 gr?

Berat besi =12

400.154.6

= 512.867 gr= 512,867 kg

11. Sebuah bak air berbetuk tabung dengan alasberbentuk lingkaran berjari-jari 20 cm. Bakitu dalamnya 50 cm. Tentukan volume airdalam bak tersebut!

Penyelesaian:Ingat 1 dm3 = 1 literr = 20 cm = 2 dm






Bak itu dalamnya = t = 50 cm = 5 dm

V = r2t = 3,14 × 2 × 2 × 5= 62,8 dm3 = 62,8 liter

12. Suatu tangki berbentuk tabung berisi 70.400liter air. Jika tinggi air dalam tangki 1,4 m,maka jari-jari tangki adalah…Penyelesaian:

Volume = 70.400 liter = 70.400 dm3 t = 1,4 m = 14 dmV = r2t

r2 =t

V

=

147

22

400.70

=44

400.70 = 1.600

r = 1600 = 40 cm

13. Sebanyak 1.540 liter oli dituangkan ke dalamtangki berbentuk tabung berdiameter 140 cm.Berapa cm kedalaman oli dalam tabung?

Penyelesaian:

Volume = 1.540 liter = 1.540 dm3

d = 140 cm, r =2

140 = 70 cm = 7 dm

Kedalaman oli = tinggi tabungV = r2t

t =2r

V

=

777

22

540.1

=154

540.1 = 10 dm

t = 10 dm = 100 cm14. Sebuah tabung berdiameter 28 cm dan tinggi

16 cm akan dibungkus menggunakan plastikparcel. Jika harga plastik parcelRp2.700,00/m2, hitunglah:a. Luas plastik untuk membungkus 5 buah

tabung!b. Biaya untuk membeli plastik parcel

sebanyak 5 buah tabung!

Penyelesaian:

d = 28 cm, maka r = 14 cm = 0,14 mt = 16 cm = 0,16 ma. Luas plastik = Luas tabung

= 2r (r + t)

= 2 ×

7

22× 0,14 ×(0,14 + 0,16)

= 0,88 × (0,3)= 0,264 m2

b. Biaya untuk membeli plastik parcelsebanyak 5 buah tabung= 5 × Luas plastik × Harga plastik= 5 × 0,264 × 2.700= Rp 3.564

15. Sebuah penampung minyak berbentuk tabungdengan keliling alasnya 50,24 m dan tingginya10 m. Sisi atas dan sisi lengkungnya akandicat. Jika untuk mengecat 1 m2 memerlukanbiaya Rp30.000,00, berapa biaya yangdibutuhkan untuk mengecat penampung minyakitu?

Penyelesaian:

K.alas = 50,24 mt = 10 m

Kalas = Klingkaran 50,24 = 2πr

r = 2

24,50 =

14,32

24,50

=

28,6

24,50 = 8 m

Luas yang dicat= L.sisi atas + L.sisi lengkungnya= L.tutup + L.selimut= πr2 + 2rt= (3,14 × 8 × 8)+(2× 3,14 × 8 × 10)

= 200,96 + 502,4= 703,36 m2 Biaya yang dibutuhkan untuk mengecat = Luas

yang dicat × Harga= 703,36 × 30.000= Rp 21.100.800

16. Sebatang pipa berbentuk tabung dengan

panjang 14 m. Jika keliling alasnya7

125 m

dan π =7

22, volume pipa tersebut adalah…

Penyelesaian:

Panjang tabung = t = 14 m, π =7

22

Keliling alasnya =7

125

m =

7

175 m

K.alas = K.lingkaran

2πr =7

175

2 × 7

22

× r = 7

175






7

44 r =

7

175

7 × (44 × r) = 7 × 175

r =744

1757

= 4 m

V = r2t =7

22× 4

× 4 × 14 = 704 cm3






B. KERUCUT

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah daerah lingkaran dan sebuahdaerah selimut yang berbentuk juring lingkaran.

1. Unsur-Unsur Kerucut

Kerucut terdiri dari: Bidang/sisi alas yang berbentuk lingkaran Bidang/sisi lengkung yang disebut selimut kerucut Jari-jari alas kerucut (r) Diameter alas (d) Tinggi kerucut (t) Garis pelukis (s) adalah garis yang menghubungkan titik puncak

kerucut dengan titik pada keliling alas Hubungan antara r, s, dan t pada kerucut dinyatakan dengan.

2. Jaring-Jaring Kerucut

3. Luas Permukaan Kerucut

t

d

r

s

Selimut kerucut

alas = lingkaranr

s2 = r2 + t2

r2 = s2 – t2 t2 = s2 – r2

t

d

r

s

Selimut kerucut

alas = lingkaranr

t

d

r

s






Pada gambar diatas merupakan jaring-jaring kerucut yang terdiri dari: Sebuah lingkaran dengan jari-jari r yang merupakan alas kerucut Selimut kerucut yang berupa juring lingkaran

Perhatikan gambar dibawah!Jaring-jaring selimut kerucut merupakan juring lingkarandengan ukuran sebagai berikut: Panjang jari-jari = s (garis pelukis) Panjang busur = 2πr (keliling lingkaran alas)

Luas selimut kerucut dapat ditentukan dengan menggunakanperbandingan luas juring dan perbandingan panjang busurberikut:

lingkaranLuas

juringLuas =

lingkaranKeliling

busur Panjang

lingkaranLuas

kerucutselimutLuas =

lingkaranKeliling

busur Panjang

..................

kerucutselimutLuas =

................

r 2

……… Luas selimut kerucut = ………… …………

Luas selimut kerucut =................

................

Luas selimut kerucut = ……………

Sehingga dapat ditentukan,Luas sisi kerucut = Luas alas + Luas selimut kerucut

= ……………… + ……………

= ……… (…… + ……)

Kesimpulan:

Luas selimut kerucut = πrs

Luas sisi/permukaan kerucut = πrs + πr2 = πr (r + s)


22






4. Volume Kerucut

Karena kerucut merupakan bagian dari prisma, maka volume kerucut sama dengan volume prisma, yaitu luas alas dikali tinggi.

Volume kerucut =3

1 Luas alas tinggi kerucut (Lalas = Llingkaran = …………)

=31 …………… ……………

=3

1 ……………

Contoh Soal

1. Diameter alas kerucut 20 cm, sedangkan tingginya 24 cm. Luas seluruh bidang sisi kerucut adalah …(π = 3,14) Penyelesaian:

Diketahui: d = 20, maka r = 10 cm, t = 24 cms2 = r2 + t2

s = 22 2410 = 576100 = 676 = 26 cm

L = r (r + s)= 3,14 × 10 × (10 + 26)

= 31,4 × (36)= 1.130,4 cm2

2. Volume kerucut dengan panjang jari-jari 5 cm, dan tinggi 12 cm ( = 3,14) adalah…Penyelesaian:

Diketahui: r = 5 cm dan t = 12 cm

V =3

1 × r2t

=

3

1 × 3,14 × (5 × 5) × 12

= 314 cm3

3. Dea membuat topi berbentuk kerucut dari bahan kertas karton. Diketahui tinggi topi 12 cm dandiameter alasnya 10 cm. berapakah luas minimal kertas karton yang diperlukan Dea untuk membuattopi tersebut?Penyelesaian:

Diketahui: t = 12 cmd = 10 cm r = 5 cm

s2 = r2 + t2

s = 22 125

s = 14425

Kesimpulan:

Volume kerucut: V =3

1r2 × t

dengan s2 = r2 + t2

t

d

r

s






s = 169

s = 13 cmL = r (r + s)

= 3,14 × 5 × (5 + 13)= 15,7 × (18)

= 282,6 cm

2

4. Perhatikan gambar yang terbentuk dari kerucut dan tabung!

39 cm

15 cm

14 cm

Luas permukaan bangun tersebut adalah… ( =7

22 )

Penyelesaian

Diketahui : d = 14 cm, r = 7 cm,t(tabung )= 15 cm dan t(kerucut) = (39 – 15) = 24 cm

s2 = t2 + r2

s = 22 724 = 49576 = 625 = 25 cm

Luas Permukaan Bangun:

L = L.alas + L.selimut tabung + L.selimut kerucutL = r2 + 2rt + rs

=7

22× (7 × 7) + (2 ×

7

22× 7 × 15)+ (

7

22× 7 × 25)

= 154 +660 + 550= 1.364 cm2






UJI KOMPETENSI SISWA 1.1

1. Kakak ingin membuatkan adik topi kertas yangberbentuk kerucut dengan tinggi 41 cm dan

diameternya 18 cm. Berapa luas kertas yangdiperlukan untuk membuat topi kerucuttersebut?

2. Diketahui jari-jaring alas kerucut 15 cm dantingginya 8 cm. Hitunglaha. Panjang garis pelukisb. Luas selimut kerucutc. Luas sisi kerucut

3. Sebuah kerucut dibentuk dari selembar

karton yang berbentuk

4

3 lingkaran. Panjang

jari-jari karton 10 cm. Hitunglah:a. Jari-jari alas kerucutb. Tinggi kerucut

4. Diameter alas sebuah kerucut mempunyaipanjang 14 cm dan garis pelukisnya 30 cm.Tentukan:a. Luas selimutnyab. Luas alasnyac. Tingginyad. Luas sisi kerucut

5. Dua buah kerucut dengan jari-jari masing-

masing 9 cm dan 12 cm memiliki tinggi yangsama, yaitu 14 cm. Tentukan:a. Perbandingan volume kedua kerucutb. Selisih volume kedua kerucut

6. Diketahui jari-jari sebuah tabung 5 cm.Didalam tabung tersebut terdapat sebuahkerucut yang alasnya berimpit dengan bidangalas tabung. Jika garis pelukis kerucut 13 cm.Perbandingan volume kerucut dengan volume

tabung adalah…

7. Jari-jari alas sebuah kerucut 3,5 cm dantingginya = 15 cm. Hitunglah volume kerucutdan luas sisi kerucut tersebut!

8. Volume suatu kerucut 462 cm3. Jika tinggikerucut 9 cm, hitunglah panjang jari-jari alaskerucut tersebut!

9.






SOAL ULANGAN 2

KERUCUT

A.


1. Luas selimut kerucut dengan jari-jari 7 cmdan tinggi 24 cm adalah…A. 1.100 cm2 C. 550 cm2 B. 1.056 cm2 D. 528 cm2

Kunci Jawaban: C

r = 7 cm, t = 24 cms2 = r2 + t2

s =22

247 = 57649 = 625 = 25L.selimut =rs =

7

22×7×25 = 550 cm2

2. Luas selimut kerucut yang panjang garispelukisnya 10 cm dan diameter alasnya 12 cmadalah…A. 94,2 cm2 C. 282,6 cm2 B. 150,4 cm2 D. 376,8 cm2

Kunci Jawaban: B

s = 10 cm, d = 12 cm, r = 6 cmt2 = s2 – r2

t = 22 610 = 36100 = 64 = 8

Luas selimut = rs = 3,14 × 6 × 8= 150,72 cm2

3. Diameter kerucut 10 cm dan tingginya 12 cm.Luas selimut kerucut adalah…A. 94,2 cm2 C. 188,4 cm2 B. 102,05 cm2 D. 204,1 cm2

Kunci Jawaban: D

d = 10 cm, maka r = 5 cmt = 12 cm (Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22 125 = 14425 = 169 = 13

L.selimut = rs = 3,14 × 5 × 13= 204,1 cm2

4. Jari-jari alas sebuah kerucut 3,5 cm dantingginya 12 cm.

Jika digunakan =7

22, maka luas kerucut itu

adalah…

A. 132 cm2 C. 176 cm2 B. 154 cm2 D. 198 cm2

Kunci Jawaban: C

r = 3,5 cm =2

7 cm, t = 12 cm, =

7

22

s2 = r2 + t2

s = 22 125,3 = 14425,12

s = 25,156 = 12,5 cmLuas kerucut = r (r + s)

=7

22 ×

2

7 × (3,5 + 12,5)

= 11 × 16= 176 cm2

5. Sebuah kerucut berjari-jari 5 cm dan tinggi12 cm. Luas seluruh sisi kerucut itu adalah… (π = 3,14)

A. 180,00 cm2

C. 282,60 cm2

B. 188,40 cm2 D. 942,00 cm2

Kunci Jawaban: C r = 5 cm, t = 12 cm, π = 3,14s2 = r2 + t2

s = 22 125 = 14425 s = 169 = 13 cm

L.sisi kerucut = r (r + s)

= 3,14 × 5 × (5 + 13)= 15,7 × 18= 282,60 cm2

6. Suatu kerucut dengan jari-jari 20 cm dantinggi 21 cm, maka luas permukaan kerucutadalah…A. 1.318,8 cm2 C. 9.240 cm2 B. 2.574,8 cm2 D. 12.760 cm2

Kunci Jawaban: B

r = 20 cm, t = 21 cm (s2 = r2 + t2)

s = 22 2120 = 441400 = 841 = 29






L.permukaan = r (r + s)= 3,14 × 20 × (20 + 21)= 62,8 × 41= 2.574,8 cm2

7. Sebuah kerucut berjari-jari 6 cm dan tinggi 8cm, maka luas sisi kerucut adalah …A. 301,44 cm2 C. 50,24 cm2 B. 263,76 cm2 D. 43,96 cm2

Kunci Jawaban: A r = 6 cm, t = 8 cm (Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22 86 = 6436 = 100 = 10

L.permukaan = r (r + s)= 3,14 × 6 × (6 + 10)= 18,84 × 16

= 301,44 cm2

8. Sebuah kerucut dengan diameter 16 cm dantinggi 15 cm. Luas kerucut tersebut adalah…A. 314 cm2 C. 628 cm2 B. 527,52 cm2 D. 1.004,8 cm2

Kunci Jawaban: C

d = 16 cm, maka r = 8 cmt = 15 cm

s

2

= r

2

+ t

2

s = 22 158 = 22564 = 289 = 17

L.permukaan = r (r + s)= 3,14 × 8 × (8 + 17)= 25,12 × 25= 628 cm2

9. Suatu kerucut jari-jarinya 7 cm dan tingginya

24 cm. Jika π =7

22 , maka luas seluruh

permukaan kerucut tersebut adalah…

A. 682 cm

2

C. 726 cm

2

B. 704 cm2 D. 752 cm2

Kunci Jawaban: B

r = 7 cm, t = 24 cm, π =7

22

(Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22 247 = 57649 = 625 = 25

L.permukaan = r (r + s)

=

7

22 × 7 × (7 + 25)

= 22 × 32= 704 cm2

10. Pak guru akan membuat satu model kerucutdari karton. Jika panjang garis pelukisnya 10cm, jari-jarinya 6 cm, dan π = 3,14, sedangkankarton yang tersedia 400 cm2, sisa karton

yang tidak terpakai adalah…A. 60,88 cm2 C. 339,12 cm2 B. 63,50 cm2 D. 400 cm2

Kunci Jawaban: A

s = 12 cm, r = 6 cm, π = 3,14Karton yang tersedia 400 cm2,L.kerucut = r (r + s)

= 3,14 × 6 × (6 + 12)= 18,84 × 18= 339,12 cm2

Sisa karton yang tidak terpakai= 400 – 339,12= 60,88 cm2

11. Noni ingin membuat topi ulang tahunberbentuk kerucut. Jika diameter alasnyaadalah 24 cm dan panjang garis pelukisnya 13

cm, maka luas topi ulang tahun Noni adalah…A. 489,84 cm2 C. 490 cm2 B. 565,2 cm2 D. 942 cm2

Kunci Jawaban: A

d = 24 cm, maka r = 12 cms = 13 cm, π = 3,14L.topi = L.selimut = rs

= 3,14 × 12 × 13= 489,84 cm2

12. Sebuah kap lampu berbentuk kerucutterpancung seperti tampak pada gambardibawah ini.

Jika diameter bagian atas 6 cm dan diameterbagian bawah 18 cm, maka luas bahan yang






digunakan untuk membuat kap lampu tersebutadalah…A. 60 cm2 C. 120 cm2 B. 67,5 cm2 D. 135 cm2

Kunci Jawaban: C

Ingat kap lampu tanpa alas!Kap lampu keseluruhan:

d = 18 cm, maka r = 9 cms = 5 + 10 = 15 cm

Bagian atas kap lampu:d = 6 cm, maka r = 3 cms = 5 cm

Luas bahan yang digunakan untuk membuat kaplampu tersebut:= Lkerucut keseluruhan – Lkap atas

= r1s1 – r2s2 = (r1s1 – r2s2)= (9 × 15 – 3 × 5)= (135 – 15)= 120 cm2


Luas seluruh permukaan bangun diatasadalah…A. 140π cm2 C. 165π cm2 B. 145π cm2 D. 170π cm2

Kunci Jawaban: D dtabung = dkerucut = 10 cmrtabung = rkerucut = 5 cmttabung = 8 cmtkerucut = 12 cmGaris pelukis kerucut: s2 = r2 + t2

s = 22 125 = 14425 = 169 = 13

Luas seluruh permukaan bangun diatas:= Lalas tabung + Lselimut tabung + Lselimut kerucut

= r2 + 2rt + rs= ( × 5 × 5) + (2 × 5 × 8) + ( × 5 × 13)= 25 + 80 + 65 = 170 cm2

14. Roni akan membuat 40 topi ulang tahunberbentuk kerucut. Ukuran topi tersebutberdiameter 20 cm dan tinggi 24 cm. Seluruhbagian luar akan ditutup kertas manila warnamerah. Luas minimum kertas manila yangdiperlukan Roni adalah…A. 32.506 cm2 C. 34.606 cm2 B. 32.656 cm2 D. 38.456 cm2

Kunci Jawaban: B

d = 20 cm, maka r = 10 cm

t = 24 cmAkan membuat 40 topiGaris pelukis kerucut: s2 = r2 + t2

s = 22 2410 = 576100 = 676 = 26

Luas 1 buah topi = Lselimut kerucut

= rs= 3,14 × 10 × 26= 816,4 cm2

Luas minimum kertas manila yang diperlukanRoni:

= 40 × Luas 1 buah topi= 40 × 816,4= 32.656 cm2

15. Volume kerucut 1.232 cm3 dan jari-jarilingkaran alas 7 cm, maka tinggi kerucutadalah…A. 18 cm C. 22 cmB. 20 cm D. 24 cm

Kunci Jawaban: D

V = 1.232 cm3, r = 7 cmV =

3

1 × r2t

t =2

3

r

V

=

777

22

232.13

=

154

3696 = 24 cm

16. Suatu kerucut mempunyai panjang garispelukis 13 cm dan keliling alasnya 31,4 cm.Jika π = 3,14, maka tinggi kerucut adalah…

A. 5 cm C. 10 cmB. 7 cm D. 12 cmKunci Jawaban: D

8 cm

10 cm

12 cm






s = 13 cm, π = 3,14 K.alas = 31,42r = 31,4

r = 2

4,31=

14,32

4,31

=

28,6

4,31= 5 cm

Tinggi kerucut: t2 = s2 – r2 t = 22 513 = 25169 t = 144 = 12 cm

17. Sebuah kerucut panjang jari-jari alasnya 10cm. Jika volumenya 4.710 cm3, maka tinggikerucut adalah…A. 45 cm C. 18 cmB. 20 cm D. 12 cm

Kunci Jawaban: A V = 4.710 cm3, r = 10 cm

V =3

1 × r2t

t =2

3

r

V

=

101014,3

710.43

t =314

14130 = 45 cm

Volume Kerucut

18. Sebuah kerucut setinggi 30 cm memiliki alas

dengan keliling 66 cm. Jika =7

22, maka

volume kerucut itu adalah…A. 13.860 cm3 C. 1.283,3 cm3 B. 3.465 cm3 D. 1.232 cm3

Kunci Jawaban: B

t = 30 cm, = 7

22

K.alas = 66 cm,2πr = 66

r = 2

66 =

7

22

33 = 33 ×

22

7

= 10,5 cm

V =3

1 × r2t

=3

1 ×7

22 × 10,5 ×10,5 × 30

= 3.465 cm3

19. Volume kerucut yang panjang diameter alasnya20 cm dan tinggi 12 cm (π = 3,14) adalah… A. 1.256 cm3 C. 5.024 cm3 B. 1.884 cm3 D. 7.536 cm3

Kunci Jawaban: A


20 = 10 cm

t = 12 cm, π = 3,14

V =3

1 × r2t

=3

1 × 3,14 × 10 × 10 × 12

= 1.256 cm3

20. Tinggi sebuah kerucut 30 cm dan diameter

alasnya 21 cm, dengan =722 . Volume kerucut

itu adalah…A. 16.860 cm3 C. 6.930 cm3 B. 10.395 cm3 D. 3.465 cm3

Kunci Jawaban: B


21 cm

t = 30 cm, =

7

22

V =3

1 × r2t

=3

1 ×7

22 ×

2

21 ×

2

21 × 30

= 3.465 cm3

21. Jari-jari suatu kerucut adalah 9 cm dan garispelukisnya 15 cm, maka volumenya adalah…A. 113,04 cm3 C. 1.017,36 cm3 B. 339,12cm3 D. 3.052,08 cm3

Kunci Jawaban: C

r = 9 cm, s = 15 cm, π = 3,14 t2 = s2 – r2

t = 22 915 = 81225 = 144 = 12

Vkerucut =3

1 × r2t

=3

1 × 3,14 × 9 × 9 × 12






= 1.017,36 cm3

22. Jika sebuah garis pelukis kerucut 25 cm dan jari-jari 7 cm, maka volume kerucut adalah…A. 3.846,5 cm3 C. 1.283,3 cm3 B. 3.696 cm3 D. 1.232 cm3

Kunci Jawaban: D r = 7 cm, s = 25 cmTinggi kerucut: (t2 = s2 – r2)

t = 22 725 = 49625 = 576 = 24

Volume =3

1 × r2t

=3

1 ×7

22 × 7 × 7 × 24

= 1.232 cm3

23. Keliling alas sebuah kerucut 62,8 cm,tingginya 18 cm, dan π = 3,14. Volume kerucutadalah…A. 1.884 cm3 C. 3.768 cm3 B. 2.826 cm3 D. 5.652 cm3

Kunci Jawaban: A

t = 18 cm, π = 3,14 K.alas = 62,8 cm

2πr = 62,8

r = 2

8,62=

14,32

8,62

=

28,6

8,62= 10 cm

Volume =3

1 × r2t

=3

1 × 3,14 × 10 × 10 × 18

= 1.884 cm3

24. Sebuah kerucut dengan keliling alasnya 31,4cm dan panjang garis pelukisnya 13 cm. Jika π= 3,14, maka volume kerucut adalah…A. 314 cm3 C. 628 cm3 B. 471 cm3 D. 942 cm3

Kunci Jawaban: A

s = 13 cm, π = 3,14 K.alas = 31,4 cm

2πr = 31,4

r = 2

4,31=

14,32

4,31

=

28,6

4,31= 5 cm

Tinggi kerucut: (t2 = s2 – r2)

t = 22513 = 25169 = 144 = 12

Volume =3

1 × r2t

=3

1 × 3,14 × 5 × 5 × 12

= 314 cm3

25. Sebuah corong berbentuk kerucut yang penuhberisi pasir diameternya 6 m dan tingginya 3m. Jika pasir tersebut dipindahkan ke dalamsebuah wadah berbentuk kubus dan pasir yangtersisa 1.260 liter, panjang rusuk kubusadalah…A. 2 m C. 5 mB. 3 m D. 7 m

Kunci Jawaban: B

d = 6 m, maka r = 3 m = 30 dmt = 3 m = 30 dm

V.kerucut=3

1 ×r2t =3

1 ×3,14×30×30×30

= 28.260 dm3 Sisa pasir = 1.260 liter = 1.260 dm3

Vpasir dalam kubus = Vkubus = V.kerucut – Sisa pasir= 28.260 – 1.260= 27.000 dm3

Berdasarkan volume kubus:V.Kubus = 27.000

s3 = 27.000

s = 3 000.27

s = 30 dm = 3 mJadi panjang rusuk kubus = 3 m

26. Perhatikan gambar berikut ini!

Luas kertas yang dibutuhkan untuk membuattopi seperti gambar di atas ini…A. 709,64 cm2 C. 1.751 cm2 B. 1.651,64 cm2 D. 2.650 cm2

Kunci Jawaban: Ad(alas topi) = 14 + 3 + 3 = 20 cm,






maka R = 10 cmd(kerucut) = 14 cm, maka r = 7 cmt.kerucut = 24 cmCari panjang garis pelukis (s):(Ingat: s2 = r2 + t2)

s =22

247 = 57649 s = 625 = 25 cm

Luas kertas yang dibutuhkan:= L.alas topi – L.alas kerucut +

L.selimut kerucut= R2 – r2 + rs= ( × 10 × 10) – ( × 7× 7) + (×7 × 25)= 100 - 49 + 175 = 226 = 226 × 3,14= 709,64 cm2


Pada gambar diatas, kerucut di dalam tabungdan kedua alasnya berimpit. Tinggi tabung =

tinggi kerucut. Volume tabung di luar kerucutadalah… ( = 3,14).A. 3.140 cm3 C. 6.280 cm3 B. 4.170 cm3 D. 9.420 cm3

Kunci Jawaban: C


20 = 10 cm

Volume tabung di luar kerucut:= Vtabung – Vkerucut

=r

2

t – 3

1

×r

2

t

= (3,14×10×10×30) – (3

1 ×3,14×10×10×30)

= 9420 - 3140= 6.280 cm3

28. Sebuah kerucut berada didalam sebuahtabung dan kedua alasnya berimpit. Jika jari-

jari tabung 20 dm dan tinggi tabung samadengan tinggi kerucut yaitu 15 dm. Volume

tabung diluar kerucut adalah…A. 1.570 dm3 C. 6.280 dm3 B. 3.140 dm3 D. 9.420 dm3

29.


Volume benda tersebut adalah…A. 2.156 cm3 C. 2.772 cm3 B. 2.310 cm3 D. 2.884 cm3

Kunci Jawaban: Adtabung = dkerucut = 14 cm,rtabung = rkerucut = 7 cm,ttabung = 12 cmtkerucut = 18 – 12 = 6 cm

Volume benda tersebut:= Vtabung + Vkerucut

= r2t +3

1 × r2t

= ( 7

22× 7 × 7×12) + (

31 × 7

22 × 7 × 7 × 6)

= 1.848 + 308= 2.156 cm3

31. Delon akan menuangkan air ke dalam ember yang berkapasitas 30,8 liter denganmenggunakan gayung berbentuk tabung yangdiameternya 14 cm dan tinggi 10 cm. Banyakgayung air yang diperlukan untuk mengisi airhingga penuh adalah…

A. 5 kali C. 10 kaliB. 9 kali D. 20 kali

Kunci Jawaban: D d = 14 cm, maka r = 7 cmt = 10 cm

Volume ember = 30,8 liter= 30,8 dm3 = 30.800 cm3

Volume gayung = Volume tabung= r2t

1 8 c m

1 2 c m

14 cm

20 cm 3 0 c m






=7

22 × 7 × 7 × 10

= 1540 cm3

Banyak gayung air =1540

800.30

= 20 kali


1. Sebuah kerucut jari-jari alasnya 7 cm. Jika

panjang garis pelukisnya 25 cm dan π =7

22

hitunglah:a. Tinggi kerucut;b. Luas selimut kerucut;c. Luas alas kerucut;d. Luas permukaan kerucut.

e. Volume kerucut

Penyelesaian:

r = 7 cm, s = 25 cm, π =7

22

d. Tinggi kerucut ; (t2 = s2 – r2)

t = 22725 = 49625

t = 576 = 24 cm

e. Luas selimut kerucut

L.selimut = rs

=7

22 × 7 × 25

= 550 cm2 f. Luas alas kerucut

L.alas = L.lingkaran= r2

=7

22× 7 × 7

= 154 cm2

g. Luas permukaan kerucutL.kerucut = r (r + s)

=7

22 × 7 × (7 + 25)

= 22 × 32= 704 cm2

h. Volume kerucut

V.kerucut =3

1 × r2t

=

3

1 ×

7

22 × 7 × 7 × 24

= 1.232 cm3

2. Diameter alas sebuah kerucut 14 cm dantingginya 24 cm. hitunglah:a. Luas permukaan kerucutb. Volume kerucut

Penyelesaian:

d = 14 cm, maka r = 7 cm, t = 24 cm.Ingat: s2 = r2 + t2

s = 22 247 = 57649 s = 625 = 25 cm

a. Luas permukaan kerucutL.kerucut = r (r + s)

=7

22 × 7 × (7 + 25)

= 22 × 32= 704 cm2

b. Volume Kerucut

V.kerucut =31 × r2t

=3

1 ×7

22 × 7 × 7 × 24

= 1.232 cm3

3. Luas selimut kerucut = 251,2 cm2 dan garispelukisnya 10 cm.a. Panjang jari-jarib. Tinggi

c.

Volume

Penyelesaian:

Luas selimut = 251,2 cm2 s = 10 cma. Panjang jari-jari kerucut

L.selimut = 251,2rs = 251,2

3,14 × r × 10 = 251,231,4 × r = 251,2

r = 4,31

2,251

= 8 cm






b. Tinggi kerucuts = 10 cm, r = 8 cmt2 = s2 – r2

t = 22810 = 64100

t = 36 = 6 cm

c. Volume kerucut

Vkerucut =3

1 × r2t

=3

1 × 3,14 × 8 × 8 × 6

= 401,92 cm3

4. Sebuah kerucut dengan tinggi 12 cm, panjanggaris pelukisnya 20 cm dan π = 3,14. Luasselimut kerucut adalah…

Penyelesaian:

t = 12 cm, s = 20 cm, π = 3,14 r2 = s2 – t2

r = 22 1220 = 144400 r = 256 = 16 cm

Lselimut = rs= 3,14 × 16 × 20= 1.004,8 cm2

5. Sebuah kerucut berjari-jari 5 cm dan tinggi12 cm. Luas seluruh sisi kerucut itu adalah… (π= 3,14)

Penyelesaian:

r = 5 cm, t = 12 cm, π = 3,14 (Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22125 = 14425

s = 169 = 13 cm

L.sisi kerucut = r (r + s)= 3,14 × 5 × (5 + 25)= 15,7 × 30= 471 cm2

6. Sebuah kerucut volumenya 401,92 cm3. Bilatingginya 6 cm, maka luas selimut kerucutadalah… (π = 3,14)

Penyelesaian:Volume = 401,92 cm3 t = 6 cm, π = 3,14

V.kerucut =3

1 × r2t

r2 =t

V

3 =

614,3

92,4013

=

84,18

76,1205 = 64

r = 64 = 8 cm

(Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22 68 = 3664 s = 100 = 10 cm

Lselimut = rs= 3,14 × 8 × 10= 251,2 cm2

7. Sebuah kerucut mempunyai diameter 16 cmdan tinggi 15 cm. Tentukan :a. Panjang garis pelukis

b. Volume kerucut

Penyelesaian:

d = 16, maka r = 8 cmt = 15 cma. Panjang garis pelukis

(Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22158 = 22564

s = 289 = 17 cm

b. Volume kerucut


=3

1 × 3,14 × 8 × 8 × 15

= 1.004,8 cm3

8. Jika diameter alas kerucut adalah 30 cm,

tingginya 70 cm dan π =7

22, Tentukan volume

kerucut tersebut!

Penyelesaian:

d = 30 cm, maka r = 15 cm

t = 70 cm. π =7

22

V.kerucut =3

1 × r2t

=3

1 ×722 × 15 × 15 × 70






= 16.500 cm3

9. Sebuah kerucut volumenya 6.280 cm3 dan jari-jari alasnya 10 cm. Tinggi kerucut ituadalah… (π = 3,14)

Penyelesaian:

Volume = 6.280 cm3 r = 10 cm, π = 3,14

V.kerucut =3

1 × r2t

t =2

3

r

V

=

101014,3

62803

=

314

18840= 60 cm

10. Volume kerucut adalah 8.316 cm3, tinggi 18 cm

dan π = 7

22

, hitunglah:

a. Panjang jari-jarib. Panjang garis pelukisc. Luas selimut kerucut

Penyelesaian:

Volume = 8.316 cm3

t = 18 cm, π =7

22

a. Panjang jari-jari


r2 =t

V

3=

187

22

83163

=

7

396

24948

r2 = 24948 ×396

7 = 441

r = 441 = 21 cm

b. Panjang garis pelukis

t = 18 cm, r = 21 cm(Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 221821 = 324441

s = 765 cm

c. Luas selimut kerucutL.selimut = rs

=7

22 × 21 × 765

= 66 765 cm2

11. Diketahui luas alas kerucut 154 cm2 dan π =

7

22. Jika panjang garis pelukisnya 25 cm,

hitunglah:a. Jari-jari alas kerucut

b.

Tinggi kerucutc. Volume kerucut

Penyelesaian:

Luas alas kerucut = 154 cm2

π =7

22, s = 25 cm

a. Jari-jari alas kerucutLuas alas kerucut = 154

r2 = 154

r2

=

154

=

7

22

154

= 154 × 22

7

= 49

r = 49 = 7 cm

b. Tinggi kerucuts = 25 cm, r = 7 cmt2 = s2 – r2

t = 22 725 = 49625 = 576 = 24

c. Volume kerucut

Vkerucut =3

1 × r2t

=3

1 ×7

22 × 7 × 7 × 24

= 1.232 cm3

12. Diketahui jari-jari dua buah kerucut masing-masing 8 cm dan 12 cm. Jika tingginya sama,maka perbandingan volume dua kerucut secaraberturut-turut adalah…

Penyelesaian:

r1 = 8 cm, r2 = 12 cmt1 = t2 = tPerbandingan Volume

2

1

V

V =

t r

t r

2

2

2

1

3

13

1

=

2

2

2

1

r

r =

2

2

12

8=

144

64=

144

64

2

1

V

V =

9

4

Perbandingan volume = 4 : 9






13. Sebuah pabrik akan membuat tendaberbentuk kerucut tanpa alas dari kainparasut. Tenda yang akan dibuat memilikidiameter 20 m dan panjang garis pelukis 5 m.Jika biaya pembuatan tenda tiap m2 adalahRp80.000,00, berapa biaya yangharus disediakan untuk membuat sebuahtenda?

Penyelesaian:

d = 20 m, maka r = 10 ms = 5 m,Biaya tiap m2 = Rp80.000L.tenda = L.selimut

= rs= 3,14 × 10 × 5

= 157 m2

Biaya yang harus disediakan untuk membuatsebuah tenda:= L.tenda × Biaya tiap m2 = 157 × 80.000= Rp 12.560.000

14. Perhatikan data pada tabel berikut!Ukuran Kerucut Tabung

Jari- ari alasTinggi

rt

rt

Berdasarkan data di atas, perbandingan

volume kerucut : volume tabung adalah…Penyelesaian:

Perbandingan V.kerucut : V.tabung

=V.tabung

V.kerucut=

t r

t r

2

2

3

1

=

3

1 = 1 : 3

15. Sebuah kerucut dimasukkan tepat ke dalamsebuah tabung yang mempunyai volume 7.850cm3 sehingga diameter kerucut sama dengan

diameter tabung. Jika π = 3,14 dan diametertabung 10 cm, hitunglah tinggi kerucut!Penyelesaian:

Volume tabung = 7.850 cm3 π = 3,14,d.tabung = d.kerucut = 10 cmr.tabung = r.kerucut = 5 cm

V.kerucut =3

1 V.tabung

3

1 πr2t =

3

1 7.850

πr2t = 7.8503,14 × 5 × 5 × t = 7.850

78,5 × t = 7850

t =5,78

7850 = 100 cm

16. Perhatikan gambar dibawah !

Luas sisi bangun ruang tersebut adalah…Penyelesaian:

d = 14 cm, maka r = 7 cmt.tabung = 20 cm,t.kerucut = 44 – 20 = 24 cm(Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22247 = 57649 = 625 = 25

Luas sisi bangun ruang tersebut= Lalas + Lselimut tabung + Lselimut kerucut = r2 + 2rt + rs

= (7

22×7 ×7)+(2×

7

22×7×20) +(

7

22×7× 25)

= 154 + 880 + 550= 1.584 cm2

17. Perhatikan gamber dibawah ini!

Luas seluruh permukaan bangun di sampingadalah…

Penyelesaian:

d = 10 cm, maka r = 5 cmt.tabung = 8 cm,t.kerucut = 12 cm(Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22 125 = 14425 s = 169 = 13 cm

Luas sisi bangun ruang tersebut






= L.alas + L.selimut tabung + L.selimut kerucut= r2 + 2rt + rs= (π × 5 × 5)+(2 × π × 5 × 8) + (π × 5 × 13)= 25π + 80π + 65π = 170π cm2

= 170 × 3,14= 533,8 cm2

18. Perhatikan gambar di dibawah ini!

Luas permukaan bangun tersebut adalah…

Penyelesaian:

d = 18 cm, maka r = 9 cmt.tabung = 8 cm,t.kerucut = 12 cm(Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22 129 = 14481 s = 225 = 15 cm

Luas sisi bangun ruang tersebut= Lalas + Lselimut tabung + Lselimut kerucut = r2 + 2rt + rs= (π × 9 × 9)+(2 × π × 9 × 8) + (π × 9 × 15)= 81π + 144π + 135π = 360π cm2

= 360 × 3,14= 1.330,4 cm2

19. Perhatikan gambar topi berikut ini !

Jika topi terbuat dari karton, maka luaskarton adalah…

Penyelesaian:

Topi, d = 21, maka r = 10,5 cmt = 12 cm

Alas topi, d = 28, maka R = 14 cmIngat: Alasnya berlubang, lubang alas = tutuptabungLuas karton untuk membuat topi= Lalas + Lselimut tabung

= R2 + 2rt + r2 = ( × 14 × 14) + (2 × × 10,5 × 12)= 196π + 252π = 448π cm2

= 448 ×7

22

= 1.408 cm2

20. Disediakan kertas dengan luas 27.500 cm2,untuk membuat topi berbentuk kerucutdengan tinggi topi 24 cm dan panjangdiameter alasnya 14 cm.. Banyaknya topi yangdapat dibuat dari seluruh kertas tersebutadalah… buahA. 25 C. 75B. 50 D. 90

Kunci Jawaban: B

Luas karton yang tersedia = 27.500 cm2 t = 24 cmd = 14 cm, maka r = 7 cm(Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22 247 = 57649 = 625 = 25

Lkerucut = rs

=7

22 × 7 × 25

= 550 cm3 Banyaknya topi yang dapat dibuat dari seluruhkertas tersebut adalah:

=550

500.27

= 50 buah

18 cm

8 cm

12 cm

28 cm

21 cm

12cm






C. BOLABola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang sisi lengkung.1. Unsur-Unsur dan Jaring-Jaring Bola

Bola terdiri dari: Sebuah sisi lengkung (selimut bola) r adalah jari-jari bola diameter bola d = 2r

Sifat-sifat yang dimiliki oleh bola antara lain: Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk. Bola hanya memiliki satu bidang sisi yang lengkung Semua titik pada bola berjarak sama ke titik pusatnya

2.

Luas Permukaan Bola

Luas2

1 bola = 2 Luas lingkaran

Luas 1 bola = 4 Luas lingkaran

Luas bola = 4 …………

Jadi, luas permukaan bola = …………

Luas permukaan belahan bola padat = Luas permukaan2

1 bola + Luas lingkaran

= 2 Luas lingkaran + Luas lingkaran

= 2 ………… + …………

= ……………

Kesimpulan:

Luas sisi bola = 4πr2 Luas belahan bola padat = 3πr


22






3. Volume Bola

Jika kerucut dengan panjang jari-jari r dan tinggi = r, diisi penuh dengan air, kemudian air tersebutdituangkan ke dalam setengah bola dengan panjang jari-jari r, ternyata setengah bola dapat memuattepat 2 kali volume kerucut, sehingga diperoleh hubungan antara volume bola dengan volume kerucutsebagai berikut:

Volume bola = 2 2 Volume kerucut= 4 Volume kerucut

= 4 3

1 ………… (substitusikan t = r)

=3

4………………

Contoh Soal:

5. Luas permukaan bola dengan panjang jari-jari 7 cm adalah… ( =7

22)

Penyelesaian

Diketahui: r = 7 cm, =7

22

Lbola = 4r2 = 4 ×7

22 × 7 × 7 = 616 cm2

6. Volume sebuah bola dengan panjang jari-jari 21 cm adalah… ( =7

22)

Penyelesaian

Diketahui: r = 21 cm, =7

22

Vbola = 3

4r3 =

3

4

×

7

22

× 21 × 21 × 21 = 38.808 cm3

Kesimpulan:

Volume bola = V =

3

4πr2t






7. Perhatikan gambar bandul yang dibentuk oleh kerucut dan belahan bola!

39 cm

30 cmVolum bandul tersebut adalah… ( = 3,14)Penyelesaian

d = 30, r =2

1 × 30 = 15 cm, s = 39, = 3,14

t2 = s2 – r2

tkerucut =22 1539 = 2251521 = 1296 = 36 cm

Vbandul = Vsetengah bola + Vkerucut

=2

1× 3

4r3 +

3

1r2t

=2

1× 3

4

3,14 × 153 +

3

1

3,14×152 × 36 = 7.065 + 8.478 = 15.543 cm3


Sebuah tempat air berbentuk setengah bola yang panjang jari-jarinya 10 cm penuh berisi air.Seluruh air dalam bola dituang ke dalam wadah berbentuk tabung yang panjang jari-jarinya samadengan jari-jari bola. Tinggi air pada wadah adalah…

Penyelesaian:

rsetengah bola = rtabung = 10 cmVsetengah bola = Vtabung

3

4.

2

1r3 = r2 × t

3

2r

3

=r

2

× t2r3 = r2 × t × 3






2r3 = 3r2 × t

t =2

3

3

2

r

r

=3

2r =

3

102 =

3

20 = 6,67 cm


Gambar diatas adalah menunjukkan bandul jam yang terdiri dari21 bola dan

kerucut. Jika diameter bola 7 cm dan tinggi kerucut 12,5 cm, hitunglah:a. Luas permukaan bandul jamb. Volume bandul jam

Penyelesaian:

d.bola = d.kerucut = 7 cmr.bola = r.kerucut = 3,5 cm

t.kerucut = 12,5 cm, π =

7

22

a. Luas permukaan bandul(Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22 5,125,3 = 25,15625,12 s = 5,168 = 13 cm

Luas permukaan bandul = L.2

1bola + L.selimut kerucut

= (2

1 × 4r2) + πrs = 2r2 + πrs

= (2×3,14×3,5×3,5)+(3,14×3,5×13)= 76,93 + 142,87 = 219,8 cm2

b. Volume bandul jam= V.kerucut + V.

2

1bola = (

3

1 × r2t) + (2

1 ×

3

4r3)

= (3

1

× 3,14 × 6 × 6 × 10)+(

3

2

× 3,14 × 6 × 6 × 6)

= 376,8 + 452,16= 828,96 cm3 = 828,96 × 20 gram

= 16.579,2 gram = 16,5792 kg






SOAL ULANGAN HIMPUNAN

BAGIAN 3

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Rumus volume yang benar untuk bangun ruangberikut ini adalah…

A. Vbola =4

3πr3

B. Vkerucut =3

1πr2t

C. Vtabung =3

2πr2t

D. Vbalok = p x l

Kunci Jawaban: B

Vkerucut =3

1πr2t

Cukup Jelas

2. Luas bola dengan jari-jari 5 cm adalah…A. 78,5 cm2 C. 314 cm2

B.

179,5 cm

2

D. 628 cm

2

Kunci Jawaban: C r = 5 cm L = 4r2 = 4 × 3,14 × 5 × 5 = 314 cm2

3. Luas belahan bola padat yang panjang jari- jarinya 10 cm adalah…A. 892 cm2 C. 942 cm2 B. 932 cm2 D. 1.256 cm2

Kunci Jawaban: C r = 10 cm

L = 4r2 = 4 × 3,14 × 10 × 10 = 1.256 cm2

4. Luas kulit bola yang berdiameter 18 cm dan π= 3,14 adalah…A. 254,34 cm2 C. 763,02 cm2 B. 508,68 cm2 D. 1.017,36 cm2

Kunci Jawaban: D

d = 18 cm, r =2

18 = 9 cm

L = 4r2= 4×3,14×9 × 9 = 1.017,36 cm2

5. Perbandingan luas dua bola yang masing-masing berdiameter 3,5 cm dan 7 cmberturut-turut adalah…A. 1 : 2 C. 1 : 8B. 1 : 4 D. 4 : 1

Kunci Jawaban: B d1 = 3,5 cm =

2

7 = cm

d2 = 7 cm,L = .d2 Perbandingan luas dua bola

2

1

L

L =

2

2

2

1

.

.

d

d

=2

2

7

2

7

=49

4

49

=494

49

=

4

1

L1 : L2 = 1 : 4

6. Jika luas permukaan sebuah bola 787

4cm2

dan π=7

22, panjang diameter bola ter sebut

adalah…a. 5 cm C. 15 cmb. 10 cm D. 20 cm

Kunci Jawaban: A

L = 787

4cm2 =

7

550 cm2 dan π =

7

22

L = .d2

d =

L

=

7

22

7

550

=22

7

7

550

d = 25 = 5 cm

7. Luas permukaan bola yang berdiameter 21 cmdengan π =

7

22adalah…






A. 264 cm2 C. 1.386 cm2 B. 462 cm2 D. 4.814 cm2

Kunci Jawaban: C

L = .d2 =

7

22 21 21 = 1.386 cm2

8. Luas permukaan bola yang berdiameter 50 cmdan π = 3,14 adalah… A. 3.925 cm2 C. 15.700 cm2 B. 7.850 cm2 D. 31.400 cm2

Kunci Jawaban: B L = .d2 = 3,14 50 50 = 7.850 cm2

9. Perhatikan gambar dibawah !

Gambar diatas menunjukkan suatu bandulpadat yang terdiri dari belahan bola dankerucut. Alas kerucut berimpit denganbelahan bola. Jika π = 3,14, maka luaspermukaan bandul tersebut adalah …A. 21,195 cm2 C. 31,793 cm2 B. 25,905 cm2 D. 32,970 cm2

Kunci Jawaban: B

r.bola = r.kerucut = 1,5 cmt.kerucut = 2 cm, π = 3,14 (Ingat: s2 = r2 + t2)

s = 22 25,1 = 425,2

s = 25,6 = 2,5 cm

Luas permukaan bandul:

= L.2

1bola + L.selimut kerucut

= (2

1 × 4r2) + πrs

= 2r2 + πrs = (2×3,14×1,5 × 1,5) + (3,14×1,5 × 2,5)= 14,13 + 11,775= 25,905 cm2


Jika jari-jari bola 12 cm, maka luas seluruhpermukaan tabung adalah…A. 1.728π cm2 B. 864π cm2 C. 432π cm2 D. 288π cm2

Kunci Jawaban: B

Perhatikan !Perhatikan !Karena ukuran bola adalah yang terbesardapat masuk ke dalam tabung maka jari-jaritabung = jari-jari bola dan tinggi tabung =diameter bolartabung = rbola = 12 cmttabung = dbola = 2 × 12 = 24 cmLpermukaan tabung = 2r (r + t)

= 2 × 12 (12 + 24)= 24 (36)

= 864π cm2

11. Perhatikan gambar!Sebuah bola yangdimasukkan ke dalam sebuahtabung. Jika panjang jari-

jari bola 5 cm, maka luaspermukaan tabung adalah…

A. 250π cm2 C.100π cm2

B. 150π cm2 D.50π cm2

Kunci Jawaban: B

Perhatikan !

Perhatikan !Karena ukuran bola adalah yang terbesardapat masuk ke dalam tabung maka jari-jari






tabung = jari-jari bola dan tinggi tabung =diameter bolartabung = rbola = 5 cmttabung = dbola = 2 × 5 = 10 cmLpermukaan tabung = 2r (r + t)

= 2 × 5 (5 + 10)= 10 (15)= 150π cm2

Volume Bola

12. Volume bola dengan diameter 10 cm, dan π =3,14 adalah . . . cm3.A. 1570,00 C. 523,33B. 1046,66 D. 703,36

Kunci Jawaban: C

d = 10 cm, r =2

10 = 5 cm, π = 3,14

Vbola = 3

4r3

=3

4× 3,14 × 5 × 5 × 5

= 523,33 cm3

13. Volume bola dengan diameter 7 dm adalah…A. 25,6 dm3 C. 628,8 dm3 B. 179,5 dm3 D. 1.257,6 dm3

Kunci Jawaban: B

d = 7 cm, r = 3,5 cm, π = 3,14

Vbola = 3

4r3

=3

4

× 3,14 × 3,5 × 3,5 × 3,5

= 179,5 cm3

14. Sebuah bola besi dimasukkan ke dalam air.Jika volume air 1.000 cm3 serta panjang jari-

jari bola 5 cm, volume air sekarang adalah…A. 476,67 cm3 C. 1.523,33 cm3 B. 1.000 cm3 D. 1.600 cm3

Kunci Jawaban: C

V.air = 1.000 cm3

r = 5 cm

Vbola = 3

4r3

=3

4× 3,14 × 5 × 5 × 5

= 523,33 cm3

Volume air sekarang= V.air + V.bola

= 1.000 + 523,33= 1.523,33 cm3

15. Perbandingan volume dari dua bola yangberdiameter 4 cm dan 8 cm adalah…A. 1: 2 C. 1 : 8B. 1 : 4 D. 1 : 16

Kunci Jawaban: B

d1 = 4, maka r1 =2

4 = 2 cm

d2 = 8, maka r1 =2

8 = 4 cm

Perbandingan volume bola:

2

1

V

V =

3

2

3

1

.3

4

.3

4

r

r

=3

2

3

1

r

r =

49

4

49

=494

49

=

4

1

V1 : V2 = 1 : 4

16. Sebuah pabrik akan memproduksi 250 buahbola pingpong. Bola pingpong tersebutberdiameter 4 cm (π = 3,14) dan memerlukanbiaya produksi sebesar Rp18.840.000,00,harga bahan bola pingpong tersebut per cm2-nya adalah…A. Rp1.000,00 C. Rp2.000,00B. Rp1.500,00 D. Rp2.500,00

Kunci Jawaban: B

Banyak bola pingpong = 250 buahd = 4 cm, π = 3,14 Biaya produksi = Rp18.840.000,00Luas 1 buah bola pingpong= .d2 = 3,14 4 4 = 50,24 cm2

Luas seluruh bola pingpong= 250 × 50,24= 12.560 cm2

Harga bahan pingpong per cm2

=560.12

000.840.18

= Rp 1.500






17. Suatu tabung yang alasnya berjari-jari 8 cmdan tingginya 50 cm diisi air setinggi 15 cm.Kemudian ke dalam tabung tersebutdimasukkan sebuah bola besi yang berjari-jari6 cm. Berapa tinggi air dalam tabung sekarang?A. 15,22 cm C. 18,33 cmB. 15,30 cm D. 19,50 cm

Kunci Jawaban: D Tabung, r.tabung = 8 cm

ttabung = 50 cmDiisi air, tair = 15 cm

Bola besi, r.bola = 6 cmV.air (t = 15 cm) = πr2t

= 3,14 × 8 × 8 × 15= 3.014,4 cm3

V.bola besi = 3

4r3

=3

4× 3,14 × 6 × 6 × 6

= 904,32 cm3

Volume total = V.air (t=15cm) + V.bola= 3.014,4 + 904,32= 3.918,72 cm3

Volume tabung = Volume totalπr2t = 3.918,723,14 × 8 × 8 × t = 3.918,72

200,96 × t = 3.918,72t = 19,50 cm

18. Sebuah drum berbentuk tabung dengan jari- jari 28 cm dan tingginya 50 cm di isi airsampai penuh. Sebuah bola kaca padatberdiameter 42 cm dimasukkan ke dalam drumtersebut. Volume air yang masih ada dalam

drum tersebut adalah…A. 84.392 cm3 C. 113.498 cm3 B. 94.094 cm3 D. 121.352 cm3

Kunci Jawaban: A Tabung, r.tabung = 28 cm

ttabung = 50 cmBola, d.bola = 42 cm, r.bola = 21 cmV.air tabung = πr2t

=7

22 × 28 × 28 × 50

= 123.200 cm3

V.bola besi = 3

4r3

=3

4×

7

22 × 21 × 21 × 21

= 38.808 cm3

Volume air yang masih ada= Vair tabung – Vbola besi = 123.200 - 38.808= 84.392 cm3


Sebuah bandul terbuat dari besi yang terdiridari belahan bola dan kerucut. Panjang jari-

jari belahan bola 6 cm dan tinggi kerucut 10cm, π = 3,14 dan berat 1 cm3 besi adalah 20gram. Berat bandul tersebut adalah…A. 8,2896 kg C. 16,5792 kgB. 12,4344 kg D. 18,6516 kg

Kunci Jawaban: C

r.bola = r.kerucut = 6 cmt.kerucut = 10 cm, π = 3,14 1 cm3 besi = 20 gramBerat bandul tersebut:

= V.kerucut + V.2

1bola

= (3

1 × r2t) + (2

1 ×

3

4r3)

= ( 3

1

×3,14×6×6×10)+( 3

2

×3,14× 6×6×6)

= 376,8 + 452,16= 828,96 cm3 = 828,96 × 20 gram= 16.579,2 gram= 16,5792 kg

20. Volume bola terbesar yang dapat dimasukkanke dalam dus berbentuk kubus dengan panjangrusuk 12 cm adalah…

A. 144π cm3

C. 432π cm3

B. 288π cm3 D. 576π cm3 Kunci Jawaban: B






diameter bola. Volume kapsul tersebutadalah… mm3.A. 228,958 C. 359,795B. 294,375 D. 817,708

Kunci Jawaban: C

dtabung = dbola = 5 mmrtabung = rbola = 2,5 mmttabung = 15 mmIngat: 2 tutup kapsul = Volume bolaVolume kapsul tersebut:

= Vtabung + Vbola

= r2t +3

4r3

= (3,14×2,5×2,5×15) +(3

4×3,14×2,5×2,5×2,5)

= 294,375 + 65,416= 359,795 mm3

B.

Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Volume sebuah bola 113,04 liter.Hitunglah panjang diameternya jika π = 3,14!

Penyelesaian:

Volume = 113,04 liter = 113,04 dm3

π = 3,14 (Ingat: Vbola = 3

4r3)

r3 = 4

.3 bolaV =

14,34

04,1133

=

56,12

12,339= 27

r = 3 27 = 3 cm

Karena r = 3 cm, maka:d = 2r = 2 × 3 = 6 cm

2. Hitunglah luas permukaan bola yang memilikiketentuan berikut.

a. Jari-jari 45 cm dan π =7

22.

b. Diameter 80 cm dan π = 3,14.

Penyelesaian:

a. Jari-jari 45 cm dan π = 7

22

L = 4r2 = 4 ×7

22

× 45 × 45

= 25.457 cm2

b. Diameter 80 cm dan π = 3,14d = 80 cm, π = 3,14L = .d2 = 3,14

× 80 × 80

= 20.096 cm2

3. Bulan hampir menyerupai bola dengandiameter 3.476 km. Hitunglah luas permukaan

bulan jika π =7

22.

Penyelesaian:

d = 3.476 km

L = .d2 =7

22

× 3.476 × 3.476

= 37.973.810,28 km2

4. Sebuah belahan bola padat dengan panjang

jari-jari 21 cm dan π =7

22. Hitunglah:

a. Luas belahan bolab. Volume belahan bola

Penyelesaian:

r = 21 cm, dan π =7

22.

i. Luas belahan bola

L = 4r2

= 4 × 7

22

× 21 × 21

= 5.544 cm2

j. Volume belahan bola

Vbola = 3

4r3

=3

4×

7

22 × 21 ×21 × 21

= 38.808 cm3

5. Sebuah kubah menara berbentuk setengah

bola dengan diameter 7 meter. Bagian luarkubah tersebut akan dicat, dan setiap 11 m2






memerlukan 1 kaleng cat. Berapa kaleng cat yang diperlukan untuk mengecat kubah

tersebut?( =7

22)

Penyelesaian:d = 7 mSetiap 11 m2 memerlukan 1 kaleng cat.

Luas2

1bola =

2

1 .d2

=2

1 ×

7

22

× 7 × 7

= 11 × 7 m2

= 77 m2

Banyak kaleng cat yang diperlukan:

= 11

77

= 7 kaleng

6. Kubah sebuah gedung berbentuksetengah bola. Kubah tersebut mempunyaidiameter 16 m. Jika per mukaan kubahbagian dalam akan di cat dan setiapm2 memerlukan biaya sebesar Rp40.000,00,berapa biaya yang dibutuhkan untuk mengecatkubah itu?

Penyelesaian:

d = 16 mBiaya 1 m2 = Rp40.000,00

Luas2

1bola =

2

1 .d2 =

2

1×3,14

× 16 × 16

=2

1 × 803,84 m2

= 401,92 m2

Biaya yang dibutuhkan untuk mengecat = Luas

2

1bola × Biaya

= 401,92 × 40.000= Rp 16.076.800

7. Jari - jari bola dan jari - jari alas kerucutadalah 7 cm. Jika tinggi kerucut adalah 7 cm,Buktikan bahwa V. bola = 4 kali volumekerucut!

Penyelesaian:

r.bola = r.kerucut = 7 cmt.kerucut = 7 cm

karena t.kerucut = r.kerucut = r

Vbola = 3

4r3

Vkerucut =3

1πr2t (panjang t = r)

=3

1πr2 × r

V.bola = 4 ×3

1πr3

V.bola = 4 kali volume kerucut(Terbukti)

8. Diameter bola sama dengan diameter tabung, yaitu 7 cm. Jika tinggi tabung 7 cm, hitunglahperbandingan volume bola dan tabung itu.

Penyelesaian:r.bola = r.tabung = 7 cmt.tabung = 7 cm

Perbandingan = =tabung

bola

V

V =

t r

r

2

3

3

4

=t

r

3

4=

73

74

=

3

4 = 4 : 3


Gambar disamping adalah bola yangmenyinggung tabung pada sisi alas dan padaselimut tabung, serta sebuah kerucut yangmenyinggung alas dan tinggi yang sama dengantabung. Jika V1, V2, dan V3 berturut-turut

volume tabung, bola dan kerucutsedangkan jari-jari tabung, boladan kerucut adalah r, tentukanperbandingan V1 : V2 : V3 !

Penyelesaian:

t.kerucut = t.tabung = tr.tabung = r.bola = r.kerucut = r

Perbandingan = V1 : V2 : V3 = V.tabung : V.bola : V.kerucut

= πr2.t :3

4r3 :

3

1πr2.t

= πr2.(2r) :3

4r3 :

3

1πr2.(2r)

= 2πr3 :3

4r3 :

3

2πr3

= (2πr3 :3

4 r3 :3

2 πr3) × 3






= 6πr3 : 4r3 : 2πr3 = 6 : 4 : 2= 3 : 2 : 1


Sebuah tabung dan setengah bola ditumpukseperti dalam gambar diatas.c. Tentukan luas sisi bangun ruang tersebut!

d. Jika jari-jari keduanya diperbesar211

kali jari-jari semula, tentukanperbandingan luas permukaan sebelum dansesudah jari-jari diperbesar!


Bak penampung air berbentuk tabung dan alassetengah bola seperti diatas, volume airmaksimal…

Penyelesaian:

r.bola = r.tabung = 21 cmt.tabung = 50 cmVolume air maksimal

= V.tabung + V. 2

1bola

= (πr2.t) + (2

1×

3

4r3)

= (7

22× 21×21×50) + (

3

2×

7

22×21×21 ×21)

= 69.300 + 19.404= 88.704 cm3

12. Sebuah bola logam berjari-jari 3 cmdimasukkan ke dalam tabung berisi penuh air

yang berjari-jari 14 cm dan tinggi 7 cm. Bolatersebut masuk seluruhnya ke dalam air yangmenyebabkan air tumpah. Setelah itu, boladikeluarkan dari tabung. Tentukanlah:a. Volume air yang tumpahb. Tinggi air setelah bola dikeluarkan

Penyelesaian:

r.bola = 3 cmr.tabung = 14 cm, t.tabung = 7 cma. V.air yang tumpah = Volume bola

= (3

4r3)

= (34 × π × 3 × 3 × 3)

= 36π = 36 × 3,14= 113,04 cm3

b. Tinggi air setelah bola dikeluarkanV.sisa air = V.tabung – V.bola

πr2.t = (πr2.t) – (3

4r3)

π×14×14t=(π×14×14×7)–(3

4×π×3×3×3)

196πt = 1.372π – 36π 196πt = 1.336π

t =196

336.1

t =196

336.1 = 6,8 cm

13. Suatu wadah berbentuk setengah bolaberdiameter 42 cm berisi penuh minyak. Jika

minyak tersebut hendak dipindahkan ke dalamsuatu silinder berjari-jari 14 cm, berapakahketinggian minyak tanah dalam silinder?

Penyelesaian:

dbola = 42 cm, maka rbola = 21 cmdsilinder = 14 cm, maka rsilinder = 7 cm

Vsilinder = V.2

1bola

πr2.t = V.

2

1bola

πr2.t = (2

1×

3

4r3)






π × 7 × 7 × t = (3

2 × 21 × 21 × 21)

49π × t = 6174

t =

49

6174 = 126 cm






BAB 1

POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN

A. PENGERTIAN POLA BILANGAN

Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan.Macam- Macam Pola Bilangan

No Kelompok Pola Bilangan Aturan

1 Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……

+1 +1 +1 +1 +1

Bilangan berikutnyadiperoleh denganmenambahkan 1 padabilangan sebelumnya.

2 Bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, 9, 11, ……

+2 +2 +2 +2 +2

Bilangan berikutnyadiperoleh denganmenambahkan 2 pada

bilangan sebelumnya3 Bilangan genap 2, 4, 6, 8, 10, 12, ……

+2 +2 +2 +2 +2

Bilangan berikutnyadiperoleh denganmenambahkan 2 padabilangan sebelumnya

4 Bilangan segitiga

1 3 6 10

Penjumlahan bilangan cacak, yaitu 0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3, 2 +3 = 5, dan seterusnya

5 Bilangan persegi

1 4 9 16

12 22 32 42

Kuadrat bilangan asli, yaitu12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, danseterusnya

6 Bilangan persegi panjang

2 6 12 20

1 2 2 3 3 4 4 5

Bilangan-bilangan tersebutdiperoleh dengan carasebagai berikut:1 2 = 22 3 = 63 4 = 12…………… dan seterusnya

7 Bilangan segitiga Pascal1 Baris 1

1 1 Baris 21 2 1 Baris 3

1 3 3 1 Baris 41 4 6 4 1 Baris 5

1 … … … … 1

Bilangan-bilangan tersebutdiperoleh dengan carasebagai berikut:1 = 20

2 = 21

4 = 22

…………… dan seterusnya






B.

RUMUS SUKU KE-n

Contoh Soal:

1. Rumus suku ke-n barisan bilangan 20, 17, 14, 11, … adalah…Penyelesaian:

Beda tiap suku pada barisan bilangan tersebut adalah - 3.Suku ke-1 (20) → (–3 × 1) + 23Suku ke-2 (17) → (–3 × 2) + 23Suku ke-3 (14) → (–3 × 3) + 23Suku ke-4 (11) → (–3 × 4) + 23…Jadi, suku ke-n → (–3 × n) + 23 = –3n + 23, atau 23 – 3n.

2. Perhatikan gambar pola berikut!

(1) (2) (3) (4)Rumus suku ke-n dari gambar di atas adalah…

Penyelesaian:

Suku ke-1 2 → 1 2 = 2Suku ke-2 6 → 2 3 = 6Suku ke-3 12 → 3 4 = 12Suku ke-4 20 → 4 5 = 20…

Jadi, rumus suku ke-n → [n × (n + 1)] atau n2 + n

3. Perhatikan gambar pola berikut!

(1) (2) (3) (4)Banyak lingkaran pada pola ke-25 adalah…

Penyelesaian:

Suku ke-1 2 → 1 2 = 2Suku ke-2 6 → 2 3 = 6Suku ke-3 12 → 3 4 = 12Suku ke-4 20 → 4 5 = 20…Jadi, rumus suku ke-n → [n × (n + 1)]Suku ke-25 → [n × (n + 1)] = [25 × (25 +1)] = 25 26 = 650


Setiap gambar pada pola di atas di susun dari batang korek api. Banyaknya batang korek api padapola ke 10 adalah…






Penyelesaian:

Suku ke-1 (4) → 1 + (3 × 1)Suku ke-2 (7) → 1 + (3 × 2)Suku ke-3 (10) → 1 + (3 × 3)Suku ke-4 (13) → 1 + (3 × 4)…Rumus suku ke-n → [1 + (3 × n)] atau (1 + 3n)Jadi, suku ke-10 → [1 + (3 × n)] = [1 + (3 × 10)] = [1 + 30] = 31

5. Rumus suku ke n barisan bilangan adalah Un = 2n2 – 1Nilai dari U10 – U9 adalah…

Penyelesaian:

Un = 2n2 – 1U10 = 2.(10)2 – 1 = 2.(100) – 1 = 200 – 1 = 199U9 = 2.(9)2 – 1 = 2.(81) – 1 = 162 – 1 = 161

Maka U10 – U9 = 199 – 161 = 38

6. Rumus suku ke-n barisan bilangan 6, 10, 14, 18, … adalah…

Penyelesaian:

Suku ke-1 6 → (1 4) + 2 = 6Suku ke-2 10 → (2 4) + 2 = 10Suku ke-3 14 → (3 4) + 2 = 14Suku ke-3 18 → (4 4) + 2 = 18…Jadi, rumus suku ke-n → n × 4 + 2

→ 4n + 2


Gambar diatas menunjukkan daerah yang dibentuk oleh tali busur dalam lingkaran, 1 buah tali busurmembentuk 2 daerah, 2 buah tali busur, membentuk 4 daerah, 3 buah tali busur membentuk 6daerah. Berapa daerah yang dapat dibentuk bila dibuat 25 buah tali busur?A. 25 C. 49B. 35 D. 50

Kunci Jawaban: D Tali 1 – 2 daerah 1 2 = 2Tali 2 – 4 daerah 2 2 = 4Tali 3 – 6 daerah 3 2 = 6Tali n – 2nTali ke-25 = 2 25 = 50






SOAL ULANGAN POLA DAN RUMUS SUKU-KE-n

BAGIAN 1


Suku Ke-n Biasa

1. Dua suku berikutnya dari barisan 3, 4, 6, 9, …adalah…A. 13, 18 C. 12, 26B. 13, 17 D. 12, 15

Kunci Jawaban: A

3, 4, 6, 9, 13, 18

1 2 3 4 5

2. Dua suku berikutnya dari barisan 5, 10, 16, 23,… adalah…A. 28, 40 C. 31, 40B. 31, 50 D. 40, 45

Kunci Jawaban: C

5, 10, 16, 23, 31, 40

5 6 7 8 9

Rumus Suku Ke-n

3. Rumus suku ke-n barisan bilangan 8, 13, 18,23, …adalah…A. 3n + 5 C. 5n + 3B. 4n + 4 D. 6n +4

Kunci Jawaban: Ca = 8, b = 5Un = a + (n – 1)bUn = 8 + (n – 1).5Un = 8 + 5n – 5Un = 5n + 3

4. Rumus suku ke-n barisan 39; 32; 25; 18; …adalah…A. Un = 32 + 7n C. Un = 46 – 7n

B. Un = 32n + 7 D. Un = 46n – 7

Kunci Jawaban: C

a = 39, b = = -7Un = a + (n – 1)bUn = 39 + (n – 1).-7Un = 39 - 7n + 7Un = 46 – 7n

5. Un dari barisan bilangan 3,8,13,18, adalah…A. 3n + 5 C. 5n – 2B. 3n + 2 D. n + 5

Kunci Jawaban: C

a = 3, b = 5Un = a + (n – 1)bUn = 3 + (n – 1).5Un = 3 + 5n - 5

Un = 5n – 2

6. Rumus suku ke-n barisan bilangan 13, 9, 5, 1,… adalah…A. Un = 17 – 4n C. Un = 9 + 4nB. Un = 17n – 4 D. Un = 9n + 4

Kunci Jawaban: A

a = 13, b = -4Un = a + (n – 1)bUn = 13 + (n – 1).-4

Un = 13 - 4n + 4Un = 17 – 4n

7. Suku ke-n barisan 2, 5, 8, 11,… adalah…A. 4n – 1 C. 3n – 1B. 5n – 3 D. n + 2Kunci Jawaban: C

a = 2, b = 3Un = a + (n – 1)bUn = 2 + (n – 1).3Un = 2 + 3n - 3Un = 3n - 1






8. Rumus suku ke-n dari barisan 48, 44, 40, 36,… adalah…A. 4n + 44 C. 48 – 4nB. 52 – 4n D. 48n – 4

Kunci Jawaban: B

a = 48, b = -4Un = a + (n – 1)bUn = 48 + (n – 1).-4Un = 48 - 4n + 4Un = 52 – 4n


Setiap gambar pada pola di atas di susun daribatang korek api. Rumus suku ke-n dari

barisan itu adalah…A. 3 + n C. 3 + 3nB. 1 + 3n D. 3 + n2

Kunci Jawaban: B

4, 7, 10, …a = 4, b =3Un = a + (n – 1)bUn = 4 + (n – 1).3Un = 4 + 3n – 3Un = 1 + 3n

10. Pada barisan aritmetika, diketahui bedanya 4dan suku ke-5 adalah 18. Rumus suku ke-nbarisan tersebut adalah…A. Un = 4n – 1 C. Un = 3n + 3B. Un = 4n – 2 D. Un = 3n + 4

Kunci Jawaban: B

b = 4U5 = 18 a + 4b = 18

a + 4 × 4 = 18a + 16 = 18

a = 18 – 16a = 2

Rumus suku ke-nUn = a + (n – 1)bUn = 2 + (n – 1).4Un = 2 + 4n – 4Un = 4n – 2

11. Diketahui rumus suku ke-n suatu barisanadalah Un = ax + b, jika U5 = 10 dan U6 = 14,maka rumus suku ke-n adalah…

A. –4x + 10 C. 4x – 10B. –4x – 10 D. 4x + 10

Kunci Jawaban: C

Un = ax + bU5 = 10 5a + b = 10U6 = 14 6a + b = 14 –

-a = -4a = 4

Substitusi nilai a = 4, ke:5a + b = 10

5.(4) + b = 1020 + b = 10

b = 10 – 20b = –10

Rumus suku ke-n:Un = ax + bUn = 4x – 10






C. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

- Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang membentuk pola atau aturan tertentu.- Suku dari barisan bilangan adalah setiap bilangan pada barisan bilangan.- Deret bilangan adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku barisan tersebut.

1.

Barisan Aritmatika

Contoh Barisan Aritmatika: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …a a + b a + 2b a + 3b a + 4b a + 5b

U1 U2 U3 U4 U5 U6 ….

1 3 5 7 9 11

+2 +2 +2 +2 +2U1 = a = 1b = U2 – U1 = 3 – 1 = 2

Barisan U1, U2, U3, …, Un merupakan barisan aritmatika jika barisan tersebutmempunyai beda tetap, yaitu b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1

Jadi, bentuk umum suku ke-n barisan aritmatika:

Un = a + (n – 1)b

Untuk setiap n berlaku b = Un – Un – 1

dengan:Un = suku ke-na = U1 atau suku pertama

b = beda atau selisih dua suku berurutan

Contoh:

1. Tentukan suku ke-30 dari barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, …Penyelesaian: Diketahui: U1 = a = ………

b = ……… – ……… = ………

n = ………

Ditanya: U30 = ……… ?

Un = a + (n – 1)b

U30 = …… + (…… – 1) ……

U30 = …… + …… ……

U30 = …… + ……

U30 = ………






2. Suatu barisan aritmatika memiliki U7 = 100 dan U15 = 172. Tentukan suku ke-20?Penyelesaian:

Un = a + (n – 1) b

U7 = a + (…… – 1)b = a + 6b = ………

U15 = a + (…… – 1)b = a + 14b = ……… –

– … b = – ………

b =.......

.......

b = ………

Substitusi nilai b = ……… ke persamaan (1): a + 6b = ………

a + 6.(……) = ………

a + ……… = ………

a = ……… – ………

a = ………

Un = a + (n – 1) b

Jadi, U20 = ……… + (……– 1) ……

U20 = ……… + …… ……

U20 = ……… + ………

U20 = ………

3. Setiap bulan, Ucok selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000, bulan ketiga ia menabung sebesar Rp12.000.Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000 setiap bulannya. Tentukan jumlah uang

yang ditabung Ucok pada bulan ke-12?

Penyelesaian:

Pola bilangan terbentuk dari soal tersebut: 10.000, 11.000, 12.000, …

a = ……… , b = ……… , n = ………

Un = a + (n – 1).b

U12 = …………… + (…… – 1). ……………

U12 = …………… + ……… …………

U12 = …………… + ……………

U12 = ……………

Jadi, uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12 adalah …………………






2. Deret Aritmatika

Dari barisan aritmatika 2, 4, 6, 8, 10, … jika dibentuk menjadi 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … maka bentuk inidisebut deret aritmatika.2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ……Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan Sn, maka S5 dari deret tersebut adalah:

S5 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10S5 = 10 + 8 + 6 + 4 + 2 + (Urutan dibalik)

2.S5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

5 suku2.S5 = 5 12 n

S5 =2

5 12 =

2

5 (2 + 10)

U1 U5

Secara umum, jumlah n suku pertama dari deret aritmatika adalah:

bnan

S n 122

atau nn U an

S 2

dimana: Sn = jumlah n suku pertamaa = suku pertamaUn = suku terakhir = a + (n – 1).bn = banyak suku

Contoh Soal:

1. Jumlah 10 suku pertama dari barisan 4 + 7 + 10 + 13 + … adalah…Penyelesaian

Barisan aritmatika 4, 7, 10, 13, …

a = ………… , b = ……… – …… = ……… , n = ……

Sn = bnan

122

S10 =2

..... (2 …… + (…… – 1). ……)

S10 = …… (……… + …… ……)

S10 = …… (……… + ………)

S10 = …… (………)

S10 = …………






2. Diketahui barisan aritmatika U3 = 7 dan U8 = 17. Jumlah 24 suku pertama dari barisan tersebutadalah…

Penyelesaian

Un = a + (n – 1) b

U3 = a + (…… – 1)b = a + 2b = ………

U8 = a + (…… – 1)b = a + 7b = ……… –

– … b = – ………

b =.......

.......

b = ………

Substitusi nilai b = ……… ke: Jumlah 24 suku pertama, maka n = ………

a + 2b = ……… Sn = bnan 122

a + 2.(……) = ……… S24 =2

..... (2 …… + (…… – 1). ……)

a + ……… = ……… S24 = …… (……… + …… ……)

a = ……… – ……… S24 = …… (……… + ………)

a = ……… S24 = …… (………)

S24 = …………

3. Tempat duduk pada suatu gedung pertunjukan diatur sedemikian rupa sehingga pada barispertama terdapat 8 kursi, baris kedua terdapat 11 kursi, baris ketiga terdapat 14 kursi danseterusnya bertambah 3 kursi pada baris berikutnya. Jika gedung tersebut terdapat 10 baris,tentukan:e. Banyak kursi pada baris ke-15f. Banyak kursi seluruhnya

Penyelesaian:

a. Karena aturannya ditambah 3, maka barisannya adalah: 8, ……, …… , …… , ……

a = ………… ; b = ……… – …… = ……… ; n = ……Un = a + (n – 1).b

U15 = …………… + (…… – 1). ……………

U15 = …………… + ……… …………

U15 = …………… + ……………

U15 = ……………

Jadi, banyak kursi pada baris ke-15 adalah ……… buah.

Cara cepat cari beda:

U3 = 7

U8 = 17

b =38

717

=

5

10 = 2






b. Dalam gedung terdapat 10 baris kursi, maka:

Sn = bnan

122

S10 = 2

.....

(2 …… + (…… – 1). ……)

S10 = …… (……… + …… ……)

S10 = …… (……… + ………)

S10 = …… (………)

S10 = …………

Jadi, banyak penonton didalam gedung itu adalah ……… buah.






SOAL ULANGAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BAGIAN 1


Nilai dari:

1. Rumus suku ke-n suatu barisan bilangan adalahUn = n2 + 1 . Nilai dari U7 + U8 =…A. 115 C. 113B. 114 D. 111

Kunci Jawaban: A

Un = n2 + 1U7 = 72 + 1 = 49 + 1 = 50U8 = 82 + 1 = 64 + 1 = 65U7 + U8 =50 + 65 = 115

2. Rumus suku ke-n barisan adalah Un = 2n(n – 1).Hasil dari U9 – U7 adalah…A. 80 C. 60B. 70 D. 50

Kunci Jawaban: C

Un = 2n(n – 1)

U9 = 2.9(9 – 1) = 18 (8) = 144U7 = 2.7(7 – 1) = 14 (6) = 84U9 – U7 = 144 – 84 = 60

3. Rumus suku ke-n suatu barisan adalah Un = 5n– 7. Nilai U1 + U5 adalah…A. 20 C. 16B. 18 D. 6

Kunci Jawaban: C

Un = 5n – 7U1 = 5.1 – 7 = 5 – 7 = –2U5 = 5.5 – 7 = 25 – 7 = 18U1 + U5 = –2 + 18 = 16

Suku ke-

4. Banyak garis hubung pada bentuk ke- 5adalah…

A. 16 C. 14B. 15 D. 13

Kunci Jawaban: B

1, 3, 6, 10, 15, …+2 +3 +4 +5

Jadi suku ke-5 adalah 15.

5. Perhatikan gambar

Pola di bawah ini dibuat dari batang lidi.Banyak batang lidi pada pola ke-10 adalah…A. 32 C. 30B. 31 D. 29

Kunci Jawaban: B

4, 7, 10, 13, …a = 4, b = 3U10 = a + 9b = 4 + 9 × 3

= 4 + 27= 31

6. Pola suatu barisan yang disusun dari batang-batang korek api

…Banyaknya batang korek api pada pola ke-6adalah… buah

A. 14 C. 17B. 15 D. 23Kunci Jawaban: D

3, 7, 11, …a = 3, b = 4U6 = a + 5b = 3 + 5 × 4

= 3 + 20= 23

7. Perhatikan gambar tumpukan batu bata dibawah ini

ii.






Berapa banyaknya batu bata pada tumpukan yang ke-6?A. 28 buah C. 63 buahB. 29 buah D. 64 buah

Kunci Jawaban: B 4, 9, 16, …a = 4, b = 9 – 4 = 5U6 = a + 5b = 4 + 5 5

= 4 + 25= 29

2. Suku ke- 20 dari barisan bilangan yang rumussuku ke-n nya Un = 19n – n2 adalah..A. –10 C. –40

B. –20 D. –60

Kunci Jawaban: B

Un = 19n – n2 U20 = 19 20 – 202

= 380 – 400= –20

1. Suku pertama suatu barisan aritmetika dengan b

=2

1 dan U9 = 5 adalah…

A.2

1 C.

2

11

B. 1 D.2

12

Kunci Jawaban: B

b =2

1

U9 = 5 a + 8b = 5

a + 8.2

1 = 5

a + 4 = 5a = 5 – 4a = 1

Suku pertamanya = 1

2. Diketahui barisan bilangan 2, 5, 8, 11, 14, …Suku ke-50 dari barisan tersebut adalah…A. 146 C. 149

B. 147 D. 151

Kunci Jawaban: C

a = 2b = 5 – 2 = 3U50 = a + 49b = 2 + 49 3

= 2 + 147= 149

3. U9 dari deret 4,2

13 , 3,

2

12 , 2, … adalah…

A. 0 C.2

1

B.2

1 D. 1

Kunci Jawaban: A

a = 4

b = 4213 =

28

27 =

21

U9 = a + 8b = 4 + 8.2

1 = 4 – 4 = 0

Jadi U9 = 0

4. Dalam gedung pertunjukkan disusun kursidengan baris paling depan terdiri dari 12 buah,baris kedua berisi 14 buah, baris ketiga berisi

16 buah, dan seterusnya selalu bertambah 2.Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah…A. 28 buah C. 58 buahB. 50 buah D. 60 buah

Kunci Jawaban: B 12, 14, 16, …a = 12, b = 2U20 = a + 19b = 12 + 19 2

= 12 + 38

= 50

5. Pada gedung pertunjukan kursi-kursi tersusunsebagai berikut: Baris terdepan 20 kursi, danbaris di belakangnya selalu bertambah 4banyaknya kursi pada baris ke-9 adalah…A. 33 C. 56B. 52 D. 71

Kunci Jawaban: B 20, 24, 28, …

a = 20, b = 4U9 = a + 8b = 20 + 8 4

= 20 + 32






= 52

6. Pak Hadi membuka perkebunan di Selo, diolahdengan system terasering. Pada petakpertama memuat 5 batang, petak kedua 11batang, petak ketiga 17 batang demikianseterusnya. Banyaknya pohon pada petak ke-25 adalah…A. 139 batang C. 150 batangB. 149 batang D. 151 batang

Kunci Jawaban: B

5, 11, 17, …a = 5, b = 6U25 = a + 24b = 5 + 24 6

= 5 + 144

= 149

7. Pada tumpukan batu bata, banyak batu batapaling atas ada 8 buah, tepat di bawahnya ada10 buah, dan seterusnya setiap tumpukan dibawahnya selalu lebih banyak 2 buah daritumpukan di atasnya. Jika ada 15 tumpukanbatu bata (dari atas sampai bawah), berapabanyak batu bata pada tumpukan palingbawah…A. 35 buah C. 38 buah

B. 36 buah D. 40 buah

Kunci Jawaban: B

Atas 8, 10, 12, …a = 8, b = 2U15 = a + 14b = 8 + 14 2

= 8 + 28= 36

8. Pada sebuah gedung pertunjukan, banyak kursipada baris paling depan adalah 15 kursi,banyak kursi pada baris di belakangnya selalulebih 3 kursi dari baris di depannya. Banyakkursi pada baris ke-12 adalah… kursiA. 42 C. 51B. 48 D. 54

Kunci Jawaban: B 15, 18, 12, ...a = 15, b = 3U12 = a + 11b = 15 + 11 3

= 15 + 33

= 48

9. Diaula sekolah terdapat 15 baris kursi yangdiatur pada setiap baris mulai yang terdepandan berikutnya selalu bertambah 3 kursi. Jikabanyak kursi pada baris paling belakang 62kursi, maka banyak kursi pada baris terdepanadalah… buahA. 23 C. 14B. 20 D. 10

Kunci Jawaban: B b = 3, n = 15U15 = a + 14b62 = a + 14 3

62 = a + 42a = 62 – 42a = 20

Jadi banyak kursi pada baris terdepan adalah20 buah.

10. Budi sedang menumpuk kursi yang tingginyamasing-masing 90 cm. Tinggi tumpukan 2 kursi96 cm, dan tinggi tumpukan 3 kursi 102 cm.Tinggi tumpukan 10 kursi adalah…A. 117 cm C. 144 cm

B. 120 cm D. 150 cm

Kunci Jawaban: C 90, 96, 102, …a = 90, b = 6U10 = a + 9b = 90 + 9 6

= 90 + 54= 144

11. Dalam sebuah ruang pertunjukan, baris palingdepan tersedia 18 kursi. Baris dibelakangnyatersedia 4 kursi lebih banyak dari baris didepannya. Jika pada ruang itu tersedia 10baris maka banyak kursi pada baris palingbelakang adalah…A. 32 buah C. 54 buahB. 40 buah D. 58 buahKunci Jawaban: C 18, 22, 26, …a = 18, b = 4, terdapat 10 baris.U10 = a + 9b = 18 + 9 4

= 18 + 36= 54






Beda Barisan Aritmatika

12. Beda suatu barisan aritmetika jika diketahuiU1 = 2 dan suku ke U9 = 6 adalah…A. 2 C. 1

B.2

11 D.

2

1

Kunci Jawaban: D

U1 = = a = 2U9 = 6 a + 8b = 6

2 + 8b = 68b = 6 – 28b = 4

b = 8

4

= 2

1

Jumlah n Suku

13. Suatu barisan aritmatika diketahui U6 = 18dan U10 = 30. Jumlah 16 suku pertama barisantersebut adalah…A. 896 C. 448B. 512 D. 408

Kunci Jawaban: D U6 = a + 5b = 18U10 = a + 9b = 30 –

-4b = -12

b =4

12

= 3

Substitusi nilai b = 3, ke:

a + 5b = 18a + 5.(3) = 18

a + 15 = 18a = 18 – 15a = 3

Nilai a = 3, b = 3 dan n = 16

Sn = bnan

122

S16 =2

16 (23+ (16 – 1).3)

S16 = 8 (6 + (15).3) S16 = 8 (6 + 45)

S16 = 8 (51)S16 = 408

14. Suatu barisan aritmatika diketahui U6 = 18dan U10 = 34. Jumlah 16 suku pertama barisantersebut adalah…C. 896 C. 448D. 512 D. 408

Kunci Jawaban: C U6 = a + 5b = 18U10 = a + 9b = 34 –

-4b = -16

b =4

16

= 4

Substitusi nilai b = 3, ke:

a + 5b = 18a + 5.(4) = 18

a + 20 = 18a = 18 – 20a = -2

Nilai a = -2, b = 4 dan n = 16

Sn = bnan

122

S16 =2

16 (2 (-2)+ (16 – 1).4)

S16 = 8 (-4 + (15).4)

S16 = 8 (-4 + 60) S16 = 8 (56)

S16 = 44815. Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-3 =

14 dan suku ke-7 = 26. Jumlah 18 sukupertama adalah…A. 531 C. 1.062B. 603 D. 1.206

Kunci Jawaban: B U3 = a + 2b = 14U7 = a + 6b = 26 –

-4b = -12

b =4

12

= 3

Substitusi nilai b = 3, ke:a + 2b = 14

a + 2.(3) = 14a + 6 = 14

a = 14 – 6

a = 8Nilai a = 8, b = 3 dan n = 18






Sn = bnan

122

S18 =2

18 (28+ (18 – 1).3)

S18 = 9 (16 + (17).3)

S18 = 9 (16 + 51) S18 = 9 (67)

S18 = 603

16. Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-3 =18 dan suku ke-7 = 38. Jumlah 24 sukupertama adalah…A. 789 C. 1.572B. 1.248 D. 3.144

Kunci Jawaban: B U3 = a + 2b = 18U7 = a + 6b = 38 –

-4b = -20

b =4

20

= 5


a + 2.(5) = 18a + 10 = 18

a = 18 – 10

a = 8Nilai a = 8, b = 5 dan n = 24

Sn = bnan

122

S24 =2

24 (28+ (18 – 1).5)

S24 = 12 (16 + (17).5)

S24 = 12 (16 + 115) S24 = 12 (131)

S24 = 1.572

17. Diruang pertujukan, baris paling depantersedia 15 kursi, baris dibelakangnya selalutersedia 3 kursi lebih banyak dari kursididepannya, jika pada ruang itu tersedia 10

baris, banyak kursi diruang tersebut adalah…buahA. 150 C. 300B. 285 D. 570

Kunci Jawaban: B 15, 18, 21, …a = 15, b = 3Tersedia 10 baris kursi

Sn = bnan

122

S10 =2

10 (2 15+ (10 – 1).3)

S10 = 5 (30 + (9).3)

S10 = 5 (30 + 27)

S10 = 5 (57)S10 = 285Banyak kursi yaitu 285

18. Ada 10 buah bangunan, bangunan pertamamembutuhkan 1.000 buah batu bata. Bangunankedua membutuhkan 1.050 buah batu bata,bangunan ketiga membutuhkan 1.100 buahbatu bata dan seterusnya. Maka jumlah batubata yang diperlukan untuk membangun 10bangunan adalah… buah

A. 12.250 C. 12.260B. 12.555 D. 12.265

Kunci Jawaban: A 1.000, 1050, 1.100, …a = 1.000, b = 50Membangun 10 bangunan

Sn = bnan

122

S10 = 2

10

(21.000+ (10 – 1).50) S10 = 5 (2000 + (9).50)

S10 = 5 (2000 + 450) S10 = 5 (2450)

S10 = 12.250Jadi batu bata yang diperlukan yaitu 12.250







1. Rumus suku ke-n barisan bilangan 7, 12, 17,22, … adalah…

Penyelesaian:

a = 7, b = 5Un = a + (n – 1)b = 7 + (n – 1).5

= 7 + 5n – 5= 5n + 2

2. Diketahui barisan bilangan -1, 4, 9, 14, … Sukuke-50 dari barisan bilangan tersebut adalah…

Penyelesaian:

-1, 4, 9, 14, …

a = -1, b = 5U50 = a + 49b = -1 + 49 5

= -1 + 245= 244

3. Suku ke-n dari suatu barisan bilanganditentukan dengan Un = 2(4 – n). Suku keenambarisan bilangan tersebut adalah…

Penyelesaian:

Un = 2(4 – n)

U6 = 2(4 –6) = 2 –2 =2

2

1 =4

1

4. Suku ke-11 dari suatu barisan aritmetika

dengan b =2


Penyelesaian:

b =2

1 , U1 = = a = 5

U11 = a + 10b = 5 + 10.2

1 = 5 – 5 = 0

Suku ke-11 = 05. Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-2

adalah 7, sedangkan suku ke-6 adalah 19. Sukuke-50 dari barisan tersebut adalah…

Penyelesaian:

U2 = 7 a + b = 7U6 = 7 a + 5b = 19 –

–4b = –12b =

4

12

= 3

a = 7 – b = 7 – 3 = 4U50 = a + 49b = 4 + 49 3

= 4 + 147= 151

6. Dalam suatu gedung pertemuan terdapat 10kursi pada baris pertama, 16 kursi pada bariskedua, 22 kursi pada baris ketiga, dan untukbaris berikutnya bertambah 6 kursi. Makabanyak kursi pada baris ke-10 adalah…

Penyelesaian:

10, 16, 22, …a = 10, b = 6

U10 = a + 9b = 10 + 9 6= 10 + 54= 64

7. Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-7 =22 dan suku ke-11 = 34. Jumlah 18 sukupertama adalah…

Penyelesaian: U7 = a + 6b = 22U11 = a + 10b = 34 –

-4b = -12

b =4

12

= 3


a + 6.(3) = 22a + 18 = 22

a = 22 – 18

a = 4Nilai a = 4, b = 3 dan n = 18

Sn = bnan

122

S18 =2

18 (24+ (18 – 1).3)

S18 = 9 (8 + (17).3)

S18 = 9 (8 + 51) S18 = 9 (59)

S18 = 531

8. Bu Retno menata roti di atas meja. Banyaknyaroti pada baris pertama 15 buah, banyaknnya






roti pada baris berikutnya selalu berkurang 3buah dari baris didepannya. Banyak roti padabaris ke-5 adalah …

Penyelesaian: 15, 12, 9, …a = 15, b = -3U5 = a + 4b = 15 + 4 -3

= 15 – 12= 3

9. Banyak kursi pada baris pertama sebuahgedung pertunjukkan 15 kursi, baris kedua 19kursi dan seterusnya sehingga banyak kursibaris berikutnya selalu bertambah 4 kursidari banyak kursi pada baris sebelumnya.

Banyak kursi dalam gedung tersebut padabaris ke-20 adalah… kursi

Penyelesaian: 15, 19, 23, …a = 15, b = 4Tersedia 20 baris pemain.U20 = a + 19b = 15 + 19 4

= 15 + 76= 91

10. Dalam gedung pertunjukkan disusun kursidengan baris paling depan terdiri dari 12 buah,baris kedua berisi 14 buah, baris ketiga 16buah dan seterusnya selalu bertambah 2. Jikapada gedung tersebut terdapat 20 baris,maka banyaknya kursi pada baris terakhiradalah…

Penyelesaian: 12, 14, 16, …a = 12, b = 2, terdapat 20 baris.U20 = a + 19b = 12 + 19 2

= 12 + 38= 50

11. Di ruang seminar terdapat 12 baris kursidiatur mulai dari baris terdepan ke barisberikutnya selalu bertambah 2 kursi. Jikabanyak kursi pada baris paling depan adalah 8buah, maka jumlah kursi seluruhnya adalah…

Penyelesaian:8, 10, 12, …a = 8, b = 2

Tersedia 12 baris kursi

Sn = bnan

122

S12 =2

12 (2 8+ (12 – 1).2)

S12 = 6 (16 + (11).2) S12 = 6 (16 + 22)

S12 = 6 (38)S12 = 228

12. Formasi barisan pemain marching band

menetapkan 14 pemain pada baris pertama, 16pemain pada baris kedua dan seterusnya barisdibelakannya selalu lebih banyak 2 pemain daribaris di depannya. Jika terdapat 25 barispemain, maka jumlah pemain marching bendseluruhnya adalah… orang.

Penyelesaian: 14, 16, 18, …a = 14, b = 2Tersedia 25 baris pemain.

Sn = bnan 122

S25 =2

25 (2 14 + (25 – 1).2)

S25 =2

25 (28 + (24).2)

S25 =2

25 (28 + 48)

S25 =2

25 (76)

S25 = 25 38S25 = 950Jadi jumlah pemain marching bend seluruhnya950 buah

13. Dua orang karyawan pabrik menerima gaji Rp1.000.000,- per bulan selama setahun. Setiaptahun pada tahun berikutnya karyawan yangpertama memperoleh kenaikan gaji Rp

50.000,- setiap tahun dan yang keduamemperoleh kenaikan Rp150.000,- setiap dua






tahun. Tentukan pengeluaran total untukmenggaji dua karyawan tersebut selama 6tahun pertama bekerja.

Penyelesaian: 6 tahun pertamaKaryawan 1: a = 1.000.000

b = 50.000U6 = a + 5b = 1.000.000 + 5 50.000

= 1.000.000 + 250.000= 1.250.000

Karyawan 2: a = 1.000.000b = 150.000

U6 = a + 5b = 1.000.000 + 5 150.000= 1.000.000 + 750.000= 1.750.000

Pengeluaran total untuk menggaji duakaryawan tersebut selama 6 tahun pertamabekerja:= 1.250.000 + 1.750.000

= Rp 3.000.000






D. BARISAN DAN DERET GEOMETRI- Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang membentuk pola atau aturan tertentu.- Suku dari barisan bilangan adalah setiap bilangan pada barisan bilangan.- Deret bilangan adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku barisan tersebut.

1.

Barisan GeometriContoh Barisan Geometri: 2, 6, 18, 54, …U1 = a U2 = ar U2 = ar2 U2 = ar3 …… Un = arn – 1

a a r (a r) r (a r r) r …… Un = (a r r ……) r

U1 U2 U3 U4

2 6 18 54

3 3 3

Barisan U1, U2, U3, …, Un merupakan barisan geometri jika barisan tersebut mempunyai

rasio tetap, yaitu r =1

2

U

U =

2

3

U

U = ……… =

n

n

U

U 1

Jika, r > 1 maka barisan geometri naik.

r < 1, maka barisan geometri turun.

Jadi, bentuk umum suku ke-n barisan aritmatika:

Un = arn – 1

dengan: Un = suku ke-n

a = U1 atau suku pertamar = rasion = banyak suku

Contoh:

1. Suku ke-11 dari barisan 256, 128, 64, … adalah…Penyelesaian

Barisan 256, 128, 64, …

a = …………, dan r =1

2

U

U

=

256

128 =

.....

.....

Suku ke-11, maka n = ……U11 = arn – 1

U11 = …… (2

1)11 – 1

U11 = …… (2

1)10

U11 = ……… ..........

1

U11 =..........

..........

=

4

1






2. Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri 3, 6, 12, 24, ……Penyelesaian:

Diketahui: U1 = a = …… ; r =.........

......... = ……… ; n = ………

Ditanya: U10 = ……… ?

Suku ke-10, n = ………

Un = arn – 1

U10 = 3 (………)10 – 1

U10 = 3 (………)9

U10 = 3 ………

U10 = ……………

3. Sebuah barisan geometri memiliki suku ke-7 = 12 dan suku ke-10 = 96. Tentukan rasio dan sukupertama barisan tersebut?Penyelesaian:

Diketahui: U7 = ……… ; U10 = ………

Ditanya: r = ……? dan a = …… ?

Un = arn – 1

U7 = ar7 – 1 = ar6 = ………

U10 = ar10 – 1 = ar9 = ………

7

10

U U =

.........

.........

6

9

ar

ar = …………

r3 = ………

r3 = …… 3

r = ……

a. Maka rasio r = ………

b. U7 = ar6 = 12

a. (……)6 = 12

a ……… = 12

a =.........

12

a = …………






2. Deret Geometri

Dari barisan aritmatika 2, 4, 6, 8, 10, … jika dibentuk menjadi 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … maka bentuk inidisebut deret aritmatika.2 + 6 + 18 + 54 + …Misalkan a + ar + ar2 + …… + arn – 1 adalah deret geometri, jika Sn merupakan jumlah n suku pertamadengan U1 = a dan rasio = r, maka:

Sn = a + ar + ar2 + …… + arn – 1 (persamaan (1)

r.Sn = ar + ar2 + ar3 + …… + arn – 1 + arn - (Persamaan (1) dikalikan dengan r.Sn - r.Sn = a - arn (1 – r).Sn = a.(1 – rn)

Sn =

1

1

r

r a n

, untuk r ≠ 1

Secara umum, jumlah n suku pertama dari deret aritmatika adalah:

Sn ata

1

1

r

r a n

untuk r < 1 atau Sn =

1

1

r

r a n

untuk r > 1

dimana: Sn = jumlah n suku pertamaa = suku pertamar = rasio

Contoh Soal:

1. Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32. Tentukan jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut?

Penyelesaian

Barisan geometriU4 = 4 ar3 = 4U7 = 32 ar6 = 32

4

7

U

U =

3

6

ar

ar =

4

32

r6 – 3 = 8r3 = 8

r =

3

8 atau r

3

= 2

3

r = 2

r = 2, maka r > 1n = 5

Sn =

1

1

r

r a n

S5 =

12

122

1 5

=

1

1322

1

= 312

1 =

2

31

Substitusi r = 2 ke:ar

3 = 4a.(23) = 4a. 8 = 4

a =8

4 =

2

1






SOAL ULANGAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI

BAGIAN 1

C.


1. Rumus suku ke- n dari barisan bilangan 1,24,8,…A. Un = 2n-1 C. Un = 2n+1 B. Un = 2n D. Un = 2n+2

Kunci Jawaban: A

a = 1r = 2Un = arn-1

Un = 1.2n-1

Un = 2n-1

Nilai dari:

2. Jumlah suku ke-6 dan suku ke-8 dari barisan :

2

1, 1, 2, 4, … adalah…

A. 20 C. 80B. 40 D. 96

Kunci Jawaban: C

2

1, 1, 2, 4, …

a =2

1, r = 2

Un = arn-1

U6 =2

1.26-1 =

2

1.25 =

2

1.32 = 16

U8 =

2

1.28-1 =

2

1.27 =

2

1.128 = 64

U6 + U8 = 16 + 64 = 80

Suke ke-n dan Rasio

3. Suku pertama suatu barisan geometri dengan

r =2

1 dan U7 =

8

1 adalah…

A. 16 C. –16B. 8 D. –8

Kunci Jawaban: B

r =2

1

U7 =81 a.r6 =

81

a ×

6

2

1

=

8

1

a ×64

1 =

8

1

a =8

1 ×

1

64 = 8

Jadi suku pertamanya = 8

4. Rasio suatu barisan geometri dengan U1 = –16

dan U8 =8

1 adalah…

A. 2 C. –2

B.2

1 D.

2

1

Kunci Jawaban: C

U1 = –16 a = –16

U8 = 8

1 a.r

7

= 8

1

–16 × r7 =8

1

r7 =8

1 ×

16

1

r7 =128

1

r7 = –27

r = –2Jadi rasionya = –2

5. Suku ke-8 dari suatu barisan geometri dengan






r =3


A.27

1 C.

81

1

B. 81

1

D. 27

1

Kunci Jawaban: C

r =3

1 , U1 = a = 27

U8 = a.r7 = 27 ×

7

3

1

= 27 ×2187

1

=811

Jumlah Suku ke-n

6. Ita menabung di Koperasi Sekolah pada bulanJanuari 2011 sebesar Rp. 5.000, danselanjutnya tiap bulan ia selalu menabung 2kali lebih banyak dari bulan sebelumnya.Banyak uang yang ditabung pada bulan Mei

2011 adalah…

Kunci Jawaban:

Januari 5.000,5.000, 10.000, …a = 5.000, r = 2Mei = bulan ke-5

Un = a.rn – 1 U5 = 5.000 25-1

U5 = 5.000 2

4

U5 = 5.000 16U5 = 80.000

7. Setiap minggu seorang anak menabungsebesar 2 kali dari minggu sebelumnya. Minggupertama ia menabung Rp 100. Berapa minggu iaharus menabung agar tabungannya berjumlahRp 102.400?A. 4 minggu C. 8 mingguB. 6 minggu D. 11 minggu

Kunci Jawaban: D

Minggu pertama = a = 100

r = 2Un = a.rn – 1 a.rn – 1 = 102.400100.2n – 1 = 102.4002n – 1 = 10242n – 1 = 10242n – 1 = 210 n – 1 = 10n = 10 + 1 = 11 minggu

8. Amuba akan membelah diri menjadi dua setiap15 menit. Jika mula-mula ada 30 amuba, makabanyak amuba selama 2 jam adalah…A. 900 C. 3.840B. 1.800 D. 7.680

Kunci Jawaban: Da = 30, r = 22 jam = 120 menit

n =15

120 + 1 = 8 + 1 = 9

Banyak amuba selama 2 jam:Un = a.rn – 1 U9 = 30 29 – 1 U9 = 30 28 U9 = 30 256U9 = 7.680

9. Amuba akan membelah diri menjadi dua setiap20 menit. Jika mula-mula terdapat 15 amuba,maka selama 2 jam banyak amuba adalah…A. 2.120 C. 960

B. 1.920 D. 480

Kunci Jawaban: C

a = 15, r = 22 jam = 120 menit

n =20

120 + 1 = 6 + 1 = 7

Banyak amuba selama 2 jam:Un = a.rn – 1 U7 = 15 27 – 1 U7 = 15 26

U7 = 15 64U7 = 960






10. Dalam setiap 20 menit amuba membelah dirimenjadi dua. Jika mula-mula ada 50 amuba,selama 2 jam banyak amuba adalah…A. 1.600 C. 3.200B. 2.000 D. 6.400

Kunci Jawaban: C

a = 50, r = 22 jam = 120 menit

n =20

120 + 1 = 6 + 1 = 7

Banyak amuba selama 2 jam:Un = a.rn – 1 U7 = 50 27 – 1

U7 = 50 2

6

U7 = 50 64U7 = 3.200





Tentang Penulis

IGW.SUDIARTA, S.Pd

Website/Blog : http://www.reyanbloger.blogspot.com

Email/Paypal : [email protected]

Facebook : [email protected]

Twitter : -

Phone : 085237062015

Tugas : SMPN 1 PENEBEL,TABANAN,BALI,INDONESIA

ALAMAT RUMAH : BR.DINAS UBUNG 17,PENEBEL,TABANAN,BALI

Modul Matematika Kelas 9 Semester1

Documents

Transcript of Modul Matematika Kelas 9 Semester1