Modul ke:

Fakultas

Program Studi

MATEMATIKA BISNISPendahuluan:

1. Kontrak Perkuliahan2. Himpunan

Sitti Rakhman, SP., MM.FEB

Manajemenwww.mercubuana.ac.id

KONTRAK PERKULIAHAN

• SAP

• Rincian Besarnya Bobot Penilaian Mata Kuliah:• Kehadiran: 10 %• UTS: 20 % • UAS: 30 %• Tugas-Tugas: 40 %• Pembagian Kelompok

Himpunan• Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam

satu kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital A, B, C, … sedangkan untuk menyatakan anggotanya digunakan huruf kecil a, d, c, …

• Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan

didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u,e, o}.

2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adalah himpunan bilangan riil.

3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif}

4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi

HIMPUNANPengertian HimpunanHimpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, …,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma

Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu

Contoh:

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan

3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ B}

1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan

-5 tetapi kurang dari 10

Jawaban :

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x ∈ C }3. D = { x | x < 20 , x ∈ D }

Contoh soal

: Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya

Jawaban:

= { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 }

= { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

= { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ B}

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x ∈ C }

3. D = { x | x < 20 , x ∈ D }

Keanggotaan Suatu HimpunanContoh:

A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

1 ∈ A 1 ∉ B3 ∈ A 3 ∉ B5 ∈ A 5 ∉ B7 ∈ A 7 ∉ B9 ∈ A 9 ∉ B

2 ∈ B 2 ∉ A4 ∈ B 4 ∉ A6 ∈ B 6 ∉ A8 ∈ B 8 ∉ A

10 ∈ B 10 ∉ A

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5

Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6

12 ∈ B 12 ∉ A

Catatan: Lambang ∈ dibaca “elemen” atau anggotaLambang ∉ dibaca “bukan elemen” atau bukan anggotaLambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

Himpunan Kosong

D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m}

DEFINISI:

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau ∅

Contoh :

F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)

Sekarang cobalah kalian membuat notasi himpunan yang mendefinisikan himpunan kosong (waktumu 5 menit)

Himpunan LepasDefinisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang samaContoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G

Himpunan Tidak Saling LepasDefinisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas(berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama

Contoh :P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P ⊄ Q

Himpunan SemestaDefinisi :Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan

Contoh :

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }

C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

D = { 2,3,5,7,11 }

E = { 0, 2, 4, 6 }

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ?2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D

Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E

Himpunan BagianA adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggotahimpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkandengan A ⊂ B

Contoh:

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C

a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B ⊂ A

b. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C ⊄ A

Rumus Banyaknya Himpunan BagianJika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A)

Contoh:Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut

1. A = { a, b, c }

2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Jawab:

1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8

2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

3. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

Himpunan SamaDefinisi:

Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnyaContoh :A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e }

Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o maka himpunan A = B

Himpunan EkuivalenDefinisi:

Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama

Contoh :P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)Definisi:

Irisan himpunan A dan B ditulis A ∩ B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ∩ Q

P ∩ Q = { d, e }Jawab :

Gabungan Dua Himpunan ( Union)Definisi:

Gabungan himpunan A dan B ditulis A ∪ B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ∪ Q

Jawab : P ∪ Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }

Diagram Venn

Langkah-langkah menggambar diagram venn

1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan

2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama

3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah

4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi

5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam

lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana

segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

Contoh Diagram Venn

Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas

Jawab:

6

3

2 4

15

8 10

9

12

A

B

C

S

7

111314

6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C

3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C

2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

0

Contoh 2:Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?Jawab:

N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21B = {siswa gemar menari} n(B) = 16

A ∩ B = {siswa gemar keduanya} n(A ∩ B) = 10

Perhatikan Diagram Venn berikut

10

A B

11 6

S

5

a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis

b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari

c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

Contoh 3Diketahui : S = { x | 10 < x ≤ 20, x ∈ B }

M = { x | x > 15, x ∈ S }N = { x | x > 12, x ∈ S }Gambarlah diagram vennya

Jawab : S = { x | 10 < x ≤ 20, x ∈ B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }

M = { x | x > 15, x ∈ S } = { 16,17,18,19,20}N = { x | x > 12, x ∈ S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20}M ∩ N = { 16,17,18,19,20 }

16

17

18

1920

MN

13

14 15

S

11

12

Diagram Vennya adalah sbb:

Contoh 4:Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?

Jawab: N(S) = 60Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20

B = {siswa suka siomay} n(B) = 46

Maka A ∩B = {suka keduanya}(A ∩B)c = {tidak suka keduanya} n((A ∩B)c) = 5

n(A ∩B) = x{siswa suka bakso saja} = 20 - x{siswa suka siomay saja} = 46 - x

Perhatikan Diagram Venn berikut

xA B20 - x 46 - x

S

5

n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+560 = 71 - x

X = 71 – 60 = 11a. Yang suka keduanya adalah x

= 11 orangb. Yang suka bakso saja adalah

20-x = 20-11= 9 orangc. Yang suka siomay saja adalah

46-x = 46-11= 35 orang

Terima KasihSitti Rakhman, SP., MM

Buatlah soal dan jawaban, seperti contoh keempat ini (Waktunya 10 menit)