Modul Kalkulus

Click here to load reader

  • date post

    03-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    5.507
  • download

    44

Embed Size (px)

Transcript of Modul Kalkulus

MODUL KALKULUS I Dosen Pembimbing Dra. Lusia Sugiyati Tim Penyusun Fisca Nandya Agustina (08.5644) Frisca Ully Hapsari Saragih (08.5647) Gilang Alip Utama (08.5651) Hinca Gita Lestari Pardede (08.5665) I Gede Heprin Prayasta (08.5667) Jamiatul Mualifah (08.5686) Lidya Indah Aribi (08.5699) M. Aulia Rahman (08. 5709) Moh. Safiudin (08.5727) Muhamad Anwar (08. 5731) Nana Khaira (08.5737) SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Tahun Akademik2008 / 2009 KATA PENGANTAR Puji Syukur kami panjatkan kehadirat TuhanYang Maha Esa karena atas berkat dan rahmatBeliaulahkamidapatmerampungkanmodulmatakuliahKalkulusinitepatpada waktunya. Adapuntujuanpenyusunanmodulmatakuliahkalkulusiniadalahuntukmemenuhi tugasakhirsemestergenapini.Selainitukamiberharapmodulinidapatdigunakansebagai panduandalamsatuanacaraperkuliahanmatakuliahKalkulusI.Padamodulinikami berusahamenampilkanseluruhmateriangtercantumdalamsilabusacaraperkuliahanmata kuliahKalkulustahunakademik2008/2009,sertadidukungolehbeberapalatihansoal dilengkapi dengan pembahasannya. AkhirkatakamiucapkanterimakasihkepadaIbuLusiaSugiyatiselakudosen pembimbing, rekan-rekan tim penyusun,beserta semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satupersatuyangtelahmembantukamidalamprosespenyusunanmodulini.Kami menyadari bahwa karya kami masih sangat jauh dari sempurna, maka dari itu kritik dan saran yangbersifatmembangunsangatdiharapkandemikesempurnaankaryakamiberikutnya. Terima Kasih. Jakarta, 28 Juli 2009 Penulis DAFTAR ISI Halaman Judul........................................................................................................................ i Kata Pengantar ......................................................................................................................... ii Daftar Isi................................................................................................................................ iii Fungsi Invers Trigonometri ..................................................................................................... 1 Integral Fungsi Trigonometri ................................................................................................... 7 Integral Parsial ......................................................................................................................... 7 Rumus Reduksi Trigonometri .................................................................................................8 Integral Substitusi Trigonometri ............................................................................................ 14 Integral Fungsi Rasional ........................................................................................................ 16 Integral Substitusi Lain .......................................................................................................... 26 Improper Integral ....................................................................................................................29 Fungsi Gamma & Fungsi Beta............................................................................................... 32 Barisan Tak Hingga, Kemonotonan Barisan, Konvergensi Barisan ......................................40 Deret Geometri, Deret Harmonis, Uji Konvergensi .............................................................. 42 Deret Kuasa, Deret Taylor, Deret Mac Laurin ...................................................................... 50 Radius Konvergensi dan Interval Konvergensi ..................................................................... 50 Fungsi dua Variabel, Domain, Range ...................................................................................53 Turunan parsial, Aturan Rantai .............................................................................................. 55 Integral Rangkap dan Volume Benda Ruang ......................................................................... 57 FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI I.TURUNAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI 1.Turunan Fungsi Invers Sinus Perhatikangrafiky=sinx,kitamencatatbahwapadainterval2 / 2 / H s s H xpembatasansinxmenjadikannyasatu-satu.Kemudiankitamendefinisikansin-1 xsebagai fungsi inversnya. Domain dari fungsi ini [-1,1], yang merupakan range dari sin x. Jadi, 1.sin-1 x = y jika dan hanya jika sin y = x. 2.Domain sin-1 x adalah [-1,1]. 3.Range sin-1 x adalah [-/2, /2]. Grafik sin-1 x diperoleh dari grafik sin x dengan merefleksikan pada garis y= x.

1.1 2.Turunan Fungsi Invers Cosinus Jika kita membatasi domain cos x pada [0, ], kita mendapatkan fungsi satu-satu dengan range [-1,1]. Jadi kita mendefinisikan cos-1 x sebagai invers dari pembatasan tersebut. 1.cos-1 x = y jika dan hanya jika cos y = x. 2.Domain cos-1 x adalah [-1,1]. 3.Range cos-1 x adalah [0, ]. Grafik cos-1 x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = cos x pada garis y= x. 1.2 3.Turunan Fungsi Invers Tangen 211'] [sinUUUdxd= 211'] [cosUUUdxd= Dengan membatasi domain tan x pada interval (-/2, /2) kita memperoleh fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah tan-1 x. Maka : 1.tan-1 x = y jika dan hanya jika tan y = x. 2.Domain tan-1 x adalah (-,+). 3.Range tan-1 x adalah (-/2, /2). Grafik tan-1 x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = tan x pada garis y= x. 1.3 4.Turunan Fungsi Invers Cot Dengan membatasi domain cot x pada interval (0, ) kita memperoleh fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah cot-1 x. Maka : 1.cot-1 x = y jika dan hanya jika cot y = x. 2.Domain cot-1 x adalah (-,+). 3.Range cot-1 x adalah (0, ). Grafik cot-1 x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = cot x pada garis y= x. 1.4 5.Turunan Fungsi Invers Sec Dengan membatasi domain sec x pada interval (0, /2) dan (, 3/2) kita memperoleh fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah sec-1 x. Maka : 1.sec-1 x = y jika dan hanya jika sec y = x. 2.Domain sec-1 x adalah1 > y . 3.Range sec-1 x adalah (0, /2) dan (, 3/2). 1.5 211'] [tanUUUdxd+= 211'] [cotUUUdxd+= 1'] [sec21=U UUUdxd 6.Turunan Fungsi Invers Cosec Dengan membatasi domain cosec x pada interval (0, /2) dan (, 3/2) kita memperoleh fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah cosec-1 x. Maka : 1.cosec-1 x = y jika dan hanya jika cosec y = x. 2.Domain cosec-1 x adalah1 > y . 3.Range cosec-1 x adalah (0, /2) dan (, 3/2). 1.6 Sumber : Schaum Kalkulus hlmn. 105 dan 106. II.INTEGRAL FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI Tiap rumus pendiferensialan menghasilkan rumus integral. 1.Integral Fungsi Invers Sin dan Cos 2.1 2.2 2.Integral Fungsi Invers Tan dan Cot 2.3 1'] [cos21=U UUU ecdxd C u C uudu+ = + = 1 12cos sin1 CauCauu adu+ = + = 1 12 2cos sina>0 C u C uudu+ = + =+ 1 12cot tan1 2.4 3.Integral Fungsi Invers Sec dan Cosec 2.5 2.6 Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418 dan 433.

Contoh Soal : 1.Tentukan dy/dx dari y = (3x-1) cos-1 (x2) Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 EdisiKelima hlmn. 419. Jawab : 3) 1 3 (=dxx d 42 112 )) ( (cosxxdxx d= 42 11) 2 () 1 3 ( ) ( cos 3xxx xdxdy + = 422 11) 6 2 () ( cos 3xx xxdxdy+ = C u ec C uu udu+ = + = 1 12cos sec1 CauaCaua u adu+ = + =+ 1 12 2cot1tan1a>0 CauecaCauaa u udu+ = + = 1 12 2cos1sec1a>0 2.Tentukan dy/dx dari |.|

\|+=xxy11tan1 Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419. Jawab : 2 2 2) 1 (2) 1 (1 1) 1 () 1 ( ) 1 )( 1 ( 11xxxx xxx xdxxxd+=+ + =+ + + =|.|

\|+ 22111) 1 (2|.|

\|+++=xxxxdxdy

1 2 222 1 2 12) 1 () 1 ( ) 1 () 1 (22 2 2 222 22+=+=+ + + +=+ + ++=xxxxx x x xxxx xxx 3.Tentukan dy/dx dari y = 7 cos-1 x 2Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419. Jawab : xdxx d21 2= 24 27) 2 1 ( 272 1217x xx x xxdxdy==||||.|

\| =4.Tentukan Integral dari +2 /02cos 1sintuuudSumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 420. Jawab : + =+2 /022 /02cos 1sincos 1sint tuuuuuud d +=02 /2cos 1sintuuud ) (cos tan102 /ut== tan-1 (1) tan-1 (0) 404t t= =5.Seorangberdiridiatassebuahbukitverticalkira-kira200kakidiatassebuahdanau.Dia melihat sebuah perahu bermotor yang bergerak menjauhi bukit dengan laju 25 kaki tiap detik. Berapalajuperubahansudutpenglihatanapabilaperahuberadapadajarak150kakidari bukit itu? Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418. Jawab : Orang 200 XPerahu Dari gambar tampak bahwa Sudut depresi memenuhi hubungan|.|

\|=x200tan1uMakadtdxx dtdxx x dtd40000) 200 ( ) 200 () / 200 ( 112 2 2+=+=u Apabila kita substitusikan x = 150 dan dx/dt = 25, kita memperoleh d/dt=-0,08 radian tiap detik. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI Apabilapengintegralan denganmetodesubstitusi tidak berhasil, denganmenerapkanmetode penggunaanganda,yanglebihdikenaledenganpengintegralanparsialdapatmemberikanhasi. Metode ini didasarkan pada penggunaan rumus turunan hasil kali dua fungsi. Andaikan u=u(x) dan v=v(x). MakaDx[u(x)v(x)]= u(x)v(x) + v(x)u(x) dengan mengintegralkan dua ruas persamaan tersebut, kita memperoleh u(x)v(x) = +atau = u(x)v(x) - Karena dv = v(x) dx dan du = u(x) dx, persamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut. Pengintegralan parsial integral tak tentu adalah = uv Sedangkan rumus untuk pengintegralan parsial tentu adalah = [uv- Setelah metode Integral parsial digunakan pertama kali, kita amsih harus menghitung integral yangkeduadenganmetodeyangsamatetapipangkatdarixlebihkecil.Jadidisinipangkatdarix direduksiagarsamakinkecil,sehinggamasalahnyadapatdiselesaikan.Tekniksemacaminidikenal sebagai rumus reduksi, yang bentuk umumnya , dengan 0 < k < n. a.Rumus reduksi untuk Misalkan u = dan dv =, maka du =dx dan v =. Jadi kita mempunyai rumus reduksi - b.Rumusreduksiuntuk dan, n bilangan asli Untuk n bilangan ganjil, n = 2k+1, k = 1,2,3,..., == = -dan == =. Secara umum, rumus reduksinya dapat diperoleh dengan metode integral parsial. Untuk itu, = Misalkanu = dan dv = maka du = (n 1)danv = -akibatnya,

pindahkan ke ruas kiri, diperoleh Jadi kita mempunyai rumus reduksi Dengan menggunakan proses yang sama diperoleh rumus reduksi untuk, yaitu c.Rumusreduksiuntuk dan, n bilangan asli Untuk n = 1, = ln | sec x | + C dan = ln | sin x |+ C Untuk n = 2, = == = . Untuk n =3,4,5,..., == == d.Rumusreduksiuntuk dan, n bilangan asli Untuk n = 1, = ln | sec x + tan x| + C dan = ln | csc x - cot x | + C Untuk n = 2,;Khusus untuk n bilangan genap, n =2k, k=1, 2, ..., == = == = -Untuk n = 3,4,5,..., = Misalkanu = dan dv = maka du = (n 2)danv = = (n 2) akibatnya,

pindahkan ke ruas kiri, diperoleh Jadi kita mempunyai rumus reduksi + Dengan menggunakan proses yang sama diperoleh rumus reduksi untuk, yaitu + e.Rumusreduksiuntuk dimana m dan n bilangan adalah bilangan bulat non negatif. Tipe1.Sekurang-kuarangnyasalahsatudarisinxdancosxberpangkatganjil.Maka substitusi untuk lainnya berlaku.Tipe2.Keduapangkatsinxdancosxadalahgenap.Iniselalumelibatkanperhitungan dengan menggunakan identitas-identitas seperti :

f.Rumusreduksiuntuk dimana m dan n bilangan adalah bilangan bulat non negatif. Tipe 1. n adalah genap; substitusikan u = tan x Tipe 2. n adalah ganjil dan m adalah ganjil. Substitusikan u = sec x g.Rumusreduksiuntukkita memerlukanidentitas-identitas: sin Ax cos Bx = sin Ax sin Bx = cos Ax cos Bx = Soal latihan 1. Misalkan : u = x, du= dx dv = , v = = x- ] + C 2. Misalkanu = ln x,du = dv =, v = = ln x . - = ln x = 3. = = Misalkanu = csc x du = - csc x.cot x dx -du = csc x.cot x dx =

(kemudian u diganti dengan csc x)

4. Misalkanu = x , du = dx dv = csc x dx , v = -tan x

5. Misalkanu = cos xdu = - sin x dx

6. +7. Misalkanu =du = dv = dx, v = x Dimisalkan lagi: p = 1-4dp = - 8xdx - dp = 2xdx + 8. Misalkanu =du = dv = cos x, v = - sin x Dimisalkan lagi u =du = dv = sin x, v = cos x 2

9. Misalkanu = cos x du = - sin x dx u diganti kembali dengan cos x menjadi = = Sumber buku : 1.Schaums Outlines Kalkulus, bab 31 dan bab 32 2.Kalkulus karya Drs. Koko Martono, M.Si, bab 6 3.Kalkulus dan Geometri Analitis karya Edwin J. Purcell, bab 8.4 SumberSoal: 1. Purcell hal. 457, no. 15 2. Purcell hal. 457, no. 2 3. Kalkulus hal. 236, no. 12 4. Purcell hal. 457, no. 15 5. Kalkulus hal. 236, no. 24 6. Kalkulus hal. 230 7. Schaum hal. 183, no. 16 8. Soal dari catatan 9. Soal dari Ibu Lusia 10. Purcell hal. 457, no. 14 INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI Terkadangkitamerasakesulitandanbingungketikamenemukanintegralyangbentuknyatakwajar dan tidak bisa diselesaikan dengan satu atau dua langkah penyelesaian. Untuk itulah, kita mempelajari berbagai macam substitusi untuk menemukan solusi dari masalah yang akan kita pecahkan. Suatu Integral yang terdiri dari salah satu bentuk , , atau tetapi bukan faktor irrasional lain, dapat diubah ke dalam bentuk lain yang menyangkut fungsi trigonometrik peubah baru sebagai berikut : UntukGunakanGuna Memperoleh u = sin za = a cos z u = tan za= a sec z u = sec za= a tan z Untuk tiap bentuk, integrasi menghasilkan pernyataan dalam peubah z. Pernyataan yang bersangkutan dalampeubahsemuladapatdiperolehdarisegitigasikusikusepertiyangditunjukkandalam penyelesaian soal soal dibawah ini. Latihan Soal Carilah penyelesaian dari integral sebagai berikut : 1.Ambil x = 2 tan z; maka dx = 2dan = 2 sec z Penyelesaian : = = = = + C = - + C2

z 2. Ambilx = 2 sec z ; maka dx = 2 sec z tan z danPenyelesaian := = = 2 sec z tan z+2 ln | sec z+tan z | + C 2 =+2 ln | x + | + C 3. Ambil x =maka dx = dan Penyelesaian : = (= 3= 3= 3 ln | cosec z cot z | + 3 cos z + C = 3 ln |+ + C 4. Ambil x = ; maka dx = dan= 3 sec z = = = ln |= ln | | + C 3 2x 2x 3 x

z

z

z 5. Ambil x = ; maka dx = dzdan = 4cos z = == = = + C = + C Sumber : Kalkulus Edisi Kedua Frank Ayres, JR. J.C. Ault, M.Sc. Dra. Lea Prasetio, M.Sc. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL Fungsirasionaladalahhasilbagiduapolinomial(sukubanyak).Padaumumnyafungsi rasional sangat sulit untuk diintegralkan. Akan tetapi, ada beberapa metode yang dalam teori dapatdigunakanuntukmenyelesaikanfungsirasionalsebagaijumlahanfungsirasional sederhana yang dapat diintegralkan dengan metode dari pelajaran sebelumnya. Sebuah fungsi berbentukdisebutfungsirasionadimanaN(x)adalahpembilangdanD(x)adalah penyebut Ada dua macam fungsi rasional yaitu sebagai berikut : 1. Fungsi rasional sejati Yaitu dimana derajat pembilang < derajat penyebut. Contoh 1 : 3x4

z 2.Fungsi rasional tidak sejati Dimanaderajatpembilang>derajatpenyebut.Dapatdisederhanakansebagai penjumlahan dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contoh 2 := hasil di atas diperoleh dengan melakukan pembagian oleh penyebut.

Kasus I : Metode Pecahan Parsial Dalamhalinidiasumsikanbahwakitainginmengevaluasi,dimana Adalahfungsirasionalyangwajar.D(x)ditulissebagaihasilkalifaktorkuadrat linierdanfaktorkuadratiredusibel.Dalamhaliniyangdimaksuddengan iredusibelyaituhasilakar-akartersebuttidakbolehnegatifdimana . Contoh 3 : - adalah iredusibel karena 0-4(1)(4)= 16 0-adalahredusibelkarena Metode ini menjabarkan fungsi rasional menjadi faktor linier atau pecahan parsial dan yang kemudian ditentukan nilai integral tak tentunya. KasusI:D(x)mempunyaikoefisienutama1danmerupakanhasilkalifaktor-faktor linier yang berbeda. Contoh 4 : Hitunglah Integran ini dapat ditulis sebagai Diasumsikan A dan B adalah konstanta tertentu dan untuk mendapatkan konstanta-konstanta ini kedua sisi dapat kalikan (x-1)(x+2) untuk memperoleh 1= A(x+2) + B(x1) Pertama, substitusikan -2 untuk x pada1= A(0) + B(3)= 3B. jadi B= Kedua, substitusikan x=1 dan menghasilkan 1= A(3) + B(0)= 3A. jadi A= Jadi, = = ln x-1 lnx+2 + C = ln + C Aturan kasus I. menyatakan integran sebagai jumlah dari suku-suku berbentuk untuk setiapfactorlinierx-adaripenyebut,dimanaAadalahkonstantayangtidakdiketahui. Laluselesaikankonstantatersebutdanintegrasimenghasilkanjumlahsuku-suku berbentuk A ln x-a. Perhatian: kita mengasumsikan tanpa bukti bahwa integran selalu mempunyai representasi yang dikehendaki. Untuk soal khusus, dapat diperiksa pada akhir perhitungan. Kasus II : Faktor-faktor Linier Untuksetiapfaktordalambentukfakorlinierberulang(xr)yangmunculkkalipada penyebut,gunakansebagaibagiandarirepresentasiintegran. Tiap faktor linier yang muncul hanya sekali ditangani seperti dalam kasus I. dengankonstanta yang ditentukan. Contoh 5 : Tentukan Integran ini dapat ditulis kembali sebagai Meskipunadalahfaktorkuadrat,itutidakirredusibelsebab.Jadi,dengan aturan faktor linier, memperkenalkan dua suku (sebab m=2) berbentuk Dan faktor (x-2) memperkenalkan satu suku (sebab m=1) berbentuk Sehingga pecahan parsialnya adalah Kalikan dengan menghasilkan Menentukan nilai A, B, dan C dengan memisalkan x=0 dan x=2 untuk memperoleh B= 2 dan C= 2 Lalu samakan koefisien yang bersesuaianyang memberikan A+C =0 karena tidak ada nilai yang memiliki nilai untuk . Dan A= C= 2 Sehingga menjadi = 2 ln x+ + 2 ln x-2 +C = 2 ln ++ C KasusIII:D(x)adalahhasilkalisatuataulebihfactor-faktorkuadratiredusibelyang berbeda dan mungkin juga beberapa faktor linier(yang mungkin muncul lebih dari sekali). Contoh 6: (faktor kuadrat yang berbeda). Jabarkan menjadi pecahan parsial bentuk = UntukmenentukankonstantaA,B,danCkitakalikanruaskiridanruaskanandengan (4x+1)(. sehingga kita memperoleh 1) + (4x+1) Apabila kita ambil x= , x= 0 dan x=1 , kita mendapat + ( ) jadi A = 2 jadi C = 1 jadi B = 1 Maka= = += ln 4x+1+ ln1 + C Aturan umum kasus III : faktor-faktor linier ditangani seperti pada kasus I-II. Untuk tiap faktorkuadratiredusibel,tempatkansukupadarepresentasi integran. Kasus IV : D (x) adalah hasil kali nol atau lebih faktor linier dengan satu atau lebih factor-faktor kuadratik iredusibel. AturanumumkasusIV:faktorlinierditanganisepertikasusI-II.Untuktiapfactor kuadrat iredusibel yang muncul pada pangkat ke k, sisipkan sebagai bagian dari representasi integran. Contoh 7 : (Faktor kuadrat berulang).Tentukan dx Penjabaran disini adalah Kita akan memperoleh A=1, B =1, C =3, D=5, E=0.Sehingga , = ln ln +( ) + + C Integral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalam sin x dan cos x Fungsiyangterdiridaribeberapajumlahan,selisih,hasilkali,danhasilbagiberhingga dari sin x dan cos x disebut fungsi-fungsi rasional dari sin x dan cos x . sebagai contoh : Metode untuk mengintegralkan fungsi-fungsi seperti ini dapat dilakukan berdasarkan pada kesamaan trigonometri sin x = 2sin)cos) (1) cos x =) ) (2) jika dimisalkan u 1 Maka dari gambar di atas diperoleh sin ) = dan cos) = (3) substitusi ke dalam persamaan (1) dan (2) diperoleh sin x = 2 =(4) cos x = =(5) kombinasidari persamaan (3), (4), dan (5) mengakibatkan rumus-rumus substitusi berikut, yang seringkali efektif untuk pengintegralan fungsi-fungsi rasional sin x dan cos x. u = tan( 0 Sifat-sifat fungsi gamma : a.I(n+1) = n I(n) Bukti :I(n+1) = = + = + = + n I(n) Padahal : =dan seterusnya = ==0 Terbukti bahwa :

b.I(n+1) = n! ( n adalah bilangan bulat positif) I(n) = misal : I(n) = I(n+1) = n I(n) Bukti:I(1) = = = = = 1 Jadi I(1) = 1 n=1I(n+1) = n I(n) I(2) = 1 I(1) = 1 n=2 I(3) = 2 I(2) = 2.1 n=3 I(4) = 3 I(3) = 3.2.1 n=4 I(5) = 4 I(4) = 4.3.2.1 Terbukti bahwa: c.I 2.Fungsi Beta Notasi : B(m,n) Definisi : Sifat-sifat fungsi beta : a.B(m,n) = B(n,m) Misal : x = 1-yx = 0y = 1 x = 1 y=0 B (m,n)= = I(n) = (n-1)! atauI(n+1) = n! B (m,n)= == B(n,m) Terbukti bahwa : b.B (m,n)= Bukti: B(m,n) == =Terbukti bahwa :

c. Bukti : Misal, I = = Dengan cara yang sama diperoleh : I = I I = = Dengan koordinat polar maka: B(m,n) = B(n,m) Misal X=0 X=1 B (m,n)= I I = 4 =2 I = I LATIHAN SOAL 1.Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Penyelesaian := = = I = I = = 2. Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Misal :

= Penyelesaian : = = = = = == = 3. Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Penyelesaian: = = =I 4. Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Penyelesaian : = = Missal

Misal:

Misal:

Misal:

= = = 5. Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Penyelesaian : == = = 4! =24 6.Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Penyelesaian : = = = == 7. Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Penyelesaian : Misal :

Missal

= ===== 12 8. Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Penyelesaian : = = = ===== 9.Diketahui Dengan menggunakan subtitusi x = y/(1-y), tunjukkan bahwa : I(p) I(1-p) =Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 291 , Kemudian carilah nilai ! Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 292 PenyelesaianMisal :

= = = = B(p, 1- p) = = Terbukti bahwa : = = == = = =I(p) I(1-p) = = 10.Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Penyelesaian : = === == BARISAN TAK TERHINGGA Suatubarisan tak terhingga(sn) adalah fungsi di mana domainnyaadalah himpinanbilangpositif (0,1,2,3,..,..); an adalah nilai fungsi tersebut untuk bilangan bulat positif n yang diberikan. Barisan tak terhingga biasanya hanya dituliskan beberapa suku pertama dari barisannya saja, contohnya :1.an = a1 , a2 , a3 , . . , an , . .; an adalah bilangreal. 2. adalah baris 1,, , , . . ,, . . 3. adalah baris , , , , . . ,, . . Konvergensi barisan Barisan disebut konvergen ke LjikaJika tidak ada , maka barisan divergen. Suatu barisan juga disebut divergen jika limit pada suku genap dan suku ganjiilnya tidak sama. Contoh : 1.an = n+1konvergen ke 2.an =divergen 3.an = n2 ndivergen 4.an =konvergen ke Sifat-sifat dari barisan yang konvergen : Theorema::Andaikanbarisanandanbnmasing-masingkonvergenkeLdanMsertacsuatu konstanta, maka barisan : 1.(c an ) konvergen ke cL 2.an + bn konvergen ke L+M 3.an - bn konvergen ke L-M 4.an x an konvergen ke L x M 5.an an konvergen keL M ; M 0 Kemonotonan barisan an disebut . .1.Naik jika a1 < a2 < a3 < . . . < an < . . 2.Tidak turunjikaa1 a2 a3 . . . an . . 3.Turunjika a1 > a2 > a3 > . . . > an > . . 4.Tidak naik a1 a2 a3 . . . an . . Untuk menentukan kemonotonan suatu barisan, digunakan uji beda dan uji rasio. -Uji Beda Naikjikaan+1 - an > 0 Turun jikaan+1 - an < 0 Tidak turun an+1 - an 0 Tidak naikan+1 - an 0 -Uji Rasio Naik jika Turun jika Tidak turun jika Tidak naik jika Deret tak terhingga disebut suku-suku deret. Barisan tak terhingga dapat dibentuk dari jumlah parsial( nya sebagai berikut : : S adalah jumlah dari deret. JikakonvergenkeS,makadisebut jugaderetkonvergenkeS.Bila divergen, maka deret divergen, dan tak ada jumlahnya. Deret Geometrik Deret geometrik merupakan penjumlahan suku-suku barisan , disebut deret geometrik dengan rasio r dan suku pertama a. jumlah parsial ke-n, Sn , dinyataka oleh . . Untuk,olehkarenaitu,deretkonvergendengan jumlah .Jika , deret tersebut divergen ke . Theorema deret tak terhingga: 1.konvergen jika dan hanya jika konvergen. 2. konvergen jika adalah deret konvergen. 3. konvergen jika adalah deret konvergen. 4. atau tidak ada, maka deret tersebut divergen. Deret Harmonik Jumlah parsial deretnya adalah . . Melanjutkan dengan cara ini kita akan mendapatkan dandan secara umum bilan>1.Inimenunjukkanbahwa,dankarenaituderetharmonik tersebutdivergen.Namun,jikadilihat,.Initidakmembuktikanbahwaeret harmonik adalah konvergen. Latihan Soal 1.Untuktiapbarisanberikut,tulislahrumussukuke-ndantentukanlimitnya(jikaada). Diasumsikan bahwa n= 1, 2, 3, 4, . . a. b. c. 2.Tunjukkan bahwa barisanadalah konvergen. 3.Tentukan kekonvergenan deret 4.Tentukan jumlah dari deret 5.Evaluasilah Jawaban: 1.a. b. c. 2. Karena maka barisan konvergen. 3. Jadi,.Makaderetinikonvergendanjumlahnya adalah 1. 4. , maka jumlah deret tersebut adalah . 5. deret geometrik dengan dan suku pertama. , maka deret konvergen dan jumlahnya adalah . . (Sumber: Kalkulus Edisi Schaum halaman 245s.d 263) UJI KONVERGENSI1.Teorema dan sifat-sifat deret Ada beberapa teorema dalam uji konvergensi, untuk mengetahui apakah suatu deret konvergen ataukah divergen. Teorema 1: Diketahui deretnya adalahdan suku ke-n adalah, maka: a)Jika 0 , maka deret tersebut sudah pasti divergen. b)Jika = 0 , maka deret ini bisa jadi divegen, bisa juga konvergen. Ex:deret , tentukan apakah deret ini konvergen atau divergen! Jaw:= = 0, pangkat pembilang < pangkat penyebut Jadi deret ini bisa jadi konvergen, bisa jadi divergen. Untuk mengetahui lebih lanjut kekonvergensiannnya, akan dicari pada uji konvergensi. Teorema 2: Jika diketahui deret konvergen, suku ke-n adalah, maka: = 0 Teorema ini tidak berlakku kebalikannya. Maksudnya, Jika = 0 , deret ini bisa jadi divegen, bisa juga konvergen. Seperti halnya teorema di atas (teorema 1). Ada beberapa sifat dari deret yang berhubungan dengan uji konvergensi. 1)Jika danadalah deret-deret konvergen, maka: a) = + b) = - 2)Jika c 0 (c konstanta), dan deret danadalah deret konvergen dua-duanya atau divergen dua-duanya, maka: = c 2.Uji-uji konvergensi -Uji integralMisal deret adalah deret dengan suku-suku positif, dan misalkan f(x) fungsi dimana k diganti dengan x dalam formula. Jika f(x) turun dan kontiniu pada interval [a, + ), maka dan keduanya konvergen atau keduanya divergen. -Konvergensi deret-PJika diketahui deret = 1 + + ++..++.. a)Konvergen jika p>1 b)Divergen jika p0 dan r +atau interval (0,+ ), maka deret tersebut keduanya adalah konvergen atau keduanya divergen. -Uji Rasio Konvergensi Mutlak: Misal deret adalah deret dengan suku-suku bukan 0, dan anggap = r . a)Jika r1 atau p=+, deret-deret tersebut divergen. c)Jika r=1, tidak dapat ditentukan apakah konvergensi atau konvergen mutlaknya. -Uji Deret Ganti Tanda = = Kedua deret ganti diatas dikatakan konvergen jika memenuhi dua kondisi sebagai berikut: a)an>an+1 , deret decreasing atau dengan uji kemonotonan rasio, < 1 b) = 0 Kedua syarat harus terpenuhi. Jika salah satu tidak terpenuhi, maka deret tersebut divergen. Ada hal lain yang harus diperhatikan, yaitu kemutlakan konvergen dari deret tersebut. Untuk mengetahui apakah deret tersebut konvergen mutlak atau bersyarat. Setelah melakukan uji deret ganti tanda, dilakukan Uji rasio konvergensi mutlak. Jika setelah melakukan uji rasio konvergensi mutlak, maka: a)Jika uji deret ganti tanda konvergen dan dengan uji rasio konvergensi mutlak juga konvergen, deret tersebut konvergensi mutlak. b)Jika uji deret ganti tanda konvergen dan dengan uji rasio konvergensi mutlak divergen, deret tersebut konvergensi bersyarat. Contoh soal: 1.Tentukan kekonvergensian dari deret-deret berikut! a. Dengan menggunakan uji perbandingan, maka: Pembanding adalah = dengan= 1. Menurut uji perbandingan, jika konvergen, maka juga konvergen. Jadi dengan begitu deret di atas konvergen juga. b. Pembanding adalah = dengan = 1, maka deret ini divergen 4.Tentukan kekonvergensian mutlak dari deret-deret berikut! a) Dengan uji deret ganti tanda, maka: = ;= r== =