MODUL DINAMIKA ROTASI Prakata : Pernahkah anda menggunakan kunci pas (kunci dengan ukuran tertentu untuk mur ataupun baut) ? Mengapa pada kunci pas dengan ukuran yang makin besar memiliki tuas yang makin panjang juga ? Mengapa saat kita memindahkan gigi roda sepeda pada gir dengan diameter yang kecil akan terasa berat saat mengayuhnya ? KD : 2.1. Memformulasikan hubungan antara konsep momen inersia, momen gaya, dan momentum sudut, berdasarkan hukum II Newton serta penerapannya dalam masalah benda tegar. Indikator : Memformulasikan momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar. Memformulasikan pengaruh torsi pada sebuah benda dalam kaitannya dengan gerak rotasi benda. Mengungkap analogi Hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi. Memformulasikan hukum kekekalan momentum sudut pada gerak rotasi. Menerapkan konsep titik beratbenda dalam kehidupan sehari-hari. A. Momen Inersia (I) Sebelum kita mempelajari lebih lanjut tentang konsep momen inersia, kita jangan sampai melupakan Dinamika Rotasi. Dalam hal ini adalah hubungan antara gerak translasi dan gerak rotasi. Terutama yang perlu diingat adalah rumus-rumus berikut :

s = v0 t + a t2 vt = v0 + a t vt2 = v02 + 2 a s s= r v=r a tan = r a sen = 2 r

= 0 t + t2 t = 0 + t t2 = 02 + 2

Momen inersia sangat berhubungan erat dengan gerak rotasi benda. Saat anda berputar, anda akan merasakan hal yang berbeda ketika anda merentangkan tangan atau tidak sama sekali. Hal ini dipengaruhi oleh suatu besaran yang disebut dengan momen inersia. Momen inersia adalah besaran yang bergantung pada bagaimana massa benda terdistribusi dalam seluruh ruang. Secara matematis momen inersia dinyatakan sebagai hasil kali antara massa benda dengan kuadrat jarak dimana benda tersebut terdistribusi terhadap sumbu putar ruang benda berada. Atau dengan kata lain momen inersia berbanding lurus dengan kuadrat jarak sumbu putar dimana benda berada.

I = m r2keterangan : I : momen inersia (kg m2) m: massa (kg) r: jarak massa dengan sumbu putar (m) untuk banyak partikel atau benda penyusun diperoleh ;

I = m1r12 + m2r22 + . . . + mnrn2 = mnrn2Soal A. 1. Tentukan momen inersia dari susunan partikel yang terhubung oleh beberapa rusuk di bawah ini, jika diputar pada sumbu-sumbu berikut! (massa rusuk diabaikan) mA = mB = mC = 10 gr 4 cm C a. sumbu di A tegak lurus bidang gambar A (41.10-6 kg m2) 3 cm b. sumbu di A sejajar garis penghubung BC -6 2 (32.10 kg m ) BKR

c. sumbu pd garis penghubung BC (16.10-6 kg m2) d. sumbu pd garis penghubung AC (9.10-6 kg m2) 2. Tentukan momen inersia sistem yang terdiri dari empat bola identik 1 kg yang terhubungkan sedemikian rupa seperti gambar, jika diputar pada sumbu-sumbu berikut ! (massa rusuk diabaikan) 4 cm a. sumbu di O tegak lurus bidang gambar A B (32.10-4 kg m2) b. sumbu di O sejajar garis hubung AB 4 cm O (16.10-4 kg m2) c. sumbu di A tegak lurus bidang gambar D C (64.10-4 kg m2) 3. Isilah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan studi literatur dari berbagai sumber ! a. Buktikan Ek = I 2 b. Tulis rumus momen inersia dari : * silinder berongga * silinder pejal * bola berongga * bola pejal * cincin tipis * pelat segi empat B. Momen Gaya / Torsi () Besaran yang menunjukkan ukuran kuantitatif dari kecenderungan gaya untuk memutaratau mengubahgerak rotasi benda disebut momen gaya (torsi). Secara matematis, momen gaya dirumuskan :

=Fketerangan : : momen gaya (Nm) F : gaya yang bekerja (N) : lengan dimana gaya bekerja (m) sesuai dengan pengetahuan kita selama ini bahwa gaya (F) adalah besaran vektor, maka di sini nanti akan kita sepakati peraturan tanda sebagai berikut: Jika gaya mengakibatkan perputaran searah jarum jam kita beri tanda (+) Jika gaya mengakibatkan perputaran berlawanan arah jarum jam kita beri tanda (-) Syarat berikutnya yang harus diperhatikan adalah bahwa gaya dan lengan/tuas harus tegak lurus. Soal B. 1. Tentukan besar dan arah momen gaya yang di alami batang dengan engsel seperti pada gambargambar di bawah ini ! ( = 1 m) 10 N 10 N 20 N 20 N 10 N 10 N 530

530

10 N

530

370 20 NKR

20 N

2. Buktikan bahwa : = I 3. Tentukan a. percepatan benda 20 gr (2,5) b. tegangan pada tiap tali (0,15 N dan 0,125 N) c. percepatan sudut () katrol (2,5/R) M= 20gr

10gr

20gr

(katrol silinder pejal, kasar/ikut berputar) *buatlah diagram gaya-gaya yang bekerja pada sistem katrol (T, w, a, ) **buatlah persamaan yang menunjukkan besarnya tegangan tali (T) dari = I ***tentukan persamaan percepatan benda dari hasil substitusi dua buah persamaan yang anda peroleh dari langkah ** C. Kesetimbangan partikel 1. Kesetimbangan Gaya Dalam kesetimbangan gaya, kita hanya akan membahas benda yang setimbang dalam arti gayagaya yang bekerja pada benda memiliki resultan sama dengan nol, baik resultan terhadap sumbu X maupun sumbu Y. F = 0 Fy = 0 Fx = 0 Untuk menyelesaikan masalah kesetimbangan pada sistem dengan gaya-gaya yang membentuk sudut tertentu seperti gambar di bawah, kita dapat menggunakan rumus :

F1 Sin F3

=

F2 Sin

=

F3 Sin F1 F2

2. Kesetimbangan gaya dan torsi. Kesetimbangan ini membahas kesetimbangan pada sistem yang selain dapat bergerak translasi (kesetimbangan translasi F = 0 ) tapi juga dapat mengalami rotasi (kesetimbangan rotasi = 0 ). Atau dengan kata lain suatu benda dalam keadaan kesetimbangan jika jumlah gaya dan jumlah torsi yang bekerja pada benda sama dengan nol. Contoh : Iwan ingin mengangkat batang kayu dengan berat 10 N sepanjang 2 m. Di ujung-ujung batang kayu tersebut terdapat beban 40 N dan 20 N. a. Berapa besar gaya yang harus dikerahkan oleh Iwan ? (70 N) b. Pada jarak berapa (di hitung dari beban 40 N) Iwan harus mengangkat batang kayu itu dengan posisi yang paling setimbang ? F iwan 2m w =10 N F2 =20 N F1= 40 N

wKR

F 2X

w = 1 - x F 2= 2 - x

Jawab : a. Fy = 0, maka F iwan = F1 + w + F2 F iwan = 70 N b. Perhatikan diagram bebas di atas, hal pertama yang harus diperhatikan adalah titik dimana Iwan harus mengangkat batang. Titik tersebut di beri nama X dan jarak yang kita tentukan dari beban 40 N adalah bebas (meskipun begitu kita juga dapat menggunakan logika nalar dalam kehidupan sehari-hari saat kita mengalami dan melakukan hal seperti yang dilakukan oleh Iwan). = 0 F1 . X = w . w + F2 . F 2 40 . X = 10 (1 X) + 20 (2 - X) 40 X = 10 -10 X + 40 20 X 40X + 10 X + 20 X = 10 + 40 70X = 50 X = (5/7) m (dari beban 40 N) Soal C : 1. Pada beberapa gambar berikut digunakan beban dengan massa M = 1 kg. Berapa besar tegangan tali A dan B yang terjadi ? (gambar 1- TA = 8N, TB = 6 N) 530 A M 370 B A 300 600 B M

2. Balok dengan massa 2 kg ditarik dengan gaya F seperti pada gambar. Berapa besar gaya F ?

2m F=? 1m 2 kg

3. Batang 10 N digunakan untuk mengangkat beban 40 N dan 20 N sedemikian rupa. Kedua beban tersebut tepat berada di ujung-ujung batang. Berapa gaya yang diperlukan untuk mengangkat batang tersebut dan dimana harus mengerjakan gaya itu agar sistem setimbang ? ( panjang batang 3 m)..( 70 N; 75/70 meter dari beban 40 N ) 4. Batang yang bebannya 10 N, dan panjangnya 2 m di gunakan seseorang untuk mengangkat beban masing-masing 20 N dan 40 N. Beban 40 N di letakkan tepat di ujung batang dan orang tersebut mengangkat tepat berjarak 0,5 m dari beban 40 N. Dimana beban 20 N di letakkan agar sistem setimbang ?...( m dari orang )

KR

5. Sebuah batang panjangnya 6 m dan berat 100 N dengan beban 200 N terletak diatasnya, seperti pada gambar di bawah. Berapa gaya yang harus dikerjakan oleh A dan B, agar sistem setimbang ? (FA = 1100/6 N; FB = 700/6 N) B 2m A

6. Batang homogen yang menempel pada engsel, dengan berat 20 N dan panjangnya 100 cm berada dalam keadaan setimbang seperti pada gambar. Tentukan besarnya tegangan tali dan gaya-gaya yang dikerjakan oleh engsel kepada batang !

37060 cm 40 cm

100 N Gambar gaya-gaya yang bekerja pada batang homogen; disebabkan oleh berat batang sendiri, tali, beban gantung, dan engsel. Gaya yang dikerjakan oleh engsel pada batang adalah H (gaya horisontal) dan V (gaya vertikal). Tentukan persamaan tegangan T, sehingga diperoleh Tx dan Ty. Berdasarkan Fx = 0 dan Fy = 0 tentukan persamaan H dan V. Selanjutnya untuk mendapatkan harga tegangan T kita gunakan = 0. Setelah kita peroleh harga T maka akan dengan mudah kita menemukan harga H dan V.

7. Tangga homogen dengan berat 400 N dan panjang 5 m bersandar pada tembok licin dan ujung yang lain bertumpu pada lantai kasar. Seseorang dengan berat 500 N naik tangga tersebut seperti pada gambar. Koefisien gesek lantai dengan tangga adalah 0,8. a. berapa gaya yang bekerja pada tembok ? b. berapa gaya yang bekerja pada lantai ?

530

D. Gabungan gerak translasi dan gerak rotasi. Pada kesempatan ini akan kita bahas gabungan gerak translasi dan rotasi yang sering kita sebut sebagai gerak menggelinding. Gerak menggelinding yang akan kita bahas di sini adalah gerak menggelinding tanpa slip. Untuk membahas gerak ini kita kembalikan ingatan kita terhadap Hk. Kekekalan Energi. Kita tahu bahwa energi bersifat kekal.

KR

Ep1 + EkT1 + EkR1 = Ep2 + EkT2 + EkR2

*Ek total = EkT + EkR

keterangan : Ep : energi potensial (J)_______Ep = mgh (jika berhubungan dengan ketinggian tertentu) EkT : energi kinetik translasi (J)______EkT = mv2 EkR : energi kinetik rotasi (J)______EkR = I 2 sebuah benda yang bergerak menggelinding tanpa slip selain dipengaruhi oleh energi kinetik translasi (perpindahan secara linier) dan energi kinetik rotasi (perputaran benda), juga dipengaruhi oleh energi potensial dimana benda bersangkutan berada, tergantung posisinya. Soal D : 1. Berdasarkan studi literatur, tuliskan dalam bentuk g dan , besarnya percepatan pusat massa dari bola pejal, cincin, dan silinder pejal yang menggelinding pada bidang miring yang membentuk sudut ! E. Momentum Sudut. 1. Momentum sudut. Besaran yang merupakan analog dari momentum linier adalah momentum sudut. Pada momentum linier ada p = m v, sedangkan pada gerak melingkar/ rotasi/ anguler terdapat momentum sudut :

L= I=pRketerangan : L = momentum sudut (kg m2/s) I = momen inersia (kg m2) = kecepatan sudut (rad/s) 2. Hk. Kekekalan Momentum Sudut. Seperti yang kita jumpai pada setiap hukum kekekalan, selalu konsep utama adalah kondisi awal dengan kondisi akhir memiliki hasil matematis yang selalu sama. Begitu juga dengan Hk. Kekekalan momentum sudut.

L1 = L2 I1 1 = I2 2 p1 R1 = p2 R2Soal E : 1. Sebuah partikel dengan massa 2 kg bergerak dengan kelajuan tetap 4 m/s mengelilingi lingkaran dengan jari-jari 5 m. a. berapa momen inersia benda ? (50 kg m2) b. berapa kecepatan sudut benda ? (4/5 rad/s) c. berapa moentum sudut benda ? (40 k m2/s) 2. Ika adalah atlet ski es, dia menari dengan membawa bola 500 gr di masing-masing tangannya. Suatu saat Ika merentangkan tangannya hingga berputar 1 kali dalam 2 detik. Momen iersia Ika saat merentangkan tangan dan saat merapatkan tangannya berturut-turut adalah 4 kg m2 dan 2 kg m2 . Dengan menganggap bola yang di pegang oleh Ika adalah partikel, dan jarak bola ke sumbu putar badan Ika adalah 1 m saat merentang dan 0,4 m saat merapat; hitung : a. kecepatan sudut putaran ika saat merapatkan tangannya ! (225/202 rot/s) b. Energi kinetik saat Ika merenggangkan tangan dan saat merapatkan tangan ! ( 9/16 J dan 1,22 J) F. Titik Berat. Apakah anda masih ingat tentang berat benda ? Berta benda sebenarnya adalah resultan gaya tarik bumi pada partikel-partikel penyusun benda. Jadi di dalam benda terdapat partikelpartikel penyusun yang masing-masing mengalami gaya tarik oleh grafitasi bumi. UntukKR

mementukan

letak

titik

berat

dipergunakan perumusan : Titik dalam 2-D

X=

A1 X1+ A2 X2 + A3X3 + ....+ An Xn A1 + A2 + A3 + ....+ An A1 Y1+ A2 Y2 + A3 Y3 + ....+ An Yn A1 + A2 + A3 + ....+ An

berat

benda

Y=

Titik

berat benda dalam 3-D

X=

V1 X1+ V2 X2 + V3X3 + ....+ Vn Xn V1 + V2 + V3 + ....+ Vn V1 Y1+ V2 Y2 + V3 Y3 + ....+ Vn Yn V1 + V2 + V3 + ....+ Vn V1 Z1+ V2 Z2 + V3 Z3 + ....+ Vn Zn V1 + V2 + V3 + ....+ Vn

Y=

Z=

Soal F : 1. Tentukan letak titik berat dari bidang berikut : a. b.8 5 6

5

10

5

10

16

c. 85

d.5 2 5 10 5 10

KR

2. Tentukan letak titik berat dari ruang berikut (benda berongga): zCatatan : Setengah Bola Berongga : Z = (1/2)R A=

5 cm

10 cm y

2R3 Silinder Berongga : Z = (1/2)T A = 2RT

x 3. Tentukan letak titik berat dari ruang berikut (benda pejal) : a. z Catatan : 5 cmSetengah Bola Pejal : Z = (3/8)R V=

10 cm y b. x

(2/3)R3 Kerucut Pejal : Z = (1/4)T V = (1/3)R2T Silinder Pejal : Z = (1/2)T V = R2T

z

5 cm

10 cm y

KR

Nama Nilai

: :AN AN K

Kelas Paraf Ortu Tes FISIKA

: : : Benda Tegar

Jawablah dengan benar ! 1. Tiga buah benda A, B, dan C dihubungkan dengan jeruji yang massanya diabaikan sedemikian rupa seperti gambar. Massa benda A, B, dan C berturut-turut adalah 100 g, 200 g dan 400 g. Berapa momen inersia total sistem, jika : C a. sumbu di B tegak lurus bidang gambar ? 4 cm 4 cm b. sumbu di B sejajar garis AC ? A 3 cm B

KR

10 N 530 A 20 N AB B

10 N

2. Tiga buah gaya bekerja pada batang AB dengan panjang 2 m sedemikian rupa seperti gambar. Berapa momen gaya total yang terjadi pada batang AB, jika : a. poros di B ? b. poros di tengah-tengah AB ?

3. Batang AB sepanjang 2 m dan beratnya 10 N digunakan untuk mengangkat beban masing-masing 100 N dan 50 N. Kedua beban ini diletakkan tepat di ujung-ujung batang tersebut. Dimana seseorang harus menempatkan pundaknya agar sistem tersebut setimbang ? (di ukur dari beban 50 N)

4. Perhatikan gambar tiang penyangga pot bunga di samping ! Batang penyangga 100 cm memiliki berat 10 N. Berapa besarnya tegangan tali? 370100 cm 40 cm

100 N

5. Berapa massa A dan B ?

600 A

300 4 kg B

KR

6. Dimana koordinat titik berat dari bidang berikut !9 6

9

12

Nama Nilai

: :I KIR

Kelas Paraf Ortu Tes FISIKA

: : : Benda Tegar 4 cm A O D C B 4 cm

Jawablah dengan benar ! 1. Empat buah benda dengan massa sama sebesar 40 g tersusun sedemikian rupa seperti gambar. Berapa momen inersia total sistem, jika sumbu di O tegak lurus bidang gambar ?

2. Sistem katrol berikut menggunakan katrol silinder pejal dengan massa 100 g. Berapa tegangan tali dan percepatan sistem tersebut ?

M= 100g

10g

20g

3. Tangga 5 m dan berat 100 N tersandar pada dinding seperti pada gambar. Sampai pada jarak berapa seseorang dengan massa 50 kg dapat naik tangga tanpa tangga tergelincir, jika koefisien gesek statis tangga dengan lantai adlah 0,5 ?

530

4. Papan yang massanya di abaikan digunakan digunakan sedemikian rupa oleh A dan B untuk mengangkat pot 20 kg seperti pada gambar. Panjang papan tersebut adalah 5 m. Berapa gaya yang harus dikeluarkan oleh A dan B agar sistem setimbang ? (FA=120 N ; FB=80 N)

B 2m

A

KR

5. Berapa besarnya gaya F ?

1m

0,8 m

2 kg

F=?

6. Dimana koordinat titik berat benda di bawah ini ?

6 2 5 10

KR