MODUL DERIVATIF · PDF fileQs 7P2 – 200 7P2 – 200 P = 10 maka s = 14 (10)2 = 2,8...

Modul Praktikum Materi Derivatif
MATEK 2 Hal. 1 Periode ATA
MODUL DERIVATIF
A. KONSEP DASAR TURUNAN
Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan
dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh
dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : x 0.
y Jika y = f ( x ), maka
y = f ( xo + x ) - f ( xo )
x x
y / x merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan menggambarkan
tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ), dirumuskan :
y = f (x) = lim y/x = lim f (x + x) f (x)
x 0 x 0 x
Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :
1. Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y = 0
Contoh : y = 3 maka y = 0
2. Diferensiasi fungsi linier
Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y = b
Contoh : y = 24 + 16x maka y = 16
3. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = axn , dimana a adalah konstanta, maka y = n.a xn 1
Contoh : y = 4x4 maka y = 4.4x4-1 =16x3

4. Diferensiasi penjumlahan ( pengurangan ) fungsi
Jika y = u v , dimana u = g (x) dan v = n (x), maka y = u v
Contoh : y = 8x3 8x2 maka y = 24x2 16x
5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = k.u , dimana u = g (x), maka y = k.u
Contoh : y = 4.4x2 maka y = 4.8x = 32x
b. Perkalian fungsi
Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v + u.v
Contoh : y = ( 2x6 1 )( 2x3 5 ) maka
y = (12x5)(2x3 5) + (2x6 1)(6x2) = 36x8 60x5 6x2
6. Diferensiasi hasil bagi fungsi
Jika y = u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v u.v
V2
Contoh : y = (2x6 1) maka y = (12x5)(2x3 5) (2x6 1)(6x2)
(2x3 5) (2x3 5)2
y = 36x8 60x5 6x2
(2x3 5)2
7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai )
Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka
dy = dy . du
dx du . dx
contoh : y = ( 3x2 + 2 )2
misalkan : u = 3x2 +2 , sehingga y = u2
du / dx = 6x dy / du = 2u
maka dy = dy . du = 2u . 6x = 2 (3x2 + 2)(6x) = 36x3 + 12x
dx du . dx
8. Derivatif tingkat tinggi
Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n
kali.

Derivatif ke-n dilambangkan : dny atau fn (x) atau dn (y)
dxn dx
Contoh : y = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 +x maka
y atau dy / dx = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1
yatau d2y/d2y = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ..dst
9. Diferensiasi implisif
Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku
dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan
nilai dy/dx .
Contoh : xy2 - x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :
1.y2 + x.2y dy/dx 2x + dy / dx = 0
( 2xy + 1 ) dy/dx = - y2 + 2x
dy/dx = - y2 + 2x
2xy + 1
10. Derivatif fungsi logaritmik
y = ln x dy/dx = 1/x
y = ln u , dimana u = g (x)
dy = du . 1 = u
dx dx u u
y = alog x dy/dx = 1/ aln a
Contoh : jika y = ln ( 3 3x2 ) maka tentukan dy / dx
u = 3 3x2
du / dx = u = -6x
dy = u = -6x
dx u 3 3x2
11. Derivatif fungsi eksponensial
y = ex dy/dx = ex
y = ax dy/dx = ax ln a

12. Derivatif fungsi trigonometrik
Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :
y = sin x dy/dx = cos x
y = cos x dy/dx = - sin x
y = tg x dy/dx = sec2 x
y = ctg x dy/dx = - cosec2 x
y = sec x dy/dx = sec x . tg x
y = cosec x dy/dx = - cosec x . ctg x
Catatan : sec x = 1 / cos x
cos x = 1 / sin x
B. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal
Langkah langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah :
1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo )
2. Cari koefisien arah m = f (x)
3. Cari Garis singgung dengan rumus :
y - yo = m (x xo)
4. Cari Garis Normal dengan rumus :
y - yo = -1 ( x xo )
m
Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis
Singgung kurva
2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f (x) > 0
2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 0
3. Nilai stasioner
Jika diketahui y = f (x) , maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai Stasioner

Jenis jenis Titik Stasioner adalah :
Jika f (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum
Jika f (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum
Jika f (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok
Contoh : Diketahui TR = 30Q - Q2 , tentukanlah nilai maksimum
atau minimum dari fungsi tsb !
Jawab : TR = 0 TR = 30 2Q = 0
2Q = 30 maka Q = 15
TR = -2 (TR < 0, merupakan titik balik maksimum)
Nilai Minimum TR = 30Q - Q2
= 30(15) - (15)2
= 225
C. APLIKASI DERIVATIF DALAM BISNIS DAN EKONOMI 1. ELASTISITAS
a. Elastisitas Harga
Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari
harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu :
1. Elastisitas Titik ( Point Elasticity )
= Q/Q = Q . P
P/P P Q
2. Elastisitas Busur ( Arc Elasticity )
Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.
Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda.
= P1 . Q
Q1 P
= P2 . Q
Q2 P

= P1 + P2 . Q
Q1 + Q2 P
Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung :
a. Elastisitas harga Permintaan, d < 0 (negatif)
b. Elastisitas harga Penawaran, s > 0 (positif)
Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :
> 1 Elastis
< 1 atau 0

Contoh : Fs Penawaran Qs = 7P2 200. Hitunglah elastisitas pada P = 10
Qs = 14P
s = Qs . P = 14P . P = 14P2
Qs 7P2 200 7P2 200
P = 10 maka s = 14(10)2 = 2,8
7(10)2 200
d. Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran ( output )
yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan ( input ) yang digunakan. Jika
fungsi produksi dinyatakan dengan P = f ( x ), maka elastisitas produksinya :
p = P . X
P
Contoh : Fs Produksi P = 6x2 x3. Hitunglah elastisitas pada x = 5
P = 12x 3x2
p = P . X = ( 12x 3x2 ) . X = 12x2 3x3
P 6x2 x3 6x2 x3
X = 5 maka p = 12(5)2 3(5)3 = -3
6(5)2 (5)3
2. BIAYA
o Biaya Total ( TC )
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan
sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.
Dimana :
TC = Total cost
VC = Variabel cost
FC = Fixed cost
Q = Kuantitas
TC = f (Q) atau TC = FC + VC
(Q)

o Biaya Rata rata ( AC )
Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa
pada tingkat produksi total.
o Biaya Marginal ( MC )
Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan
hasil produksi satu unit pada suatu tungkat produksi tertentu.
Contoh :
Diketahui TC = 150 + 15Q2 , Tentukan AC dan MC pada Q = 20 ?
AC = TC / Q = 150 / Q + 15Q = 150 / 20 + 15 (20) = 307,5
MC = TC = 30Q = 30 (20) = 600
3. PENERIMAAN
o Penerimaan Total ( TR )
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.

MODUL DERIVATIF · PDF fileQs 7P2 – 200 7P2 – 200 P = 10 maka s = 14 (10)2 = 2,8...

Documents

Transcript of MODUL DERIVATIF · PDF fileQs 7P2 – 200 7P2 – 200 P = 10 maka s = 14 (10)2 = 2,8...