MODULMATEMATIKA

KELAS XSEMESTER II

Muhammad Zainal Abidin Personal BlogSMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel

http://meetabied.wordpress.com

TRIGONOMETRI

Standar Kompetensi :

Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri, dan penafsirannya.

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping itu anda juga mempelajari identitas trigonometri, dan bentuk-bentuk persamaan trigonometri.

B. Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut.1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena

materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,2. Menggunakan perbandingan trigonometri,3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,6. Menentukan luas segitiga,

7. Menyelesaikan persamaan trigonometri,

BAB II PEMBELAJARAN

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRIA.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga

Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan aPanjang sisi dihadapan sudut dinamakan bPanjang sisi dihadapan sudut dinamakan cPanjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan c2 = a2 + b2

2. Besar sudut pada segitigaJumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah

3. Perbandingan pada sisi-sisi segitigaa. sin = =

b. cos

c. tan

d. cotg

e. sec

f. csc

a

b

c

B C

A

Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :Cotg

Sec

Csc

Contoh : Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.a. Tentukan panjang sisi cb. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut

Jawab :

A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus (00, 300, 450, 600, 900)

A C

B

3

c 4

450

450

1

1

600

300

2

1

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

00 300 450 600 900

Sin 0

Cos 1

Tan 0

Csc t.t 2Sec 1

Cotg t.t

Contoh : Tentukan nilai dari :1. Sin 00 + Csc 450 = 0 +

2. = 1

A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran1. Dikuadran I

Titik A(x,Y) dikuadran IAbsis positifOrdinat positif A(x,y)

x

y r

2. Dikuadran IITitik A(-x,y) dikuadran IIAbsis negatifOrdinat positif

Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

I II III IVSin + + - -Cos + - - +Tan + - + -Csc + + - -Sec + - - +Cotg + - + -

Contoh :Diketahui Sin = dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai

Jawab : Sin , y = 3, r = 5, x = Karena dikuadran II, nilai x = -4Sehingga : Sec = , Csc , Cotg

TUGAS I

A(-x,y)

-x

y r

Kuadran ISemua +

Kuadran IISin & Csc +

Kuadran IIITan & Cotg +

Kuadran IVCos & Csc +

1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut pada tiap gambar berikut :a. b.

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui.

a. Cos p = 0,8b. Cotg p = 2

3. Tentukan nilai dari :a. Sin 600 cotg 600 + sec 450 cos 450

b. Tan 300 + cos 300

c. 2 sin 600 cos 450

4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut pandang 600, seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)

A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadrana. Rumus di kuadran I

b. Rumus di kuadran II

atau

c. Rumus di kuadran III

5

12 2

Tinggi pohonTinggi dani 10 m

600

atau

d. Rumus di kuadran IV

atau

e Rumus sudut negatif

f.Rumus sudut lebih dari 3600

Contoh :Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :a. Sin 1200 = Sin (900 + 300)

= Sin 300

= Atau Sin 1200 = Sin (1800 – 600)

= Sin 600

= b. Cos 2250 = Cos (2700 – 450)

= -Sin 450

= Atau Cos 2250 = Cos (1800 + 450)

= -Cos 450

= c. Sin 7500 = Sin (2.3600 + 300)

= Sin 300

= d. Sin (-2250) = - Sin 2250

= - Sin(1800 + 450) = - (-sin 450) =

TUGAS II1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya :

a. Cos 3300

b. Tan (-1200)c. Sin 4500

2. Tentukan nilai dari :a. Sin 3000 + Cos 5450

b. Cos 3900 + Sec 5700

c. Cotg 7500 + Tan (-600)3. Sederhanakan

a.

b.

c. 4. Buktikan bahwa

a.

b.

B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI1. Sin x = Sin p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2X2 = (180 – p) + k.360 x2 = ( - p) + k.2

2. Cos x = Cos pX1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2

3. Tan x = Tan pX1 = p + k.180 atau x1 = p + k.

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :a. Sin x = Sin 200 ; x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20

k = 1 x2 = 20 + 360 = 380 (tidak memenuhi)

X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160 Jadi HP = {20, 160}

b. 2 Cos x = ; Cos x = Cos x = Cos 30X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30

X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak memenuhi)

K = 1 x2 = 330 HP = {30, 330}

TUGAS III1. Selesaikan persamaan berikut untuk

a. Cos x = Cos 50b. Sin x – ½ = 0c. 3 tan 2x + = 0d. 2 cos x.sin x = sin x

2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk a. 2 sin x = - 2b. 2 tan 3x + 2 = 0c. 2 cos ½ x = 1

C. IDENTITAS TRIGONOMETRIIdentitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :1. Sin2x + Cos2x = 1

Sin2x = 1 – Cos2xCos2x = 1 – Sin2x

2. 1 + tan2x = sec2x1 = sec2x – tan2xTan2x = sec2x – 1

3. 1 + cotg2x = cosec2x1 = cosec2x – cotg2xCotg2x = cosec2x – 1

Contoh : 1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1

Jawab :5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4

= 5 sec2x – 5 + 4 = 5 sec2x – 1 (terbukti)2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3

Jawab :3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)

= 3 . 1 = 3 (terbukti)

D. RUMUS SINUS DAN COSINUS1. Aturan Sinus

Perhatikan segitiga ABC berikut.

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:

Contoh :1. Pada segitiga ABC, b = 1, . Hitunglah c.

Jawab :

=

=

= =

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. . Hitunglah

Sin C =

=

= =

A B

C

a

c

b

= 41,1

2. Aturan CosinusPerhatikan segitiga ABC berikut ini :

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos b2 = a2 + c2 – 2ac cos c2 = a2 + b2 – 2ab cos

Contoh :1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, = 600.

Hitung panjang BCJawab :a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 52 + 82 – 2.5.8. cos 60 = 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40 = 49a = 7 cm

E. LUAS SEGITIGA1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui

L = ½ b.c. sin A

A B

C

A B

C

ab

cD

L = ½ a.b. sin CL = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)

Contoh : 1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C

= 450

Jawab :L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450

= 20. ½ = 10

2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, . Tentukan luasnya.Jawab :

3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.Jawab :s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6

cm2

TUGAS IV1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm,

2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm, dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B

3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 0400 dan kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 1000 dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 5 jam.

4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.

5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm, BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :PT. Galaxy Puspa Mega.Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.