MODUL 7

PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA ORDE 2

Muhammad Ilham

10211078

Program Studi Fisika, Institut Teknologi Bandung, Indonesia

Email: muhammad_ilham@students.itb.ac.id

Asisten: Fauzia P. Lestari / 10210085

Ulin Nuha / 10210095

Andromeda / 10210097

Tanggal Praktikum: (03-04-2014)

Abstrak

Persoalan PDB orde 2 bisa didapatkan solusinya dengan cara numerik yaitu dengan metode shooting. Metode

shooting bekerja dengan mereduksi persoalan nilai batas menjadi solusi persoalan nilai awal. Dalam metode

shooting ini harus digunakan perubahan step yang dalam persoalan ini adalah dt (perubahan waktu) yang

bernilai kecil untuk mengurangi error. Pada iterasi persoalan yang telah dipecah menjadi dua persoalan nilai

awal dihitung dengan menggunakan metode Euler.

Kata kunci: Persamaan Differensial Biasa Orde 2, Osilasi , Metode Shooting

I. Pendahuluan

1.1 Tujuan

Tujuan dari praktikum ini ialah

menyelesaikan persamaan differensial biasa

orde 2 dengan metoda numerik menggunakan

metode Shooting.

1.2 Teori Dasar

Metode yang akan digunakan dalam

mencari solusi PDB orde 2 ini adalah metode

Shooting. PDB orde 2 adalah persamaan

differensial yang mempunyai dua peubah

bebas. Metode yang digunakan dalam

menyelesaikan kasus PDB orde 2 adalah

metode Shooting . Metode ini digunakan untuk

menyelesaikan persoalan nilai batas dengan

mereduksi fungsinya menjadi solusi dari

oersoalan nilai awal.

Rumus umumnya dapat ditulis :

(1)

Dari persoalan dua nilai batas , akan

dipecah menjadi dua persoalan nilai awal yang

akan saling berhubungan dan masing – masing

akan dihitung menggunakan metode Euler.

(2)

II. Metode percobaan

2.1 Metode Percobaan Cara pengerjaan dari metode ini adalah

dimasukkan nilai m , k , t serta a dan F0

untuk kasus kedua. Lalu dilakukan iterasi

untuk menentukan X2 dan V2 dengan

menggunakan metode Euler serta E ,

sampai batas waktu peluruhan t yang

ditentukan. Setelah didapatkan hasilnya , di

plot X2 , V2 , E terhadap tiap perubahan

waktu (i) , dengan outputnya berupa grafik.

Gambar 1. Flowchart mencari solusi persoalan

dengan output grafik.

2.2 Hipotesis

Digunakan metode iterasi “For” untuk

memenuhi kondisi batas dalam menentukan

solusi PDB orde 2.

III. Data dan Pengolahan

Persamaan yang digunakan untuk

perhitungan dalam iterasi adalah :

(3)

Diskritisasi :

(4)

(5)

Didapatkan grafiknya osilasinya :

Gambar 2. Grafik osilasi persoalan pertama

dengan dt=0.001.

Untuk kasus tambahan adanya gaya gesek

dan b = 5 , didapatkan kasus osilasi teredam:

(7)

Sehingga didapat untuk kecepatannya:

(8)

Perubahan waktu dt yang digunakan adalah

sebesar 0.001. Nilai faktor b dalam persoalan

kedua sebagai faktor gesekan adalah sebesar 5.

Didapatkan grafiknya osilasinya :

Gambar 3. Grafik osilasi teredam dengan

dt=0.001 dan b = 5.

IV. Pembahasan

Program bekerja dengan pertama

memasukkan input data yang diperlukan, lalu

lakukan iterasi untuk mencari kecepatan

dengan rumusan (4) untuk persoalan pertama

dan rumusan (8) untuk persoalan kedua.

Sedangkan untuk mencari posisi digunakan

rumusan (5) untuk kedua persoalan. Untuk

mendapatkan solusi numerik optimum , maka

dimasukkan nilai dt (iterasi) yang kecil.

Kelebihan metode ini untuk menyelesaikan

masalah nilai batas menggunakan metode

iterasi untuk mencari kemiringan yang

sebenarnya dengan mudah dan cepat. Namun

harus melakukan input tebakan nilai parameter

yang baik untuk mendapat nilai yang

diinginkan.

Pada hasil yang didapatkan pada persoalan

pertama yaitu gerak harmonik sederhana

terbentuk grafik posisi terhadap waktu dan

kecepatan terhadap waktu dengan bentuk

grafik osilasi dengan amplitudo yang tetap dan

ini sesuai dengan gerakan benda pada pegas

yang berosilasi tanpa gesekan terhadap titik

kesetimbangannya.

Pada hasil persoalan kedua yaitu persoalan

osilasi teredam ada faktor pengurang gerakan

benda yaitu berupa gesekan dengan b = 5.

Sebagai hasilnya terlihat pada grafik osilasi x

dan v mengalami perubahan amplitudo yang

berkurang terhadap waktu. Namun hasil

keluaran yang didapatkan tidak membentuk

osilasi namun grafik eksponensial karena

dengan b yang besar menyebabkan hasil v yang

sangat besar sehingga nilai x juga besar.

Nilai perubahan waktu dt yang diberikan

haruslah kecil, ini berhubungan dengan error.

Semakin besar nilai dt yang digunakan maka

error dari hasil yang didapatkan pun akan

semakin besar , hal ini menunjukan bahwa

dengan dt yang besar maka tidak

mencerminkan gerakan osilasi yang seharusnya

sehingga didapatkan gerakan benda yang tidak

merata , maka dt yang diberikan harus kecil

nilainya supaya titik-titik yang dihasilkan dari

tiap iterasi kontinu (berkesinambungan secara

sempurna) sehingga lebih mendekati kejadian

yang seharusnya (dalam hal ini gerakan benda

yang berosilasi) atau mengurangi error.

V. Simpulan

Metode shooting digunakan untuk mencari

solusi dari PDB orde dua dengan membaginya

menjadi persoalan nilai awal biasa yang bisa

dihitung dengan menggunakan metode Euler.

Untuk mendapatkan hasil solusi yang lebih

baik (kontinu) atau mendekati hasil analitik,

dibutuhkan jumlah h (langkah) atau dt yang

kecil.

VI. Daftar Pustaka

[1]http://math.stackexchange.com/questions/704329/matlab-code-help-with-shooting-method-to-solve-differential-equations, diakses pada 08-04-2014 16:00

[2]http://en.wikipedia.org/wiki/Shooting_method , diakses pada 08-04-2014 17:00