Modul 6_Dasar Kestabilan Sistem_by Bukhari

download Modul 6_Dasar Kestabilan Sistem_by Bukhari

of 16

description

teknik mesin d3

Transcript of Modul 6_Dasar Kestabilan Sistem_by Bukhari

PEDOMAN PENULISAN JOB SHEET

KESTABILAN SISTEM2013

BAB VI

KESTABILAN SISTEM6.1 Pendahuluan

Sebuah sistem dikatakan tidak stabil jika tanggapannya terhadap suatu masukan menghasilka osilasi yang keras atau bergetar pada suatu amplitudo/harga tertentu. Sebaliknya suatu sistem disebut stabil jika sistem tersebut akan tetap dalam keadaan diam atau berhenti kecuali jika dirangsang (dieksitasi oleh suatu fungsi masukan dan akan kembali dalam keadaan diam jika eksitasi tersebut dihilangkan). Ketidakstabilan merupakan suatu keadaan yang tidak menguntungkan bagi suatu sistem lingkar tertutup sedangkan pada suatu sistem lingkar terbuka tidak dapat tidak harus stabil. Jelas untuk memperoleh nilai yang memberikan manfaat praktis sebuah sistem kendali harus stabil. Masukan sistem tidak memberikan pengaruh terhadap kestabilan suatu sistem sehingga jika sistem tersebut stabil terhadap suatu masukan maka sistem akan stabil untuk masukan yang ada. Sebaliknya kestabilan hanya bergantung pada karakteristik daripada sistem itu sendiri.

Tanggapan suatu sistem stabil dapat dikenali dari adanya peralihan yang menurun menuju nol terhadap pertambahan waktu. Ini berarti bahwa untuk mendapatkan sebuah sistem yang stabil, koefesien-koefesien dari suku eksponensial yang terdapat dalam tanggapan peralihan tersebut harus merupakan bilangan-bilangan nyata yang negatif atau bilangan kompleks dimana bagian nyata adalah negatif.6.2 Tujuan KhususSetelah mempelajaari bab ini diharapkan mahasiswa dapat menganalisa kestabilan system dengan menggunakan metode-metode respon waktu, letak pole, persamaan karakteristik, criteria Routh dan juga kriteria Hurwitz.6.3 Definisi Kestabilan Sistem

Satu diantara pertanyaan yang cukup sulit untuk dijawab sehubungan dengan sistem fisik adalah mengenai kestabilan sistem. Biasanya, kestabilan sistem diartikan dengan kemampuan untuk mengendalikan sistem tersebut. Sistem yang stabil diharapkan mampu merespon input yang diaplikasikan dengan keluaran yang dapat dipertanggungjawabkan. Secara teknis, sistem disebut stabil apabila setiap diberikan masukan yang tertentu pada sistem tersebut akan menghasilkan keluaran yang mengarah kepada nilai tertentu pula (bounded input, bounded output, BIBO).

Sebuah ilustrasi di bawah ini menggambarkan definisi kestabilan. Jika seseorang sedang menaiki gedung bertingkat menggunakan lift, maka ia akan menekan tombol yang menunjukkan lantai yang akan dikunjungi. Jika lift berhenti tepat pada lantai yang dikehendaki, maka sistem dikatakan stabil. Demikian juga jika lift berhenti pada satu lantai di atas atau di bawah dari lantai yang dikehendaki, sistem juga tetap dikatakan stabil. Karena, lift masih berhenti di harga (lantai) tertentu. Namun, jika lift tidak berhenti sehingga lantai terakhir, sistem lift tersebut dikatakan tidak stabil.Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan kestabilan sistem, yaitu: respon sistem, letak pole dan Kriteria Routh-Hurwitz. Bab ini akan membahas metode-metoda ini.6.4 Metode Respon Waktu SistemCara termudah untuk menentukan apakah sebuah sistem stabil atau tidak adalah dengan melihat respon waktu dari sistem tersebut. Sesuai dengan definisi diatas, sistem akan stabil jika respon waktu dari sistem tersebut mengarah kepada harga tertentu. Jika tidak, sistem tersebut dikatakan tidak stabil.

Gambar 6.1 memperlihatkan beberapa sistem dari sebuah sistem kontrol. Dari gambar tersebut, terdapat sistem yang stabil (stable), sistem yang tidak stabil (unstable) dan sistem yang stabil marginal (marginally stable). Sekali lagi ditekankan, kestabilan sistem berhubungan dengan keluaran sistem yang mengarah ke harga tertentu (tidak harus sesuai dengan harga masukannya).

Gambar 6.1 Kestabilan sistem dari respon sistem

Namun, cara ini tidak sederhana untuk diterapkan. Karena, harus dapatkan terlebih dahulu respon sistem, sejak respon transien hingga respon keadaan tunak (steady state). Sebab, kestabilan baru diketahui apabila diamati respon keadaan tunaknya. Hal ini memerlukan waktu yang cukup panjang dan energi yang banyak. Bayangkan, jika sistem yang mau dianalisa kestabilannya adalah sistem pemanas dengan harga referensi 3000oC. Oleh karena itu, diperlukan metode lain untuk menganalisa kestabilan sistem tanpa harus membuang waktu dan energi.6.5 Metode Letak Pole

Jika terdapat sebuah sistem kontrol yang memiliki blok diagram seperti yang ditampilkan pada Gambar 8.2 di bawah ini.

Gambar 6.2 Blok Diagram Sistem Kontrol

Jika seluruh pole dari persamaan di atas berharga negatif, maka sistem akan mengarah (eksponensial negatif, teredam) kepada harga tertentu. Sebaliknya, jika terdapat sebuah saja pole yang berharga positif, maka sistem tidak akan mengarah kepada harga tertentu (eksponensial positif).

Dari gejala tersebut, dapat disimpulkan bahwa sistem akan stabil jika seluruh akar (pole) dari persamaan karakteristik sistem adalah positif atau terletak di sebelah kiri bidang s. Sebaliknya, sistem akan tidak stabil jika terdapat minimal satu buah pole yang positif atau terdapat di sebelah kanan bidang s. Kesimpulan ini dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 6.3 Kestabilan Sistem berdasarkan Letak Pole pada bidang-s

Selain dengan metode respon waktu dan metode letak pole,untuk menentukan apakah suatu sistem bersifat stabil atau tidak dapat juga ditentukan dengan beberapa cara yang dapat digunakan berbagai metoda diantaranya:

1. Persamaan karakteristik

2. Kriteria Routh

3. Kriteria Hurwitz

6.6 Persamaan Karakteristik

Fungsi alih sebuah elemen atau sistem disebut juga fungsi karakteristik sistem. Fungsi ini menentukan kelakuan tanggapan peralihan dan dapat memberikan informasi mengenai kestabilan sistem tersebut.Berikut ini dipaparkan beberapa contoh perhitungan untuk menganalisa kestabilan system melalui persamaan karakteristik.

Contoh 6.1. Sebuah sistem memiliki fungsi alih lup tertutup seperti di bawah ini:

sehingga akar-akar persamaan karakteristiknya adalah s = -1 dan s = -2. Karena semua akar-akanya adalah terletak di sebelah kiri bidang s, maka sistem stabil.

Contoh 6.2. Sementara sistem kontrol yang lain, memiliki fungsi alih lup tertutup seperti di bawah ini:

sehingga akar-akarnya adalah s = -1, s = 3 dan s = -4. Karena ada sebuah akar yang terletak di sebelah kanan bidang s, maka sistem tidak stabil.

Contoh 6.3 Sementara sistem kontrol yang lain, memiliki fungsi alih lup tertutup seperti di bawah ini:

sehingga akar-akarnya adalah s = 0, s = -1, dan s = -4. Karena ada sebuah akar yang terletak pada sumbu imajiner bidang s, maka sistem stabil marjinal.

6.7 Kriteria Routh

Penentuan kestabilan suatu sistem berdasarkan persamaan karakteristik akan mengakibatkan kesulitan bagi persamaan yang tingkatannya (orde) yang lebih tinggi yaitu dalam menentukan akar-akar persamaan karakteristik tersebut. Suatu cara lain untuk menentukan kestabilan suatu sistem tanpa menghitung akar-akar persamaan karakteristiknya adalah menggunakan kriteria Routh. Kriteria ini merupakan metode aljabar untuk menentukan kestabilan dalam wawasan s (Laplace). Cara ini akan menunjukkan adanya akar-akar yang tidak stabil beserta jumlahnya tetapi tidak menentukan nilai atau kemungkinan cara untuk mencegah ketidakstabilan.

Prosedur penentuan stabilitas berdasarkan kriteria Routh berikut

a. Tuliskan persamaan karakteristik sistem dalam bentuk polinomial berikut

Dimana

ao, a1, dst adalah koefesien dari persamaan tersebut.

b. Koefesien koefesien persamaan tersebut disusun dalam suatu barisan yang menyerupai sebuah matriks dengan bentuk berikut

Dimana cara penyusunannya

Baris pertama adalah koefesien-koefesien yang terdiri dari indeks genap ( ao, a2, a4, a6,dst)

Baris kedua adalah koefesien-koefesien yang terdiri dari indeks ganjil ( a1, a3, a5, a7,dst) yang dimulai dari angka satu

Baris ketiga dinyatakan oleh b1, b3, b5, b7,dst , dimana harga b1, b3, b5, b7,dst

ditentukan dari harga-harga dari baris pertama dan kedua

Baris ketiga dinyatakan oleh c1, c3, c5, c7,dst , dimana harga c1, c3, c5, c7,dst

ditentukan dari harga-harga dari baris kedua dan ketiga

Baris keempat dinyatakan oleh d1, d3, d5, d7,dst , dimana harga d1, d3, d5, d7,dst ditentukan dari harga-harga dari baris ketiga dan keempat

Demikian seterusnya

Jumlah baris ini bergantung pada orde persamaan karakteristik tersebut. Susunan barisan ini disebut barisan Routh. Untuk menentukan harga-harga b1, b3, b5, b7,; c1, c3, c5, c7,dst. Susunan barisan ini dianggap suatu determinan sehingga hargaharga tersebut dapat ditentukan berikut

dan seterusnya

Selanjutnya harga-harga c1, c3, c5, c7,dst ditentukan berikut

dan seterusnya

Selanjutnya harga d1, d3, d5,; ditentukan dengan cara yang sama. Dengan demikian pada pada akhirnya akan diperoleh suatu susunan barisan yang lengkap berbentuk segitiga dimana jumlah baris adalah sebanyak pangkat tertinggi dari s ditambah satu. Berarti untuk persamaan orde-dua jumlah baris adalah 3 (tiga), untuk persamaan orde-tiga menjadi 4 (empat) dan seterusnya. Setelah itu periksa kolom pertama dari persamaan (5.36) apakah terjadi perubahan tanda. Jika tidak terjadi perubahan tanda pada kolom pertama berarti sistem bersifat stabil dan begitu pula sebaliknya jika terjadi perubahan tanda pada kolom pertama berarti sistem tidak stabil.

Contoh 6.4:

Persamaan karakteristik

s3 + 6s2 + 12s + 8=0

Periksa kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria Routh

Jawab :

Disusun dalam barisan Routh menjadi

karena pada kolom pertama tidak terdapat perubahan tanda maka semua akar-akar persamaan karakteristik mempuyai bagian nyata yang negatif dan sistem bersifat stabil.

Listing program Matlab

clc

clear all

close all

p = [1 6 12 8]

routh(p)

Hasil program

p =

1 6 12 8

Routh Array

1.0000e+000 1.2000e+001

6.0000e+000 8.0000e+000

1.0667e+001 0

8.0000e+000 0

System is stable

Contoh 6.5 :

Persamaan karakteristik

s3 + 4s2 + 8s 12 = 0

Periksa kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria Routh

Jawab :

Disusun dalam barisan Routh menjadi

karena pada kolom pertama terdapat perubahan tanda sebanyak 1 kali maka pada persamaan karakteristik terdapat satu buah akar yang mempuyai bagian nyata yang positif dan sistem bersifat tidak stabil.

Listing program Matlab

clc

clear all

close all

p = [1 4 8 -12]

routh(p)

Hasil program

p =

1 4 8 -12

Routh Array

1 8

4 -12

11 0

-12 0

There are 1 roots in the right half s-plane

Contoh 6.6:

Persamaan karakteristik

S3 + 3s2 + 3s + 1 + K =0

Periksa kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria Routh

Jawab :

Disusun dalam barisan Routh menjadi

Agar sistem bersifat stabil maka kolom pertama tidak boleh terjadi perubahan tanda oleh karena harus dipenuhi 8 K > 0 dan 1+ K > 0 . Jika suku kolom pertama pada suatu baris sama dengan nol tetapi suku-suku berikutnya tidak sama dengan nol atau memang tidak ada suku berikutnya maka suku tersebut diganti dengan suatu bilangan positif yang sangat kecil yang selanjutnya digunakan untuk menghitung suku-suku berikutnya.

6.8 Kriteria Hurwitz

Cara lain menetukan stabilitas sebuah sistem adalah metoda Hurwitz. Dengan metoda Hurtwitz ini dilakukan pemeriksaan apakah semua akar-akar persamaan karakteristik memiliki bagian nyata yang negatif. Hal ini ditentukan dengan cara menggunakan determinan. Persamaan karakteristik dibuat dalam bentuk determinan berikut.

Dan seterusnya sampai (n-1 maka semua akar-akar persamaan karakteristik mempuyai bagian nyata yang negatif hanya dan hanya jika (i > 0 untuk i=1,2,3,,n . Sebagai ilustrasi bila n = 3 diperoleh

Agar semua akar-akar memiliki bagian nyata yang negatif, harus dipenuhi

Contoh 6.7:

Suatu persamaan karakteristik

S3 + 8s2 + 14s + 24 = 0

Periksa kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria Hurwitz

Jawab :

Menurut kriteria Hurwitz sistem bersifat stabil karena setiap determinan (3, (2 dan (1 bernilai positif.

Listing program Matlab

clc

clear all

close all

hurwitz3(1,8,14,24)

Hasil program

delta_3 =

2112

delta_2 =

88

delta_1 =

8

Sistem stabil

6.9 RangkumanUntuk suatu sistem linier yang tidak berubah dengan waktu masukan terbatas dan keluaran terbatas definisi kestabilan telah didefinisikan. Untuk menentukan kestabilan ini ada beberapa cara yang digunakan antara lain persamaan karakteristik, kriteria Routh, dan kriteria Hurwitz. Dengan persamaan karakteristik dapat ditentukan kestabilan sistem dengan cara melihat apakah bagian nyata dari akar-akar persamaan karakteristik bernilai negatif, kalau bagian nyata dari akar-akar persamaan karakteristik bernilai negatif maka sistem bersifat stabil begitu pula sebaliknya. Kriteria Routh merupakan metoda aljabar untuk menentukan kestabilan dalam wawasan S. Cara ini akan menunjukkan adanya akar-akar yang tidak stabil beserta jumlahnya tetapi tidak menentukan nilai atau kemungkinan cara untuk mencegah ketidakstabilan. Kriteria Hurtwitz merupakan metoda untuk menentukan kestabilan suatu sistem dengan cara memeriksa apakah semua akar-akar persamaan karakteristik memiliki bagian nyata yang negatif dengan menggunakan determinan.

6.10 Soal 1. Suatu system memiliki persamaan karakteristik sebagai berikut:s3 - 4s2 + 8s - 12 = 0

Periksa kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria Routh

2. Suatu persamaan karakteristik dari sebuah system dituliskan sebagai berikut:4s3 + 8s2 + 14s - 24 = 0

Periksa kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria Hurwitz

3. Suatu persamaan karakteristik: s2 + Ks + 2K-1 = 0 Dengan menggunakan kriteria Hurwitz tentukan nilai K agar sistem berisfat stabil.6.11 Model Jawaban1. Persamaan karakteristik: s3 - 4s2 + 8s - 12 = 0 bisa disusun dalam barisan Routh sebagai:

karena pada kolom pertama terdapat perubahan tanda sebanyak 3 kali maka pada persamaan karakteristik terdapat 3 buah akar yang mempuyai bagian nyata yang positif dan sistem bersifat tidak stabil.

Listing program Matlab

clc

clear all

close all

p = [1 -4 8 -12]

routh(p)

Hasil program

p =

1 -4 8 -12

Routh Array

1 8

-4 -12

5 0

-12 0

There are 3 roots in the right half s-plane

2. 4s3 + 8s2 + 14s - 24 = 0

maka menurut kriteria Hurwitz sistem bersifat tidak stabil karena determinan (3 bernilai negative

Listing program Matlab

clc

clear all

close all

hurwitz3(4,8,14,-24)

Hasil program

delta_3 =

-4992

delta_2 =

208

delta_1 =

8

Sistem tidak stabil

3. s2 + Ks + 2K-1 = 0

Agar sistem bersifat stabil maka determinan (2 dan (1 harus bernilai positif. Untuk mendapatkan determinan yang bernilai positif maka K>0 dan (2K-1)>0.

6.12 Soal PengayaanSelesaikan soal-soal berikut ini:

1. Tentukan apakah sistem dengan persamaan karakteristik berikut stabil atau tidak :

a.

b.

c.

d.

2.Fungsi alih sebuah sistem kendali dinyatakan sebagai berikut :

dan . Tentukan persamaan karakteristik sistem dan periksa apakah sistem bersifat stabil ? 3. Fungsi alih sebuah sistem kendali dinyatakan sebagai berikut :

dan . Tentukan persamaan karakteristik sistem dan periksa apakah sistem bersifat stabil ? 4.Persamaan karakteristik : . Dengan menggunakan kriteria Routh tentukan sistem bersifat stabil atau tidak stabil 5.Fungsi alih sebuah sistem kendali dinyatakan sebagai berikut :

dan . Tentukan persamaan karakteristik sistem dan periksa apakah sistem bersifat stabil dengan menggunakan kriteria Routh 6. Fungsi alih sebuah sistem kendali dinyatakan sebagai berikut :

dan . Tentukan persamaan karakteristik sistem dan periksa apakah sistem bersifat stabil dengan menggunakan kriteria Routh 7.Persamaan karakteristik : . Dengan menggunakan Metoda Hurwitz tentukan sistem bersifat stabil atau tidak stabil

8.

Fungsi alih sebuah sistem kendali dinyatakan sebagai berikut :

dan . Tentukan persamaan karakteristik sistem dan periksa apakah sistem bersifat stabil dengan menggunakan kriteria Hurwitz ? 9. Fungsi alih lingkar terbuka sebuah sistem adalah :

Dimana harga . Dengan menggunakan metoda Hurwitz tentukan harga agar sistem bersifat stabil.10.Bandingkan hasil yang diperoleh pada soal No. 01 s/d No.9 dengan menggunakan Matlab

PAGE Buku Ajar Instrumen dan Kendali Page 86

_1307816037.unknown

_1308121363.unknown

_1388392844.unknown

_1388392936.unknown

_1388392935.unknown

_1308122339.unknown

_1388392830.unknown

_1308122302.unknown

_1308121282.unknown

_1308121353.unknown

_1307816064.unknown

_1307814337.unknown

_1307815968.unknown

_1307815983.unknown

_1307815506.unknown

_1307814198.unknown

_1307814279.unknown

_1307814034.unknown