Modul 1 : PENDAHULUAN MATEMATIKA MEKANIKA KUANTUM

Pendahuluan Pada bagian ini akan disajikan secara singkat perihal operator dan operasi-operasi dasar yang melibatkan fungsi gelombang dalam ruang fungsi kompleks variable real. Pembahasan singkat ini diharapkan dapat membantu memahami berbagai operasi matematika yang diperlukan dalam fisika kuantum, khususnya yang melibatkan fungsi gelombang dan operator. Operator pada dasarnya merupakan perangkat matematika yang digunakan untuk memanipulasi bilangan dan atau fungsi. Jadi penjumlah (+), pengurang (-), dan penderivatif (d/dx) merupakan beberapa contoh operator.

Operasi operator terhadap suatu fungsi pada umumnya akan menghasilkan fungsi baru. Operator yang tidak mengubah suatu fungsi disebut operator identitas, dilambangi . Jadi, terhadap sembarang fungsi f, operatr identitas bersifat

Operator yang berfungsi membuat sebarang fungsi menjadi fungsi nol disebut operator nol, dilambangi. Jadi, terhadap sebarang fungsi f, operator nol bersifat

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari modul 1 ini, mahasiswa diharapkan dapat :

1. Memahami operator

2. Menjelaskan beberapa macam operator dalam fisika kuantum

3. Menerapkan operator dalam operasi fisika kuantum

Kegiatan Belajar 1 :

A. Operator Posisi

B. Operator Momentum Linear

C. Operator Besaran Lain

Materi

A. Operator Posisi

Operator yang mewakili besaran posisi r dilambangi , dan yang mewakili komponen Cartesannya (yaitu x, y, dan z) masing-masing dilambangkan ,dan . Mulai sekarang, untuk membedakan operator denganbesaran padanannya, operator kita lambangi dengan huruf besar bertopi. Cara kerja operator posisi bergantung pada ruang penyajian yang kita gunakan. Dalam ruang posisi, dimana fungsi gelombang berbentuk , operasi operator posisi dipostulatkan sebagai berikut :

(1)

yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan posisi r. Dalam bentuk komponen-komponenya, persamaannya (1) identik dengan

Jadi, cara kerja operator komponen vector posisi dalam ruang posisi adalah mengalikan fungsi gelombang dengan komponen vector posisi pada arah yang bersesuaian.

Bagaimana cara kerja operator posisi di ruang momentum linear? Dalam ruang momentum linear, fungsi gelombang berbentuk yang merupakan transformasi Fourier dari . Dengan demikian, operasi operator posisi dalam ruang momentum dituliskan secara Untuk penyederhanaan, tanpa mengurangi generalisasinya, kita gunakan kasus satu satu dimensi sehingga operasi tersebut dapat dituliskan secara Dengan menggunakan transformasi Fourier, ungkapan yang terakhir ini dapat diubah menjadi: = = .(3)

Integral dalam integral tersebut dapat diubah menjadi , sebab =. Dengan demikian, persamaan (3) menjadi

= (4)

Ungkapan itu menunjukkan bahwa, dalam ruang momentum, operator posisi berbentuk .

Penjabaran tersebut dapat diperluas ke dalam kasus 3 dimensi. Hasilnya: operator yang mewakili komponen vector posisi dalam ruang momentum linear masing-masing berbentuk :

atau dalam bentuk vector:

B. Operator Momentum Linear

Operator yang mewakili besaran momentum linear p dilambangi sedangkan operator yang mewakili komponen Cartesannya (yaitu : ) masing-masing dilambangi Cara kerja operator momentum linear bergantung pada ruang penyajian yang kita gunakan. Dalam ruang momentum, di mana fungsi gelombang berbentuk , operasi operator momentum linear dipostulatkan sebagai berikut.

=Yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan momentum p. Dalam bentuk komponen-komponenya, persamaan (7) identik dengan

Jadi, cara kerja operator komponen vector momentum linear dalam ruang momentum adalah mangalikan fungsi gelombang dengan komponen momentum linear pada arah yang bersesuaian.

Bagaimana cara kerja operator ruang momentum linear dalam ruang posisi? Dalam ruang posisi, fungsi gelombang berbentuk .Dengan demikian, operasi operator momentum dalam ruang posisi dituliskan secara Karena merupakan pasangan Fourier dari , yaitu

Dan

dengan dan maka dengan prosedur yang sama dengan yang kita gunakan untuk mendapatkan operator posisi dalam ruang momentum, kita peroleh hubungan

dengan . Ini berarti, dalam ruang posisi operator momentum linear berbentuk :

Atau dalam bentuk komponen-komponen Cartesiannya :

C. Operator Besaran Lain

Berikut akan kita rumuskan bagaimana menentukan operator besaran-besaran lain, khususnya yang sudah kita kenal di dalam fisika klasik. Misalnya : energy kinetic, energy potensial, Hamiltonian (jumlahan energy kinetic dan energy potensial) dan momentum sudut.

Besaran-besaran tersebut selalu dapat dinyatakan sebagai fungsi posisi dan / atau momentum linear. Karena kita telah memiliki operator yang mewakili posisi dan momentum linear, maka kita dapat merumuskan operator bagi besaran-besaran tersebut. Prosedur yang kita lakukan adalah dengan mengikuti kaedah pengkuantuman sebagai berikut :

1. Nyatakan definisi klasik besaran tersebut sebagai fungsi posisi r dan atau momentum linear p2. Jika dalam ungkapan tersebut termuat perkalian scalar antara posisi dan momentum linear, ganti p.r dengan (p.r + r,p). setelah itu, ganti setiap variable posisi dengan operator posisi, dan setiap variable momentum linear dengan operator momenyum linear.

3. Jika dalam ungkapan tersebut tidak termuat perkalian scalar antara posisi dan momentum linear, ganti setiap variable posisi dengan operator posisi, dan setiap variable momentum linear dengan operator momentum linear.

Rangkuman

1. Fungsi gelombang dapat disajikan dalam ruang posisi maupun dalam ruang momentum. Keduanya merupakan pasangan Fourier2. Fungsi gelombang berbentuk merupakan transformasi Fourier dari 3. Operasi operator posisi dalam ruang momentum dituliskan secara 4. Berdasarkan kedua operator besaran dinamis fundamental tersebut dapat dirumuskan operator-operator bagi besaran lainnya, utamanya yang definisi klasiknya sudah diketahui. Prosedurnya mengikuti kaedah pengkuantuman besaran fisika sebagai berikut :

Nyatakan definisi klasik besaran tersebut sebagai fungsi posisi r dan atau momentum linear p Jika dalam ungkapan tersebut termuat perkalian scalar antara posisi dan momentum linear, ganti p.r dengan (p.r + r,p). setelah itu, ganti setiap variable posisi dengan operator posisi, dan setiap variable momentum linear dengan operator momenyum linear.

Jika dalam ungkapan tersebut tidak termuat perkalian scalar antara posisi dan momentum linear, ganti setiap variable posisi dengan operator posisi, dan setiap variable momentum linear dengan operator momentum linear.

Tes Kegiatan Belajar 1

1. Dapatkan operator energi kinetik dalam : (a) ruang posisi , dan (b) dalam ruang momentum linear.

2. Dapatkan operator momentum sudut dan komponen-komponenya dalam ruang posisi

Kunci / Penyelesaian Tes Kegiatan Belajar 1

1. Definisi energy kinetic, yaitu mv, jika dinyatakan dalam fungsi momentum (p ) berbentuk . Dengan demikian, secara umum, operator energy kinetic berbentuk . Dalam ruang posisi, mengingat,

maka operator energy kinetic berbentuk

dalam ruang momentum, mengingat , maka .

2. Definisi momentum sudut L adalah L dengan menyatakan vector posisi dan p momentum linear. Dengan demikian, secara umum, operator yang mewakili momentum sudut adalah . Dalam ruang posisi, operator ini berbentuk

Komponen momentum sudut pada sumbu X, Y, dan Z masing-masing :

, Dengan demikian secara umum operator yang mewakili komponem momentum sudut dinyatakan sebagai berikut.

Dalam ruang posisi, operator-operator tersebut berbentuk :

, , = Kegiatan Belajar 2 :

A. Operator HermiteanB. Aljabar Operator

MATERIA. Operator Hermitean

Definisi

Perkalian scalar antara fungsi dan (dalam urutan yang demikian) menghasilkan bilangan kompleks

Jika urutannya dibalik,kita dapatkan bilangan

Yang selalu merupakan konjugat kompleks bagi bilangan sebelumnya. Jika kedua bilangan itu sama, operator yang uncul pada persamaan itu dikatakan bersifat Hermitean.

Jadi jika merupakan operator Hermitean maka berlaku hubungan

Untuk sebarang fungsi yang square intergable.

Nilai Harap Operator Hermitean

Sebagaimana telah kita sebutkan di bagian sebelumnya, nilai harap sebarang operator pada system yang menduduki keadaan ternormalkan , di definisikan sebagai

Konjuget kompleks nilai harap tersebut adalah

Jika bersifat Hermitean maka, menurut persamaan (4.25) , ruas terakhir persamaan (4.26b) sama dengan ruas kanan persamaan (4.26a). ini berarti ruas kedua persamaan tersebut harus sama. Jadi

Jika Hermitean maka Bilangan yang konjuget kompleksnya sama dengan dirinya sendiri adalah bilangan real. Dengan demikian disimpulkan bahwa nilai harap operator Hermitean selalu bersifat real. Atas dasar inilah mengapa operator yang mewakili besaran bersifat Hermitean.

B. Aljabar Operator

Penjumlahan Operator

Dua operator atau lebih dapat dijumlahkan atau saling dikurangkan. Hasilnya juga merupakan operator. Penjumlahan operator bersifat komutatif.

.

Perkalian Operator

Perkalian antara dua sebarang operator akan menghasilkan operator baru. Pada umumnya perkalian operator bersifat tidak komutatif

Pada umumnya : .

Jika , dikatakan bahwa kedua operator tersebut rukun (kompatibel atau berkomutasi).

RANGKUMAN

Postulat tentang pendeskripsian besaran fisika menyatakan bahwa besaran fisika disajikan dalam bentuk operator Hermitean, yaitu suatu operator yang nilai harapnya selalu berupa bilangan real. Operator-operator yang mewakoli besaran dinamis fundamental yaitu posisi dan momentum linear dirumuskan. Bentuk eksplisitnya bergantung pada ruang penyajian yang kita gunakan seperti pada table berikut.

Lambang dan wujud operator yang mewakili posisi dan momentum linear

BesaranLambang OperatorBentuk Eksplisit Dalam Ruang PosisiBentuk Eksplisit Dalam Ruang Momentum Linear

Posisi

r = (x,y,z)

x

y

x

Momentum Linear

p = ()

TES KEGIATAN BELAJAR 2

Selidikilah apakah bersifat Hermitean ! KUNCI JAWABAN TES KEGIATAN BELAJAR 2

Jika kita isikan , maka ruas kiri menghasilkan

..(i)

Dan ruas kanan menghasilkan

.(ii)

Melalui tekni integrasi parsial, ruas terakhir persamaan (ii) dapat diubah menjadi

yang ternyata sama dengan hasil di persamaan (i). Ini berarti bahwa

bersifat Hermitean! Kesimpulan ini seharusnya memang demikian, sebab adalah operator yang mewakili besaran fisika, yaitu momentum linear.