MODUL 04 PertdksmLinier_n_KuadratOK

PERTIDAKSAMAAN LINIER & KUADRAT

04.1. Pengertian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda

ketidaksamaan (<, <, > atau >) dan mengandung variabel.

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menentukan semua nilai variabel

yang menyebabkan pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Nilai-nilai ini disebut

penyelesaian (akar) dari pertidaksamaan.

A. Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan Linier adalah pertidaksamaan dari suatu fungsi linier, yaitu

variabelnya berpangkat satu.

Pertidaksamaan linier dapat mengandung satu variable atau lebih.

Contoh-contoh pertidaksamaan dengan satu variable:

x < 5; x + 2 > 7 ; 5 x + 7 b < 8 a

Contoh-contoh pertidaksamaan dengan dua variable:

X + y < 5; x + 2y > 7 ; 5 x + 7 by < 8 a

Penyelesaian pertidaksamaan memerlukan pengetahuan tentang interval.

a. Pengertian Interval

Interval atau selang dapat dinyatakan dalam garis bilangan dan himpunan.

Untuk menggambarkan batas-batas interval pada ujung garis bilangan, biasanya

digunakan tanda atau .

(Lingkaran penuh) : Berarti bilangan pada tanda ini termasuk kedalam

interval

(lingkaran kosong) : Berarti bilangan pada tanda itu tidak termasuk kedalam

interval.

Pertidaksamaan Linier & Kuadrat – MatDas – Sumardi Hs – Univ.Mercubuana

04

Berikut ini adalah bentuk-bentuk dari suatu interval yang dinyatakan dalam

garis bilangan dan dalam bentuk himpunan.

Garis Bilangan Himpunan

1. Interval tertutup

2. Interval setengah tertutup

a b

3. Interval terbuka

a b

4. Interval setengah garis

b. Sfat-sifat Pertidaksamaan

Beberapa sifat pertidaksamaan yang sangat penting untuk menentukan

penyelesaian suatu pertidaksamaan. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.

1) Sifat tak negatif

2) Sifat transitif

Untuk a, b, c bilangan real :

Jika a < b dan b < c maka a < c

Jika a > b dan b > c maka a > c

3) Sifat penjumlahan


Jika a < b maka a + c < b + c


a

a

aa

a

a b

Jika a > b maka a + c > b + c

Keterangan: Sifat penjumlahan menyatakan bahwa jika kedua ruas

pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama, tanda

pertidaksamaan tetap.

4) Sifat perkalian


Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc

Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc

Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc

Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc

Keterangan: Sifat perkalian menyatakan bahwa jika kedua ruas dikalikan

dengan bilangan (real) positif yang sama, tanda ketidaksamaan tetap (tidak

balik). Akan tetapi, jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan (real) negatif

yang sama, tanda ketidaksamaan dibalik.

5) Sifat kebalikan(invers perkalian)

Untuk

Jika a > 0 maka > 0

Jika a < 0 maka < 0

Keterangan: Sifat kebalikan menyatakan bahwa tanda dari suatu bilangan

dan kebalikannya adalah sama. Jika suatu bilangan adalah negatif, kebalikan

bilangan ini juga negatif.

c. Menyelesaikan pertidaksamaan linear

Perhatikan pertidaksamaan berikut :

3x + 1 < 5


Pada pertidaksamaan tersebut, pangkat variabel x adalah 1.

Pertidaksamaan yang memuat pangkat tertinggi dari variabel x adalah dinamakan

pertidaksamaan linear.

Berarti 3x + 1 < 5 merupakan pertidaksamaan linear.

Contoh 1 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut

untuk peubah pada bilangan real, dan gambarkan himpunan penyelesaiannya

pada garis bilangan!

a. 5x – 2 < 8

b. 2x + 7 > x + 4

c. 2x – 5 < 6x + 3

Jawab

a. 5x – 2 < 8

5x < 10 x < 2

Jadi HP = { x|x < 2}

O2 Bilangan 2 tidak termasuk

b. 2x + 7 > x + 4

2x > x – 3

x > - 3

Jadi HP = {x|x > - 3}

c. 2x – 5 < 6x + 3

2x < 6x + 8

- 4x < 8

x > -2

Jadi HP = {x|x > -2}


Contoh 2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dengan Tanda

Ketidaksamaan Ganda

a. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan -3 < 6x -1 < 3

Jawab :

-3 < 6x -1 < 3 ...(*)

Secara umum, pertidaksamaan dengan tanda ganda diselesaikan

dengan memisahkannya menjadi dua pertidaksamaan, seperti berikut :

-3 < 6x – 1 dan 6x – 1 < 3 atau

-2 < 6x dan 6x < 4 atau

< x dan x < atau

< x dan x <

x > - …. dan x < …

Penyelesaian pertidaksamaan (*) adalah yang memenuhi dan .

Penyelesainnya dapat diperoleh dengan bantuan garis bilangan, seperti pada

gambar berikut.

Penyelesaian 1

Penyelesaian 2

Kesimpulannya:

Penyelesaian 1 dan 2


Alternatif: Oleh karena variabel x hanya terdapat diruas tengah

pertidasamaan, Anda dapat menyelesaikannya secara lebih cepat tanpa perlu

memisahkannya menjadi dua bagian, seperti berikut :

a. - 3 < 6x -1 < 3

- 2 < 6x < 4

b. 2x – 1 < x + 1 < 3 – x … (**)

Oleh karena variable tidak hanya terdapat diruas tengah

pertidaksamaan, melainkan terdpat di ketiga ruas, Anda hanya dapat

menyelesaikannya dengan memisahkan pertidaksamaan tersebu menjadi

dua bagian prtidaksamaan, seperti berikut.

2x – 1 < x + 1 dan x + 1 < 3 - x

2x – x < 1 + 1 dan x + x < 3 - 1

X < 2 dan 2x < 2

x < 2 …. dan x < 1 …

Penyelesaian pertidaksamaan (**) adalah memenuhi dan .

Penyelesaian yang memenuhi dan dapat Anda peroleh dengan

menggunakan bantuan garis bilangan seperti berikut.

x < 2 Penyelesaian 1

x < 1 Penyelesaian 2

x < 1 Irisan penyelesaian 1 dan 2


211

Jadi, HP = {x|x < 1, x R}

B.PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pengertian pertidaksamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat (atau) pertidaksamaan pangkat dua) adalah suatu

pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua.

Berikut ini adalah contoh-contoh pertidaksamaan kuadrat.

Seperti halnya dengan persamaan kuadrat, pertidasamaan kuadrat dapat

ditulis dalam bentuk baku (bentuk umum) berikut ;

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Dengan Garis Bilangan

Selesaikan pertidaksamaan berikut:

x2 + x – 6 < 0

Anda mulai dengan mengganti simbol ketidaksamaan (< 0) dengan tanda

sama dengan (=) sehingga diperoleh persamaan kuadrat x2 + x – 6 = 0, kemudian

menentukan akar-akar PK tersebut dan melukiskannya pada garis bilangan.

(x + 3) (x – 2) = 0 Pemfaktoran

x + 3 = 0

x = - 3

atau :

x – 2 = 0


x = 2

Akar-akar penyelesaian persamaan ini memisahkan garis bilangan menjadi

tiga interval : x < -3; -3 < x < 2; dan x > 2. Oleh karena tanda ketidaksamaanya

tidak mengandung tanda “=” maka -3 dan 2 bukanlah penyelesaian dari x2 + x -6 <

0. Dengan demikian, penyelesaian dari ketidaksamaan tersebut terdapat dalam

salah satu atau lebih dari ketiga interval diatas.

Semua nilai dalam suatu inteval ini disubstitusikannya kedalam ruas kiri

pertidaksamaan diperoleh :

x = 1 x2 + x – 6 = (1)2 + (1) – 6 = -4 (negatif)

x = -1 x2 + x – 6 = (-1)2 + (-1) – 6 = -6 (negatif)

x2 + x – 6 14 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 14| | | | | | | | | |

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4tanda x2 + x -6 + + 0 - - - - 0 + +

Dari gambar diperoleh;

Untuk interval x < -3 maka x2 + x – 6 > 0 ( + )

Untuk interval -3 < x < 2 maka x2 + x – 6 < 0 ( – )

Ntuk interval x > 2 maka x2 + x – 6 > 0 ( + )

Dengan demikian penyelesaian dari x2 + x – 6 < 0 (–) adalah interval -3 < x < 2.

Adapun penyelesaian dari x2 + x – 6 > 0 (+) adalah interval dari x2 + x – 6 < 0?

Oleh karena dalam kasus ini tanda ketidaksamaannya mengandung tanda sama

dengan maka nilai x = -3 dan x = 2 termasuk dalam penyelesaian. Jadi

penyelesaian dari x2 + x – 6 < 0 adalah interval -3 < x < 2.

Secara umum, untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat, Anda

tentukan dahulu akar-akar dari persamaan kuadrat yang berkaitan. Untuk

selanjutnya, akar PK ini disebut titik kritis. Titik-titik kritis ini akan mampu membagi

garis bilangan atas beberapa interval. Oleh karena tanda dalam setiap interval

selalu sama, untuk setiap interval Anda hanya perlu menguji satu nilai variabel

saja. Untuk jelasnya, pelajariah contoh-contoh berikut:


x < - 3 x > 3

Contoh 1: Pertidaksamaan Kuadrat (Dua Titik Kritis)

Selesaikan –x2 > - 2x – 3

Jawab :

Pertama, ubah pertidaksamaan kuadrat ke bentuk bakunya (ruas kanan dibuat

nol)

-x2 + 2x + 3 > 0

Selanjutnya buat koefisien x2 menjadi positif dengan mengalikan 1 pada

kedua ruas. Ingat, mengalikan bilangan dengan bilangan negatif selalu membalik

tanda dari pertidaksamaan. Dari sini diperoleh.

x2 – 2x – 3 < 0 ….(*)

Untuk itu, tentukan titik kritisnya dengan menyelesaikan persamaan x2 - 2x - 3 = 0

x2 – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x – 3 = 0 atau x + 1 = 0

x = 3 x = -1

Kedua titik kritis ini akan memisahkan garis bilangan atas tiga interval.

Oleh karena tanda ketidaksamaannnya mengandung tanda sama dengan (<), titik-

titik kritis x = -1 dan x = 3 termasuk penyelesaian.

Oleh karena itu, titik-titik kritis digambar dengan tanda (lingkaran penuh).

-1 0 1 2 3

( + ) ( - ) ( + )

Selanjutnya, anda uji titik sebarang dalam setiap interval untuk mengetahui tanda

setiap ineterval.

Untuk interval x < - 1 ambil x = -2 x2 – 2x – 3 = (-2)2 – 2 (-2) – 3 = 5 > 0 (+)

Untuk interval -1 < -x < 3 ambil x = 0 x2 – 2x – 3 = (0)2 – (0) – 3 = -3 < 0 (-)

Untuk interval x > 3 ambil x = 4 x2 – 2x – 3 = (4)2 – 2 (4) – 3 = 5 > 0 (+)

Dengan demikian, diperoleh hasil berikut.

Dalam interval x < - 1 x2 – 2x – 3 > 0 (+)

-1 < x < 3 x2 – 2x – 3 < 0 (-)

x > 3 x2 – 2x -3 > 0 (+)

Jadi penyelesaian dari pertidaksamaan –x2 > - 2x – 3 atau ekuivalen dengan x2 –

2x – 3 < 0 adalah HP={x| -1 < x < 3}. (ingat, tanda lingkaran penuh ()

Bagaimana jika Anda diminta untuk menyelesaikan –x2 < -2x – 3 atau ekuivalen

dengan x2 – 2x – 3 > 0? Maka jawabannya adalah:


Dari garis diatas diperoleh penyelesaiannya, yaitu x < -1 atau x > 3.

Contoh 2 Pertidaksamaan kuadrat (satu titik kritis)

Selesaikan x2 – 2x > -1

Jawab:

Pertama ubah dahulu pertidaksamaan kuadrat ke bentuk bakunya (ruas kanan

dibuat menjadi nol).

x2 – 2x > -1

x2 – 2x + 1 > 0 … (*)

Pertidaksamaan (*) adalah pertidaksamaan yang ekuivalen dengan

pertidaksamaan semula. x2 – 2x > -1. Pertidaksamaan (*) inilah yang akan

diselesaikan. Adapun titik-titik kritisnya sebagai berikut.

x2 – 2x + 1 = 0

(x – 1) (- 1 ) = 0

x – 1 = 0

x = 1

atau

x – 1 =0

x = 1

Oleh karena itu titik kritisnya hanya satu,yaitu x = 1, garis bilangan terbagi

atas dua interval.

Oleh karena itu, titik-titik kritis digambar dengan tanda (lingkaran penuh).

-1 0 1 2 3

( + ) ( +)

Ambil titik uji x = 0 dalam interval x < 1, dan titik uji x = 2 dalam interval x > 1.

x = 0 x2 – 2x + 1 = 0 – 2 (0) + 1 = 1 > 0 (+)

x = 2 x2 – 2x + 1 = (2)2 – 2(2) + 1 = 1 > 0 )+)

Dengan demikian, penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 2x > -1 atau

dengan ekuivalen x2 – 2x + 1 > 0 adalah x < 1 atau x > 1 atau dapat ditulis sebagai

x R dengan x 1. Penyelesaian ini ditunjukkan dalam garis dibawah ini.

Sedangkan himpunan penyelesaiannya adalah :

HP = {x| x < 1 atau x > 1, x R}

Atau

HP = {x| x R dan x 1}


Bagaimana jika Anda diminta untuk menyelesaikan pertidaksamaan x2 –

2x > -1 atau ekuivalen dengan x2 – 2x + 1 > 0? Penyelesaiannya adalah x < 1 atau

x > 1 atau dapat ditulis sebagai : x R. Himpunan penyelesaiannya adalah

HP = { x | x < 1 atau x > 1, x R }

Atau

HP = { x | x R }

Bagaimana jika anda diminta menyelesaikan pertidaksamaan x2 – 2x < - 1

atau ekuivalen dengan x2 – 2x + 1 < 0? Maka penyelesaiannya: Tidak ada satupun

nilai yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Jadi pertidaksamaan x2 – 2x

< -1 tidak memiliki peyelesaian atau himpunan penyelesainnya adalah himpunan

kusong, ditulis HP = { } atau

Contoh 3: Pertidaksamaan kuadrat (tak memiliki titik kritis)

Selesaikan x2 + x + 2 > 0

Jawab:

Pertama, tentukan nilai titik kritisnya dengan menyelesaikan x2 + x + 2 = 0.

Persamaan kuadrat ini tidak bisa difaktorkan sehingga Anda perlu

menghitung dahulu nilai diskriminannya (D). Koefisien-koefisien, PK x2 + x

+ 2 = 0 dalah a = 1 ; b = 1 ; c = 2.

D = b2 – 4ac

= (1)2 – 4 (1) (2) = -7 < 0

Oleh karena D < 0, jelas pertidaksamaan tidak memiliki titik kritis yang real.

Akibatnya, penyelesaian dalam kasus ini tidak membagi garis bilangan menjadi

beberapa bagian. Dengan demikian, x2 + x + 2 akan memiliki tanda yang sama

sepanjang keseluruhan garis bilangan dan tidak bergantung pada nilai titik uji yang

Anda pilih. Oleh karena salah satu titik uji x = 0 memberikan x2 + x + 2 = 02 + 0 + 2

> 0, setiap bilangan real adalah penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan

(x2 + x + 2 > 0).

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + x + 2 > 0 adalah

HP = { x | x

Adapun pertidaksamaan x2 + x + 2 < 0 tidak memliki penyelesaiannya atau HP = { }.


SOAL-SOAL LATIHAN

1. Carilah harga-harga x yang memenuhi pertidaksamaan linier berikut ini:

a). 4 x + 5 > 2 x + 9 b). – 3 x + 7 < 6 x - 8

c). x/2 - 1/3 < 2x/3 + ½ d). 2/x + 3 > -7, x ≠ 0

2. Carilah harga-harga x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat berikut ini:

a). x2 – 7x + 12 < 0 b). 2x2 – 5x - 3 < 0

c). x2 – 5 x - 24 > 0 d). 2x2 + 5x - 3 > 0

3. Carilah harga-harga x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat berikut ini:

a). x2 – 6x + 9 < 0 HP={ } b). 2x2 – 5x - 4 < 0

c). x2 – 6x + 9 > 0 d). 2x2 + 5x - 4 > 0

4. Carilah harga-harga x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini:

a). 3 x2 - 2 x < 1 b). 3 x + 1/x > 7/2

c). 8/x > x/2, d). 6/x > 5 + x/2 ,


a). 2 x2 - 3 x < -10 b). (3 x -2)/x < x,

c). (x2 – 25)/(x2 - 3x – 10) < 0 d). 2x2 + 11x + 5 > 0


a). 3x2 + 4x + 5 < 0 b). (x2 – 6x + 3)/x2 > 0

c). (x2 – 5x + 6)/(x2 - 3x + 2) < 0 d). 2x2 + 4x + 5 < 0


MODUL 04 PertdksmLinier_n_KuadratOK

Documents

Transcript of MODUL 04 PertdksmLinier_n_KuadratOK