MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASI …digilib.unila.ac.id/25224/2/SKRIPSI TANPA BAB...

MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASIIKAN LELE TERNAK

(Skripsi)

Oleh:

Sanfernando Napitu

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG

2017

ABSTRAK


Oleh

SANFERNANDO NAPITU

Mengetahui populasi jumlah panen ikan lele ternak menjadi penting karena

dengan diketahuinya hal tersebut dapat membantu peternak ikan dalam hal

memperkirakan hasil panen. Pada penelitian ini membahas jumlah populasi ikan

lele ternak dengan menggunakan model Verhulst. Perhitungan dilakukan dengan

melakukan variasi interval pengambilan data dengan tujuan mencari aproksimasi

yang terbaik yakni dilihat dari galat yang dihasilkan. Galat tersebut diperoleh

menggunakan perhitungan Mean Absolute Percentage Error (MAPE). Interval

yang memiliki galat terkecil dapat digunakan untuk melakukan perhitungan

populasi ikan lele ternak.

Kata Kunci: Model Verhulst, dinamika populasi, ikan lele ternak, Mean

Absolute Percentage Error (MAPE).

ABSTRACT

VERHULST MODEL ON GROWTH POPULATION OFCATTLE CATFISH

By

SANFERNANDO NAPITU

To know the number of population of cattle catfish is important because this

matter assists the breeder to predict the result of the fish. In this research focuses

on calculating the population of the cattle catfish by using Verhulst model. The

calculation is done by creating variety of data to know the best approximation by

seeing the error value. The error value is produced by calculating Mean Absolute

Percentage Error (MAPE). The interval which has the smallest error value is used

to calculate the population of cattle catfish.

Keywords: Verhulst model, dynamic population, cattle catfish, Mean Absolute

Percentage Error (MAPE).


Oleh

Sanfernando Napitu

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh GelarSARJANA SAINS

Pada

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2017

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Sanfernando Napitu, anak pertama dari tiga bersaudara

yang dilahirkan di Sidamanaik pada tanggal 01 Desember 1995 oleh pasangan

Bapak Pordinan Napitu, S.H. dan Ibu Santun Siahaan.

Penulis menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Tunas Mekar

Sidamanik pada tahun 2000 – 2001, Sekolah Dasar Negeri (SDN) 5

Sarimatondang pada tahun 2001 – 2007, Sekolah Menengah Pertama Negeri

(SMPN) 1 Sidamanik pada tahun 2007 – 2010, dan Sekolah Menengah Atas

(SMA) Budi Mulia Pematang Siantar pada tahun 2010 – 2013.

Pada tahun 2013 penulis terdaftar sebagai mahasiswa S1 Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN).

Pengalaman organisasi penulis yaitu pada tahun 2014 - 2015 penulis menjadi

anggota bidang keilmuan dan pada tahun 2015-2016 penulis menjadi anggota

bidang eksternal Himpunan Mahasiswa Matematika Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung.

Pada tahun 2016 penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa

Tempuran, Kecamatan Trimurjo, Kabupaten Lampung tengah, Provinsi Lampung

serta Kerja Praktik (KP) di CV. Zona Multimedia Bandar Lampung.

PERSEMBAHAN

Dalam perlindungan Tuhan Yang Maha Esakupersembahkan karya kecil dan sederhana untuk :

Bapak dan Mamak yang membesarkan, memberi semangat,mendoakan, serta memotivasi

Adek Josua dan Bryan serta semua keluarga besar yangmendukung dan memotivasi penulis dalam suka dan duka

Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa danselalu memotivasi penulis

Para dosen dan staff Jurusan Matematika FMIPA Unilamemberikan ilmu bermanfaat kepada penulis

Yang terkasih Dea Elizabet Sirait yang selalu memotivasi,mendukung dan memberi semangat kepada penulis.

Para sahabat yang terkasih, terima kasih atas kebersamaan,suka duka serta doa dan semangat yang diberikan

Para rekan kerja Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPAUniversitas Lampung

Almamater Universitas Lampung

KATA INSPIRASI

“Dia memberi kekuatan kepada yang lelah dan menambah semangat kepada yang tiada berdaya.”(Yesaya 40:29)

“Ada tiga cara untuk mendapatkan kebijaksanaan. Pertama adalah refleksi, yangmerupakan cara tertinggi. Kedua adalah pembatasan, yang merupakan cara termudah.

Ketiga adalah pengalaman, yang merupakan cara terpahit”Confucius (Kong Hu Chu)

“Bila seorang anak menggendong ayahnya di pundak kiri danibunya di pundak kanan selama seratus tahun, maka anak

tersebut belum cukup membahas jasa kebaikan yang mendalamdari orang tuanya.”

(Anguttara Nikaya Bab IV ayat 2)

“Melalui pengabdian kita memperoleh kesucian; dengan kesucian kitamemperoleh kemuliaan. Dengan kemuliaan kita mendapat kehormatan dan

dengan kehormatan kira peroleh kebenaran.”(Yayurveda XIX. 30)

“Apa saja di antara rahmat Allah yang dianugerahkan kepada manusia,maka tidak ada yang dapat menahannya; dan apa saja yang ditahan-Nyamaka tidak ada yang sanggup untuk melepaskannya setelah itu. Dan

Dialah Yang Mahaperkasa, Mahabijaksana.”(QS. Fatir : 2)

“Sayangilah setiap cobaan yang dapat membuat Anda berhasil. Hargailahsetiap pandangan dan kritikan dari setiap orang dan juga belajarlah untuk

menerima nasehat dari orang lain dengan hati yang gembira.”(Wejangan Para Suci 4 : 206)

SANWACANA

Penulis memanjatkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia

serta rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

“Model Verhulst Pada Pertumbuhan Populasi Ikan Lele Ternak”. Skripsi ini

disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung.

Selesainya penulisan skripsi ini adalah berkat motivasi, pengarahan serta

bimbingan dari berbagai pihak. Dengan segala kerendahan dan ketulusan hati

penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, terima kasih

untuk bimbingan, arahan, nasehat, motivasi dan kesediaan waktu selama

penyusunan skripsi ini.

2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku dosen Pembimbing II, terima kasih atas

bantuan, kritik dan saran selama penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Penguji Utama, terima kasih

atas kesediaan untuk menguji, saran dan kritik yang membangun dalam

penyelesaian skripsi ini.

4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Pembimbing Akademik, terima

kasih atas bimbingan dan pembelajaran dalam proses perkuliahan.

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas

Lampung.

7. Seluruh Dosen dan Staff Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

8. Bapak, Mamak, adek Josua dan Bryan tercinta yang tak pernah berhenti

memberi semangat, doa, dorongan, nasehat, kasih sayang serta pengorbanan

tak terhingga kepada penulis untuk melalui segala ujian yang dijalani.

9. Kekasih tercinta Dea Elizabet Sirait, terimakasih untuk semua kasih sayang

dan kesetiaan dalam menemani penulis baik dalam suka maupun duka.

10. Sahabat-sahabat Matematika 2013 di antaranya Jefery Handoko, Karina S.D.,

M. Irfan K., Siti N.A., Artha Kurnia Alam, Abdul Haris Siregar serta rekan-

rekan seperjuangan, terima kasih atas dukungan, dan kebersamaan selama ini.

11. Teman seperjuaangan “SAMPAH KONTRAKAN” diantaranya Young,

Wahid, Naufal, Rio, Fajar, Musa, Afredi, Ayub, Julian, Artha, dan Alfan.

12. Almamater tercinta Universitas Lampung.

13. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan semuanya.

Bandar Lampung, Januari 2017Penulis

Sanfernando Napitu

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL .......................................................................................... i

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ........................................................ 1

1.2 Batasan masalah............................................................................ 4

1.3 Tujuan Penelitian .......................................................................... 5

1.4 Manfaat Penelitian ........................................................................ 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Ikan Lele Dumbo (Clarias gariepinus) ........................................ 6

2.2 Pemodelan Matematika ................................................................ 8

2.3 Persamaan Diferensial .................................................................. 11

2.3.1 Persamaan Diferensial Biasa ........................................... 14

2.3.2 Persamaan Diferensial Parsial ......................................... 15

2.4 Model Pertumbuhan Populasi....................................................... 16

2.4.1 Model Eksponensial ........................................................ 16

2.4.2 Model Logistik ................................................................ 20

2.5 Solusi Eksplisit Model Verhulst ................................................... 22

2.6 Laju Pertumbuhan dan Carrying Capacity................................... 25

2.7 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)................................... 28

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian....................................................... 29

3.2 Data Penelitian.............................................................................. 29

3.3 Metode Penelitian ......................................................................... 31

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penurunan Rumus Jumlah Populasi (N), Laju Pertumbuhan (a),

dan Daya Tampung Populasi atau Carrying Capacity .......... 33

4.2 Pengaproksimasian Sampel Data dengan Interval Panen

yang Berbeda ................................................................................ 38

4.2.1 Aproksimasi Interval Sampel Data 1 Kali Panen ............ 42









4.2.10 Aproksimasi Interval Sampel Data 10 Kali Panen .......... 51

4.2.11 Aproksimasi Interval Sampel Data 11 Kali Panen .......... 52

4.3 Penghitungan Prediksi Jumlah Populasi (N), Laju Pertumbuhan (a),

dan Daya Tampung Populasi atau Carrying Capacity dengan

Menggunakan Model Verhulst .................................................... 53

BAB V KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Data Hasil Panen Lele Ternak .................................................................. 29

2. Data Hasil Panen Lele Ternak .................................................................. 39

3. Hasil Panen Sebenarnya dan Prediksi Hasil Panen Menggunakan

Model Verhulst ......................................................................................... 55

4. Hasil Panen Sebenarnya dan Prediksi Hasil Panen Menggunakan

Model Verhulst ......................................................................................... 59

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1 Grafik Pertumbuhan Eksponensial grafik untuk a>0 ................................ 18

2.2 Grafik Pertumbuhan Eksponensial grafik untuk a<0 ................................ 19

2.3 Grafik Pertumbuhan Logistik Berdasarkan Solusi Model Verhulst ......... 23

2.4 Grafik Pertumbuhan Logistik dengan Nilai Awal diatas

Carrying Capacity..................................................................................... 24

2.5 Grafik Pertumbuhan Logistik dimana a<0................................................ 24

4.1 Grafik Hasil Panen Lele Ternak Pada Panen Pertama Sampai

Panen Ke-24 .............................................................................................. 40

4.2 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst

Untuk Interval Pengambilan Sampel 1 kali Panen.................................... 42










Untuk Interval Pengambilan Sampel 6 kali Panen.................................. 47








Untuk Interval Pengambilan Sampel 10 kali Panen................................ 51


Untuk Interval Pengambilan Sampel 11 kali Panen................................ 52

4.13 Prediksi Hasil Panen Dengan Menggunakan Model Verhulst ................ 57

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Ilmu matematika merupakan salah satu ilmu yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan atau persoalan matematika. Berbagai pola ilmu

matematika mempelajari dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang

kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Manusia tidak

lepas dari berbagai macam permasalahan dalam kehidupan di dunia. Permasalahan –

permasalahan tersebut menyangkut berbagai aspek, dimana dalam penyelesaiannya

diperlukan sebuah pemahaman melalui suatu metode dan ilmu bantu tertentu.

Matematika terapan merupakan cabang ilmu matematika yang melingkupi penerapan

pengetahuan ke bidang-bidang lain. Matematika terapan mengilhami dan membuat

penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan terkadang pada perkembangannya

dapat mengarah pada pengembangan disiplin ilmu lainnya.

Salah satu contohnya adalah persamaan differensial baik biasa maupun parsial.

Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memiliki variable terikat dan

variable bebas beserta turunannya.

2

Berikut contoh persamaan differensial :

1. = + sin( )2. 3 dx + 2ydy = 0

3. + 5 = 6Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 berderajat 1.

Tingkat persamaan diferensial dapat di lihat dari turunan tertinggi dari persamaan

tersebut.

Misalkan y = A sin x +B cos x, dengan A dan B konstanta sebarang.

Jika diferensialkan kita peroleh :

= − , = − −Yang tepat sama dengan semula kecuali tandanya berlawanan yaitu :

= −Jadi :

+ = 0Ini adalah persamaan orde dua.

Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan dengan n variabel. Dengan

demikian perbedaan persamaan diferensial biasa dengan persamaan diferensial parsial

terletak pada peubah bebasnya contoh :

1) + = x2 + y

3

( z peubah tak bebas, x dan y peubah bebas dan persamaan diferensial parsial.)

2) + = 0( u peubah tak bebas, s dan t peubah bebas dan persamaan diferensial parsial.)

Jika terdapat peubah bebas yang tunggal (single independent variable),

persamaannya di sebut persamaan differensial biasa (ordinay differential equation).

Apabila terdapat dua atau lebih peubah bebas, persamaannya di sebut persamaan

diferensial parsial (partial differential equation).

Salah satu model matematika untuk pertumbuhan populasi adalah model logistik

pertumbuhan populasi (model Verhults). Model ini memasukkan batas untuk

populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak

terhingga. Laju pertumbuhan populasi akan terbatas akan ketersediaan makanan,

Kondisi tempat peternakan, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut,

jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu.

Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan

(equilibrium). Pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. Laju

pertumbuhan, yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi

diasumsikan positif, karena mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk

berkembang biak.

4

Pada skripsi ini penulis akan membahas laju pertumbuhan populasi ikan lele ternak

menggunakan model Verhulst. Ikan lele merupakan salah satu jenis ikan air tawar

yang sudah dibudidayakan secara menyeluruh dan komersial oleh masyarakat

Indonesia. Ikan lele dapat hidup dalam kepadatan tebar tinggi dan rasio terhadap

pertumbuhan yang baik. Budidaya ikan lele memang sangat unik dan banyak orang

yang tertarik mencobanya. Salah satu persoalan paling penting dalam budidaya ikan

lele adalah proyeksi populasi ikan tersebut. Ukuran dan pertumbuhan populasi ikan

secara langsung mempengaruhi keuntungan yang akan diperoleh nantinya. Dengan

dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap panen ikan dapat

dilakukan berdasar data panen ikan yang sudah ada.

Berdasarkan dari latar belakang masalah yang telah diuaraikan tersebut, penulis

tertarik untuk melakukan penelitian tentang ”Model Verhulst Pada Pertumbuhan

Populasi Ikan Lele Ternak.”

1.2 Batasan Masalah

Batasan masalah pada penelitian ini adalah lebih ditekankan pada menghitung laju

pertumbuhan populasi ikan lele ternak dengan menggunakan fungsi logistik atau

model Verhulst dengan memanfaatkan data panen ikan yang sudah ada sebelumnya.

5

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian tugas akhir ini adalah

1. Menghitung laju pertumbuhan dari suatu populasi ikan lele ternak menggunakan

model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults).

2. Memprediksi jumlah populasi ikan lele ternak untuk panen berikutnya.

3. Membandingkan hasil panen yang sebenarnya dengan hasil prediksi populasi ikan

lele ternak yang diperoleh dengan menggunakan model logistik pertumbuhan

populasi (model Verhults).

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah

1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan ilmu

yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

2. Upaya untuk mempelajari lebih dalam lagi tentang penerapan model verhulst pada

pertumbuhan populasi ikan lele ternak.

3. Menambah wawasan tentang model logistik pertumbuhan populasi (model

Verhults).

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Ikan Lele Dumbo (Clarias gariepinus)

Ikan Lele memiliki kandungan gizi yang penting bagi tubuh kita, sehingga

dapat dijadikan sebagai sumber pangan dan sebagai komoditi rumah tangga

dalam meningkatkan perekonomian keluarga. Ikan lele kemudian

dibudidayakan oleh manusia. Melihat kandungan gizi yang terdapat didalam

ikan lele, maka peminat ikan lele pun sangat banyak. Hampir semua lapisan

masyarakat dapat merasakan nikmatnya ikan lele sebagai pelengkap hidangan

(Saparinto, 2013).

Ikan lele terdapat di perairan umum, seperti sungai, rawa, waduk, dan

genangan air lainnya. Tubuh lele berbentuk gilig memanjang, kepala gepeng,

dan meruncing. Di dekat mulutnya ditumbuhi empat pasang kumis yang kaku

memanjang. Kulit tubuh lele licin tidak bersisik dan berwarna kehitaman. Lele

dapat hidup di daerah hingga ketinggian >1.000 m dpl egn –uu2 ,0–8, H dan

kandungan oksigen 3 ppm. Lele dapat hidup di perairan kotor dan lumpur

karena memiliki alat bantu pernapasan yang terletak di atas rongga insang

(arborescent atau labyrinth) sehingga mampu mengambil oksigen langsung dari

udara (Fauzi, 2013).

7

Di Indonesia dikenal banyak jenis lele, di antaranya lele lokal, lele dumbo,

lele phiton dan lele babon (lele Kalimantan). Namun, yang dibudidayakan

hanya lele lokal (Clarias batrachus) dan lele dumbo (Clarias gaeriepinus).

Jenis yang kedua lebih banyak dikembangkan karena pertumbuhannya lebih

cepat dan ukurannya lebih besar daripada lele lokal.

Lele dumbo pertama kali didatangkan ke Indonesia tahun 1986. Ikan lele

dumbo merupakan salah satu komoditas unggulan, sangat populer, serta

memiliki pasar yang baik. Kandungan telur lele dumbo bisa mencapai 30.000-

40.000 butir per kg induk betina, dibandingkan induk lokal yang hanya 1.000-

4.000 butir per kg induk. Beberapa kelebihan lainnya yaitu pertumbuhan lebih

celat, dapat mencapai ukuran yang lebih besar, serta pemeliharaan dan

pemberian pakan lebih mudah. Pada tahun 2009 jumlah produksi ikan lele

dumbo di Indonesia mencapai 175.000 ton. Sementara kebutuhan benih lele di

akhir tahun 2009 mencapai 1,95 miliar ekor. Usaha pembesaran ikan lele adalah

kegiatan pemeliharaan ikan dari ukuran benih untuk dibesarkan menjadi ukuran

konsumsi. Ukuran yang dikehendaki yaitu 8 –12 ekor/kg. Usaha pembesaran

secara intensif dilakukan dengan teknik yang modern dan memerlukan masukan

(input) biaya yang besar. Ciri khas teknik budidaya ikan lele secara intensif

yaitu padat penebaran benih sangat tinggi, yaitu 200 –400 ekor/m2.

Pakan sepenuhnya tergantung dari buatan pabrik (pelet). Biaya untuk pakan

sangat tinggi karena untuk menghasilkan 450 kg lele, diperlukan pakan pelet

450 kg dengan harga pakan Rp. 5.300/kg pada Januari 2008. Ciri lain usaha

pembesaran secara intensif adalah dilakukan pergantian air. Tujuannya agar air

8

tetap bersih dan tidak kotor oleh sisa-sisa pakan dan kotoran lele dumbo

(Mahyuddin, 2008).

Habitat atau tempat hidup lele dumbo adalah air tawar. Air yang baik untuk

pertumbuhan lele dumbo adalah air sungai, air sumur, air tanah, dan mata air.

Namun, lele dumbo juga dapat hidup dalam kondisi air yang kurang baik

seperti di dalam lumpur atau air yang memiiliki kadar oksigen rendah. Hal

tersebut sangat dimungkinkan karena lele dumbo memiliki insang tambahan

yaitu arborescent yang terletak di bagian atas lengkung insang kedua dan ketiga

terdapat kantung insang tambahan yang berbentuk seperti pohon, karenanya

dinamakan arborescent organ. Organ ini dipergunakan untuk pernafasan udara

sehingga memungkinkan lele dumbo untuk mengambil napas langsung dari

udara dan dapat hidup di tempat beroksigen rendah. Alat ini juga

memungkinkan lele dumbo untuk hidup di darat, asalkan udara di sekitarnya

memiliki kelembapan yang tinggi (Bachtiar, 2006).

2.2. Pemodelan Matematika

Pemodelan matematika adalah penyusunan suatu deskripsi dari beberapa

perilaku dunia nyata (fenomena alam) ke dalam bagian matematika yang disebut

dunia matematika (Giordano dan Weir, 2002). Pemodelan matematika

merupakan proses dalam menurunkan model matematika dari suatu fenomena

berdasarkan asumsi-asumsi yang digunakan. Proses ini merupakan langkah

awal yang tak terpisahkan dalam menerapkan matematika untuk mempelajari

fenomena-fenomena alam, ekonomi, sosial maupun fenomena-fenomena

9

lainnya. Secara umum dalam menerapkan matematika untuk mempelajari suatu

fenomena meliputi 3 langkah, yaitu :

1. Pemodelan matematika suatu fenomena, perumusan masalah. Langkah ini

untuk menterjemahkan data maupun informasi yang diperoleh tentang suatu

fenomena dari masalah nyata menjadi model matematika. Data maupun

informasi tentang suatu fenomena dapat diperoleh melalui eksperimen di

laboratorium, pengamatan di industri ataupun dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam model matematika, suatu fenomena dapat dipelajari secara lebih

terukur (kuantitatif) dalam bentuk (sistem) persamaan/pertidaksamaan

matematika maupun ekspresi matematika. Namun demikian karena

asumsi-asumsi yang digunakan dalam prosesnya, model matematika juga

mempunyai kelemahan-kelemahan dibandingkan dengan fenomena

sebenarnya, yaitu keterbatasan dalam generalisasi interpretasinya.

2. Pencarian solusi/kesimpulan matematika. Setelah model matematika

diperoleh, solusi atas model tersebut dicari dengan menggunakan metode-

metode matematika yang sesuai. Ada kalanya belum terdapat metode

matematika pencarian solusi yang sesuai dengan permasalahan yang

dihadapi. Hal ini sering menjadi motivasi para ahli matematika terapan

untuk menciptakan metode matematika baru. Solusi matematika ini sering

dinyatakan dalam fungsi-fungsi matematika, angka-angka maupun grafik.

3. Interpretasi solusi/kesimpulan matematika pada fenomena yang dipelajari.

Dalam matematika terapan, solusi yang berupa fungsi, angka-angka

maupun grafik tidak berarti banyak apabila solusi tersebut tidak

menjelaskan permasalahan awalnya. Oleh karena itu, interpretasi solusi

10

penting untuk mengerti arti dan implikasi solusi tersebut terhadap fenomena

awal dari mana masalahnya berasal (Cahyono, 2013).

Model adalah representasi penyederhanaan dari sebuah realita yang kompleks

(biasanya bertujuan untuk memahami realita tersebut) dan mempunyai feature

yang sama dengan tiruannya dalam melakukan task atau menyelesaikan

permasalahan. Model adalah karakteristik umum yang mewakili sekelompok

bentuk yang ada, atau representasi suatu masalah dalam bentuk yang lebih

sederhana dan mudah dikerjakan. Dalam matematika, teori model adalah ilmu

yang menyajikan konsep-konsep matematis melalui konsep himpunan, atau ilmu

tentang model-model yang mendukung suatu sistem matematis. Teori model

diawali dengan asumsi keberadaan obyek-obyek matematika (misalnya

keberadaan semua bilangan) dan kemudian mencari dan menganalisis

keberadaan operasi-operasi, relasi-relasi, atau aksioma-aksioma yang melekat

pada masing-masing obyek atau pada obyek-obyek tersebut. Indenpensi dua

hukum matematis yang lebih dikenal dengan nama axiom of choice, dan

contnuum hypothesis dari aksioma-aksioma teori himpunan (dibuktikan oleh

Paul Cohen dan Kurt Godel) adalah dua hasil terkenal yang diperoleh dari teori

model.

Telah dibuktikan bahwa axiom of choice dan negasinya konsisten dengan

aksioma-aksioma Zermelo- Fraenkel dalam teori himpunan dan hasil yang sama

juga dipenuhi oleh contnuum hypothesis. Model matematika yang diperoleh

dari suatu masalah matematika yangdiberikan, selanjutnya diselesaikan dengan

aturan-aturan yang ada. Penyelesaian yang diperoleh, perlu diuji untuk

11

mengetahui apakah penyelesaian tersebut valid atau tidak. Hasil yang valid

akan menjawab secara tepat model matematikanya dan disebut solusi

matematika. Jika penyelesaian tidak valid atau tidak memenuhi model

matematika maka solusi masalah belum ditemukan, dan perlu dilakukan

pemecahan ulang atas model matematikanya (Frederich H. Bell, 1978).

2.3 Persamaan Diferensial

Banyak hukum-hukum alam yang mendasari perubahan-perubahan di alam ini

dinyatakan dalam bentuk persamaan yang memuat laju perubahan dari suatu

kuantitas, yang tak lain adalah berupa persamaan diferensial. Persaman

diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau beberapa turunan

dari suatu fungsi, dengan satu atau lebih peubah yang tak diketahui. Jika fungsi

yang tidak diketahui itu hanya bergantung pada satu peubah saja, maka

persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa.

Sedangkan jika fungsinya bergantung pada dua atau lebih peubah, maka

persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial parsial.

Orde dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai orde turunan tertinggi

yang terkandung pada persamaan tersebut. Persamaan diferensial orde pertama

hanya mengandung ′. bentuk umum dari persamaan diferensial pertama

dapatdituliskan sebagai ( , , ′) = 0, atau biasa di tulis ′= ( , ). Arti fisis

diferensial adalah, laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain.

Banyak kegunaan praktis persamaan diferensial biasa dapat diturunkan kedalam

bentuk :

12

( ) ′=( ) (2.1)

dengan manipulasi aljabar murni maka dapat diintegralkan kedua sisi terhadap

, diperoleh :

∫ (y)y′ = ∫ ( ) + (2.2)

Dikiri dapat dapat diubah kepada sebagai variabel dari pengintegralan.

Dengan kalkulus, ′ = , maka

∫ ( ) = ∫ f ( ) + (2.3)

Jika dan adalah fungsi kontinu, integral di (2.3) ada, dan dengan

mengevaluasinya diperoleh solusi umum dari (2.1). Metode penyelesaian

persamaan direfensial biasa ini disebut metode variabel terpisah , dan (2.1)

disebut persamaan terpisah, karena di (2.3) variabel sekarang terpisah : hanya

muncul dikanan dan hanya dikiri.

Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi.

Bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara

kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya

(dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya

pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan

kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui

hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak

terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial

13

posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini

dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.

Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan diferensial

adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan

memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah

tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena

gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan

pemecahan sebuah persamaan diferensial.

Persamaan diferensial dikatakan linier, Jika fungsi F linier terhadap y,y2,…,y(n),

namun fungsi F terhadap variable x tak perlu limier. Jika y = f(x) memenuhi

persamaan diferensial maka f(x) dikatakan solusi dari persamaan diferensial

tersebut.solusi umum suatu persamaan diferensial adalah bentuk umum solusi

persamaan diferensial tersebut suatu solusi umum bisa menjadi solusi khusus

dengan adanya informasi/ syarat tambahan disebut sarat awal / syarat batas.

Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial :

1. = + sin( )2. 3 dx + 2ydy = 0

3. y’ + xy = 3

4. y’’ – 5y’ + 6y = cos x

(Kartono, 1994).

14

2.3.1 Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan meliputi derivatif biasa dari

unknown function. Di dalam persamaan diferensial biasa, unknown function

bergantung pada satu variabel bebas Solusi umum dari persamaan diferensial

biasa memuat satu konstanta sembarang. Solusi umum dapat diinterpretasikan

secara geometri dengan bidang ruang berdimensi dua, yaitu memiliki nilai yang

berbeda dari sembarang konstanta. Keunikan solusi memuat nilai awal 0y y

ketika 0x x .

Contoh :

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut.

(tan ) sindy

x y xdx

Penyelesaian:

Persamaan diferensial linear orde 1 dengan

( ) tana x x dan ( ) sinb x x

Keduanya kontinu pada interval 0,2

. Kalikan kedua sisi dengan

tan ln cos 1

cos

xdx xe ex

maka didapat :

'1 sin

cos cos

xy

x x

15

Integralkan kedua ruas, maka didapat :

1ln cos

cosy c x

x

Membagi kedua sisi dengan1

cos x(mengalikan kedua sisi dengan cos x ), maka

solusi adalah

( ) cos ln cosy x x c x , 02

x

(Finizio dan Ladas, 1982).

2.3.2 Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan meliputi derivatif parsial

dari unknown function. Di dalam persamaan diferensial parsial, unknown

function bergantung pada dua aau lebih variabel bebas Misal variabel bebas x

dan variabel tak bebas y serta unknown function adalah u . Secara geometri

solusi umum persamaan digambarkan sebagai bidang ruang berdimensi tiga.

Kondisi yang tidak sederhana membuat bidang kurva tidak spesifik.

Contoh :

Tentukan solusi ( , )u u x y dari persamaan diferensial parsial

xu x y

Penyelesaian:

Dengan mengintegralkan persamaan diferensial parsial terhadap x, dengan

variable y konstan, maka diperoleh

21

2u x xy c

16

Untuk menunjukkan nilai u , maka substitusikan persamaan di u ke persamaan

diketahui. Walaupun c bukan konstanta tetapi fungsi dari variabel y , seperti

( )f y , maka u dengan c diganti dengan ( )f y , merupkan solusi persamaan

diferensial parsial dengan( )

0f y

x

. Solusi umum dari persamaan diferensial

parsial ini adalah

21( )

2u x xy f y

dimana f adalah fungsi sebarang terhadap y (Finizio dan Ladas, 1982).

2.4 Model Pertumbuhan Populasi

Kedua kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu angka

kelahiran dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk memprediksi

bagaimana ukuran populasi akan berubah menurut waktu.

2.4.1 Model Eksponensial

Model eksponensial merupakan model pertumbuhan yang sangat sederhana.

Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu populasi ideal

dalam lingkungan yang tidak terbatas. Pada model ini individu berkembang

tidak dibatasi oleh lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan akan suplai

makanan. Laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran,

kematian dan migrasi diketahui.

17

Mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan populasi terhadap waktu berbanding

lurus dengan jumlah populasi yang ada. Misalkan ( ) menyatakan jumlah

populasi pada saat dan diketahui bahwa jumlah populasi saat = 0= 0 adalah

0 , maka model matematikanya dapat dituliskan :

= aN ; dimana konstan (2.4)

Berikut ini adalah solusi jumlah populasi pada saat atau ( ) berdasarkan

(2.4) :

=ln = +

( )= +

( )= .

( )= 1

Karena N(t0) = 0= 1(0)= 1 , maka :

( ) = 0( − ) (2.5)

dimana daya tumbuh suatu populasi (intrinsic growth rate) / perbedaan antara

angka kelahiran dan kematian per kapita ( = angka kelahiran tahunan perkapita

– angka kematian tahunan per kapita) / laju pertumbuhan populasi per kapita.

Persamaan (2.5) dikenal sebagai Model Eksponensial pertumbuhan populasi /

Model pertumbuhan populasi Malthus.

Dari (2.5) dapat diperoleh :

18

( − ) =( )

Ln ( − ) = Ln( )

= ( ) Ln( )

(2.6)

Jika solusi (2.5) ditampilkan dalam bentuk grafik, maka didapatkan dua grafik

berikut :

Gambar.2.1Grafik Pertumbuhan Eksponensial

Grafik untuk a > 0

19

Gambar.2.2Grafik Pertumbuhan Eksponensial

Grafik untuk a < 0

Dari Gambar.2.1 jelas bahwa untuk >0 diperoleh lim →∞ ( ) = ∞. Jika hasil ini

dikaitkan dengan jumlah suatu populasi, maka akan menimbulkan pertanyaan

apakah suatu populasi dapat berkembang sampai pada jumlah tak-hingga?

Gambar.2.2, untuk <0 akan didapatkan lim →∞ ( ) = 0, yang mana jika

dikaitkan dengan jumlah populasi nampaknya hasil ini cukup logis. Suatu

populasi akan mendekati kepunahan (akan habis) jika laju pertumbuhannya

negatif.

Model ini memprediksi bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat

populasi tersebut tumbuh (Banks, 1994).

20

2.4.2 Model Logistik

Model ini merupakan penyempurnaan dari model eksponensial dan pertama kali

diperkenalkan oleh Pierre Verhulst pada tahun 1838. Model pertumbuhan

eksponensial mengasumsikan sumberdaya yang tidak terbatas, model ini

merupakan kasus yang tidak pernah ditemukan di dunia nyata ini. Karena setiap

populasi tumbuh dan tumbuh sehingga jumlahnya semakin besar, peningkatan

kepadatan populasi bisa mempengaruhi kemampuan individu untuk mengambil

sumberdaya yang mencukupi untuk pemeliharaan, pertumbuhan, dan

reproduksi. Populasi hidup dari jumlah sumberdaya yang terbatas, dan ketika

populasi menjadi semakin padat, masing-masing individu mendapat bagian

sumberdaya yang semakin kecil. Akhirnya, terdapat suatu batas dari jumlah

individu yang dapat menempati suatu habitat.

Para ahli ekologi mendefinisikan daya tampung (carrying capacity) sebagai

ukuran populasi maksimum yang dapat ditampung oleh suatu lingkungan

tertentu tanpa ada pertambahan atau penurunan ukuran populasi selama periode

waktu yang relatif lama. Daya tampung yang disimbolkan dengan adalah ciri

lingkungan, dengan demikian daya tampung bervariasi terhadap waktu dan

ruang dengan keberlimpahan sumberdaya yang terbatas.

Kepadatan dan keterbatasan sumberdaya dapat mempunyai dampak yang besar

pada laju pertumbuhan populasi. Jika individu tidak mendapatkan sumberdaya

yang mencukupi untuk bereproduksi, angka kelahiran per kapita akan menurun.

Jika mereka tidak memperoleh cukup energi untuk mempertahankan diri mereka

sendiri, angka kematian per kapita akan meningkat. Suatu penurunan dalam

21

angka kelahiran tahunan per kapita atau suatu peningkatan dalam angka

kematian tahunan per kapita akan mengakibatkan laju pertumbuhan populasi

yang lebih kecil.

Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasi

dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak terhingga. Laju pertumbuhan

populasi akan terbatas akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan sumber

hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini akan

selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Pada masa tertentu jumlah populasi

akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium), pada titik ini jumlah

kelahiran dan kematian dianggap sama.

Verhulst menunjukkan bahwa pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung

pada ukuran populasi tetapi juga pada sejauh mana ukuran ini dari batas atasnya

seperti daya tampung. Dia memodifikasi model Malthus (eksponensial) untuk

membuat ukuran populasi sesuai baik untuk populasi sebelumnya dengan syarat

, dimana dan disebut koefisien vital dari populasi.

Suatu model logistik diawali dengan model pertumbuhan eksponensial dan

menciptakan suatu ekspresi yang mengurangi nilai ketika meningkat. Jika

ukuran populasi maksimum yang dapat dipertahankan adalah , maka ( − )akan memberikan petunjuk berapa banyak individu tambahan yang dapat

ditampung oleh lingkungan tersebut, dan = memberikan

petunjuk berapa fraksi yang masih tersedia untuk pertumbuhan populasi.

Persamaan yang telah dimodifikasi menggunakan syarat baru adalah :

22

= = = − (2.7)

Dengan :

a : Laju pertumbuhan intrinsik

b : Pengaruh dari peningkatan kepadatan populasi

N : Jumlah populasi

: Carrying capacity

(Bacaer, 2011).

2.5 Solusi Eksplisit Model Verhulst

Solusi eksplisit persamaan logistik Verhulst dapat diperoleh jika model

persamaan tersebut merupakan persamaan terpisah. Jadi dari persamaan (2.7)

dapat dilakukan pemisahan variabel menjadi :

∫ − = ∫ + −Diperoleh : N(t) = (2.8)

Jika persamaan dilimitkan → ∞ , didapatkan (untuk > 0) :

Nmax = lim →∞ = (2.9)

23

Ketika ukuran suatu populasi berada dibawah daya tampungnya, pertumbuhan

populasi akan berjalan cepat menurut model logistik, akan tetapi ketika

mendekati , pertumbuhan populasi akan menjadi lambat.

Untuk a>0 berlaku lim →∞ = , sehingga dapat disimpulkan bahwa grafik dari

(2.8) mempunyai asimtot mendatar N(t) =

Gambar 2.3.Grafik Pertumbuhan Logistik berdasarkan

solusi model verhulst

Dapat dilihat bahwa kurva logistik adalah S-shaped dan mempunyai titik

infleksi ketika N = . Untuk < N0 , a>0 grafik solusinya ditunjukkan oleh

gambar 2.4. Sedangkan untuk kasus a<0 didapatkan solusi yang tidak stabil,

yaitu tidak mengarah pada titik kesetimbangan tertentu.

24

Gambar 2.4.Grafik Pertumbuhan Logistik dengan nilai awal

diatas carrying capacity

Gambar 2.5.Grafik Pertumbuhan Logistik dimana a<0

25

Dari persamaan (2.8) dapat diperoleh nilat ∗ yaitu waktu ketika mencapai

setengah dari titik ekuilibriumnya, yakni dengan cara sebagai berikut :

( ) = + −=

−at =

∗ = −(Zulkarnaen, 2014).

2.6 Laju Pertumbuhan dan Carrying Capacity

Verhulst menjelaskan parameter a (laju pertumbuhan) dan (carrying capacity)

Dapat diperoleh dari jumlah populasi untuk tiga waktu yang berbeda akan tetapi

dalam rentang waktu pengambilan data sama. Jika No adalah populasi saat t = 0,

maka N1 pada saat waktu t = T dan N2 pada saat waktu t = 2, maka dari

persamaan (2.8) dapat diperoleh :

= + − ( )

= ( + − )

26

= + −= + −= ( − ) +( − ) = −

(2. 10)

Untuk t = 2, dengan cara yang sama diperoleh :

( − ) = −(2.11)

Lakukan pembagian (2.11) dengan (2.10) untuk mengeleminasi , diperoleh :

( − ) = −( − ) = −+ = −−

27

= −− − −−= ( − )( − )

Jadi tingkat pertumbuhan populasinya adalah :

= − ( − )( − )(2.12)

Subtitusikan persamaan (2.12) ke (2.10), maka :

− ( − )( − ) = − ( − )( − )( − )( − ) − ( − )( − ) = ( − ) − ( − )( − )

= ( − ) − ( − )( − )( − ) − ( − )( − )= −( − + )

Sehingga carriying capacity dapat dituliskan menjadi :

= ( − + )−(2.13)

28

Berdasarkan penjelasan Verhulst ini, laju pertumbuhan dan carriying capacity

dapat diperkirakan dengan rentang waktu pengambilan data yang diinginkan.

Dengan mensubtitusikan (2.13) ke (2.9), diperoleh :

Nmax = lim →∞ = = ( )(2.14)

Ketika ukuran suatu populasi berada dibawah daya tampungnya, pertumbuhan

populasi akan berjalan cepat menurut model logistik, akan tetapi ketika N

mendekati , pertumbuhan populasi akan menjadi lambat. Model Verhulst atau

model pertumbuhan logistik memberikan pengertian akan jumlah populasi

maksimum atau minimum sebagai titik jenuh pertumbuhannya (Zulkarnaen,

2014).

2.7 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

Persentase kesalahan absolute rata-rata memberikan petunjuk seberapa besar

kesalahan hasil persamaan dengan nilai sebenarnya. Hal ini dinyatakan sebagai

berikut:

M A P E = ∑ × 100%dengan adalah nilai yang sebenarnya dan adalah nilai dugaan (Makridakis,

1993).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu penelitian dilakukan pada semester

ganjil 2016-2017

3.2 Data Penelitian

Data yang digunakan pada penelelitian ini adalah data hasil panen lele ternak yang

diambil dari peternakan lele ibu Lusi yang beralamat di Jl. Perwira Gang Praja No. 07

Rajabasa, Bandar Lampung seperti yang tertera pada tabel berikut :

No. Periode Panen Jumlah Hasil Panen (Kg)

1. Panen ke-1 2.267 Kg




30






10. Panen ke-10 2.488 Kg

11. Panen ke-11 2.512 Kg

12. Panen ke-12 2.514 Kg

13. Panen ke-13 2.475 Kg

14. Panen ke-14 2.663 Kg

15. Panen ke-15 2.689 Kg

16. Panen ke-16 2.693 Kg

17. Panen ke-17 2.732 Kg

18. Panen ke-18 2.766 Kg

19. Panen ke-19 2.698 Kg

20. Panen ke-20 2.791 Kg

21. Panen ke-21 2.793 Kg

22. Panen ke-22 2.688 Kg

23. Panen ke-23 2.802 Kg

24. Panen ke-24 2.832 Kg

Tabel. 1Data hasil panen lele ternak

Data hasil panen lele ternak tersebut diperoleh dengan asumsi tingkat kehidupan

benih sampai panen (survival rate) = 80% , luas kolam = 200 m2, padat tebar =

150 ekor/ m2, total benih ikan yang ditebar = 30.000 ekor.

31

3.3 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian literatur yaitu buku-buku

dan jurnal online matematika sebagai penunjang berkaitan dengan persamaan logistik

pertumbuhan populasi (model Verhulst).

Dalam menyelesaikan tugas akhir ini, dilakukan dengan beberapa langkah. Langka-

langkah yang digunakan dalam menyelesaikan tugas akhir ini adalah:

1. Mengumpulkan data jumlah panen ikan yang diperoleh dari peternakan lele ibu

Lusi yang beralamat di Jl. Perwira Gang Praja No. 07 Rajabasa, Bandar

Lampung.

2. Melakukan penurunan rumus sehingga diperoleh rumus untuk melakukan

penghitungan jumlah populasi (N), laju pertumbuhan (a), dan daya tampung

populasi atau carrying capacity .

3. Mengaproksimasikan sampel data dengan interval panen yang berbeda sehingga

akan diperoleh sampel data dengan Mape (Mean Absolute Percentage Error)

yang paling kecil.

4. Melakukan penghitungan prediksi populasi ikan lele ternak dengan

menggunakan sampel data dengan Mape (Mean Absolute Percentage Error) yang

paling kecil dengan menggunakan model logistik pertumbuhan populasi (model

Verhulst).

5. Membandingkan hasil prediksi dengan hasil panen sebenarnya.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan maka diperoleh kesimpulan sebagai

berikut :

1. Laju pertumbuhan populasi atau hasil panen ikan lele ternak berdasarkan model

logistik pertumbuhan populasi atau model Verhulst diperoleh a = 0,0586 =

5,86% . Hal ini berarti laju pertumbuhan hasil panen ikan lele ternak diperkirakan

sebesar 5,86% perpanen.

2. Pada panen ke-41 berdasarkan model logistik pertumbuhan populasi atau model

Verhulst diperkirakan hasil panen ikan lele ternak adalah 3.085,47 Kg.

3. Perbandingan antara hasil panen sebenarnya dengan prediksi hasil panen

menggunakan model logistik pertumbuhan populasi atau model Verhulst disajikan

dalam tabel 4 berikut :

No. Periode Panen Hasil PanenSebenarnya (Kg)

Prediksi HasilPanen (Kg)

1. Panen ke-1 2.267 Kg 2.267 Kg

2. Panen ke-2 2.249 Kg 2.302 Kg

3. Panen ke-3 2.278 Kg 2.335 Kg

4. Panen ke-4 2.294 Kg 2.369 Kg

60

5. Panen ke-5 2.337 Kg 2.401 Kg

6. Panen ke-6 2.366 Kg 2431 Kg

7. Panen ke-7 2.250 Kg 2.462 Kg

8. Panen ke-8 2.316 Kg 2.490 Kg

9. Panen ke-9 2.441 Kg 2.518 Kg

10. Panen ke-10 2.488 Kg 2.545 Kg

11. Panen ke-11 2.512 Kg 2.571 Kg

12. Panen ke-12 2.514 Kg 2.595 Kg

13. Panen ke-13 2.475 Kg 2.619 Kg

14. Panen ke-14 2.663 Kg 2.641 Kg

15. Panen ke-15 2.689 Kg 2.664 Kg

16. Panen ke-16 2.693 Kg 2.685 Kg

17. Panen ke-17 2.732 Kg 2.704 Kg

18. Panen ke-18 2.766 Kg 2.723 Kg

19. Panen ke-19 2.698 Kg 2.742 Kg

20. Panen ke-20 2.791 Kg 2.759 Kg

21. Panen ke-21 2.793 Kg 2.777 Kg

22. Panen ke-22 2.688 Kg 2.792 Kg

23. Panen ke-23 2.802 Kg 2.802 Kg

24. Panen ke-24 2.832 Kg 2.822 Kg

Tabel. 4Hasil panen sebenarnya dan prediksi hasil panen menggunakan model Verhulst

DAFTAR PUSTAKA

Bacaer, N. 1977. A Short History of Mathematical Population Dynamics.Springer- Verlag, London.

Bachtiar, Y. 2002. Pembesaran Ikan Mas di Kolam Pekarangan. AgromediaPustaka, Depok.

Banks, R.B. 1994. Growth and Diffusion Phenomena: MathematicalFrameworks and Applications. Springer, Berlin.

Cahyono. 2013. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu, Bandung.

Fauzi, N. 2013. Pasti ! Panen Lele. Sahabat, Klaten.

Finizio, N. and Ladas, G. 1982. An Introduction to Differential Equation.Wadsworth, California.

Frederich, H.B. 1978. Teaching and Learning Mathematic. University ofPittsburgh, Pittsburgh.

Giordano, F., Weir, M., and Foox, W. 1977. A First Course in MathematicalModelling. Thomson Brooks/Cole, Belmont.

Kartono. 1994. Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset,Yogyakarta.

Mahyuddin, K. 2008. Panduan Lengkap Agribisnis Lele. Penebar Swadaya,Depok.

Makridakis, S. dan Wheelright,S.C. 1994. Metode-Metode Peramalan untukManejemen. Ahli bahasa : Wiraraja, binarupaaksara, Jakarta.

Saparinto, C. 2013. Bisnis Ikan Konsumsi di Lahan Sempit. Penebar Swadaya,Depok.

Zulkarnaen, D. 2014. Proyeksi Populasi Penduduk Kota Bandung MenggunakanModel Pertumbuhan Populasi Verhulst dengan Memvariasikan IntervalPengambilan Sampel. Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Jati,Bandung. Volume VIII No. 1.

MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASI …digilib.unila.ac.id/25224/2/SKRIPSI TANPA BAB...

Documents

Transcript of MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASI …digilib.unila.ac.id/25224/2/SKRIPSI TANPA BAB...