Pertemuan 6 dan 7

MODEL TRANSPORTASI & MODEL PENUGASAN

Pendahuluan

Model program linier yang mempunyai bentuk khusus yang umum digunakan dalam masalah pengoptimalan suatu pendistribusian, antara lain adalah: Model Transportasi (Transportation) Model Penugasan (Assignment).

Model Transportasi

Membahas masalah pendistribusian suatu komoditas atau produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah tujuan (destination, demand), dengan tujuan meminimumkan biaya yang akan terjadi

Ciri-ciri khusus persoalan transportasi adalah :

Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.

Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.

Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.

Biaya yang dibutuhkan untuk memindahkan suatu komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu.

Gambar Model Transportasi :

Xm1 , Cm1

Xm3 , Cm3

Xmn , Cmn

1

2

m

1

2

n

3

X11 , C11

X12 , C12

X13 , C13

X1n , C1n

Xm2 , Cm2

SUMBER TUJUAN

Dari Gambar Model Transportasi berlaku : Masing-masing sumber mempunyai

kapasitas ai dengan i = 1,2,3,....,m Masing-masing tujuan membutuhkan

komoditas bj dengan j = 1,2,3,....,n Jumlah unit yang dikirim oleh sumber ke-i

kepada tujuan ke-j adalah sebanyak Xij dengan i = 1,2,3,....,m dan j = 1,2,3,....,n

Biaya pengiriman per unit dari sumber ke-i kepada tujuan ke-j adalah sebanyak Cij dengan i = 1,2,3,....,m dan j = 1,2,3,....,n

Formulasi model transportasi adalah :

Fungsi tujuan : Min Z =

m

i

n

jijij CX

1 `

.

Fungsi pembatas : miaX i

n

jij .....,3,2,1,

1

njbX j

m

iij .....,3,2,1,

1

Xij > 0 untuk seluruh i dan j

Keseimbangan Model Transportasi:

Hal ini diperlukan karena dalam persoalan transportasi akan diperoleh solusi feasible, jika terpenuhi jumlah total supply (sumber) sama dengan jumlah total demand (tujuan).

n

j

m

i

bjai11

Suatu model transportasi dikatakan seimbang bila jumlah total supply (sumber) sama dengan jumlah total demand (tujuan), dituliskan :

Bila ketentuan tersebut tidak dipenuhi, maka model transportasi tersebut disebut sebagai model yang tidak seimbang.

Untuk menyelesaikan model transportasi dengan cara memasukkan variabel artificial, dimana bila jumlah demand melebihi supply, maka dibuat suatu sumber dummy yang akan mensupply kekurangan tersebut. Sebaliknya, bila jumlah supply melebihi demand, maka dibuat suatu tujuan dummy yang akan menyerap kelebihan tersebut.

Biaya per unit untuk sumber dummy ke seluruh tujuan adalah nol, karena pada kenyataannya dari sumber dummy tidak terjadi pengiriman ke seluruh tujuan. Demikian juga untuk biaya per unit dari semua sumber ke tujuan dummy adalah nol.

Metode Pemecahan :

Menentukan solusi feasible awal Metode yang dapat digunakan antara lain, yaitu :

Metode pojok kiri atas (Northwest Corner), Metode biaya terkecil (Least Cost), Metode pendekatan Vogel’s (Vogel’s

Approximation Method atau VAM). Menentukan solusi feasible optimal Terdapat 2 metode yang biasa digunakan, yaitu :

Metode Stepping Stone, Metode distribusi yang dimodifikasi (MODI =

Modification Distribution).

Langkah-Langkah Metode pojok kiri atas (Northwest Corner) :

1. Alokasi sebanyak mungkin ke sel di pojok kiri atas, disesuaikan dengan batasan penawaran dan permintaan.

2. Alokasi sebanyak mungkin ke sel feasible berikutnya yang berdekatan.

3. Ulangi langkah 2 sampai semua kebutuhan telah dipenuhi.

Langkah-Langkah Metode biaya terkecil (Least Cost):

1. Alokasi sebanyak mungkin ke sel feasible dengan biaya transportasi minimum, dan sesuaikan dengan batasan penawaran dan permintaan.

2. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel feasible yang mempunyai biaya minimum berikutnya.

3. Ulangi langkah 2 sampai semua kebutuhan telah dipenuhi.

Langkah-Langkah Metode VAM :

1. Tentukan biaya penalti untuk tiap baris dan kolom dengan cara mengurangkan biaya sel terendah pada baris atau kolom terhadap biaya sel terendah berikutnya pada baris atau kolom yang sama.

2. Pilih baris atau kolom dengan biaya penalti tertinggi.

3. Alokasi sebanyak mungkin ke sel feasible dengan biaya transportasi terendah pada baris atau kolom dengan biaya penalti tertinggi.

4. Ulangi langkah 1, 2, dan 3 sampai semua kebutuhan telah terpenuhi.

Langkah-langkah metode Stepping Stone :

1. Tentukan lintasan stepping stone dan perubahan biaya untuk setiap sel yang kosong dalam tabel.

2. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel kosong yang menghasilkan penurunan biaya terbesar.

3. Ulangi langkah 1 dan 2 sampai semua sel kosong memiliki perubahan biaya positif yang mengindikasikan tercapainya solusi optimal.

Langkah-langkah metode MODI :

Tentukan solusi awal Hitung nilai-nilai ui dan vj untuk tiap-tiap baris dan kolom

dengan menerapkan rumus cij = ui + vj pada tiap sel yang terisi atau sel basis ( sel yang telah memiliki alokasi). Nilai ui dan vj dihitung dari selisih antara sel yang mempunyai biaya terkecil dengan biaya terkecil berikutnya pada tiap-tiap baris dan kolom.

Hitung perubahan biaya kij untuk setiap sel kosong dengan menggunakan rumus kij = cij – ui – vj

Alokasikan sebanyak mungkin ke sel kosong yang menghasilkan penurunan biaya terbesar (kij yang paling negatif). Alokasikan sesuai lintasan stepping stone untuk sel yang terpilih.

Ulangi langkah 2 sampai 4 sampai semua nilai kij positif atau nol.

Model Transportasi Tidak Seimbang :

Untuk menyelesaikan permasalahan model transportasi tidak seimbang adalah dengan menambahkan kolom / baris dummy

Penambahan kolom / baris dummy tidak akan mempengaruhi solusi awal maupun solusi optimal pada metode transportasi.

Sel-sel pada kolom/baris dummy diperlakukan sama seperti sel yang lainnya. Sehingga penyelesaiannya juga sama dengan tahap-tahap yang dilakukan pada model transportasi seimbang.

Khusus untuk penyelesaian awal dengan metode biaya sel minimum, maka akan terdapat sel-sel yang masing-masing mempunyai nilai biaya nol. Dalam hal ini (atau kapan saja terdapat sel-sel yang bernilai seri/sama), maka salah satu sel dapat diilih secara acak.

Degenerasi

Merupakan kondisi dimana jumlah kolom terisi (sel dengan alokasi) tidak sesuai dengan rumus m + n -1

Kesulitan akan muncul pada saat dilakukan evaluasi untuk menentukan solusi optimal dengan menggunakan metode Stepping Stone maupun MODI, karena tidak akan bekerja dengan baik.

Untuk menyelesaikannya dipilih salah satu sel kosong artifisial dengan alokasi sebesar 0, yang diperlakukan seolah-olah sebagai sebuah sel yang berisi alokasi.

Penentuan sel artifisial nol ini dipilih secara acak, karena tidak terdapat aturan untuk mengalokasikan sel artifisial. Yang penting diperhatikan adalah pemilihan sel artifisial nol tersebut harus menjamin terbentuknya suatu lintasan tertutup stepping stone.

Setelah penentuan sel artifisial nol ini, langkah selanjutnya untuk menyelesaikan model transportasi sama dengan langkah-langkah yang telah dijelaskan sebelumnya.

Contoh :

Butiran gandum dipanen dan disimpan di tiga gudang penyimpanan 1, 2, dan 3. Kemudian butir-butir gandum tersebut dikirim ke penggilingan yang berlokasi di daerah lain yaitu A, B, dan C.Setiap bulannya, jumlah butiran gandum yang tersedia di masing- gudang penyimpanan 1, 2, dan 3 adalah 150 ton, 175 ton, dan 275 ton. Sedangkan jumlah butiran yang diminta per bulan oleh penggilingan A, B, dan C berturut-turt adalah 200 ton, 100 ton, dan 300 ton.

Biaya pengiriman satu ton masing gandum dari gudang penyimpanan ke penggilingan berbeda-beda menurut jarak dan sistem transportasi yang digunakan. Biaya-biaya tersebut dituliskan dalam tabel berikut :

Permasalahannya adalah berapa banyak ton gandum yang harus dikirim dari gudang penyimpanan ke tiap penggilingan setiap bulannya agar total biaya transportasi minimum

Gudang (Sumber)

Penggilingan (Tujuan)

A B C

1 6 8 10

2 7 11 11

3 4 5 12

Model Penugasan

Sebagai gambaran model penugasan adalah menyangkut penempatan para pekerja pada bidang yang tersedia agar biaya yang ditanggung dapat diminimumkan.

Misal pekerja dianggap sebagai sumber dan pekerjaan dianggap sebagai tujuan, maka pada model penugasan jumlah pasokan pada setiap sumber dan jumlah permintaan pada setiap tujuan adalah satu.

Hal ini berarti setiap pekerja hanya menangani satu pekerjaan, atau sebaliknya satu pekerjaan hanya ditangani oleh satu pekerja

Model matematis untuk masalah penugasan :

Fungsi tujuan : Min Z =

m

i

n

jijij XC

1 1

Fungsi Batasan :

n

jijX

1

m

iijX

1

= 1, i = 1, 2, ......, m

= 1, j = 1, 2, ......., n

Xij = 0 atau 1 Catatan :Xij = 0, bila pekerjaan ke-i tidak ditugaskan pada mesin ke-j.Xij = 1, bila pekerjaan ke-i ditugaskan pada mesin ke-j.

Penyelesaian Model Penugasan :

Metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah penugasan adalah metode Hungarian

Langkah-langkah metode Hungarian

1. Lakukan pengurangan baris dengan cara mengurangkan nilai terendah pada suatu baris dari semua nilai pada baris tersebut.

2. Lakukan pengurangan kolom dengan cara mengurangkan nilai terendah pada suatu kolom dari semua nilai pada kolom tersebut.

3. Tarik sejumlah garis horizontal dan vertikal yang diperlukan untuk mencoret semua angka nol pada tabel biaya oportunity yang lengkap.

4. Jika diperlukan garis lebih sedikit dari m (dimana m = jumlah baris atau kolom), maka semua nilai lain yang tercoret dikurangkan dengan nilai terendah dari nilai-nilai yang tidak tercoret tersebut. Kemudian nilai terendah tersebut ditambahkan pada sel-sel dimana dua garis berpotongan, sedangkan nilai yang lain tetap. Ulangi langkah 3.

5. Jika diperlukan garis sebanyak m, maka solusi optimal tercapai. Sehingga dapat dilakukan analisis m penugasan yang unik. Jika masih diperlukan garis lebih sedikit dari m, maka ulangi langkah 4.

Contoh 1 (kasus minimisasi) :

ACC mempunyai 4 pertandingan bola basket pada suatu malam tertentu. Kantor pusat bermaksud mengirim 4 tim pendamping ke empat pertandingan sedemikian sehingga total jarak yang harus ditempuh minimal. Jarak tiap tim pendamping ke lokasi tiap pertandingan ditunjukkan pada tabel berikut :

Tim Lokasi PertandinganK L M N

A 210 90 180 160B 100 70 130 200C 175 105 140 170D 80 65 105 120

Contoh 2 (kasus maksimisasi) :

Sebuah perusahaan mempekerjakan 3 salesman untuk 3 daerah pemasarannya. Perkiraan penjualan setiap salesman untuk tiap daerah pemasaran ditunjukkan pada tabel berikut :

Salesman Daerah Pemasaran

P Q R

A 25 31 35

B 15 20 24

C 22 19 17