MODEL SEMIVARIOGRAM KOPULA DAN REDUKSI

KOMPUTASI PADA ALGORITMA SEQUENTIAL KRIGING

TESIS

Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari

Institut Teknologi Bandung

Oleh

RIAN FEBRIAN UMBARA

NIM : 20105015

Program Studi Matematika

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2007

MODEL SEMIVARIOGRAM KOPULA DAN REDUKSI

KOMPUTASI PADA ALGORITMA SEQUENTIAL KRIGING

Oleh

RIAN FEBRIAN UMBARA

NIM : 20105015

Program Studi Matematika

Institut Teknologi Bandung

Menyetujui,

Pembimbing

Tanggal …. September 2007

____________________ (Dr. Sutawanir Darwis )

“Sesungguhnya pada pertukaran malam dan siang itu dan pada apa yang diciptakan Allah di langit dan di bumi terdapat tanda-tanda (kekuasaan-Nya) bagi orang yang bertakwa”

(Yunus 10:6)

Dedicated to all teachers who have taught me

ABSTRAK

MODEL SEMIVARIOGRAM KOPULA DAN REDUKSI KOMPUTASI

PADA ALGORITMA SEQUENTIAL KRIGING

Oleh

Rian Febrian Umbara

NIM : 20105015

Dependensi data spasial dapat dikuantifikasi melalui semivariogram, yang merupakan bagian yang penting dalam proses estimasi. Dalam tesis ini, dibahas metode membangun model semivariogram menggunakan kopula. Model dibangun berdasarkan regresi median yang diperoleh melalui kopula. Dengan menggunakan kopula, tidak perlu lagi memaksakan penggunaan model-model semivariogram baku. Model semivariogram yang diperoleh selanjutnya digunakan pada proses estimasi dengan metode ordinary kriging dan sequential kriging. Kompleksitas komputasi estimasi dengan menggunakan sequential kriging jauh lebih kecil dibandingkan dengan kompleksitas komputasi ordinary kriging namun hasil yang diperoleh tidak berbeda secara signifikan. Kompleksitas komputasi pada algoritma sequential kriging masih dapat direduksi sehingga algoritmanya akan lebih efisien. Kata kunci : semivariogram, kopula, regresi median, kriging.

i

ABSTRACT

COPULA-BASED SEMIVARIOGRAM MODEL AND COMPUTATIONAL

REDUCTION ON THE SEQUENTIAL KRIGING ALGORITHM

by

Rian Febrian Umbara

NIM : 20105015

The dependency of spatial data can be quantified through semivariogram, which is an important part in estimation processes. In this thesis, a method for constructing semivariogram model using copula formalism is discussed. The model is constructed based on median regression which is derived from a copula. By using copula formalism, it is no longer necessary to force using any a priori semivariogram models. After the model is obtained, it is used in estimation processes using ordinary kriging and sequential kriging methods. The computational complexity of the sequential kriging method is much lower than that of the ordinary kriging method and the results of those methods are not significantly different. The computational complexity of the sequential kriging can still be reduced so that its algorithm will be more efficient. Key words: semivariogram, copula, median regression, kriging

ii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut

Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta

ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut

Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi

pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus

disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.

Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin

Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.

iii

PRAKATA

Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas

berkat dan rahmat-Nyalah penulis bisa menyelesaikan tesis ini. Shalawat serta

salam semoga tercurah kepada Rasul Allah, Muhammad SAW.

Penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1. kedua orang tua tercinta yang selalu memberikan dukungan materil dan

dorongan moril kepada penulis,

2. Bapak Dr. Sutawanir Darwis selaku dosen pembimbing atas arahan,

bimbingan serta kesediaan beliau untuk berdiskusi dan bertukar pikiran,

3. Ibu Dr. Irawati selaku dosen wali penulis,

4. Bapak Prof. Dr. Maman A. Djauhari yang telah memberikan banyak

nasihat yang berharga kepada penulis,

5. Penguji pada seminar tesis, yaitu Bapak Dr. Agus Yodi Gunawan,

6. seluruh staf pengajar Program Studi Matematika ITB yang telah banyak

menyumbangkan ilmu-ilmu yang sangat berharga,

7. kedua adik tercinta, Maya Puspasari dan Nuni Kaniasari,

8. staf TU Departemen Matematika ITB, Ibu Diah, Pak Yana, Kang

Adam,

9. staf Perpustakaan Departemen Matematika ITB, Bu Yuyun, Bu Euis,

Mbak Naning,

10. Mas Andri, Rahmat, Soehadi, Haryono, Elis, Mbak Silpi, Tantan, Pipid,

Asmunip, Memen, Erlangga dan semua sahabat-sahabat penulis,

11. Boni, Via, Cheri, Kasba, Rini, Maya, Iin, Riri, K Ibnu, Pak Wahid, Pak

Windarto, dan semua kawan-kawan selama menempuh studi S2,

iv

12. keluarga Perisai Diri ITB, Kang Abdul, Fathoni, Adams, Sajad, Dudin,

Badai, Suryadi, dan kawan-kawan PD ITB lainnya, dan

13. pihak-pihak lainnya yang tanpa mengurangi rasa hormat tidak dapat

penulis sebutkan satu per satu.

Bandung, September 2007

Penulis

v

DAFTAR ISI

ABSTRAK…………………………………………………………………………i

ABSTRACT……………………………………………………………………….ii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS……………………………………………iii

PRAKATA………………………………………………………………………..iv

DAFTAR ISI……………………...........................................................................vi

DAFTAR LAMPIRAN……..................................................................................vii

DAFTAR GAMBAR DAN ILUSTRASI.............................................................viii

DAFTAR TABEL....................................................................................................x

DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG.........................................................xi

Bab I Pendahuluan………………………………………………………………...1

I.1 Latar Belakang……………………………………………………………....1

I.2 Ruang Lingkup Masalah…………………………………………………….1

I.3 Tujuan……………………………………………………………………….2

I.4 Sistematika Penulisan.....................................................................................2

Bab II Teori Dasar...................................................................................................3

II.1 Estimasi Spasial............................................................................................3

II.2 Kopula.........................................................................................................15

II.3 Membangun Model Semivariogram Melalui Regresi Median....................21

Bab III Studi Kasus................................................................................................23

III.1 Decline Rate...............................................................................................23

III.2 Penaksiran Model Semivariogram.............................................................24

III.3 Validasi Silang...........................................................................................33

III.4 Tinjauan Model Semivariogram................................................................35

III.5 Penaksiran dengan Ordinary Kriging........................................................36

III.6 Penaksiran dengan Sequential Kriging......................................................40

Bab IV Kesimpulan dan Saran...............................................................................49

IV.1 Kesimpulan................................................................................................49

IV.2 Saran..........................................................................................................49

DAFTAR PUSTAKA............................................................................................50

vi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A Program Ordinary Kriging pada Matlab 7.0.....................................52

Lampiran B Program Kriging Mean pada Matlab 7.0...........................................54

Lampiran C Program Sequential Kriging pada Matlab 7.0....................................55

Lampiran D Program Sequential Kriging dengan Pemotongan Iterasi pada

Matlab 7.0..........................................................................................57

Lampiran E Taksiran Nilai Decline Rate dengan Menggunakan

Ordinary Kriging...............................................................................59

Lampiran F Taksiran Nilai Decline Rate dengan Menggunakan

Sequential Kriging………….……………………………………….64

Lampiran G Taksiran Nilai Decline Rate Menggunakan Sequential Kriging

dengan pemotongan iterasi…………......……...................................69

Lampiran H Persentil 0.025 dan 0.975 dari distribusi Q2......................................74

vii

DAFTAR GAMBAR DAN ILUSTRASI

Gambar II.1 Kurva semivariogram dan kovariogram..........................................5

Gambar II.2 Persegi panjang B di 2R ………………….……………….....….15

Gambar III.1 Lokasi sumur produksi...................................................................25

Gambar III.2 Histogram data decline rate…………………….……......………26

Gambar III.3 Histogram data hasil transformasi..................................................26

Gambar III.4 Plot semivariogram eksperimental untuk keempat arah……...…..28

Gambar III.5 Plot semivariogram eksperimental isotropik..................................28

Gambar III.6 Boxplot h ……………….………………………………......….29

Gambar III.7 Histogram T....................................................................................31

Gambar III.8 Plot model semivariogram dan semivariogram eksperimental......33

Gambar III.9 Lokasi sumur beserta lokasi yang diestimasi.................................36

Gambar III.10 Penomoran kokasi yang diestimasi................................................37

Gambar III.11 Peta nilai decline rate (perbulan) hasil estimasi ordinary

kriging............................................................................................38

Gambar III.12 Peta kontur nilai decline rate (perbulan) hasil estimasi ordinary

kriging….………………………………………………………...39

Gambar III.13 Peta kontur simpangan baku kriging hasil estimasi ordinary

kriging............................................................................................39

Gambar III.14 Peta nilai decline rate (perbulan) hasil estimasi sequential

kriging............................................................................................43

Gambar III.15 Peta kontur nilai decline rate (perbulan) hasil estimasi sequential

kriging............................................................................................44

Gambar III.16 Peta kontur simpangan baku kriging hasil estimasi sequential

kriging ...........................................................................................44

Gambar III.17 Bobot sequential kriging subset data untuk titik

estimasi dengan koordinat x = -21968, y = 1175..........................45

Gambar III.18 Taksiran nilai di titik estimasi dengan koordinat x = -21968, Z*

y = 1175 dengan menggunakan sequential kriging

dalam 31 iterasi.............................................................................46

viii

Gambar III.19 Peta kontur taksiran nilai decline rate menggunakan

sequential kriging dengan pemotongan iterasi…….……………..47

Gambar III.20 Peta kontur taksiran simpangan baku kriging menggunakan sequential kriging dengan pemotongan iterasi...............................48

ix

DAFTAR TABEL

Tabel III.1 Lokasi dan nilai decline masing-masing sumur...................................24

Tabel III.2 Sari numerik data decline rate..............................................................25

Tabel III.3 Sari numerik data hasil transformasi....................................................25

Tabel III.4 Semivariogram eksperimental untuk empat arah.................................27

Tabel III.5 Semivariogram eksperimental isotropik..............................................28

Tabel III.6 Statistik deskriptif h ………………………………………………...29

Tabel III.7 Statistik deskriptif T.............................................................................30

Tabel III.8 Galat dan galat standar.........................................................................34

x

DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG

SINGKATAN Nama Pemakaian pertama kali pada halaman

KMJ Kamojang 23

m meter 24

BT Barat-Tmur 26

US Utara-Selatan 26

TLBD Timur Laut-Barat Daya 27

BLTG Barat Laut-Tenggara 27

LAMBANG

Z(s) Variabel acak di koordinat s 3

( )siz Data observasi di koordinat s1 3

∈ Elemen 3 nR Ruang berdimensi n 3

D Himpunan random di 3 nR

⊆ Himpunan bagian dari 3

P(.) Peluang 3

E[.] Ekspektasi 3

Cov[.] Kovariansi 3

C( )h Kovariansi antara ( )sZ dan ( )+s hZ 3

Var[.] Variansi 4

(.)γ Semivariogram 4

ˆ(.)γ Semivariogram eksperimental 4

( )hN menyatakan himpunan pasangan koordinat

yang dipisahkan oleh vektor h 4 ( , )+s si i h

( )N h Banyaknya anggota ( 4 )hN

( )ρ h Korelasi antara ( )sZ dan ( )+s hZ 5

xi

h Panjang vektor h 5

( )hB Koreksi bias semivariogram eksperimental 7

0ˆ ( )sZ Taksiran Z di koordinat s0 7

0( )sε Galat kriging di koordinat s0 7

λ Bobot ordinary kriging 8

µ Mean 8

( )20Kσ s Variansi kriging 10

µ̂ Taksiran mean 10

µλ Bobot kriging mean 10

R Himpunan bilangan real 15

R Himpunan bilangan real yang diperluas 15

'C (.,.) Subkopula 16

C(.,.) Kopula 16

*z Data transformasi 24

xii