mklhhhhh,,,,,, (1)

Carilah penjodohan maksimum pada setiap graph berikut :

Graph komplit dengan 8 titikGraph bipartisi komplit K5.7

Graph komplit dengan 8 titik

M=5, dgn M1=e1, e3, e5, e7,M2= e13, e18, e5, e7

Graph bipartisi komplit k5.7

M1=e1, e7, e13, e19, e25M2= e4, e10, e12, e28, e31

Jawab:

V3V2e3

E2

e21e19e18e4e2

e22e17

e16V4V1

e15

e14

e23

e13e5e1

e12

e11V5

e10V8

e9

e28e27e8

e26e25e24e6

V7V6e7

V5V4V3V1

V2

e33e32e34

e22e24e21e17e16e11e7e30e6

e1

e29e9e35e27e8e4e3e2

V12e19e18e28e26e25e20e23e14e15e13e12V9V8e10e31e5V11V10V6

V7

Apakah graph Kn memuat penjodohan sempurna? Apa syaratnya agar graph bipartisi komplit Km.n mempunyai penjodohan sempurna?

Jawab:Penjodohan M di graph G dikatakan penjodohan sempurna jika M memuat semua titik G.

e2Syarat graph Kn memuat penjodohan sempurna adalah n genap.

V3V2Contoh : e3e1

e4V1V4

M = {e1, e3}Syarat graph bipartisi komplit Km.n mempunyai penjodohan sempurna adalah jika m,n keduanya ganjil atau m,n keduanya genap,dimana m,n 1

Tentukan banyaknya penjodohan sempurna pada graph K2p dan graph Kp.p !

Jawab : Banyaknya penjodohan sempurna pada graph K2p adalah pP = 1, banyaknya penjodohan sempurna yakni sebanyak p = 1

P = 2, banyaknya penjodohan sempurna yakni sebanyak p = 2

P = 3, banyaknya penjodohan sempurna yakni sebanyak p = 3

e1V1

V2

V1

V3

e1e1

V4V2

e2V2

V3

e3e1

V4V1

e6e4

V6V5

e5

Untuk setiap r 2, beri contoh sebuah graph beraturan r yang tidak memuat penjodohan sempurna !

Jawab:

V2

e1

V1G graph beraturan r-2, M = 1. M1 = {e1} bukan penjodohan sempurna karena tidak menutup titik V3.

e2e3

V3

G graph beraturan r-4, M1 = {e2, e5} bukan penjodohan sempurna karena tidak menutup titik V4. Sedangkan M2= { e3, e6} bukan penjodohan sempurna karena tidak menutup titik V5.

V3

e3e2

e8V4V2

e9e7

e10e6e4e1

e5V1V5

V3

e3

V4G graph beraturan r-3, M1 = { e1,e3, e5, e7, e11, e14, e22, e24} bukan merupakan penjodohan sempurna karena tidak memuat titik V14.

e12

e28e27e13

e26e25e4e2V11V12

e14e11V17

e17

e30e24e23e16e15e10V10V5V13V2

e32e20e19e18e5e1V14V15V16

e33e34e31e29e22e21e9e8e7e6V8V9V7V6V1

y5y4y3y2y1x5x4x3x2x110.b)

STEP 1 : Pilih penjodohan M = {x1y1,x3y3,x4y4,x5y5} STEP 2 : Titik {x2} di X tidak tertutup oleh M. Pilih S = {x2} dan , N(S) = {y1,y4,y5}.STEP 3 : , = {y1,y4,y5}, pilih STEP 4 : y1 tertutup oleh M, . Ganti S dengan dan ganti T dengan Kembali ke step 3STEP 3 : pilih .STEP 4 : y2 tidak tertutup oleh M. Lintasan P = (x2, x2y1, y1, x1y1, x1, x1y2, y2) adalah lintasan (x2,y2) augmentasi-M. Ganti M dengan . Kembali ke step 1.STEP 1 : Penjodohan M = {x1y2, x2y1, x3y3, x4y4, x5y5} adalah penjodohan baru pada graf G.y5y4y3y2y1x5x4x3x2x1

STEP 2 : Karena M menutup setiap titik di X maka STOP.

a). Jelaskan bahwa algoritma Hungarian dapat digunakan untuk mengkonstruksi sebuah penjodohan maksimum pada graph bipartisi!Jawab: Pada Teorema 9.2: sebuah penjodohan M pada graph G adalah penjodohan maksimum jika dan hanya jika G tidak memuat lintasan augmentasi-M.Limtasan augmeentasi-M adalah sebuah lintasan yang titik awal dan titik akhirnya tidak tertutup oleh M.Penjodohan maksimum adalah penjodohan yang memiliki ukuran paling besar.Pada Algoritma Hungarian, tujuannnya adalah menemukan penjodohan dari G yang menutup setiap titik x, dengan kata lain, algoritma Hungairan dapat digunakan untuk mengkonstruksi sebuah penjodohan maksimum pada graph bipartisi.T1T2T3T4T5T6T7B1B2B3B4B5B6B7

11.

STEP 1 : Sebuah pelabelan titik G

T1T2T3T4T5T6T7

B135541115B257765467B320222212B424443244B512131313B668858788B724410334

0000000

Graph bagian rentang GI yang dibangun oleh sisi-sisi G yang bobotnya sama dengan jumlah label titik-titik ujungnya adalah seperti tampak pada gambar berikut.

B1B2B3B4B5B6B7T1T2T3T4T5T6T7

Pilih penjodohan M = {B2T2,B3T3,B5T6,B6T7} pada graph GI.STEP 2 : Ada titik {B1,B7} yang tidak tertutup oleh M, misal {B1} titik yang tidak tertutup oleh M. Tulis S = {B1} dan .STEP 3 : Karena , pergi ke step 4.STEP 4 : , pilih , T2 tertutup oleh M dengan , maka ganti S dengan dan T dengan , pergi ke step 3.STEP 3 : Karena , maka pergi ke step 4.STEP 4 : , pilih , T3 tertutup oleh M dengan , maka ganti S dengan dan T dengan , pergi ke step 3.STEP 3 : Karena , maka pergi ke step 4.STEP 4 : , pilih , T1 tidak tertutup oleh M. Maka lintasan P ={B1, B1T3, T3, B3T3, B3, B3T1, T1} lintasan augmentasi-M. Ganti M dengan dan pergi ke step 1


STEP 1 : M = {B1T3,B2T2,B3T1,B4T4,B5T6,B6T7} penjodohan baru pada GI.STEP 2 : Ada titik {B7} yang tidak tertutup oleh M. Tulis S = {B7} dan .STEP 3 : Karena , maka pergi ke step 4.STEP 4 : , pilih , T2 tertutup oleh M dengan , maka ganti S dengan dan T dengan , pergi ke step 3.STEP 3 : Karena , maka pergi ke step 4.STEP 4 : , pilih , T3 tertutup oleh M dengan , maka ganti S dengan dan T dengan , pergi ke step 3.STEP 3 : Karena . Maka hitung

= min {l(B1) + l(T1) - w(B1T1), l(B1) + l(T4) - w(B1T4), l(B1) + l(T5) - w(B1T5), l(B1) + l(T6) - w(B1T6), l(B1) + l(T7) - w(B1T7), l(B2) + l(T1) - w(B2T1), l(B2) + l(T4) - w(B2T4), l(B2) + l(T5) - w(B2T5), l(B2) + l(T6) - w(B2T6), l(B2) + l(T7) - w(B2T7), l(B7) + l(T1) - w(B7T1), l(B7) + l(T4) - w(B7T4), l(B7) + l(T5) - w(B7T5), l(B7) + l(T6) - w(B7T6), l(B7) + l(T7) - w(B7T7)}= min{5+0-3, 5+0-4, 5+0-1, 5+0+1, 5+0-1, 7+0-5, 7+0-6, 7+0-5, 7+0-4, 7+0-6, 4+0-2, 4+0-1, 4+0-0, 4+0-3, 4+0-3}=min{2, 1, 4, 6, 4, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 1} = 1Buat pelabelan titik yang baru pada graph G, namakan l , dengan aturan berikut.

STEP 1 : Setelah mengganti l dengan l, maka diperoleh pelabelan l yang baru pada graph G dalam bentuk matriks tampak seperti berikut ini.

T1T2T3T4T5T6T7

B135541114B257765466B320222212B424443244B512131313B668858788B724410333

0110000


Dengan menerapkan algoritma Hungarian, diperoleh penjodohan sempurna pada graph GI yaitu penjodohan M={B1T3, B2T2, B3T1, B4T4, B5T6, B6T5, B7T7}, seperti tampak pada gambar berikut.B1B2B3B4B5B6B7T1T2T3T4T5T6T7

M={B1T3, B2T2, B3T1, B4T4, B5T6, B6T5, B7T7} penjodohan sempurna pada GI, dan M adalah penjodohan optimal pada graph G.STEP 2 : Karena M = {B1T3, B2T2, B3T1, B4T4, B5T6, B6T5, B7T7} penjodohan sempurna pada GI, maka STOP, menurut teorema 9.10, M adalah penjodohan optimal pada graph G dengan bobot sebagai berikut :w(M)={w(B1T3), w(B2T2), w(B3T1), w(B4T4), w(B5T6), w(B6T5), w(B7T7)} = (5 + 7 + 2 + 4 + 3 + 8 + 3) = 32Perhatikan bahwa dari pelabelan titik G yang terakhir kita peroleh,

= 4 + 6 + 2 + 4 + 3 + 8 + 3 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 32 = w(M)

mklhhhhh,,,,,, (1)

Documents

Transcript of mklhhhhh,,,,,, (1)