MINGGU KE-2

1. Konsep determinan dan invers matrik.2. Matrik minor, kofaktor, dan adjoin.3. Penerapan matrik dalam sistim persamaan linier.

DETERMINAN

DEFINISI • Asumsikan A adalah suatu matriks bujur sangkar, fungsi

determinan, det(A) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.atau

• Determinan ordo n ialah suatu skalar yang terkait dengan sebuah matriks bujur sangkar A yang berordo n.

• Notasi :det(A) atau |A| atau |aij|

DETERMINAN

Jika A = a bc d

Jika B = a b c d e f g h i

A, maka determinan matrik A adalah

= ad – bc

, maka determinan matrik B adalah

a b c d

=

A

B = a b c d e f g h i

a b

d e g h

= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi

Minor & Kofaktor Determinan

• Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka Minor elemen aij (Mij) didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan

• Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai kij = (-1)i+j Mij

+ - + - + … …- + - + - … …+ - + - + … …- + - + - … …dst., dst.

MENGHITUNG MINOR DAN KOFAKTOR

a). Aturan Sarrus (n <= 3)

NILAI DETERMINAN

b). Ekspansi Laplace (n >= 3)Nilai determinan adalah jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

NILAI DETERMINAN

• Dari soal sebelumnya,Ekspansi Laplace baris ke – 1 :

Coba gunakan ekspansi Laplace pada baris-baris atau kolom-kolom yang lain, kemudian bandingkan hasilnya!

• Tips : Pilih baris atau kolom yang banyak mengandung elemen nol.

CONTOH

1. det(A) = 0 jika dalam suatu baris/kolom semua elemennya nol

2. det(A) = det(AT)

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

3). Nilai determinan menjadi k kali bila dalam satu baris/kolom dikalikan dengan k (suatu skalar).Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan 5 menjadi :

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding.

5. Nilai determinan berubah tanda jika dua baris/kolom ditukar tempatnya

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

6). Nilai determinan tidak berubah jika baris/kolom ke – i ditambah k kali baris/kolom ke – j.Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali baris 2 :

7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2 buah suku maka determinan tersebut dapat ditulis sebagai jumlah determinan.

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Jika matriks A dan B adalah matriks yang berordo 2 x 2 sedemikian sehingga AB = BA = I , maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B.

INVERS MATRIK

Jika A =

Maka ,

Adj A =a b

c d d -b -c a

ac-

b-dAdet1A 1-

bc-adAdet

CONTOH : Jika A = tentukan A -1

Jawab : I A I = ( 1 x 4 ) – ( 2 x 3 ) = - 2

1 maka A-1 = = -2

Catatan . - Jika determinan sebuah matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers atau disebut matriks singular - Hanya matriks persegi yang mempunyai invers

1 23 4

4 -2 -3 1

-2 1 3/2 -1/2

PENERAPAN MATRIK PADA SISTEM PERSAMAAN LINIER:

SELAMAT BELAJAR

TERIMA KASIH