1BAB I PENGANTAR LOGIKA INFORMATIKA Dalambidanginformatika,logikainformatikamerupakanmatakuliahyangwajib dikuasaisebelumandamendalamimatakuliahyanglain.Halitudikarenakanmateriyang dipelajari dalam logika informatika akan digunakan penerapannya pada mata kuliah yanglainsepertialgoritmapemrogramandanmatakuliahyanglainkhususnya berhubungan dengan pemrograman. Sejarah Logika InformatikaLogikapertamakalidikemukakanolehAristoteles,padaabad4SM.Ia merumuskanlogikadengancaramenuliskanargumen/pendapatyangakanbisa dibuktikan kebenarannya yang disebut dengan silogisme.Sebuah contoh silogisme (disebut silogisme Barbara):Premis : Semua A adalah B.Premis : Semua B adalah C.Konklusi : Semua A adalah C. Sejak itu, banyak pemikir yang menemukan konsep-konsep lain tentang logika tetapi masih berkisar pada pemikiran Aristoteles, sampai pada paruh terakhir abad 19 dengan tokoh-tokoh baru dengan pemikiran-pemikiran baru yaitu: No. Nama/Tahun Pemikiran1. Augustus De Morgan(1806-1871) InduksiMatematika,Hukum Ekuivalensi Logika De Morgan2. George Boole(1815-1871) Aljabar Boole3. Giuseppe Peano(1858-1932) Penemuistilahlogikamatematikadan teori himpunan4. Emil L Post(1897-1954) Tabel Kebenaran5. LudwigJJWittgenstein(1889-1951)Tabel Kebenaran6. John Venn(1834-1923) Diagram Venn7. Henry M Sheffer(1882-1964) NAND, NORDan masih banyak tokoh-tokoh lain. 2Arti Logika InformatikaPadamasaAristoteles,logikamerupakansatubahasandalamilmutertuadidunia, yaituFilsafat.Barupadamasa-masaberikutnyalogikamasukkeberbagaibidangilmu-ilmu yang lebih muda seperti ilmu hitung/matematika, dan kini komputer/informatika.Dari arti katanya dalam bahasa Yunani, yaitu logike/logos yang berarti ilmu/pikiran, logikabisadiartikansebagaiperkataansebagaimanifestasidaripikiranmanusia.Atau, logika adalah ilmu yang mempelajari (jalan) pikiran yang diungkapkan dalam bahasa.Arti logika menurut bahasan logika modern, terdapat banyak versi. Dua versi dari definisi logika adalah:1.Ilmupengetahuanyangberkaitandenganprinsip-prinsipdaripenalaranargumen yang valid.2.Studitentangkriteria-kriteriauntukmengevaluasiargumen-argumendengan menentukanmanayangvaliddantidakvalid,danmembedakanantaraargumen yang baik dan tidak baik.Sedangkan logika informatika sendiri, dapat diartikan sebagai:1. Aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah tertentu dalam informatika yang dipergunakan untuk membuktikan validitas suatu argumen.2. Aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah tertentu dalam matematika yangdipergunakanuntukmembuktikanvaliditassuatuargumendalambidang informatika. Argumen dan SilogismeArgumenAdalah usaha untuk mencari kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan dengan berdasarkan pada kebenaran dari satu kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis.SilogismeLogikaberawaldaripertanyaan-pertanyaanyangpalingmendasardikehidupanini. SilogismeAristoteles,menurutnya,adalahsuatuargumenyangterbentukdari pernyataan-pernyataan dengan salah satu atau keempat bentuk berikut:1. Semua A adalah B. (universal affirmative)2. Tidak A adalah B. (universal negative)3. Beberapa A adalah B. (particular affirmative)4. Beberapa A adalah tidak B. (particular negative)3 Huruf A danB diatas menggantikan suatu kata benda, misalnyamanusia, cuaca, dan sebagainya yang disebut terms of syllogism atau pokok dari silogisme.Suatu silogisme yang berbentuk sempurna (well-formed syllogism) adalah silogisme yang memilikiduabuahpremisdansatukesimpulan,dimanasetiappremismemilikisatu pokok(term)bersamadengankesimpulandansatulagipokokbersamadenganpremis lainnya.Contoh sebuah silogisme sempurna:Premis: Semua A adalah B.Premis: Semua B adalah C.Konklusi : Semua A adalah C. (Pada premis pertama, A sama dengan A pada kesimpulan, dan ia juga memiliki B yang sama dengan B pada premis kedua.) Manfaat Logika InformatikaLogikainformatikadigunakandalamsemuabidangpadailmuinformatika.Dari pembuatankonsep,penulisansoftwarehinggacarakerjahardware.Contohbeberapa manfaat logika informatika:1. Membuat program.Contoh, struktur IF-THEN...ELSE dalam bahasa PascalIF kondisi THENStatemen1ELSEStatemen2;2. Database.Contoh,mencaridaftarmahasiswaInformatikaUNSOEDangkatan2008yang nilai IPK-nya 4.3. Cara kerja komputer(mesin).Levellogikapadakomputer.Masing-masinglevelkomputermenggunakanlevel logikayang berbeda(dari logika elektronik 0 dan1 hingga logika manusia dalam bahasa pemrograman tingkat tinggi) tetapi semua bekerja berdasar prinsip-prinsip logika.4Gambaranlevellogikayangberlakusesuaidenganbahasapemrogramanyang digunakan: Studi kasus: Search Engine Google.Search engine google menggunakan prinsip logika dalam pencariannya.Contoh:1.Menggunakan operator AND. Diwakili dengan tanda + . Pencarianakanteknik+informatikadiGoogleakanmenghasilkandatayang terdiri dari teknik dan informatika. 52.Menggunakan operator OR Pencarian dengan ketentuan teknik OR informatika.Hasil pencarian akan menampilkan kata teknik saja atau informatika saja. 3.Menggunakan operator NOTPencarian dengan ketentuan teknik NOT informatika, dilambangkan dengan teknik informatikaakanmenghasilkanpencarianakankatatekniksaja,yangtidak mengandung kata informatika. 6BAB II ALJABAR PROPOSISI Katamerupakanrangkaianhurufyangmengandungarti,edangkankalimatadalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematikatidaksemuapernyataanyangbernilaibenaratausalahsajayangdigunakan dalampenalaran.Pernyataandisebutjugakalimatdeklaratifyaitukalimatyangbersifat menerangkan dan disebut juga proposisi. Semesta Pembicaraan Semesta pembicaraan adalah keseluruhan obyek yang dibicarakan.Contoh: Pada kehidupan sehari-hari Pada ilmu hitung Pada astronomi Pada Informatika Dll Pada himpunan dapat di gambarkan sebagai berikut : Bahasaadalahrangkaiansimbol-simbolyangdiucapkanatauditulismenurutaturan-aturan tertentu. Contoh: I watch TV till 12 oclock last night. Geef mij maar nasi goreng met een gebakken ei Wat sambal en wat kroepoek en een goed glas bier erbij. Bonjour! Je mappelle Hesti. Guten tag! Mein Name istHesti. S 7Konnichiwa. Kalimat Deklaratif KalimatDeklaratif/Pernyataan/Proposisiadalahkalimatyangbernilaibenaratau salahtetapi tidak keduanya. Contoh : 1. Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar). 2. 2+2=4 (Benar). 3. Semua manusia adalah fana (Benar). 4. 4 adalah bilangan prima (Salah). 5. 5x12=90 (Salah). Tidak semua kalimat berupa proposisi Contoh : 1. Dimanakah letak pulau bali?. 2. Pandaikah dia?. 3. Andi lebih tinggi daripada Tina. 4. 3x-2y=5x+4. 5. x+y=2. Validitas Argumen Argumen adalah suatu pernyataan tegasyang diberikan oleh sekumpulanproposisi P1,P2,.........,Pnyangdisebutpremis(hipotesa/asumsi)danmenghasilkanproposisiQ yang lain yang disebut konklusi (kesimpulan). Secara umum di notasikan dengan

Argumen disebut benar apabila telah memenuhi syarat: 1.Konklusi/hasilkesimpulandariargumentersebutbenarsetelahmelaluisuatu proses observas/dapat dibuktikan. 2.Langkah-langkah penalaran sesuai dengan hukum-hukum logika. 8Premis : Jika hari ini cerah saya bermain futsal. Saya bermain futsal. Kesimpulan: Hari ini cerah. Argumen ini kuat karena: 1.Kesimpulan yg diambil benar. 2.Langkah penalaran tepat. Semantik-Sintaks : Jika hari ini cerah saya bermain futsal. Saya bermain futsal. Kesimpulan: Hari ini cerah. Yangdiperhatikandalamlogikahanyalahbentukkalimat/sintaks-nyasaja.Isi/arti kalimat/semantik bukan merupakan bahasan. Contoh Semantik-Sintaks Dia tidak kaya dan tidak bahagia. Menjadi miskin berarti menjadi tak bahagia. Seseorang tak pernah bahagia jika dia kaya. Dia miskin tetapi bahagia. Jika dia tak dapat kaya maka bahagia. Jika dia tidak bahagia maka ia miskin. Jika dia tak miskin dan tak bahagia maka ia kaya. Menjadi kaya berarti sama seperti menjadi bahagia. Dia miskin atau jika tidak maka dia kaya dan tak bahagia. Jika dia tidak miskin, maka dia bahagia. SOUND ARGUMENT POLA: Semua X adalah Y Beberapa Y adalah Z Maka beberapa X adalah Z 9Contoh Argumen kuat: Semua Toyota adalah mobil Jepang.Beberapa mobil Jepang dibuat di Indonesia.Maka beberapa Toyota dibuat di Indonesia. UNSOUND ARGUMENT Pola : Semua X adalah Y Beberapa Y adalah Z Maka beberapa X adalah Z Contoh 1 : Semua Toyota adalah mobil. Beberapa mobil adalah Porche. Maka beberapa Toyota adalah Porche. Contoh 2 : Semua angkatan 2008 mengambil kuliah login. Beberapa mahasiswa yang mengambil login adalah angkatan 2007. Maka beberapa mahasiswa angkatan 2008 adalah angkatan 2007. Dibuat di Indonesia S:Mobil Jepang T S Mobil T P 10 Proposisi Atomik dan Majemuk Dilihat dari kompleksitasnya, proposisi terdiri dari proposisi:1.Proposisiatomikadalahproposisiyangtidakdapatdipecah-pecahmenjadibeberapa proposisi lagi.2.Proposisi majemuk adalah proposisi yang terdiri dari beberapa proposisi atomik. Contoh : Hari hujan. Jika hari hujan maka saya berangkat kuliah. Menonton konser Kangen Band. Saya tidur atau menonton konser Kangen Band. Ada bug. Masukannya salah. Ada bug dan masukannya salah. Setiap orang Indonesia pintar. Jack pintar, demikian juga Jen. Jack dan Jen sama-sama pintar. Mike pintar dan nilai-nilainya bagus. Ralph pintar atau rajin. Kata-kata Penghubung Kalimat Dalammenggabungkanproposisiatomikmenjadisebuahproposisimajemuk, diperlukan sebuah kata penghubung/perangkai kalimat.DAN ATAU BUKAN Mhsw Ambil Login 2008 2007 11 JIKA JIKA DAN HANYA JIKA SIMBOLARTIBENTUK atau Tidak/Bukan/Not/NegasiTidak... Dan/And/Konjungsi...dan... VAtau/Or/Disjungsi...atau... =>ImplikasiJika...maka... Biimplikasi...jika dan hanya jika... Contoh Penggunaan kata penghubung : Proposisi atomik A:Hari ini hujan. Dan proposisi atomikB:Hari ini mendung. NPROPOSISISMBL 1.Hari ini hujanA 2.Hari ini mendungB 3.Hari ini tidak hujanA 4.Hari ini tidak mendungB 5.Hari ini hujan dan mendungA B 6.Hari ini hujan atau mendungA V B 7.Hari ini tidak hujan tetapi mendungA B 8.Jika hari ini hujan maka akan mendungA=>B 9.Hari ini hujan jika dan hanya jika hari mendungAB Tabel Kebenaran Tabelkebenaranadalahtabelnilaiyangmendefinisikannilaikebenaran keseluruhan kalimat berdasarkan nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Negasi : Negasi suatu pernyataan P adalah pernyataan baru yang bernilai salah jika P benar dan bernilai benar jika P bernilai salah.notasi negasi P adalahP 12 P~P TF FT Misal : P adl x lebih kecil dari 5 , negasinya adl : 1.Tidak( lah benar ) x lebih kecil dari 5 2.x tidak lebih kecil dari 5 3.x lebih besar atau sama dengan 5 Konjungsi Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q ditulis PQ (dibaca P and Q) adalah suatu pernyataanyangbernilaibenarjikakeduakomponennya,yaitupdanq,bernilaibenar, dan akan bernilai salah jika salah satu komponennya bernilai salah. Tabel kebenarannya adalah :PQP Q TTT TFF FTF FFF Perhatikanbahwawalaupunmenggunakanistilahdan,duakalimatyangdihubungkan tidakharusmempunyaihubungan.Misal:YogyakartaibukotapropinsiDIYdan112 habis dibagi 2, dalam logika di pandang sebagai suatu pernyataan yang sah Selanjutnya pandang : 1.P : Ali dan Budi duduk dikelas 2 2.Q : Ali dan Budi bersaudara P merupakan konjungsi sedang Q bukan. Disjungsi Disjungsi(inklusif)dariduapernyataanPatauQditulisPQ(dibacaPatauQ) adalah suatu pernyataan yang bernilai benar jika salah satu kom ponennya, yaitu p atau q, bernilai benar, dan ber nilai salah jika kedua komponennya bernilai salah Tabel kebenarannya adalah :PQP V Q 13 TTT TFT FTT FFF Implikasi ImplikasiduapernyataanPdanQadalahPQyangdibacaJikaPmakaQ. PernyataanimplikasidisebutjugapernyataanbersyaratSuatuimplikasiPQbernilai salah jika P benar dan Q salah, dan bernilai benar jika yang lain Tabel kebenarannya adalah :PQP => Q TTT TFF FTT FFT Dalam pernyataan P Q, P disebut anteseden dan Q disebut konsekuen. Perhatikan kalimat dibawah ini : Jika Anda mengendarai mobil maka anda harus memakai sabuk pengaman. Jika Anda masuk kawasan pabrik, maka Anda harus mengenakan tanda pengenalSeseorangyangmengendaraimobildanmemakaisabukpengamantentunya tidak menyalahi aturan (benar, sebab P= benar, Q = benar),orangyangmengendaraimobiltidakpakaisabukpengamanjelasmenyalahi aturan (salah ,sebab P = benar, Q = salah);Orangyangnaikgerobakdanmemakaisabukpengamantidakmenyalahiaturan (benar, sebab P=salah, Q=betul), danOrangyangnaikgerobaktidakmemakaisabukpengamantakmenyalahiaturan (benar, sebab P=Salah, Q=salah) Pernyataan lain daripada Jika P maka Q adalah : 1.Q jika P 2.P hanya jika Q 3.Q merupakan sarat perlu untuk P 4.P merupakan sarat cukup untuk Q Contoh : 14 1. Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logika a.Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujian b.Sarat perlu agar 273 habis dibagi 3 adalah 273 merupakan bilangan prima c.Saya akan memberi anda uang apabila saya lulus ujian atau saya mendapat hadiah TTS Jawab a.P = saya berlibur ke Bali, Q = Saya lulus ujian Kalimatnya menjadi :PQ b.P = 273 habis dibagi 3, Q = 273 merupakan bilangan prima Kalimatnya menjadi :PQ c.P = Saya memberi Anda uang, Q = Saya lulus ujian,danR = saya mendapat hadiah TTS Kalimatnya menjadi :(Q R)P 2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini : a. Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga bukan bilangan prima b. 2+2 = 2x2 hanya bila 2 =0 c. 2B dengan A V B Buat tabel kebenaran untuk membuktikannya A~A~(~A) 16 TFT FTF Contoh 2 : Tentukan apakah kalimat dibawah ini ekuivalen: -(-A) dengan A, terbukti (-A) A -(A B) dengan -A -B A=>B dengan A V B Buat tabel kebenaran untuk membuktikannya ABA B~ (A B)~A~B~ A ~B TTTFFFF TFFTFTF FTFTTFF FFFTTTT Contoh 3 : Tentukan apakah kalimat dibawah ini ekuivalen: -(-A) dengan A, terbukti (-A) A -(A B) -A -B, (tidak terbukti)A=>B dengan A V B Buat tabel kebenaran untuk membuktikannya ABA => B~A~A V B TTTFT TFFFF FTTTT FFTTT Terbukti A => B ~A V B Hukum-hukum Ekuivalensi Logika : 1. Hukum Komutatif:17 p q q p,P V q q V p. 2. Hukum Asosiatif: (p q) r p (q r), (p V q) V r p V (q V r) 3. Hukum Distributif: p (q V r) (p q) V (p r), p V (q r ) (p V q) (p V r) 4. Hukum Identitas:p T p,p V F p 5. Hukum Ikatan:p V T T,p F F 6. Hukum Negasi:p v p T,P ^ p F. 7. Hukum Negasi Ganda:()p p 8. Hukum Idempoten: p^p p, pvp p 9. Hukum De Morgan:(p^q) p v q (pvq) p ^ q 10. Hukum Absorbsi:p v (p^q) p, p ^ (p v q) p 11. Negasi T dan F: T F, F T 12. Hukum Implikasi:p=>q p v q 18 13. Hukum Kontraposisi:p=>q q => p, 14. Hukum Biimplikasi:T F,p q (p=>q) ^(q=>p) 15. Negasi Q, Sama Dengan P (pq) v (p^q) p, (pvq) ^ (pvq) p,16. Negasi P, Sama Dengan Q (pq)v(p^q) q, (pvq) ^ (pvq) q, Penyederhanaan Contoh : Sederhanakan bentuk(A ^ B)^(AvB) ((A)v B) ^ (AvB) (Av B) ^ (AvB) Av( B ^B) AvF A -(Av-B)v(-A^-B) -A -(Av-B)v(-A^-B) (-A^-(-B))v(-A^-B) (-A^B)v(-A^-B) -A^(Bv-B) -A^T -A (pvF)^(pv-p) p^(pv-p) p^T p -p =>-(p=>-q) --pv-(p=>-q) --pv-(-pv-q) --pv(--p^--q) pv(p^q)p 19 Tautologi, Kontradiksi dan Contingent Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli bagaimanapunnilaikebenaranmasing-masingkalimatpenyusunnya,sebaliknya kontradiksiadalahsuatubentukkalimatyangselalubernilaisalah(False),tidakpeduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.Dalamtabelkebenaran,suatutautologiselalubernilaiTruepadasemuabarisnya dankontradiksiselalubernilaiFalsepadasemuabaris.Kalausuatukalimattautologi diturunkan lewat hukum-hukumyang ada makapada akhirnya akan menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False. Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula campuran (contingent). Contoh : 1. Tunjukkan bahwa pV(p) adalah tautologi! PPP V (P) TTT TFT FTT FFT 2. Tunjukkan bahwa (pVq) V [(p) (q)] adalah tautologi! p q p q p q(pVq) V [(p) (q)] TTTFFT TFFTFT FTTFFT FFFTTT 3. Tunjukkan bahwa (pVq) [(p) (q)] adalah kontradiksi! p q p q p q(pVq) [(p) (q)] TTTFFF TFFTFF FTTFFF FFFTTF 20 4. Tunjukkan bahwa [(p q) => r] => p adalah contingent! p qr p q(p q) => r[(p q) => r] => p TTTTTT TTFTTT TFTFFT TFFFFT FTTFTF FTFFTF FFTFTF FFFFTF KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Jika hari ini mendung maka Rafif membawa payung contoh konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi di atas : Misal p : hari ini mendung q : Rafif membawa payung makakalimatnyamenjadip=>qataujikamenggunakanoperatordanmakap=>q ekuivalen(sebanding/) dengan p v q. Sehingga : 1. Konvers: q => p q v p Kalimat:Jika Rafif membawa payung maka hari ini mendung (q => p) Rafif tidak membawa payung atau hari ini mendung (q v p) 2. Invers : p => q p q Kalimat:Jika Rafif tidak membawa payung maka hari ini tidak mendung (p => q) Rafif membawa payung dan hari ini tidak mendung (p q) 4. Kontraposisi : q => p q v p Kalimat:Jika hari ini tidak mendung maka Rafif tidak membawa payung (q =>p) hari ini mendung atau Rafif tidak membawa payung dan (q p) 21 Inferensi Logika Nilai kebenaran suatu argumen ditentukan sebagai berikut : SuatuargumenP1,P2,,,Pn_Qdikatakanbenar(valid)jikaQbernilaibenar untuksemuapremisyangbenardanargumendalamkeadaanselainitudikatakansalah (invalid/fallacy).Dengankatalain,suatuargumendikatakanvalidapabilauntuksembarangpernyataan yangdisubtitusikankedalampremis,jikasemuapremisbenarmakakonklusinyajuga benar.Sebaliknyajikasemuapremisbenartetapikonklusinyaadayangsalahmaka argumen tersebut dikatakan invalid (fallacy). Jadi suatu argumen dikatakan valid jika dan hanya jika proposisi P1P2........Pn) |- Q adalah sebuah Tautologi. Contoh : 1.Premis P1 : Jika Office dan Delphi diperlukan maka semua orang akan belajar computer P2 : Office dan Delphi diperlukanKonklusi Q : Semua orang akan belajar computer Jika ditulis dalam bentuk notasi logika Misal p : Office dan Delphi diperlukan q : Semua orang belajar computer Maka argumen diatas dapat ditulis : p => q, p |- q (valid) 2.Misal p : Saya suka kalkulus q : Saya lulus ujian kalkulus Maka argumen p _ q, p _ q dapat ditulis P1 : Jika saya suka kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus P2 : Saya lulus ujian kalkulus Saya lulus ujian kalkulus (valid) Untuk mengetahui suatu argumen apakah valid atau tidak maka dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : 1.Tentukan premis dan konklusi argument 2.Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan konklusi. 3.Carilah baris kritis yatitu baris diman semua premis bernilai benar. 22 4.Dalam baris kritis tersebut, jika nilai kesimpulan semuanya benar maka argumen tersebutvalid.Jikadiantarabariskritistersebutadabarisdengannilaikonklusi salah maka argumen tersebut tidak valid. Sistem Pembuktian / Penarikan Kesimpulan A.MODUS PONEN Modus ponen atau penalaran langsung adalh salah satu metode inferensi dimana jika diketahui implikasi Bila p maka q yang diasumsikan bernilai benar dan antasenden (p) benar. Supaya implikasi p_q bernilai benar, maka q juga harus bernilai benar. Modus Ponen : p => q , p |- q atau dapat juga ditulis p => q p ______ q Contoh : Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10 Digit terakhir suatu bilangan adalah 0 ____________________________________ Bilangan tersebut habis dibagi 10 B. MODUS TOLLENS Bentukmodustollensmiripdenganmodusponen,hanyasajapremiskeduadan kesimpulanmerupakankontraposisipremispertamamodusponen.Halini mengingatkan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya. Modus Tollens : p => q, q |- p Atau dapat juga ditulis p => q q _______ p Contoh : Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10 Suatu bilangan tidak habis dibagi 10 ____________________________________ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0 23 C. PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION) Inferensipenambahandisjungtifdidasarkanatasfaktabahwasuatukalimatdapat digeneralisasikan dengan penghubung v. Alasannya adalah karena penghubung v bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar. Misalnya saya mengatakan Langitberwarnabiru(bernilaibenar).Kalimattersebuttetapakanbernilaibenar jikaditambahkankalimatlaindenganpenghubungv.MisalnyaLangitberwarna biru atau bebekadalahbinatangmenyusui.Kalimattersebuttetapbernilaibenarmeskipun kalimat Bebek adalah binatang menyusui, merupakan kalimat yang bernilai salah. Addition : p _(pq) atau q _ (pq) Atau dapat ditulis p atau q ____ ____ pvq pv q Contoh : Simon adalah siswa SMU ______________________________ Simon adalah siswa SMU atau SMP D. PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION) Inferensiinimerupakankebalikandariinferensipenambahandisjungtif.Jika beberapakalimatdihubungkandenganoperator,makakalimattersebutdapat diambil salah satunya secara khusus (penyempitan kalimat). Simplification : (pq) |- p atau (pq) |- q Atau dapat ditulis pq atau pq ____ ____ p q Contoh : Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat __________________________________________________ Langit berwarna biru atau Bulan berbentuk bulat E. SILOGISME DISJUNGTIF PrinsipdasarSilogismeDisjungtif(Disjunctivesyllogism)adalahkenyataanbahwa apabilakitadihadapkanpadasatudiantaraduapilihanyangditawarkan(AatauB). 24 Sedangkankitatidakmemilih/tidakmenyukaiA,makasatu-satunuapilihanadalah memilih B. Begitu juga sebaliknya. Silogisme Disjungtif : pv q, p |- q dan pvq, q |- p Atau dapat ditulis p v q atau pvq pq ____ ____ q p Contoh : Saya pergi ke mars atau ke bulan Saya tidak pergi ke mars __________________________ Saya pergi ke bulan F. SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY) Prinsipsilogismehipotesisadalahsifattransitifpadaimplikasi.Jikaimplikasip=>q dan q=>r keduanya bernilai benar, maka implikasi p=>r bernilai benar pula. Transitivity : p=>q , q=>r |- p=>r Atau dapat ditulis p=>q q=>r _____ p=>r Contoh : Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor ____________________________________________ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor. G. KONJUNGSI Jikaadaduakalimatyangmasing-masingbenar,makagabungankeduakalimat tersebut dengan menggunakan penghubung juga bernilai benar. Konjungsi p q ____ pq H. DILEMA 25 Kadang-kadang,dalamkalimatyangdihubungkandenganpenghubungv,masing-masingkalimatdapatmengimplikasikansesuatuyangsama.Berdasarkanhalitu maka suatu kesimpulan dapat diambil. Dilema : pvq p=>r q=>r _____ r 26 BAB III KUANTIFIKASI DalamBabiniakanmempelajarikonsepdasarkonstanta,variabel,kalimat terbuka,kuantordaningkarankalimatsebagaikonseppenalarandalamlogika informatika. Variabel dan Konstanta Variabel adalah simbol yang menunjukan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Sedangkan konstanta adalah simbol yang menunjukan suatu anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan. Untuk dapat berbicara tentang anggota tertentu dari semestanya, diperlukan suatu simbol atau tanda yaitu suatu nama dari anggota tersebut. Contoh 1 : MisalnyaadapernyataanNiken,Ais,Ajiadalahnamaorang,dimana semestanya adalah himpunan orang-orang. Jika semestanya himpunan bilangan-bilangan, makaangka5,angka211adalahsuatusimboluntukbilangan-bilanganyangdisajikan. Simbol seperti itu disebut Konstanta. Jadi konstanta adalah suatu simbol atau tanda yang diucapkan atau ditulis untuk menunjukkan tentang anggota tertentu dari semestanya. Jikahendakberbicaratentanganggotasembarangdarisemestanya,maka diperlukan suatu tanda-tanda lain dari konstanta. Tanda demikianyang dimaksud adalah variabel(atauperubah).Jadivariabeladalahsuatusimbolatautandayangdigunakan untuk menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya.Contoh 2 : Misalnyasemestapembicaranyaterdiriatasmerekayangkuliahpadasebuah universitas(perguruantinggi)makakatamahasiswamenunjukpadaanggota sembarang dari semesta pembicaranya. Contoh 3 : Pehatikan beberapa pernyataan berikut: (a). Manusia makan nasi (b). Manusia memakai sepatu (c). 4 + x = 7 (d). p < 5 27 Suatupernyataanmempunyainilaibenaratausalahtergantungpadakesesuaian kalimattersebutdengankeadaansesungguhnya.Bernilaibenarjikakeadaan sesungguhnyasesuaidenganrealitayangada,jikasebaliknyabernilaisalah.Pernyataan seperti ini biasanya disebut pernyataan faktual. Jikapernyataan(a)manusiadigantiTony,makapernyataannyamenjadiToni makannasi.Pernyataaninijelasbernilaibenarsajaatausalahsaja,tergantung realitasnya.Demikianjugauntukpernyataan(b)akanmenjadipernyataanTony memakaisepatupernyataaniniakanmenjadijelasnilainya,yaitubenaratausalah tergantung realitasnya. Pada pernyataan (c) jika x diganti 3, akan bernilai benar. tetapi jika x diganti 4 akan bernilai salah. Demikian juga untuk pernyataan (d) jika p diganti 0 atau 1, atau 2, atau 3, atau 4 akan bernilai benar untuk semesta pembicaraan himpunan bilangan cacah, tetapi jika semestanya himpunan bilangan asli, maka pernyataan akan bernilai salah. Kata-kata manusia, x , p pada pernyataan diatas disebut variabel. Sedangkan pengganti katanya yaitu Tony, 3, 4, dan 0,1,2,3,4disebut konstanta. Jikasemestapembicaranyabilangan-bilanganmakavariabelyangdimaksudkan adalahvariabelnumerik.Dalamhalini,variabeladalahtanda-tanda,yangbiasanya dipilih huruf kecil dari abjad x, y dan seterusnya. Kalimat terbuka Pernyataan-pernyataandalamcontoh3diatasdisebutkalimat(pernyataan) terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka pernyataan yang terjadi dikatakan sebagai pernyataan tertutup. Pernyataanterbukaadalahsuatupernyataanyangmemuatvariabel,danjika variabeltersebutdigantikonstantayangsesuaidengansemestanyamakapernyataanya akanbernilaibenarsajaatausalahsaja.Jadipernyataanterbukamerupakanpernyataan yang belum mempunyai nilai kebenaran, belum bernilai benar atau salah. Misalkanpernyataanterbukainidengansimbol/notasip(x).Hurufp,q, ....danseterusnyadisinihanyalahsebuahsimbol/notasidalampengkajiansuatusifat, hanyauntukmempermudahdalampembicaraanselanjutnya.Misalnya:p(x)ini merupakankalimatterbuka,dandiucapkansebagaiobyekxmempunyaisifatp. Variabelyangterdapatdalamrangkaiantandap(x)disebutvariabelbebas.Disini p(x) , tidak bernilai benar atau salah. Pernyataan ini disebut pernyataan terbuka. 28 Agarpernyataanterbukap(x)inimempunyainilaisalahataubenar(yaitu menjadi pernyataan deklaratif), maka jika perlu semua variabel bebas di dalamnya diganti dengansuatukonstanta.Adacarayanglazimdigunakanuntukmerubahpernyataan terbukainimenjadipernyataandeklaratif,yaitudenganmembubuhkansuatukuantor. Yang dimaksud kuantor disini adalah kuantor universal atau kuantor eksistensial di depan pernyataan p(x). Kuantor Caralainuntukmendapatkalimatdeklaratifdarisuatupernyataanadalahdengan menggunakan kuantor, yaitu menentukan kuantifikasi obyeknya Ada dua jenis kuantor yaitu :1.Kuantor universal ()2.Kuantor eksistensial () Contoh : Setiap laki-laki harus wajib militer Ada beberapa laki-laki yang tidak wajib militer Ditulis sebagai berikut : Untuk setiap x, jika x laki-laki maka x harus wajibmiliter Terdapat x sehingga xlaki-laki dan xtidak wajib militer. Kuantor pernyataanJikapadalahmenunjukkansifatlaki-lakidanqmenunjukkansifatwajibmiliter, maka kalimat tersebut dapat ditulis : 1. (x)p(x)q(x)dan 2. (x)p(x) q(x) Secara umum : Kuantor universal selalu diikuti dengan bentukImplikasi dan Kuantor eksistensial selalu diikuti dng bentuk konjungsi Hubungan Kuantor dan Pandang contoh sebagai berikut : Pernyataan p : Setiap peserta kuliah Logika informatika mendapat nilai A Ingkarannya :29 ~p adalah : Tidak setiap peserta kuliah logika informatika mendapat nilai A ataubolehdikatakan:AdapesertakuliahlogikainformatikamendapatnilaitidakA (mis B) Jika dua pernyataan tersebut ditulis dengan kuantor dan semesta pembicaraannyaadalah semua peserta kuliah logika informatika, maka kalimat pertama :p:(x)A(x)( A adalah sifat mendapat nilai A) dan yang kedua (neg):~p:(x)A(x) Negasi kuantor Hubungan antara kuantor universal dengan kuantor eksistensial E1 : ( x ) p ( x ) ( x ) p ( x ) E2 : ( x ) p ( x ) ( x ) p ( x ) E3 :(x)p(x)q(x) (x)p(x) q(x) E4 :(x)p(x) q(x) (x)p(x)q(x)Jikasuatupredikatmenyangkutlebihdarisatuobyek,misalnyap(x,y),makaperlu dibicarakansuatupernyataandenganlebihdarisatukuantor.Kombinasikuantoryang mungkin untuk predikat p(x,y) adalah : (x)(y)p(x,y) ;(x)(y)p(x,y) ; (x)(y)p(x,y) (x)(y)p(x,y) ;(x)(y)p(x,y);(x)(y)p(x,y) (x)(y)p(x,y); (x)(y)p(x,y) Didapat rumusan sbb : 1.(x) (y) p(x,y) (y) (x) p(x,y) 2.(x) (y) p(x,y) (y) (x) p(x,y) 3.(y) (x) p(x,y) (x) (y) p(x,y) 4.(x) (y) p(x,y) (y) (x) p(x,y) 5.(x) (y) p(x,y) (y) (x) p(x,y) Ingkaran kalimat NegasidariSemuamanusiatidakkekaladalahtidakbenarbahwasemua manusiatidakkekalatauBeberapamanusiatidakkekal.Jikap(x)adalahmanusia (=x) tidak kekal, maka Semua manusia adalah tidak kekal atau x p( x ) bernilai benar 30 dan beberapa manusia tidak kekal atau x p( x ) bernilai salah. Jadiingkarandarikuantoruniversal(x)p(x)dinyatakandengansimbollogika: [x p(x)] x : p(x) atau (x) p(x) (x) p(x) (x) p(x) Jadinegasidarisuatupernyataanyangmemuatkuantoruniversaladalahekivalen denganpernyataanyangmemuatkuantifikasieksistensial(fungsipernyataanyang dinegasikan) dan sebaliknya.Ingkarandarikuantoreksistensial(x)p(x)dinyatakandengan) ( ) ( x p x dinyatakan dengan simbol logika:[x p(x)] x : p(x) atau) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x p x x p x x p x = = Jadinegasidarisuatupernyataanyangmemuatkuantoreksistensialadalahekivalen denganpernyataanyangmemuatkuantifikasiuniversal(fungsipernyataanyang dinegasikan) Contoh 1 : H(x) : x hidup M(x) : x mati (x)(H(x) v M(x)) dibaca Untuk semua x, x hidup atau x mati Akan tetapi jika ditulisnya (x)(H(x)) v M(x) maka dibaca Untuk semua x hidup, atau x mati.Padaxmati,xtidakterhubingdengankuantoruniversal,yangterhubung hanyax hidup. Sekali lagi, perhatikan penulisan serta peletakan tanda kurungnya. Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut : (x)( y) P(x,y) (y)( x) P(x,y) (x)( y) P(x,y) (y)( x) P(x,y) (x)( y) P(x,y) (y)( x) P(x,y) Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama seperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal. [(x)( y) P(x,y)] (x)( y) P(x,y) [(x)( y) P(x,y)] (x)( y) P(x,y) Contoh 2 : Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini : 31 1.(x)( y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat (x)( y) x=2y dibaca Untuk semua bilangan bulat x, terdapat bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya : [(x)( y) x=2y] (x)( y) x2y 2.Ada toko buah yang menjual segala jenis buah Dapat ditulis (x)( y) x menjual y. Maka negasinya [(x)( y) x menjual y] (x)( y) x tidak menjual y Dibaca Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis buah. Mengubah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantor ganda Misal : Ada seseorang yang mengenal setiap orang Langkah-langkahnya : 1. Jadikan potongan pernyataan x kenal y, maka akan menjadi K(x,y). K(x,y) : x kenal y 2. Jadikan potongan pernyataan x kenal semua y, sehingga menjadi (y) K(x,y) 3. Jadikan pernyataan ada x, yang x kenal semua y, sehingga menjadi (x)(y) K(x,y) 32 BAB IV HIMPUNAN Pada kehidupan sehari-hari seringkali untuk memperrmudah menyelesaikan suatu masalah kita mengelompokkan suatu objek kedalam kategori-kategori tertentu. Misalnya kelompoktumbuhanberdaunlebar,kelompokanakkecil.,atauHimpunanMahasiswa TeknikInformatika(HIMATIF).Kelompok-kelompoktersebutdalammatematikaada yang disebut himpunan, ada juga yang tidak masuk dalam kategori himpunan. Definisi himpunan dalam matematika adalah sebagai berikut: Definisi Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda dan terdefinisi dengan baik. Himpunanbiasanyadilambangkandenganhurufbesar,sedangkanobjekdidalam himpunandisebutyangbiasadissebutelemen,unsur,atauanggota.Dilambangkan dengan huruf kecil. Contoh 1: HIMATIFadalahsebuahhimpunan,didalamnyaberisianggotaberupamahasiswa,dan tiap mahasiswa berbeda satu sama lain. Keanggotaan Suatuobjekdisebutanggotadalamsuatuhimpunanapabilamemenuhikriteriadalam himpunan tersebut, dan dinotasikan sebagai berikut: x A : x merupakan anggota himpunan A;x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh 2.Misalkan: A = {1, 2, 3, 4},R= { a, b, {a, b, c}, {a, c} } dan K= {{}} maka 3 A 33 {a, b, c} R c R {} K {} R Contoh 3.Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} },dan P3 = {{{a, b}}},maka a P1 a P2 P1 P2 P1 P3 P2 P3

Cara Penyajian Himpunan Cara penyajian himpunan ada beberapa macam yaitu: 1.Enumerasi Enumerasi mendaftarkan semua anggota himpunan satu persatu. Contoh :-Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. -Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.-C = {kucing, a, Amir, 10, paku}-R= { a, b, {a, b, c}, {a, c} } -C= {a, {a}, {{a}} } -K= { {} } -Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } -Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -2, -1, 0, 1, 2, }. 2.Simbol-simbol Baku 34 P =himpunan bilangan bulat positif={ 1, 2, 3, ... } N =himpunan bilangan alami (natural)={ 1, 2, ... } Z =himpunan bilangan bulat={ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q =himpunan bilangan rasional R =himpunan bilangan riil C =himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.Contoh:MisalkanU={1,2,3,4,5}danAadalahhimpunanbagiandariU, dengan A = {1, 3, 5}. 3.Notasi Pembentuk Himpunan Notasi: { x ( syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh 4.(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif kecildari 5 A = { x | xbilangan bulat positif lebih kecil dari5} atau A={ x | x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} (ii)M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151} 4.Diagram Venn Contoh 5.Misalkan U = {1, 2, , 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U1253 6847A B35 Kardinalitas Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(A) atau A Contoh 6. (i)B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 },atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka |B| = 8 (ii)T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka |T| = 5 (iii)A = {a, {a}, {{a}} }, maka |A| = 3 Himpunan kosong (null set) Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi dari himpunan kosong adalah atau {} Contoh 7.(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 (ii)P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 (iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {} himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}} {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong. Himpunan Bagian (Subset) Definisi Himpunan Bagian HimpunanAdikatakanhimpunanbagiandarihimpunanBjikadanhanyajikasetiap elemen A merupakan elemen dari B.Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B 36 Diagram Venn: UAB Contoh 8. (i){ 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} (ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3} (iii) N Z R C (iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x, y 0 } dan B = { (x, y) | 2x + y < 4,x 0 dan y 0 },maka B A.

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). (c) Jika A B dan B C, maka A C A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A. A B berbeda dengan A B (i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.Contoh: {1} dan {2, 3} adalahproper subset dari {1, 2, 3} 37 (ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwaA adalahhimpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. Latihan MisalkanA={1,2,3}danB={1,2,3,4,5}.Tentukansemuakemungkinan himpunan C sedemikian sehingga A C dan C B, yaitu A adalah proper subset dari C dan Cadalah proper subset dari B. Jawaban: CharusmengandungsemuaelemenA={1,2,3}dansekurang-kurangnyasatu elemen dari B.Dengan demikian, C = {1, 2, 3, 4} atauC = {1, 2, 3, 5}.C tidak boleh memuat 4 dan 5 sekaligus karena C adalah proper subset dari B. Himpunan yang Sama Definisi Himpunan yang Sama Suatu himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B (A = B) jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.A = B jika Aadalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = BA B dan B A Contoh 9.(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x 1) = 0 }, maka A = B (ii)Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A BUntuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C(b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C 38 Himpunan yang Ekivalen Definisi Himpunan yang Ekivalen HimpunanAdikatakanekivalendenganhimpunanBjikadanhanyajikakardinaldari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B |A| = |B| Contoh 10.Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, makaA ~ B sebab |A| = |B| = 4 Himpunan Saling Lepas Definisi Himpunan Saling Lepas DuahimpunanAdanBdikatakansalinglepas(disjoint)jikakeduanyatidakmemiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn:UAB Contoh 11.Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B. Himpunan Kuasa 39 Definisi Himpunan Kuasa Himpunankuasa(powerset)darihimpunanAadalahsuatuhimpunanyangelemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2A Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2m. Contoh 12.Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}. Operasi Terhadap Himpunan1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x , x A dan x B } Contoh 14. (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya:A // B 2.Gabungan (union) 40 Notasi : A B = { x , x A atau x B } Contoh 15. (i)Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A3.Komplemen (complement) Notasi :A = { x , x U, x A } Contoh 16.Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i)jika A = {1, 3, 7, 9}, makaA = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, makaA= { 1, 3, 5, 7, 9 } Contoh 17.Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 41 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu (i)mobilmahasiswadiuniversitasiniproduksidalamnegeriataudiimpordariluar negeri(E A) (E B) atau E (A B) (ii)semuamobilproduksidalamnegeriyangdibuatsebelumtahun1990yangnilai jualnya kurang dari Rp 100 jutaA C D (iii)semuamobilimporbuatansetelahtahun1990mempunyainilaijuallebihdariRp 100 jutaB D C 4. Selisih (difference) Notasi : A B = { x , x A dan x B } =A B Contoh 18. (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B A = (ii){1, 3, 5} {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {2} 5.Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) 42 Contoh 19.Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 } Contoh 20.MisalkanU = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.(i) Semua mahasiswa yang mendapat nilai A : P Q (ii) Semua mahasiswa yang mendapat nilai B : P Q (iii)Semua mahasiswa yang mendapat nilai C : U (P Q) TEOREMA 2.Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (hukum komutatif) (b) (A B ) C = A (B C )(hukum asosiatif) 6.Perkalian Kartesian (cartesian product) Notasi: A B = {(a, b) | a A dan b B } Contoh 20.(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 },dan D = { a, b }, makaC D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii)Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar Catatan:1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:|A B| = |A| . |B|. 2. (a, b) (b, a). 43 3. A B B Adengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, C = { 1, 2, 3 },dan D = { a, b }, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } D C C D. 4.Jika A = atau B = , maka A B = B A = Contoh 21.Misalkan A = himpunan makanan = { s = soto, g =gado-gado, n= nasigoreng,m = mie rebus } B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet } Berapabanyakkombinasimakanandanminumanyangdapatdisusundarikedua himpunan di atas? Jawab:|A B| = |A||B| = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}. Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut: (a) P()(b) P()(c) {} P()(d) P(P({3})) Penyelesaian: (a)P() = {} (b) P() = (ket: jika A = atau B = maka A B = ) (c){} P() = {} {} = {(,)) (d)P(P({3})) = P({ ,{3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} } Latihan MisalkanAadalahhimpunan.Periksalahapakahsetiappernyataandibawahinibenar atau salah dan jika salah, bagaimana seharusnya: 44 (a) ) ( ) ( A P A P A = (b) ) ( ) ( } { A P A P A = (c) A A P A = ) ( (d) ) ( } { A P A (e) ) ( A P A Jawaban: (a) salah, seharusnya = ) ( A P A(b) benar (c) benar (d) salah, seharusnya) ( } { A P A(e) salah, seharusnya) ( A P A Perampatan Operasi Himpunan Inii nA A A A12 1...== Unii nA A A A12 1...== ininA A A A12 1...= = ininA A A A12 1...= = Contoh 22. (i) A (B1B2 ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn) U UniiniiB A B A1 1) ( ) (= = = (ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }45 Hukum-hukum Himpunan Hukum-hukumHimpunandisebutjugasifat-sifat(properties)himpunanataudisebut juga hukum aljabar himpunan 1.Hukum identitas: A = A A U = A 2.Hukum null/dominasi: A = A U = U 3.Hukum komplemen: A A= U A A= 4.Hukum idempoten: A A = A A A = A 5.Hukum involusi: ) (A= A 6.Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A 7.Hukum komutatif: A B = B A A B = B A 8.Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 10. Hukum De Morgan: B A = B A B A = B A 11. Hukum 0/1 = U U = Prinsip Dualitas Prinsip dualitas adalah dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: ASkemudi mobil di kiri depan Inggris (juga Indonesia)kemudi mobil di kanan depanPeraturan: (a) di Amerika Serikat, - mobil harus berjalan di bagian kanan jalan, -pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului, 46 -bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung (b) di Inggris, -mobil harus berjalan di bagian kiri jalan, -pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului, -bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung Prinsip dualitas: Konsepkiridankanandapatdipertukarkanpadakeduanegaratersebutsehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan(identity)yang melibatkanhimpunandanoperasi-operasiseperti,,dankomplemen.JikaS* diperoleh dari S dengan mengganti , , U, U , sedangkankomplemendibiarkansepertisemula,makakesamaanS*jugabenardan disebut dual dari kesamaan S. 1.Hukum identitas: A = A Dualnya: A U= A 2. Hukum null/dominasi: A = Dualnya: A U = U 3.Hukum komplemen: A A= U Dualnya: A A = 4.Hukum idempoten: A A = A Dualnya: A A = A 5.Hukum penyerapan: A (A B) = A Dualnya: A (A B) = A 47 6.Hukum komutatif: A B = B A Dualnya: A B = B A 7.Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C Dualnya: A (B C) = (A B) C Hukum distributif: A (B C)=(A B) (A C) Dualnya: A (B C) = (A B) (A C) 9.Hukum De Morgan:

B A = A B Dualnya: B A = A B 10.Hukum 0/1= U Dualnya: U = Contoh 23. Dual dari (A B) (A B) = A adalah(A B) (A B) = A. Prinsip Inklusi-Eksklusi Untuk dua himpunan A dan B: |A B| = |A| + |B| |A B||A B| = |A| +|B| 2|A B| Contoh 24.Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5? Penyelesaian: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A B =himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulatyanghabisdibagiolehKPKKelipatanPersekutuanTerkecildari3 dan 5, yaitu 15), Yang ditanyakan adalah |A B|.|A| = 100/3= 33, |B| = 100/5= 20, 48 |A B| = 100/15= 6 |A B| = |A| + |B| |A B| = 33 + 20 6 = 47 Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku |A B C| = |A| + |B| + |C| |A B| |A C| |B C| + |A B C| Untuk himpunan A1, A2, , Ar, berlaku: |A1 A2 Ar| = i|Ai| r j i 1|Ai Aj| + r k j i 1|Ai Aj Ak| + + (-1)r-1 |A1 A2 Ar| Latihan: Diantarabilanganbulatantara101600(termasuk101dan600itusendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya? Penyelesaian:Diketahui: ( U( = 500 ( A(= 600/4 100/4 = 150 25 = 125 ( B(= 600/5 100/5= 120 20 = 100 ( A B (= 600/20 100/20 = 30 5 = 25 yang ditanyakan (B A (= ? Hitung terlebih dahulu ( A B(=( A( + ( B( 2( A B ( = 125 + 100 50 = 175 untuk mendapatkan (B A (= U ( A B(=500 175 = 325 Partisi Definisi Partisi 49 Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, dari A sedemikian sehingga: (a)A1 A2 = A, dan (b)Ai Aj = untuk i j

Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A. Himpunan Ganda (multiset) Definisi Himpunan Ganda Himpunanyangelemennyabolehberulang(tidakharusberbeda)disebuthimpunan ganda (multiset).Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.Definisi Multiplisitas Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebutpadahimpunanganda.Contoh:M={0,1,1,1,0,0,0,1},multiplisitas0 adalah 4. Himpunan(set)merupakancontohkhususdarisuatumultiset,yangdalamhalini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1. Kardinalitasdarisuatumultisetdidefinisikansebagaikardinalitashimpunanpadanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda. Operasi Antara Dua Buah Multiset: Misalkan P dan Q adalah multiset: 1.P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, P Q = { a, a, a, b,c, c, d, d } 50 2.P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } P Q = { a, a, c } 3.P Q adalah suatumultiset yang multiplisitas elemennya sama dengan: multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnyapada Q, jika selisihnya positif 0, jika selisihnya nol atau negatif. Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = {a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } maka P Q= { a, e } 4.P+Q,yangdidefinisikansebagaijumlah(sum)duabuahhimpunanganda,adalah suatumultisetyangmultiplisitaselemennyasamadenganpenjumlahandari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d }, P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d } Pembuktian Proposisi Perihal Himpunan Proposisi himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.Proposisi dapat berupa: 1.Kesamaan (identity) Contoh: Buktikan A (B C) = (A B) (A C)2.Implikasi Contoh:BuktikanbahwaJikaAB=danA(BC)makaselaluberlaku bahwa A C. 1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwaA (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn.Bukti: 51 A (B C)(A B) (A C) Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C). Ada beberapa catatan untuk pembuktian dengan menggunakan Diagram Venn: 1.DiagramVennhanyadapatdigunakanjikahimpunanyangdigambarkantidak banyak jumlahnya.2.Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta.3.DiagramVenntidakdianggapsebagaimetodeyangvaliduntukpembuktian secara formal. 2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C). Bukti: ABCB CA (B C)A BA C(A B) (A C) 00000000 00110000 01010000 01110000 10000000 10111011 11011101 52 11111111 Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama, maka A (B C) = (A B) (A C). 3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan. Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa(A B) (A B) = A Bukti:(A B) (A B)= A (B B) (Hukum distributif) = A U(Hukum komplemen) = A(Hukum identitas) Contoh 29.Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A (B A) = A B Bukti: A (B A)= A (B A)(Definisi operasi selisih) = (A B) (A A)(Hukum distributif) = (A B) U(Hukum komplemen) = A B(Hukum identitas) Contoh 30.Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa (i)A ( A B) = A Bdan (ii)A ( A B) = A B Bukti: (i) A ( A B)= ( A A) (A B)(H. distributif) =U (A B)(H. komplemen) =A B(H. identitas) 53 (ii)adalah dual dari (i)A ( A B)= (A A) (A B)(H. distributif) = (A B)(H. komplemen) =A B(H. identitas) 4. Pembuktian dengan menggunakan definisi Metodeinidigunakanuntukmembuktikanpernyataanhimpunanyangtidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataanyang berbentuk implikasi. Biasanyadi dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( atau ). Contoh 31.Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan A (B C) maka A C. Buktikan! Bukti: (i)Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika setiap x P juga Q. Misalkan x A. Karena A (B C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga (B C).Dari definisi operasi gabungan (), x (B C) berarti x B atau x C. (ii) Karena x A dan A B = , maka x B Dari (i) dan (ii), x C harus benar. Karena x A juga berlaku x C, maka dapat disimpulkan A C . MisalkanAadalahhimpunanbagiandarihimpunansemesta(U).Tuliskanhasildari operasi beda-setangkup berikut? (a) A U(b) A A(c)A U Penyelesaian: (a) A U = (A U) (U A) (Definisi operasi beda setangkup) =()(A)(Definisi opearsi selisih) =A (Hukum Identitas) (b) A A= (A A) ( A A) (Definisi operasi beda setangkup) 54 =(A A) ( A A)(Definisi operasi selisih) =A A(Hukum Idempoten) = U(Hukum Komplemen) (c)A U=( A U) ( A U) (Definisi operasi beda setangkup) = U A(Hukum Null dan Hukum Identitas) = A(Definisi operasi selisih) 55 BAB V RELASI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk (a, b) R,yangartinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.HimpunanAdisebutdaerahasal(domain)dariR,danhimpunanBdisebutdaerah hasil (range) dari R. Contoh 1. Misalkan A = {Amir, Budi, Cecep},B = { IF251, IF342, IF323}A B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342),(Amir, IF323),(Budi, IF221), (Budi, IF251),(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221), (Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) } MisalkanRadalahrelasiyangmenyatakanmatakuliahyangdiambilolehmahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu: R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323)} - Dapat dilihat bahwa R (A B),- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.- (Amir, IF251) Ratau Amir R IF251 - (Amir, IF342) R atau Amir RIF342. Contoh 2. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) Rjika p habis membagi q maka kita peroleh R= {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A A. 56 Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A A. Contoh 3. Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) Rjika x adalah faktor prima dari y.Maka R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)} Representasi Relasi 1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah AmirBudiCecepIF221IF251IF342IF3232342489152348923489ABPQA A 2.. Representasi Relasi dengan Tabel Kolompertamatabelmenyatakandaerahasal,sedangkankolomkedua menyatakan daerah hasil. Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3 ABPQAA AmirIF2512222 AmirIF3232424 BudiIF2214428 BudiIF2512833 CecepIF3234833 39 315 3. Representasi Relasi dengan Matriks Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, , am} dan B = {b1, b2, , bn}.Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij], b1 b2 bn 57 M = (((((

mn m mnnmm m mm m mm m maaaLM M M MLLM2 12 22 211 12 1121 yang dalam hal ini=R b aR b amj ij iij) , ( , 0) , ( , 1

Contoh 4. Relasi R pada Contoh 1 dapat dinyatakan dengan matriks ((((

1 0 0 00 0 1 11 0 1 0 dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = IF221,b2 = IF251, b3 = IF342, dan b4 = IF323. Relasi R pada Contoh 2 dapat dinyatakan dengan matriks ((((

0 0 1 1 01 1 0 0 00 0 1 1 1 dalam hal ini, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, dan b1 = 2, b2 = 4, b3 = 8, b4 = 9, b5 = 15. 4.Representasi Relasi dengan Graf Berarah Relasipadasebuahhimpunandapatdirepresentasikansecaragrafisdengangraf berarah (directed graph atau digraph)Grafberarahtidakdidefinisikanuntukmerepresentasikanrelasidarisuatu himpunan ke himpunan lain.Tiapelemenhimpunandinyatakandengansebuahtitik(disebutjugasimpulatau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) Jika(a,b)R,makasebuahbusurdibuatdarisimpulakesimpulb.Simpula disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasanganterurut(a,a)dinyatakandenganbusurdarisimpulakesimpula sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop). 58 Contoh 5. Misalkan R = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, c), (b, d), (c, a), (c, d),(d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. R direpresentasikan dengan graf berarah sbb: Sifat-sifat Relasi Biner Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. 1.Refleksif (reflexive) Definisi Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a A sedemikiansehingga (a, a) R. Contoh6.MisalkanA={1,2,3,4},danrelasiRdibawahinididefinisikanpada himpunan A, maka (a) RelasiR={(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)}bersifat refleksifkarenaterdapatelemenrelasiyangberbentuk(a,a),yaitu(1,1),(2,2), (3, 3), dan (4, 4). (b)RelasiR={(1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)}tidakbersifatrefleksif karena (3, 3) R. Contoh7.Relasihabismembagipadahimpunanbilanganbulatpositifbersifat refleksifkarenasetiapbilanganbulatpositifhabisdibagidengandirinya sendiri, sehingga (a, a)R untuk setiap a A. abc d59 Contoh 8. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 5,T : 3x + y = 10 Tidaksatupundariketigarelasidiatasyangrefleksifkarena,misalkan(2,2)bukan anggota R, S, maupun T. Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, , n, (((((((

1111O Grafberarahdarirelasiyangbersifatrefleksifdicirikanadanyagelangpadasetiap simpulnya. 2.Menghantar (transitive) Definisi Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A. Contoh9.MisalkanA={1,2,3,4},danrelasiRdibawahinididefinisikanpada himpunan A, maka (a)R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut: Pasangan berbentuk (a, b) (b, c) (a, c) (3, 2) (2, 1) (3, 1) (4, 2) (2, 1) (4, 1) 60 (4, 3) (3, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 2) (4, 2) (b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena(2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2) dan(2, 3) R, tetapi (4, 3) R. (c)Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar(d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada(a, b) R dan (b, c) R sedemikian sehingga (a, c) R. Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar. Contoh10.Relasihabismembagipadahimpunanbilanganbulatpositifbersifat menghantar.Misalkanbahwaahabismembagibdanbhabismembagic. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb.Disinic=nma,sehinggaahabismembagic.Jadi,relasihabis membagi bersifat menghantar.

Contoh11.Tigabuahrelasidibawahinimenyatakanrelasipadahimpunanbilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6,T : 3x + y = 10 -R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.- S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) S.- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar. Relasiyangbersifatmenghantartidakmempunyaicirikhususpadamatriks representasinya Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busurdari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c. 3. Setangkup (symmetric) dan tolak-setangkup (antisymmetric) Definisi 61 Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) R, maka (b, a) R untuk a, b A. Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) R sedemikiansehingga (b, a) R. Definisi Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) Rdan (b, a) Rhanya jika a = b untuk a, b A disebut tolak-setangkup. RelasiRpadahimpunanAtidaktolak-setangkupjikaadaelemenberbedaadanb sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R. Contoh12.MisalkanA={1,2,3,4},danrelasiRdibawahinididefinisikanpada himpunan A, maka (a)RelasiR={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}bersifatsetangkup karena jika (a, b) Rmaka (b, a) juga R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) R.(b)Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R. (c)Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R. Perhatikan bahwa R juga setangkup. (d)Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) R dan 1 = 1 dan, (2, 2) R dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup. (e)Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 4 tetapi (2,4)dan(4,2)anggotaR.RelasiRpada(a)dan(b)diatasjugatidaktolak-setangkup. (f)Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak setangkup tetapi tolak-setangkup. RelasiR={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2),(4,4)}tidaksetangkupdantidak tolak-setangkup.Rtidaksetangkupkarena(4,2)Rtetapi(2,4)R.Rtidak tolak-setangkup karena (2, 3) R dan (3, 2) R tetap 2 3.

62 Contoh13.Relasihabismembagipadahimpunanbilanganbulatpositiftidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sebagai contoh, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2.Karenaitu,(2,4)Rtetapi(4,2)R.Relasihabismembagitolak-setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b. Sebagai contoh, 4 habis membagi 4. Karena itu, (4, 4) R dan 4 = 4.

Contoh14.Tigabuahrelasidibawahinimenyatakanrelasipadahimpunanbilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6,T : 3x + y = 10 -Rbukanrelasisetangkupkarena,misalkan5lebihbesardari3tetapi3 tidak lebih besar dari 5. - S relasi setangkup karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S.-Ttidaksetangkupkarena,misalkan(3,1)adalahanggotaTtetapi(1,3) bukan anggota T. -S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalkan (4, 2) S dan (4, 2) S tetapi 4 2.-Relasi R dan T keduanya tolak-setangkup (tunjukkan!). Relasiyangbersifatsetangkupmempunyaimatriksyangelemen-elemendibawah diagonal utama merupakan pencerminan darielemen-elemen di atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, , n : (((((((

0101 Sedangkangrafberarahdarirelasiyangbersifatsetangkupdicirikanoleh:jikaada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i j, maka mji = 0. Dengankata lain, matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i j : 63 (((((((

011 001 Sedangkangrafberarahdarirelasiyangbersifattolak-setangkupdicirikanoleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda. Relasi Inversi Definisi MisalkanRadalahrelasidarihimpunanAkehimpunanB.InversdarirelasiR, dilambangkan dengan R1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh R1 = {(b, a) | (a, b) R } Contoh 15. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) Rjika p habis membagi q maka kita peroleh R= {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) } R1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke Pdengan (q, p) R1jika q adalah kelipatan dari p maka kita peroleh Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R, M = ((((

0 0 1 1 01 1 0 0 00 0 1 1 1 makamatriksyangmerepresentasikanrelasiR1,misalkanN,diperolehdengan melakukan transpose terhadap matriks M, 64 N = MT =(((((((

0 1 00 1 01 0 11 0 10 0 1 Relasi Kesetaraan Definisi RelasiRpadahimpunanAdisebutrelasikesetaraan(equivalencerelation)jikaia refleksif, setangkup dan menghantar. Secaraintuitif,didalamrelasikesetaraan,duabendaberhubunganjikakeduanya memiliki beberapa sifat yang sama atau memenuhi beberapa persyaratan yang sama. Dua elemen yang dihubungkan dengan relasi kesetaraan dinamakan setara (equivalent). Contoh:A = himpunan mahasiswa, R relasi pada A: (a, b) R jika a satu angkatan dengan b.R refleksif: setiap mahasiswaseangkatan dengan dirinya sendiriR setangkup: jika a seangkatan dengan b, maka b pasti seangkatan dengan a.R menghantar:jika a seangkatan dengan b dan b seangkatan dengan c, maka pastilah a seangkatan dengan c. Dengan demikian, R adalah relasi kesetaraan. Relasi Pengurutan Parcial Definisi Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial (partial ordering relation) jika ia refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar.HimpunanSbersama-samadenganrelasiRdisebuthimpunanterurutsecara parsial (partially ordered set, atau poset), dan dilambangkan dengan (S, R). Contoh 16. Relasi pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial.Alasan: Relasi refleksif, karena a a untuk setiap bilangan bulat a;Relasi tolak-setangkup, karena jika a b dan b a, maka a = b;65 Relasi menghantar, karena jika a b dan b c maka a c.Contoh17.Relasihabismembagipadahimpunanbilanganbulatadalahrelasi pengurutan parsial.Alasan:relasihabismembagibersifatrefleksif,tolak-setangkup,dan menghantar. Secaraintuitif,didalamrelasipengurutanparsial,duabuahbendasalingberhubungan jikasalahsatunya--lebihkecil(lebihbesar)daripada,ataulebihrendah(lebihtinggi) daripadalainnyamenurutsifatataukriteriatertentu.Istilahpengurutanmenyatakan bahwabenda-bendadidalamhimpunantersebutdirutkanberdasarkansifatataukriteria tersebut. Ada juga kemungkinan dua buah benda di dalam himpunan tidak berhubungan dalamsuaturelasipengurutanparsial.Dalamhaldemikian,kitatidakdapat membandingkan keduanya sehingga tidak dapat diidentifikasi mana yang lebih besar atau lebihkecil.Itulahalasandigunakanistilahpengurutanparsialataupengurutantak-lengkap Klosur Relasi (closure of relation) Contoh 18. Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} pada himpunan A = {1, 2, 3}tidak refleksif. Bagaimana membuat relasi refleksif yang sesedikit mungkin dan mengandung R?Tambahkan(2,2)dan(3,3)kedalamR(karenaduaelemenrelasiiniyangbelum terdapat di dalam R) Relasi baru, S, mengandung R, yaituS = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} Relasi S disebut klosur refleksif (reflexive closure) dari R.Contoh 19. Relasi R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak setangkup. Bagaimana membuat relasi setangkup yang sesedikit mungkin dan mengandung R?Tambahkan (3, 1) dan (2, 3) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini yang belum terdapat di dalam S agar S menjadi setangkup).Relasi baru, S, mengandung R: S = {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)} Relasi S disebut klosur setangkup (symmetric closure) dari R. 66 Definisi Klosur Misalkan R adalah relasi pada himpunan A. R dapat memiliki atau tidak memiliki sifat P, sepertirefleksif,setangkup,ataumenghantar.JikaterdapatrelasiS dengansifatPyang mengandung R sedemikian sehingga S adalah himpunan bagian dari setiap relasi dengan sifatPyangmengandungR,makaSdisebutklosur(closure)ataututupandariR [ROS03]. Klosur Refleksif Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A. Klosur refleksif dari R adalah R , yang dalam hal ini = {(a, a) | a A}. Contoh 20.R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3}, maka = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, sehingga klosur refleksif dari R adalahR = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}={(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} Contoh21.MisalkanRadalahrelasi{(a,b)|ab}padahimpunanbilanganbulat. Klosur refleksif dari R adalah R = {(a, b) | a b} {(a, a) | a Z} = {(a, b) | a, b Z} Klosur setangkup Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A. Klosur setangkup dari R adalah R R-1, dengan R-1 = {(b, a) | (a, b) a R}. Contoh 22. R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3}, makaR-1= {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)} sehingga klosur setangkup dari R adalahR R-1 = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} {(3, 1), (2, 1), (1, 2),(2, 3), (3, 3)} ={(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)} 67 Contoh23.MisalkanRadalahrelasi{(a,b)|ahabismembagib}padahimpunan bilangan bulat. Klosur setangkup dari R adalahR R-1 = {(a, b) | a habis membagi b} {(b, a) | b habis membagi a} = {(a, b) | a habis membagi b atau b habis membagi a} Klosur menghantar Pembentukan klosur menghantar lebih sulit daripada dua buah klosur sebelumnya. Contoh 24.R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2)} adalah relasi A = {1, 2, 3, 4}.R tidak transitif karena tidak mengandung semua pasangan (a, c) sedemikian sehingga (a, b) dan (b, c) di dalam R. Pasangan (a, c) yang tidak terdapat di dalam R adalah (1, 1), (2, 2), (2, 4), dan (3, 1).Penambahan semua pasangan ini ke dalam R sehingga menjadiS = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 1)} tidak menghasilkan relasi yang bersifat menghantar karena, misalnya terdapat (3, 1) Sdan (1, 4) S, tetapi (3, 4) S. Klosur menghantar dari R adalahR* =R2 R3 Rn JikaMRadalahmatriksyangmerepresentasikanRpadasebuahhimpunandengann elemen, maka matriks klosur menghantar R* adalah=*RMMR ] 2 [RM ] 3 [RM ] [nRMMisalkan R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan klosur menghantar dari R. Penyelesaian: Matriks yang merepresentasikan relasi R adalah MR = ((((

0 1 10 1 01 0 1 Maka, matriks klosur menghantar dari R adalah = *RMMR ] 2 [RM ] 3 [RM Karena 68 ((((

= =1 1 10 1 01 1 1] 2 [R R RM M M dan ((((

= =1 1 10 1 01 1 1] 2 [ ] 3 [R R RM M Mmaka = *RM((((

1 1 10 1 01 0 1 ((((

1 1 10 1 01 1 1 ((((

1 1 10 1 01 1 1 =((((

1 1 10 1 01 1 1 Dengan demikian, R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3) } Mengkombinasikan Relasi Karenarelasibinermerupakanhimpunanpasanganterurut,makaoperasi himpunansepertiirisan,gabungan,selisih,danbedasetangkupantaraduarelasiatau lebihjugaberlaku.JikaR1danR2masing-masingadalahrelasidarihimpunaAke himpunan B, maka R1 R2, R1 R2, R1 R2, dan R1 R2 juga adalah relasi dari A ke B. Contoh 25. Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

R1 R2 = {(a, a)} R1 R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}R1 R2 = {(b, b), (c, c)}R2 R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}R1 R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} JikarelasiR1danR2masing-masingdinyatakandenganmatriksMR1danMR2,maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah MR1 R2 = MR1 MR2dan MR1 R2 = MR1 MR2 Contoh 26. Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks R1 = ((((

0 1 11 0 10 0 1danR2 = ((((

0 0 11 1 00 1 0 69 makaMR1 R2 = MR1 MR2 = ((((

0 1 11 1 10 1 1

MR1 R2 = MR1 MR2 = ((((

0 0 11 0 00 0 0 Komposisi Relasi Definisi MisalkanRadalahrelasidarihimpunanAkehimpunanB,danSadalahrelasidari himpunanBkehimpunanC.KomposisiRdanS,dinotasikandenganSR,adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh S R = {(a, c) | a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a, b) Rdan (b, c) S} Contoh27.MisalkanR={(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)}adalahrelasidari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u) adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}. Maka komposisi relasi R dan S adalah S R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) } Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah: 1232468stu JikarelasiR1danR2masing-masingdinyatakandenganmatriksMR1danMR2,maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah MR2 R1 = MR1 MR2 70 yang dalam hal ini operator . sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan dan tanda tambah dengan . Contoh 28. Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks R1 = ((((

0 0 00 1 11 0 1danR2 = ((((

1 0 11 0 00 1 0 maka matriks yang menyatakan R2 R1 adalah MR2 R1 = MR1 . MR2

((((

) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 () 1 0 ( ) 1 1 ( ) 0 1 ( ) 0 0 ( ) 0 1 ( ) 1 1 ( ) 1 0 ( ) 0 1 ( ) 0 1 () 1 1 ( ) 1 0 ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 0 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 0 0 ( ) 0 1 ( = ((((

0 0 01 1 01 1 1 71 Fungsi Definisi MisalkanAdanBhimpunan.RelasibinerfdariAkeBmerupakansuatufungsijika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke Bkita menuliskan f : A Byang artinya f memetakan A ke B. Adisebutdaerahasal(domain)darifdanBdisebutdaerahhasil(codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kitamenuliskanf(a)=bjikaelemenadidalamAdihubungkandenganelemenbdi dalamB.Jikaf(a)=b,makabdinamakanbayangan(image)dariadanadinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunanyangberisisemuanilaipemetaanfdisebutjelajah(range)darif.Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B. Fungsi adalah relasi yang khusus: 1.Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. 2.Frasa dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B berarti bahwa jika (a, b) f dan (a, c) f, maka b = c. Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya:1.Himpunan pasangan terurut. Sepertipada relasi. abA Bf72 2.Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, danf(x) = 1/x.3.Kata-kata Contoh:fadalahfungsiyangmemetakanjumlahbit1didalamsuatu string biner. 4.Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end; Contoh 29. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalahAdandaerahhasiladalahB.Jelajahdarifadalah{u,v,w},yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.

Contoh30.Relasif={(1,u),(2,u),(3,v)}dariA={1,2,3}keB={u,v,w}adalah fungsidariAkeB,meskipunumerupakanbayangandariduaelemenA.DaerahasalfungsiadalahA,daerahhasilnyaadalahB,danjelajahfungsi adalah {u, v}. Contoh 31. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)}dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B.Contoh32.Relasif={(1,u),(1,v),(2,v),(3,w)}dariA={1,2,3}keB={u,v,w} bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v. 73 Contoh 33. Misalkan f : Z Z didefinisikan oleh f(x) = x2. Daerah asal dan daerah hasil darifadalahhimpunanbilanganbulat,danjelajahdarifadalahhimpunan bilangan bulat tidak-negatif. Fungsi Injektif Definisi Fungsi f dikatakan fungsi satu-ke-satu (one to one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. Contoh 34. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu,tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2)= u. Contoh35.Misalkanf:ZZ.Tentukanapakahf(x)=x2+1danf(x)=x1 merupakan fungsi satu-ke-satu? Penyelesaian: (i)f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal 2 2. (ii) f(x) = x 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a b, a 1 b 1.Misalnya untuk x = 2,f(2) = 1 dan untuk x = -2,f(-2) = -3. Fungsi Surjektif Definisi a 1A B2345bcd74 Fungsifdikatakandipetakanpada(onto)atausurjektif(surjective)jikasetiapelemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Contoh36.Relasif={(1,u),(2,u),(3,v)}dariA={1,2,3}keB={u,v,w}bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3,v)}dariA={1,2,3}keB={u,v,w}merupakanfungsipadakarena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Contoh37.Misalkanf:ZZ.Tentukanapakahf(x)=x2+1danf(x)=x1 merupakan fungsi pada? Penyelesaian: (i)f(x)=x2+1bukanfungsipada,karenatidaksemuanilaibilanganbulatmerupakan jelajah dari f.(ii)f(x) = x 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1. Fungs Bijeksi Definisi Fungsifdikatakanberkorespondensatu-ke-satuataubijeksi(bijection)jikaiafungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada. Contoh 38. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsiyangberkorespondensatu-ke-satu,karenafadalahfungsisatu-ke-satumaupun fungsi pada.a 1A B23bcd75 Contoh39.Fungsif(x)=x1merupakanfungsiyangberkorespondensatu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Fungsi satu-ke-satu, Fungsi pada, bukan pada bukan satu-ke-satu Buka fungsi satu-ke-satu Bukan fungsi maupun pada Jikafadalahfungsiberkorespondensatu-ke-satudariAkeB,makakitadapat menemukanbalikan(invers)darif.Balikanfungsidilambangkandenganf 1. MisalkanaadalahanggotahimpunanAdanbadalahanggotahimpunanB,makaf -1(b) = a jika f(a) = b.Fungsiyangberkorespondensatu-ke-satuseringdinamakanjugafungsiyang invertible(dapatdibalikkan),karenakitadapatmendefinisikanfungsibalikannya. Sebuahfungsidikatakannotinvertible(tidakdapatdibalikkan)jikaiabukanfungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada. Contoh40.Relasif={(1,u),(2,w),(3,v)}dariA={1,2,3}keB={u,v,w}adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f hdalaf -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. Contoh 41. Tentukan balikan fungsi f(x) = x 1. a1AB23bc4a1AB23bcc da1A B23bcc d4a1A B23bcc d476 Penyelesaian: Fungsif(x)=x1adalahfungsiyangberkorespondensatu-ke-satu,jadibalikanfungsi tersebut ada.Misalkanf(x)=y,sehinggay=x1,makax=y+1.Jadi,balikanfungsibalikannya adalah f-1(y) = y +1. Contoh 42. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1. Penyelesaian: DariContoh3.41dan3.44kitasudahmenyimpulkanbahwaf(x)=x1bukanfungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi yang not invertible. Komposisi dari dua buah fungsi Definisi MisalkangadalahfungsidarihimpunanAkehimpunanB,danfadalahfungsidari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f g)(a) = f(g(a)) Contoh 43. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v) yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsif = {(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah f g = {(1, y), (2, y), (3, x) } Contoh 44. Diberikan fungsi f(x) = x1 dan g(x) = x2 +1. Tentukan f gdan g f . Penyelesaian: (i) (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 1 = x2. (ii) (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 1) = (x 1)2 + 1 = x2 - 2x + 2. Beberapa Fungsi Khusus 1.Fungsi Floor dan Ceiling 77 Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x: xmenyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecilatau sama dengan x Fungsi ceiling dari x: x(menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x Dengankatalain,fungsifloormembulatkanxkebawah,sedangkanfungsiceiling membulatkan x ke atas. Contoh 45. Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling: 3.5 = 33.5( = 4 0.5 = 00.5( = 1 4.8 = 44.8( = 5 0.5 = 1 0.5 = 0 3.5 = 4 3.5( = 3 Contoh 46. Di dalam komputer, data dikodekan dalam untaian byte, satu byte terdiri atas 8bit.Jikapanjangdata125bit,makajumlahbyteyangdiperlukanuntuk merepresentasikan data adalah 125/8( = 16 byte. Perhatikanlah bahwa 16 8=128bit,sehinggauntukbyteyangterakhirperluditambahkan3bit ekstraagarsatubytetetap8bit(bitekstrayangditambahkanuntuk menggenapi 8 bit disebut padding bits).

2.Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.a mod mmemberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = rsedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m. Contoh 47. Beberapa contoh fungsi modulo 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 0 3612 mod 45 = 12 0 mod 5 = 5 25 mod 7 = 3 (sebab 25 = 7 (4) + 3 )78 3.Fungsi Faktorial > ==0 , ) 1 ( . 2 10 , 1!n n nnnL 4.Fungsi Eksponensial> ==0 ,0 , 1n a a anann4 43 4 42 1L Untuk kasus perpangkatan negatif, nnaa1= 5.Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik berbentuk x yalog =x = ay Fungsi Rekursif Definisi Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. Contoh 47.n! = 1 2 (n 1) n = (n 1)! n. > ==0 , )! 1 (0 , 1!n n nnn Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian: (a)BasisBagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif. (b)Rekurens Bagianinimendefinisikanargumenfungsidalamterminologidirinyasendiri.Setiap kalifungsimengacupadadirinyasendiri,argumendarifungsiharuslebihdekatke nilai awal (basis). 79 Contoh definisi rekursif dari faktorial: (a)basis: n! = 1, jika n = 0 (b)rekurens: n! = n (n -1)! , jika n > 0 5! dihitung dengan langkah berikut: (1) 5! = 5 4! (rekurens) (2) 4! = 4 3! (3) 3! = 3 2! (4)2! = 2 1! (5)1! = 1 0! (6) 0! = 1 (6)0! = 1 (5)1! = 1 0! = 1 1 = 1 (4)2! = 2 1! = 2 1 = 2 (3)3! = 3 2! = 3 2 = 6 (2)4! = 4 3! = 4 6 = 24 (1)5! = 5 4! = 5 24 = 120 Jadi, 5! = 120. Contoh 48. Di bawah ini adalah contoh-contoh fungsi rekursif lainnya: 1. + ==0 , ) 1 ( 20 , 0) (2x x x Fxx F 2. Fungsi Chebysev > ===1 , ) , 2 ( ) , 1 ( 21 ,0 , 1) , (n x n T x n xTn xnx n T 3. Fungsi fibonacci: > + ===1 , ) 2 ( ) 1 (1 , 10 , 0) (n n f n fnnn f 80 BAB VI ALJABAR BOOLEAN Aljabarbooleanmerupakanaljabaryangberhubungandenganvariabel-variabel binerdanoperasi-operasilogik.Variabel-variabeldiperlihatkandenganhuruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiridarivariabel-variabelbineryangmenunjukkanfungsi,suatutandasamadengan, dansuatuekspresialjabaryangdibentukdenganmenggunakanvariabel-variabelbiner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatufungsibooleanbisadinyatakandalamtabelkebenaran.Suatutabelkebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikankevariabel-variabelbinerdandaftaryangmemperlihatkannilaifungsiuntuk masing-masing kombinasi biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabarbooleanberartisuatujenissimbol-simbolyangditemukanolehGeorgeBoole untukmemanipulasinilai-nilaikebenaranlogikasecaraaljabar.Dalamhalinialjabar booleancocokuntukdiaplikasikandalamkomputer.Disisilain,aljabarbooleanjuga merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu. DASAR OPERASI LOGIKA LOGIKA : Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus. Dalam logika dikenal aturan sbb : Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus Masing-masing adalah benar / salah. Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah. Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA 1 dan 0 Operasi-operasi dasar logika dan gerbang logika : Pengertian GERBANG (GATE) : 81 Rangkaiansatuataulebihsinyalmasukantetapihanyamenghasilkansatusinyal keluaran. Rangkaian digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0 ). Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukan-masukannya. Operasi logika NOT ( Invers ) Operasi merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknyax = x Tabel Operasi NOTSimbolXX 01 10 Operasi logika AND Operasi antara dua variabel (A,B) Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1 Simbol AA . B B Operasi logika OR Operasi antara 2 variabel (A,B) Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0. Simbol 82 AA + B B Operasi logika NOR OperasiinimerupakanoperasiORdanNOT,keluarannyamerupakankeluaranoperasi OR yang di inverter. Simbol AA + B( A + B ) B Atau A( A + B ) B Operasi logika NAND Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran gerbang AND yang di inverter. Simbol AA . B( A . B ) 83 B Atau A( A . B ) B Operasi logika EXOR akan menghasilkan keluaran 1 jika jumlah masukan yang bernilai 1 berjumlah ganjil. Simbol AY B Operasi logika EXNOR Operasiiniakanmenghasilkankeluaran1jikajumlahmasukanyangbernilai1 berjumlah genap atau tidak ada sama sekali. Simbol AY B DALIL BOOLEAN ; 1.X=0 ATAU X=1 84 2.0 . 0 = 0 3.1 + 1 = 1 4.0 + 0 = 0 5.1 . 1 =1 6.1 . 0 = 0 . 1 = 0 7.1 + 0 = 0 + 1 = 0 TEOREMA BOOLEAN 1. HK. KOMUTATIF A + B = B + A A .B = B. A 6. HK. IDENTITAS A + A = A A. A = A 2. HK. ASSOSIATIF (A+B)+C = A+(B+C) (A.B) . C = A . (B.C) 7. 0 + A = A ----- 1. A = A 1 + A = 1 ----- 0 . A = 0 3. HK. DISTRIBUTIF A . (B+C) = A.B + A.C A + (B.C) = (A+B) . (A+C) 8. A + A = 1 A .A=0 4. HK. NEGASI ( A ) = A (A)= A 9. A + A . B = A + B A . (A + B)= A . B 5. HK. ABRSORPSI A+ A.B= A A.(A+B) = A 10. DE MORGANS ( A+ B )= A . B ( A . B )= A + B CONTOH : 1.A+ A . B + A .B =A . ( 1 + B ) + A . B =A . 1 + A . B =A + A . B =A + B 85 2.A B X = (A.B) . B=(A + B) . B = ( A.B ) + B.B= ( A.B ) + 0= A.B A B ATAU A B 86 Aljabar Boolean Misalkan terdapat -Dua operator biner: + dan -Sebuah operator uner: . -B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, , dan -0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.Tupel (B, +, , ) disebutaljabarBooleanjikauntuksetiapa,b,cBberlakuaksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut: 1. Closure:(i)a + b B (ii) a b B 2. Identitas:(i)a + 0 = a (ii) a 1 = a 3. Komutatif:(i)a + b = b + a (ii)a b = b . a 4. Distributif:(i) a (b + c) = (a b) + (a c) (ii)a + (b c) = (a + b) (a + c) 87 5. Komplemen1:(i)a + a = 1 (ii)a a = 0 Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan: 1.Elemen-elemen himpunan B, 2.Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3.Memenuhi postulat Huntington. Aljabar Boolean Dua-Nilai Aljabar Boolean dua-nilai: -B = {0, 1} -operator biner, + dan -operator uner, -Kaidah untuk operator biner dan operator uner: aBa baba + baa 00000001 01001110 100101 111111 Cek apakah memenuhi postulat Huntington: 1.Closure :jelas berlaku2.Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: 88 (i)0 + 1 = 1 + 0 = 1(ii) 1 0= 0 1 = 0 3.Komutatif:jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner. 4.Distributif:(i)a(b+c)=(ab)+(ac)dapatditunjukkanbenardaritabel operator biner di atasdengan membentuk tabel kebenaran: abcb + ca (b + c)a ba c(a b) + (a c) 00000000 00110000 01010000 01110000 10000000 10111011 11011101 11111111 (ii) Hukum distributif a+ (b c) =(a + b) (a+ c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i). 5.Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa: (i)a + a = 1, karena 0 + 0= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1= 1 + 0 = 1(ii) a a = 0, karena 0 0= 0 1 = 0 dan 1 1 = 1 0 = 0 KarenakelimapostulatHuntingtondipenuhi,makaterbuktibahwaB={0,1}bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen merupakan aljabar Boolean. Ekspresi Boolean Misalkan (B, +, , ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, , ) adalah: (i) setiap elemen di dalam B, 89 (ii)setiap peubah, (iii)jikae1dane2adalahekspresiBoolean,makae1+e2,e1e2,e1adalah ekspresi Boolean Contoh:0 1 a b c a + b a b a (b + c) a b + a b c + b, dan sebagainya Mengevaluasi Ekspresi Boolean Contoh:a (b + c) jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi: 0 (1 + 0) = 1 1 = 1

DuaekspresiBooleandikatakanekivalen(dilambangkandengan=)jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.Contoh: a (b + c) = (a . b) + (a c) Contoh. Perlihatkan bahwa a + ab = a + b . Penyelesaian: 90

abaaba + aba + b 001000 011111 100011 110011 Perjanjian:tandatitik()dapatdihilangkandaripenulisanekspresiBoolean, kecuali jika ada penekanan: (i)a(b + c) = ab + ac (ii)a + bc = (a + b) (a + c) (iii)a 0 , bukan a0 Prinsip Dualitas Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator+,,dankomplemen,makajikapernyataanS*diperolehdengancara mengganti dengan+ +dengan 0dengan1 1dengan0 danmembiarkanoperatorkomplementetapapaadanya,makakesamaanS*juga benar. S* disebut sebagai dual dari S. Contoh. (i) (a 1)(0 + a) = 0dualnya (a + 0) + (1 a) = 1(ii)a(a + b) = ab dualnya a + ab = a + b 91 Hukum-hukum Aljabar Boolean 1.Hukum identitas: (i) a + 0 = a (ii)a 1 = a 2.Hukum idempoten: (i)a + a = a (ii)a a = a 3.Hukum komplemen: (i) a + a = 1(ii)aa = 0 4.Hukum dominansi: (i) a 0= 0 (ii) a + 1 = 1 5.Hukum involusi: (i) (a) = a 6.Hukum penyerapan: (i) a + ab = a (ii)a(a + b) = a 7.Hukum komutatif: (i) a + b = b + a (ii) ab = ba 8.Hukum asosiatif: (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) a (b c) = (a b) c 9.Hukum distributif: (i)a + (b c) = (a + b) (a + c) (ii) a (b + c) = a b + a c 10. Hukum De Morgan: (i)(a + b) = ab (ii) (ab) = a + b 12. Hukum 0/1(i) 0 = 1 (ii)1 = 0 Contoh 7.3. Buktikan (i) a + ab = a + b dan (ii) a(a + b) = ab Penyelesaian: (i) a + ab = (a + ab) + ab(Penyerapan) = a + (ab + ab)(Asosiatif) = a + (a + a)b(Distributif) = a + 1 b (Komplemen) = a + b (Identitas) (ii) adalah dual dari (i) Fungsi Boolean Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai 92 f : Bn B yangdalamhaliniBnadalahhimpunanyangberanggotakanpasanganterurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + xy + yzFungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3(x, y, z) ke himpunan {0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1 0 + 0 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . Contoh.Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain: 1.f(x) = x2.f(x, y) = xy + xy+ y 3.f(x, y) = x y 4.f(x, y) = (x + y)5.f(x, y, z) = xyz SetiappeubahdidalamfungsiBoolean,termasukdalambentukkomplemennya, disebut literal. Contoh:Fungsih(x,y,z)=xyzpadacontohdiatasterdiridari3buahliteral, yaitu x, y, dan z. Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z, nyatakan h dalam tabel kebenaran. Penyelesaian: 93

xyzf(x, y, z) = xy z 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Komplemen Fungsi1.Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(yz + yz), maka f (x, y, z)= (x(yz + yz)) =x + (yz + yz) =x + (yz) (yz) =x + (y + z) (y + z) Aplikasi Aljabar Boolean 2. Rangkaian Digital Elektronik 94 Gerbang ANDGerbang ORGerbang NOT(inverter) Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + xy ke dalam rangkaian logika. Jawab:(a) Cara pertama (b) Cara kedua yxxyyxx+ y x'xx'xyxyxyx'yxy+x'yx'xyxyx'yxy+x'y95 (b) Cara ketiga Gerbang turunan Gerbang NANDGerbang XORGerbang NOR Gerbang XNOR xy(xy)'xy(x+y)'xy+ x yxy+(x y)'xy(x+y)'xy(x + y)'ekivalen denganxy(x + y)'x + yx'xyx yx'yxy+x'y96 Penyederhanaan Fungsi Boolean Contoh. f(x, y) = xy + xy + y disederhanakan menjadi f(x, y) = x + y Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara: 1.Secara aljabar 2.Menggunakan Peta Karnaugh 3.Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi) 1. Penyederhanaan Secara Aljabar Contoh: 1.f(x, y) = x + xy= (x + x)(x + y) = 1 (x + y ) = x + y 2.f(x, y, z) = xyz + xyz + xy x'y'x'y'ekivalen denganx'y'x' + y'ekivalen denganxy(xy)'97 = xz(y + y) + xy = xz + xz 3.f(x, y, z) = xy + xz + yz= xy + xz + yz(x + x) = xy + xz + xyz + xyz = xy(1 + z) + xz(1 + y) = xy + xz 98 DAFTAR PUSTAKA 1.IntroductiontoLogic,PatrickSuppes,D.VanNostrandCompany,Inc.,Canada, 1959. 2.Set Theory and Logic, Robert R. Stoll, Eurasia Publishing House Ltd, New Delhi, 1976. 3.Logika Informatika, Setiadji, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2007. 4.LogikaMatematikauntukIlmuKomputer,F.SoesiantodanDjoniDwijono, Penerbit Andi, Yogyakarta, 2006. 5.Sumber lain dari internet.