Microsoft Word Diktat Logika Informatika

1

BAB I

PENGANTAR LOGIKA INFORMATIKA

Dalam bidang informatika, logika informatika merupakan matakuliah yang wajib

dikuasai sebelum anda mendalami mata kuliah yang lain. Hal itu dikarenakan materi

yang dipelajari dalam logika informatika akan digunakan penerapannya pada mata kuliah

yang lain seperti algoritma pemrograman dan mata kuliah yang lain khususnya

berhubungan dengan pemrograman.

Sejarah Logika Informatika

Logika pertama kali dikemukakan oleh Aristoteles, pada abad 4 SM. Ia

merumuskan logika dengan cara menuliskan argumen/pendapat yang akan bisa

dibuktikan kebenarannya yang disebut dengan silogisme.

Sebuah contoh silogisme (disebut silogisme Barbara):

Premis : Semua A adalah B.

Premis : Semua B adalah C.

Konklusi : Semua A adalah C.

Sejak itu, banyak pemikir yang menemukan konsep-konsep lain tentang logika

tetapi masih berkisar pada pemikiran Aristoteles, sampai pada paruh terakhir abad 19

dengan tokoh-tokoh baru dengan pemikiran-pemikiran baru yaitu:

No. Nama/Tahun Pemikiran 1. Augustus De Morgan(1806-1871) Induksi Matematika, Hukum

Ekuivalensi Logika De Morgan

2. George Boole(1815-1871) Aljabar Boole 3. Giuseppe Peano(1858-1932) Penemu istilah logika matematika dan

teori himpunan

4. Emil L Post(1897-1954) Tabel Kebenaran 5. Ludwig JJ Wittgenstein(1889-

1951) Tabel Kebenaran

6. John Venn(1834-1923) Diagram Venn 7. Henry M Sheffer(1882-1964) NAND, NOR Dan masih banyak tokoh-tokoh lain.

2

Arti Logika Informatika

Pada masa Aristoteles, logika merupakan satu bahasan dalam ilmu tertua di dunia,

yaitu Filsafat. Baru pada masa-masa berikutnya logika masuk ke berbagai bidang ilmu-

ilmu yang lebih muda seperti ilmu hitung/matematika, dan kini komputer/informatika.

Dari arti katanya dalam bahasa Yunani, yaitu logike/logos yang berarti ilmu/pikiran,

logika bisa diartikan sebagai perkataan sebagai manifestasi dari pikiran manusia. Atau,

logika adalah ilmu yang mempelajari (jalan) pikiran yang diungkapkan dalam bahasa.

Arti logika menurut bahasan logika modern, terdapat banyak versi. Dua versi dari definisi

logika adalah:

1. Ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argumen

yang valid.

2. Studi tentang kriteria-kriteria untuk mengevaluasi argumen-argumen dengan

menentukan mana yang valid dan tidak valid, dan membedakan antara argumen

yang baik dan tidak baik.

Sedangkan logika informatika sendiri, dapat diartikan sebagai:

1. Aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah tertentu dalam informatika

yang dipergunakan untuk membuktikan validitas suatu argumen.

2. Aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah tertentu dalam matematika

yang dipergunakan untuk membuktikan validitas suatu argumen dalam bidang

informatika.

Argumen dan Silogisme

Argumen

Adalah usaha untuk mencari kebenaran dari suatu pernyataan berupa kesimpulan dengan

berdasarkan pada kebenaran dari satu kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis.

Silogisme

Logika berawal dari pertanyaan-pertanyaan yang paling mendasar di kehidupan ini.

Silogisme Aristoteles, menurutnya, adalah suatu argumen yang terbentuk dari

pernyataan-pernyataan dengan salah satu atau keempat bentuk berikut:

1. Semua A adalah B. (universal affirmative)

2. Tidak A adalah B. (universal negative)

3. Beberapa A adalah B. (particular affirmative)

4. Beberapa A adalah tidak B. (particular negative)

3

Huruf A dan B diatas menggantikan suatu kata benda, misalnya ‘manusia’, ‘cuaca’, dan

sebagainya yang disebut terms of syllogism atau pokok dari silogisme.

Suatu silogisme yang berbentuk sempurna (well-formed syllogism) adalah silogisme yang

memiliki dua buah premis dan satu kesimpulan, dimana setiap premis memiliki satu

pokok(term) bersama dengan kesimpulan dan satu lagi pokok bersama dengan premis

lainnya.

Contoh sebuah silogisme sempurna:

Premis : Semua A adalah B.

Premis : Semua B adalah C.

Konklusi : Semua A adalah C.

(Pada premis pertama, A sama dengan A pada kesimpulan, dan ia juga memiliki B yang

sama dengan B pada premis kedua.)

Manfaat Logika Informatika

Logika informatika digunakan dalam semua bidang pada ilmu informatika. Dari

pembuatan konsep, penulisan software hingga cara kerja hardware. Contoh beberapa

manfaat logika informatika:

1. Membuat program.

Contoh, struktur IF-THEN...ELSE dalam bahasa Pascal

IF kondisi THEN

Statemen1

ELSE

Statemen2;

2. Database.

Contoh, mencari daftar mahasiswa Informatika UNSOED angkatan 2008 yang

nilai IPK-nya 4.

3. Cara kerja komputer(mesin).

Level logika pada komputer. Masing-masing level komputer menggunakan level

logika yang berbeda(dari logika elektronik 0 dan 1 hingga logika manusia dalam

bahasa pemrograman tingkat tinggi) tetapi semua bekerja berdasar prinsip-prinsip

logika.

4

Gambaran level logika yang berlaku sesuai dengan bahasa pemrograman yang

digunakan:

Studi kasus: Search Engine Google.

Search engine google menggunakan prinsip logika dalam pencariannya.

Contoh:

1. Menggunakan operator AND. Diwakili dengan tanda + .

Pencarian akan ’teknik+informatika’ di Google akan menghasilkan data yang

terdiri dari teknik dan informatika.

5

2. Menggunakan operator OR Pencarian dengan ketentuan ’teknik OR informatika’. Hasil pencarian akan menampilkan kata teknik saja atau informatika saja.

3. Menggunakan operator NOT Pencarian dengan ketentuan teknik NOT informatika, dilambangkan dengan ’teknik –informatika’ akan menghasilkan pencarian akan kata ’teknik’ saja, yang tidak mengandung kata ’informatika’.

6

BAB II

ALJABAR PROPOSISI

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, edangkan kalimat adalah

kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam

matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan

dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat

menerangkan dan disebut juga proposisi.

Semesta Pembicaraan

Semesta pembicaraan adalah keseluruhan obyek yang dibicarakan.

Contoh:

• Pada kehidupan sehari-hari

• Pada ilmu hitung

• Pada astronomi

• Pada Informatika

• Dll

Pada himpunan dapat di gambarkan sebagai berikut :

Bahasa adalah rangkaian simbol-simbol yang diucapkan atau ditulis menurut aturan-

aturan tertentu.

Contoh:

• I watch TV till 12 o’clock last night.

ا()أ •

• Geef mij maar nasi goreng met een gebakken ei

Wat sambal en wat kroepoek en een goed glas bier erbij.

• Bonjour! Je m’appelle Hesti.

• Guten tag! Mein Name ist Hesti.

S

7

• Konnichiwa.

Kalimat Deklaratif

Kalimat Deklaratif /Pernyataan/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau

salah tetapi tidak keduanya.

Contoh :

1. Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar).

2. 2+2=4 (Benar).

3. Semua manusia adalah fana (Benar).

4. 4 adalah bilangan prima (Salah).

5. 5x12=90 (Salah).

Tidak semua kalimat berupa proposisi

Contoh :

1. Dimanakah letak pulau bali?.

2. Pandaikah dia?.

3. Andi lebih tinggi daripada Tina.

4. 3x-2y=5x+4.

5. x+y=2.

Validitas Argumen

Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan proposisi

P1, P2, .........,Pn yang disebut premis (hipotesa/asumsi) dan menghasilkan proposisi Q

yang lain yang disebut konklusi (kesimpulan). Secara umum di notasikan dengan

Argumen disebut benar apabila telah memenuhi syarat:

1. Konklusi/hasil kesimpulan dari argumen tersebut benar setelah melalui suatu

proses observas/dapat dibuktikan.

2. Langkah-langkah penalaran sesuai dengan hukum-hukum logika.

8

Premis :

• Jika hari ini cerah saya bermain futsal.

• Saya bermain futsal.

Kesimpulan: Hari ini cerah.

Argumen ini kuat karena:

1. Kesimpulan yg diambil benar.

2. Langkah penalaran tepat.

Semantik-Sintaks :

• Jika hari ini cerah saya bermain futsal.

• Saya bermain futsal.

Kesimpulan: Hari ini cerah.

Yang diperhatikan dalam logika hanyalah bentuk kalimat/sintaks-nya saja. Isi/arti

kalimat/semantik bukan merupakan bahasan.

Contoh Semantik-Sintaks

– Dia tidak kaya dan tidak bahagia.

– Menjadi miskin berarti menjadi tak bahagia.

– Seseorang tak pernah bahagia jika dia kaya.

– Dia miskin tetapi bahagia.

– Jika dia tak dapat kaya maka bahagia.

– Jika dia tidak bahagia maka ia miskin.

– Jika dia tak miskin dan tak bahagia maka ia kaya.

– Menjadi kaya berarti sama seperti menjadi bahagia.

– Dia miskin atau jika tidak maka dia kaya dan tak bahagia.

– Jika dia tidak miskin, maka dia bahagia.

SOUND ARGUMENT

POLA:

Semua X adalah Y

Beberapa Y adalah Z

Maka beberapa X adalah Z

9

Contoh Argumen kuat:

• Semua Toyota adalah mobil Jepang.

• Beberapa mobil Jepang dibuat di Indonesia.

• Maka beberapa Toyota dibuat di Indonesia.

UNSOUND ARGUMENT

Pola :

Semua X adalah Y

Beberapa Y adalah Z

Maka beberapa X adalah Z

Contoh 1 :

Semua Toyota adalah mobil.

Beberapa mobil adalah Porche.

Maka beberapa Toyota adalah Porche.

Contoh 2 :

Semua angkatan 2008 mengambil kuliah login.

Beberapa mahasiswa yang mengambil login adalah angkatan 2007.

Maka beberapa mahasiswa angkatan 2008 adalah angkatan 2007.

Dibuat di

Indonesia

S:Mobil Jepang

T S

Mobil

T

P

10

Proposisi Atomik dan Majemuk

Dilihat dari kompleksitasnya, proposisi terdiri dari proposisi :

1. Proposisi atomik adalah proposisi yang tidak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa

proposisi lagi.

2. Proposisi majemuk adalah proposisi yang terdiri dari beberapa proposisi atomik.

Contoh :

• Hari hujan.

• Jika hari hujan maka saya berangkat kuliah.

• Menonton konser Kangen Band.

• Saya tidur atau menonton konser Kangen Band.

• Ada bug.

• Masukannya salah.

• Ada bug dan masukannya salah.

• Setiap orang Indonesia pintar.

• Jack pintar, demikian juga Jen.

• Jack dan Jen sama-sama pintar.

• Mike pintar dan nilai-nilainya bagus.

• Ralph pintar atau rajin.

Kata-kata Penghubung Kalimat

Dalam menggabungkan proposisi atomik menjadi sebuah proposisi majemuk,

diperlukan sebuah kata penghubung/perangkai kalimat.

• DAN

• ATAU

• BUKAN

Mhsw Ambil Login

2008

2007

11

• JIKA

• JIKA DAN HANYA JIKA

SIMBOL ARTI BENTUK

⌐ atau ‾ Tidak/Bukan/Not/Negasi Tidak...

Λ Dan/And/Konjungsi ...dan...

V Atau/Or/Disjungsi ...atau...

=> Implikasi Jika...maka...

⌠ Biimplikasi ...jika dan hanya jika...

Contoh Penggunaan kata penghubung :

Proposisi atomik A: Hari ini hujan.

Dan proposisi atomik B: Hari ini mendung.

N PROPOSISI SMBL

1. Hari ini hujan A

2. Hari ini mendung B

3. Hari ini tidak hujan ⌐A

4. Hari ini tidak mendung ⌐B

5. Hari ini hujan dan mendung A Λ B

6. Hari ini hujan atau mendung A V B

7. Hari ini tidak hujan tetapi mendung ⌐A Λ B

8. Jika hari ini hujan maka akan mendung A=>B

9. Hari ini hujan jika dan hanya jika hari mendung A⌠B

Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran adalah tabel nilai yang mendefinisikan nilai kebenaran

keseluruhan kalimat berdasarkan nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

Negasi :

Negasi suatu pernyataan P adalah pernyataan baru yang bernilai salah jika P benar dan

bernilai benar jika P bernilai salah.

notasi negasi P adalah ∼P

12

P ~P

T F

F T

Misal : P adl “x lebih kecil dari 5” , negasinya adl :

1. Tidak( lah benar ) x lebih kecil dari 5

2. x tidak lebih kecil dari 5

3. x lebih besar atau sama dengan 5

Konjungsi

Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q ditulis P∧Q (dibaca P and Q) adalah suatu

pernyataan yang bernilai benar jika kedua komponennya, yaitu p dan q, bernilai benar,

dan akan bernilai salah jika salah satu komponennya bernilai salah.

Tabel kebenarannya adalah :

P Q P ΛΛΛΛ Q

T T T

T F F

F T F

F F F

Perhatikan bahwa walaupun menggunakan istilah ”dan”, dua kalimat yang dihubungkan

tidak harus mempunyai hubungan. Misal : “Yogyakarta ibukota propinsi DIY dan 112

habis dibagi 2”, dalam logika di pandang sebagai suatu pernyataan yang sah Selanjutnya

pandang :

1. P : Ali dan Budi duduk dikelas 2

2. Q : Ali dan Budi bersaudara

P merupakan konjungsi sedang Q bukan.

Disjungsi

Disjungsi (inklusif) dari dua pernyataan P atau Q ditulis P∨Q (dibaca P atau Q)

adalah suatu pernyataan yang bernilai benar jika salah satu kom ponennya, yaitu p atau q,

bernilai benar, dan ber nilai salah jika kedua komponennya bernilai salah


P Q P V Q

13

T T T

T F T

F T T

F F F

Implikasi

Implikasi dua pernyataan P dan Q adalah P → Q yang dibaca “ Jika P maka Q ”.

Pernyataan implikasi disebut juga pernyataan bersyarat Suatu implikasi P → Q bernilai

salah jika P benar dan Q salah, dan bernilai benar jika yang lain


P Q P => Q

T T T

T F F

F T T

F F T

Dalam pernyataan P → Q, P disebut anteseden dan Q disebut konsekuen.

Perhatikan kalimat dibawah ini :

Jika Anda mengendarai mobil maka anda harus memakai sabuk pengaman.

Jika Anda masuk kawasan pabrik, maka Anda harus mengenakan tanda pengenal

• Seseorang yang mengendarai mobil dan memakai sabuk pengaman tentunya

tidak menyalahi aturan (benar, sebab P= benar, Q = benar),

• orang yang mengendarai mobil tidak pakai sabuk pengaman jelas menyalahi

aturan (salah ,sebab P = benar, Q = salah);

• Orang yang naik gerobak dan memakai sabuk pengaman tidak menyalahi aturan

(benar, sebab P=salah, Q=betul), dan

• Orang yang naik gerobak tidak memakai sabuk pengaman tak menyalahi aturan

(benar, sebab P=Salah, Q=salah)

Pernyataan lain daripada “ Jika P maka Q “

adalah :

1. Q jika P

2. P hanya jika Q

3. Q merupakan sarat perlu untuk P

4. P merupakan sarat cukup untuk Q

Contoh :

14

1. Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logika

a. Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujian

b. Sarat perlu agar 273 habis dibagi 3 adalah 273 merupakan bilangan prima

c. Saya akan memberi anda uang apabila saya lulus ujian atau saya mendapat hadiah

TTS

Jawab

a. P = saya berlibur ke Bali, Q = Saya lulus ujian

Kalimatnya menjadi : P � Q

b. P = 273 habis dibagi 3, Q = 273 merupakan bilangan prima

Kalimatnya menjadi : P � Q

c. P = Saya memberi Anda uang, Q = Saya lulus ujian, dan

R = saya mendapat hadiah TTS

Kalimatnya menjadi : (Q ∨ R) � P

2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini :

a. Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga bukan

bilangan prima

b. 2+2 = 2x2 hanya bila 2 =0

c. 2<3 merupakan syarat cukup untuk 2x2 < 3x3

Jawab :

a. Benar, karena anteseden salah (Jakarta bukan ibu

kota RI)

b. Salah, karena anteseden (2+2 = 2x2) benar sedangkn

konsekuennya (2 = 0 ) salah

c. Benar, karena konsekuennya (2x2 ,3x3) benar

Bi-Implikasi

BI-Implikasi dua pernyataan P dan Q adalah P↔Q yang dibaca “ P jika dan hanya

jika Q ” (disingkat P bhb Q) . Pernyataan Bi-implikasi bernilai benar jika P dan Q

keduanya bernilai sama, sedangkan jika nilai nilai P tidak sama dengan nilai Q maka nilai

pernyataan tersebut salah.


15

P Q P <=> Q

T T T

T F F

F T F

F F T

Suatu pernyataan bentuk bi-implikasi dapat disajikan dengan :

1. P merupakan sarat perlu dan cukup untuk Q

2. P ekuivalen dengan Q

Contoh

X merupakan bilangan gasal bhb X habis dibagi 3

Jawab :

Misal P = X merupakan bilangan gasal

Q = X habis dibagi 3

Kalimatnya : P ↔ Q

Ekuivalen

Dua kalimat disebut ekuivalen(secara logika) jika dan hanya jika keduanya mempunyai

nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat

penyusunnya.

Jika A dan B adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen, maka dituliskan A ≡B (atau A�B).

Jika A ≡B maka B ≡A juga.

Contoh 1 :

Tentukan apakah kalimat dibawah ini ekuivalen:

• -(-A) dengan A

• -(A Λ B) dengan -A Λ-B

• A=>B dengan –A V B

Buat tabel kebenaran untuk membuktikannya

A ~A ~(~A)

16

T F T

F T F

Contoh 2 :


• -(-A) dengan A, terbukti –(-A) ≡A

• -(A ΛB) dengan -A Λ-B



A B A ΛΛΛΛB ~ (A ΛΛΛΛB) ~A ~B ~ A ΛΛΛΛ~B

T T T F F F F

T F F T F T F

F T F T T F F

F F F T T T T

Contoh 3 :


• -(-A) dengan A, terbukti –(-A) ≡A

• -(A ΛB) ≡-A Λ-B, (tidak terbukti)



A B A => B ~A ~A V B

T T T F T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

Terbukti A => B ≡ ~A V B

Hukum-hukum Ekuivalensi Logika :

1. Hukum Komutatif:

17

• p Λq ≡ q Λp,

• P V q ≡ q V p.

2. Hukum Asosiatif:

• (p Λq) Λr ≡ p Λ(q Λr),

• (p V q) V r ≡ p V (q V r)

3. Hukum Distributif:

• p Λ(q V r) ≡ (p Λq) V (p Λr),

• p V (q Λr ) ≡ (p V q) Λ(p V r)

4. Hukum Identitas:

• p ΛT ≡ p,

• p V F ≡p

5. Hukum Ikatan:

• p V T ≡ T,

• p ΛF ≡F

6. Hukum Negasi:

• p v ⌐p ≡T,

• P ^ ⌐p ≡F.

7. Hukum Negasi Ganda:

• ⌐(⌐)p ≡p

8. Hukum Idempoten:

• p^p ≡p,

• pvp ≡p

9. Hukum De Morgan:

• ⌐(p^q) ≡⌐p v ⌐q

• ⌐(pvq) ≡⌐p ^ ⌐q

10. Hukum Absorbsi:

• p v (p^q) ≡ p,

• p ^ (p v q) ≡ p

11. Negasi T dan F:

• ⌐T ≡ F, ⌐F ≡ T

12. Hukum Implikasi:

• p=>q ≡ ⌐p v q

18

13. Hukum Kontraposisi:

• p=>q ≡⌐q => ⌐p,

14. Hukum Biimplikasi:

• ⌐T ≡F,

• p �q ≡ (p=>q) ^(q=>p)

15. Negasi Q, Sama Dengan P

• (pΛq) v (p^⌐q) ≡p,

• (pvq) ^ (pv⌐q) ≡p,

16. Negasi P, Sama Dengan Q

• (pΛq)v(⌐p^q) ≡q,

• (pvq) ^ (⌐pvq) ≡q,

Penyederhanaan

Contoh : Sederhanakan bentuk

• ⌐(⌐A ^ B)^(AvB) ≡ (⌐(⌐A)v ⌐B) ^ (AvB)

≡ (Av ⌐B) ^ (AvB)

≡ Av( ⌐B ^B)

≡ AvF

≡ A

• -(Av-B)v(-A^-B) ≡ -A

• -(Av-B)v(-A^-B) ≡ (-A^-(-B))v(-A^-B)

≡ (-A^B)v(-A^-B)

≡ -A^(Bv-B)

≡ -A^T

≡ -A

• (pvF)^(pv-p) ≡ p^(pv-p)

≡ p^T

≡ p

• -p =>-(p=>-q) ≡ --pv-(p=>-q)

≡ --pv-(-pv-q)

≡ --pv(--p^--q)

≡ pv(p^q)≡p

19

Tautologi, Kontradiksi dan Contingent

Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli

bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya

kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False), tidak peduli

bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya

dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi

diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan True,

sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False.

Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula

campuran (contingent).

Contoh :

1. Tunjukkan bahwa pV(¬p) adalah tautologi!

P ¬P P V (¬P)

T T T

T F T

F T T

F F T

2. Tunjukkan bahwa (pVq) V [(¬p) ∧ (¬q)] adalah tautologi!

p q ¬p ¬q ¬p ∧∧∧∧ ¬q (pVq) V [(¬p) ∧∧∧∧ (¬q)]

T T T F F T

T F F T F T

F T T F F T

F F F T T T

3. Tunjukkan bahwa (pVq) ∧ [(¬p) ∧ (¬q)] adalah kontradiksi!

p q ¬p ¬q ¬p ∧∧∧∧ ¬q (pVq) ∧∧∧∧ [(¬p) ∧∧∧∧ (¬q)]

T T T F F F

T F F T F F

F T T F F F

F F F T T F

20

4. Tunjukkan bahwa [(p ∧ q) => r] => p adalah contingent!

p q r p ∧∧∧∧ q (p ∧∧∧∧ q) => r [(p ∧∧∧∧ q) => r] => p

T T T T T T

T T F T T T

T F T F F T

T F F F F T

F T T F T F

F T F F T F

F F T F T F

F F F F T F

KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

“Jika hari ini mendung maka Rafif membawa payung”

contoh konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi di atas :

Misal p : hari ini mendung

q : Rafif membawa payung

maka kalimatnya menjadi p => q atau jika menggunakan operator dan maka p => q

ekuivalen(sebanding/≈) dengan ¬p v q. Sehingga :

1. Konvers : q => p ≈ ¬q v p

Kalimat :

• Jika Rafif membawa payung maka hari ini mendung (q => p)

• Rafif tidak membawa payung atau hari ini mendung (¬q v p)

2. Invers : ¬p => ¬q ≈ p ∧¬q

Kalimat :

• Jika Rafif tidak membawa payung maka hari ini tidak mendung (¬p => ¬q)

• Rafif membawa payung dan hari ini tidak mendung (p ∧¬q)

4. Kontraposisi : ¬q => ¬p ≈ q v ¬p

Kalimat :

• Jika hari ini tidak mendung maka Rafif tidak membawa payung (¬q =>¬p)

• hari ini mendung atau Rafif tidak membawa payung dan (q ∧ ¬p)

21

Inferensi Logika

Nilai kebenaran suatu argumen ditentukan sebagai berikut :

“ Suatu argumen P1,P2,…………,,Pn _ Q dikatakan benar (valid) jika Q bernilai benar

untuk semua premis yang benar dan argumen dalam keadaan selain itu dikatakan salah

(invalid/fallacy)”.

Dengan kata lain, suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan

yang disubtitusikan ke dalam premis, jika semua premis benar maka konklusinya juga

benar. Sebaliknya jika semua premis benar tetapi konklusinya ada yang salah maka

argumen tersebut dikatakan invalid (fallacy).

Jadi suatu argumen dikatakan valid jika dan hanya jika proposisi P1∧P2∧........∧Pn) |- Q

adalah sebuah Tautologi.

Contoh :

1. Premis

P1 : Jika Office dan Delphi diperlukan maka semua orang akan belajar computer

P2 : Office dan Delphi diperlukan

Konklusi

Q : Semua orang akan belajar computer

Jika ditulis dalam bentuk notasi logika

Misal p : Office dan Delphi diperlukan

q : Semua orang belajar computer

Maka argumen diatas dapat ditulis :

p => q, p |- q (valid)

2. Misal p : Saya suka kalkulus

q : Saya lulus ujian kalkulus

Maka argumen p _ q, p _ q dapat ditulis

P1 : Jika saya suka kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus

P2 : Saya lulus ujian kalkulus

∴ Saya lulus ujian kalkulus (valid)

Untuk mengetahui suatu argumen apakah valid atau tidak maka dapat dilakukan langkah-

langkah sebagai berikut :

1. Tentukan premis dan konklusi argument

2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan konklusi.

3. Carilah baris kritis yatitu baris diman semua premis bernilai benar.

22

4. Dalam baris kritis tersebut, jika nilai kesimpulan semuanya benar maka argumen

tersebut valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai konklusi

salah maka argumen tersebut tidak valid.

Sistem Pembuktian / Penarikan Kesimpulan

A. MODUS PONEN

Modus ponen atau penalaran langsung adalh salah satu metode inferensi dimana jika

diketahui implikasi ” Bila p maka q ” yang diasumsikan bernilai benar dan

antasenden (p) benar. Supaya implikasi p_q bernilai benar, maka q juga harus bernilai

benar.

Modus Ponen : p => q , p |- q

atau dapat juga ditulis

p => q p ______ ∴ q Contoh :

Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10 Digit terakhir suatu bilangan adalah 0 ____________________________________ ∴ Bilangan tersebut habis dibagi 10

B. MODUS TOLLENS

Bentuk modus tollens mirip dengan modus ponen, hanya saja premis kedua dan

kesimpulan merupakan kontraposisi premis pertama modus ponen. Hal ini

mengingatkan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.

Modus Tollens : p => q, ¬q |- ¬p

Atau dapat juga ditulis

p => q ¬q _______ ∴ ¬p Contoh :

Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10 Suatu bilangan tidak habis dibagi 10 ____________________________________ ∴ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0

23

C. PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION)

Inferensi penambahan disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat dapat

digeneralisasikan dengan penghubung ”v”. Alasannya adalah karena penghubung ”v”

bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar. Misalnya saya mengatakan

”Langit berwarna biru” (bernilai benar). Kalimat tersebut tetap akan bernilai benar

jika ditambahkan kalimat lain dengan penghubung ”v”. Misalnya ”Langit berwarna

biru atau

bebek adalah binatang menyusui”. Kalimat tersebut tetap bernilai benar meskipun

kalimat ”Bebek adalah binatang menyusui”, merupakan kalimat yang bernilai salah.

Addition : p _(pÚq) atau q _ (pÚq)

Atau dapat ditulis

p atau q ____ ____ ∴ pvq ∴ pv q Contoh :

Simon adalah siswa SMU ______________________________ ∴Simon adalah siswa SMU atau SMP

D. PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION)

Inferensi ini merupakan kebalikan dari inferensi penambahan disjungtif. Jika

beberapa kalimat dihubungkan dengan operator ”∧”, maka kalimat tersebut dapat

diambil salah satunya secara khusus (penyempitan kalimat).

Simplification : (p∧q) |- p atau (p∧q) |- q

Atau dapat ditulis

p∧q atau p∧q ____ ____ ∴ p ∴ q Contoh :

Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat __________________________________________________ ∴ Langit berwarna biru atau ∴ Bulan berbentuk bulat

E. SILOGISME DISJUNGTIF

Prinsip dasar Silogisme Disjungtif (Disjunctive syllogism) adalah kenyataan bahwa

apabila kita dihadapkan pada satu diantara dua pilihan yang ditawarkan (A atau B).

24

Sedangkan kita tidak memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua pilihan adalah

memilih B. Begitu juga sebaliknya.

Silogisme Disjungtif : pv q, ¬p |- q dan pvq, ¬q |- p

Atau dapat ditulis

p v q atau pvq ¬p ¬q ____ ____ ∴ q ∴ p Contoh :

Saya pergi ke mars atau ke bulan Saya tidak pergi ke mars __________________________ ∴ Saya pergi ke bulan

F. SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY)

Prinsip silogisme hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika implikasi p=>q

dan q=>r keduanya bernilai benar, maka implikasi p=>r bernilai benar pula.

Transitivity : p=>q , q=>r |- p=>r

Atau dapat ditulis

p=>q q=>r _____ ∴ p=>r Contoh :

Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor ____________________________________________

∴ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor.

G. KONJUNGSI

Jika ada dua kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat

tersebut dengan menggunakan penghubung ”∧” juga bernilai benar.

Konjungsi

p q ____ ∴ p∧q

H. DILEMA

25

Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung ”v”, masing-

masing kalimat dapat mengimplikasikan sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu

maka suatu kesimpulan dapat diambil.

Dilema :

pvq p=>r q=>r _____ ∴r

26

BAB III

KUANTIFIKASI

Dalam Bab ini akan mempelajari konsep dasar konstanta, variabel, kalimat

terbuka, kuantor dan ingkaran kalimat sebagai konsep penalaran dalam logika

informatika.

Variabel dan Konstanta

Variabel adalah simbol yang menunjukan suatu anggota yang belum spesifik dalam

semesta pembicaraan. Sedangkan konstanta adalah simbol yang menunjukan suatu

anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan. Untuk dapat

berbicara tentang anggota tertentu dari semestanya, diperlukan suatu simbol atau tanda

yaitu suatu nama dari anggota tersebut.

Contoh 1 :

Misalnya ada pernyataan “Niken”, “Ais”, “Aji” adalah nama orang, dimana

semestanya adalah himpunan orang-orang. Jika semestanya himpunan bilangan-bilangan,

maka angka 5, angka 211 adalah suatu simbol untuk bilangan-bilangan yang disajikan.

Simbol seperti itu disebut Konstanta. Jadi konstanta adalah suatu simbol atau tanda yang

diucapkan atau ditulis untuk menunjukkan tentang anggota tertentu dari semestanya.

Jika hendak berbicara tentang anggota sembarang dari semestanya, maka

diperlukan suatu tanda-tanda lain dari konstanta. Tanda demikian yang dimaksud adalah

variabel (atau perubah). Jadi variabel adalah suatu simbol atau tanda yang digunakan

untuk menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya.

Contoh 2 :

Misalnya semesta pembicaranya terdiri atas mereka yang kuliah pada sebuah

universitas (perguruan tinggi) maka kata “mahasiswa” menunjuk pada anggota

sembarang dari semesta pembicaranya.

Contoh 3 :

Pehatikan beberapa pernyataan berikut:

(a). Manusia makan nasi

(b). Manusia memakai sepatu

(c). 4 + x = 7

(d). p < 5

27

Suatu pernyataan mempunyai nilai benar atau salah tergantung pada kesesuaian

kalimat tersebut dengan keadaan sesungguhnya. Bernilai benar jika keadaan

sesungguhnya sesuai dengan realita yang ada, jika sebaliknya bernilai salah. Pernyataan

seperti ini biasanya disebut pernyataan faktual.

Jika pernyataan (a) manusia diganti Tony, maka pernyataannya menjadi “Toni

makan nasi”. Pernyataan ini jelas bernilai benar saja atau salah saja, tergantung

realitasnya. Demikian juga untuk pernyataan (b) akan menjadi pernyataan “Tony

memakai sepatu” pernyataan ini akan menjadi jelas nilainya, yaitu benar atau salah

tergantung realitasnya.

Pada pernyataan (c) jika x diganti 3, akan bernilai benar. tetapi jika x diganti 4 akan

bernilai salah. Demikian juga untuk pernyataan (d) jika p diganti “0 atau 1, atau 2, atau 3,

atau 4” akan bernilai benar untuk semesta pembicaraan himpunan bilangan cacah, tetapi

jika semestanya himpunan bilangan asli, maka pernyataan akan bernilai salah.

Kata-kata “manusia”, “x” , “p” pada pernyataan diatas disebut variabel. Sedangkan

pengganti katanya yaitu “Tony”, “3”, “4”, dan “0,1,2,3,4” disebut konstanta.

Jika semesta pembicaranya bilangan-bilangan maka variabel yang dimaksudkan

adalah variabel numerik. Dalam hal ini, variabel adalah tanda-tanda, yang biasanya

dipilih huruf kecil dari abjad “x”, “y” dan seterusnya.

Kalimat terbuka

Pernyataan-pernyataan dalam contoh 3 di atas disebut kalimat (pernyataan)

terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai,

maka pernyataan yang terjadi dikatakan sebagai pernyataan tertutup.

Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang memuat variabel, dan jika

variabel tersebut diganti konstanta yang sesuai dengan semestanya maka pernyataanya

akan bernilai benar saja atau salah saja. Jadi pernyataan terbuka merupakan pernyataan

yang belum mempunyai nilai kebenaran, belum bernilai benar atau salah.

Misalkan pernyataan terbuka ini dengan simbol/notasi “p(x)”. Huruf ”p”, “q” ,

....dan seterusnya disini hanyalah sebuah simbol/notasi dalam pengkajian suatu sifat,

hanya untuk mempermudah dalam pembicaraan selanjutnya. Misalnya: “p (x)” ini

merupakan kalimat terbuka, dan diucapkan sebagai “obyek x mempunyai sifat p”.

Variabel yang terdapat dalam rangkaian tanda “p(x)” disebut variabel bebas. Disini

“p(x)” , tidak bernilai benar atau salah. Pernyataan ini disebut pernyataan terbuka.

28

Agar pernyataan terbuka “p(x)” ini mempunyai nilai salah atau benar (yaitu

menjadi pernyataan deklaratif), maka jika perlu semua variabel bebas di dalamnya diganti

dengan suatu konstanta. Ada cara yang lazim digunakan untuk merubah pernyataan

terbuka ini menjadi pernyataan deklaratif, yaitu dengan membubuhkan suatu kuantor.

Yang dimaksud kuantor disini adalah kuantor universal atau kuantor eksistensial di depan

pernyataan “p(x)”.

Kuantor

Cara lain untuk mendapat kalimat deklaratif dari suatu pernyataan adalah dengan

menggunakan kuantor, yaitu menentukan kuantifikasi obyeknya

Ada dua jenis kuantor yaitu :

1. Kuantor universal (∀)

2. Kuantor eksistensial (∃)

Contoh :

• Setiap laki-laki harus wajib militer

• Ada beberapa laki-laki yang tidak wajib militer

Ditulis sebagai berikut :

• Untuk setiap x, jika x laki-laki maka x harus wajib militer

• Terdapat x sehingga x laki-laki dan x tidak wajib militer.

Kuantor pernyataan

Jika p adalah menunjukkan sifat “laki-laki” dan q menunjukkan sifat “wajib militer”,

maka kalimat tersebut dapat ditulis :

1. (∀x)p(x)→q(x)

dan

2. (∃x)p(x) ∧ q(x)

Secara umum :

Kuantor universal selalu diikuti dengan bentuk Implikasi dan Kuantor eksistensial selalu

diikuti dng bentuk konjungsi

Hubungan Kuantor ∀ dan ∃

Pandang contoh sebagai berikut :

Pernyataan p : “Setiap peserta kuliah Logika informatika mendapat nilai A”

Ingkarannya :

29

~p adalah : “Tidak setiap peserta kuliah logika informatika mendapat nilai A”

atau boleh dikatakan : “ Ada peserta kuliah logika informatika mendapat nilai tidak A

(mis B)”

Jika dua pernyataan tersebut ditulis dengan kuantor dan semesta pembicaraannya adalah

semua peserta kuliah logika informatika, maka kalimat pertama :

p : (∀x)A(x)

( A adalah sifat mendapat nilai A)

dan yang kedua (neg) :

~p : (∃x)A(x)

Negasi kuantor

Hubungan antara kuantor universal dengan kuantor eksistensial

E1 : ( ∀ x ) p ( x ) ≡ ( ∃ x ) p ( x )

E2 : ( ∃ x ) p ( x ) ≡ ( ∀ x ) p ( x )

E3 : (∀x)p(x)→q(x) ≡ (∃x)p(x) ∧ q(x)

E4 : (∃x)p(x) ∧ q(x) ≡ (∀x)p(x)→q(x)

Jika suatu predikat menyangkut lebih dari satu obyek, misalnya p(x,y), maka perlu

dibicarakan suatu pernyataan dengan lebih dari satu kuantor. Kombinasi kuantor yang

mungkin untuk predikat p(x,y) adalah :

(∀x)(∀y)p(x,y) ; (∀x)(∃y)p(x,y) ; (∃x)(∀y)p(x,y)

(∃x)(∃y)p(x,y) ; (∀x)(∀y)p(x,y) ; (∃x)(∀y)p(x,y)

(∀x)(∃y)p(x,y) ; (∃x)(∃y)p(x,y)

Didapat rumusan sbb :

1. (∀x) (∀y) p(x,y) ↔ (∀y) (∀x) p(x,y)

2. (∀x) (∀y) p(x,y) → (∃y) (∀x) p(x,y)

3. (∃y) (∀x) p(x,y) → (∀x) (∃y) p(x,y)

4. (∀x) (∃y) p(x,y) → (∃y) (∃x) p(x,y)

5. (∃x) (∃y) p(x,y) ↔ (∃y) (∃x) p(x,y)

Ingkaran kalimat

Negasi dari “Semua manusia tidak kekal” adalah “tidak benar bahwa semua

manusia tidak kekal ” atau “Beberapa manusia tidak kekal”. Jika p(x) adalah manusia

(=x) tidak kekal, maka “Semua manusia adalah tidak kekal” atau ∀x p( x ) bernilai benar

30

dan “beberapa manusia tidak kekal” atau ∃x p( x ) bernilai salah.

Jadi ingkaran dari kuantor universal (∀x) p(x) dinyatakan dengan simbol logika :

[∀x p(x)] ≡ ∃x : p(x) atau (∀x) p(x) ≡ (∀x) p(x) ≡ (∃x) p(x)

Jadi negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor universal adalah ekivalen

dengan pernyataan yang memuat kuantifikasi eksistensial (fungsi pernyataan yang

dinegasikan) dan sebaliknya.

Ingkaran dari kuantor eksistensial (∃x) p(x) dinyatakan dengan )()( xpx∃ dinyatakan

dengan simbol logika: [∃x p(x)] ≡ ∀x : p(x) atau )()()()()()( xpxxpxxpx ∀=∃=∃

Jadi negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor eksistensial adalah ekivalen

dengan pernyataan yang memuat kuantifikasi universal (fungsi pernyataan yang

dinegasikan)

Contoh 1 :

H(x) : x hidup

M(x) : x mati

(∀x)(H(x) v M(x)) dibaca “Untuk semua x, x hidup atau x mati”

Akan tetapi jika ditulisnya (∀x)(H(x)) v M(x) maka dibaca “Untuk semua x hidup, atau x

mati”. Pada “x mati”, x tidak terhubing dengan kuantor universal, yang terhubung

hanya”x hidup”. Sekali lagi, perhatikan penulisan serta peletakan tanda kurungnya.

Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut :

(∀x)( ∀y) P(x,y) ≡ (∀y)( ∀x) P(x,y)

(∃x)( ∃y) P(x,y) ≡ (∃y)( ∃x) P(x,y)

(∃x)( ∀y) P(x,y) ≡ (∀y)( ∃x) P(x,y)

Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama seperti ingkaran

pada kalimat berkuantor tunggal.

¬[(∃x)( ∀y) P(x,y)] ≡ (∀x)( ∃y) ¬P(x,y)

¬[(∀x)( ∃y) P(x,y)] ≡ (∃x)( ∀y) ¬P(x,y)

Contoh 2 :

Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini :

31

1. (∀x)( ∃ y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat

(∀x)( ∃y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat

bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya :

¬[(∀x)( ∃y) x=2y] ≡ (∃x)( ∀y) x≠2y

2. Ada toko buah yang menjual segala jenis buah

Dapat ditulis (∃x)( ∀y) x menjual y. Maka negasinya

¬[(∃x)( ∀y) x menjual y] ≡ (∀x)( ∃y) x tidak menjual y

Dibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis buah”.

Mengubah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantor ganda

Misal : “Ada seseorang yang mengenal setiap orang”

Langkah-langkahnya :

1. Jadikan potongan pernyataan ”x kenal y”, maka akan menjadi K(x,y).

K(x,y) : x kenal y

2. Jadikan potongan pernyataan ”x kenal semua y”, sehingga menjadi

(∀y) K(x,y)

3. Jadikan pernyataan “ada x, yang x kenal semua y”, sehingga menjadi

(∃x)(∀y) K(x,y)

32

BAB IV

HIMPUNAN

Pada kehidupan sehari-hari seringkali untuk memperrmudah menyelesaikan suatu

masalah kita mengelompokkan suatu objek kedalam kategori-kategori tertentu. Misalnya

kelompok tumbuhan berdaun lebar, kelompok anak kecil., atau Himpunan Mahasiswa

Teknik Informatika (HIMATIF). Kelompok-kelompok tersebut dalam matematika ada

yang disebut himpunan, ada juga yang tidak masuk dalam kategori himpunan.

Definisi himpunan dalam matematika adalah sebagai berikut:

Definisi Himpunan

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda dan terdefinisi dengan baik.

Himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan objek di dalam

himpunan disebut yang biasa dissebut elemen, unsur, atau anggota. Dilambangkan

dengan huruf kecil.

Contoh 1:

HIMATIF adalah sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa, dan

tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.

Keanggotaan

Suatu objek disebut anggota dalam suatu himpunan apabila memenuhi kriteria dalam

himpunan tersebut, dan dinotasikan sebagai berikut:

x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A;

x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } dan K = {{}}

maka

3 ∈ A

33

{a, b, c} ∈ R

c ∉ R

{} ∈ K

{} ∉ R

Contoh 3.

Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, dan P3 = {{{a, b}}},

maka

a ∈ P1

a ∉ P2

P1 ∈ P2

P1 ∉ P3

P2 ∈ P3

Cara Penyajian Himpunan

Cara penyajian himpunan ada beberapa macam yaitu:

1. Enumerasi

Enumerasi mendaftarkan semua anggota himpunan satu persatu.

Contoh :

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.

- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

- C = {a, {a}, {{a}} }

- K = { {} }

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }

- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

2. Simbol-simbol Baku

34

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U,

dengan A = {1, 3, 5}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 4.

(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5

A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau A = { x | x ∈ P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

4. Diagram Venn

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

U

1 2

53 6

8

4

7A B

35

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau A

Contoh 6.

(i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 },

atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8

(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5

(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

Himpunan kosong (null set)

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi dari himpunan kosong adalah ∅ atau {}

Contoh 7.

(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

• himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {∅}

• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {∅, {∅}}

• {∅} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

Himpunan Bagian (Subset)

Definisi Himpunan Bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap

elemen A merupakan elemen dari B.

• Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

• Notasi: A ⊆ B

36

Diagram Venn:

U

AB

Contoh 8.

(i) { 1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}

(iii) N ⊆ Z ⊆ R ⊆ C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x ≥, y ≥ 0 } dan

B = { (x, y) | 2x + y < 4, x ≥ 0 dan y ≥ 0 }, maka B ⊆ A.

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ⊆ A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( ∅ ⊆ A).

(c) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C

• ∅ ⊆ A dan A ⊆ A, maka ∅ dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper

subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan ∅ adalah improper subset dari A.

• A ⊆ B berbeda dengan A ⊂ B

(i) A ⊂ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

37

(ii) A ⊆ B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset)

dari B yang memungkinkan A = B.

•Latihan Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan semua kemungkinan

himpunan C sedemikian sehingga A ⊂ C dan C ⊂ B, yaitu A adalah proper subset dari C

dan C adalah proper subset dari B.

Jawaban:

C harus mengandung semua elemen A = {1, 2, 3} dan sekurang-kurangnya satu

elemen dari B.

Dengan demikian, C = {1, 2, 3, 4} atau C = {1, 2, 3, 5}.

C tidak boleh memuat 4 dan 5 sekaligus karena C adalah proper subset dari B.

Himpunan yang Sama

Definisi Himpunan yang Sama

Suatu himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B (A = B) jika dan hanya jika setiap

elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

• A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A.

Jika tidak demikian, maka A ≠ B.

Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh 9.

(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ≠ B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

38

Himpunan yang Ekivalen

Definisi Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari

kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B ↔ A = B

Contoh 10.

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka

A ~ B sebab A = B = 4

Himpunan Saling Lepas

Definisi Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki

elemen yang sama.

Notasi : A // B

Diagram Venn:

U

A B

Contoh 11.

Jika A = { x | x ∈ P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

Himpunan Kuasa

39

Definisi Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya

merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A

sendiri.

Notasi : P(A) atau 2A

Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Contoh 12.

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Contoh 13.

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(∅) = {∅}, dan himpunan kuasa dari

himpunan {∅} adalah P({∅}) = {∅, {∅}}.

Operasi Terhadap Himpunan

1. Irisan (intersection)

Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Contoh 14.

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ∩ B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A ∩ B = ∅. Artinya: A // B

2. Gabungan (union)

40

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Contoh 15.

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A ∪ B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A ∪ ∅ = A

3. Komplemen (complement)

Notasi : A = { x | x ∈ U, x ∉ A }

Contoh 16.

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = { x | x/2 ∈ P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

Contoh 17. Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

41

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar

negeri” � (E ∩ A) ∪ (E ∩ B) atau E ∩ (A ∪ B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai

jualnya kurang dari Rp 100 juta” � A ∩ C ∩ D

(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp

100 juta” � BDC ∩∩

4. Selisih (difference)

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B

Contoh 18.

(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan

B – A = ∅

(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Notasi: A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)

42

Contoh 19.

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 }

Contoh 20. Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80,

mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di

bawah 80.

(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P ∩ Q

(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P ⊕ Q

(iii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P ∪ Q)

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif) (b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)

6. Perkalian Kartesian (cartesian product)

Notasi: A × B = {(a, b) a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh 20.

(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka

C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

A × B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:

A × B = A . B.

2. (a, b) ≠ (b, a).

43

3. A × B ≠ B × A dengan syarat A atau B tidak kosong.

Pada Contoh 20(i) di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b },

D × C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }

C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

D × C ≠ C × D.

4. Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B = B × A = ∅

Contoh 21. Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie

rebus }

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua

himpunan di atas?

Jawab:

A × B = A⋅B = 4 ⋅ 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g,

c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a) P(∅) (b) ∅ × P(∅) (c) {∅}× P(∅) (d) P(P({3}))

Penyelesaian:

(a) P(∅) = {∅}

(b) ∅ × P(∅) = ∅ (ket: jika A = ∅ atau B = ∅ maka A × B = ∅)

(c) {∅}× P(∅) = {∅}× {∅} = {(∅,∅))

(d) P(P({3})) = P({ ∅, {3} }) = {∅, {∅}, {{3}}, {∅, {3}} }

Latihan

Misalkan A adalah himpunan. Periksalah apakah setiap pernyataan di bawah ini benar

atau salah dan jika salah, bagaimana seharusnya:

44

(a) )()( APAPA =∩

(b) )()(}{ APAPA =∪

(c) AAPA =− )(

(d) )(}{ APA ∈

(e) )( APA ⊆

Jawaban:

(a) salah, seharusnya ∅=∩ )(APA

(b) benar

(c) benar

(d) salah, seharusnya )(}{ APA ⊆

(e) salah, seharusnya )(APA∈

Perampatan Operasi Himpunan

In

iinAAAA

121...

=

=∩∩∩

Un

iinAAAA

121...

=

=∪∪∪

i

n

inAAAA

121...

=×=×××

i

n

in

AAAA121

...=⊕=⊕⊕⊕

Contoh 22.

(i) A ∩(B1∪B2 ∪ ... ∪Bn) = (A∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ ... ∪ (A ∩ Bn)

UUn

ii

n

ii

BABA11

)()(==

∩=∩

(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {α, β}, maka

A × B × C = {(1, a, α), (1, a, β), (1, b, α), (1, b, β), (2, a, α), (2, a, β), (2, b, α), (2,

b, β) }

45

Hukum-hukum Himpunan

Hukum-hukum Himpunan disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan atau disebut

juga hukum aljabar himpunan

1. Hukum identitas: − A ∪ ∅ = A − A ∩ U = A

2. Hukum null/dominasi: − A ∩ ∅ = ∅ − A ∪ U = U

3. Hukum komplemen: − A ∪ A = U − A ∩ A = ∅

4. Hukum idempoten: − A ∪ A = A − A ∩ A = A

5. Hukum involusi:

− )(A = A

6. Hukum penyerapan (absorpsi): − A ∪ (A ∩ B) = A − A ∩ (A ∪ B) = A

7. Hukum komutatif: − A ∪ B = B ∪ A − A ∩ B = B ∩ A

8. Hukum asosiatif: − A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C − A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Hukum distributif: − A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) − A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

10. Hukum De Morgan:

− BA∩ = BA∪

− BA∪ = BA∩ 11. Hukum 0/1

∅ = U U = ∅

Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas adalah dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap

memberikan jawaban yang benar.

Contoh: AS � kemudi mobil di kiri depan

Inggris (juga Indonesia) � kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:

(a) di Amerika Serikat,

- mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,

- pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,

46

- bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Inggris,

- mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

- pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

- bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga

peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris

(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang

melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. Jika S*

diperoleh dari S dengan mengganti

∪ → ∩,

∩ → ∪,

∅ → U,

U → ∅,

sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan

disebut dual dari kesamaan S.

1. Hukum identitas: A ∪ ∅ = A

Dualnya: A ∩ U = A

2. Hukum null/dominasi: A ∩ ∅ = ∅

Dualnya: A ∪ U = U

3. Hukum komplemen: A ∪ A = U

Dualnya: A ∩ A = ∅

4. Hukum idempoten: A ∪ A = A

Dualnya: A ∩ A = A

5. Hukum penyerapan: A ∪ (A ∩ B) = A

Dualnya: A ∩ (A ∪ B) = A

47

6. Hukum komutatif: A ∪ B = B ∪ A

Dualnya: A ∩ B = B ∩ A

7. Hukum asosiatif: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

Dualnya: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Hukum distributif: A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Dualnya: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

9. Hukum De Morgan:

BA∪ = A ∩ B

Dualnya:

BA∩ = A ∪ B

10. Hukum 0/1

∅= U

Dualnya:

U = ∅

Contoh 23. Dual dari (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ) = A adalah

(A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) = A.

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B:

A ∪ B = A + B – A ∩ B

A ⊕ B = A +B – 2A ∩ B

Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau

5?

Penyelesaian:

A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,

B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

A ∩ B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan

bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3

dan 5, yaitu 15),

Yang ditanyakan adalah A ∪ B.

A = 100/3 = 33,

B = 100/5 = 20,

48

A ∩ B = 100/15 = 6

A ∪ B = A + B – A ∩ B = 33 + 20 – 6 = 47

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

A ∪ B ∪ C = A + B + C – A ∩ B – A ∩ C – B ∩ C + A ∩ B ∩ C

Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:

A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ar = ∑i

Ai – ∑≤≤≤ rji1

Ai ∩ Aj + ∑≤≤≤≤ rkji1

Ai ∩ Aj ∩ Ak + …+

(-1)r-1 A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ar

Latihan:

Di antara bilangan bulat antara 101 – 600 (termasuk 101 dan 600 itu sendiri),

berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya?

Penyelesaian:

Diketahui:

U = 500

A = 600/4 – 100/4 = 150 – 25 = 125

B = 600/5 – 100/5 = 120 – 20 = 100

A ∩ B = 600/20 – 100/20 = 30 – 5 = 25

yang ditanyakan BA⊕ = ?

Hitung terlebih dahulu

A ⊕ B = A + B – 2 A ∩ B = 125 + 100 – 50 = 175

untuk mendapatkan

BA⊕ = U – A ⊕ B = 500 – 175 = 325

Partisi

Definisi Partisi

49

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2,

… dari A sedemikian sehingga:

(a) A1 ∪ A2 ∪ … = A, dan

(b) Ai ∩ Aj = ∅ untuk i ≠ j

Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} }

adalah partisi A.

Himpunan Ganda (multiset)

Definisi Himpunan Ganda

Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan

ganda (multiset).

Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

Definisi Multiplisitas

Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen

tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0

adalah 4.

Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini

multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya

(ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.

Operasi Antara Dua Buah Multiset:

Misalkan P dan Q adalah multiset:

1. P ∪ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas

maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

P ∪ Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

50

2. P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas

minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }

P ∩ Q = { a, a, c }

3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:

− multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika

selisihnya positif

− 0, jika selisihnya nol atau negatif.

Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c,

c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }

4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah

suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari

multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.

Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },

P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

Pembuktian Proposisi Perihal Himpunan

Proposisi himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

Proposisi dapat berupa:

1. Kesamaan (identity)

Contoh: Buktikan “A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)”

2. Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A ∩ B = ∅ dan A ⊆ (B ∪ C) maka selalu berlaku

bahwa A ⊆ C”.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dengan diagram Venn.

Bukti:

51

A ∩ (B ∪ C) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.

Terbukti bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Ada beberapa catatan untuk pembuktian dengan menggunakan Diagram Venn:

1. Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak

banyak jumlahnya.

2. Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta.

3. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian

secara formal.

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩

B) ∪ (A ∩ C).

Bukti:

A B C B ∪ C A ∩ (B ∪ C) A ∩ B A ∩ C (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

52

1 1 1 1 1 1 1 1

Karena kolom A ∩ (B ∪ C) dan kolom (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) sama, maka A ∩ (B ∪ C) = (A

∩ B) ∪ (A ∩ C).

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa

(A ∩ B) ∪ (A ∩ B ) = A

Bukti:

(A ∩ B) ∪ (A ∩ B ) = A ∩ (B ∪ B ) (Hukum distributif)

= A ∩ U (Hukum komplemen)

= A (Hukum identitas)

Contoh 29. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A ∪ (B – A) = A ∪ B

Bukti:

A ∪ (B – A) = A ∪ (B ∩ A) (Definisi operasi selisih)

= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A) (Hukum distributif)

= (A ∪ B) ∩ U (Hukum komplemen)

= A ∪ B (Hukum identitas)

Contoh 30. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa

(i) A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B dan

(ii) A ∩ (A ∪ B) = A ∩ B

Bukti:

(i) A ∪ ( A ∩ B) = ( A ∪ A) ∩ (A ∩ B) (H. distributif)

= U ∩ (A ∩ B) (H. komplemen)

= A ∪ B (H. identitas)

53

(ii) adalah dual dari (i)

A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) (H. distributif)

= ∅ ∪ (A ∩ B) (H. komplemen)

= A ∩ B (H. identitas)

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi

Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak

berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam

implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (⊆ atau ⊂).

Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Jika A ∩ B = ∅ dan A ⊆ (B ∪ C) maka A ⊆ C.

Buktikan!

Bukti:

(i) Dari definisi himpunan bagian, P ⊆ Q jika dan hanya jika setiap x ∈ P juga ∈ Q.

Misalkan x ∈ A. Karena A ⊆ (B ∪ C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga ∈

(B ∪ C).

Dari definisi operasi gabungan (∪), x ∈ (B ∪ C) berarti x ∈ B atau x ∈ C.

(ii) Karena x ∈ A dan A ∩ B = ∅, maka x ∉ B

Dari (i) dan (ii), x ∈ C harus benar. Karena ∀x ∈ A juga berlaku x ∈ C, maka dapat

disimpulkan A ⊆ C .

Misalkan A adalah himpunan bagian dari himpunan semesta (U). Tuliskan hasil dari

operasi beda-setangkup berikut?

(a) A ⊕ U (b) A ⊕ A (c) A ⊕ U

Penyelesaian:

(a) A ⊕ U = (A – U) ∪ (U – A) (Definisi operasi beda setangkup)

= (∅) ∪ (A) (Definisi opearsi selisih)

= A (Hukum Identitas)

(b) A ⊕ A = (A – A ) ∪ (A – A) (Definisi operasi beda setangkup)

54

= (A ∩ A) ∪ (A ∩ A ) (Definisi operasi selisih)

= A ∪ A (Hukum Idempoten)

= U (Hukum Komplemen)

(c) A ⊕ U = (A ∪ U) – (A ∩ U) (Definisi operasi beda setangkup)

= U – A (Hukum Null dan Hukum Identitas)

= A (Definisi operasi selisih)

55

BAB V RELASI

Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A × B.

Notasi: R ⊆ (A × B).

• a R b adalah notasi untuk (a, b) ∈ R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R

• a R b adalah notasi untuk (a, b) ∉ R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh

relasi R.

• Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah

hasil (range) dari R.

Contoh 1. Misalkan

A = {Amir, Budi, Cecep}, B = { IF251, IF342, IF323}

A × B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342),

(Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251),

(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),

(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa

pada Semester Ganjil, yaitu:

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323)}

- Dapat dilihat bahwa R ⊆ (A × B),

- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.

- (Amir, IF251) ∈ R atau Amir R IF251

- (Amir, IF342) ∉ R atau Amir R IF342.

Contoh 2. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R

dari P ke Q dengan (p, q) ∈ R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

• Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus

• Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A × A.

56

• Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A × A.

Contoh 3. Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y)

∈ R jika x adalah faktor prima dari y.

Maka

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}

Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

Amir

Budi

Cecep

IF221

IF251

IF342

IF323

2

3

4

2

4

8

9

15

2

3

4

8

9

2

3

4

8

9

AB

P

QA A

2.. Representasi Relasi dengan Tabel

• Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua

menyatakan daerah hasil.

Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3

A B P Q A A

Amir IF251 2 2 2 2

Amir IF323 2 4 2 4

Budi IF221 4 4 2 8

Budi IF251 2 8 3 3

Cecep IF323 4 8 3 3

3 9

3 15

3. Representasi Relasi dengan Matriks

• Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}.

• Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],

b1 b2 … bn

57

M =

mnmm

n

n

mmmm

mmm

mmm

a

a

a

L

MMMM

L

L

M

21

22221

11211

2

1

yang dalam hal ini

∉∈

=Rba

Rbam

ji

ji

ij ),(,0

),(,1

Contoh 4. Relasi R pada Contoh 1 dapat dinyatakan dengan matriks

1000

0011

1010

dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = IF221, b2 = IF251, b3 = IF342,

dan b4 = IF323.

Relasi R pada Contoh 2 dapat dinyatakan dengan matriks

00110

11000

00111

dalam hal ini, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, dan b1 = 2, b2 = 4, b3 = 8, b4 = 9, b5 = 15.

4. Representasi Relasi dengan Graf Berarah

Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf

berarah (directed graph atau digraph)

• Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu

himpunan ke himpunan lain.

• Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau

vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)

• Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a

disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal

vertex).

• Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a

sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

58

Contoh 5. Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah

relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

Sifat-sifat Relasi Biner

Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.

1. Refleksif (reflexive)

Definisi

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.

Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a)

∉ R.

Contoh 6. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada

himpunan A, maka

(a) Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} bersifat

refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2),

(3, 3), dan (4, 4).

(b) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif

karena (3, 3) ∉ R.

Contoh 7. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat

refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya

sendiri, sehingga (a, a)∈R untuk setiap a ∈ A.

ab

c d

59

Contoh 8. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat

positif N.

R : x lebih besar dari y, S : x + y = 5, T : 3x + y = 10

Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan

anggota R, S, maupun T.

Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua

bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

1

1

1

1

O

Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap

simpulnya.

2. Menghantar (transitive)

Definisi

Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka

(a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.


himpunan A, maka

(a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel

berikut:

Pasangan berbentuk

(a, b) (b, c) (a, c)

(3, 2) (2, 1) (3, 1)

(4, 2) (2, 1) (4, 1)

60

(4, 3) (3, 1) (4, 1)

(4, 3) (3, 2) (4, 2)

(b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena

(2, 4) dan (4, 2) ∈ R, tetapi (2, 2) ∉ R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) ∈ R, tetapi

(4, 3) ∉ R.

(c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar

(d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada

(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R sedemikian sehingga (a, c) ∈ R.

Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.

Contoh 10. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat

menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c.

Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c =

nb. Di sini c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis

membagi” bersifat menghantar.

Contoh 11. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan

bulat positif N.


- R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.

- S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4,

4) ∉ S.

- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar.

Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks

representasinya

Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan

dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

3. Setangkup (symmetric) dan tolak-setangkup (antisymmetric)

Definisi

61

Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka (b, a) ∈ R untuk a,

b ∈ A.

Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian sehingga (b, a)

∉ R.

Definisi

Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R hanya jika

a = b untuk a, b ∈ A disebut tolak-setangkup.

Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b

sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R.


himpunan A, maka

(a) Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat setangkup

karena jika (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) ∈ R, begitu

juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R.

(b) Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) ∈ R, tetapi

(3, 2) ∉ R.

(c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) ∈ R, 2 =

2 dan (2, 2) ∈ R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈ R. Perhatikan bahwa R juga setangkup.

(d) Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) ∈ R dan 1 =

1 dan, (2, 2) ∈ R dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup.

(e) Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 ≠ 4 tetapi

(2, 4) dan (4, 2) anggota R. Relasi R pada (a) dan (b) di atas juga tidak tolak-

setangkup.

(f) Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.

Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup dan tidak

tolak-setangkup. R tidak setangkup karena (4, 2) ∈ R tetapi (2, 4) ∉ R. R tidak

tolak-setangkup karena (2, 3) ∈ R dan (3, 2) ∈ R tetap 2 ≠ 3.

62

Contoh 13. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif tidak

setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali

jika a = b. Sebagai contoh, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi

2. Karena itu, (2, 4) ∈ R tetapi (4, 2) ∉ R. Relasi “habis membagi” tolak-

setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a =

b. Sebagai contoh, 4 habis membagi 4. Karena itu, (4, 4) ∈ R dan 4 = 4.

Contoh 14. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan

bulat positif N.


- R bukan relasi setangkup karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3

tidak lebih besar dari 5.

- S relasi setangkup karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S.

- T tidak setangkup karena, misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi (1, 3)

bukan anggota T.

- S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalkan (4, 2) ∈ S dan (4, 2) ∈ S

tetapi 4 ≠ 2.

- Relasi R dan T keduanya tolak-setangkup (tunjukkan!).

Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah

diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama,

atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n :

0

1

0

1

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada

busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

• Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i ≠

j, maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika

salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i ≠ j :

63

0

1

10

0

1

• Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak-setangkup dicirikan oleh:

jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua

simpul berbeda.

Relasi Inversi

Definisi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R,

dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

R–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R }

Contoh 15. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R

dari P ke Q dengan (p, q) ∈ R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q, p) ∈ R–1 jika q adalah

kelipatan dari p

maka kita peroleh

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,

M =

00110

11000

00111

maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N, diperoleh dengan

melakukan transpose terhadap matriks M,

64

N = MT =

010

010

101

101

001

Relasi Kesetaraan

Definisi

Relasi R pada himpunan A disebut relasi kesetaraan (equivalence relation) jika ia

refleksif, setangkup dan menghantar.

Secara intuitif, di dalam relasi kesetaraan, dua benda berhubungan jika keduanya

memiliki beberapa sifat yang sama atau memenuhi beberapa persyaratan yang sama. Dua

elemen yang dihubungkan dengan relasi kesetaraan dinamakan setara (equivalent).

Contoh:

A = himpunan mahasiswa, R relasi pada A:

(a, b) ∈ R jika a satu angkatan dengan b.

R refleksif: setiap mahasiswa seangkatan dengan dirinya sendiri

R setangkup: jika a seangkatan dengan b, maka b pasti seangkatan dengan a.

R menghantar: jika a seangkatan dengan b dan b seangkatan dengan c, maka pastilah a

seangkatan dengan c.

Dengan demikian, R adalah relasi kesetaraan.

Relasi Pengurutan Parcial

Definisi

Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial (partial ordering relation)

jika ia refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar.

Himpunan S bersama-sama dengan relasi R disebut himpunan terurut secara

parsial (partially ordered set, atau poset), dan dilambangkan dengan (S, R).

Contoh 16. Relasi ≥ pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial.

Alasan:

Relasi ≥ refleksif, karena a ≥ a untuk setiap bilangan bulat a;

Relasi ≥ tolak-setangkup, karena jika a ≥ b dan b ≥ a, maka a = b;

65

Relasi ≥ menghantar, karena jika a ≥ b dan b ≥ c maka a ≥ c.

Contoh 17. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat adalah relasi

pengurutan parsial.

Alasan: relasi “habis membagi” bersifat refleksif, tolak-setangkup, dan

menghantar.

Secara intuitif, di dalam relasi pengurutan parsial, dua buah benda saling berhubungan

jika salah satunya -- lebih kecil (lebih besar) daripada, atau lebih rendah (lebih tinggi)

daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu. Istilah pengurutan menyatakan

bahwa benda-benda di dalam himpunan tersebut dirutkan berdasarkan sifat atau kriteria

tersebut. Ada juga kemungkinan dua buah benda di dalam himpunan tidak berhubungan

dalam suatu relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tidak dapat

membandingkan keduanya sehingga tidak dapat diidentifikasi mana yang lebih besar atau

lebih kecil. Itulah alasan digunakan istilah pengurutan parsial atau pengurutan tak-

lengkap

Klosur Relasi (closure of relation)

Contoh 18. Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak

refleksif.

Bagaimana membuat relasi refleksif yang sesedikit mungkin dan mengandung R?

• Tambahkan (2, 2) dan (3, 3) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini yang belum

terdapat di dalam R)

Relasi baru, S, mengandung R, yaitu S = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}

• Relasi S disebut klosur refleksif (reflexive closure) dari R.

Contoh 19. Relasi R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} pada himpunan A = {1, 2, 3}

tidak setangkup.

Bagaimana membuat relasi setangkup yang sesedikit mungkin dan mengandung R?

• Tambahkan (3, 1) dan (2, 3) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini yang belum

terdapat di dalam S agar S menjadi setangkup).

Relasi baru, S, mengandung R:

S = {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}

Relasi S disebut klosur setangkup (symmetric closure) dari R.

66

Definisi Klosur

Misalkan R adalah relasi pada himpunan A. R dapat memiliki atau tidak memiliki sifat P,

seperti refleksif, setangkup, atau menghantar. Jika terdapat relasi S dengan sifat P yang

mengandung R sedemikian sehingga S adalah himpunan bagian dari setiap relasi dengan

sifat P yang mengandung R, maka S disebut klosur (closure) atau tutupan dari R

[ROS03].

Klosur Refleksif

Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A. Klosur refleksif dari R adalah R ∪ ∆,

yang dalam hal ini ∆ = {(a, a) | a ∈ A}.

Contoh 20. R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3}, maka ∆ =

{(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, sehingga klosur refleksif dari R adalah

R ∪ ∆ = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} ∪ {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

= {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}

Contoh 21. Misalkan R adalah relasi {(a, b) | a ≠ b} pada himpunan bilangan bulat.

Klosur refleksif dari R adalah

R ∪ ∆ = {(a, b) | a ≠ b} ∪ {(a, a) | a ∈ Z}

= {(a, b) | a, b ∈ Z}

Klosur setangkup

Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A. Klosur setangkup dari R adalah R ∪

R-1, dengan R-1 = {(b, a) | (a, b) a ∈ R}.

Contoh 22. R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3}, maka

R-1 = {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)} sehingga klosur setangkup dari R

adalah

R ∪ R-1 = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} ∪ {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3),

(3, 3)}

= {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}

67

Contoh 23. Misalkan R adalah relasi {(a, b) | a habis membagi b}pada himpunan

bilangan bulat. Klosur setangkup dari R adalah

R ∪ R-1 = {(a, b) | a habis membagi b} ∪ {(b, a) | b habis membagi a}

= {(a, b) | a habis membagi b atau b habis membagi a}

Klosur menghantar

Pembentukan klosur menghantar lebih sulit daripada dua buah klosur sebelumnya.

Contoh 24. R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2)} adalah relasi A = {1, 2, 3, 4}.

R tidak transitif karena tidak mengandung semua pasangan (a, c) sedemikian sehingga (a,

b) dan (b, c) di dalam R. Pasangan (a, c) yang tidak terdapat di dalam R adalah (1, 1), (2,

2), (2, 4), dan (3, 1). Penambahan semua pasangan ini ke dalam R sehingga menjadi

S = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 1)}

tidak menghasilkan relasi yang bersifat menghantar karena, misalnya terdapat (3, 1) ∈ S

dan (1, 4) ∈ S, tetapi (3, 4) ∉ S.

Klosur menghantar dari R adalah

R* = R2 ∪ R3 ∪ … ∪ Rn

Jika MR adalah matriks yang merepresentasikan R pada sebuah himpunan dengan n

elemen, maka matriks klosur menghantar R* adalah

=*RM MR ∨ ]2[

RM ∨ ]3[RM ∨ … ∨ ][n

RM

Misalkan R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2,

3}. Tentukan klosur menghantar dari R.

Penyelesaian:

Matriks yang merepresentasikan relasi R adalah

MR =

011

010

101

Maka, matriks klosur menghantar dari R adalah

=*R

M MR ∨ ]2[RM ∨ ]3[

RM

Karena

68

=⋅=

111

010

111]2[

RRR MMM dan

=⋅=

111

010

111]2[]3[

RRR MMM

maka

=*R

M

111

010

101

∨

111

010

111

∨

111

010

111

=

111

010

111

Dengan demikian, R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3) }

Mengkombinasikan Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi

himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau

lebih juga berlaku. Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke

himpunan B, maka R1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, dan R1 ⊕ R2 juga adalah relasi dari A ke B.

Contoh 25. Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.

Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}

Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

R1 ∩ R2 = {(a, a)}

R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

R1 − R2 = {(b, b), (c, c)}

R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}

R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka

matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah

MR1 ∪ R2 = MR1 ∨ MR2 dan MR1 ∩ R2 = MR1 ∧ MR2

Contoh 26. Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

R1 =

011

101

001 dan R2 =

001

110

010

69

maka

MR1 ∪ R2 = MR1 ∨ MR2 =

011

111

011

MR1 ∩ R2 = MR1 ∧ MR2 =

001

100

000

Komposisi Relasi

Definisi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari

himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S ο R, adalah

relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S ο R = {(a, c) a ∈ A, c ∈ C, dan untuk beberapa b ∈ B, (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈

S }

Contoh 27. Misalkan R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari

himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6,

t), (8, u) adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}. Maka

komposisi relasi R dan S adalah

S ο R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }

Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah:

1

2

3

2

4

6

8

s

t

u

Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka

matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah

MR2 ο R1 = MR1 ⋅ MR2

70

yang dalam hal ini operator “.” sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan

mengganti tanda kali dengan “∧” dan tanda tambah dengan “∨”.

Contoh 28. Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

R1 =

000

011

101 dan R2 =

101

100

010

maka matriks yang menyatakan R2 ο R1 adalah

MR2 ο R1 = MR1 . MR2

∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧

)10()10()00()00()00()10()10()00()00(

)10()11()01()00()01()11()10()01()01(

)11()10()01()01()00()11()11()00()01(

=

000

110

111

71

Fungsi

Definisi

Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika

setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A → B

yang artinya f memetakan A ke B.

• A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain)

dari f.

• Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di

dalam B. Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan

pra-bayangan (pre-image) dari b.

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan

bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

Fungsi adalah relasi yang khusus:

1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah

yang mendefinisikan f.

2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika

(a, b) ∈ f dan (a, c) ∈ f, maka b = c.

Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya:

1. Himpunan pasangan terurut.

Seperti pada relasi.

a b

A B

f

72

2. Formula pengisian nilai (assignment).

Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x.

3. Kata-kata

Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu

string biner”.

4. Kode program (source code)

Contoh: Fungsi menghitung |x|

function abs(x:integer):integer;

begin

if x < 0 then

abs:=-x

else

abs:=x;

end;

Contoh 29. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah

fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f

adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang

dalam hal ini sama dengan himpunan B.

Contoh 30. Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} ada lah

fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A.

Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi

adalah {u, v}.

Contoh 31. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)}dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan

fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B.

Contoh 32. Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}

bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v.

73

Contoh 33. Misalkan f : Z → Z didefinisikan oleh f(x) = x2. Daerah asal dan daerah hasil

dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan

bilangan bulat tidak-negatif.

Fungsi Injektif

Definisi

Fungsi f dikatakan fungsi satu-ke-satu (one to one) atau injektif (injective) jika tidak ada

dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

Contoh 34. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah

fungsi satu-ke-satu,

tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan

fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.

Contoh 35. Misalkan f : Z → Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1

merupakan fungsi satu-ke-satu?

Penyelesaian:

(i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama

tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2 ≠

2.

(ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a ≠ b, a – 1 ≠ b – 1.

Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.

Fungsi Surjektif

Definisi

a 1

A B

2

3

4

5

b

c

d

74

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen

himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada

himpunan B.

Contoh 36. Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan

fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u),

(3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena

semua anggota B merupakan jelajah dari f.

Contoh 37. Misalkan f : Z → Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1

merupakan fungsi pada?

Penyelesaian:

(i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan

jelajah dari f.

(ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x

yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.

Fungís Bijeksi

Definisi

Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi

satu-ke-satu dan juga fungsi pada.

Contoh 38. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah

fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun

fungsi pada.

a 1

A B

2

3

b

c

d

75

Contoh 39. Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu,

karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

Fungsi satu-ke-satu, Fungsi pada,

bukan pada bukan satu-ke-satu

Buka fungsi satu-ke-satu Bukan fungsi

maupun pada

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat

menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1.

Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -

1(b) = a jika f(a) = b.

Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang

invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya.

Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi

yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh 40. Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah

fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f hádala f -1 = {(u,

1), (w, 2), (v, 3)}

Jadi, f adalah fungsi invertible.

Contoh 41. Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.

a

1

AB

2

3b

c4

a1

AB

2

3

b

c

cd

a 1

A B

2

3

b

c

cd 4

a 1

A B

2

3

b

c

cd 4

76

Penyelesaian:

Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi

tersebut ada.

Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya

adalah f-1(y) = y +1.

Contoh 42. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.

Penyelesaian:

Dari Contoh 3.41 dan 3.44 kita sudah menyimpulkan bahwa f(x) = x – 1 bukan fungsi

yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 +

1 adalah funsgi yang not invertible.

Komposisi dari dua buah fungsi

Definisi

Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari

himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f ο g, adalah fungsi

dari A ke C yang didefinisikan oleh

(f ο g)(a) = f(g(a))

Contoh 43. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v) yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B

= {u, v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan B = {u, v,

w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah

f ο g = {(1, y), (2, y), (3, x) }

Contoh 44. Diberikan fungsi f(x) = x–1 dan g(x) = x2 +1. Tentukan f ο g dan g ο f .

Penyelesaian:

(i) (f ο g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.

(ii) (g ο f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2.

Beberapa Fungsi Khusus

1. Fungsi Floor dan Ceiling

77

Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.

Fungsi floor dari x:

x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

Fungsi ceiling dari x:

x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x

Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling

membulatkan x ke atas.

Contoh 45. Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling:

3.5 = 3 3.5 = 4

0.5 = 0 0.5 = 1

4.8 = 4 4.8 = 5

– 0.5 = – 1 – 0.5 = 0

–3.5 = – 4 –3.5 = – 3

Contoh 46. Di dalam komputer, data dikodekan dalam untaian byte, satu byte terdiri atas

8 bit. Jika panjang data 125 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untuk

merepresentasikan data adalah 125/8 = 16 byte. Perhatikanlah bahwa 16 ×

8 = 128 bit, sehingga untuk byte yang terakhir perlu ditambahkan 3 bit

ekstra agar satu byte tetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk

menggenapi 8 bit disebut padding bits).

2. Fungsi modulo

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif. a mod

m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m

a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 ≤ r < m.

Contoh 47. Beberapa contoh fungsi modulo

25 mod 7 = 4

15 mod 4 = 0

3612 mod 45 = 12

0 mod 5 = 5

–25 mod 7 = 3 (sebab –25 = 7 ⋅ (–4) + 3 )

78

3. Fungsi Faktorial

>×−×××=

=0,)1(.21

0,1!

nnn

nn

L

4. Fungsi Eksponensial

>×××=

= 0,

0,1

naaa

na

n

n

4434421 L

Untuk kasus perpangkatan negatif,

n

n

aa

1=−

5. Fungsi Logaritmik

Fungsi logaritmik berbentuk

xy a log= ↔ x = ay

Fungsi Rekursif

Definisi

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.

Contoh 47. n! = 1 × 2 × … × (n – 1) × n = (n – 1)! × n.

>−×=

=0,)!1(

0,1!

nnn

nn

Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:

(a) Basis

Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini

juga sekaligus menghentikan definisi rekursif.

(b) Rekurens

Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap

kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke

nilai awal (basis).

79

Contoh definisi rekursif dari faktorial:

(a) basis:

n! = 1 , jika n = 0

(b) rekurens:

n! = n × (n -1)! , jika n > 0

5! dihitung dengan langkah berikut:

(1) 5! = 5 × 4! (rekurens)

(2) 4! = 4 × 3!

(3) 3! = 3 × 2!

(4) 2! = 2 × 1!

(5) 1! = 1 × 0!

(6) 0! = 1

(6’) 0! = 1

(5’) 1! = 1 × 0! = 1 × 1 = 1

(4’) 2! = 2 × 1! = 2 × 1 = 2

(3’) 3! = 3 × 2! = 3 × 2 = 6

(2’) 4! = 4 × 3! = 4 × 6 = 24

(1’) 5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120

Jadi, 5! = 120.

Contoh 48. Di bawah ini adalah contoh-contoh fungsi rekursif lainnya:

1.

≠+−=

=0,)1(2

0,0)(

2 xxxF

xxF

2. Fungsi Chebysev

>−−−==

=1,),2(),1(2

1,

0,1

),(

nxnTxnxT

nx

n

xnT

3. Fungsi fibonacci:

>−+−==

=1,)2()1(

1,1

0,0

)(

nnfnf

n

n

nf

80

BAB VI

ALJABAR BOOLEAN

Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel

biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf

alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean

terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan,

dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner,

konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung.

Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran

untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang

diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk

masing-masing kombinasi biner.

Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas,

aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole

untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar

boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga

merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.

DASAR OPERASI LOGIKA

LOGIKA :

Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak

dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus.

Dalam logika dikenal aturan sbb :

♦ Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus

♦ Masing-masing adalah benar / salah.

♦ Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah.

Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan

‘0’

Operasi-operasi dasar logika dan gerbang logika :

Pengertian GERBANG (GATE) :

81

♦ Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal

keluaran.

♦ Rangkaian digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa

tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0 ).

♦ Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukan-

masukannya.

Operasi logika NOT ( Invers )

Operasi merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya � x = x’

Tabel Operasi NOT Simbol

X X’

0 1

1 0

Operasi logika AND

♦ Operasi antara dua variabel (A,B)

♦ Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1

Simbol

A A . B

B

Operasi logika OR

Operasi antara 2 variabel (A,B)

Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0.

Simbol

82

A A + B

B

Operasi logika NOR

Operasi ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi

OR yang di inverter.

Simbol

A A + B ( A + B )’

B

Atau

A ( A + B )’

B

Operasi logika NAND

Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan

keluaran gerbang AND yang di inverter.

Simbol

A A . B ( A . B )’

83

B

Atau

A ( A . B )’

B

Operasi logika EXOR

akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah ganjil.

Simbol

A Y

B

Operasi logika EXNOR

Operasi ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’

berjumlah genap atau tidak ada sama sekali.

Simbol

A Y

B

DALIL BOOLEAN ;

1. X=0 ATAU X=1

84

2. 0 . 0 = 0

3. 1 + 1 = 1

4. 0 + 0 = 0

5. 1 . 1 = 1

6. 1 . 0 = 0 . 1 = 0

7. 1 + 0 = 0 + 1 = 0

TEOREMA BOOLEAN

1. HK. KOMUTATIF

A + B = B + A

A . B = B . A

6. HK. IDENTITAS

A + A = A

A . A = A

2. HK. ASSOSIATIF

(A+B)+C = A+(B+C)

(A.B) . C = A . (B.C)

7.

0 + A = A ----- 1. A = A

1 + A = 1 ----- 0 . A = 0

3. HK. DISTRIBUTIF

A . (B+C) = A.B + A.C

A + (B.C) = (A+B) . (A+C)

8.

A’ + A = 1

A’ . A =0

4. HK. NEGASI

( A’ ) = A’

(A’)’ = A

9.

A + A’ . B = A + B

A . (A + B)= A . B

5. HK. ABRSORPSI

A+ A.B = A

A.(A+B) = A

10. DE MORGAN’S

( A+ B )’ = A’ . B’

( A . B )’ = A’ + B’

CONTOH :

1. A + A . B’ + A’ . B = A . ( 1 + B’ ) + A’ . B

= A . 1 + A’ . B

= A + A’ . B

= A + B

85

2. A

B

X = (A.B)’ . B = (A’ + B’) . B

= ( A.B )’ + B’.B

= ( A.B )’ + 0

= A’.B

A

B

ATAU

A

B

86

Aljabar Boolean

• Misalkan terdapat

- Dua operator biner: + dan ⋅

- Sebuah operator uner: ’.

- B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, ⋅, dan ’

- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.

Tupel

(B, +, ⋅, ’)

disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma

atau postulat Huntington berikut:

1. Closure: (i) a + b ∈ B

(ii) a ⋅ b ∈ B

2. Identitas: (i) a + 0 = a

(ii) a ⋅ 1 = a

3. Komutatif: (i) a + b = b + a

(ii) a ⋅ b = b . a

4. Distributif: (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)

(ii) a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c)

87

5. Komplemen1: (i) a + a’ = 1

(ii) a ⋅ a’ = 0

• Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:

1. Elemen-elemen himpunan B,

2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,

3. Memenuhi postulat Huntington.

Aljabar Boolean Dua-Nilai

Aljabar Boolean dua-nilai:

- B = {0, 1}

- operator biner, + dan ⋅

- operator uner, ’

- Kaidah untuk operator biner dan operator uner:

a B a ⋅ b a b a + b a a’

0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 1 1 0

1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

Cek apakah memenuhi postulat Huntington:

1. Closure : jelas berlaku

2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:

88

(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1

(ii) 1 ⋅ 0 = 0 ⋅ 1 = 0

3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.

4. Distributif: (i) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) dapat ditunjukkan benar dari tabel

operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:

a b c b + c a ⋅ (b + c) a ⋅ b a ⋅ c (a ⋅ b) + (a ⋅ c)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

(ii) Hukum distributif a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan

membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).

5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:

(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1

(ii) a ⋅ a = 0, karena 0 ⋅ 0’= 0 ⋅ 1 = 0 dan 1 ⋅ 1’ = 1 ⋅ 0 = 0

Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-

sama dengan operator biner + dan ⋅ operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.

Ekspresi Boolean

• Misalkan (B, +, ⋅, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam

(B, +, ⋅, ’) adalah:

(i) setiap elemen di dalam B,

89

(ii) setiap peubah,

(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 ⋅ e2, e1’ adalah

ekspresi Boolean

Contoh:

0

1

a

b

c

a + b

a ⋅ b

a’⋅ (b + c)

a ⋅ b’ + a ⋅ b ⋅ c’ + b’, dan sebagainya

Mengevaluasi Ekspresi Boolean

• Contoh: a’⋅ (b + c)

jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:

0’⋅ (1 + 0) = 1 ⋅ 1 = 1

• Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika

keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n

peubah.

Contoh:

a ⋅ (b + c) = (a . b) + (a ⋅ c)

Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .

Penyelesaian:

90

a b a’ a’b a + a’b a + b

0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1

• Perjanjian: tanda titik (⋅) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean,

kecuali jika ada penekanan:

(i) a(b + c) = ab + ac

(ii) a + bc = (a + b) (a + c)

(iii) a ⋅ 0 , bukan a0

Prinsip Dualitas

• Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan

operator +, ⋅, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara

mengganti

⋅ dengan +

+ dengan ⋅

0 dengan 1

1 dengan 0

dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga

benar. S* disebut sebagai dual dari S.

Contoh.

(i) (a ⋅ 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 ⋅ a’) = 1

(ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b

91

Hukum-hukum Aljabar Boolean

1. Hukum identitas:

(i) a + 0 = a

(ii) a ⋅ 1 = a

2. Hukum idempoten:

(i) a + a = a

(ii) a ⋅ a = a

3. Hukum komplemen:

(i) a + a’ = 1

(ii) aa’ = 0

4. Hukum dominansi:

(i) a ⋅ 0 = 0

(ii) a + 1 = 1

5. Hukum involusi:

(i) (a’)’ = a

6. Hukum penyerapan:

(i) a + ab = a

(ii) a(a + b) = a

7. Hukum komutatif:

(i) a + b = b + a

(ii) ab = ba

8. Hukum asosiatif:

(i) a + (b + c) = (a + b) + c

(ii) a (b c) = (a b) c

9. Hukum distributif:

(i) a + (b c) = (a + b) (a + c)

(ii) a (b + c) = a b + a c

10. Hukum De Morgan:

(i) (a + b)’ = a’b’

(ii) (ab)’ = a’ + b’

12. Hukum 0/1

(i) 0’ = 1

(ii) 1’ = 0

Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab

Penyelesaian:

(i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)

= a + (ab + a’b) (Asosiatif)

= a + (a + a’)b (Distributif)

= a + 1 • b (Komplemen)

= a + b (Identitas)

(ii) adalah dual dari (i)

Fungsi Boolean

• Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui

ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai

92

f : Bn → B

yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut

ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

• Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

• Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1

sehingga f(1, 0, 1) = 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1’ ⋅ 0 + 0’⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .

Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:

1. f(x) = x

2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’

3. f(x, y) = x’ y’

4. f(x, y) = (x + y)’

5. f(x, y, z) = xyz’

• Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya,

disebut literal.

Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal,

yaitu x, y, dan z’.

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.

Penyelesaian:

93

x y z f(x, y, z) = xy z’

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

Komplemen Fungsi

1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan

Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka

f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’

= x’ + (y’z’ + yz)’

= x’ + (y’z’)’ (yz)’

= x’ + (y + z) (y’ + z’)

Aplikasi Aljabar Boolean

2. Rangkaian Digital Elektronik

94

Gerbang AND Gerbang OR Gerbang NOT (inverter)

Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.

Jawab: (a) Cara pertama

(b) Cara kedua

y

xxy

y

xx+ y x'x

x'

x

yxy

x

yx'y

xy+x'y

x'

xyx

y

x'y

xy+x'y

95

(b) Cara ketiga

Gerbang turunan

Gerbang NAND Gerbang XOR

Gerbang NOR Gerbang XNOR

x

y(xy)'

x

y(x+y)'

x

y+x y

x

y+(x y)'

x

y(x+y)'

x

y(x + y)' ekivalen dengan

x

y(x + y)'

x + y

x'

xy

x y

x'y

xy+x'y

96

Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’

disederhanakan menjadi

f(x, y) = x’ + y’

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:

1. Secara aljabar

2. Menggunakan Peta Karnaugh

3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

1. Penyederhanaan Secara Aljabar

Contoh:

1. f(x, y) = x + x’y

= (x + x’)(x + y)

= 1 ⋅ (x + y )

= x + y

2. f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’

x'

y'x'y' ekivalen dengan

x'

y'x' + y' ekivalen dengan

x

y(xy)'

97

= x’z(y’ + y) + xy’

= x’z + xz’

3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)

= xy + x’z + xyz + x’yz

= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

98

DAFTAR PUSTAKA

1. Introduction to Logic, Patrick Suppes, D. Van Nostrand Company, Inc., Canada, 1959.

2. Set Theory and Logic, Robert R. Stoll, Eurasia Publishing House Ltd, New Delhi, 1976.

3. Logika Informatika, Setiadji, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2007. 4. Logika Matematika untuk Ilmu Komputer, F.Soesianto dan Djoni Dwijono, Penerbit Andi, Yogyakarta, 2006.

5. Sumber lain dari internet.

Microsoft Word Diktat Logika Informatika

Documents

Transcript of Microsoft Word Diktat Logika Informatika