METODE SLOPE DEFLECTION

A. Konsep dari metoda “Slope Deflection” untuk menyelesaikan struktur statis tidak tertentu.

Dengan ketentuan bahwa pada batang-batang yang bertemu pada suatu titik

simpul yang disambung secara kaku mempunyai rotasi yang sama, besar maupun

arahnya, maka pada batang-batang yang bertemu pada titik simpul tersebut

mempunyai rotasi yang sama, atau boleh dikatakan sama dengan rotasi titik

simpulnya. Sehingga dapat dikatakan jumlah variabel yang ada sama dengan

jumlah titik simpul (joint) struktur tersebut.

Besarnya variabel-variabel akan dihitung dengan menyusun persamaan

persamaan sejumlah variabel yang ada dengan ketentuan bahwa momen batang-

batang yang bertemu pada satu titik simpul haruslah dalam keadaan seimbang atau

dapat dikatakan jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul

sama dengan nol. perumusan dari masing-masing momen batang sebelum

menyusun persamaan-persamaan yang dibutuhkan untuk menghitung variabel-

variabel sangat di perlukan. Rumus-rumus momen batang tersebut mengandung

variabel-variabel yang ada yaitu rotasi titik simpul.

Setelah persamaan tersebut disusun, maka besarnya variabel dapat dihitung.

Setelah besarnya variabel didapat, dimasukkan kedalam rumus-rumus momen

batang, maka besarnya momen batang-batang tersebut dapat dihitung.

B. Momen Batang

Dengan adanya beban luar, maka momen batang akan timbul. Rotasi titik simpul ujung-ujung batang dan juga akibat perpindahan relatif antara titik simpul ujung batang atau yang biasa disebut dengan pergoyangan.

a) Batang dengan kedua ujungnya dianggap jepit1. Akibat beban luar

Momen batang yang di akibatkan oleh beban luar yang mengembalikan rotasi nol ( θ=0) pada ujung jepit disebut Momen Primer (M p)

Akan terjadi lendutan pada

batang i-j dengan beban terbagi rata q

akibat beban q. Tetapi karena i dan j

jepit, maka akan terjadi momen di i

dan j untuk mengembalikan rotasi

jepit sama dengan nol, yaituθij=0 dan

θ ji=0 Momen itulah yang di sebut

primer (M p), M pij di ujung i dan M pj i

di ujung batang j.

Batang i-j yang di bebani beban

terbagi rata q dan terjadi M pij dan

M pj i karena ujung-ujung i dan j jepit,

dapat dijabarkan sebagai balok

dengan ujung-ujung sendi dibebani

beban terbagi rata q, (Gambar b),

beban momen M pij (Gambar c) dan

bebean momen M pij (Gambar d).

Dari ketiga pembebanan tadi,

rotasi i dan j haruslah menjadi sama

dengan nol (karena i dan j adalah jepit).

θij=qL3

24 EI−

M Pij L

3 EI−

M P j i L

6 EI=0.........(1)

θJI=qL3

24 EI−

M Pij L

6 EI−

M Pj i L

3 EI=0 ........(2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat besarnya M pij dan M pj i yaitu :

M pij = M Pji = 1

12qL2

Dengan cara yang sama dapat diturunkan rumus besarnya momen primer dari beban

terpusat sebagai berikut:

Beben terpusat P ditengah bentang

M pij

=

M Pji

=

18

PL

M pij = Pab2

L2 M Pji = Pa2 b

L2

I. Akibat rotasi di i (θij)

Akibat rotasi θij diujung i tejadi momen M ij, dan untuk mempertahankan rotasi di

j sama dengan nol θ ji=0 akan terjadi momen M Ji. Kondisi pada gambar (a) dapat

dijabarkan sebagai balok dengan ujung-ujung sendi dengan beban M ij (Gambar b) dan

beban M j i (Gambar c). Dari kedua pembebanan tersebut, rotasi di j harus sama dengan

nol.

θ ji=M ij L

6 EI−

M ji L

3 EI=0

M ji = 12

M i j

Disini kita dapatkan bahwa apabila di i ada momen sebesar M ij, untuk

mempertahankan rotasi di j sama dengan nol (0), maka momen tadi diinduksikan ke j

dengan faktor induksi setengah (0,5).

Besarnya rotasi di i : θij =

Mij L

3 EI−

M ji L

6 EI

Dengan memasukkan M ji = 12

M i j, didapat

θij = Mij L

4 EI M i j=¿ 4 EI

L θij

Sehingga didapat besarnya momen akibat θij

:

M i j=¿ 4 EI

L θij dan M ji=¿ 2 EI

L θij

Kekakuan batang (K) adalah besarnya momen untuk memutar sudut sebesar satu

satuan sudut (θ = 1 rad), bila ujung batang yang lain berupa jepit.

Untuk θij = 1 rad, maka K ij = 4 EI

L

II. Akibat rotasi di j (θ ji)

Caranya sama dengan penurunan rumus akibat θij, maka akibat rotasi θ ji, maka

didapat :

M ji=¿ 4 EI

L θ ji ; M ij=¿ 2 EI

L θ ji

III. Akibat pergoyangan (∆)

Akibat pergoyangan (perpindahan relatif

ujjung-ujung batang) ∆, maka akan terjadi rotasi θi j

dan θ ji

θi j=θ ji=∆L

Karena ujung-ujung i dan jepit maka akan timbul momen M ij dan M ji untuk

mengembalikan rotasi yang terjadi akibat pergoyangan. Seolah-olah ujung i dan j

berotasi θij=θ ji=∆L

, sehingga besar momen :

M ij=¿ 4 EI

L θij + 2 EI

L θ ji=6 EI

L2∆

Dari keempat momen yang tadi, dapat di

dutulis rumus umum memen batang sebagai

berikut :

M ij=M pij+¿ 4 EI

L θij + 2 EI

L

θ ji+6 EI

L2∆

M p j i=M p j i+4 EI

L θ j i +

2 EIL

θi j+6 EI

L2∆

Dengan K ij=4 EI

L

M ij=M pij+K ¿

M j i=M p j i+K ¿

b) Batang dengan salah satu ujungnya sendi/rol

1. Akibat beban luar

dengan cara yang sama seperti pada balok dengan i dan j jepit, didapat besarnya

momen primer (akibat beban luar) sebagai berikut :

M pij=18

qL2

M pij=3

16PL

M p = Pab2

L2 −12

Pa2 b

L2

2 Akibat rotasi di i (θij)

θij=M ij L

3 EI

M j i=3 EI

Lθij

Kekuatan batang modifikasi (K), besarnya momen untuk memutar rotasi sebesar

satu satuan sudut ( θ=1rad ) bila ujung yang lain sendi.

θij=1 rad K ij=3 EI

L

3 Akibat pergoyangan (∆)

Akibat pergoyangan ∆, i dan j berotasi sebesar ∆L

θij=θ j i=∆L

M j i mengembalikan rotasi di i sama dengan nol (θi j=0 ) seolah-olah di i berotasi

θij=∆L

, sehingga timbul momen :

M ij=3 EI

Lθij=

3 EI

L2∆

4 Akibat momen kantilever (jk – batang kantilever)

Momen kantilever M jk.

∑ M j=0 M ji=¿−M jk ¿

Akibat M ji, untuk mempertahankan θij=0 ,akan timbul M ij

M j=12

M ij=−12

M jk`

Dari keempat hal yang menimbulkan momen batang diatas dapat ditulis secara

umum momen batang sebagai berikut :

Untuk ujung j sendi rol/rol

M ij=M p ij+3 EI

Lθ ij+

3 EI ∆

L2−1

2M jk.... (a)

Dengan K’ = 3 EI

L, rumus tersebut diatas dapat ditulis :

M ij=M p ij+K ' (θ ij+∆L )−1

2M jk ....(b)

Jadi kita mempunyai dua rumus momen batang, pertama dengan ujung-ujung

jepit-jepit, kedua dengan ujung-ujung jepit sendi. Yang dikatakan ujung jepit bila

ujung batang betul-betul perletakan jepit atau sebuah titik simpul yang merupakan

pertemuan batang dengan batang (tidak termasuk kantilever). Sedangkan yang

dikatakan ujung batang sendi yang betul-betul perletakan sendi, bukan berupa titik-

titik simpul.

Rumus batang dengan jepit-jepit, ada dua variabel rotasi yaitu θij dan θ j i,

sedangkan untuk batang dengan ujung jepit-sendi, hanya mengandung satu variabel

rotasi yaitu θij, rotasi pada perletakan sendi (θij) tidak pernah muncul dalam

persamaan.

Perjanjian tanda arah momen batang dan rotasi, momen batang positif (+) bila

arah putarannyasearah jarum jam, dan sebaliknya negatif.

Untuk arah rotasi, kita beri tanda seperti pada momen batang. Akibatt beban luar ( M p)

momen bisa positif (+) atau negatif (-) ergantung beban yang bekerja. Akibat

pergoyangan bisa positif (+) atau (-) tergantung arah pergoyangannya. Untuk rotasi,

karena kita tidak tahu arah sebenarnya (sebagai variabel) selalu kita anggap positif (+).

C. Langkah-Langkah Metode Slope Deflection

Tentukan derajat kebebasan dalam pergoyangan struktur

statis tak tentu. dengan rumus :

n = 2 j – (m + 2f + 2h + r),

dimana:

n = jumlah derajat kebebasan

j = “joint”, jumlah titik simpul termasuk perletakan.

m = “member”, jumlah batang, yang dihitung sebagai member adalah

batang yang dibatasi oleh dua joint.

f = “fixed”, jumlah perletakan jepit.

h = “hinged”, jumlah perletakan sendi.

r = “rool”, jumlah perletakan rol.

Bila n≤ 0 → tidak ada perggoyangan

n¿0 → ada pergoyangan

Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan ada tentukan arah

momen akibat pergoyangan, untuk menentukan tanda positif (+) ataukah

negatif (-) momen akibat pergoyangan tersebut (untuk menggambar

pergoyangan ketentuan yangharus dianut seperti pada metoda “Persamaan

Tiga Momen”).

Tentukan jumlah variabel yang ada. Variabel yang dipakai pada metoda ini

adalah rotasi (q) titik simpul, dan delta (D) kalau ada pergoyangan.

Tuliskan rumus momen batang untuk semua batang yang ada, dimana akan

mengandung variabel-variabel (q dan D) untuk masing-masing rumus

momenbatang tersebut.

Untuk menghitung variabel-variabel tersebut perlu disusun persamaan-

persamaan sejumlah variabel yang ada. Persamaan-persamaan itu akan

disusun dari :

Jumlah momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama

dengan nol.

Kalau ada variabel D, perlu ditambah dengan persamaan keseimbangan

struktur. Seperti juga pada metoda “Persamaan Tiga Momen”, dalam

menyusun persamaan keseimbangan struktur pada dasarnya membuat

perhitungan “free body diagram” sehingga mendapatkan persamaan yang

menghubungkan satu variabel dengan variabel yang lain. Pada

penggambaran arah momen, momen yang belum tahu besarnya (masih

dalam perumusan)digambarkan dengan arah positif (+) yaitu searah jarum

jam.

Dengan persamaan-persamaan yang disusun, dapat dihitung besarnya

variabelvariabelnya.

Setelah variabel-variabel diketahui nilainya, dimasukkan kedalam rumus

momenmomen batang, sehingga mendapatkan harga nominal dari momen

momen batangtersebut.