Metode Kuadrat Terkecil (Least Square...
Transcript of Metode Kuadrat Terkecil (Least Square...
![Page 1: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/2.jpg)
Pendahuluan
0 Data-data yang bersifat diskrit dapat dibuat continuum melalui proses curve-fitting.
0 Curve-fitting merupakan proses data-smoothing, yakni proses pendekatan terhadap kecenderungan data-data dalam bentuk persamaan model matematika.
0 Pembuatan suatu kurva yang mewakili suatu rangkaian data yang diberikan dalam sistem koordinat x-y sering dalam analisis data.
0 Contoh :
0 Pertumbuhan jumlah mikroorganisme sebagai fungsi waktu.
0 Hubungan antara kandungan oksigen di air dan suhu.
0 Kecepatan pertumbuhan mikroorganisme sebagai fungsi suhu.
0 Dll.
![Page 3: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/3.jpg)
Pendahuluan
0 Dalam curve fitting (pencocokan kurva), n buah pasangan bilangan diberikan ((x1,y1), (x2,y2), …(xn, yn)). Pasangan bilangan ini bisa hasil pengukuran /pengamatan di lapangan dengan besaran tertentu
0 Curve fitting bertujuan mencari suatu fungsi tertentu sehingga kita dapat menghubungkan setiap pasangan bilangan yang diukur tersebut, f(xj) yj.
0 Dengan kata lain jika fungsi tersebut diplotkan, grafik yang dihasilkan akan mendekati pasangan-pasangan bilangan tersebut.
![Page 4: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/4.jpg)
Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)
0 2 kategori umum persamaan model matematika, yakni:
1. Persamaan analitik, berbasiskan teori dan fenomena fisik sistem yang teramati
2. Persamaan empirik, (lebih) berbasiskan hubungan antara input - output sistem
0 Persamaan empirik dianggap sesuai jika error-nya kecil dan bentuk kurvanya mirip dengan bentuk kurva berdasarkan data.
0 Evaluasi nilai-nilai tetapan dalam persamaan empirik: visual inspection, method of average, dan metode kuadrat terkecil (least squares).
0 Metode kuadrat terkecil
0 Metode yang paling banyak digunakan untuk mendapatkan kurva terbaik yang mewakili titik-titik data dengan cara meminimumkan perbedaan/selisih antara titik-titik data dan kurva.
0 Nilai-nilai tetapan terbaik adalah yang memberikan jumlah kuadrat kesalahan/penyimpangan (sum of squares of errors, SSE, D) yang terkecil (minimum).
![Page 5: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/5.jpg)
Prosedur Metode Kuadrat Terkecil
0 Titik-titik data digambar pada suatu sistem koordinat.
0 Dipilih suatu fungsi g(x) yang dianggap bisa mewakili f(x) yang mempunyai bentuk umum berikut ini.
G(x) = ao + a1x + a2x2 + .....+ arx
r
0 Fungsi tersebut tergantung pada parameter a0, a1, ..... , ar
0 Ditentukan parameter a0, a1, ..... , ar sedemikian rupa sehingga g(xi; a0, a1, ..... , ar ) melalui sedekat mungkin titik-titik data. Bentuk g(xi; a0, a1, ..... , ar ) mempunyai arti fungsi g(xi) dengan parameter a0, a1, ..... , ar
![Page 6: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/6.jpg)
0 Apabila koordinat dari titik-titik percobaan adalah M(xi,yi), dengan i = 1, 2, 3, ..... , n maka selisih ordinat antara titik-titik tersebut dengan fungsi g(xi; a0, a1, ..... , ar) adalah :
Ei = MiGi = yi – g(xi; a0, a1, ..... , ar)
= yi – (a0+a1xi+a2xi2+a3xi
3+ ..... +arxir)
0 Dipilih suatu fungsi g(x) yang mempunyai kesalahan Ei terkecil. Dalam metode ini jumlah kuadrat dari kesalahan adalah terkecil.
n
i
ii
n
i
i xgyED1
2
1
22 )(
![Page 7: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/7.jpg)
0 Dicari parameter a0, a1, ..... , ar sedemikian sehingga D2 adalah minimum. Nilai D2 akan minimum apabila turunan pertamanya terhadap a0, a1, ..... , ar adalah nol, sehingga :
...
...
0 Penyelesaian dari persamaan tersebut akan memberikan hasil parameter a0, a1, ..... , ar . Dengan demikian persamaan kurva terbaik yang mewakili titik-titik data telah diperoleh.
00
2
a
D
02
2
a
D
02
ra
D
![Page 8: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/9.jpg)
Regresi Linier
0 Bentuk paling sederhana dari regresi kuadrat terkecil adalah apabila kurva yang mewakili titik-titik data merupakan garis lurus, sehingga persamaan adalah :
0 g(x) = a + bx 0 dalam hal ini a0 = a dan a1 = b 0 setelah melalui penjabaran diperoleh :
0 Setelah harga koefisien a dan b diperoleh, maka fungsi g(x) dapat dicari.
xbya
22
ii
iiii
xxn
yxyxnb
![Page 10: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/10.jpg)
Koefisien Korelasi
0 Koefisien korelasi adalah suatu nilai yang dipakai untuk mengetahui derajad kesesuaian dari persamaan yang didapat.
2
22
t
t
D
DDr
n
i
it yyD1
22)(
n
i
i xaayD1
2
10
2 )(
Dengan :
dan
![Page 11: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/11.jpg)
0 Nilai r bervariasi antara 0 dan 1. Untuk perkiraan yang sempurna akan didapat nilai r=1. Apabila r=0 perkiraan suatu fungsi sangat jelek. Koefisien korelasi ini juga dapat digunakan untuk memilih suatu persamaan dari beberapa alternatif yang ada. Dari beberapa alternatif tersebut dipilih persamaan yang mempunyai nilai koefisien korelasi terbesar (paling mendekati 1).
![Page 12: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh
No. xi y
i x
i y
i x
i2
1 1 4 4 1
2 2 6 12 4
3 3 8 24 9
4 4 10 40 16
5 5 14 70 25
6 6 16 96 36
7 7 20 140 49
8 8 22 176 64
9 9 24 216 81
10 10 28 280 100
∑ 55 152 1058 385
![Page 13: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/13.jpg)
bxay
22
ii
iiii
xxn
yxyxnb
6909,2
5538510
152551058102
b
4,010
556909,2
10
152 xbya
xy 6909,24,0
![Page 14: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/14.jpg)
Koefisien Korelasi
No. xi y
i (yi-y)2 (y
i-a
0-a
1x)2
1 1 4 125,44 0,82645
2 2 6 84,64 0,04761
3 3 8 51,84 0,22345
4 4 10 27,04 1,35396
5 5 14 1,44 0,02117
6 6 16 0,64 0,29746
7 7 20 23,04 0,58324
8 8 22 46,24 0,00530
9 9 24 77,44 0,38205
10 10 28 163,84 0,47748
∑ 55 152 601,6 4,21817
Dt2 = 601,6 D2 = 4,21817
![Page 15: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/15.jpg)
999975,02
22
t
t
D
DDr
6,601)( 22
n
ni
it yyD
218165,4)( 2
10
2
n
ni
i xaayD
![Page 16: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/16.jpg)
Perhitungan SSE, Korelasi
![Page 17: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/17.jpg)
Bentuk Persamaan: y = a x
![Page 18: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/18.jpg)
Linierisasi Kurva Tidak Linier
0 Dalam praktek sering dijumpai bahwa sebaran titik-titik pada sistem koordinat mempunyai kecenderungan (trend) yang berupa kurva lengkung.
0 Agar persamaan regresi linier dapat digunakan untuk mempresentasikan kurva lengkung maka perlu dilakukan transformasi koordinat sedemikian sehingga sebaran titik data bisa dipresentasikan dalam kurva linier.
![Page 19: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/19.jpg)
Persamaan/Fungsi Bentuk Fungsi Fungsi yg Dilinierkan
Berpangkat y = axb log y = b log x + log a
Eksponensial y = a·ebx ln y = ln a + b x ln e
![Page 20: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/20.jpg)
Transformasi Fungsi Logaritmik
x
y
y=axb
log x
log y
log a
b
1
![Page 21: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/21.jpg)
Transformasi Fungsi Eksponensial
x
y
y=aebx
x
ln y
ln a
b
1
![Page 22: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/23.jpg)
Bentuk Persamaan: y = a0 + a1 x
![Page 24: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/24.jpg)
Regresi Polinomial
0 Persamaan polinomial order r mempunyai bentuk : y = ao + a1x + a2x
2 + .....+ arxr
0 Selanjutnya diselesaikan dengan metode matriks hingga
diketahui bilangan tak diketahui a0, a1, a2, ….., ar.
0 Saat ini, regresi polinomial telah dipermudah penyelesaiannya
dengan program komputer misalnya Microsoft EXCEL.
n
i
r
iriii xaxaxaayD1
2
210
2 ).....(
![Page 25: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/25.jpg)
Regresi Linier Berganda
0 Bentuk umum :
y = ao + a1x1 + a2x2 + .....+ amxm
0 Koefisien a0, a1, a2, ….., am dapat dicari dari sistem persamaan yang disusun dalam bentuk matriks.
![Page 26: Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)masud.lecture.ub.ac.id/files/2017/04/Regresi-Kuadrat... · 2017. 4. 2. · Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) 0 2 kategori](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022062416/611884a463814f488c085123/html5/thumbnails/26.jpg)
Tugas
0 Carilah kasus bioteknologi yang dapat dianalisis dengan regresi.
0 Setiap mahasiswa harus berbeda kasus dan angkanya.
0 Dikerjakan dengan Microsoft EXCEL, Dilengkapi tabel dan grafiknya.
0 Dikumpulkan pertemuan depan.