Metode FEM

KKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARR

Dengan mengucap syukur alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang

telah melimpahkan rahmatNya, sehingga dapat terselesaikan

pembuatan diktat kuliah Metode Elemen Hingga ini.

Diktat ini disusun dimaksudkan untuk membantu serta menunjang

matakuliah Metoda Elemen Hingga sebagai pegangan dasar. Buku ini

disusun berdasarkan beberapa buku acuan serta pengalaman penulis

selama mengajar matakuliah ini. Dalam kesempatan ini penulis

mengucapkan pada semua fihak yang telah membantu hingga

tersusunnya diktat kuliah ini.

Akhirnya penulis menyadari bahwa diktat ini masih banyak

kekurangan, untuk itu adanya kritik dan saran yang membangun sangat

diharapkan agar karya-karya selanjutnya lebih sempurna lagi.

Malang, September 2003

Penulis

DDAAFFTTAARR IISSIIPPEENNDDAAHHUULLUUAANN II

DDAAFFTTAARR IISSII IIII

BBAABB II :: DDAASSAARR--DDAASSAARR MMEETTOODDEE EELLEEMMEENN HHIINNGGGGAA 111.1 Pendahuluan 1

1.2 Sistem Koordinat 2

1.1 Sistem koordinat 2-D/Sistem Koordinat Luasan 3

1.2 Sistem Koordinat 3-D (Elemen Tetrahedral) 4

1.3 Transformasi Koordinat 4

1.4 Hubungan Tegangan-Regangan 6

1.5 Konsep Dasar Analisis MEH 7

1.6 Metoda Untuk Formulasi Integral 8

1.7 Analisis Prinsip Energi Potensial Minimum 10

1.8 Konsep Elemen Hingga 2-Dimensi 18

1.9 Elemen Segitiga Isoparametrik 26

1.10 Elemen Segiempat 29

BBAABB IIII :: AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAA SSTTRRUUKKTTUURR 33112.1 T R U S S 31

2.2 B E A M 41

2.3 F R A M E 47

BBAABB IIIIII :: IINNTTEERRPPOOLLAASSII DDAANN IINNTTEEGGRRAASSII NNUUMMEERRIIKK 5511

BBAABB IIVV :: AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAA PPEERRPPIINNDDAAHHAANN PPAANNAASS 55444.1 Steady State Uniaxial Heat Flow 54

4.2 Model Elemen Hingga Aliran Panas 1-Dimensi 56

4.3 One Dimensional Heat Flow With Convection 58

4.4 Perpindahan Panas dan Aliran Fluida 2-Dimensi 62

BBAABB VV :: AANNAALLIISSAA TTEEGGAANNGGAANN AAXXIISSYYMMMMEETTRRIICC 66445.1 Persamaan Dasar untuk Elemen 66

5.2 Persamaan Elastisitas Axisymmetric 67

DDAAFFTTAARR PPUUSSTTAAKKAA 7711

DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.

Program Semi-Que IV 1Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya

BAB I

DASAR-DASARMETODE ELEMEN HINGGA

1.1 Pendahuluan

Perkembangan dunia komputer telah begitu cepatnya

mempengaruhi bidang-bidang penelitian dan industri, sehingga impian

para ahli dalam mengembangkan ilmu pengetahuan dan industri telah

menjadi kenyataan. Pada trend sekarang ini, metoda dan analisa desain

telah banyak menggunakan perhitungan metematis yang rumit dalam

penggunaan sehari-hari. Metode elemen hingga (finite element method)

banyak memberikan andil dalam melahirkan penemuan-penemuan

bidang riset dan industri, hal ini dikarenakan dapat berperan sebagai

research tool pada eksperimen numerik. Aplikasi banyak dilakukan pada

problem kompleks diselesaikan dengan metode elemen hingga seperti

rekayasa struktur, steady state dan time dependent heat transfer, fluid

flow, dan electrical potential problem, aplikasi bidang medikal.

Gambaran dasar sebagai berikut.

Pada bab ini dibahas mengenai dasar-dasar analisa elemen

hingga, yang didalamnya meliputi sistem koordinat, transformasi

koordinat, hubungan tegangan-regangan, prinsip energi potensial

minimum, dan juga konsep model untuk elemen 2 dimensi.



1.2 SISTEM KOORDINAT

- Sistem koordinat global

→ koordinat struktur untuk sebuah titik pada continum

- Ref untuk seluruh continum

- Ref untuk seluruh struktur

- Sistem koordinat lokal

→ Sistem koordinat yang dipasang pada elemen (acuan pada

elemen yang bersangkutan)

Physical problem Change ofphysicalproblem

Mathematic model Governed bydifferential equations Assumptions on

• Geometry• Kinematics• Material law• Loading• Boundary conditions, etc.

Improvemathematicalmodel

Finite element solutionChoice of

• Finite elements• Mesh density• Solution parameters

Representation of• Loading• Boundary conditions, etc.

Refine mesh, solutionparameter etc.

Assessment of accuracy of finite elementsolution of mathematical model

Interpretation result Refine analysis

Design improvements Structural optimization

Finite elementsolution ofmathematicalmodel

Proses Analisa M E H



- dipasang elemen

- Ref untuk titik-titik yang ada di elemen

- Sistem koordinat natural

→ Terdiri atas koordinat tanpa dimensi untuk identifikasi posisi, dengan

tanpa terpengaruh oleh keluaran elemen.

→ Merupakan nisbah koordinat tersebut terhadap ukuran elemen

Sistem koordinat Natural 1-D (elemen garis)

LSL −=11 ;

LSL =2

1.2.1 Sistem Koordinat 2-D / Sistem Koordinat Luasan

(elemen segitiga)

P (L1, L2, L3) Dimana

Koordinat global P(xp)

Koordinat lokal P (xs)

Koordinat natural P(L1,L2)

L1 + L2 + L3 = 1

1

11 321

32tS

LuasPLuasL =

−−∆−−∆=

2

22 321

31tS

LuasPLuasL =

−−∆−−∆=

3

33 321

31tS

LuasPLuasL =

−−∆−−∆=



1.2.2 Sistem koordinat 3-D (elemen tetrahedral)

P (L1, L2, L3, L4)

Dimana

4321432

1 −−−∆−−−∆=

VolPVolL

4321431

2 −−−∆−−−∆=

VolPVolL

4321421

3 −−−∆−−−∆=

VolPVolL

4321321

1 −−−∆−−−∆=

VolPVolL

L1 + L2 + L3 + L4 = 1

1.3 TRANSFORMASI KOORDINAT

Koordinat yang banyak digunakan dalam metode elemen hingga

adalah koordinat kartesian, dan koordinat sering dinyatakan dalam

bentuk vektor yang dijabarkan sebagai berikut :



=p

p

YX

P

=p

p

YX

p

θθ SinYCosXX ppp +=

θθ CosYSinXY ppp +−=

−−

=

YX

CosSinSinCos

YX

.θθθθ

Matrik transformasi [T]

θθ−θθ−

=CosSinSinCos

−=

YX

CosSinSinCos

YX

.θθθθ

[T]-1 = [T]T → orthogonality

Koordinat dinyatakan dalam 3 Dimensi

Orientasi X (l1, m1, n1)

Orientasi Y (l2, m2, n2)

Orientasi Y (l3, m3, n3)

=

ZYX

nmlnmlnml

ZYX

333

222

111

[T]



1.4 HUBUNGAN TEGANGAN – REGANGAN

Evv zyx

x

σσσε

.. −−=

Evv zxy

y

σσσε

.. −−=

Evv yxz

z

σσσε

.. −−=

Gxy

xy

τγ = ;

Gyz

yz

τγ = ;

Gzx

zxτγ =

dimana : )1(2 v

EG+

=

E = Modulus Elastisitas

ν = poisson ratio

].[ σε C= zxyzxyzyxT εεεεεεε =

++

+−−

−−−

=

)v1.(20

0)v1.(2

00

00

00

00

00)v1.(20000001vv00001v000vv1

.E1c

Selanjutnya :

[ ] εσ .E=

Dimana ;

[ ]

+=

cc

cabbbabbba

VEE

000000000000000000000000

1

V21V1a

−−= ;

VVb21−

= ; 21=c

1][][ −= CE



1.5 KONSEP DASAR ANALISIS MEH.

Dua kategori model matematik :

- lumped-parameter models (“discrete-system”)

- continuum-mechanics-based models (“continuous-ystem”).

Kondisi Problem :

1. Steady -State Problems.

K . U = R

2. Propagation Problems/Dynamic Problem.

M . Ü + K . U = R(t)

3. Eigenvalue Problems.

Konsep Dasar Metode Elemen Hingga

1. Menjadikan elemen-elemen diskrit untuk memperoleh simpangan-

simpangan dan gaya-gaya anggota dari suatu struktur.

2. Menggunakan elemen-elemen kontinum untuk memperoleh solusi

pendekatan terhadap permasalahan-permasalahan

perpindahan panas, mekanika fluida dan mekanika solid.

Dua karakteristik yang membedakan metoda elemen hingga dengan

metoda numeric yang lain yaitu :

-. Metoda ini menggunakan formulasi integral untuk menghasilkan

sistem persamaan aljabar.

-. Metoda ini menggunakan fungs-fungsi kontinyu untuk pendekatan

parameter-parameter yang belum diketahui.

Lima langkah untuk menyelesaikan permasalahan fisik dengan metoda

elemen hingga yaitu :

1. Permasalahan fisik dibuat elemen-elemen kecil. Elemen-elemen

tersebut ditandai dengan nomor elemen dan nomor titik nodal,

termasuk juga harga-harga koordinat.



2. Tentukan persamaan pendekatannya, linear atau kuadratik.

Persamaan-permsamaan tersebut harus ditulis dalam bentuk

harga-harga nodal yang belum diketahui. Ini berlaku untuk setiap

elemen, artinya setiap elemen harus didefinisikan sifatnya dalam

bentuk persamaan diatas.

3. Bentuklah sistem persamaan diatas dengan metoda Galerkin,

Varisional, Formulasi energi potensial, Collocation, Subdomain, dll.

Khusus untuk formulasi energi potensial, energi potensial dari sistem

ditulis dalam bentuk simpangan nodal dan kemudian

diminimalkan. Dimana akan diberikan satu persamaan setiap

simpangan yang belum diketahui.

4. Selesaikan sistem persamaan diatas.

5. Hitung besaran yang dicari. Besaran bisa berupa komponen-

komponen tegangan, aliran panas atau kecepatan fluida.

1.6 METODA UNTUK FORMULASI INTEGRAL

Metoda Varisional

dxQydxdyDH

∫

−

=Π

0

2

2(1)

Harga numeric Π dapat dikalkulasi dengan memberikan persamaan

coba-coba y=f(x). Misal persamaan coba-coba yang memberikan harga

terkecil Π adalah y=g(x), maka persamaan ini merupakan jawab dari

persamaan diferensial berikut :

02

2=+ Q

dxydD (2)

dengan kondisi batas y(0)=y0 dan y(H)=yH harga Π minimum adalah

merupakan jawab pendekatan.



Weighted Residual Method; Ritz Method

Andaikan bahwa y=h(x) adalah merupakan jawab pendekatan

terhadap persamaan (2), dengan subsitusi akan memberikan :

0)()(2

2≠=+ xRQ

dxxhdD

karena y=h(x) tidak memenuhi persyaratan persamaan, WRM

mengharuskan :

∫ =H

i dxxRxW0

0)()(fungsi residual R(x) ;fungsi pemberat (weighting) Wi(x), Beberapa pilihan

fungsi pemberat dengan beberapa metoda yang popular :

1. Metoda Collocation

2. Metoda Subdomain

3. Metoda Galerkin

4. Metoda Least Squares

Formulasi Energi Potensial

Integral volume dengan hasil kali komponen tegangan & regangan.

dVv

xxxx∫=Λ2.εσ

.

Prinsip energi potensial minimum dan energi regangan banyak

digunakan untuk menganalisis masalah-masalah struktur dan mekanika

solid.



1.7 ANALISIS PRINSIP ENERGI POTENSIAL MINIMUM

Variabel tak bebas → dof

Variabel bebas → koordinat

Ada syarat kontinuitas → bentuk persamaan tidak ada gabungan

Kompatibilitas → berkaitan dengan dof

Elemen linear → node diujung, sebagai contoh seperti pada elemen ∆

linear sederhana

Dalam domain mekanika solid → harus ada boundary condition (BC’s)

yaitu dof yang direstrin/ diberikan kendala.

Domain yang terbagi sumbu domain merupakan :

- Kasus per elemen dengan f interpolasi

- Keseimbangan statis pada elemen dengan kaidah struktur yang

dikenai beban akan terdeferensi (prinsip energi potensial minimum)

Keseimbangan terjadi kalau energi potensial minimum dalam suatu

sistem.

Dalam MEH merupakan suatu teknik numerik dari model matematis suatu

sistem yang digambarkan dari suatu fenomena problem. Sebagai

gambaran dapat diterapkan pada elemen garis, dan dengan konsep

energi potensial minimum (pada solid mekanik) kemudian dilakukan

dengan teknik numerik murni sehingga membentuk persamaan diskrit

sebagai berikut: [ ] φ = f, yaitu suatu matrik dikalikan dengan

vektor dof sama dengan vektor beban.



Energi potential total = Kerja gaya luar + Energi regangan

- Beban terpusat

- Beban traksi (bekerja pada permukaan)

- Body force (centrifugal, gaya magnit gravitasi, gaya

elektromaknetik) (Beban/Variabel)

Prinsip Energi Potensial Minimum

Analisa tegangan (prob elastisitas benda padat) dengan FEM

didasarkan pada prinsip Energi potensial minimum yang

menyatakan :

Dari sekian persamaan perpindahan yang memenuhi

kompatibilitas interval dan memenuhi syarat batas, maka

persamaan perpindahan yang juga memenuhi kondisi

keseimbangan stabil adalah persamaan perpindahan yang

memberikan / menghasilkan energi potensial yang terkecil

(minimum).

Prinsip tersebut mengimplikasikan hal-hal sebagai berikut :

- Perlunya pendefinisian persamaan perpindahan untuk setiap

elemen yang memenuhi syarat kompabilitas antar elemen.

- Persamaan perpindahan tersebut diatas harus memenuhi semua

syarat batas

- Penjabaran persamaan energi potensial yang dianalisa.

Persamaan diumpamakan sebagai fungsi persamaan (dalam hal

ini persamaan node) yang akan dicari nilainya (yang tidak

diketahui)

- Minimalisasi energi potensial terhadap persamaan yang tidak

diketahui tersebut.

Energi Potensial

Energi regangan – kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya eksternal

yang bekerja pada sistem.

Energi Potensial

Energi regangan – kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya eksternal

yang bekerja pada sistem.



Energi regangan

∫ γτ+γτ+γτ+εσ+εσ+εσ=V

zxzxyzyzxyxyzzyyxx)e( dv).....(2

1U

dv]B][E[]B[d21dv2

1V

TT

V

T∫ ∫=εσ=

Kerja yang dilakukan body force

∫ ++=V

zyxbf dVbwbvbuW )...(

Kerja yang dilakukan oleh beban traksi (beban terdistribusi)

∫ ++=V

zyxt dApwpvpuW )...(

Kerja yang dilakukan oleh beban terpusat

zzyyxxf PdPdPdW ... ++=

Energi potensial total :

∑=

−=n

e

Te Pd1

.ππ

Dimana : tbfee WWu −−=π

Minimalisasi energi potensial, 0=∂∂dx

, maka

[ ] ∑ ∑= −

+=n

e

n

e

ee PfdK1 1

.

Merupakan rumus umum.

Dimana :

et

ebf

e fff +=

Contoh penyelesaian MEH dari persamaan diferensial :

Persamaan deferensial :

12

2=+ u

dxud

Kondisi batas : u(0)= 0 ; u(2π)=0



xi

Solusi eksak : u = 1 – cos x.

Prosedur Penyelesaian :

1. Diskrititasi region.Dalam region dibagi dalam 4 elemen dan elemen dan nodaldiberi nomor.

u~

1 2 3 4 1 2 3 4 5

0 π/2 π 3π/2 2π

2. Buat trial function.

u~

Fungsi asumsi :

xaau 21~ +=

ii xaauu 21~ +==

ij

jiij

xxuxux

a−−

=1

jj xaauu 21~ +==

ij

ji

xxuu

a−+−

=2

ije

L

x



[ ] qNNuu

xxxx

xxxx

uj

i

ij

i

ij

j21

~ =

−−

−−

=

3. Substitusi trial functions kedalam governing equation.

∑∫∑∫∑∫===

=−+−4

1

4

1

4

1

21 0..~.

~

eX

eX

eX

XX dxWdxuWdx

dxud

dxdW

dxduW

eee

Weighting function untuk metode Galerkin :

ii a

uW∂∂=

~

untuk masing-masing konstanta a1 dan a2 :

11

~N

auW

i=

∂∂= 22

~N

auW

j=

∂∂=

ij

j

xxxx

NW−−

== 11ij

i

xxxx

NW−−

== 22

dan :

ij xxdxdN

dxdW

−−== 111

ij xxdxdN

dxdW

−== 122

governing equation dalam bentuk matrik :

[ ]∫ ∫

∫

=

−

+

−

j

i

j

i

j

i

j

i

x

x

x

xj

i

x

x j

ix

x

dxNN

dxuu

NNNN

dxuu

dxdN

dxdN

dxdNdx

dN

dxdu

NN

0

..

2

121

2

1

21

2

1

2

1



Pengembangan suku 1 :

−=

−

=

−

j

i

i

j

i

i

ji

j

x

xx

xx

x

x

x

dxdudxdu

dxdu

dxdu

dxduN

dxduN

dxduN

dxduN

0

0

2

1

2

`

Suku 2 :

−

−=

∫j

i

ej

ix

x uu

Lidx

uu

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdN

j

i 1111

2212

2111

dimana : Le = xj - xi

Suku 3 :

[ ]

−−=

=

∫∫

j

i

e

ejiij

j

ix

xj

ix

x

uu

LLxxxx

dxuu

NNNNNNNN

dxuu

NNNN j

i

j

i

2112

.632

33

2212

211121

2

1

Suku 4 :

−+

=

∫ 11

.2..222

2

1

e

ijijx

x Lxxxx

dxNNj

i

Secara keseluruhan :

=

−+

−

−−+

−

−−

−

00

11

.2.2

2112

.6...3

11111

)(

)(

22

2

33

e

ijij

j

i

e

ejiij

j

i

ej

i

Lxxxx

uu

LLxxxx

uu

Lxdxdu

xdxdu

Aplikasi untuk setiap elemen, dengan asumsi Le = L



Elemen 1 : i = 1, j = 2, x1 = 0 , dan x2 = L

=

−

+

−

−−

−

=

=

00

11

22112

611111

2

1

2

10 LuuL

uu

Ldxdudxdu

Lx

x

Elemen 1 : i = 2, j = 3, x2 = L , dan x3 = 2L

=

−

+

−

−−

−

=

=

00

11

22112

611111

3

2

3

2

2

LuuL

uu

Ldxdu

dxdu

Lx

Lx dst.

Diasumsikan du/dxIx=L pada elemen 1 sama dengan du/dxIx=L padaelemen 2 maka :

Asembly persamaan :

=

−

+

−−−

−−−−

−

−

−

=

=

00000

12221

2

2100014100014100014100012

6

1100012100

012100012100011

1

000

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

4

0

L

uuuuu

L

uuuuu

L

dxdu

dxdu

Lx

x

dengan kondisi batas essential : u1 = 0 ; u5 = 0 maka :

=

−

+

−−−

−−

000

222

24101410`4

6210121

0121

4

3

2

4

3

2 L

uuu

L

uuu

L

disederhanakan dan dengan L = π/2 didapat :



=

=

−−

−

130.1033.2130.1

111

804.141304.2

4674.81304.204674.81304.2

4

3

2

4

3

2

uuu

uuu

X Exact 4 Elemen 8 Elemenπ/4 0.293 - 0.3322π/4 1.000 1.130 1.0383π/4 1.707 - 1.7224π/4 2.000 2.033 2.0035π/4 1.707 - 1.7226π/4 1.000 1.130 1.0387π/4 0.293 - 0.332

Gambar hasil yang yang dibandingkan dengan solusi eksak dan MEHdengan beda jumlah elemen sebagai berikut :

u

X(rad)

π0

2



1

1.8 KONSEP MODEL ELEMEN HINGGA 2 – DIMENSI

ELEMEN LUASAN (SEGITIGA , SEGIEMPAT).

• Sistem koordinat.

! Global Coordinate

Fungsi asumsi :

U(X,Y) = α1 + α2 X + α3 YV(X,Y)= β1 + β2X + β3 Y

=

3

2

1

33

22

11

3

2

1

111

ααα

YXYXYX

uuu

q1= [A1] . α

X

Y

2

3

1U1

V1

X

Y



=

3

2

1

33

22

11

3

2

1

111

βββ

YXYXYX

vvv

q2= [A1] . β

[ ]

==

=

−

−

321

321

32

1

1

1

33

22

111

1

1

det1

][mindet][int

111

cccbbbaaa

AofanterAofadjo

YXYXYX

A

α = [A1] -1 . q1

β = [A1] -1. q2

u = [1 X Y.[A1] -1 . q1

v = [1 X Y. [A1] -1. q2

=

3

2

1

1

uuu

q

=

3

2

1

2

vvv

q

Ekspansi : [1 X Y.[A1] -1 .

[1 X Y.[A1] -1 .

[ ] [ ] [ ][ ]333222111det1 YcXbaYcXbaYcXba ++++++=

= [N1 N2 N3]

sehingga :

u = [N1 N2 N3] .

3

2

1

uuu



v = [N1 N2 N3] .

3

2

1

vvv

dalam bentuk matrik

=

3

3

2

2

1

1

321

321

00000

vuvuvu

NNNNONN

vu

atau bentuk symbol : u = [N] . q

Koordinat local :

u(X,Y) = α1 + α2 x + α3 yv(X,Y)= β1 + β2x + β3 y

=

3

2

1

33

2

3

2

1

101001

ααα

yxx

uuu

q1= [A1] . α

2

3

1X

Y

xy



[ ]

==−

321

321

32

1

111

1

det1

][mindet][int

cccbbbaaa

AofanterAofadjoA

α = [A1] -1 . q1

β = [A1] -1. q2

u = [1 x y.[A1] -1 . q1

v = [1 x y. [A1] -1. q2

=

3

3

2

2

1

1

321

321

00000

vuvuvu

NNNNONN

vu

atau bentuk symbol : u = [N] . q dimana :

32

23231 .

)()(yx

xxyxxyN−+−

= ;32

332 .

.yx

yxyxN−

=

32

23 .yx

yxN =

Koordinat Natural

2

3

1X

Y

xL3

L2

L1



Fungsi asumsi :

u = L1 u1 + L2 u2 + L3 u3

Hubungan koordinat natural : L1 + L2 + L3 = 1

u = L1 u1 + L2 u2 + (1 – L1 – L2) u3

v = L1 v1 + L2 v2 + (1 – L1 – L2) v3

Untuk elemen isoparametrik :

X = L1 X1 + L2 X2 + (1 – L1 – L2) X3

Y = L1 Y1 + L2 Y2 + (1 – L1 – L2) Y3

Aplikasi solid (mekanik) : -plane stress

- plane strain

"""" Elemen segitiga linear

(elemen regangan konstan)

Ciri : - 3 node per elemen

- 2 dof per node

u : displacement arah x

v : displacement arah y

Q variasinya diasumsikan fungsi linear (pada sub domain

bervariasi linear)

Pada solid mekanik, konsekuensi linear → regangan konstan di

titik manapun di elemen sehingga tegangan juga konstan.



Step 1

* membuat fungsi linear

Fungsi interpolasi (asumsi) displacement

yxyxu ..),( 321 ααα ++=

yxyxv ..),( 321 βββ ++=

2),( αε =∂∂=xuyxx

3),( βε =∂∂=yvyxy

23),( βαγ +=∂∂+

∂∂=

xv

yuyxxy

u dan v → titik sebarang pada elemen (boleh node/tidak)

Shape function ;

Step 2

Menyatakan hubungan ∈ dengan displacement node

∈ = [B] d

Step 3

∫=V

Te dvBEBK ]].[.[][][ )(

Untuk tebal elemen konstan = h

∫=A

Te dAhBEBK .].].[.[][][ )(

AhBEBK Te .].].[.[][][ )( = → Untuk : plane stress

Plane strain → untuk h = 1 unit yang membedakan [E]

"""" Beban node ekuivalen akibat body force

[ ]∫

=V y

xTbf dV

bb

Nf



- body force → jadi 2 komponen dalam fungsi x dan y

- batas integral untuk elemen

"""" Beban node ekuivalen akibat traksi

[ ]∫

=A y

xTbf dA

pp

Nf

"""" Beban node ekuivalen akibat beban thermal (beban mula)

[ ]0.. TTTth ∆∆=∈ αα

[ ] [ ] [ ] dVEBf thV

Tth ∈= ∫ .

Untuk setiap elemen perlu dianalisa

[ ])(eK

ebf

e ff =)(

Untuk struktur

[ ] ∑=

=n

e

eKK1

)( ][

∑=

+=n

e

e PfF1

)( ← Beban terpusat

[ ] FDK =

Solusi kasus 2-D

Fungsi interpolasi

yxyxu ..),( 321 ααα ++=



131211 .. yxU ααα ++=

232212 .. yxU ααα ++=

333213 .. yxU ααα ++=

=

3

2

1

33

22

11

3

2

1

.111

ααα

YXYXYX

UUU

=

−

3

2

11

33

22

11

3

2

1

.111

UUU

YXYXYX

ααα

=

3

2

1

321

321

321

3

2

1

.1

UUU

cccbbbaaa

Jααα

)..( 32321 xyyxa −= ; )..( 31312 yxxya −= ; )..( 21213 xyyxa −=

321 yyb −= ; 132 yyb −= ; 213 yyb −=

231 xxc −= ; 312 xxc −= ; 123 xxc −=

)()()..( 2313213232 xxyyyxxyyxJ −+−+−=

[ ] α.1 yxU =

[ ]

=

3

2

1

.1ααα

yxU

[ ].1 yxU =

3

2

1

321

321

321

.UUU

cccbbbaaa

++++++=

3

2

1

333222111 )].()()[(1

UUU

ycxbaycxbaycxbaJ

U



[ ]

=

3

2

1

321 .UUU

NNNU

)(11111 ycxba

JN ++=

)(12222 ycxba

JN ++=

)(13333 ycxba

JN ++=

1.9 ELEMEN SEGITIGA ISOPARAMETRIK

Elemen isoparametrik yaitu fungsi interpolasi untuk koordinat

geometri-identik dengan fungsi interpolasi untuk perpindahan. Pada

Elemen segitiga digambarkan sebagai berikut

[ ]

=

3

3

2

2

1

1

.

YXYXYX

NYX

Misal



Sehingga yang dibicarakan adalah koodinat natural, tidak hanya :

332211 ... ULULULU ++=

332211 ... VLVLVLV ++=

Tetapi

332211 ... XLXLXLX ++= X1, Y1 → koordinat node

332211 ... YLYLYLY ++=

L1, L2, L3 = koordinat natural (luasan)

L1, L2, L3 = 1

Interpolasi Formula

44332211 ....),( XNXNXNXNtsX +++=

44332211 ....),( YNYNYNYNtsY +++=

),( tsNi

Dengan formula interpolasi lagrange

Dalam arah x dalam arah y

Untuk n = 2

21

211 )(

xxxxxl

−−

= 41

411 )(

yyyyyl

−−

=

Elemen shape function N1e

41

4

21

211

111 .)().(),(

yyyy

xxxxylxlyxN e

−−

−−

==

Untuk :

41

4

21

21 .),(

tttt

sssstsN

−−

−−

=



Node 1 : s1 = -1 ; t1 = -1 Node 3 : s3 = 1 ; t3 = 1

Node 2 : s2 = 1 ; t2 = -1 Node 4 : s4 = -1 ; t4 = 1

2)1(.

2)1(

11)1(.

11)1(),(1

tststsN −−=−−

−−−

−=

4)1).(1(),(1

tstsN −−=

32

3

12

12 .),(

tttt

sssstsN

−−

−−=

2)1(.

2)1(

11)1(.

11)1( tsts −+=

−−−

++=

4)1).(1(),(2

tstsN −+=

23

2

43

43 .),(

tttt

sssstsN

−−

−−

=4

)1).(1(11)1(.

11)1( tsts ++=

++

++=

14

1

34

34 .),(

tttt

ssss

tsN−−

−−

=4

)1).(1(11)1(.

11)1( tsts +−=

++

−−−=

Kelemahan elemen linear

- Berawal dari asumsi yaxaaU .321 ++=

→ regangan konstan maka kalau membahas defleksi tegangan baik

hanya ditengah

perbaikan dengan membentuk elemen nonlinear

untuk

332211 ... UNUNUNU ++= N1=Li i = 1, 2, 3

4332211 ... VNVNVNV ++=

dengan asumsi :

yaxaaU .321 ++=

ybxbbV .321 ++=



1.10 ELEMEN SEGI EMPAT

Keuntungan : pada FEM yang didapat → distribusi

Pada konvensional → yang didapat pada titik tertentu

"""" Elemen Isoparametrik

∑=

=n

iii UNU

1. ∑

=

=n

iii XNX

1

1.

∑=

=n

iii VNV

1. ∑

=

=n

iii YNY

1

1.

Ni = Ni1 → isoparametrik

"""" Elemen Isoparametrik

Linear → hanya mempunyai node diujung-ujungnya

Penomoran : sebarang, tapi analisanya dimulai dengan CCW

Dimapping ke koordinat s. t → ke koordinat natural

Isoparametrik

44332211 ....),( UNUNUNUNtsU +++=

44332211 ....),( VNVNVNVNtsV +++=



44332211 ....),( XNXNXNXNtsX +++=

44332211 ....),( YNYNYNYNtsY +++=

4)1)(1(

1tsN −−=

4)1)(1(

3tsN ++=

4)1)(1(

2tsN −+=

4)1)(1(

4tsN +−=

Asumsi fungsi Interpolasi untuk perpindahan

332211 ... ULULULU ++=

332211 ... VLVLVLV ++=

=

3

3

2

2

1

1

321

321 .000

000

VUVUVU

LLLLLL

VU



BAB II

AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAA SSTTRRUUKKTTUURR

2.1 T R U S S

Adalah struktur yang istimewa, dimana joint yang dirancang tidak

untuk mendukung momen, dan dapat dikatakan merupakan elemen 2 –

Force member yang seolah-olah merupakan sambungan pin.

Konsekuensi

Karena tidak mendukung momen dalam keseimbangannya →

batang sebagai 2- force member sehingga beban selalu dikerjakan di

joint. Sehingga gaya-gaya berimpit dengan sumbu aksial batang.

Dalam MEH → diskritisasi dengan setiap batang sebagai elemen dengan

membuat node-node, dengan berat sendiri diabaikan. Struktur yang dilas

bisa didekati dengan truss asal fabrikasinya baik yaitu sumbu aksial

bertemu di satu titik. Elemen garis dapat berupa truss, beam, frame.

Metoda langsung → Hubungan displacement dan kekakuan

P

Aplikasi elemen hingga untuk analisa struktur, yaitu untuk strukturtruss, beam, dan frame. Juga dijelaskan mengenai ciri-ciri masing-masing stuktur tersebut, kelebihan dan kekurangannya masing-masing



KP

LAE

PAEPL ===∆

Derajat kebebasan (dof) → displacement (dalam struktur)

→ variable analisa

Per node → memiliki 1 dof

Elemen truss yang terletak pada sumbu x

Hubungan → gaya, displacement, stifness

Bagaimana dengan display yang ditengah → Fungsi interpolasi

(pendekatan) untuk displacement : dipilih polynomial (karena mudah

didefferensialkan / diintegrasikan)

Syarat : - Kontinuitas

- Kompabilitas

xaaxU .)( 21 += (asumsi)

2)()( a

dxxduxE == (konstanta)

2.)()( aExExT == ε (konstanta)

pada x = 0

U1 = a1 a1 = ui

pada x = L

U2 = a1 + a2 L L

uua 122

−=

2112

1 1)( ULXU

LxX

LUUUxU +

−=

−+=

2211 )()()( UxfUxfxU +=

21

211

1 )()()( UxfUxfxE +=



LxxfxN −== 1)()( 11

LxxfxN == )()( 22 Shape Function

(Sebagai pola umum perpindahan sebagai fungsi dari Shape function

dengan dof)

20

12

111

0

12

111 .... udxffEAudxffEAX

LL

+

= ∫∫

ditulis dalam bentuk vektor

[k] d = f

↓ ↓ ↓

Stiffness vektor vektor

matrix disp. node load node

[k] = matrik kekakuan elemen

∫=L

jiij dxxfxfEAk0

11 )().(

[ ]

−

−=

1111

LEAk

[ ]

−

−=

1111

kk

Persamaan kekakuan dengan Metode Energi :

axial force :

xuEAxAExATS

∂∂=== )(.)(. ε

])()()[(. 21

211

1 UxfUxfxAE +=

[ ] dTd =

dengan cara sama :

[ ] fTf =



[ ] fTdK =][

[ ] fTdTK =].].[[

fdTKT T =].].[.[][

].[ fdK =

dimana

−−−−

−−−−

=

θθθθθθθθθθθθ


22

22

22

222

....

....

][

SinCosSinSinCosSinCosSinCosCosSinCos


LAEK

model matematis

=

2

2

1

1

2

2

1

1

][

yxyx

vuvu

K

Elemen truss dengan orientasi sembarang

Model matematis

(Persamaan keseimbangan node)

=

−

−

2

1

2

1

1111

XX

uu

LAE

[K] d = f

Spesifikasi elemen :



- 2 node pe elemen

- 2 dof per node (u dan v)

Data teknis yang diperlukan :

E, A, L, θ

2 node per elemen dengan asumsi perpindahan yang terjadi sepanjang

→ merupakan variasi linear

VYUX ,,, → Koordinat lokal

Dalam sistem sumbu lokal

=

−

−

2

1

2

1.1111

XX

UU

LAE

Dikembangkan dengan 2 persamaan : nol = nol

=

−

−

2

2

1

1

2

2

1

1

0000010100000101

YXYX

vuvu

LAE

Atau

[ ] . fdK =

Dimana

−

−=

2

2

1

1

2

2

1

1

.

0000

0000

vuvu

CosSinSinCos

CosSinSinCos

vuvu

θθθθ

θθθθ

Resume

Truss → digunakan tidak untuk mendukung momen

* Steps :

1. Diskritisasi dengan setiap batang sebagai elemen dengan

membuat node-node dan diberi nomor.



2. Membuat tabel, data yang diketahui dan Cos dan Sin arah setiap

elemen

3. Buat model matematis elemen / K elemen

4. Beri notasi pada K elemen sesuai dengan dof

5. Susun nomor notasi dari K elemen pada susunan K total / assembly

6. Identifikasi B . C

7. Temukan dof aktifnya

8. Temukan problem yang ditanyakan (reaksi pada tumpuan,

tegangan pada batang, dsb)

* Ciri [K] struktur / assemble

- Elemen matriknya : 2 x joint

- Simetris matrik

- Singular matrik

- Tidak semua persamaan independent (hanya 2 persamaan

independent)

* Konsep K Struktur / Assemble

Gaya node di tiap-tiap node pada struktur merupakan sigma gaya

node elemen yang dikontribusikan masing-masing nodenya.

* Konsep keseimbangan truss

Gaya node pada setiap node sama dengan gaya luar (beban /

reaksi tumpuan) dalam arah yang sama.

Contoh



Tabel

i j E A L θ Cos θ Sin θ

1 2 E A L 0o

1 3 E A L 60o

2 3 E A L 120o

* K elemen / model matematis elemen

−−−−

−−−−

=



22

22

22

222

....

....

][



LAEK

( 1 – 2 ) :

−

−

=

0000010100000101

][L

AEK

=

−

−

2

2

1

1

2

2

1

1

.

0000010100000101

yxyx

vuvu

LAE

( 1 – 3 ) :

=

−−−−

−−−−

3

3

1

1

3

3

1

1

.

4/3434/343434/1434/14/3434/34343414341

yxyx

vuvu

LAE

( 2 – 3 ) :

=

−−−−−−

−−

3

3

2

2

3

3

2

2

.

4/3434/343434/1434/14/3434/34343414341

yxyx

vuvu

LAE



* K struktur

].0.1.0.1[)21( 22111 vuvuL

AEX +−+=−

−−+=− 33111 .

41.

41.3

41

41)31( vuvu

LAEX

+

−−+−+= 3322111 .

43

41.0.1.

43

45 vuvuvu

LAEX

].0.0.0.0[)21( 22111 vuvuL

AEY +++=−

−−+=− 33111 .

43.

43.

43.

43)31( vuvu

LAEY

+

−−+++= 3322111 4

3.43.0.0.

43.

43 vuvuvu

LAEY

].0.1.0.1[)21( 22112 vuvuL

AEX +++−=−

+−−=− 33222 .

43.

41.

43

41)32( vuvu

LAEX

+

+−−++−= 3322112 .

43

41.

43.

45.0.1 vuvuvu

LAEX

].0.0.0.0[)21( 22112 vuvuL

AEY +++=−

−++−=− 33222 .

43.

43.

43.

43)32( vuvu

LAEY

+



−++−+= 3322112 4

3.43.

43..

43.0.0 vuvuvu

LAEY

++−−=− 33113 .

43.

41.

43.

41)31( vuvu

LAEX

−++−=− 33223 .

43.

41.

43.

41)32( vuvu

LAEX

+

+++−−−= 3322113 .0

21.

43.

41.

43.

41 vuvuvu

LAEX

].43.

43.

43.

43[)31( 33113 vuvu

LAEY ++−−=−

+−−=− 33223 .

43.

43.

43.

43)32( vuvu

LAEY

+

++−+−−= 3322112 4

6.0.43..

43.

43.

43 vuvuvu

LAEY

* Model matematis struktur

===

===

=

===

=

−−−

−−−

−−

−−−

−−

−−−

33

33

22

2

1

11

3

3

2

2

1

1

0

000

??

0

.

4/604/3434/34

3

02/1434/14

34/1

4/3434/34

3004

34/1434/501

4/343004/34

3

434/101434/5

y

x

y

x

RYRXRY

PXY

RX

VUVUV

U

[K] . D = f



* Identifikasi B.C

U1 = V2 = U3 = V3 = 0 (kondisi tumpuan pada joint)

* Dof aktif

=

PU

VL

AE 0.

4/5004/3

2

1

V1 = 0 ; EAPLU

54

2 = →

=

10.

54

2

1

EALP

UV

* Gaya reaksi

−−

−

−

=

2

1

3

3

2

1

.

434/3

4/143

430

143

UV

LEA

RRRR

y

x

y

x

.

434/3

4/143

430

143

3

3

2

1

−−

−

−

=

LEA

RRRR

y

x

y

x

10.

54

EALP

=

−−

−

434/143

1

54 P

* Gaya Aksial

θθ SinYCosXS .. 22 +=

[ ]

−−

=12

12.VVUU

SinCosEAS θθ

( )222

112

2 SCVUCSCVUCL

EAX ++−−=

)]()([( 12122 VVSCUUC

LEA −+−=

( )22

212

12 ( VSUSVSSCUL

EAY ++−−=



)]()([ 122

12 VVSUUSCL

EA −+−=

)]()()()([ 122

1212122 VVSUUSCSVVSCUUCC

LEAS −+−+−+−=

)]()()()([ 12122

12122 VVSUUCSVVSUUCC

LEA −+−+−+−=

)]()()[( 121222 VVSUUCSC

LEA −+−+=

[ ])()( 1212 VVSUUCL

EAS −+−=

[ ]

−−

=−12

1221 .

VVUU

SCL

EAS θθ

* Gaya batang / axial

[ ]

−−

= −−−12

122121)21( .

VVUU

SinCosL

EAS θθ

[ ] PEALP

LEA .

54

0

..54

.01 =

= (tension)

[ ]

−−

= −−−13

133131)31( .

VVUU

SinCosL

EAS θθ

[ ] 000

.2/32/1 =

=L

EA

[ ]

−−

= −−−23

233232)32( .

VVUU

SinCosL

EAS θθ [ ] PEALP

LEA .

52

0

..54

.2/32/1 =

−=

(tension)

2.2 B E A M

Struktur yang dirancang untuk mendukung beban lateral.

Sehinngga utamanya dapat meneruskan bending, meskipun ada shear

(sebagai konsekuensi logis)

Tegangan Bending → Tegangan normal



Data teknis :

E, I, L

Pola model matematis

→ titik diluar node bagaimana defleksi (asumsi dengan interpolasi)

Pada elemen ada 4 yang tidak diketahui → 4 suku

Fisik

Justifikasi : truss → dapat menurunkan ∈ yang konstan → sehingga T yang

konstan.

Beam

Fungsi interpolasi (asumsi) : → Upaya untuk mendukung yang sebenarnya

(yang didekati bukan fungsinya tetapi nilai numeriknya)3

42

321)( xaxaxaaxV +++=

Justifikasi : di Beam

)()(2

2

2

2

xMdx

vdEIEI

xMdx

vd =→=



Keseimbangan Keseimbangan

dxWdV .= dxVMdMM .)( =−+

dxdVW = dxVdM .=

4

4

dxVdEIW =

dxdMV =

3

3

dxVdEIV =

Pemisalan harus bisa memodelkan daerah beam tidak ada beban

merata sehingga fungsi interpolasi turunan ke IV nya = nol

Model umum ;

Displacement = ∑ di)..x(fi

Dimana fi(x) merupakan fungsi bentuk dan di merupakan Displacement

dari node.

Fungsi Interpolasi (asumsi)3

42

321)( xaxaxaaxV +++=

↓

24231211 )()()()()( θθ xfVxfxfVxfxV +++=

==dx

xdVx )()(θ 21

421

311

211

1 )()()()( θθ xfVxfxfVxf +++

Gambaran penyelesaian pada aplikasi Beam digambarkan sebagai

berikut :

Suatu struktur Beam dengan berbagai beban .



Langkah yang dilakukan sebagai berikut :

1. Diskrititasi (minimal) dengan cara sebagai berikut :

- Pada ujung-ujung beam diberi nodal

- Pada setiap tumpuan diberi nodal

- Pada diskontinuitas geometri diberi nodal

- Pada beban terpusat diberi nodal

- Pada diskontinuitas beban merata diberi nodal

2. Memberikan nomor nodal dan elemen dilakukan dari kiri ke kanan

3. Membuat tabel spesifikasi dari model yang dianalisa

4. Membuat model matematik atau persamaan kekakuan per

elemen

Dengan memberikan penomoran dof :

Elemen K : elemen nomor dof

1 2 1 2 3 4

2 3 3 4 5 6

dan seterusnya.

5. Membuat matrik kekakuan total dengan mengasembly masing

elemen

FW1(x)

W2(x)

M



6. Dengan adanya beban merata, maka harus dibuat dulu beban

ekivalensinya dengan cara sebagai berikut :

Bentuk beban ekivalen :

∫=

=L

0i

2

2

1

1

i dx).x(f).x(P

MYMY

F

7. Indentifikasi kondisi batas menjadi dof aktif dan dof non aktif

1 2M1

M2

Y1 Y2

Y,V

X,U

P(x)

L



8. Dengan persamaan kesimbangan total , tentukan dof aktif

dengan metoda gauss eliminasi.

9. Menjawab pertanyaan dari problem.

Prosedur yang dilakukan dalam struktur beam sebagai berikut :

"""" Elemen Beam

Spesifikasi

- 2 node/elemen

- 2 dof / node

"""" Fungsi Interpolasi

24231211 )()()()()( θθ xfVxfxfVxfxV +++=

==dx

xdVx )()(θ 21

421

311

211

1 )()()()( θθ xfVxfxfVxf +++

Shape Function

32

1 LX2

LX31)x(f

+

−=

2

322

LX

LX2X)x(f +

−=

32

3 LX2

LX3)x(f

−

=

2

324

LX

LX)x(f +−=

Persamaan keseimbangan struktur :

f = [K] d

dengan Elemen stiffness : dx).x(f).x(fEIk "j

L

0

"iij ∫=



2.3 F R A M E

→ masing-masing elemen bisa menerima gaya kearah x dan y dan

mampu mendukung momen sehingga dof = 3

mampu menerima :

- Beban lateral (bending)

- Beban aksial

- Beban terpusat/merata

- Beban momen

Data teknis

E, A, I, L, φ

2 node per elemen

3 dof pernode (u, v, θ)

Konsep

Seperti beam yang berorientasi φ terhadap x

Dalam pemodelan matematis → kombinasi elemen truss dan beam

I. Analisa → elemen tersebut terletak pada sumbu x (tapi bukan beam)

(merupakan ide frame = truss + beam)

θ lokal = θ global



(karena diputar pada sumbu yang sama)

- Diskritisasi

- K (6 x 6) elemen

- Assemble

- Beban node ekivalen (karena ada beban merata)

- B.C

- Dof aktif

- Jawab pertanyaan

• Tidak ada tumpuan (dari soal terlihat kesetimbangan statis)

• Tidak ada rigid body motion

• Tumpuan → jadi B.C

• Simetri

• Sumbu simetri

BC dengan kesimetriannya (dari bentuk defleksi)

V1 = θ1 = U3 = θ3 = 0

U2 = 0 V2 = ? (tidak nol/hampir nol)

Penentuan BC

- BC yang lebih / kelewatan bisa membuat K tetap singular

- Atau kalau tidak singular → maka proses kalkulasinya lebih

panjang

Bidang simetri tengah

Dua buah titik yang berjarak sama terhadap bidang simetri

Pada bidang simetri → syarat :

- Struktur simetri



- Beban simetri

BC’s

u = 0

θy = 0

θz = 0

contoh soal

Analisa

Diskritisasi node 1 anggota frame aslinya (v, u, θ) sebagai truss hanya

punya (u, v) dof aktif

[ ]

−−−

−

=

3

2

2

2

1

2

2

.

/12/60/68/6

0/6/12

v

vuu

LLxxLxxL

xxxxxxxxxx

LxxL

LEAK frame

θ

Dof aktif

[ ]

−

−=

2/12/12/12/1

2LEAKtruss



+−−

−−

−−+

=

LLLEAEIxxEA

LLxx

xxxxxxxxxxLLLLEAxxEAEI

K struktur

441260

686

440612

][

3

3



BAB III

IINNTTEERRPPOOLLAASSIIDDAANN IINNTTEEGGRRAASSII NNUUMMEERRIIKK

Shape function → hubungan matematik dari fungsi interpolasi2

210 θθφ CCC ++=

[ ]

=

2

1

02 .1

CCC

θθφ

Tiga titik di

11 φφθθ =→=

22 φφθθ =→=

33 φφθθ =→=

[ ]

=

2

1

02

111 .1CCC

θθφ

[ ]

=

2

1

02

222 .1CCC

θθφ →

=

2

1

0

233

222

211

3

2

1

.111

CCC

θθθθθθ

φφφ

[ ]

=

2

1

02

333 .1CCC

θθφ

=

−

3

2

1

1

233

222

211

2

1

0

.111

φφφ

θθθθθθ

CCC

Interpolasi Lagrange merupakan pendekatan fungsi polynomial.

Sedangkan Integrasi Gauss Quadrature merupakan suatu proses

integrasi numerik dimana batas integral harus sudah dilihat melalui

analisa numerik.



332211 )()()( φθφθφθφ NNN ++=

Curve fitting → suatu pendekatan Lagrange’s interpolation →

pendekatan f polynomial

FEM→ yang didekati bukan fungsinya karena kompleksnya tapi nilainya

"""" 2 independent variables

φ1, φ2 . . . . . . φ9 → diketahui

3322111 ).().().(),( φφφφ xNxNxNyxI ++=

)).(()).((

3121

321 xxxx

xxxxN

−−−−

=

)).(()).((

3212

312 xxxx

xxxxN

−−−−

=

)).(()).((

2313

213 xxxx

xxxxN−−

−−=

6655442 ).().().(),( φφφφ xNxNxNyxII ++=

)).(()).((

6454

651 xxxx

xxxxN

−−−−

=

9988773 ).().().(),( φφφφ xNxNxNyxIII ++=

)(7 xN =

Shape kurva :

),()(),()(),()(),( 332211 yxyNyxyNyxyNyx IIIIII φφφφ ++=

)).(()).((

)(3121

321 yyyy

yyyyyN

−−−−

= ; )).((

)).(()(

3212

312 yyyy

yyyyyN

−−−−

=

=)(3 yN

"""" Integrasi numerik

Pada software → yang dipakai integrasi Gauss

* GAUSS QUADRATURE

Batas integrasi :harus sudah lihat : Analisa Numerik



"""" Mapping → merubah batas integral dengan menggunakan

determinan Jacobi

titik gauss → dinyatakan dengan koordinat natural

Koordinat natural faktor bobot

( 1/3, 1/3, 1/3 ) -27/48 A

( 3/5, 1/5, 1/5 )

( 1/5, 3/5, 1/5 ) 25/48 A

4

titik

( 1/5, 1/5, 3/5 )

Hubungan antara x dan interpolasi dalam natural :

X = L1 X1 + L2 X2 + L3 X3

Kalau ada y

Y = L1 Y1 + L2 Y2 + L3 Y3

Shape function pada elemen segitiga = koordinat natural Ni = Li

Dalam pengertian koordinat natural sebagai interpolasi.

koordinat natural faktor bobot

(½, ½, 0) 1/3 A

(0, ½, ½) 1/3 A

3 tit

ik

(½, 0, ½) 1/3 A



x

X2

X1

Q2Q1

H(x)

AA+(dA/dx).dx

qq+(dq/dx).dx

BBAABB IIVV

AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAAPPEERRPPIINNDDAAHHAANN PPAANNAASS

4.1 Steady State Uniaxial Heat Flow.

Suatu daerah dengan luas penampang variable A(x) dengan aliran

panas Q (energy/time) pada ujung dan sumber fluks panas, H(x)

(energy/time-length), didistribusikan sepanjang arah x.

Kesetimbangan energi dari differential element :

0)(. =− xHqAdxd

H(x)

dx

Disamping aplikasi untuk struktur, metode elemen hingga dapat jugaditerapkan untuk perpindahan panas. Disini akan dibahas mengenaiperpindahan aliran panas untuk 1-Dimensi dan juga untuk 2-Dimensi.



Fourier’s Law :

dxdTkq .−= k: thermal conductivity. ; T : Temperature

Substitusi Fourier Law ke differential equation :

0)(. =+ xHdxdTkA

dxd

Bentuk varisional ekivalen dari persamaan diferensial :

dxTxHdxdTkA

dxdx

x..)(.0 2

1δδ ∫

+==Π

dxTxHdxTdxdTkA

dxd x

x

x

x.).(.. 2

1

2

1δδ ∫∫ +

=

Integrasi suku pertama dan dikalikan dengan –1 didapat :

dxTxHdxTdxd

dxdTkAT

dxdTAk

x

x

x

x

x

x.).(.. 2

1

2

1

2

1

δδδδ ∫∫ −+−=Π

dengan

T : essential boundary condition (Dirichlet Boundary Condition)

dT/dx: natural boundary value (Neumann Boundary Condition)

untuk : Q =-A.k.dT/dx, maka

( ) dxTxHdxTdxd

dxdTkATQTQ

x

x

x

x.).(.... 2

1

2

11122 δδδδ ∫∫ −+−=Π

Functional untuk 1 dimensi problem perpindahan panas adalah :



( ) dxxTxHdxdxdTkATQTQ

x

x

x

x).().(.... 2

1

2

1

2

1122 ∫∫ −

+−=Π

Newton’s Law of cooling, aliran panas konveksi pada batas 1 dan 2:

Q1 = Q1c = h.A.(T∝ - T1) dan Q2 = Q2c = h.A.(T2 - T∝ )

T∝ : temperatur ambient ;h : koefisien perpindahan panas konveksi.

Energi yang ditambahkan dengan konveksi pada daerah panjang dx :

H(x).dx = h.(P.dx)(T∝ - T(x))

H(x) = h.P.(T∝ - T(x))

4.2 MODEL ELEMEN HINGGA UNTUK ALIRAN PANAS 1-DIMENSI.

Functional :

( ) dxxTxHdxdxdTkATQTQ

x

x

x

x).().(.... 2

1

2

1

2

1122 ∫∫ −

+−=Π

model elemen : dua nodal heat flow element.

1. Asumsi fungsi yang menyatakan variable dependen melalui

elemen.

Variasi linear temperatur :

T = [N] . qt

[N] = [N1 N2] =

−−

−−

..ij

i

ij

j

XXXX

XXXX

L

Xj Q2iQ1

21



Xj – Xi = L ; qt = [Ti Tj]T

[ ] tqLdx

dT .111 −= atau [ ] tqBdxdT .=

Substitusi :

[ ] [ ] [ ] [ ] dxqNxHdxqBBqkAqQQ tx

xtTx

xT

ttjij

i

j

i.).(..

2.. ∫∫ −+−−=Π

atau :

[ ] [ ] dxqNxHqqLkAqQQ t

x

xtT

ttjij

i.).(.

1111

.2

.. ∫−

−

−+−−=Π

Dengan Ritz procedure dΠ/dqt = 0, maka governing equation for the

single element :

[ ] dxNxHQ

Qq

LkA j

i

x

xj

it .).(.

1111

..

∫+

−

=

−

−

atau : [ kcd ] . qt = Qt N + QtH.dimana :

[ kcd ] = element conduction matrix ; qt = nodal temperature vector

Qt N = nodal heat flow vector;

Qt H = nodal heat flow vector equivalent to the distributed flux.

Assembly elemen, dgn Rayleigh-Ritz Procedure thd functional seluruh

region :

[ Kcd ] . rt = Rt N + RtH.

dimana : [ Kcd ] = assembled conduction matrix;

rt = assembled nodal temperature vector

Rt N = nodal heat flow at boundary and node sources



Rt H = distributed heat flux vector.

4.3 ONE-DIMENSIONAL HEAT FLOW WITH CONVECTION

Persamaan kesetimbangan :

[ kcd ] . qt = Qt N + QtH.

asumsi konveksi terjadi hanya pada nodal local 1.

−

−∞

=

−−∞

=0....)(. 1

22

1 TAhQTAh

QTTAh

Q LLNt

−

−∞

=2

1

2 0001

....

TT

AhQTAh L

atau : Qt N = QcvL.- [ kcv ]L .qt

Jika ujung kanan mempunyai konveksi., kemudian dengan subtitusi

Q2 = h.A. (T2 - T∝ R) didapat :

−

∞=

2

11

1000

.... T

TAh

TAhQ

QR

Nt

atau :Qt N = QcvR.- [ kcv ]R .qt

dimana : Qcv : Vektor aliran panas konveksi; [Kcv] : Matrik konveksi

x

L

T∝ H , hH

T∝ RT∝ L

hRhL



Fluks panas terdistribusi :

∫∫ −== ∞L T

HL T

Ht dxNxTTPhdxNxHQ00

.])).[(.(..])[( atau :

∫∫ −= ∞L

tTL T

HHt qdxNNPhdxNTPhQ00

.]..[][..][..

Matrik fungsi bentuk dalam koordinat local :

−=

Lx

LxN 1][

Fluks terdistribusi :

−

= ∞

2

1

2112

6..

11

2...

TTLPhTLPhQ

HHt

atau : QtH = QcvH – [kcv]H .qt.

Asumsi single elemen dengan konveksi pada sisi batas kiri dan sepanjang

elemen dan aliran panas Q2 pada batas kanan.

[ kcd ] . qt = Qt N + QtH.

= QcvL.- [ kcv ]L .qt + QcvH – [kcv]H .qt.

[ ]

−

+

−

−=

∞∞

2

1

2

1

22

1

2112

6..

11

2...

0001

...

TTLPhTLPh

TT

AhQTAh

TT

k HLcd

direorganisir : (konveksi pada sisi kiri)

[ ] [ ] [ ][ ] HcvLcvtHcvLcvcd QQqkkk +=++

(Konveksi pada sisi kanan ) :

[ ] [ ] [ ][ ] HcvRcvtHcvRcvcd QQqkkk +=++

Contoh :



Aliran panas dalam sirip segiempat seperti pada gambar dimodelkan

sebagai problem 1 dimensi. Sisi kiri sirip dipertahankan pada temperatur

2000C dan semua permukaan diekspos pada temperatur ambien 500C.

Koefisien konveksi untuk semua permukaan 0.02 W/cm2.0C. konduktifitas

termal bahan 4 W/cm.0C. Pertama menggunakan model elemen tunggal

dan kemudian model dua-elemen , estimasikan temperatur pada ujung

sirip dan panas yang hilang.

Penyelesaian :

Model satu-elemen

Matrik konduksi :

[ ]

−

−=

−

−=

−

−=

20202020

1111

204.100

1111

LAkkcd

Elemen dengan konveksi pada sisi kanan. Matrik konveksi untuk aliran

panas dari sisi kanan adalah :

20 cm

20 cm

5 cm

X2000C

T∞=50 0C

1Q1



[ ]

=

=

=

2000

1000

)100(02.01000

A.hk Rcv

Matrik konveksi untuk aliran panas dari semua sisi :

[ ]

=

=

=

7.63.33.37.6

2112

6)20)(50(02.0

2112

6hPLk Hcv

Vektor konveksi untuk konveksi sisi kanan :

=

=

=∞ 100

Q)50)(100(02.0

QT.A.h

QQ 11

R

1Rcv

Matrik konveksi untuk sisa sisi bebas :

=

=

= ∞500500

11

2)50)(20)(50(02.0

11

2T.L.P.hQ H

Hcv

Asembly persamaan matrik aliran panas komplit :

[ ] [ ] [ ][ ]

+

=

−

−

+=++

600500Q

TT

7.287.167.167.26

QQqkkk

1

2

1

HcvRcvtHcvRcvcd

kondisi batas esensial, T1 =200

=

− 600

200TT

7.287.1601

2

1

solusi untuk T2 :

-16.7 (200) + 28.7 T2 = 600 T2 = 137.3 0C.

Aliran panas Q1 dalam sisi kiri didapatkan :

26.7T1 - - 16.7T2 = Q1 + 500

26.7(200) – 16.7(137.3) = Q1 + 500 Q1 = 2547 W.

Aliran panas rata-rata dalam elemen :

Q1 = -k dT/dx = - k[B] qt = [ ]

−−2

1TT

11Lk

[ ] 2cm/W3.263.137

20011

204 =

−−=



S

4.4 PERPINDAHAN PANAS DAN ALIRAN FLUIDA 2-DIMENSI

• Governing equation.

Laplace eq. : 02 =∇ T

Fourier eq. : xTkq

Xcd ∂∂−=

yTkqcdy ∂

∂−=

atau : nTkqn ∂

∂−=

Newton’s Law of cooling : qCV = h.A (T - T∞ )

Galerkin Approximation :

∫ =∇A i dydxtTW 0.... 2

dalam bentuk lain : TWTWTW ii2.. ∇+∇∇=∇∇

sehingga disubsitusi menjadi :

∫ ∫ =∇∇−∇∇A A ii dydxTWtdydxTWt 0......

Dengan Gauss Theorem : ∫ ∫ ∇=∇∇A S ii dsnTWtdydxTWt !.....

, maka

∫ ∫ =∇∇−∇S A ii dydxTWtdsnTWt 0..... !

atau :

∫ ∫ =

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

S Aii

i dydxyT

yW

xT

xWtds

nTWt 0...

Interpolation formula :

T = [N] . qi dan Wi = Ni

Sehingga :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ∫ ∫ =

∂

∂∂

∂+∂

∂∂

∂−∂∂

Se Ae i

TTT qdydx

yN

yN

xN

xNtds

nTN 0....

T(x,y)

X

Y n

T∞



Se’’Se’

∂T/∂n=0

qb

qcv

T∞

qcdn

Persamaan Elemen :

Keseimbangan energi : qcdn = qcv

( ) cvcdcd qnjqiqyx

=+ ˆ.ˆ.ˆ.

dan ).(..... ∞−=∂∂− TTdsthds

nTkt

dsTTkhds

nT ).(. ∞−=

∂∂−

untuk : T = [N] . qt

[ ] dsTkhdsqN

khds

nT

t .... ∞−=∂∂−

subsitusi :

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] 0......

.........' '''

=

∂

∂∂

∂+∂

∂∂

∂−

∂∂++−

∫

∫ ∫∫ ∞

tAe

TT

Se

T

Se

T

SetT

qdydxyN

yN

xN

xNk

dsnTNkdsTNhqdsNNh

dalam bentuk persamaan elemen :

[KT] . qt = Qcv + Qb

“Thermal stiffness” matrix :[KT] = [kcdx] + [kcdy] + [kcv].

[ ] [ ] [ ] dydxxN

xNkk

Ae

T

cdx ....∫

∂

∂∂

∂=

[ ] [ ] [ ] dydxyN

yNkk

Ae

T

cdy ....∫

∂

∂∂

∂=

[ ] [ ] [ ] dsNNhkSe

Tcv ...

'∫=

Convection boundary vector Se’ : [ ] [ ] dsTNhQSe

Tcv ...

'∫ ∞=

Applied heat boundary vector, Se’’ : [ ] [ ] dsnTNkQ

SeT

b ...''∫ ∂

∂=

Y

X


Program Semi-Que IV 64Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya

BBAABB VV

AANNAALLIISSAATTEEGGAANNGGAANN AAXXIISSYYMMMMEETTRRIICC

Suatu hal yang penting untuk merealisasikan pada axisymmetric

problems, perpindahan dalam kontinum dapat terjadi hanya dalam arah

radial dan aksial; perpindahan tidak dapat terjadi dalam arah

sirkumferensial, sebagai akibat hal tersebut, menjadi biasa menggunakan

sistem koordinat silinder dalam mengembangkan persamaan elemen

umum, seperti pada gambar berikut.

Sumbu putaran

Sekelompok problem yang ada pada kenyataannya meliptui gaya

dan domainnya dalam tiga dimensi, tetapi akan diupayakan

mereduksi secara matematik menjadi dua dimensi. Problem-problem

tersebut disebut dengan axisymmetric problems, dan dikarakteristikan

dengan putran solid dan sifat-sifat material dan beban yang tak

berubah sepanjang sekeliling putaran.Gambar berikut adalah putaran

solid, dengan elemen yang akan digunakan pada diskrititasi dari

kontinum yaitu toroid dengan penampang segitiga.



Putaran benda dari elemen toroidal.

Sistem Koordinat

Komponen tegangan koordinat silinder untuk keadaan axisymmetric.

r

z

θ

1

2

3

r11 e.uu =

k.ww 11 =

reθe

k

zθ

r

σz

σθ

σr

τrzdz

dθ

dr



5.1 Persamaan dasar untuk elemen

Persamaan elemen secara umum untuk analisa tegangan

kontinum tiga dimensi identik dengan bentuk :

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] BFTNFTTT QQQd..C.Bq.d.B.C.B +++Ωε=Ω ∫∫ Ω

Ω

walaupun aplikasi persamaan ini untuk elemen tiga dimensi adalah

identik dengan konsep elemen dua dimensi, upaya lebih besar karena

perpindahan tambahan pada setiap nodal dan dimensi dalam tiga

variabel. Integral garis dan luasan dari elemen problem bidang sekarang

menjadi integral permukaan dan volume.

Dalam persamaan diatas, jika diaplikasikan ke kontinum tiga

dimensi didefinisikan kembali sebagai berikut :

Matrik kekakuan

[ ] [ ] [ ][ ]∫Ω Ω= d.B.C.Bk T

Vektor beban nodal temperatur :

[ ] [ ] [ ] ∫Ω Ωε= d..C.BQ TT

temp

Vektor gaya nodal

QNF = gaya-gaya aplikasi pada nodal

Vektor traksi permukaan

[ ] [ ] ∫ Ω=A

TT d.T.NQ

Vektor Gaya bodi

[ ] [ ] ∫Ω Ω= d.Bf..NQ TBF



5.2 Persamaan Elastisitas Axisymmetric

Pada Axisymmetric, semua persamaan harus menjadi bebas dari θ

dan semua perpindahan harus berada dalam bidang rz. Hubungan

perpindahan regangan dalam koordinat silinder pada problem khusus

sebagai berikut.

ru

r ∂∂=ε ;

zw

z ∂∂=ε ;

ru=εθ ; r

wrw

rz ∂∂+

∂∂=γ

dalam bentuk matrik :

[ ]

℘=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

γεεε

=εθ w

u.

wu

.

rz

0r1

z0

0r

rz

z

r

Hubungan untuk material isotropik :

∆α−

γεεε

ν−ν−νν

νν−νννν−

ν−ν+=

τσσσ

θθ0111

T.x

221000

010101

)21)(1(E

rz

z

r

rz

z

r

atau σ = [C] . (ε - εT)

Vektor regangan termal didefinisikan sebagai

∆α=

γεεε

=εθ

0111

T

rz

z

r

T



Fungsi perpindahan elemen

Nodal dari elemen toroidal sebenarnya adalah lingkaran konsentrik yang

lewat melalui puncak penampang segitiga. Koordinatnya adalah r dan z.

Spesifikasi perpindahan radial , u, perpindahan aksial, w, posisi radial, r,

dan posisi aksial, z dari suatu toroidal yang akan didefinisikan dengan

formulasi interpolasi linear dalam koordinat natural dan sifat-sifat nodal.

u = L1u1 + L2u2 + L3u3

w = L1w1 + L2w2 + L3w3

r = L1r1 + L2r2 + L3r3

z = L1z1 + L2z2 + L3z3

dimana : L1+ L2 + L3 = 1

dalam bentuk matrik

=

3

2

1

321

321LLL

zzzrrr111

zr1

invers matrik :

=

zr1

cbacbacba

det1

LLL

333

222

111

3

2

1

dimana :

a1 = r2z3 – r3z2 ; a2 = r3z1 – r1z3 ; a1 = r1z2 – r1z2 ;

b1 = z2 – z3 ; b2 = z3 – z1 ; b3 = z1 – z2 ;

c1 = r3 – r2 ; c2 = r1 – r3 ; c3 = r2 – r1 ;

dan

det = (r1 – r3)( z2 – z3) - (r2 – r3)( z1 – z3) = 2 x luas segitiga.



Vektor fungsi perpindahan :

[ ] q.N

wuwuwu

.L0L0L00L0L0L

wu

3

3

2

2

1

1

321

321 =

=

Hubungan regangan dengan vektor dof :

[ ][ ] [ ] q.Bq.N =℘=ε

derivatif koordinat natural :

detb

detc.zb.ra

rrL 11111 =

++

∂∂=

∂∂

dan seterusnya.

Selanjutnya matrik [B] menjadi :

[ ]

=

332211

*3

*2

*1

321

321

bcbcbc

0r

L0r

L0r

Lc0c0c00b0b0b

det1B

dimana :

L1* = a1 + r.b1 + z.c1 ; L2* = a2 + r.b2 + z.c2 ; L3* = a3 + r.b3 + z.c3

Matrik kekakuan

[ ] [ ] [ ][ ]∫Ω Ω= d.B.C.Bk T

Metode pendekatan yang sederhana [Zienkiewics] dinyatakan sebagai

berrikut :



[ ] ( )[ ]z,rBB =

dimana ; 3

rrrr 321 ++= ; 3

zzzz 321 ++=

volume : A.r..2V π=

Matrik kekakuan elemen :

[ ] [ ] [ ] [ ]B.C.BA.r..2k Tπ=

Vektor beban nodal temperatur :

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]

∆απ=Ωε= ∫Ω0111

C.B.T..A.r..2d..C.BQ TT

temp

Vektor gaya nodal

QNF = gaya-gaya aplikasi pada nodal

QNF = [F1r F1z F2r F2z F3r F3z]T

Vektor traksi permukaan

[ ] [ ] [ ] ds.TT

.N.r..2d.T.NQz

rTSA

TT

π=Ω= ∫∫

[ ] ds.TT

.

rL00rL

rL00rL

rL00rL

..2Qz

rS

3

3

2

2

1

1

T

π= ∫

r dalam istilah koordinat natural :

r = L1r1+ L2r2+ L3r3

Vektor Gaya bodi

[ ] [ ] [ ] dA.BB

.N.r..2d.BB

..NQz

rTAz

rTBF

π=Ω

= ∫∫Ω



RREEFFEERREENNSSII1. Grandin Hartley, Jr.,1986, “ Fundamentals of the Finite Element

Method”, Macmillan Publishing Company, New York.2. Yang, T.Y., 1986,”Finite Element Structural Analysis”, Prentice-

Hall,Inc,Englewood Cliffs.3. Buchanan, George R.,1995, “Finite Element Analysis, Schaum’sOutline

Series, McGraw-Hill International Editions4. Bathe Klaus-Jurgen, 1996, “Finite Element Procedures”, Prentice Hall

International Editions, Inc, USA.5. Hughes Thomas J.R.,1987, “ The Finite Element Method”, Prentice-Hall

Inc, New Jersey6. Segerlind L., J., “Applied Finite Element Analysis”, John Willey & Son,Inc.

Metode FEM

Documents

Transcript of Metode FEM