Metoda Numerik

148

Click here to load reader

description

anum

Transcript of Metoda Numerik

Metoda Numerik

METODANUMERIK

oleh

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.November 2001Bahan kuliah Metoda Numerik Jurusan Teknik Sipil FT UGM Yogyakarta

PRAKATA

Buku berjudul Metoda Numerik ini merupakan bahan kuliah di Jurusan Teknik Sipil FT UGM. Buku ini tidak menjelaskan secara rinci teori-teori numerik secara lengkap, namun hanya membahas teori-teori numerik yang sering digunakan di lapangan. Pembaca yang ingin mengetahui secara lengkap Metoda Numerik diharapkan mencari dari acuan-acuan di luar buku ini.

Buku ini lebih merupakan petunjuk praktis bagi mahasiswa S1 maupun praktisi di lapangan. Dalam buku ini prinsip umum teori-teori numerik dijelaskan secara singkat, kemudian aplikasinya dijelaskan.

Semoga buku kecil ini berguna, kritik membangun sangatlah diharapkan.

Yogyakarta, November 2001

Dosen Jurusan Teknik Sipil FT UGM

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.

Penyusun

Metoda Numerik hal. ii

DAFTAR ISI

halaman

PRAKATA .......................................................................................................................... ii DAFTAR ISI...................................................................................................................... iii DAFTAR GAMBAR .........................................................................................................vi1. Error: Asal & Rambatannya....................................................................................... 71.1. Pendahuluan ....................................................................................................... 71.2. Bilangan Dalam Komputer ............................................................................. 111.2.1. Underflow and Overflow ................................................................. 121.3. Definisi dan Asal error .................................................................................. 121.3.1. Angka signifikan (significant digits)............................................... 131.3.2. Asal dari error .................................................................................. 131.4. Rambatan Error .............................................................................................. 131.4.1. Propagated Error pada Perkalian.................................................. 141.4.2. Propagated Error pada Pembagian............................................... 141.4.3. Propagated Error pada Penjumlahan dan Pengurangan .......... 142. Persamaan Non-Linier.............................................................................................. 162.1. Metode Bagi Paruh (Bisection) ....................................................................... 162.2. Metode Newton ................................................................................................ 172.3. Metode Sekan .................................................................................................... 192.4. Akar dari Persamaan Polinomial ................................................................... 203. Teori Interpolasi ........................................................................................................ 223.1. Metoda Beda Terbagi Newton........................................................................ 223.2. Interpolasi dengan tabel beda hingga ........................................................... 243.2.1. Beda Maju ........................................................................................... 243.2.2. Beda Mundur ..................................................................................... 263.3. Lagrange ............................................................................................................ 263.4. Beberapa fakta penting daribeda terbagi.................................................... 27

Metoda Numerik hal. iii

4. Integrasi Numeris...................................................................................................... 284.1. Rumus trapesium dan Simpson ..................................................................... 284.1.1. Rumus trapesium terkoreksi............................................................ 304.1.2. Rumus Simpson ................................................................................. 314.2. Rumus NewtonCotes ..................................................................................... 334.2.1. Rumus Newton-Cotes Tertutup ...................................................... 344.2.2. Rumus NewtonCotes terbuka........................................................ 354.3. Kuadratur Gaussian ......................................................................................... 364.3.1. Kuadratur Gauss-Legendre.............................................................. 374.4. Polinomial Orthogonal .................................................................................... 394.4.1. Kuadratur Gauss-Laquerre .............................................................. 404.4.2. Kuadratur Gauss-Chebysev ............................................................. 424.4.3. Kuadratur Gauss-Hermite................................................................ 425. Sistem Persamaan Linier ......................................................................................... 435.1. Eliminasi Gauss ................................................................................................ 435.2. Eliminasi GaussJordan................................................................................... 455.3. Eliminasi GaussJordan dengan pivot maksimum................................... 465.3.1. Rekonstruksi pembentukan scrambled inverse ........................ 485.4. Metoda Iterasi ................................................................................................... 495.4.1. Metoda Jacobi ..................................................................................... 495.4.2. Metoda Gauss-Seidel......................................................................... 516. Matrik .......................................................................................................................... 526.1. Notasi dan Konsep-konsep Pendahuluan .................................................... 526.2. Determinan dan invers .................................................................................... 556.2.1. Menghitung determinan dengan eleminasi segitiga atas ............ 556.3. Matrik dan Vektor Eigen ................................................................................. 576.3.1.Metode power untuk mendapatkan nilai & vektor eigen terbesar. ............................................................................................... 58

7. Persamaan Differensial Biasa ................................................................................. 617.1. Metoda Euler..................................................................................................... 637.2. Metoda MultiStep......................................................................................... 647.2.1. Metoda Trapesium ............................................................................ 657.3. Metoda Runge-Kutta (RK) .............................................................................. 667.3.1. Metoda RK derajat dua ..................................................................... 667.3.2. Metoda RK berderajat tiga ............................................................... 677.3.3. Metoda RK berderajat empat ........................................................... 687.3.3.1. Metoda Pertama ...................................................................................... 687.3.3.2. Metoda Kedua.......................................................................................... 687.3.3.3. Metoda Ketiga.......................................................................................... 687.4. Metoda Predictor-Corrector ......................................................................... 69

7.4.1. Algoritma Predictor-Corrector ....................................................... 70

Metoda Numerik hal. iv

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 73Metoda Numerik hal. v

DAFTAR GAMBAR

halaman

Gambar 1 Teorema Nilai Antara ...................................................................................... 7

Gambar 2 Teorema Nilai Tengah ..................................................................................... 8

Gambar 3 Nilai Tengah Integral ....................................................................................... 9

Gambar 4 Interpretasi Deret Taylor secara geometris................................................. 10

Gambar 5 Metoda Bagi Paruh untuk mencari akar ..................................................... 17

Gambar 6 Metoda Newton untuk mencari akar .......................................................... 18

Gambar 7 Metoda Sekan untuk mencari akar .............................................................. 19

Gambar 8 Konsep integrasi trapesium .......................................................................... 28

Gambar 9 Konsep integrasi Simpson ............................................................................. 31

Gambar 10 Fungsi y = w(x) untuk metoda Simpson.................................................... 32

Gambar 11 Cara pertama pemindahan kolom dengan elemen pivot ....................... 48

Gambar 12 Cara kedua pemindahan kolom dengan elemen pivot........................... 48

Gambar 13 Cara kedua pemindahan kolom dengan elemen pivot........................... 49

Gambar 14 Gaya-gaya yang bekerja pada struktur ..................................................... 60

Gambar 15 Penyelesaian dengan Metoda Euler........................................................... 62

Metoda Numerik hal. viBab1. ERROR: ASAL & RAMBATANNYA1.1. Pendahuluan

Teorema 1.1.: Nilai Antara (lihat Gambar 1)Jika f(x) suatu fungsi menerus pada x [a, b] dan

m Infimuma xb

f ( x) serta

M Supremuma xb

f ( x) , maka untuk setiap bilangan pada interval tertutup [m, M]

paling tidak ada satu titik [a,b] sehingga f() = . Khususnya ada dua titik u &

[a, b] dimana m = f(u) dan M = f()

y y = f(x)m = f(u)

M = f()

xa u bGambar 1 Teorema Nilai Antara

Metoda Numerik hal. 7Teorema 1.2.: Nilai Tengah (lihat Gambar 2)Jika f(x) menerus pada interval [a,b] serta turunan pertamanya ada dalam interval

x (a,b). Maka paling tidak ada satu titik (a,b) dimana:

f ' ( ) f (b) f (a)b aTeorema 1.3: Nilai Tengah Integral (lihat Gambar 3)Jika w(x) tidak negatif dan dapat dihitung integralnya pada interval [a,b] dan f(x)

bmenerus pada [a,b], maka w( x) f ( x)dx a

bf ( ) w( x)dx untuk satu titik [a,b]atangennya = f()f(a)

a

f()

f(b)

x b

Gambar 2 Teorema Nilai Tengah

Teorema 1.4.: Deret Taylor (lihat Gambar 4)Jika f(x) mempunyai n+1 turunan dan turunannya selalu menerus pada [a,b], dan jika x, x0 [a,b], maka:

f ( x) Pn ( x) Rn1 ( x)Metoda Numerik hal. 8x xo

( x x ) ndengan

Pn ( x)

f ( xo ) 1!

f ' ( xo

) ... o f ( n ) ( x )n! oR ( x) 1

x( x t ) n f ( n1) (t )dtn1

n! 0

( x xo ) (n 1)!

n1

f ( n1) ( )

untuk diantara xo dan x.

yy = w(x)

f(xi)

x a xi bGambar 3 Nilai Tengah Integral

xBukti: f ' (t )dt xo

f ( x) f ( xo )

Jadi:

f ( x)

xf ( xo ) f ' (t)dtxo

ingat : udv uv vdu ... tf ' (t)t xo

x tdf ' (t)xox ... ( x xo ) f ' ( xo ) x( f ' ( x) f ' ( xo ) tf "(t)dtxox x ... ( x xo ) f ' ( xo ) x f "(t )dt tf "(t )dtAkhirnya diperoleh:

xo xo

Metoda Numerik hal. 9f ( x)

xf ( x0 ) ( x xo ) f ' ( xo ) ( x t) f "(t)dtxo

... dst.

1 x ... f "(t )d ( x t ) 22 x

... dst.

f ( x)

f ( xo

o) x xo f ( )1!y Cp2(x R3(x)

p1(x y =

A p0(xB

R2(x)

R1(x)

f(x0 f(xA Cx0 x xGambar 4 Interpretasi Deret Taylor secara geometris

Secara geometris artinya:

CC ' AA'

A' C ' tan 14243kesalahan

pemotongan AA' A' C ' BC AB {AA' p0 ( x)

{BCR1 ( x)( x x0 ) f '( )

Jadi kesalahan pemotongan

Metoda Numerik hal. 10Rn1

n1( x) ( x xo ) f ( n1) ( )(n 1)!

konstanta ( x xo )

n1

n 1

konstanta xRn+1 (x) disebut sebagai kesalahan pemotongan order n+1 atau O(xn+1).

1.2. Bilangan Dalam Komputer

Komputer menyajikan bilangan dalam 2 mode yaitu (1) Integer, (2) Floating point.

Basis bilangan yang digunakan dalam komputer jarang sekali yang decimal (basis 10). Hampir semua komputer memakai basis 2 (binari) atau variannya seperti basis 8 (octal) dan basis 16 (hexadecimal).

Contoh:

a. Pada basis 2, semua bilangan terdiri dari 2 angka yaitu 0 dan 1.

Jadi (11011.01)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 + 0.2-1 + 1.2-2 = 27. 25b. Pada basis 16, semua bilangan terdiri dari/dinyatakan dengan angka 0, 1, , 9,

A,B, ,FJadi (56C.F)16 = 5.1612+ 6.161 + 12.160 + 15.16-1 = 1338.9375Jika basis bilangan suatu komputer adalah , maka suatu bilangan non-zero xdisimpan didalam bentuk.

x = (.a1a2a3 at) . edengan = -1 atau + 1, 0 a1 -1, e = integer, dan

a a a

La a1 a2 L at 1 2 3

t 1 2 t

dengan disebut tanda, e disebut eksponen L e U, (a1a2a3 at) disebut mantissa, dan disebut radix.

Akurasi dari sajian floating-point suatu komputer. Unit pembulatan, ,suatu komputer adalah suatu bilangan positip terkecil yang mempunyai sifat bahwa

1 + > 1

Nilai nol, , suatu komputer adalah suatu bilangan positip terkecil dimana

1 + > 1

Secara praktis dan dapat dihitung sbb:Metoda Numerik hal. 11 = 1.0

10 = /2.0If (1.0 + .GT. 1.0) GOTO 10 = * 2.01.2.1. Underflow and Overflow

Jika suatu bilangan tidak mampu direpresentasikan oleh komputer karena e U, maka akan terjadi under/overflow.

Jadi setiap bilangan harus berada dalam interval

xL |x| xUdengan xL = L-1 dan xU = (1 -t)L-1Dalam FORTRAN:

Jika suatu hasil hitungan, |x| xU, maka akan terjadi overflow error dan program akan berhenti.

Jika suatu hasil hitungan, |x| xL, maka akan terjadi underflow error

biasanya x nilainya menjadi nol dan hitungan terus berlanjut.1.3. Definisi dan Asal error

Dalam penyelesaian suatu masalah, dikehendaki jawaban yang sejati, yang disimbolkan sebagai xT, tetapi biasanya jawaban pendekatanlah yang didapat (ini

disimbolkan sebagai xA).

Error ( x A ) xT x AUntuk banyak keperluan, bukan error mutlak yang dikehendaki melainkan

error relatif dari xA yang dibutuhkan:

Rel( x A

) xT x A , x 0xTContoh:

xT e 2.7182818... ,

19x A 7

2.7142857...

Jadi:

Error( x A ) 0.003996... ,

Rel( x A ) 0.00147...

Metoda Numerik hal. 121.3.1. Angka signifikan (significant digits)Nilai xA dikatakan mempunyai m angka signifikan terhadap xT, jika kesalahan (xT-xA) mempunyai nilai 5 pada (m+1) angka dihitung ke kanan dari angka non- zero didalam xT.

Contoh:

1) x

1 0.3 3333...

x 0.333

x x

1 2 3 4 0. 0 0 0 3T 3 , A

, T Akarena pada angka ke 4 kesalahannya < 5, maka

x A dikatakan mempunyai 3angka signifikan, sehingga

x A 0.333 .1 1 2

3 4 52) xT

2 3.496

x A 23.494

xT x A

0 0. 0 0 2karena pada angka ke 5 kesalahannya < 5, maka

x A dikatakan mempunyai 4angka signifikan, sehingga

x A 23.49 .3) xT

1 0.0 2138

x A 0.02144

xT x A

1 2 3 0.0 0 0 0 6karena pada angka ke 3 kesalahannya < 5, maka

x A dikatakan mempunyai 2angka signifikan, sehingga

x A 0.021 .1.3.2. Asal dari error1. Simplifikasi dan asumsi yang digunakan untuk merubah peristiwa alam ke dalam formula matematik.

2. Kesalahan/keteledoran : kesalahan aritmatik dan programming.

3. Ketidakpastian dalam data.

4. Kesalahan mesin.

5. Kesalahan matematis dalam kesalahan pemotongan

1.4. Rambatan Error

Ditentukan semua operasi aritmatik digantikan dengan tanda . Jadi : + - / dan : + - / versi komputer Misalkan xA dan yA adalah bilangan yang akan digunakan dan kesalahannya terhadap xT dan xT adalah

xT x A

dan

yT y A

Metoda Numerik hal. 13 Jika dilakukan hitungan xA yA, maka kesalahannya adalahxT

yT x A w

y A xT

yT x A

y A x A

y A x A w

y A 144424443I

144424443II

I = kesalahan karena rambatan (propagated error) II = kesalahan karena rounding ataupun choping

1.4.1. Propagated Error pada Perkalian

xT yT x A y A xT yT ( T )( yT )

xT yT Rel( x A

y ) xT yT x A y A xT yT yT

xT

T yT Rel( x A ) Rel( y A ) Rel( x A ).Rel( y A )Jika

Rel( x A ) , Rel( y A )