1

4.1. HUKUM KEKEKALAN MASSA

4.1.1. Persamaan umum.

Formulasi persamaan kekekalan masa dalam bentuk differensial bisa didapatkan dengan menerapkan persamaan integral kekekalan massa pada suatu control volume yang cukup kecil

dan diletakkan tidak menyentuh dinding sehingga harga di seluruh permukaannya tidak sama dengan nol. Untuk memudahkan analisa, control volume ini dipilih berbentuk balok dengan sisi dx, dy, dan dz dimana notasi x, y, dan z melambangkan sumbu-sumbu pada koordinat cartesian.

Gambar XXX.

Bila diterapkan pada situasi diatas, maka persamaan kekekalan massa yang semula:

akan menjadi:

[4-1]dimana adalah isi total dari control volume dan integral dA pada masing-masing bidang permukaan i akan sama dengan Ai.

Dengan menggunakan aturan rantai (chain rule) suku pertama dari persamaan [4-1] dapat diuraikan menjadi:

[4-2]

Suku kedua persamaan [4-1] menunjukan besarnya massa yang masuk serta yang keluar dari ruang control volume melalui bidang-bidang permukaannya. Bila Vx adalah komponen kecepatan pada arah sumbu x masuk ke dalam ruang control volume secara tegak lurus

menembus penampang ABCD, maka . Dengan demikian, total massa yang

masuk melalui bidang ini adalah sebesar . Pada saat keluar melalui bidang di hadapannya (bidang EFGH), besarnya massa ini telah berubah menjadi

sehingga jumlah neto massa yang masuk dan keluar control volume pada arah sejajar sumbu x adalah sebesar:

[4-3a]

2

Bila Ax dianggap tidak berubah sepanjang dx, tetapi tetap sebesar Ax = dx dz maka;

[4-3b]Dengan cara yang sama dapat dicari jumlah neto massa pada arah sejajar sumbu y dan z, sehingga

[4-4]

Substitusi persamaan [4-2] dan [4-4] kedalam persamaan [4-1] akan menghasilkan persamaan umum kekekalan massa dalam bentuk differensial:

[4-5]

4.1.2. Contoh-contoh Penerapan.

1. Turunkan persamaan [4-5] untuk suatu situasi dimana volume fluida yang menempati ruang control volume dapat dianggap tidak berubah menurut waktu.

Solusi: Bila volume tetap dari waktu ke waktu maka:

sehingga:

Atau

Dengan memanfaatkan definisi-definisi:

dan

∇≡ ∂∂ x

i⃗+ ∂∂ y

j⃗+ ∂∂ z

k⃗

3

dimana masing-masing vektor i, j, k adalah vektor yang searah dengan sumbu-sumbu x,

y, z. Dengan demikian dan persamaan diatas dapat ditulis secara ringkas sebagai

2. Turunkan persamaan [4-5] untuk suatu situasi dimana fluida yang ditinjau layak untuk diasumsikan bersifat incompressible

Solusi: Incompressible artinya, untuk jenis fluida yang ditinjau, perubahan kerapatan massa

menurut ruang dan waktu kecil sekali sehingga layak untuk diabaikan. Sehingga:

dan persamaan [4-4] direduksi menjadi:

3. Persentasikan example 5.2 pp 187-188.

4. Persamaan [4-3b] menganggap Ax tidak berubah sepanjang dx. Untuk penerapan pada alur sungai, baik lebar sungai (dy) maupun kedalaman air (dz) mungkin saja berubah sepanjang dy. Bila air sungai dianggap incompressible fluid, turunkan persamaan differensial kekekalan massa untuk kasus 1-D. Asumsikan lebar sungai konstan sebesar B (sehingga dy B) dan kedalaman air sebagai h yang berubah sepanjang x sehingga dz  h(x).

Solusi: Persamaan untuk situasi 1-D incompressible flow, bisa didapatkan dengan

mensubstitusikan persamaan [4-2] dan [4-3a] ke dalam persamaan [4-1], kemudian mengeliminasi suku-suku yang mengandung bentuk turunan terhadap jarak maupun waktu. Hasilnya adalah:

Sehingga didapatkan

Persamaan ini dikenal sebagai bagian dari persamaan Saint Venant untuk kekekalan massa, yang merupakan dasar dari perumusan model aliran unsteady non-uniform di saluran terbuka.

4

4.2. HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM

4.2.1. Persamaan Umum

Tinjauan terhadap persamaan kekekalan momentum dapat diterapkan pada control volume yang identik dengan yang dipakai di dalam menganalisa persamaan kekekalan massa pada butir 4.1 di atas. Pada bagian terdahulu telah diperlihatkan bahwa bentuk persamaan kekekalan momentum dapat dituliskan sebagai:

Agar mudah diikuti, akan diturunkan untuk yang searah dengan sumbu x terlebih dahulu:

Atau

[4-2.1]Untuk kondisi dimana volume tidak berubah menurut waktu dan luas penampang A tidak berubah menurut x maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

Atau

[4-2.2]

Secara umum, bukan hanya untuk fluida, gaya-gaya luar yang bekerja pada permukaan control volume terdiri dari tegangan normal (normal stress; ditimbulkan oleh tegangan yang arahnya tegak lurus bidang) dan tegangan geser (shear stress; ditimbulkan oleh tegangan yang arahnya sejajar bidang) seperti tergambar:

Gambar (XYZ-fig 5.2 pp190)

Seperti terlihat pada gambar, tegangan dilambangkan oleh ij dimana i=x, y, z dan j=x, y, z. Untuk tegangan normal i=j. Sedangkan untuk tegangan geser bila ij. Dengan demikian, pada arah x, akan berlaku:

5

[4-2.3]Dengan memasukkan persamaan ini ke dalam persamaan [4-2.2] akan didapatkan

Atau

[4-2.4a]Dan dengan cara penurunan yang sama akan didapatkan persamaan untuk sumbu y dan z sebagai berikut:

[4-2.4b]

[4-2.4c]

Sebagai alternative persamaan [4-2.4] ini dapat dituliskan dalam bentuk substantial derivative, menjadi:

[4-2.5]Atau

atau lebih ringkas lagi

[4-2.6]dimana matriks stress tensor () dan percepatan gravitasi (g) adalah

6

dan

4.2.2. Persamaan Euler

Apabila persamaan [4-2.6] diterapkan pada fluida dengan menganggap besarnya tegangan geser akibat viskositas tidaklah berarti dibandingkan dengan besarnya tegangan normal, dan tegangan normal yang bekeja adalah tekanan statis (p) yang mengarah ke arah dalam ruang control volume, maka matriks stress tensor akan menjadi

Selanjutnya, dengan memasukkan gx= gy =0 dan memilih tanda positip untuk arah ke atas pada sumbu vertikal sehingga gz= -g, maka matriks percepatan gravitasi g=-g. Dengan demikian, persamaan [4-2.5] dapat ditulis sebagai:

Persamaan Euler, yang mengabaikan tegangan geser ini, dapat ditulis secara ringkas sebagai:

[4-2.7]dimana vektor k adalah vektor yang searah dengan sumbu vertikal positip. Persamaan terakhir ini dikenal sebagai persamaan Euler.

4.2.3. Persamaan Navier-Stokes

Pada banyak jenis fluida, hubungan antara komponen-komponen tegangan dengan gradien kecepatan (velocity gradient), seringkali bersifat linear. Fluida seperti ini, disebut sebagai Newtonian Fluids. Apabila sifat linearity ini sama pada arah sumbu x, y, maupun z, maka fluida ini juga memiliki sifat isotropic. Air dan udara umumnya dikategorikan pada jenis ini.

Dalam bab terdahulu telah diperlihatkan bahwa bila s adalah sumbu pada arah yang tegak lurus terhadap bidang dimana bekerja, maka rasio antara dengan gradient kecepatan (

) yang menimbulkannya akan sama dengan viskositas (), sehingga:

Persamaan ini, hanya berlaku untuk Isotropic Newtonian Fluid yang diasumsikan sebagai incompressible. Untuk fluida jenis ini, ditambah dengan asumsi bahwa viskositas dianggap konstan menurut ruang dan waktu, maka stress tensor dapat dituliskan sebagai:

7

Dan dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan [4-2.6] akan didapatkan persamaan Navier-Stoke sebagai berikut:

Atau

[4-2.8]

4.3. CONTOH PENERAPAN.

1. Example 5.4 pp1932. Perlihatkan hubungan antara persamaan Euler dengan persamaan penyebaran tekanan

Solusi: Bentuk turunan kecepatan terhadap waktu sebenarnya adalah percepatan a (lihat bab

3.1.4.). Dengan demikian, persamaan Euler

, juga dapat ditulisakan sebagai:

,yang bila dituliskan secara lebih rinci akan menjadi:

8

atau

Perlu dicatat bahwa, disini percepatan gravitasi ditetapkan positip bila searah sumbu cartesian. Umumnya, percepatan gravitasi pada arah vertikal gz=-g dan tidak ada percepatan gravitasi pada arah lainnya.

Pada situasi dimana tekanan bervariasi menurut ruang, maka p=p(x,y,z) sehingga bentuk derivativenya adalah

.Maka:

.yang merupakan persamaan penyebaran tekanan seperti yang telah diturunkan pada Bab 3.1.4.

3. Diketahui bahwa untuk saluran terbuka;

dan tekanan air setinggi h dari dasar saluran sebesar p =  g(h+z). Dasar saluran

mempunyai kemiringan sebesar sehingga . Turunkan persamaan momentum untuk saluran terbuka dari persamaan [4-2.4a]

Solusi:

9

4. Perlihatkan bahwa persamaan Bernouli adalah persamaan momentum bila dipakai asumsi-asumsi:

a. steady. ;b. Laju kehilangan energy h sepanjang x didefinisikan sebagai

c. Tinjauan 1-D pada sistem yang mempunyai kemiringan terhadap sumbu

horizontal sebesar Solusi:

Sehingga:

10

BAGIAN IIALIRAN AIR PADA PIPA

Orientasi dan Asumsi.Bagian ini akan membicarakan penerapan praktis ilmu mekanika fluida pada kasus dasar perencanaan jaringan pipa distribusi air bersih dimana aliran air umumnya diasumsikan steady, 1-D dan incompressible. Rumus utama bagi perencanaan, pada dasarnya merupakan penyederhanaan persamaan Navier-Stoke (kekalan momentum dalam bentuk persamaan [4.2.8] ) sedemikian rupa sehingga hanya mengandung faktor-faktor “penggerak” (driving force) dan “penghambat” aliran yang dominan pada kondisi aliran air di jaringan pipa distribusi air bersih. Disini, faktor penggerak yang dominan adalah velocity head (suku

v2/2g ) dan piezometric head ( p/γ+z ). Sedangkan faktor penghambat, yang menyebabkan “kehilangan” energy, yang dipandang dominan adalah gesekan dinding dan turbulensi

Persamaan Dasar

PERSAMAAN KEKALAN MASA

DDt ∫∀SYS

ρ d ∀=0

karena

DDt ∫∀SYS

d ∀= ddt ∫∀CV

d ∀+∫A CV

(V⃗⋅n⃗ ) dA

maka

ddt ∫∀CV

ρ d ∀CV+∫ACV

ρ V⃗⋅⃗n dACV =0[5.1]

Penerapan rumusan ini menjadi rumusan kerja dapat dapat diilustrasikan pada percabangan

situasi T berikut ini

11

V 1

V 3

A 1

A 3 A 2

V 2

Secara skematis situasi yang dipersoalkan dapat digambar sebagai berikut

V2

V3

V1

A1

A2A

3

B a ta s ru a n g c o n tro l v o lu m e

Perhatikan bahwa bentuk ruang control volume tidak perlu harus ketat mengikuti bentuk

benda yang ditinjau. Disini dipilih bentuk yang sederhana saja yaitu bentuk persegi empat.

Perlu ditekankan bahwa integrasi dA≠0 hanya pada perbatasan ruang control volume yang

ditembus oleh V saja, sehingga

ddt ∫∀CV

ρ d ∀=−∫A CV

ρ V⃗⋅⃗n dA

=−∫A1

ρ V 1 dA+∫A2

ρ V 2 dA+∫A3

ρ V 3 dA[5.2]

Bila V adalah uniform di masing-masing A dan masa jenis adalah konstan menurut ruang

dan waktu, maka suku disebelah kanan tanda sama dengan menjadi

−∫A1

ρ V 1 dA+∫A2

ρ V 2 dA+∫A3

ρ V 3 dA =−ρ V 1 A1+ ρ V 2 A2+ρ V 3 A3

= ρ (−V 1 A1+V 2 A2+V 3 A3)dan suku disebelah kiri tanda sama dengan menjadi

12

ddt∫∀CV

ρ d ∀=ρd ∀CV

dt

Substitusi kedua persamaan ini kembali ke perssamaan [9] akan didapat

ρd∀CV

dt=ρ (−V 1 A1+V 2 A2+V 3 A3)

d∀CV

dt=−V 1 A1+V 2 A2+V 3 A3

[5.3]

Mengingat bahwa CV adalah volume air didalam ruang control volume (dan bukan volume

dari ruang itu sendiri) yang dalam kasus ini adalah tetap menurut waktu (percabangan T

selalu penuh terisi air), maka d/dt=0 sehingga persamaan [5.3] dapat disederhanakan

menjadi

V 1 A1=V 2 A2+V 3 A3

Bentuk persamaan ini mungkin telah dikenal semenjak di sekolah menengah, tetapi dengan

mengikuti setiap detil langkah penurunannya dari persamaan [5.1] diharapkan dapat

dimengerti seluruh asumsi untuk menyederhanakan masalah yang telah dilakukan.

PERSAMAAN KEKALAN MOMENTUM DAN KEKEKALAN ENERGY

Suatu titik yang dalam sistim cartesian mempunyai koordinat (x,y,z), bila dituliskan dalam koordinat silinder akan menjadi (x, r sin , r cos). Koordinat silinder, memudahkan kita untuk memahami arti fisik suku-suku didalam persamaan aliran fluida yang mengalir di dalam pipa yang berbentuk silindris. Dalam kerangka pikir koordinat silindris ini, kecepatan V dapat diuraikan menurut komponen yang searah dengan sumbu x, searah sumbu r, dan searah perputaran sudut yang masing masing dinotasikan sebagai Vx,, Vr, dan V.

Persamaan Navier-Stoke pada pipa silindris

13

1-D

ddt∫

cv

ρV x d∀+∫scv

ρ V x (V⃗⋅⃗n ) dA−F⃗x=0

F⃗x=(∂ τ xx

∂ x+∂ τ yx

∂ y+∂ τ zx

∂ z+ρ gx)∀

Maka

Persamaan aliran pada pipa (persamaan Bernouli) adalah persamaan momentum diatas bila dipakai asumsi-asumsi:a. steady. ;b. Laju kehilangan energy h sepanjang x didefinisikan sebagai

∂ ( Δh )∂ x

≡ 1ρg (∂ τ yx

∂ x+∂τ zx

∂ y )c. Tinjauan 1-D pada system yang mempunyai kemiringan terhadap sumbu horizontal sebesar

Sehinga

14

Sehingga:

Sering dituliskan sebagai(V 2

2g+ p

γ+z )

X2

=( V 2

2 g+ p

γ+z)

X 2

+Δh Δx

Dimana suku h x adalah total kehilangan enegri sepanjang dx.

Kehilangan EnergiKehilangan energi (energy loss), yang umumnya disajikan dalam bentuk head loss (h), dapat dibagi dalam dua kategory; (I) major losses - yang mempengaruhi aliran disepanjang alur pipa, dan (ii) minor losses - yang pengaruhnya bersifat lokal seperti pada perubahan diameter, tikungan dlsb.

Mekanisme terjadinya major losses, dapat dipahami melalui teory viskositas sebagai elemen terpenting Teory yang dapat dipakai sebagai dasar untuk

RUMUSAN TEORITIS KEHILANGAN ENERGI SEPANJANG PIPA AKIBAT GESEKAN DINDING

Pengaruh Viskositas Terhadap Bentuk Profil Penyebaran Kecepatan.

Aliran sutau fluida dapat dibayangkan sebagai aliran dari berjuta-juta partikel 1 fluida. Apabila dua buah partikel yang saling bersebelahan mempunyai kecepatan yang berbeda, maka diantara kedua partikel ini akan timbul tegangan gesek (shear stress). Viskositas, yang rumusan matematisnya adalah sebagai berikut ini;

1 Yang dimaksud dengan kata partikel disini, adalah suatu benda konseptual yang terdiri dari sekelompok molekul pembentuk fluida. Molekul-molekul dalam kelompok ini sedemikian sedikitnya sehingga dapat dianggap selalu bergerak secara bersamaan sebagaimana satu buah benda pejal yang utuh. Meskipun jumlah molekulnya sedikit, tetapi sifat partikel sepenuhnya sama dengan sifat makroskopis fluida yang dibentuknya dan tidak dipengaruhi lagi oleh sifat-sifat molekuler yang mengakibatkan prasyarat continuum mechanic tidak terpenuhi.

15

memberikan gambaran timbal balik antara besarnya gaya gesek persatuan luas dengan perbedaan kecepatannya (lihat gambar 1.6 pp 41). Artinya, kenaikan perbedaan kecepatan akan menimbulkan kenaikan gaya gesek persatuan luas sebesar .

Dari sudut pandang lain, viskositas dapat dipandang sebagai tingkat kelekatan suatu partikel air terhadap partikel air lain disekelililingnya. Misalnya, seperti terlihat pada ganbar berikut ini, sebuah ban berjalan kita letakkan bersentuhan dengan permukaan air suatu saluran terbuka. Air di saluran pada mulanya diam, kemudian ban berjalan digerakkan dengan putaran pada arah berlawanan dengan jarum jam. Disebabkan oleh “lekatan” tegangan gesek antara ban berjalan dengan partikel yang terletak dipermukaan, maka partikel ini akan bergerak selaras dengan gerak ban berjalan. Akibatnya, antara partikel air yang teratas ini dengan partikel air dibawahnya, akan timbul gaya gesekan sebesar .Bagi partikel yang di sebelah atas, gaya gesekan ini akan mengarah kekiri dan bagi partikel dibawahnya mengarah kekanan searah dengan arah gerak partikel diatasnya. Untuk memahami hal ini, kedua partikel diatas dapat dibayangkan sebagai dua buah mobil, yang satu bergerak kearah kanan sedangkan yang satunya lagi diam. Apabila kedua mobil ini bergesekan, maka mobil yang bergerak kearah kanan akan tergores memanjang kearah kiri.

Sedangkan mobil yang diam akan tergores memanjang kearah kanan. Arah goresan ini, menggambarkan bagaimana sebuah gaya gesekan yang sama memberi arah gesekan yang berlawanan pada masing-masing mobil.

Kembali pada persoalan partikel diatas, gerak partikel air dipermukaan kearah kanan, bagi partikel dibawahnya akan terasa sebagai gaya gesekan yang juga mengarah kekanan. Selanjutnya, gaya gesekan ini akan menyebakan partikel inpun akan turut bergerak kearah kanan. Sehingga, seakaan-akan kedua partikel tadi saling “melekat”. Dengan mekanisme seperti ini, gerak kearah kanan partikel air yang terletak dipermukaan akan dijalarkan pada partikel-partikel dibawahnya.

Daya “lekat” antar partikel oleh adanya viskositas yang mengakibatkan gerak dua partikel saling mempengaruhi akan disebut sebagai tegangan kekentalan (viscous stress). Pada kasus ban berjalan diatas, tegangan kekentalan menjalarkan dorongan gerak kearah kanan yang dialami oleh partikel-partikel permukaan ke partikel-partikel dibawahnya, sampai ke partikel terbawah yang letaknya bersebelahan dengan dinding saluran.

Pada saat partikel air yang terbawah ini turut bergerak kekanan, maka akan timbul gaya gesek pada sisi yang bersentuhan dengan dasar saluran. Karena dasar saluran tidak mungkin bergerak, maka gaya gesekan ini akan menjadi “penghambat” gerak partikel tersebut. Hambatan ini, oleh tegangan kekentalan, akan dijalarkan pada partikel-partikel diatasnya sampai ke permukaan.

Interaksi antara dorongan untuk bergerak dari arah permukaan dan hambatan yang ditimbulkan oleh dasar saluran inilah menyebabkan terjadinya perbedaan kecepatan di titik-titik yang kedalamannya berbeda sehingga terbentuk “profil penyebaran kecepatan”. Pada

16

kasus ban berjalan diatas, profil penyebaran kecepatannya berbentuk parabolis dimana kecepatan maksimum terdapat pada permukaan air dan nol pada dasar saluran.

Didalam pipa silindris, bentuk tipikal profil aliran adalah parabolis seperti tergambar. Mengingat bahwa terjadinya bentuk ini terutama adalah akibat tegangan kekentalan, maka profil kecepatan parabolis merupakan ciri dari jenis aliran viscous. Pada aliran inviscid, dimana viskositas cairan kecil sekali sehingga tegangan kekentalan dapat dianggap nol, maka profil kecepatan tidak akan berpola parabolis tetapi berpola seragam.

Peran dari viskositas ini dapat terlihat lebih jelas bila kita mengamati perubahan bentuk profil aliran dari suatu cairan yang baru saja meninggalkan outlet suatu bejana dan masuk kedalam pipa silindris seperti tergambar dibawah ini.

Pada gambar ini, kecepatan di bidang penampang melintang terhulu (di titik outlet) dimisalkan uniform sehingga kecepatan di dekat dinding dan di tengah penampang sama besarnya dan diagram kecepatan akan berbetuk persegi empat. Semakin kehilir, pengaruh hambatan dinding semakin meluas kearah pusat penampang dirambatkan oleh tegangan kekentalan. Akhirnya seluruh penampang dipengaruhi oleh hambatan dinding. Akibatnya, profil kecepatan semakin kehilir bentuknya semakin nyata berubah menjadi parabolis.

Antara titik outlet sampai ke titik dimana seluruh penampang melintang dipengaruhi oleh hambatan dinding (sepanjang Li), tejadi dua lapisan dengan sifat aliran yang berbeda;. (i) dipusat penampang aliran bersifat inviscid dan (ii) semakin mendekati dinding aliran berubah sifat menjadi aliran viscous. Garis maya yang merupakan batas dimana sifat aliran ini berubah disebut bidang dinding viscous (viscous wall layer). Bagian dalam “kerucut” yang dibentuk oleh bidang ini, dikenal sebagai inviscid core.

Setelah melalui daerah inviscid core, profil kecepatan sepenuhnya telah berbentuk parabolis. Tetapi proses perubahan bentuk profil kecepatannya tidak langsung terhenti, melainkan masih berlanjut beberapat saat kearah hilir sebelum akhirnya benar-benar tidak berubah. Jarak antara titik outlet dengan titik dimana profil kecepatan telah stabil dikenal sebagai

Viscous flow region

Viscous wall layer

Inviscid flow region

Inviscid core length

Entrance length (Le)

Profile development region

Developed laminarflow region

(a) Profil kecepatan 0 (b) Profil kecepatan 0

17

entrance length (Le). Dari pengamatan pada berbagai percobaan, selama aliran bersifat laminar, didapat hubungan empiris;

dimana D adalah diameter pipa dan Re adalah bilangan Reynold yang untuk pipa silindris ReVD/. Disini adalah viskositas kinematis (kinematic viscousity) yang besarnya =/, dan adalah massa jenis cairan.

Persamaan Profil Kecepatan

Telah diuraikan diatas bahwa, akibat tegangan kekentalan, profil kecepatan cenderung berubah menjadai parabolis. Apabila tidak ada gangguan hidrolis lainnya (seperti belokkan tajam (elbow), katup, percabangan (tee), dlsb), maka pada setelah menempuh jarak sepanjang Le bentuk profil kecepatan akan stabil. Persamaan Kecepatan hanya dapat diturunkan secara teoritis apabila keadaan stabil ini telah tercapai.

Penurunan persamaan dapat dilakukan berangkat dari persamaan momentum, dimana

Untuk tinjauan dalam keadaan steady, suku pertama dari persamaan di sebelah kanan tanda sama dengan akan sama dengan nol. Selanjutnya, diasumsikan bahwa tidak terjadi perubahan momentum ketika aliran melintasi control volume, sehingga suku keduapun akan sama dengan nol. Dengan demikian persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi persamaan keseimbangan gaya dalam keadaan statis:

Gaya-gaya yang bekerja pada control volume adalah tekanan statis diseluas bidang penampang kiri dan kanan (Fp), total gaya gesekan diseluas selimut silinder control volume (F), dan komponen berat air yang searah sumbu pipa (Wx).

Dari gambar ini terlihat bahwa:

dan

sedangkan

sehingga

18

atau

yang dapat disusun menjadi

Bila dipakai harga sin =-dh/dx, dimana h adalah jarak vertikal dari datum ke sumbu pipa, maka

Atau

sehingga

Apabila kedalam persamaan terakhir ini dimasukkan definisi dari tegangan geser dengan memakai notasi yang sesuai, maka akan didapatkan:

Atau

Dengan demikian, persamaan kecepatan akan didapatkan dengan mengintegralkan persamaan terakhir yang didapatkan ini, yaitu

Untuk mencari konstanta C yang timbul akibat prosedur integral, dipakai harga V pada titik yang terletak di dinding pipa. Di titik ini, dimana r=ro, kecepatan akan sama dengan nol (perhatikan bentuk profil kecepatan), sehingga

19

Hasil substitusi harga C ini kedalam persamaan asalnya adalah

[3-1]

Persamaan ini, merupakan persamaan kecepatan yang bila digambar akan membentuk profil parabolis.

Seperti diuraikan pada bab 1 di awal Bagian II ini, didalam meninjau aliran didalam pipa, umumnya aliran diasumsikan uniform, dalam arti variasi kecepatan di titik-titik yang terletak pada bidang penampang melintang yang sama akan diabaikan. Dengan demikian, untuk satu penampang melintang hanya akan ada satu harga kecepatan saja. Untuk memenuhi asumsi ini, besarnya kecepatan kecepatan yang dipakai biasanya adalah kecepatan rata-rata ( ) pada penampang tersebut. Besarnya kecepatan rata-rata ini umumnya didefinisikan sebagai

sehingga untuk kasus aliran dalam pipa silindris akan menjadi

yang hasilnya adalah

[3.2]

Persamaan Kehilangan Energy

Suku d(p+h)/dx didalam persamaan [3.2] menggambarkan besarnya penurunan tekanan untuk lintasan sepanjang sepanjang dx. Dengan kata lain, suku ini adalah kemiringan di tiap titik pada garis lengkung hasil plot tekanan terhadap jarak. Sebenarnya, apabila bentuk profil kecepatan telah stabil, kemiringan inipun akan konstan. Artinya hasil plot tekanan terhadap jarak bukan merupakan garis yang melengkung, melainkan garis lurus. Dengan demikian, bila total penurunan tekanan pada pipa sepanjang L adalah sebesar p, maka p/L = d(p+h)/dx. Sehingga persamaan [3.2] dapat dituliskan sebagai;

atau

20

[3.3]Persamaan terakhir ini, dapat dipakai untuk memperhitungkan besarnya penurunuan tekanan secara teoritis. Bila dibandingkan dengan penerapan praktis dilapangan, acapkali terdapat bias yang cukup berarti. Bila dikaji lebih mendalam, bias ini terjadi terutama dikarenakan aliran dalam pipa yang terjadi dilapangan jarang yang bersifat benar-benar laminer. Pada sebagian besar kasus, yang terjadi adalah aliran turbulen. Hal inilah yang mendasari perlunya perumusan penurunan tekanan pada aliran turbulen.

Sebelum melakukakan menyajikan rumusan kehilangan tekanan akibat gesekan dinding pada aliran pipa yang turbulen, akan dipaparkan terlebih bentuk penulisan persamaan [3.3] yang mengakomodasikan indikator tingkat laminer-turbulennya suatu aliran. Seperti diketahui, suatu aliran bersifat laminer atau turbulen dapat dikenali melalui besarnya bilangan Reynold yang terjadi. Definisi bilangan Reynold menyatakan bahwa ReVD/. Apabila di persamaan definisi ini dibuat eksplisit menjadi

kemudian disubstitusikan kedalam persamaan [3.3], maka akan didapatkan;

Dalam prakteknya dilapangan besarnya kehilangan tekanan p dinyatakan dalam “tinggi tekanan” dengan notasi h dan satuan meter. Konversi satuan dilakukan melalui h=p/. Mengikuti kebiasaan ini persamaan diatas akan menjadi

ΔH= Δpγ=64

ReLD

V̄ 2

2 gDengan mendefinisikan koefisien kehilangan tekanan akibat gesekan dinding f sebagai f 64/Re, maka

ΔH=fLD

V̄ 2

2 g [3.4]Perlu dikemukakan bahwa perumusan persamaan [3.4] dan [3.3] sebenarnya identik dalam arti keduanya memuat asumsi yang sama. Dengan demikian, dalam penerapannya keduanya menuntut persyarata kondisi yang sama. Penulisan secara persamaan [3.4] lebih umum dipakai karena mengakomodasikan bilangan Reynold dan diformulasikan dalam format bentuk umum persamaan kehilangan energi dimana

[3.5]

21

dimana untuk kasus yang sedang dibahas, koefisien k=fL/D

PERSAMAAN KEKEKALAN MASSA

Pada control volume

atau

Dimana

dan

Sehingga

atau

22

PERSAMAAN KEKEKALAN MOMENTUM

Pada suatu control volume bentuk persamaan kekekalan momentum dapat dituliskan sebagai:

Untuk arah sumbu x:

Atau

Sedangkan

Sehingga

23

Bila

1)

2) 3) tekanan air setinggi h di dasar saluran sebesar p =  gh.

4)

5)

Maka

PERSAMAAN ALIRAN DI SALURAN TERBUKA (PERS. SAINT VENANT)(kondisi 1-D, Unsteady, NonUniform)

kekekalan massa

kekekalan momentum

24

KEHILANGAN ENERGY AKIBAT GESEKAN DINDING

Semi Empiris:

Chezy:

Manning:S f=

n2 V 2

3√R4 (dalam metrik)

1-D, STEADY, UNIFORM

Artinya:

Steady

∂∂ t

=0

Uniform

∂∂ x

=0

Kekekalan momentum menjadi

S f=S0

Memakai Manning

n2V 2

3√R4=S0

n2 V 2

3√R4=S0

V=1

nR

23 √S0

Memakai Chezy V= 1

C √R S0

Kekekalan momentum menjadi: Q=AV

1-D, STEADY, NON-UNIFORM

kekekalan massa

∂ (h V x )∂ x

=0

∂Q∂ x

=0

Q1−Q1

Δx=0

Q1−Q1=0

25

hx1 Vx1= hx2 Vx2

kekekalan momentum

Vg∂V∂ x

+ ∂h∂ x

+( S f+∂ z∂ x )=0

Vg∂V∂ x

+ ∂h∂ x

+∂ z∂ x

+ S f=0

∂( V 2

2 g )∂ x

+ ∂ h∂ x

+ ∂ z∂ x

+ S f =0

∂( V 2

2 g+h+z )

∂ x+ S f =0

( V 2

2 g+h+z )

1

−( V2

2 g+h+z )

2

Δx+ S f =0

(V 2

2g+h+z )

2−( V 2

2g+h+ z)

1= S f Δx

(V 2

2 g+h+z )

2−( V 2

2 g+h+ z)

1= Δx( n2 V 2

3√R4 )