PENDAHULUAN

Mekanika merupakan cabang ilmu fisika yang berhubungan dengan benda, yaitu ilmu yang

mempelajari gerak benda, baik benda yang diam (statis) maupun benda yang bergerak (kinematika

dan dinamika). Kinematika merupakan ilmu fisika yang mempelajari gerak suatu benda tanpa

memperhatikan penyebab gerak benda tersebut, sedangkam dinamika merupakan ilmu fisika yang

mempelajari gerak suatu benda dengan memperhatikan atau memperhitungkan penyebab gerak

benda tersebut. Masalah mekanika merupakan hal yang cukup penting dalam perkembangan ilmu

fisika untuk kita pelajari karena masalah mekanika sangat erat kaitannya dengan peristiwa yang

tejadi dalam kehidupan kita sehari-hari. Sebagaimana kita ketahui bahwa fisika merupakan ilmu

yang mempelajari gejala alam yang dapat diamati dan diukur, dan kasus mekanika merupakan

salah satu gejala alam yang dapat diamati dan diukur.

Dalam perkembangannya, mekanika dibagi dalam menjadi dua yaitu mekanika klasik dan

mekanika kuantum. Mekanika klasik dititik beratkan pada benda-benda yang bergerak dengan

kecepatan jauh dibawah kecepatan cahaya, sedangkan mekanika kuantum dititik beratkan pada

benda-benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya.

MEKANIKA LAGRANGE

Mekanika Lagrange merupakan suatu metode penyelesaian persoalan mekanika

yang tidak mudah diselesaikan dengan Mekanika Newton. Posisi sebuah partikel dalam l ruang

dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat kartesian,

koordinat polar atau koordinat silinder. Dimisalkan jika suatu partikel bergerak dalam suatu bidang

(memiliki derajat kebebasan 2 yaitu sumbu x dan y), dalam suatu ruang (memiliki derajat

kebebasan 3 yaitu sumbu x, y, dan z). Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka

diperlukan paling kurang 3 N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum,

terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem.

Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan:

𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛

yang disebut dengan koordinat umum (generalized coordinates). Koordinat 𝑞𝑘 dapat saja berupa

sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya (holonomic). Jumlah

koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut.

Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah

secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil

dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu

contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar.

Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk

menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan perputarannya. Dalam hal ini,

koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola tersebut

menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya kita

akan membatasi diri pada sistem holonomic.

Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat umum lebih mudah diungkapkan dengan

menggunakan koordinat Kartesius:

𝑥 = 𝑥(𝑞) (satu derajat kebebasan – gerak pada sebuah kurva)

𝑥 = 𝑥(𝑞1, 𝑞2) (dua derajat kebebasan – gerak pada sebuah permukaan)

𝑥 = 𝑥(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3)

𝑥 = 𝑥(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3)

𝑧 = 𝑧(𝑧1, 𝑧2, 𝑧3)

Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat

umum, kecepatan umum, dan waktu. Waktu berpengaruh dalam persamaan Lagrange dikarenakan

persamaan transformasi yang menghubungkan koordinat kartesian dan koordinat umum

mengandung fungsi waktu. Pada dasarnya persamaan Lagrange sama dengan persamaan Newton

jika diasumsikan koordinatnya adalah koordinat kartesian. Mekanika Lagrange digunakan dalam

sebuah pendekatan yang lebih efektif dalam mencari persamaan gerak suatu sistem. Joseph Louis

Lagrange adalah seorang ilmuan Prancis yang pertama kali mengembangkan metode ini. Pada

dinamika Lagrangian persamaan geraknya hanya ditinjau dari energi kinetik (T) dan energi

potensialnya (V). Hal ini karena setiap partikel yang bergerak terikat dengan energi kinetik

(partikel bergerak dengan kecepatan) kemudian terikat dengan energi potensial (posisi partikel

terhadap suatu ketinggian). Karena energi adalah besaran skalar, maka energi bersifat invarian

terhadap transformasikoordinat. Pendekatan Newtonian akan rumit jika diterapkan pada keadaan

ini. Persamaan Lagrangian ditunjukan dengan persamaan:

L = T – V

(diman T dan V merupakan fungsi �̇�𝑘atau 𝑞𝑘)

Sehingga dapat dilakukan defferensiasi sebagai berikut:

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕�̇�𝑘 -

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘 = 0

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕�̇�𝑘 =

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘

(tiga derajat kebebasan – gerak pada ruang)

Contoh dalam penggunaan persamaan Lagrange adalah osilator harmonik, pendulum

sederhana, dan mesin atwood.

Sumber:

http://asikphysics.blogspot.com/2011/01/sejarah-fisika-dalam-mekanika.html

http://www.academia.edu/8142053/Mekanika_Lagrangian