Mekanika Bahan Bab I.ps

8/2/2019 Mekanika Bahan Bab I.ps

http://slidepdf.com/reader/full/mekanika-bahan-bab-ips 1/44

BAB I

TEGANGAN DAN REGANGAN

1.1. Tegangan

Dalam mekanika bahan en ert ian te an an t idak sama den an

vektor tegangan. Tegangan merupakan t ensor deraj at dua, sedangkan vektor , vekt or apapun, merupakan t ensor deraj at sat u . Besaran skalarmerupakan tensor deraj at nol. Tensor ial ah besaran f isik yang keadaannya pada suat u t it ik dalam ruang, t iga dimensi, dapat dideskripsikan dengan 3n komponennya , dengan n ialah derajat t ensor

tersebut . Dengan demikian, untuk persoalan tegangan t iga dimensi padasuatu t t a am ruang apat es r ps an engan 3 omponennya.Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut adalah σxx , σyy ,σzz , t xy , t yx , t xz , t zx , t yz , dan t zy sepert i ditunjukkan pada Gambar

. . , xy = yx , xz = zx yz = zy ,maka keadaan tegangan tersebut dapat dinyatakan dengan enamkomponennya, σxx , σyy , σzz , t xy , t xz , t yz. Sedangkan untuk tegangan

2, ,komponennya, Gambar 1.1(b), dan karena t ij = t j i untuk maka t iga

komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada t it ik itu.



Pada dasarnya, tegangan secara garis besar dapat diklasif ikasikan

, , ij , = ,tegangan geser dengan notasi t ij , . Perhat ikan penulisan padaparagrap di atas. Karakter indek yang pert ama menyatakan bidang

,menyatakan arah bekerj anya vektor tegangan tersebut . Tegangan

normal ialah t egangan yang bekerj a tegak lurus terhadap bidang



pembebanan. Sedangkan t egangan geser ialah t egangan yang bekerj a

se a ar den an bidan embebanan. Jadi keenam te an an anmendeskripsikan tegangan pada suatu t it ik terdiri atas t iga tegangan

normal, σxx , σyy , dan σzz , serta t iga tegangan geser, t xy , t yz , dant zx. Nilai tegangan bisa posit if dan bisa pula negat if . Tegangan

ber nil ai posit if bila tegangan tersebut bekerj a pada bidang posit ifdengan arah posit if , atau bekerj a pada bidang negat if dengan arahnegat if . Selain itu, nilainya negat if .

Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagaiintensitas gaya yang bekerj a pada bidang tersebut. Sehingga secara

matemat is tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai

i = j (1a)ijnF

Aσ =

= tegangan normal rata-rata (N/ mm 2 = M Pa )

Fn = gaya normal yang bekerj a (N )

ijσ

A = luas bidang (mm 2)

i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z



Sedangkan tegangan geser rata-rata dapat dinyatakan sebagai

(1b)ij

tF

Ai jτ = ≠,

= tegangan geser rata-rata (N/ mm 2 = M Pa )

Ft = gaya tangensial atau sejaj ar bidang yang bekerj a (N )

= 2

ijτ

i , j = x, y, z

akhirnya mendekat i nol, dalam art ian limit maka akan didapat teganganpada suatu t it ik. Sehingga secara matemat is tegangan normal padasuatu t it ik dapat dinyatakan

i = j (2a)ijA

n nF

A

d F

dAσ = =

→∆

∆∆0

lim



Sedangkan tegangan geser pada suatu t it ik, secara matemat is dapat

din atakan seba ai

(2b)ijA

t tF

A

d F

dAi jτ = = ≠

→∆

∆

∆0lim ,

1.2. Regangan



Sepert i halnya tegangan, r egangan j uga mer upakan t ensor

dera at dua . Den an demikian keadaan re an an ruan t i a dimensipada suatu t it ik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya.Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah exx , eyy

, ezz , gx , g x , gxz , gzx , g z , dan gz , sebagaimana dit unjukkan padaGambar 1.2(a). Regangan j uga dapat diklasif ikasikan menjadi dua,yakni regangan normal , dengan notasi eij , i = j , serta regangan geser dengan simbul γij , . Sebagaimana dengan tegangan, gxy = gyx ,gxz = gzx dan gyz = gzy , maka keadaan regangan ruang pada suatut it ik dapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni exx , eyy , ezz , gxy ,

gyz , gzx. Sedangkan regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan, ij = j i

pada suatu t it ik dapat dideskripsikan dengan hanya t iga komponen,Gambar 1.2(b).



Regangan normal merupakan perubahan panj ang spesif ik. Regangan-

panjang awal, atau secara matemat is dapat dit uliskan

i il u∆, =ij

i il lε = =



= regangan normal rata-rata

∆l = u = perubahan panj ang pada arah (mm )ijε

l = panj ang awal pada arah (mm )

i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z.

Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut dalam radial.Regangan geser bernil ai posit i f bil a sudut pada kuadran I dan atau

,1.3(a), sedangkan selain itu bernilai negatif.

1.3. Transformasi Tegangan Bidang

Tegangan dapat dit ransformasi dari suatu set sumbu koordinat keset sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi pula dapat dicari setsumbu koordinat pada suatu t it ik yang memberikan tegangan utama dari

kondisi tegangan yang telah diketahui di t it ik it u. Yang dimaksuddengan t egangan ut ama ialah t egangan yang hanya memil iki nilai t idaknol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol.

koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar 1.4(a), ke sistem koordinatpolar (r, q, z), Gambar 1.4(b).



Transformasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan gaya-gaya yang bekerj a pada elemen. Perhat ikan Gambar 1.5(b) berikut.



Σ xF ' = 0

x x xy yy xyA A A A' '. ( . sin ) cos ( . sin ) sin ( . cos ) sinσ τ θ θ σ θ θ τ θ θ− − −

( )− =xx Aσ θ θ. cos cos 0

(1.4a)x x xx yy xy' ' cos sin sin cosσ σ θ σ θ τ θ θ= + +2 22



Dengan memasukkan harga (90o + θ) untuk harga θ pada

ersamaan 1.4a sehin a den an identit as-identit as:2 2 29 0 9 0 9 0cos ( ) (cos cos sin sin )o o o si n+ = − =θ θ θ θ2 2 2o o o= =

sin( ) cos( ) (sin cos cos sin )(cos cos sin sin )9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0o o o o o o+ + = + −θ θ θ θ θ θ− sin cosθ θ=

akan didapat

(1.4b)y y yy xx xy' ' cos sin sin cosσ σ θ σ θ τ θ θ= + −

2 2

2Σ yF ' = 0

x y xy yy xyA A A A' '. ( . sin ) sin ( . sin ) cos ( . cos ) cosτ τ θ θ σ θ θ τ θ θ+ − −

(1.4c)

+ =xx Aσ θ θ. cos sin 0

x y xy xx yy' ' (cos sin ) ( ) sin cosτ τ θ θ σ σ θ θ= − − −2 2



Dengan subst itusi identitas trigonometri, persamaan (1.4a, b, c) bisa

ditulis

(1.5a)θ τ θ σ σ σ σ

σ 2sin2cos22

'' xy

yy xx yy xx

x x +−

++

=

(1.5b)θ τ θ σ σ σ σ

σ 2sin2cos22

'' xy

yy xx yy xx

y y −−

−+

=

σ σ −(1.5c)τ τ coss n

2'' xy y x

+−=

1.4. Transformasi Regangan Bidang

Perhat ikan Gambar 1.6(a) pada halaman berikut. Elemen OABCada keadaan awal tan a beban lalu men alami deformasi dan

distorsi menjadi O’ A’ B’ C’ akibat mendapat beban sxx , syy dan t xy.Analisis t ransformasi regangannya ditunjukkan pada Gambar 1.6(b, c,d) yang berturut-turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangannormal arah sumbu y sert a regangan geser pada bidang xy. Dari

Gambar 1.6(b) didapat



dxdx dy

' ,= = ∆ ∆1x x' .cos ,= θ

Dari Gambar 1.6(c) akan didapat

'

Dan dari Gambar 1.6(d) diperoleh

2 . ,

∆ 3x dyxy

' . .cos ,= γ θ



’pada sistem koordinat awalnya adalah

∆x’ = ∆x1’ + ∆x2’ + ∆x3’

Sedangkan



x x

xyx x

dx

y

d

dy

d' '

'

'

.cos .sin . .cosε

θ θ γ θ= = + +

∆ ∆ ∆

Sehinggacos sin sinθ θ θ

(1.6a)

o +

x x xx yy xy' ' .cos .sin .cos .s nε ε ε γ= + +

, y

θ) untuk harga θ pada persamaan (1.6) di atas, kemudian menerapkanidentitas t rigonomet ri . Sehingga akan didapat

o o o o2 2y y xx yy xy' ' .cos .s n . .ε ε ε=

y y yy xx xy' ' .cos .sin .cos .sinε ε θ ε θ γ θ θ= + −2 2 (1.6b)

Analisis transformasi regangan gesernya ditunjukkan pada Gambar1.7 di bawah. Sebagaimana pada regangan normal, dalam hal ini

-dit inj au satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua oleh

sumbu y menj adi dx1 dan dx2.



dx

dy1'

dx dy'

2

.

Selanj utnya perhat ikan Gambar 1.7(a), akibat terj adinya deformasi

1sin cosθ θ

2cos sinθ θ

norma pa a ara sum u x sa a.

1

1 1

a xx

AD x xγθ

θ θ ε θ θ''

.cossin .cos .sin .cos= =

−=

−= −

∆ ∆

11 1

1

2

2

2

b xx

y x

CE x

d x

x

d

θ

γ

θ

θ θ ε θ θ

sin

' '

.sin

sin .cos .sin .cos= =

−

=

−

= −

∆ ∆

1 1 12

x y a b xx

θγ γ γ ε θ θ

cos

' .sin .cos' '

= + = −



Gambar. 1.7. Transformasi Regangan Geser

Akibat deformasi normal arah sumbu y saj a sepert i dit unj ukkan pada

Gambar 1.7(b) akan diperoleh



2

1

a yy

AD

dy

y

dy

y

dyγ

θθ θ ε θ θ'

'

.sin.sin .cos .sin .cos= = = =

∆ ∆

22

b yy

CE

dx

y

dy

y

dyγ

θ

θ

θ θ ε θ θ''

.cos

sin

.sin .cos .sin .cos= = = =∆ ∆

2 2 2 2x y a b yyγ γ γ ε θ θ' .sin .cos' '

= + =

Sedangkan dari Gambar 1.7(c), akibat terj adinya regangan geser saja,akan didapat

xA D AA dyθ γ' '.cos .3

1

a xyd y dy dy

γ

θ

γ= = = ='

cos

.cos .cos

3

2

2 2b

xyCEd x

CCdy

ydy xyγ θ

θγ θ γ θ= = = − = −

'''.sin

sin

. .sin .sin

3 3 3

2 2

x y a b xyγ γ γ γ θ θ= + = −(cos sin )' '



Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada set

sumbu koordinat an baru seba ai berikut

x y x y x y x y xx yy xy' ' ' ' ' ' ' '( ) sin .cos (cos sin )γ γ γ γ ε ε θ θ γ θ θ= + + = − − + −

1 2 3

2 2

. . . . c

Selanj utnya, dengan menggunakan ident itas t rigonometri persamaan-. , ,

( ) ( )xx yy xx yy xyε ε ε ε γ+ − x x' ' .

2 2 2

( ) ( )xx yy xx yy xy

' ' cos .sinε ε

θε ε γ

θ=+

+−

−2 2

.

1.7b

2 2 2

( )x

x y xx yy xy

' '

' 'sin .cosε

γ ε εθ

γθ= = −

−+2 2 (1.7c)



1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal St ress and St rain)

serta Te an an dan Re an an Geser Maksimum

Tegangan Ut ama (Pr i nci pal St r ess) dan Tegangan Geser Maksimum

Tegangan Ut ama (pri ncipal st ress ) adalah tegangan normalyang terj adi pada set sumbu koordinat baru setelah t ransformasi yangmenghasilkan t egangan geser nol . Tegangan-tegangan tersebutditunj ukkan sebagai s1 dan s2 pada Gambar 1.10. Perlu dicatat

bahwa s1 selalu diambil lebih besar dari s2. Sudut t ransformasi yang

angle ). Secara analit ik, besar tegangan utama dan sudut utama dapatditurunkan dari persamaan-persamaan (1.5a, b, c).

,(1.5c) akan didapat

0 2 2= −−

+xx yyσ σθ θ.sin .cos

2



atau

(1.8)sin

costan

2

22

2p

p

p

xy

xx yy

θ

θθ

τ

σ σ= =

−

Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segit iganya sebagai berikut

Dengan subst itusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar diatas ke persamaan (1.5a) akan didapat



x x

xx yy xx yy xx yy xy

' 'σσ σ σ σ σ σ τ

=+

+− −

+2

2 2

2

2 2xx yy xy xx yy xyσ σ τ σ σ τ− + − +

xx yy

' '

σ σ=

+−

1 2 2

x x

xx yy xy

xx yy xy

. ( )

σ σ τ− +2 2 4

2 2

}{x x

xx yyxx yy xy' '

.

( )σσ σ

σ σ τ=+

+ − +2

1

2

42 2

u st tus an penerapan prose ur yang sama ter a ap persamaan(1.5b), akan didapat

y y

xx yy

xx yy xy' '. ( )σ σ σ τ= − − +2 2 4

Den an men in at bahwa secara matemat ik haruslah σ > σ , makakedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan



(1.9)}{1 2

2 2

2

1

2

4,

.

( )σσ σ

σ σ τ=+

± − +xx yyxx yy xy

Selanj utnya, perhat ikan persamaan (1.5c). Untuk suatu t it ik dan jenispembebanan tert entu dari suatu bagian konst ruksi, harga-harga σxx ,

yy xy , x’y’

fungsi θ, atau τx’y’ = f(θ). Harga ekst rim fungsi tersebut akandiperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut terhadap θ sama.

x y xx yy

xy

d

d

' '.sin .cos

τ

θ

σ σθ τ θ= −

−+ =

22 2 0

atau

sin max2θ σ σ= = −

−xx yy

.

Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut:

cos max

max

2 2θ τxy



-ke persamaan (1.5c) akan didapat

xx yy xx yy xy( )σ σ σ σ τ− − − 22

x yxx yy xy xx yy xy

' ' ( ) ( )τ σ σ τ σ σ τ= −

− + − +

= −

2 4 4

1

2 2 2 2

2 2

xx yy xy. ( )σ σ τ− +2 42 2



Sehingga

Persamaan (1.10) j uga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut 2θ

x y xx yy xy' '.

( )τ σ σ τ= − +2

42 2

a a a σxx − σyy an pan ang s s samp ngnya a a a - τxy. on s

ini akan memberikan

− −1 2 2

x y xx yy xy' '.2

Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dit uliskan menjadisa u se aga

(1.11)max ( )τ σ σ τ= ± − +1

42 2

xx yy xy

Regangan Ut ama dan Regangan Geser Maksi mum

.



Sebagaimana pengert ian tentang tegangan utama, maka regangan

ut ama rinci al st rain adalah re an an normal an ter adi ada setsumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan set engah regangan geser nol . Regangan-regangan tersebut ditunjukkan sebagai

ε1 dan ε2 pada Gambar 1.11. Demikian j uga, ε1 selalu diambil lebih besar dari ε2 , sert a sudut t ransformasinya j uga disebut sudut ut ama

(pri ncipal angl e ). Secara analit ik, dengan penerapan prosedur yangsama dengan yang diterapkan untuk persamaan-persamaan (1.7a, b, c),maka akan didapat hasil-hasil berikut.

(1.12a)sin

tan2

2p

p

xyθθ

γ

= = −

(1.12b)

p xx yy

1 2

2 21, ( )ε

ε εε ε γ=

+± − +xx yy

xx yy xy

qp = sudut utama

= -

.

1,2

gxy = 2exy = regangan geser



(1.13a)sin

costan

max

max

max

2

22

θ

θθ

ε εγ

= = −−xx yy

xy

(1.13b)}{max

.( )

γε ε γ

2

1

2

2 2= ± − +xx yy xy

θmax = sudut regangan geser maksimumγxy = 2εxy = regangan geser

1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang

Lin karan Mohr di erkenalkan oleh seoran insin ur Jerman Ot toMohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasitegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan t iga dimensimaupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran

sumbu el emen sebesar q dit unj ukkan ol eh perput aran sumbu pada l ingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu t egangan geser posit i f adal ah menunj uk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari t it ik A, positif bila berl awanan arah j arum am, dan negat if bil a sebal iknya. Pada bagianini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan danregangan dua dimensi.



Li ngkar an Mohr unt uk Tegangan Bi dang x yσ σ+

. ,kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat

2

2 2

2 2 2x xσ σ σ σ+⎛ ⎞ −⎛

………(1.14a)

2 2x xy x y xyco s s n' s n cosσ τ σ σ τ−

⎝ ⎠=

⎝ ⎠−

. ,

( )2 2 2

2

22

2

2 2 2x y xy

x y

x y xyco s sin' ' sin cosτ τ θσ σ

θ σ σ τ θ θ= +−⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ − −

………(1.14b)

Penjumlahan persamaan-persamaan (1.14a) dan (1.14b) menghasilkan2 2

−(1.15)

Persamaan (1.15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang-

2 2x

x y

x y

x y

xy' ' 'σ τ τ−⎝ ⎠ + = ⎝ ⎠ +

.Gambar 1.8 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut:



1. Buat lah sumbu σij , horisontal.

. , xx yy ,matemat is lebih kecil. Bila bernilai negat if j adikanlahtegangan tersebut sebagai t it ik yang mendekat i tepi kir i batasmelukis sedan kan bila osit if maka t it ik an mendekat i

batas kiri adalah t it ik σij

= 0.

3. Periksa harga tegangan normal, σxx atau σyy , yang secara.

tersebut sebagai t it ik yang mendekat i tepi kanan batas melukis,sedangkan bila negat if maka t it ik yang mendekat i batas kanan

adalah t it ik σ = 0.

4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisamemuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelahkiri dan kanann a. Tentukan t it ik-t it ik batas tersebut sesuai

dengan skala yang telah ditentukan.



5. Tentukan letak t it ik-t it ik σij = 0 dan sumbu τ, serta σij terkecil

dan σ terbesar bila belum terlukis ada sumbu σ .6. Bagi dua j arak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar

sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.

. ij , xy .

8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan j ari -j ari PA.9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di

B. Maka t it ik B akan terletak pada koordinat (σij terkecil , τxy ).Garis AB menunjukkan sumbu asli, θ = 0, elemen tersebut.

Cont oh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konst ruksi yang dibebani,menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa,tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan

geser pada bidang tersebut sebesar 120 MPa.



Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr.

.tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).

. .

Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasilyang didapat pada b. di at as.

.mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurutlingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1.8).

. - .Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan

(1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.



Penyelesaian:

a. Lingkaran Mohr:

1) Buat sumbu sij , horisontal.

2) Tegangan normal t erkecil, syy = -40 MPa, negatif , sehinggadi unakan seba ai t it ik di dekat batas kiri .

3) Tegangan normal terbesar sxx = 280 MPa, posit if , sehinggadigunakan sebagai t it ik di dekat batas kanan.

= . yy = -40 MPa di sebelah kiri, dan sxx = 280 MPa di sebelah kanan yangberj arak (s

xx

+ syy

) dari tit ik syy

di sebelah kiri.

yy .

6) Dengan membagi dua sama panjang j arak syy ke sxx akandidapat t it ik P.

7) Menentukan letak tit ik A pada koordinat (sxx , t xy ) = (280,120).8) Dengan mengambil t it ik pusat di P dan j ari-j ari sepanjang PA,

lingkaran Mohr dapat dilukis.

9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran

Mohr di B, akan didapat kedudukan t it ik (syy , t xy ) = (-40,120).



. .

b. Besar rotasi mengell il ingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan

mengukur, didapatθmax = 0,5 x 2 θmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30’.

Sedan kan menurut ersamaan 1.10 dida at

tan 2θmax = − (280 + 40) / (2 x 120) = − 4/3

2θmax = − 53o 08’ atau θmax = − 26o 34’



c. Besar tegangan geser maksimum menurut l ingkaran Mohr

τmax = 5 x 40 MPa = 200 MPa.

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

( )maxτ = ± + + =1

2280 40 120 200

2 2 MPa

. ,mengukur, didapat

θp = 0,5 x 2θp = 0,5 x 37o = 18o 30’.

e ang an menuru persamaan . apa

tan 2θp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4

2θ = − 36o 52’ at au θmax = − 18o 26’e. Besar t egangan-t egangan utama menurut lingkaran Mohr

σ1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa.

2 - - .


2 2280 40 1=

−=

( )2

2

2

2 2

280 40

2

1

2 280 40 120 80σ =−

− + + = − MPa



Li ngkar an Mohr unt uk Regangan Bi dang

Pada persamaan (1.7a), bila suku dipindahkan ke ruas kirixx yyε ε+

2

dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat

2 2

2

2

2xx yy xx yy xy xyε ε ε ε γ γ+⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

………(1.16a)

2 2 2 2x x xx yy' ' cos s n−

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−

⎝ ⎠

Sedangkan pada persamaan (1.7c), bila dikuadratkan akan didapat

2 2

2

2

22 2 2 2x y xy xx yy

xxx y' ' ' '

cos sin sin cosγ γ

θε ε

θ ε εγ

θ θ⎛ ⎜

⎞⎟ =

⎛ ⎜

⎞⎟ +

−⎛ ⎜

⎞− −

………(1.16b)

Penjumlahan persamaan-persamaan (1.16a) dan (1.16b) menghasilkan



(1.17)2 2 2 2

2 2 2 2x x

xx yy x y xx yy x y

' '

' ' ' 'ε

ε ε ε ε ε ε−

+⎛

⎝ ⎜

⎞⎟ +

⎛

⎝ ⎜

⎞⎟ =

−⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝ ⎜

⎞⎟

Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang εγ2

2 2

yang pusatnya di dengan j ari-j arixx yy−

⎝

⎜

⎠

⎟2

0,

2 2

xx yy xyε ε−

⎝

⎜

⎠

⎟ +

⎝

⎜

⎠

⎟

. ,dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuktegangan dengan mengganti σxx , σyy dan τxy berturut-turut menjadi

ε , ε dan γ / 2. Penerapannya, lihat Contoh 1.2 pada halaman 21.

1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan

Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubunganantara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isot ropis padapembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke .Jadi hukum Hooke t idak berlaku untuk pembebanan di luar batasproporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan padaanalisis tentang energi regangan spesifik .



Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum

Hooke untuk ersoalan- ersoalan t i a dimensi hubun an antarategangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secaramatemat is sebagai berikut :

1

(1.18)( )

xx xx yy zz

yy yy xx zz

E

E

ε σ νσ νσ

ε σ νσ νσ

= − −

= − −1

Dengan dan v bert urut-turut adalah modulus alast is atau modulus

( )zz zz xx yyE

ε σ νσ νσ= − −1

Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasigeser unt uk G adalah modulus geser , hubungannya adalah:

ν+1

(1.19)( )xy

xzxz xz xz

G Eε

εγ τ ν τ

= = =

= = =+

2 2

1

( )yz

yz yz yz

G Eε

γ τ ν τ= = =

+

2 2

1



Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang t erj adi bila regangan

normal dan sifat -sifat mekanis bahann a diketahui di unakanpersamaan-persamaan:

( ) ( ){ }xx xx yy zz

Eσ

ν νν ε ν ε ε=

+ −− + +

1 1 21

(1.20)( )( ) ( ) ( ){ }yy yy xx zz

E

E

σ ν ν ν ε ν ε ε= + − − + +

= −

1 1 2 1

Selanj utnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah:

( )( )zz zz xx yy

ν ν+ −1 1 2

E E

(1.21)

( )

( )

xy xy xy xy

xz xz xz xz

E EG

τν

εν

γ γ

τν

εν

γ γ

=+

=+

=

=+

=+

=

1 2 1

1 2 1

( )yz yz yz yzE E Gτ ν ε ν γ γ= + = + =1 2 1



Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat j uga

- ,dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensiyang dimaksud.

Cont oh 2 : Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan dengansifat -sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angkaper an ng-an o sson, n = , . o u us geser tentu an engan,G = E / 2(1 + n).

Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terj adi.b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terj adi.

c. Besar rotasi mengeli lingi sumbu z untuk mendapatkanregangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.

Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran

Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) danhasil yang didapat pada b. di atas.

e Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk



e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untukmendapatkan regangan geser bernilai nol, menurutlin karan Mohr. Periksa hasil ini den an ersamaan(1.8).

f. Besar regangan-regangan utama menurut l ingkaranMohr. Periksa hasil tersebut den an ersamaan-persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.

Penyelesaian:

a ar persamaan . an . a an apa :

( )xxε µε= + − = =1

200000

280 0,29.40 0,29.0 0,001458 1458

( )yyε µε= − − − = − = −1

20000040 0,29.280 0,29.0 0,000606 606

+1 0 2 120.

b. Lingkaran Mohr:

xyatau

xy

ε µε γ µε= = = = =2 200000

0,000774 774 1548

ij .

2) Regangan normal t erkecil, eyy = -606me, sehingga

merupakan t it ik di dekat batas kiri.



3) Regangan normal terbesar exx = 1458me, sehinggameru akan t it ik di dekat batas kanan.

4) Diambil skala 1cm = 250me. Kemudian dit entukan t it ikeyy = -606me di sebelah kiri, exx = 1458me di sebelah

kanan dan ber arak e + e dari t it ik e disebelah kiri.

5) Lukis sumbu t yang berj arak 606me di sebelah kanant itik eyy .

6) Dengan membagi dua sama panj ang j arak eyy ke exx

akan didapat t it ik P.

xx , xy =(1458,774).

8) Dengan mengambil t it ik pusat di P dan j ari-j ari, - .

9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotonglingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan titik

yy , xy = - ,- .



B i lil i i b li k M h



c. Besar rotasi mengelil ingi sumbu z menurut l ingkaran Mohr,dengan mengukur, didapat

θmax = 0,5 x 2 θmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30’.

Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat

tan 2θ = − 1458 + 606 / 2 x 774 = − 4/3max

2θmax

= − 53o 08’ atau θmax

= − 26o 34’

d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

εxy-max = 5,2 x 250µε = 1300µε.


e. Besar rotasi mengellil ingi sumbu z menurut l ingkaran Mohr,

max (ε µε2 2

1458 606) 1548 1290= =− ± + + = ±xy

,

θp = 0,5 x 2θp = 0,5 x 37o = 18o 30’.

Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat

tan 2θp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4

2θp = − 36

o

52’ at au θmax = − 18

o

26’



f . Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr

1 , .ε2 = -3,5 x 250µε = -875µε


( )

( )

1

2

1458 606

2

1

2

21458 606 21548 1716

1458 606 1 21458 606 21548 864

ε µε

ε µε

=

=

−+ + + =

−− + + = −

Mekanika Bahan Bab I.ps

Documents

Transcript of Mekanika Bahan Bab I.ps