Astronomi dan Astrofisika 30

VEKTOR SATUAN DAN BESAR VEKTOR

Harga besaran suatu vektor sembarang a disebut besar vektor tersebut, dankita nyatakan sebagai || a .

Agar lebih sederhana, besar suatu vektor a kita tuliskan sebagai a, tanpaanak panah. Jadi a = || a = besar vektor a . Bila suatu vektor a kita bagi denganbesarnya, yaitu a, kita akan dapatkan sebuah vektor dengan panjang satu, yaitu satusatuan besaran fisis yang dinyatakan vektor oleh tersebut. Vektor ini kita sebutvektor satuan untuk arah a . Vektor satuan untuk a kita tuliskan sebagai a .Jadi, a

aa (3.1.a)Jelas bahwa besar vektor satuan sudah diketahui, yaitu sama dengan satu, vektorsatuan digunakan untuk menyatakan arah saja. Bila kita gunakan sistem koordinattegak, yang juga disebut koordinat kartesian, arah sumbu X+ dinyatakan denganvektor satuan , arah sumbu Y+ dinyatakan dengan vektor satuan , dan arah sumbuZ+ dengan vektor satuan k.Sebuah vektor satuan dengan besar b berarah sumbu X+ dapat ditulis sebagai b = ib.Jelas bahwa besar vektor ini adalah

|| b = | b| = | | b = (1) b = b (3.1.b)Besar vektor adalah panjang sebuah vektor, dan dilambangkan dengan

kurung mutlak, misal besar vektor A adalah |A|. Dengan menggunakan dalilPythagoras panjang vektor untuk tiga dimensi yaitu

222|| zyxA (3.2)Bentuk ini dapat diperluas untuk vektor dimensi-n (Rn).

JUMLAH VEKTORMarilah kita tinjau kembali vektorposisi suatu titik P. Koordinat titik Pyaitu (3,4) juga dapat kita capai sebagaiberikut. Dari titik asal O, kitaberpindah sepanjang sumbu X+ hinggasampai di Q. Selanjutnya dari Q kitaberpindah ke arah sumbu Y+ sejauh 4m. Perpindahan dari O ke Q dapat kitanyatakan dengan vektor perpindahanQO , dan perpindahan dari Q ke P kita

nyatakan dengan vektor perpindahanPQ . Perpindahan OQP secara

Gambar 3.2 Vektor QPOQOP .

Astronomi dan Astrofisika 31

matematis dapat kita nyatakan sebagai jumlah vektor perpindahan QO denganvektor perpindahan PQ . Karena hasil perpindahan OQP sama dengan vektorperpindahan PO , ini dapat dituliskanPO = QO + PQ

Sekarang mari kita tuliskan PO = c , QO = a , dan PQ = b .Vektor a dan b dapat dilukiskan seperti pada gambar berikut:Y

P

c b

a Q X

jumlah vektor a + b = c mempunyai panjang dan arah diagonal segi empat yangterbentuk oleh vektor a dan b .Dari gambar di atas dapat kita ketahui juga bahwa a merupakan proyeksi c padasumbu X dan b merupakan proyeksi c pada sumbu Y maka:

cosca (3.3.1)sincb (3.3.2)

Dapat ditunjukkan bahwa pernyataan di atas berlaku lebih umum lagi, yaitu untukvektor a dan b yamg berarah sembarang. Ini ditunjukkan pada gambar berikut:Y c Y

c -bb b

a aO X X

(a) (b)

VEKTOR LAWAN

Vektor PQ = b juga dapat kita lukiskanpada sumbu Y. Dalam menyatakan vektorperpindahan kita hanya perlu tahu berapajauh perpindahan dan arah perpindahan.Kita tak peduli titik asal perpindahan.Dalam menjumlahkan vektor kita dapatpindahkan titik asal vektor, selama besardan arah vektor tetap. Dari gambar disamping dapatlah kita simpulkan bahwa

Gambar 3.3 (a) vektor bac sebagai diagonal parallelogram yang dibentuk dari a dan b .(b) vektor bac dibentuk dengan menyambungkan vektor b pada ujung vektor a .

Gambar 3.2.1 vektor bagian

Astronomi dan Astrofisika 32

Misalkan kita jumlahkan dua vektor a dan 'a dan kita peroleh vektor posisi titikacuan 0, kita dapat tuliskan a + 'a = 0. Ini ditunjukkan pada gambar berikut:

Y

'aa

O XGambar 3.4

SELISIH VEKTOR

Misalkan kita mempunyai dua vektor a dan b . Bagaimana kita dapat memperolehselisih vektor a - b ? Misalkan selisih vektor di atas kita nyatakan sebagai c , jadi

bac .Untuk menentukan ini, perhatikan gambar B-6.

Y Y

b b

ca a

X X-b

c c(a) (b)

Gambar 3.5 (a) bac = bac (b) vektor bac tak lain adalah vektor yang ditarik dari ujung b ke a .

Dari gambar B-6 tampak bahwa vektor bac tak lain adalah vektor yang ditarikdari ujung b ke arah ujung a . Bila perlu pangkal vektor c dapat dipindahkan ketitik O

Dari persamaan di atas nyata bahwa'a = - a

Vektor 'a mempunyai besar sama denganVektor a , akan tetapi arahnya berlawanandengan arah vektor a (180)Vektor 'a disebut vektor lawan dari vektora .

Astronomi dan Astrofisika 33

JUMLAH BEBERAPA VEKTOR

Misalkan kita mempunyai empat buah vektor yaitu a , b , c , dan d , seperti padagambar B-7a.

Kita dapat tentukan vektor dcbag seperti pada Gb. B-7a, yaitu dengan

menyambung ujung vektor a dengan pangkal vektor b , menyambungkan ujungvektor b dengan pangkal vektor c , dan seterusnya. Vektor g dapat diperolehdengan menarik dari titik asal O ke ujung vektor terakhir (vektor d ). Besar vekor gdapat diperoleh dengan mengukur panjang vektor g , dan arahnya dapat ditentukandengan mengukur sudut .

Dengan cara yang sama kita juga dapat menentukan vektor dcbak sepertipada Gb. B-7c.

Catatan:Untuk penjumlahan vektor, pangkal vektor penjumlah diletakkan pada ujung vektoryang dijumlah, sedangkan untuk pengurangan vektor (selisih), vektor pengurangdibalik arahnya (sama dengan ujung vektor pengurang diletakkan pada ujung vektoryang dikurangi).

BCADCDAB CADBCDAB

Gambar 3.6 (A) Vektor dcba dan,,, .(B) Vektor dcbao ,(C) Vektor dcbak ,

Astronomi dan Astrofisika 34

VEKTOR DALAM KOORDINAT KARTESIANSetelah tahu vektor satuan dan jumlah vektor, kita dapat membahas bagaimanamenyatakan vektor dalam koordinat kartesian. Perhatikan gambar Gb. B-8.

b = j4 P(3,4) jy

r

ixa = i3

(a) (b)

Gambar 3.7 (a) vektor posisi untuk titik P(3,4) dapat ditulis sebagai r = i3 + j4(b) vektor posisi titik sembarang dapat ditulis sebagai r = ix + jy

Pada gambar di atas, tampak bahwa vektor posisi titik P, yaitu bar . Akantetapi arah vektor a adalah pada arah sumbu X+ (tidak memiliki vektor jy),sehingga a = i3 dan b = j4.Vektor posisi titik P menjadi

bar r = i3 + j4Secara umum, vektor posisi dengan koordinat (x,y) dapat ditulis sebagai

r = ix + jy (3.4)

Pada persamaan di atas x adalah panjang proyeksi r pada sumbu X dan disebutkomponen r pada sumbu X, begitu juga y adalah komponen r pada sumbu Y.Lebih umum lagi, tiap vektor F dapat ditulis sebagai:

F = iFx + jFy (3.5)

Astronomi dan Astrofisika 35

Dengan Fx komponen x vektor F , dan Fy komponen y vektor F . Ini ditunjukkanpada gambar berikut. Dari gambar tampak bahwa besar vektor F adalah

Y

jFy F

O iFx X

Arah vektor F membuat sudut 43tan 1 = 36,87 dari sumbu X+.

PENJUMLAHAN VEKTOR DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Untuk vektor P dan Q yang tidak sejajar sumbu X maupun sumbu Y, dapatdijumlahkan dengan menentukan terlebih dahulu komponen vektornya (komponen ixdan komponen jy) masing-masing. Perhatikan gambar berikut.Misal untuk P + Q = R , dengan besar dan arah P dan Q diketahui, maka R :

YRx R

Qx QPx

P RyQyPy P Q

XP = iPx + jPyQ= iQx + jQy

Perhatikan vektor F !F = 22|| yx FFF Arah vektor F , yaitu sudut , dapatdihituing dari

x

yFFtan

Sebagai contoh, misalkan vektorF = i3 + j4Komponen x vektor F , Fx = 3Komponen y vektor F , Fy = 4Besar vektor 22 43 F = 5

Gambar 3.8 Vektor F .

Gambar 3.9 Vektor resultan.

Astronomi dan Astrofisika 36

Dimana :Px = P cos P Qx = Q cos QPy = P sin P Qy = Q sin Qkarena R = P + Q , maka R :

22xxx QPR (3.6)22

yyy QPR (3.7)

sehingga R = i 22 xx QP + j 22 yy QP (3.8)

Untuk sistem dua vektor, resultan gaya dapat dihitung dengan rumus trigonometri.Perhatikan gambar berikut.

Q R QQ P QQ P PP

cos2222 PQQPR (3.9)Dengan = 180 + P Q

VEKTOR DALAM KOORDINAT POLAR

Pada Gambar 3.8 kita juga dapat vektor F dengan menuliskan besar vektor F ,yaitu F, dan arah vektor, yaitu sudut .

FF . (3.10)pernyataan seperti ini disebut deskripsi polar untuk vektor F .Cara menyatakan vektor sebagaiF = Fx + Fy (3.11)disebut deskripsi Kartesius.Hubungan antara kedua deskripsi ini adalah sebagai berikutFx = F cos dan Fy = F sin . (3.12)

Gambar 3.10 Vektor R .

Astronomi dan Astrofisika 37

PERKALIAN VEKTORPerkalian vektor ada tiga jenis, yaitu perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik(dot product), dan perkalian silang (cross product). Kedua yang disebut belakanganmerupakan perkalian vektor dengan vektor. Sebelumnya kita tuliskan vektor (misal

vektor A) dalam bentuk matriks satu kolom,

cba

cba kjiA

Misalkan vektor

cba

A dan suatu skalar k, maka:

kckbka

kcba

k...

.A (3.13)

Misalkan lagi terdapat vektor

1

1

1

cba

A dan

2

2

2

cba

B , maka perkalian titik

didefinisikan sebagai:cos|B||A|BA (3.14)

Dengan merupakan sudut antara vektor A dan B. Hasil dari perkalian titikmerupakan skalar. Adapun nilainya adalah:

).().().(. 2121212

2

2

111 ccbbaacba

cba

BA (3.15)

Perkalian silang (cross product) didefinisikan sebagaisin|B||A|BA (3.16)

Dengan merupakan sudut antara vektor A dan B. Hasil dari perkalian silangmerupakan vektor. Adapun nilainya dapat dicari dengan metode Sarrus dalammatriks yaitu:

Astronomi dan Astrofisika 38

222

111cbacbakji

BA

kjikji

)..()..()..( 12211221122122

11

222

111 babaacaccbcbbaba

cbacba (3.17)

Adapun sudut yang diapit oleh dua vektor dapat kita cari dengan persamaan 3.13,yaitu:

||||cos1

BABA (3.18)

Contoh:Diketahui vektor kjiA 42 dan kjiB 243 , tentukanlah:a. BA b. BAc. Sudu