Mehanika fluidaa

8/20/2019 Mehanika fluidaa

1/118


2/118

Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje

Zavod energetska postrojenja, energetiku i ekologiju

Katedra za mehaniku fluida

Mario Šavar - Zdravko Virag - Ivo Džijan

Mehan ika f luid a

Skripta – vježbe

Zagreb 2014


3/118

Mehanika fluida – vježbe I

Predgovor

Gradivo izneseno u ovoj skripti predstavlja dio materijala vježbi kolegija Mehanika

fluida koji se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveučilišta u Zagrebu predaje

studentima smjerova: Mehatronika i robotika, Proizvodno strojarstvo, Računalno

inženjerstvo, Industrijsko inženjerstvo i menadžment. Skripta je prvenstveno namijenjena

za lakše razumijevanje praktičnih i primijenjenih znanja na realnim situacijama. Nadamo

se da će materijali dani u ovoj skripti omogućiti studentima da lakše prate vježbe, te da ta

znanja kasnije lakše usvoje. Svrha i cilj ove skripte nije bio da zamjeni zbirke zadataka iz

Mehanike fluida, već je u njoj dan samo materijal koji omogućuje studentima da

kvalitetnije, preglednije i lakše usvoje potre bna znanja iz Mehanike fluida.

Izbor zadataka koji je iznesen u ovoj skripti rezultat je gotovo četrdeset godina

kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se želimo

zahvaliti našim učiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr. Zdravku

Dolineru, na čijem je konceptu formiran kolegij u današnjem obliku.

U Zagrebu, 06.02.2014.

Mario Šavar, Zdravko Virag, Ivo Džijan


4/118

Popis najvažnijih oznaka

Mehanika fluida – vježbe II

POPIS NAJVAŽNIJIH OZNAKA

Fizikalna veličina Oznaka Dimenzija Jedinica uSI sustavu

površina poprečnog presjeka A, S L m brzina zvuka c LT- m/s

promjer D, d L m

sila F MLT- N

gravitacija g LT- m/s

volumenski modul elastičnosti K ML- T- Pamaseni protok m MT

- kg/s

moment sile M ML T- Nm

snaga P ML T- W

tlak p ML- T- Pa

volumenski protok Q L T-

m /s potencijal masene sile U L T- m /s

specifična unutrašnja energija u L T- J/kgvolumen fluida V L m

brzina strujanja fluida v LT- m/s

rad sile W ML T- J

geodetska visina z L m

gustoća fluida ML- kg/m

koeficijent kinematičke viskoznosti L T- m /s

koeficijent dinamičke viskoznosti ML- T- Pa∙s

brzina vrtnje T-

rad/skoeficijent otpora trenja - -

naprezanje ML- T- N/m

kut - rad

PREPORUČENA LITERATURA

Virag, Z.: Mehanika fluida – odabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveučilište u Zagrebu,Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002.

Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnička enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod,Zagreb, 1982.

Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John

Wiley&Sons, Toronto, 1990.

White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003.

Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics – Fundamentals and Applications,McGraw-Hill, 2006.


5/118

Zadaci

Mehanika fluida – Vježbe 1 / 24

1. Vježbe

1.1 Zapišite u Gibbsovoj notaciji te nizom skalarnih jednadžbi izraze za:

a)

moment sile F u odnosu na ishodište

b)

rad sile F na putu d r .

1.2 Odredite jedan jedinični vektor s u čijem smjeru nema promjene polja 26 p x yz u točki T(1,2,3).

1.3 Izračunajte vrijednost integrala dS

F pn S , gdje je S površina kugle polumjera R =

3, sa središtem u točki S (2,1,3) a n je vanjska normala na površinu, ako je2 2 2 p x y z . Kolika bi bila vrijednost F za slučaj p = konst?

1.4 Odredite fluks vektora : dS

Q v n S po površini S kocke brida a=2 s centrom u

ishodištu (0,0,0)T . Površina S je orijentirana vektorom vanjske normale n , a vektor

v je 3 2 4v z y i xj x z k .

1.5 U točki T fluida tenzor naprezanja ima sljedeće komponente u odnosu na koordinatnisustav Oxyz

xy xy

ij

7 0 2

0 5 0

2 0 4

xx

yx yy yz

zx zy zz

Odredite vektor naprezanja na ravninu orijentiranu normalom2 2 1

, ,3 3 3

n

, te apsolutnu

vrijednost toga vektora.


6/118

Zadaci


2. Vježbe

2.1 Na visini h=1 m, prema slici, nalazi se otvor cijevi iz koje izlazi mlaz fluida stalnom

brzinom v=8 m/s, pod kutom =49°. Uz pretpostavku idealnog fluida i uzzanemarenje trenja između zraka i fluida odredite maksimalnu visinu H i duljinu L

koju će mlaz dosegnuti.

g pa

v

2.2 Blok mase m=10 kg kliže po glatkoj površini kosine nagnute pod kutom =20.Odredite brzinu U bloka koja će se ustaliti, ako se između bloka i kosine nalazi uljnifilm debljine h=0,1 mm. Koeficijent dinamičke viskoznosti ulja je =0,38 Pas, a

površina bloka u dodiru s uljem A=0,15 m2. Pretpostavite linearni profil brzine u

uljnom filmu.

U = ?

m

A

2.3 Newtonska kapljevina gustoće =920 kg/m3, kinematičkog koeficijenta viskoznosti

=510

-4

m

2

/s struji preko nepomične stijenke. Profil brzine uz stijenku dan jeizrazom

33 1

2 2

u y y

U


7/118

Zadaci


y

u( ) y

U

gdje je y udaljenost od stijenke, a udaljenost na kojoj je brzina u U . Odredite

veličinu i smjer tangencijalnog naprezanja na površini stijenke, u zavisnosti od U i .

2.4 U cilindričnoj posudi polumjera R0=220 mm, nalazi se cilindar polumjera R=216 mmkoji rotira stalnom brzinom vrtnje n=200 o/min za što se troši snaga P = 46 W.Odredite koeficijent dinamičke viskoznosti kapljevine koja ispunjava prostor

između cilindra i posude u kojem pretpostavite linearni profil brzine, a utjecaj dnazanemarite. Zadano je: h=20 cm.

R

h

=?

n=konst

POSUDA

R0

g

cilindar


8/118

Zadaci


3. Vježbe

3.1 U jedan krak U-cijevi u kojoj se nalazi voda gustoće =999,1 kg/m3 nadoliveno jeulje gustoće 0=820 kg/m

3, prema slici. Ako je visina stupca ulja h0=150 mm,

odredite razliku visina h razina ulja i vode.

pa pa g

h=?

h0ulje

3.2 Odredite apsolutni i manometarski tlak u točki A spremnika, za otklone manometra i

barometra prema slici. Zadano je: =999 kg/m3, 1 =771 kg/m3, 0 =13560 kg/m

3,

h=5 cm, h0=17,5 cm, h1=12,5 cm, ha=752 mm.

h

h0

h1

haA

3.3 Hidrostatski manometar može se iskoristiti za mjerenje količine fluida u spremnikuoblika paralelopipeda. Odredite zavisnost visine l žive gustoće 0 u lijevom krakumanometra o volumenu V nafte gustoće u spremniku dimenzija dna Lx B. Visina h se mjeri od ravnotežnog položaja žive prije punjenja spremnika i priključne cijevinaftom.


9/118

Zadaci


pa

pa

l

l

h

spremnik dimen ija dnax

z L B

ravnotežni položaj žive

nafta

priklju na cijev

č

živa

3.4

Osjetljivost hidrostatskog manometra (definirana odnosom otklon manometra /mjerena razlika tlakova) povećava se naginjanjem kraka manometra. Zamikromanometar na slici, duljina l u nagnutom kraku mjeri se od položaja meniskusakod jednakih tlakova p1 i p2.

Odredite kut nagiba kraka da bi osjetljivost manometra bila 1mm/Pa. Zadano je: =800

kg/m3.

D= d 10

d

h1 h2

l

3.5 Na slici je shematski prikazan princip rada hidrauličke preše. Odredite kojom silom F treba gurati ručicu da se ostvari sila prešanja F 2=4800 N. Zadano je: m=25 kg,

D=200 mm, h=1,3 m, l 1= 52 cm, l 2=12 cm, A1=19,6 cm2, =820 kg/m3.


10/118

Zadaci


l 1

h

A1 l

2

D

m

F 2

F =?

otpresak

g


11/118

Zadaci


4. Vježbe

4.1 Odredite rezultantnu silu tlaka (veličinu, smjer i hvatište) na kvadratni poklopacdimenzije a=0,8 m, čije se težište nalazi na dubini H =1,8 m, za slučajeve prema

slikama (a), (b) i (c). Zadano je: h=0,8 m, H 1=1,2 m, =998,2 kg/m3, 1 =820 kg/m

3,

=70o.

H

H 1

H

H

h

C

C

C

g

g

g

.

. .

.

. .

. .

.

.

.

..

..

.

. .

..

.

a

a a

(a)(b)

(c)

4.2 Potrebno je odrediti na koju visinu h treba spustiti razinu vode, da bi se poklopac

jedinične širine, okretljiv u točki O, prema slici, otvorio uslijed vlastite težine.


12/118

Zadaci


Gustoća poklopca je jednolika, a masa mu je m =250 kg. Zadano je: L=160 cm ,15 , =998 kg/m3.

O

L

pa

pa

h=?

g

poklopac

4.3 Treba odrediti silu F koja drži u ravnoteži poklopac AB jedinične širine, zglobnovezan u točki A, u položaju prema slici. Zadano je : a=0,84 m; H =0,65 m; h=35,5cm; =999 kg/m3.

pa

pa

p0=?.. ....

..

.

.

. ..

H

B

A

a

h

F

poklopac

g


13/118

Zadaci


5. Vježbe

5.1 Kvadratična greda zglobno je učvršćena u bridu A. Odredite silu F kojom trebadjelovati na gredu jedinične duljine da bi bila u ravnoteži u položaju prema slici.Zadano je: a=1 m; =999 kg/m3.

pa

pa

g

A

a

a

F =?

5.2 Drvena homogena greda gustoće =940 kg/m3, duljine L=8 m i promjera D=0,5 m, pričvršćena je pod vodom gustoće v=999kg/m

3 u točki O, oko koje se može okretati.Kolika će u ravnotežnom položaju biti duljina l uronjenog dijela grede?

v

g

O

pa

L

l = ?

D

5.3 Homogena čelična kugla gustoće c=7800 kg/m3 radijusa R=8 cm zatvara otvor na

ravnoj stjenci promjera d =12 cm. Treba odrediti kut nagiba kose stjenke da kuglica

oslobodi otvor kada u spremniku nastupi pretlak od pM=5000 Pa.

d

=?

R

g

plin

pM=konst.

pa


14/118

Zadaci


5.4 Tankostijena bačva mase m=94 kg, volumena V =600 l, potpuno je potopljena podvodu gustoće =998,2 kg/m3. Do polovine volumena ispunjena je zrakom zanemarivetežine i privezana užetom za dno. Odredite silu F u užetu.

g

pa

zrak

.

...

..

. .

.

..

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

..

.

. ..

.

..

.

.

..

.

.

.

voda

uže


15/118

Zadaci


6. Vježbe

6.1 Treba odrediti rezultantnu silu na zatvarač, oblika polucilindra, jedinične širine B, prema slici. Zadano je: H =3 m, R=1 m, =60o, =998,2 kg/m3.

g

H

C

R

pa

pa

6.2

Treba odrediti silu F u vijcima, kojima je pričvršćen poklopac, oblika stošca, mase m= 474 kg, prema slici. Zadano je: H =1,4 m, h=0,9 m, R=0,8 m, pM0=2800 Pa, =998

kg/m3.

g

H

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

R

h

poklopac pM0

6.3 Kocka gustoće 0=495 kg/m3, brida a=0,44 m, zglobno je vezana u bridu O i zatvara

kvadratični otvor na dnu spremnika, prema slici. Treba odrediti silu F potrebnu za podizanje kocke. Zadano je: H =1,2 m, =35o, =999 kg/m3.

pa

pa

g

O

a

H

F=?


16/118

Zadaci


7. Vježbe

7.1 Odredite minimalni protok Q u nestlačivom strujanju fluida kod kojeg će ejektor početi usisavati fluid kroz vertikalnu cjevčicu. Zadano je A2=14 cm

2, A1=3,5 cm2,

h=0,9 m.

h

Q=? A1

pa

pa

A2

g

7.2 Odredite visinu z B kraja B sifona, pri kojoj se u neviskoznom strujanju fluida

ostvaruje maksimalni protok Q nestlačivog fluida gustoće =995,6 kg/m3, tlakaisparavanja pv =4241 Pa, ako je: pa =1010 mbar, z 1=34 m, z 0=30,5 m, d =150 mm.

d

g

pa

pa

z B=?

z 0

z 1

0

1

7.3 Voda neviskozno struji između dva velika spremnika u kojima je razlika visina razina H , kroz cijev promjera d . Odredite postotno povećanje protoka Q ako se na cijevugradi difuzor izlaznog promjera D=2d .

H

d

D

0

1

g

pa

pa


17/118

Zadaci


7.4 Odredite visinu h koju će dosegnuti mlaz vode ( =1000 kg/m3) na izlazu iz račvastecijevi, prema slici, ako su manometarski tlakovi pM1= pM2=2,68 bar. Zadano je:

D1=200 mm, D2=150 mm, d =100 mm, H =8 m.

h=?

3

4

pM1 pM2

z =021

D1 D2

d

H

pa g

7.5 Odredite promjer d mlaznice u sustavu prema slici uz uvjet da fluid u priključnojcijevi spremnika 2 miruje. Pretpostavite neviskozno strujanje. Zadano je H =3,4 m,

h=2,6 m, D=100 mm.

D

H

h

1

2 3 d =?

1

2

pa

pa

pa g


18/118

Zadaci


8. Vježbe

8.1 Odredite brzinu v1 i tlak p1 zraka ( z =1,23 kg/m3) u simetrali cijevi promjera D=50

mm, pomoću mjernog sustava s Prandtl-Pitotovom cijevi prema slici. Pretpostaviteneviskozno strujanje i uzmite u obzir debljinu Prandtl-Pitotove cijevi. Zadano je: d =5

mm, L=100 mm, =11, a=800 kg/m3

, h=40 mm, pa=101325 Pa.

d D1 2

3

p1, =?v1

h L

aa

z

z

8.2 Odredite protok vode mjeren Venturijevom cijevi, prema slici. Uzmite u obzir i

koeficijent korekcije brzine. Pri kojem bi protoku, za isti smjer strujanja i apsolutni

tlak p1=1,96 bar nastupila kavitacija u presjeku 2. Zadano je: =998,2 kg/m

3

, pv=2337 Pa, 0=13546kg/m3, h0=360 mm, L=0,75 m, D1=300 mm, D2=150 mm,

kinematička viskoznost vode =1,00410-6 m2/s.

h0 D1

L

D2

0

, pv

Q

g

8.3 Odredite horizontalnu silu vode na redukcijsku spojnicu prema slici, uz pretpostavku

neviskoznog strujanja fluida. Zadano je: D=200 mm, d=100 mm, =1000 kg/m3,

pM1=1,6 bar, pM2=0,9 bar.


19/118

Zadaci


pM1

pM2

D d

pa1

2

Q

8.4 Odredite rezultantu silu vode na račvu prema slici uz pretpostavku neviskoznogstrujanja. Volumen vode u račvi je V =0,11 m3. Zadano je: H =3,8 m, h=2,1 m, h1=1 m,

D1=300 mm, D2=200 mm, D3=300 mm, =1000 kg/m3.

D3

D1

D2

H

h

h1

pa

pa g


20/118

Zadaci


9. Vježbe

9.1 Treba odrediti rezultantnu silu fluida (veličinu i smjer) na difuzor s koljenom, premaslici, uz protok Q=389 l/s. Pretpostaviti strujanje idealnoga fluida. Volumen difuzora

je V d =3,27 m3, a volumen koljena do priključka je V k =0,16 m

3. Napomena: uzeti u

obzir i silu hidrostatskog tlaka koja djeluje izvana na difuzor. Zadano je: D=1,2 m,d =0,3 m, H =6,6 m, h=1,2 m, =1011 kg/m3.

h

H

d

Q

D

g

pa

9.2 Mlaz fluida nastrujava u neviskoznom strujanju u horizontalnoj ravnini protokom

Q=0,03 m3/s, brzinom v=3 m/s, na okomito postavljenu ploču prema slici. Trebaodredite silu fluida na ploču ako je Q1=0,01 m

3/s. Zadano je: =1000 kg/m3.

z =konst.

pa

Q1

Q2

Q

v

ploča

9.3 Potrebno je odrediti silu F kojom treba pridržavati lo paticu mase m =4,8 kg okretljivuoko točke O, prema slici, da bi bila u horizontalnom položaju. Pretpostavitineviskozno strujanje fluida. Za proračun obujma vode u lopatici pretpostaviti

poprečni presjek mlaza konstantnim i jednakim presjeku na ulazu u lo paticu. Zadano

je: L=1,4 m, L1=0,9 m, R=0,28 m, h=1,9 m, d =40 mm, vm=10,6 m/s, =999 kg/m3.


21/118

Zadaci


pa

pa

g

R

F =?

O

mg

T

L1

L

h

d vm

9.4

Fluid nastrujava u horizontalnom ravninskom neviskoznom strujanju na ploču jedinične širine nagnutu pod kutom =36°. Treba odrediti pretlak u presjeku A-A ako je ploča uravnotežena silom F =680 N, prema slici. Zadano je: h=25 mm, H =40 mm, =42°, =1000 kg/m3.

p =M ?

H

F

Q

h

z = konst.

pa

A

A

9.5 Osnosimetrična posuda prema slici otvorena je prema atmosferi, a u početnom jetrenutku ispunjena nestlačivim fluidom do visine H . Treba odrediti vrijeme pražnjenja

posude ako otvor na dnu ima koeficijent protoka C d=0,96. Zadano je: D=42 cm, d =12

mm, H =59,5 cm, h=29 cm.

pa

pa

d C d

h

H

D


22/118

Zadaci


10. Vježbe

10.1 Ispitajte dimenzionalnu nezavisnost sljedećih skupova fizikalnih veličina:

a)

p, i v

b)

Q, L i

c)

g , L i Q

d) F , M i t

e) , p i V

gdje su: p - tlak, - smično naprezanje, v - brzina, Q - protok, L - karakteristična duljina, - dinamička viskoznost, g - ubrzanje sile teže, F - sila, M - moment sile, t - vrijeme iV - volumen.

10.2 Formirajte bezdimenzijske parametre od veličina: vrijeme t , gravitacija g , sila F ,moment M , tlak p i dinamička viskoznost s pomoću dimenzionalno nezavisnogskupa: gustoća , brzina v i duljina L.

10.3 Moment M fluida na rotor aksijalne turbine zavisi od gustoće fluida , promjera D rotora, kutne brzine rotacije rotora i volumenskog protoka Q fluida kroz turbinu.

Primjenom dimenzionalne analize treba odrediti opći oblik zavisnosti momenta M od preostalih veličina. Ako se zna da moment M linearno zavisi od protoka Q (pri čemu je za Q=0, M =0), treba odrediti postotnu promjenu momenta M za geometrijski sličnu

turbinu 10% manjeg promjera koja rotira 15% većom kutnom brzinom i koristi istifluid pri istom protoku Q.

10.4 Otvorena cilindrična posuda promjera D, koja na dnu ima otvor promjera d ,koeficijenta protoka C d je ispunjena fluidom do visine H . Posuda se potpuno isprazni

u vremenu t 1=36,5 s. Primjenom Pi-teorema treba odrediti za koje bi se vrijeme t 2

ispraznila geometrijski slična posuda tri puta većih dimenzija (što znači da je i otvorna dnu tri puta veći) istog koeficijenta protoka C d otvora na dnu posude u istom poljugravitacije. Uputa: pretpostaviti da je t =f( D, d , C d, H , g ).


23/118

Zadaci


11. Vježbe

11.1 Treba odrediti kutnu brzinu vrtnje 0 i protok Q0 kroz slobodno rotirajuću svinutucijev prema slici. Kolika je dobivena snaga P T i protok QT za slučaj da cijev rotirakutnom brzinom T= 0/2. Koliku snagu P P (i pri kojem protoku QP) treba uložiti da

bi se cijev okretala kutnom brzinom P=2 0. Pretpostavite neviskozno strujanjefluida, a gubitke trenja u ležaju zanemarite. Zadano je: H =0,6 m, R=0,6 m, d =60 mm,

pM0=0,31 bar, =35o, =1000 kg/m3.

H

pM0

R

d

d

g

.

.

..

.

. ... .

.

..

.. .

.

.

.

..

... .. .

.. . ..

.

.. .

..

. .

.

...

. ..

..

.

.

.

..

.. .

..

.

...

.... ..

.. .

tlocrt

pa

1

0

11.2 Primitivna turbina preko remenice predaje korisnu snagu P M=730 W, pri konstantnoj

brzini vrtnje N =30 o/min i pri ukupnom protoku kroz turbinu Q=28,5 l/s. Trebaodrediti snagu P S koju predaje spremnik, snagu P T turbine i snagu P I fluida na izlazu

iz turbine, mehanički stupanj korisnosti MmT

P

P i ukupni stupanj korisnosti

Mu

S

P

P . Pretpostavite jednodimenzijsko strujanje idealnog fluida. Zadano je H =1,3

m, R=1,2 m, D=40 mm, =15o, =1000 kg/m3.


24/118

Zadaci


D

R

N

H =konst.

pM0

remenica

A A

N=konst.

g

Presjek A-A


25/118

Zadaci


12. Vježbe

12.1 Propeler vanbrodskog motora pogoni brodicu brzinom v=8,3 m/s. Promjer propelera

D=250 mm, a kroz njega se ostvaruje protok od Q=0,5 m3/s. Odredite potisnu silu,

ukupnu snagu predanu vodi i stupanj djelovanja propelera. Zadano je =1000 kg/m3.

12.2 Peltonova turbina promjera radnog kola D=3 m i kuta lopatice =160o okreće se

konstantnom kutnom brzinom n=240 o/min. Mlaz vode (gustoće =1000kg/m3)napušta mlaznicu promjera d=5 cm brzinom v=60 m/s. Odredite silu F nalopaticu te moment M i snagu P radnog kola.

12.3 Odredite snagu predanu jednom stupnju radnog kola aksijalne turbine srednjeg

promjera R=0.32 m rotora. Odredite kutove statorske lopatice 3 i 4 ako su ulazni i

izlazni kut rotora jednaki i iznose o1 2 25 . Zadano je: Q=0.031 m

3/s,

(protok kroz turbinu), =1000 kg/m3, =10.472 rad/s, b=10 mm (visina rotorske

lopatice).

12.4 Centrifugalna pumpa radi na N =1750 o/min, a apsolutna brzina na ulazu u lopatični prostor je radijalna ( 1=90

o). Kut lopatica na ulaznom bridu u odnosu na negativni

smjer obodne brzine je 1=30o, a na izlaznom 2=45

o. Uz pretpostavku neviskoznog

strujanja i beskonačnog broja beskonačno tankih lopatica (tangencijalne relativne brzine na lopatice) odredite protok Q vode gustoće =1000 kg/m3 kroz pumpu, tevisinu dobave h p pumpe, snagu P p koju pumpa predaje vodi i prirast tlaka p2- p1 kroz

pumpu. Promjer lopatičnog vijenca na ulazu je D1=100 mm, a na izlazu D2=250 mm,visina lopatica na ulazu je b1=15 mm, a na izlazu b2=8 mm.


26/118

Zadaci


13. Vježbe

13.1 Voda se prepumpava iz nižeg u viši spremnik, protokom Q=14 l/s. Odredite visinudobave h p pumpe i potrebnu snagu P M motora za pokretanje pumpe ako su

iskoristivost pumpe P=0,75, visina gubitaka do ulaza u pumpu hF1-2=1,5 m, visina

gubitaka od izlaza iz pumpe do ulaza u viši spremnik hF3-4=1,5m. Zadano je: =998,2kg/m3, D=71,4 mm, z 1=6,2 m, z 5=12,5 m.

1

pumpa

2

4

3

5

pa

Q

g

D

D

z 1

z 5

p

13.2 Pumpa dobavlja vodu mlaznici protokom Q=0,056 m3/s. Motor predaje pumpi snagu

P M=40,2 kW, a ukupna iskoristivost pumpe je 85%. Na ulazu u pumpu je izmjeren

manometarski tlak pM2=-0,351 bar. Odredite visinu gubitaka energije hF1-2 od razine

vode u spremniku do ulaza u pumpu, te hF3-5 od izlaza iz pumpe do izlaza iz mlaznice.Skicirajte energetsku i hidrauličku-gradijentnu liniju. Zadano je: h=1,5 mm, =998,2kg/m3, D2=150 mm, D3=100 mm, D5=50 mm.

pumpa pa

pa

Q

h

g

D3 D5

D 2

p

13.3 Odredite gubitke tlaka pri strujanju zraka ( ρ=1,225 kg/m3=konst., =1,4607·10-5 m2/s) protokom Q=5 m3/s kroz cjevovod duljine L=60 m pravokutnog presjeka

axb=600x300 mm. Cijev je od galvaniziranog željeza.

a

b


27/118

Zadaci


14. Vježbe

14.1 Odredite promjer D2 cjevovoda da bi razina fluida u spremniku 2 prema slici ostala

konstantna. Zadano je: ρ=997 kg/m3, =0,86·10-6 m2/s, H =18,2 m, h=11,4 m, L1=898m, D1=200 mm, k 1=k 2=0,02 mm i L2=2610 m.

pa

pa

pa

H

h

g

L ,D1 1, k 1

L , D2 2 =?k 2,

1

2

Q=?

14.2 Treba odrediti snagu koju pumpa predaje fluidu u sustavu za hlađenje kada je izvedenkao otvoreni, prema slici (a), te kao zatvoreni prema slici (b). U oba je slučaja protoku sustavu Q=0,005 m3/s, a promjena gustoće i viskoznosti s temperaturom se možezanemariti. Zadano je: =998,2 kg/m3, =1,2.10-6 m2/s, La=10,4 m, D=80 mm, k =0,05

mm, H =2,4 m, h=0,5 m, svi lokalni gubici u otvorenom sustavu K a=4,2, a u

zatvorenom K b=4,8, L b= La+ H.

pa

H

1

pumpa pumpa

P =a ? P = b ?

La L =L +H b a D D

k k

h

hladnjak

(a) (b)

Q Q g

g

hla eniobjekt

đ hla eniobjekt

đ

14.3 Treba odrediti promjer D cjevovoda da bi se na izlazu iz mlaznice dobilo 92%

raspoložive potencijalne energije u obliku kinetičke energije izlaznog mlaza uz protokod Q=0,552 m3/s. Koliki je promjer D3 mlaznice. Zadano je: =998,2 kg/m

3,

=1,139.10-6 m2/s, L=390 m, k =0,2 mm, H =274 m, K u=0,1, K m=0,06.


28/118

Zadaci


H

pa

pa

L, k

K m D3

K u D = ? g

14.4 Treba odrediti visinu h, protok Q i snagu P F koja se troši na svladavanje trenja, usituaciji prema slici. Koliku bi visinu hid dosegao mlaz i koliki bi bio protok Qid da je

fluid idealan. Zadano je: =999 kg/m3, =1,13.10-6 m2/s, D=65 mm, d =30 mm,

Luk =9,9 m, k =0,045 mm, H =2,4 m, K k =0,9, K u=0,5, K m=0,05 (uz izlaznu brzinu), pM0=0,86 bar.

D

K k K k

H

pM0

K u

h=?

d

pa

g

, k

Luk

K m


29/118

1. Vježbe


1. VJEŽBE

1.1 Zapišite u Gibbsovoj notaciji te nizom skalarnih jednadžbi izraze za:

a) moment sile F u odnosu na ishodište

b) rad sile F na putu d r .

Rješenje:

a)

M r F x y z z y z

y z x x z x x

z x y y x y x

M r F r F yF zF

M r F r F zF x F

M r F r F xF yF

( , , ) ( , , )

( , , )

x y z

x y z

r r r r x y z

F F F F

b)

d dW F r

x y zd d d dW F x F y F z

Napomena:

Snaga jed

=d

W P

t

d d=

d d

W r P F F v

t t

1.2 Odredite jedan jedinični vektor s u čijem smjeru nema promjene polja 26 p x yz u točki T(1,2,3).

Rješenje:

- općenito:

- s može biti bilo koji vektor u

ravnini koja je tangencijalna na p = konst. u točki T

grad

, ,

p p p p p i j k

x y z

p p p

x y z

12

p

x x

; p

z y

; p

y z

U točki T

T

12;3;2 p

F

r

F

d r

r

grad P

s i

p = konst.

T


30/118

1. Vježbe


Uvjet okomitosti grad p i s

0 p s x y zx y z

0 p p p

s s s x x x

0T

p s x y z12 3 2 0 s s s

Proizvoljno odabiremo x y 1 s s pa je

z x y

22 2 2 2 2

1 1512 3 7,5

2 2

1 1 7,5 58,25 x y z

s s s

s s s s

1 1 7,5; ; 0,131;0,131; 0,98358,25 58,25 58,25

s

1.3 Izračunajte vrijednost integrala dS

F pn S , gdje je S površina kugle polumjera

R = 3, sa središtem u točki S (2,1,3) a n je vanjska normala na površinu, ako je2 2 2 p x y z . Kolika bi bila vrijednost F za slučaj p = konst?

Rješenje:

d dS V

F pn S p V

2 2 2 p x y z 2

p x

x

; 2

p y

y

; 2

p z

z

3

x

42 d 2 2 2 3 144

3 sV

F x V x V

3

y42 d 2 2 1 3 723 s

V

F y V y V

3

z

42 d 2 2 3 3 216

3 sV

F z V z V

144 ,72 ,216 F

Za p = const. i (0,0,0) p slijedi (0,0,0)r


31/118

1. Vježbe


1.4 Odredite fluks vektora : dS

Q v n S po površini S kocke brida a=2 s centrom u

ishodištu (0,0,0)T . Površina S je orijentirana vektorom vanjske normale n , a vektor

v je 3 2 4v z y i xj x z k .

Rješenje:

Formula Gauss-Ostrogradski

dS V

Q v n S vd V

yx z 1

0 10

vv vv

x y z

1 d 1 8V

Q V V

1 1 1 1

1 11 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

d 3 3

2 2 4 4

x x

S

y y z z

Q v n S z y dz dy z y dz dy

x dz dx x dz dx x z dxdy x z dxdy

11 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

11

4 1 4 1 2 2

4 4 8

Q x dxdy x dxdy dxdy x dy

dy y

y

x

z


32/118

1. Vježbe


1.5 U točki T fluida tenzor naprezanja ima sljedeće komponente u odnosu na koordinatnisustav Oxyz

xy xy

ij

7 0 2

0 5 0

2 0 4

xx

yx yy yz

zx zy zz

Odredite vektor naprezanja na ravninu orijentiranu normalom2 2 1

, ,3 3 3

n

, te

apsolutnu vrijednost toga vektora.

Rješenje:

ij

7 0 2

0 5 0

2 0 4

2 2 1

, ,3 3 3

n

jin

x x xx y yx z zx2 1

7 2 43 3

n n n

y x xy y yy z zy2 10

53 3

n n n

z x xz y yz z zz2 1

2 4 03 3

n n n

104; ;0

3

2

2 2 2 2 104 5,213

x y z


33/118

2. Vježbe


2. VJEŽBE

2.1 Na visini h=1 m, prema slici, nalazi se otvor cijevi iz koje izlazi mlaz fluida stalnom

brzinom v=8 m/s, pod kutom =49°. Uz pretpostavku idealnog fluida i uzzanemarenje trenja između zraka i fluida odredite maksimalnu visinu H i duljinu L

koju će mlaz dosegnuti.

g pa

v

Rješenje:

Mlaz fluida je sa svih strana okružen zrakom pod konstantnim atmosferskim tlakom, takoda je rezultirajuća sila tlaka na svaku česticu fluida u mlazu jednaka nuli, te od vanjskihsila ostaje samo sila težine. Prema tome, svaka čestica fluida u mlazu gibat će se poputmaterijalne točke u polju gravitacije (kosi hitac). Budući da svaka čestica u izlaznommlazu ima brzinu v, dovoljno je promatrati gibanje jedne čestice fluida, a gibanje svihostalih čestica će biti potpuno identično. Stoga će oblik mlaza biti jednak obliku putanješto bi ga opisala jedna materijalna točka izbačena brzinom v pod kutom s visine h uodnosu na koordinatni sustav prikazan na slici.

z

x

v =vA

g

vC

vB

t =A 0

t B

t C

dm g .

dm g .

dm g .


34/118

2. Vježbe


Gibanje se rastavlja u smjeru osi x i osi z . U svakom trenutku na česticu djeluje samo sila

težine d d F m g , te prema drugom Newtonovom zakonu d dm a F , vrijedi a g , ili

2

x 2

d= 0

d

xa x

t

2

z 2

d= -

d

z a z g

t (1)

Jednadžbe (1) se integriraju u vremenu nakon čega slijedi:

x 1

d= =

d

x x v C

t

z 2

d= = - +

d

z z v g t C

t (2)

Konstante C 1 i C 2 se određuju iz početnih uvjeta. Vremenski trenutak t =0 odgovaratrenutku nailaska čestice fluida u točku A u kojoj se komponente brzine

x = cosv v

z = sinv v ; za t =0 (3)

Uvrštavanjem (3) u (2) slijedi da je

1 = cosC v i 2 = sinC v (4)

odnosno vrijedi

x

d= = cos

d

xv v

t

z

d= = sin

d

z v v g t

t (5)

Integriranjem jednadžbi (5) dobije se promjena puta čestice fluida u vremenu:

3= cos x v t C

2

4

1= sin

2 z v t gt C (6)

Konstante integracije C 3 i C 4 se ponovo dobiju iz početnih uvjeta, tj. U trenutku t =0 česticafluida se nalazi u točki A s koordinatama x= xA=0 i z = z A=h, što uvršteno u (6) daje: 3 = 0C

i 4 =C h , odnosno:

= cos x v t

21

= + sin2

z h v t gt (7)


35/118

2. Vježbe


Položaje točaka B i C moguće je odrediti iz jednadžbi (5) i (7).

Do točke B mlaz fluida ide prema gore, odnosno brzina vz je pozitivna, a nakon točke B brzina vz je negativna, što znači da je u točki B brzina vz jednaka nuli, te se iz jednadžbe (5)

može izračunati vrijeme t B potrebno da čestica fluida dođe od točke A do točke B.

zB B B

sin= 0 = sin

vv v g t t

g

(8)

Iz jednadžbe (7) za t = t B slijede koordinate točke B

2

B

sin sin cos= cos 3,23 m

v v x v

g g

2

B

sin= = + 2,86 m2

v z H h g

(9)

U točki C je t =t C i z C=0 te iz jednadžbe (7) slijedi

2

C C

10 = + sin

2h v t g t (10)

Rješenje kvadratne jednadžbe (10) je:

2 2

C sin sin 2= v v ght g

(11)

gdje je očito samo jedno rješenje fizikalno (t C mora biti pozitivno)

2 2

C

sin sin 2= 1,379 s

v v ght

g

Uvrštenjem t C u jednadžbu (7) za x-koordinatu točke C slijedi:

C C= = cos 7,24 m x L v t .


36/118

2. Vježbe


2.2 Blok mase m=10 kg kliže po glatkoj površini kosine nagnute pod kutom =20.Odredite brzinu U bloka koja će se ustaliti, ako se između bloka i kosine nalazi uljnifilm debljine h=0,1 mm. Koeficijent dinamičke viskoznosti ulja je =0,38 Pas, a

površina bloka u dodiru s uljem A=0,15 m2. Pretpostavite linearni profil brzine uuljnom filmu.

U = ?

m

A

Rješenje:

h

U

h

F A

mg

m g s i n

F

sin F mg

sinU

A mg h

sinmg hU

A

310 9,80665 sin 20 0,1 10

0,38 0,15U

0,0588 m/sU

Napomena: Za konstantu g se koristi vrijednost 29,80665 m/s g .


37/118

2. Vježbe


2.3 Newtonska kapljevina gustoće =920 kg/m3, kinematičkog koeficijenta viskoznosti =510-4 m2/s struji preko nepomične stijenke. Profil brzine uz stijenku dan jeizrazom

33 1

2 2

u y y

U

y

u( ) y

U

gdje je y udaljenost od stijenke, a udaljenost na kojoj je brzina u U . Odredite

veličinu i smjer tangencijalnog naprezanja na površini stijenke, u zavisnosti od U i

.

Rješenje:

0 0

d d

d d y y

u u

y y

2

3

0

d 3 1 3 d 3

d 2 2 d 2 y

u y u U U

y y

32

U

4 3920 5 102

U

2

m/s

N/m

m

0,69U

Tangencijalno naprezanje fluida na stijenku djeluje u smjeru relativne brzine fluida u

odnosu na stijenku.


38/118

2. Vježbe


2.4 U cilindričnoj posudi polumjera R0=220 mm, nalazi se cilindar polumjera R=216 mmkoji rotira stalnom brzinom vrtnje n=200 o/min za što se troši snaga P = 46 W.Odredite koeficijent dinamičke viskoznosti kapljevine koja ispunjava prostorizmeđu cilindra i posude u kojem pretpostavite linearni profil brzine, a utjecaj dnazanemarite. Zadano je: h=20 cm.

R

h

=?

n=konst

POSUDA

R0

g

cilindar

Rješenje:

30

n

; u R ;

0

u

R R

2 F R h ; M F R ; P M

2 2

0

2 2 u

P F R R h R h R R

2 3 3 2 3

0 0

2 2900

R n R P h h

R R R R

03 2 3

450 P R R

n R h

3 2 3

450 46 0,220 0, 216

200 0,216 0,20

0,0331 Pa s


39/118

3. Vježbe


3. VJEŽBE

3.1 U jedan krak U-cijevi u kojoj se nalazi voda gustoće =999,1 kg/m3 nadoliveno jeulje gustoće 0=820 kg/m

3, prema slici. Ako je visina stupca ulja h0=150 mm,

odredite razliku visina h razina ulja i vode.

pa pa g

h=?

h0ulje

Rješenje:

pa

pa hA

B

h0h0-h

Jednadžba manometra od A do B:

0 0 0a a p g h h gh p

0 0 0 0h h h

00 1h h

8200,15 1

999,1h

0,0269 m 26,9 mmh


40/118

3. Vježbe


3.2 Odredite apsolutni i manometarski tlak u točki A spremnika, za otklone manometra i

barometra prema slici. Zadano je: =999 kg/m3, 1 =771 kg/m3, 0 =13560 kg/m

3,

h=5 cm, h0=17,5 cm, h1=12,5 cm, ha=752 mm.

h

h0

h1

haA

Rješenje:

Barometar: a 0 a 99999,6 Pa = 1000 mbar = 1000 hPa p gh

0,001 bar 1mbar 1hPa

Manometar : A 0 0 1 1 1a p p g h h gh gh

Apsolutni tlak u točki A: A 138458 Pa=1385 mbar p

Manometarski tlak u točki A: MA A a 38458 Pa = 385 mbar p p p


41/118

3. Vježbe


3.3 Hidrostatski manometar može se iskoristiti za mjerenje količine fluida u spremnikuoblika paralelopipeda. Odredite zavisnost visine l žive gustoće 0 u lijevom krakumanometra o volumenu V nafte gustoće u spremniku dimenzija dna Lx B. Visina h se mjeri od ravnotežnog položaja žive prije punjenja spremnika i priključne cijevinaftom.

pa

pa

l

l

h

spremnik dimen ija dnax

z L B

ravnotežni položaj žive

nafta

priklju na cijev

č

živa

Rješenje:

V V L B H H

L B

(1)

0a a2 p g H h l gl p (2)

(1) u (2)

02V

h l L B

02

V l h L B

Slučaj V =0, priključna cijev puna, 0l l

0

02

hl


42/118

3. Vježbe


3.4 Osjetljivost hidrostatskog manometra (definirana odnosom otklon manometra /

mjerena razlika tlakova) povećava se naginjanjem kraka manometra. Zamikromanometar na slici, duljina l u nagnutom kraku mjeri se od položaja meniskusakod jednakih tlakova p1 i p2.

Odredite kut nagiba kraka da bi osjetljivost manometra bila 1mm/Pa. Zadano je:

=800 kg/m3.

D= d 10

d

h1 h2

l

Rješenje:

2 sinh l (1)

2 1 2 1J.M. p g h h p (2)

2 2

14 4

D d h l

(3)

2

1iz(3) d

h l D

(3a)

(1) i ( 3a) u (2)

2

1 2sind

g l p p D

(4)

3

21 2

1osjetljivost 10 m Pa

sin

l

p p d g

D

(5)

2 233 1010 sin 1 sin 0,017

d d g

D g D

sin 0,017

6,75 6 44 45


43/118

3. Vježbe


3.5 Na slici je shematski prikazan princip rada hidrauličke preše. Odredite kojom silom F treba gurati ručicu da se ostvari sila prešanja F 2=4800 N. Zadano je: m=25 kg,

D=200 mm, h=1,3 m, l 1= 52 cm, l 2=12 cm, A1=19,6 cm2, =820 kg/m3.

l 1

h

A1 l 2

D

m

F 2

F =?

otpresak

g

Rješenje:

h l 1

A1

A2

F 1 F 1

l 2

F

F 2

F 2

F 2

p2

mg

mg

otpresak

ulje

stap 2

F 2

p2

p1

p1


44/118

3. Vježbe


Poluga: 1 2 1 2 F l l F l (1)

Stap 1:1

1 1 a 1 1 1 a

1

F p A p A F p p

A

(2)

Jednadžba

manometra

2 1 p p gh (3)

Stap 2:2

2 2 a 2 2 2 a 2

4

F mg p A p A F mg p p

D

(4)

Nepoznanice: F , F 1, p1, p2

(2) i ( 4) u (3)

2 1a a2

1

4

F mg F p p gh

D A

21 1 2

4

F mg F A gh

D

1 335 N F

21

1 2

l F F

l l

62,9 N F


45/118

4. Vježbe


4. VJEŽBE

4.1 Odredite rezultantnu silu tlaka (veličinu, smjer i hvatište) na kvadratni poklopacdimenzije a=0,8 m, čije se težište nalazi na dubini H =1,8 m, za slučajeve prema

slikama (a), (b) i (c). Zadano je: h=0,8 m, H 1=1,2 m, =998,2 kg/m3, 1 =820 kg/m

3,

=70o.

H

H 1

H

H

h

C

C

C

g

g

g

.

. .

.

. .

. .

.

.

.

..

..

.

. .

..

.

a

a a

(a) (b)

(c)


46/118

4. Vježbe


Rješenje:

(a)

H

O

C

z

F h

y C

y

70o

2

h 11277N F gH a

C 1,92 msin

H y

4

2ξξ

2

C C C

12 0,0278 m12

a I a

y y S y a y

Sile konstantnog tlaka pa izvana i iznutra

se poništavaju.

(b) 1. način

h

H

.

. .

.

. .

. ..

.

.

..

..

.

.

.

..

.

C

a

Izvana djeluje sila uslijed atmosferskog

tlaka pa, a iznutra sila uslijed konstantnog

tlaka p0.

Razlika tih dviju sila je sila F 0 pretlaka pM0 iznutra.

Sila F h uslijed hidrostatskog tlaka je ista

kao pod (a).

Jednadžba manometra

0a p gh p

M0 0 a 7831Pa p p p gh

2

M00 5012 N F p a

C F

h

F 0F R

y

y R

poklopac

Rezultantna sila :

R 0 h 16289 N F F F

i R M M R R h F y F y

hR R

0,0193m F y y F


47/118

4. Vježbe


(b) 2. način

H

h

z

. .

.

.

. .

.

.

.

..

..

.

. .

..

.

H

O

C

fiktivna

slobodna površina

y C

y R

Ako se pretlak M0 p

pretvori u visinu tlaka

M0 p

h g

dolazi se do

fiktivne slobodne

površine na kojoj vladaatmosferski tlak, te na

površinu djeluje samo silauslijed hidrostatskog tlaka

računata na osnovudubine mjerene od

fiktivne slobodne

površine.

2R h 16289 N F F g H h a

C 2,77 msin

H h y

4

ξξ

R 2

C C

2

R

C

12

0,0193m12

a I

y y S y a

a y

y

(c)

H 1

H

C

F h

F h 1

F R

1

R

Sile konstantnog tlaka pa se

poništavaju.

Sila F h uslijed hidrostatskog

tlaka je ista kao pod (a).

2

h1 1 1 6176 N F gH a

1C1 1,28 m

sin

H y

4

ξξ

1 2

C1 C1

12 0,0418 m

a I

y y S y a

R h h1 5101N F F F

C 0 M R h h1 1 R

F y F y F y

1h h1R R

0,0109 m F y F y

y F


48/118

4. Vježbe


4.2 Potrebno je odrediti na koju visinu h treba spustiti razinu vode, da bi se poklopac

jedinične širine, okretljiv u točki O, prema slici, otvorio uslijed vlastite težine.Gustoća poklopca je jednolika, a masa mu je m =250 kg. Zadano je: L=160 cm ,

15 , =998 kg/m3.

O

L

pa

pa

h=?

g

poklopac

Rješenje:

O

L

pa

mg

F h

y C

x

y

pa h

C

Na poklopac djeluje

vlastita težina i silahidrostatskog tlaka.

Poklopac će se otvoritikada moment sile težineu odnosu na točku O

bude veći od momentasile hidrostatskog tlaka.

Krak sile težine u odnosu

na točku O je, cos2

L a

krak sile F h hidrostatskog

tlaka je2

L y , te vrijedi

hcos2 2

L Lmg F y

(a)

Sila hidrostatskog tlaka je definirana izrazom

h C C sin 1 F gh A g y L (b)

a pomak3 2

C C C

112 1 12

I L L y

y A y L y (c)


49/118

4. Vježbe


Uvrštavanjem izraza (b) i (c) u (a) slijedi izraz za yC

C ctg 0,851 m6

m L y

L

(d)

Iz slike (a) slijedi granična visina h fluida

Csin sin 0,427m2

Lh x y

(e)

Očito je sinh L = 0,414 m, što znači da je razina fluida iznad gornjeg ruba poklopca,kao što je pretpostavljeno na slici (a). Da to nije tako, trebalo bi ponoviti proračun uz

pretpostavku da je samo dio površine poklopca u dodiru s fluidom.

4.3

Treba odrediti silu F koja drži u ravnoteži poklopac AB jedinične širine, zglobnovezan u točki A, u položaju prema slici. Zadano je : a=0,84 m; H =0,65 m;h=35,5 cm; =999 kg/m3.

pa

pa

p0=?.. ....

..

.

.

. ..

H

B

A

a

h

F

poklopac

g


50/118

4. Vježbe


Rješenje:

pa

p0. . .... ..

.

. ..

H

B

A

a

a/2

h =y H C C= /2

H /2h

12

F

F h

F 0

y

Slika (a) Sile na poklopac

U ovom primjeru nije pogodno

uvoditi fiktivnu slobodnu

površinu, jer površina AB nije

čitava uronjena u fluid. Na dio površine poklopca koji senalazi iznad fluida, djeluje

samo sila konstantnog tlaka p0,

a na potopljeni dio površine isila tlaka p0 i sila hidrostatskog

tlaka. Zbog toga je u ovom

slučaju jednostavnije računatisilu F 0 (uslijed konstantnog

tlaka p0) na čitavu površinu,koja djeluje u težištu poklopcaAB i silu hidrostatskog tlaka

F h, na dio poklopca ispod

stvarne slobodne površine, kaošto je prikazano na slici (a).

Sila težine poklopca prolazi točkom A, te u ravnoteži momenata nije bitna. S obzirom dafluid u spremniku miruje, tlak p0 će se odrediti iz jednadžbe manometra od točke 1 u

piezometričkoj cijevi do točke 2 na slobodnoj površini, koja glasi

a 0 p gh gH p (a)

iz koje je manometarski tlak

M0 0 a 2890Pa p p p g h H (b)

Negativni predznak ukazuje da se radi o podtlaku, te će sila F 0

0 M01 2428N F p a (c)

biti negativna, odnosno usmjerena suprotno nego što je ucrtano na slici (a). Sila F h je

h 1 20702

H F g H N (d)

a pomak hvatišta sile F h je

3

C

1

12 0,108 m6

1

2

H I H

y H y A

H

(e)


51/118

4. Vježbe


Sila F se određuje iz uvjeta ravnoteže momenata u odnosu na točku A, koja glasi

0 h2 2 6

a H H F a F F

(f)

U gornjoj se jednadžbi sila F 0 uvrštava s negativnim predznakom, te slijedi sila F =-680 N,što znači da na poklopac treba djelovati silom F u suprotnom smjeru od smjera na slici (a).S obzirom da se poklopac naslanja na stjenku u točki B, sila F će biti sila reakcije između

poklopca i stjenke, te za držanje poklopca u ravnoteži neće trebati djelovati silom izvana.


52/118

5. Vježbe


5. VJEŽBE

5.1 Kvadratična greda zglobno je učvršćena u bridu A. Odredite silu F kojom trebadjelovati na gredu jedinične duljine da bi bila u ravnoteži u položaju prema slici. Zadano je: a=1 m; =999 kg/m3.

pa

pa

g

A

a

a

F =?

Rješenje:

1. način – površina se tretira kao zbrojravnih površina

pa

C1F

1

F 2

C2a

a

F

A

C1

C2

2l a

1

1

2 F g a l B

3

112

1 6

2

l Bl

l

l l B

2

3

2

F g a l B

3

212

3 182

l Bl

l

l l B

1 1 2 2

1 12 0

2 2 F a F l l F l l

2 21 1 5

12 3 12 F gl B gl B

8164 N F


53/118

5. Vježbe


2. način – površina se tretira kao zakrivljena površina

pa

A

C2

x

z

hC=a

H= a2h

B=1

projekcija površine

Cx

H

S x

x 2S B a

3 32 2

12 3

B a a I

Horizontalna komponenta F h

2h C x 2 2 19593 F g h S g a a ga N 3

C x

2

13 0,333 m2 3

a I

h ah S a a

Vertikalna komponenta F v

A

A

T2a

a

=

22

2

a aV a

2

v 9797 F gV ga N

10,333 m

3 x a

pa

A

F

F h 2a F v

Uvjet ravnoteže:

A0 M

v h2 F a F x F a h

v h

1 2

2 3 3

a a F F F

a

8164 N F


54/118

5. Vježbe


5.2 Drvena homogena greda gustoće =940 kg/m3, duljine L=8 m i promjera D=0,5 m, pričvršćena je pod vodom gustoće v=999kg/m

3 u točki O, oko koje se može okretati.Kolika će u ravnotežnom položaju biti duljina l uronjenog dijela grede?

v

g

O

pa

L

l = ?

D

Rješenje:

O

L / 2

l / 2

F b

G

2

4

DG g L

2

b v4

D F g l

O

0 M

bcos cos2 2

L l G F

2 2 2 2

vcos cos

4 2 4 2

D L D l g g

v

7,76 ml L


55/118

5. Vježbe


5.3 Homogena čelična kugla gustoće c=7800 kg/m3 radijusa R=8 cm zatvara otvor na

ravnoj stjenci promjera d =12 cm. Treba odrediti kut nagiba kose stjenke da kuglica

oslobodi otvor kada u spremniku nastupi pretlak od pM=5000 Pa.

d

=?

R

g

plin

pM=konst.

pa

Rješenje:

d / 2

G

F 0

C

A

k

O

R

Slika (a) Sile na kuglu

Od vanjskih sila na kuglu djeluju sila težine G u težištu Ckugle, te sila F 0 uslijed pretlaka pM koja je okomita na

projekciju dijela površine kugle izložene pretlaku pM, tetakođer prolazi težištem C kugle, kao što prikazuje slika(a). Gledajući raspored sila može se zaključiti da će sekuglica pomaknuti kada moment sile F 0 bude veći odmomenta težine, a kuglica će se gibati oko točke O ukojoj će biti nepoznata sila reakcije, koju nije nužno

odrediti jer se postavlja momentna jednadžba oko točkeO u obliku

02

d F G k (a)

Sila F 0 konstantnog tlaka je jednaka umnošku pretlaka i projekcije površine pod pretlakom, što u ovom slučajuglasi

2

0 M 56,5 N

4

d F p

(b)

Sila težine je

3c

4164 N3G mg R g (c)

Krak k sile težine, prema slici (a) je

cosk R (d)

gdje se kut može odrediti iz pravokutnog trokuta AOC prema slici (a), iz jednadžbe

o2cos 41,4d

R (e)

Uvrštavanje izraza (d) u izraz (a) daje

0cos2

F d

R G

(f)

odakle jeo75 , odnosno o33,6 . (g)


56/118

5. Vježbe


5.4 Tankostijena bačva mase m=94 kg, volumena V =600 l, potpuno je potopljena podvodu gustoće =998,2 kg/m3. Do polovine volumena ispunjena je zrakom zanemarivetežine i privezana užetom za dno. Odredite silu F u užetu.

g

pa

zrak

.

...

..

. .

.

..

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

..

.

. ..

.

..

.

.

..

.

.

.

voda

uže

Rješenje:

F b

F

mg

.

...

.

..

..

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

..

.

. .

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

b2

V F g

G mg

b 0 F F G

b2

V F F G g mg

2015 N F


57/118

6. Vježbe


6. VJEŽBE

6.1 Treba odrediti rezultantnu silu na zatvarač, oblika polucilindra, jedinične širine B, prema slici. Zadano je: H =3 m, R=1 m, =60o, =998,2 kg/m3.

g

H

C

R

pa

pa

Rješenje:

H

C

A

B

DE

F

2

s i n

R

2 cos R

n

n

V

H I xG

z

O

Slika (a) Sile na zatvarač

Ishodište koordinatnog sustava O xz jesmješteno na slobodnu površinu. Sileatmosferskog tlaka pa izvana i iznutra se

poništavaju tako da na zatvarač djeluje samosila hidrostatskog tlaka, koja se razlaže nahorizontalnu i vertikalnu komponentu.

Horizontalna komponenta sile se računa izizraza

x Cx x F p S (a)

gdje je S x projekcija površine zatvarača, a pCx hidrostatski tlak u njenu težištu. Gledajućisliku (a), horizontalne sile na dijelu površineDEF zatvarača se međusobno poništavaju jer

je projekcija dijela EF jednaka projekciji DE,

a suprotnog je predznaka.

Projekcija S x se dakle odnosi na dio ABD površine zatvarača, oblika je pravokutnika površine 2 BRsin i pozitivna je, jer vektor normale n na površinu čini s pozitivnimsmjerom osi x kut manji od 90o. Težište projekcije površine S x je u točki C u kojoj jehidrostatski tlak Cx p gH , te je

x 2 sin 50,9 kN F gH R B (b)

Negativni predznak sile F x kazuje da sila gleda u negativnom smjeru osi x, tj. u lijevo.

Vertikalna komponenta sile je po veličini jednaka težini fluida u volumenu od površinezatvarača do slobodne površine. Volumen je definiran vertikalama AH i FI, povučenim iz


58/118

6. Vježbe


rubnih točaka površine zatvarača. Vertikala BG dijeli površinu zatvarača na dijelove s pozitivnom i negativnom projekcijom S z. Dio AB površine ima negativnu projekciju S z, tevertikalna sila na taj dio površine gleda u pozitivnom smjeru osi z , a definirana jevolumenom ABGHA. Dio površine BDEF ima pozitivnu projekciju S z, na koju vertikalnakomponenta sile hidrostatskog tlaka gleda prema dolje, a definirana je težinom fluida u

volumenu BDEFIGB.

AA

BBB

DD EE FF

V

HH IIG G

+ =

Kada se ove dvije sile zbroje dobije se ukupna vertikalna komponenta sile hidrostatskog

tlaka koja gleda prema dolje, a definirana je volumenom ABDEFIHA, koji je osjenčan naslici (a). Veličina tog volumena se računa kao umnožak zbroja površina polukruga itrapeza AFIH sa širinom B zatvarača, te je izraz za silu F z

2

z 2 cos 44,7 kN

8

D F g R H B (c)

Negativni predznak sile F z ukazuje da ona gleda prema dolje.

Za određivanje hvatišta rezultante u općem bi slučaju bilo potrebno prvo odrediti položajhvatišta horizontalne i vertikalne komponente sile hidrostatskog tlaka. Za slučaj cilindrične

površine to nije nužno, jer se unaprijed zna da će rezultanta prolaziti točkom C jer i sveelementarne sile d pn S prolaze točkom C.

C

F R

Slika (b) Položaj rezultantne sile

Rezultantna sila je po veličini jednaka

2 2

R x z 67,7 kN F F F (d)

a djeluje pod kutom prema slici (b)

oz

x

arctg 41,3 F

F (e)


59/118

6. Vježbe


6.2 Treba odrediti silu F u vijcima, kojima je pričvršćen poklopac, oblika stošca, mase m= 474 kg, prema slici. Zadano je: H =1,4 m, h=0,9 m, R=0,8 m, pM0=2800 Pa,

=998 kg/m3.

g

H

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

R

h

poklopac pM0

Rješenje:

H

R

h

M0

F 0

F z

mg

F v

sl. povina rš

r V

Slika (a) Sile na poklopac

Na slici (a) su prikazane sile koje djeluju na

poklopac. Osim sile težine samog poklopca i sile F v u vijcima (koja je pretpostavljena tako da

izaziva vlačna naprezanja u vijcima), djeluje jošvertikalna sila F 0 konstantnog pretlaka pM0 i sila

F z hidrostatskog tlaka. Horizontalne sile tlaka se

međusobno poništavaju. Sila F 0 konstantnog pretlaka je jednaka umnošku pretlaka i ploštine projekcije S z površine stošca sa strane pretlaka pM0. Projekcija S z je oblika kruga polumjera R inegativna je, te je sila jednaka

2

0 M0 5630 N F p R (a)

i gleda prema gore.

Vertikalna komponenta F z sile hidrostatskog tlaka je po veličini jednaka težini fluida u prostoru od površine stošca u dodiru s fluidom do slobodne površine. Taj volumen jeosjenčan na slici (a). Njegov je obujam

2 2 2

3

hV R h R r Rr (b)

Nepoznati polumjer r se određuje iz sličnosti trokuta, prema kojoj je

0,286 mr R H h

r R H h H H

(c)

što uvršteno u izraz (b), daje obujam V =0,914 m3. Sila F z također gleda prema gore (jer je

projekcija površine u dodiru s fluidom negativna), a po veličini je


60/118

6. Vježbe


z 8945 N F gV (d)

Iz ravnoteže vertikalnih sila, prema slici (a), slijedi tražena sila u vijcima

v 0 z 9930 N F F F mg (e)

.

.

.

.

.

.

. . .

. .

.

h

pM0

Fiktivna slobodna povr inaš

hF

A B

Slika (b)

Do istog se rezultata moglo doći i na druginačin. Ako se poklopcem smatra sve onošto se nalazi iznad ravnine A-B, prema slici(b), odnosno iznad otvora polumjera R,

tada će i fluid unutar stošca pripadati poklopcu. Ako se sa F M0h p g , prema

slici (b), označi visinu pretlaka pM0, kojadefinira položaj fiktivne slobodne površine,

tada će sila F na poklopac biti jednakatežini fluida u osjenčanom volumenu.

.

.

.

.

.

.

. . .

. .

.

h

pM0

Fiktivna slobodna povr inaš

hF

A B

Slika (c)

Ako se toj sili oduzme težina fluida uzatvar aču, dobije se situacija prikazana naslici (c), gdje osjenčani dio volumena odstvarne do fiktivne slobodne površinedefinira silu F 0, a osjenčani volumen ispod

stvarne slobodne površine definira silu F z, jednako kao u prvom načinu.


61/118

6. Vježbe


6.3 Kocka gustoće 0=495 kg/m3, brida a=0,44 m, zglobno je vezana u bridu O i zatvara

kvadratični otvor na dnu spremnika, prema slici. Treba odrediti silu F potrebnu za podizanje kocke. Zadano je: H =1,2 m, =35o, =999 kg/m3.

pa

pa

g

O

a

H

F=?

Rješenje: pa

pa

O

A

H

F 2

F 1

F 3

Slika (a) Sile tlaka na kocku

pa

pa

A

O

H F 2

F 1

F 3 F 4

F 4

Slika (b)

Na slici (a) su prikazane sile tlaka koje djeluju na kocku. Sile koje djeluju na plohe kocke

koje su paralelne ravnini slike, međusobno se poništavaju. Ako se na plohi OA doda i

oduzme sila F 4 hidrostatskog tlaka, kao što je prikazano na slici (b), tada suma sila 1 F , 2 F ,

3 F i sile 4 F izvana, daju silu uzgona, koja djeluje u težištu kocke, te osim nje ostaje silahidrostatskog tlaka F 4 iznutra na plohu OA, kao što je prikazano na slici (c), na kojoj jeucrtana i sila težine kocke, odgovarajući krakovi sila, te veličine yC i y za silu F 4. Iz slike(c) slijedi

sin cos 0,613 m L a a (a)

2 0,306 mk L (b)


62/118

6. Vježbe


pa

pa

O

H

F

F 4

A

y C

y

C

asin acos

L

mg

F b

k=L/2

Slika (c) Sile na kocku

C 1,68 mcos 2

H a y

(c)

C C cos 1,38 mh y

(d)

Na temelju čega je

2

4 C C

4

cos

2618 N

F g h A g y a

F

4

2

C C

2

C

12

0,011m12

a I

y y A y a

a y

y

3

b 834,5 N F gV ga

Kocka će se podići kada moment sile F (u odnosu na točku O) svlada momente ostalih sila,tj.

4 b2 2

a L F L F y mg F (e)

odakle je sila 776 N F .


63/118

7. Vježbe


7. VJEŽBE

7.1 Odredite minimalni protok Q u nestlačivom strujanju fluida kod kojeg će ejektor početi usisavati fluid kroz vertikalnu cjevčicu. Zadano je A2=14 cm

2, A1=3,5 cm2,

h=0,9 m.

h

Q=? A1

pa

pa

A2

g

Rješenje:

Da bi ejektor počeo usisavati fluid kroz vetikalnu cjevčicu, tlak p1 u presjeku A1 mora bitimanji od hidrostatskog tlaka koji vlada pri mirovanju fluida u vertikalnoj cjevčici.

1 a p p gh (a)

Bernoullijeva jednadžba od presjeka A1 do presjeka A2 glasi:

2 2

1 1 2 2

2 2

p v p v

g g g g (b)

Jednadžba kontinuiteta

1 1 2 2v A v A Q 1 21 2

iQ Q

v v A A

(c)

Uvrštavanjem (c) i (a) u (b)

2 2

a a

2 2

1 22 2

p gh pQ Q

g gA g gA

odakle je:

3 31 2

2 2

2 1

2 1,52 10 m s A A

Q gh A A


64/118

7. Vježbe


7.2 Odredite visinu z B kraja B sifona, pri kojoj se u neviskoznom strujanju fluida

ostvaruje maksimalni protok Q nestlačivog fluida gustoće =995,6 kg/m3, tlakaisparavanja pv =4241 Pa, ako je: pa =1010 mbar, z 1=34 m, z 0=30,5 m, d =150 mm.

d

g

pa

pa

z B=?

z 0

z 1

0

1

Rješenje:

Spuštanjem izlaznog kraja sifona brzina strujanja se povećava, a tlak u najvišoj točkisifona smanjuje. Pri minimalnom tlaku u najvišoj točki, koji odgovara tlaku isparavanja pv

postiže se maksimalno moguća brzina.

Iz Bernoullijeve jednadžbe od točke 1 do točke B slijedi:

2 2max a max1 B

2 2

v p v p v z z g g g g

odakle je:

aB 1 24,1m

v p p z z g

Iz Bernoullijeve jednadžbe od 0 do B slijedi:

2

0 B 0 B2 11,2 m/s2

v z z v g z z

g

2 2

3

0 B2 0,2 m s4 4

d d Q v g z z


65/118

7. Vježbe


7.3 Voda neviskozno struji između dva velika spremnika u kojima je razlika visina razina H , kroz cijev promjera d . Odredite postotno povećanje protoka Q ako se na cijevugradi difuzor izlaznog promjera D=2d .

H

d

D

0

1

g

pa

pa

Rješenje:

B.J. 0-1

2

a a2

p p v H g g g

2v gH

Ova Bernoulijjeva jednadžba vrijedi i za cijev konstantnog promjera d i za cijev sdifuzorom promjera D, a v je brzina utjecanja u spremnik.

Stoga će u prvom slučaju protok biti2

04

d Q v

, a u drugom slučaju

2

4

DQ v

, odakle

je

2

20 4

DQ

Q d što znači da bi se protok povećao četiri puta.

Komentar: Iz gornjeg slijedi da bi se povećanjem promjera D mogao dobiti po volji veliki protok, što u stvarnosti nije slučaj.

1) Povećanjem protoka Q povećava se brzina u cijevi promjera d , viskozni gubici postaju značajni što smanjuje brzinu i protok.

2) Kod velike razlike promjera D i d dolazi do

odvajanja strujanja od stijenke difuzora, te je

izlazna brzina v veća od prosječne brzine koja bi bila za slučaj jednolikog profila brzine po presjekušto dovodi do većih gubitaka, odnosno smanjenje

protoka Q.

D


66/118

7. Vježbe


7.4 Odredite visinu h koju će dosegnuti mlaz vode ( =1000 kg/m3) na izlazu iz račvastecijevi, prema slici, ako su manometarski tlakovi pM1= pM2=2,68 bar. Zadano je:

D1=200 mm, D2=150 mm, d =100 mm, H =8 m.

h=?

3

4

pM1 pM2

z =021

D1 D2

d

H

pa g

Rješenje:

Budući je cijev horizontalna, a u presjecima 1 i 2 vlada pretlak može se zaključiti da ćevoda strujati od oba presjeka prema izlazu, te se može postaviti Bernoullijeva jednadžba od1 do 3 i od 2 do 3. U izlaznom presjeku 3, pretlak je jednak nuli, a brzina jednaka v3 pa

vrijedi:

Bernoullijeva jednadžba od 1 do 3 22

3M1 1

2 2

v p v H

g g g (1)


3M2 2

2 2

v p v H

g g g (2)

Gornje jednadžbe imaju jednake desne strane, a budući su jednaki pretlaci pM1= pM2 zaključuje se da je v1= v2.

Q3

Q1 Q2

Iz jednadžbe kontinuiteta slijedi

1 2 3Q Q Q (3)

ili2 2 2

1 21 2 3

4 4 4

D D d v v v

odakle je2 2

1 23 1 2

D Dv v

d

(4)

Uvrštavanjem (4) u (1) slijedi:


67/118

7. Vježbe


23

22 22 21 2M1 1 1

4

2

2 2

v

g

D D p v v H

g g g d

ili

M1

1 22 2

1 2

4

22

3,16 m s

1

p gH

v D D

d

3 19,7 m sv

Iz Bernoullijeve jednadžbe od 3 do 4

2

3 19,8 m2

vh h

g


68/118

7. Vježbe


7.5 Odredite promjer d mlaznice u sustavu prema slici uz uvjet da fluid u priključnojcijevi spremnika 2 miruje. Pretpostavite neviskozno strujanje. Zadano je H =3,4 m,

h=2,6 m, D=100 mm.

D

H

h

1

2 3 d =?

1

2

pa

pa

pa g

Rješenje:

Ako fluid u priključnoj cijevi u spremniku 2 miruje. Znači da u točki 2 vlada hidrostatskitlak 2 a p p gh ili M2 p gh

Bernoullijeva jednadžba od 1 do 32

33 2

2

v H v gH

g


2 22 2

2

M v p H v g H h

g g h

2 2

1 22 3

34 4

D d vv v d D

v

4 69,7 mm H h

d D H

U slučaju d < 69,7 mm protok Q bi bio manji, brzina v2 manja, a tlak p2 veći, te bi došlo

do strujanja u spremnik 2.U slučaju d > 69,7 mm fluid bi istjecao iz spremnika 2.


69/118

8. Vježbe


8. VJEŽBE

8.1 Odredite brzinu v1 i tlak p1 zraka ( z =1,23 kg/m3) u simetrali cijevi promjera D=50

mm, pomoću mjernog sustava s Prandtl-Pitotovom cijevi prema slici. Pretpostaviteneviskozno strujanje i uzmite u obzir debljinu Prandtl-Pitotove cijevi. Zadano je: d =5

mm, L=100 mm, =11, a=800 kg/m3

, h=40 mm, pa=101325 Pa.

d D1 2

3

p1, =?v1

h L

aa

z

z

Rješenje:

Točka 2 je točka zastoja, a u točki 3 će zbog smanjenja presjeka brzina v3 biti veća od

brzine v1, a tlak p3 manji od tlaka p1. Diferencijalni manometar s kosom cijevi mjeri razlikutlaka 2 3 p p , a U cijev razliku tlaka 3 a p p (ako se u jednadžbama manometra zanemari

gustoća zraka što je moguće jer je gustoća zraka z puno manja od gustoće alkohola a umanometrima).

Postavljanjem Bernoullijevih jednadžbi, jednadžbe kontinuiteta i jednadžbi manometraslijedi:


1 1 2

z z2

p v p

g g g (1)


3 32

z z 2

p v p

g g g (2)

Jednadžba kontinuiteta 2 22

1 34 4

D d Dv v

(3)

Jednadžba diferencijalnog manometra 2 3 a sin p p g L (4)

Jednadžba manometra a 3 a p p g h (5)


70/118

8. Vježbe


U gornjem sustavu s pet jednadžbi nepoznanice su: p1, v1, p2, p3, i v3.

iz (5) 3 a a 101325 Pa p p g h

iz (4) 2 3 a sin 101161Pa p p g L

iz (2) 3 2 3z

215,6 m sv p p

iz (3)2 2

1 3 2 15,44 m s

D d v v

D

vidimo da je korekcija neznatna pa se najčešće zanemaruje debljina Prandtl-Pitotove cijevi

iz (1)

2

1 2 z 1

1

100841 Pa2 p p v


71/118

8. Vježbe


8.2 Odredite protok vode mjeren Venturijevom cijevi, prema slici. Uzmite u obzir i

koeficijent korekcije brzine. Pri kojem bi protoku, za isti smjer strujanja i apsolutni

tlak p1=1,96 bar nastupila kavitacija u presjeku 2. Zadano je: =998,2 kg/m3,

pv =2337 Pa, 0=13546kg/m3, h0=360 mm, L=0,75 m, D1=300 mm, D2=150 mm,

kinematička viskoznost vode =1,00410-6 m2/s.

h0 D1

L

D2

0

, pv

Q

g

Rješenje:

h0v p1, 1

v p2, 2

L

x1

2

0

,

pv

Jednadžba kontinuiteta2 2

1 21 3

4 4

D DQ v v

(1)


id id1 2

4 2 4 2

1 2

8 8

g g

Q Q p p L

g D g D (2)

Jednadžba manometra

1 0 0 0 2 p g x h gh g x L p (3)

Iz (3) 01 2 0 1 p p

L h

g

(4)

Iz (2)2 2

1 2 1 2id

4 4

1 2

24

D D p pQ g L

g D D

(5)

2 2

01 2id 0

4 4

1 2

2 1 171,9 l s4

D DQ gh

D D


72/118

8. Vježbe


Stvarni protok C idQ C Q

5 51id 1 id1

1

47,27 10 10

v D Q Re

D

pa je prema dijagramu u Tehničkoj enciklopediji broj 8 str. 148 C 0,984C

3

id0,984 0,1692 m sQ Q

Kavitacijski protok uz p1=1,96 bar i p2 = pv =2337 Pa i C C=0,984 je prema (5)

2 2 5

kav4 4

0,3 0,15 1,96 10 23370,984 2 0,75

4 998,20,3 0,15Q g

g

3

kav 0,347 m sQ


73/118

8. Vježbe


8.3 Odredite horizontalnu silu vode na redukcijsku spojnicu prema slici, uz pretpostavku

neviskoznog strujanja fluida. Zadano je: D=200 mm, d=100 mm, =1000 kg/m3,

pM1=1,6 bar, pM2=0,9 bar.

pM1

pM2

D d

pa1

2

Q

Rješenje:

Bernoullijeva jednadžba

2 2

M1 1 M2 2

2g 2g

p v p v

g g (1)

Jednadžba kontinuiteta2 2

1 24 4

D d Q v v

(2)

Iz (2) 1 22 24 4

;Q Q

v v D d

(3)

(3) u (1)

3M1 M2

4 4

0,096 m s

1 18

p pQ

d D

iz (3) 1 23, 05 m s; 12, 2 m sv v

Sila se određuje iz jednadžbe količine gibanja:

xK.V.

K. .P

I 1

2

2

1 1 M1 5320 N4

D I v p

2

22 2 M2 1880 N

4d I v p

Impulsne funkcije su izračunate s pretlakom što znači da smo obračunali silu atmosferskogtlaka izvana.

x 1 2 3440 N F I I

S obzirom da se radi o neviskoznom strujanju, brzine i tlakovi u presjecima 1 i 2 bi bili isti

da je strujanje protokom Q u suprotnom smjeru, te bi impulsne funkcije I 1 i I 2 ostale iste, pa bi sila F x ostala ista po veličini i po smjeru.


74/118

8. Vježbe


8.4 Odredite rezultantu silu vode na račvu prema slici uz pretpostavku neviskoznogstrujanja. Volumen vode u račvi je V =0,11 m3. Zadano je: H =3,8 m, h=2,1 m, h1=1 m,

D1=300 mm, D2=200 mm, D3=300 mm, =1000 kg/m3.

D3

D1

D2

H

h

h1

pa

pa

g

Rješenje:

H

h

h1

1 2

3

0

4

Budući je točka 0 na najvećoj geodetskoj, aujedno i piezometričkoj visini, a točka 3 nanajnižoj, fluid će sigurno strujati od točke 0

prema 3 te vrijedi Bernoullijeva jednadžbaod 0 do 3

2

3

3 2 8,63 m s

2g

v H v gH

Budući nema viskoznih gubitaka, a točka 4 jeniža od točke 0, doći će do strujanja uspremnik te Bernoullijeva jednadžba od 0 do4 uz gubitke utjecanja glasi

2

22 2 5,77 m s

2g

v H h v g H h

Brzina u presjeku 1 se određuje iz jednadžbe kontinuiteta

22 2

31 21 2 3

4 4 4

D D Dv v v

2 2

2 2 3 31 2

1

3,53 m sv D v D

v D

Za određivanje impulsnih funkcija potrebno je poznavati pretlake u presjecima 1 i 2, kojise odre�

Mehanika fluidaa

Documents

Transcript of Mehanika fluidaa