Mehanika fluidaa

download Mehanika fluidaa

of 43

  • date post

    07-Aug-2018
  • Category

    Documents

  • view

    263
  • download

    6

Embed Size (px)

Transcript of Mehanika fluidaa

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    1/118

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    2/118

     

    Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje

    Zavod energetska postrojenja, energetiku i ekologiju

    Katedra za mehaniku fluida

    Mario Šavar - Zdravko Virag - Ivo Džijan 

    Mehan ika f luid a

    Skripta – vježbe 

    Zagreb 2014

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    3/118

     

    Mehanika fluida –  vježbe  I

    Predgovor

    Gradivo izneseno u ovoj skripti predstavlja dio materijala vježbi kolegija Mehanika

    fluida koji se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveučilišta u Zagrebu predaje

    studentima smjerova: Mehatronika i robotika, Proizvodno strojarstvo, Računalno

    inženjerstvo, Industrijsko inženjerstvo i menadžment. Skripta je prvenstveno namijenjena

    za lakše razumijevanje praktičnih i primijenjenih znanja na realnim situacijama. Nadamo

    se da će materijali dani u ovoj skripti omogućiti studentima da lakše prate vježbe, te da ta

    znanja kasnije lakše usvoje. Svrha i cilj ove skripte nije bio da zamjeni zbirke zadataka iz

    Mehanike fluida, već je u njoj dan samo materijal koji omogućuje studentima da

    kvalitetnije, preglednije i lakše usvoje potre bna znanja iz Mehanike fluida.

    Izbor zadataka koji je iznesen u ovoj skripti rezultat je gotovo četrdeset godina

    kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se želimo

    zahvaliti našim učiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr. Zdravku

    Dolineru, na čijem je konceptu formiran kolegij u današnjem obliku. 

    U Zagrebu, 06.02.2014.

    Mario Šavar, Zdravko Virag, Ivo Džijan 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    4/118

    Popis najvažnijih oznaka 

    Mehanika fluida –  vježbe  II

    POPIS NAJVAŽNIJIH OZNAKA 

    Fizikalna veličina  Oznaka  Dimenzija Jedinica uSI sustavu

     površina poprečnog presjeka   A, S L m brzina zvuka c LT-   m/s

     promjer  D, d L m

    sila  F MLT-   N

    gravitacija  g LT-   m/s

    volumenski modul elastičnosti   K ML- T-   Pamaseni protok m   MT

    -   kg/s

    moment sile  M ML T-   Nm

    snaga  P ML T-   W

    tlak  p ML- T-   Pa

    volumenski protok Q L T-

      m /s potencijal masene sile U L T-   m /s

    specifična unutrašnja energija  u L T-   J/kgvolumen fluida V L m

     brzina strujanja fluida v LT-   m/s

    rad sile W ML T-   J

    geodetska visina  z   L m

    gustoća fluida     ML-   kg/m

    koeficijent kinematičke viskoznosti     L T-   m /s

    koeficijent dinamičke viskoznosti     ML- T-   Pa∙s 

     brzina vrtnje    T-

      rad/skoeficijent otpora trenja    - -

    naprezanje    ML- T-   N/m

    kut    - rad

    PREPORUČENA LITERATURA 

    Virag, Z.: Mehanika fluida –  odabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveučilište u Zagrebu,Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002.

    Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnička enciklopedija,  8, Hrvatski leksikografski zavod,Zagreb, 1982.

    Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John

    Wiley&Sons, Toronto, 1990.

    White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003.

    Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics  –   Fundamentals and Applications,McGraw-Hill, 2006.

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    5/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  1 / 24

    1.  Vježbe 

    1.1  Zapišite u Gibbsovoj notaciji te nizom skalarnih jednadžbi izraze za: 

    a) 

    moment sile  F   u odnosu na ishodište 

     b) 

    rad sile  F   na putu d r . 

    1.2  Odredite jedan jedinični vektor  s  u čijem smjeru nema promjene polja 26 p x yz   u točki T(1,2,3). 

    1.3  Izračunajte vrijednost integrala dS 

     F pn S  , gdje je S   površina kugle polumjera  R =

    3, sa središtem u točki S (2,1,3) a n   je vanjska normala na površinu, ako je2 2 2 p x y z  . Kolika bi bila vrijednost F   za slučaj p = konst? 

    1.4  Odredite fluks vektora : dS 

    Q v n S     po površini S   kocke brida a=2 s centrom u

    ishodištu (0,0,0)T  . Površina S  je orijentirana vektorom vanjske normale n , a vektor

    v  je 3 2 4v z y i xj x z k   . 

    1.5  U točki T fluida tenzor naprezanja ima sljedeće komponente u odnosu na koordinatnisustav Oxyz  

    xy xy

    ij

    7 0 2

    0 5 0

    2 0 4

     xx

     yx yy yz 

     zx zy zz 

     

     

     

     

             

     

    Odredite vektor naprezanja na ravninu orijentiranu normalom2 2 1

    , ,3 3 3

    , te apsolutnu

    vrijednost toga vektora. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    6/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  2 / 24

    2.  Vježbe 

    2.1   Na visini h=1 m, prema slici, nalazi se otvor cijevi iz koje izlazi mlaz fluida stalnom

     brzinom v=8 m/s, pod kutom  =49°. Uz pretpostavku idealnog fluida i uzzanemarenje trenja između zraka i fluida odredite maksimalnu visinu  H   i duljinu  L 

    koju će mlaz dosegnuti. 

      g  pa

    v

     

    2.2  Blok mase m=10 kg kliže po glatkoj površini kosine nagnute pod kutom  =20.Odredite brzinu U   bloka koja će se ustaliti, ako se između bloka i kosine nalazi uljnifilm debljine h=0,1 mm. Koeficijent dinamičke viskoznosti ulja je  =0,38 Pas, a

     površina bloka u dodiru s uljem  A=0,15 m2. Pretpostavite linearni profil brzine u

    uljnom filmu. 

     U = ?

     m

     A

     

    2.3   Newtonska kapljevina gustoće   =920 kg/m3, kinematičkog koeficijenta viskoznosti

     =510

    -4

    m

    2

    /s struji preko nepomične stijenke. Profil brzine uz stijenku dan jeizrazom 

    33 1

    2 2

    u y y

    U     

     

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    7/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  3 / 24

    u( ) y

     

    gdje je  y   udaljenost od stijenke, a     udaljenost na kojoj je brzina u U  . Odredite

    veličinu i smjer tangencijalnog naprezanja na površini stijenke, u zavisnosti od U   i  . 

    2.4  U cilindričnoj posudi polumjera R0=220 mm, nalazi se cilindar polumjera R=216 mmkoji rotira stalnom brzinom vrtnje n=200 o/min za što se troši snaga  P = 46 W.Odredite koeficijent dinamičke viskoznosti    kapljevine koja ispunjava prostor

    između cilindra i posude u kojem pretpostavite linearni profil brzine, a utjecaj dnazanemarite. Zadano je: h=20 cm. 

     R

    h

    =?

    n=konst

    POSUDA

     R0

     g 

    cilindar 

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    8/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  4 / 24

    3.  Vježbe 

    3.1  U jedan krak U-cijevi u kojoj se nalazi voda gustoće   =999,1 kg/m3  nadoliveno jeulje gustoće   0=820 kg/m

    3, prema slici. Ako je visina stupca ulja h0=150 mm,

    odredite razliku visina h razina ulja i vode. 

     pa   pa g 

    h=?

    h0ulje

     

    3.2  Odredite apsolutni i manometarski tlak u točki A spremnika, za otklone manometra i

     barometra prema slici. Zadano je:  =999 kg/m3, 1 =771 kg/m3, 0 =13560 kg/m

    3,

    h=5 cm, h0=17,5 cm, h1=12,5 cm, ha=752 mm. 

    h

    h0

    h1

    haA

     

    3.3  Hidrostatski manometar može se iskoristiti za mjerenje količine fluida u spremnikuoblika paralelopipeda. Odredite zavisnost visine l   žive gustoće   0  u lijevom krakumanometra o volumenu V  nafte gustoće   u spremniku dimenzija dna  Lx B. Visina h se mjeri od ravnotežnog položaja žive prije punjenja spremnika i priključne cijevinaftom. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    9/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  5 / 24

     pa

     pa

    h

    spremnik dimen ija dnax

    z  L B

    ravnotežni položaj žive 

    nafta 

     priklju na cijev

    č

     

    živa

     

    3.4 

    Osjetljivost hidrostatskog manometra (definirana odnosom otklon manometra /mjerena razlika tlakova) povećava se naginjanjem kraka manometra. Zamikromanometar na slici, duljina l  u nagnutom kraku mjeri se od položaja meniskusakod jednakih tlakova  p1 i  p2. 

    Odredite kut nagiba kraka da bi osjetljivost manometra bila 1mm/Pa. Zadano je:  =800

    kg/m3. 

     D= d 10

    d        

     h1 h2

     

     l

     

    3.5   Na slici je shematski prikazan princip rada hidrauličke preše. Odredite kojom silom F  treba gurati ručicu da se ostvari sila prešanja  F 2=4800 N. Zadano je: m=25 kg,

     D=200 mm, h=1,3 m, l 1= 52 cm, l 2=12 cm, A1=19,6 cm2,  =820 kg/m3. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    10/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  6 / 24

    l 1

     h

      A1 l 

    2

     D

    m

     F 2

     F =?

    otpresak 

     g 

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    11/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  7 / 24

    4.  Vježbe 

    4.1  Odredite rezultantnu silu tlaka (veličinu, smjer i hvatište) na kvadratni poklopacdimenzije a=0,8 m, čije se težište nalazi na dubini  H =1,8 m, za slučajeve prema

    slikama (a), (b) i (c). Zadano je: h=0,8 m, H 1=1,2 m,  =998,2 kg/m3, 1 =820 kg/m

    3,

    =70o. 

     H 

     H 1

     H 

     H 

    h

    C

    C

    C

     g 

     g 

     g 

    .

    .   .

    .

    .   .

    .  .

    .

    .

    .

    ..

    ..

    .

    .  .

    ..

    .

    a    

    a    a    

    (a)(b)

    (c)

     

    4.2  Potrebno je odrediti na koju visinu h  treba spustiti razinu vode, da bi se poklopac

     jedinične širine, okretljiv u točki O, prema slici, otvorio uslijed vlastite težine.

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    12/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  8 / 24

    Gustoća poklopca je jednolika, a masa mu je m =250 kg. Zadano je:  L=160 cm ,15   ,  =998 kg/m3. 

    O

      L

     pa

     pa

    h=?

    g

     poklopac

     

    4.3  Treba odrediti silu  F   koja drži u ravnoteži poklopac AB jedinične širine, zglobnovezan u točki A, u položaju prema slici. Zadano je : a=0,84 m; H =0,65 m; h=35,5cm;  =999 kg/m3.

     

     pa

     pa

     p0=?.. ....

    ..

    .

    .

    . ..

     H 

    B

    A

    a

    h

     F 

     poklopac

     g 

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    13/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  9 / 24

    5.  Vježbe 

    5.1  Kvadratična greda zglobno je učvršćena u bridu A. Odredite silu  F   kojom trebadjelovati na gredu jedinične duljine da bi bila u ravnoteži u položaju  prema slici.Zadano je: a=1 m;   =999 kg/m3. 

     pa

     pa

    g

    A

      a

    a

     F =?

     

    5.2  Drvena homogena greda gustoće    =940 kg/m3, duljine L=8 m i promjera D=0,5 m, pričvršćena je pod vodom gustoće  v=999kg/m

    3 u točki O, oko koje se može okretati.Kolika će u ravnotežnom položaju biti duljina l  uronjenog dijela grede? 

    v

     g 

    O

     pa

       L

       l  =   ?

     D   

     

    5.3  Homogena čelična kugla gustoće   c=7800 kg/m3  radijusa  R=8 cm zatvara otvor na

    ravnoj stjenci promjera d =12 cm. Treba odrediti kut nagiba kose stjenke da kuglica

    oslobodi otvor kada u spremniku nastupi pretlak od pM=5000 Pa. 

    d   

    =? 

     R

     g

     plin

     pM=konst.

     pa

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    14/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  10 / 24

    5.4  Tankostijena bačva mase m=94 kg, volumena V =600 l, potpuno je potopljena podvodu gustoće  =998,2 kg/m3. Do polovine volumena ispunjena je zrakom zanemarivetežine i privezana užetom za dno. Odredite silu F  u užetu. 

     g 

     pa

    zrak 

    .

    ...

      ..

    .  .

    .

    ..

    .

    .

    .

    .   .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    ..

    .

    ..

    .

    .   ..

    .

    ..

    .

    .

    ..

    .

    .

    .

    voda

    uže

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    15/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  11 / 24

    6.  Vježbe 

    6.1  Treba odrediti rezultantnu silu na zatvarač, oblika polucilindra, jedinične širine B, prema slici. Zadano je: H =3 m, R=1 m,  =60o,  =998,2 kg/m3. 

     g 

     H 

    C

       R

     pa

     pa

     

    6.2 

    Treba odrediti silu F  u vijcima, kojima je pričvršćen poklopac, oblika stošca, mase m= 474 kg, prema slici. Zadano je:  H =1,4 m, h=0,9 m, R=0,8 m, pM0=2800 Pa,   =998

    kg/m3. 

     g 

     H 

     .

     .

     .

     .

     .

      .

     .

     .

     .

     .

     .

     .

     . .

     .

     .

     .

     .

     .

     .

     .

     . .

     .

     R

    h

     poklopac pM0

     

    6.3  Kocka gustoće  0=495 kg/m3, brida a=0,44 m, zglobno je vezana u bridu O i zatvara

    kvadratični otvor na dnu spremnika, prema slici. Treba odrediti silu  F   potrebnu za podizanje kocke. Zadano je: H =1,2 m,  =35o,  =999 kg/m3.

     

     pa

     pa

     g 

    O

     a

     

     H 

     F=?

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    16/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  12 / 24

    7.  Vježbe 

    7.1  Odredite minimalni protok Q  u nestlačivom strujanju fluida kod kojeg će ejektor početi usisavati fluid kroz vertikalnu cjevčicu. Zadano je  A2=14 cm

    2,  A1=3,5 cm2,

    h=0,9 m. 

    h

    Q=? A1

     pa

     pa

     A2

     g 

     

    7.2  Odredite visinu  z B  kraja B sifona, pri kojoj se u neviskoznom strujanju fluida

    ostvaruje maksimalni protok Q  nestlačivog fluida gustoće   =995,6 kg/m3, tlakaisparavanja pv =4241 Pa, ako je: pa =1010 mbar, z 1=34 m, z 0=30,5 m, d =150 mm. 

     g 

     pa

     pa

     z B=?

     z 0

     z 1

    0

    1

     

    7.3  Voda neviskozno struji između dva velika spremnika u kojima je razlika visina razina H , kroz cijev promjera d . Odredite postotno povećanje protoka Q  ako se na cijevugradi difuzor izlaznog promjera D=2d .

     

     H 

     D

    0

    1

     g 

     pa

     pa

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    17/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  13 / 24

    7.4  Odredite visinu h koju će dosegnuti mlaz vode (  =1000 kg/m3) na izlazu iz račvastecijevi, prema slici, ako su manometarski tlakovi  pM1=  pM2=2,68 bar. Zadano je:

     D1=200 mm, D2=150 mm, d =100 mm, H =8 m. 

    h=?

    3

    4

     pM1  pM2

     z =021

     D1   D2

     H 

     pa g 

     

    7.5  Odredite promjer d mlaznice u sustavu prema slici uz uvjet da fluid u priključnojcijevi spremnika 2  miruje. Pretpostavite neviskozno strujanje. Zadano je  H =3,4 m,

    h=2,6 m, D=100 mm. 

     D

     H 

    h

    1

    2   3   d =?

    1

    2

     pa

     pa

     pa  g 

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    18/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  14 / 24

    8.  Vježbe 

    8.1  Odredite brzinu v1  i tlak  p1 zraka (  z =1,23 kg/m3) u simetrali cijevi promjera  D=50

    mm, pomoću mjernog sustava s Prandtl-Pitotovom cijevi prema slici. Pretpostaviteneviskozno strujanje i uzmite u obzir debljinu Prandtl-Pitotove cijevi. Zadano je: d =5

    mm, L=100 mm, =11,   a=800 kg/m3

    , h=40 mm, pa=101325 Pa. 

    d  D1 2

    3

     p1, =?v1

     h L

    aa

    z

    z

     

    8.2  Odredite protok vode mjeren Venturijevom cijevi, prema slici. Uzmite u obzir i

    koeficijent korekcije brzine. Pri kojem bi protoku, za isti smjer strujanja i apsolutni

    tlak  p1=1,96 bar nastupila kavitacija u presjeku 2. Zadano je:   =998,2 kg/m

    3

    ,  pv=2337 Pa,   0=13546kg/m3, h0=360 mm,  L=0,75 m,  D1=300 mm,  D2=150 mm,

    kinematička viskoznost vode =1,00410-6 m2/s. 

    h0 D1

     L

     D2

    0

    , pv

    Q

     g 

     

    8.3  Odredite horizontalnu silu vode na redukcijsku spojnicu prema slici, uz pretpostavku

    neviskoznog strujanja fluida. Zadano je:  D=200 mm, d=100 mm,   =1000 kg/m3,

     pM1=1,6 bar, pM2=0,9 bar. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    19/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  15 / 24

     pM1

     pM2

     D d 

     pa1

    2

    Q

     

    8.4  Odredite rezultantu silu vode na račvu prema slici uz pretpostavku neviskoznogstrujanja. Volumen vode u račvi je V =0,11 m3. Zadano je: H =3,8 m, h=2,1 m, h1=1 m,

     D1=300 mm, D2=200 mm, D3=300 mm,   =1000 kg/m3. 

     D3

     D1

     D2

     H 

    h

    h1

      pa

     pa g 

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    20/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  16 / 24

    9.  Vježbe 

    9.1  Treba odrediti rezultantnu silu fluida (veličinu i smjer) na difuzor s koljenom, premaslici, uz protok Q=389 l/s. Pretpostaviti strujanje idealnoga fluida. Volumen difuzora

     je V d =3,27 m3, a volumen koljena do priključka je V k =0,16 m

    3. Napomena: uzeti u

    obzir i silu hidrostatskog tlaka koja djeluje izvana na difuzor. Zadano je:  D=1,2 m,d =0,3 m, H =6,6 m, h=1,2 m,  =1011 kg/m3. 

    h

     H 

    Q

     D

     g 

     pa

     

    9.2  Mlaz fluida nastrujava u neviskoznom strujanju u horizontalnoj ravnini protokom

    Q=0,03 m3/s, brzinom v=3 m/s, na okomito postavljenu ploču prema slici. Trebaodredite silu fluida na ploču ako je Q1=0,01 m

    3/s. Zadano je:  =1000 kg/m3. 

     z =konst.

     pa

    Q1

    Q2

    Q

    v

     ploča

     

    9.3  Potrebno je odrediti silu F  kojom treba pridržavati lo paticu mase m =4,8 kg okretljivuoko točke O, prema slici, da bi bila u horizontalnom položaju. Pretpostavitineviskozno strujanje fluida. Za proračun obujma vode u lopatici pretpostaviti

     poprečni presjek mlaza konstantnim i jednakim presjeku na ulazu u lo paticu. Zadano

     je: L=1,4 m, L1=0,9 m, R=0,28 m, h=1,9 m, d =40 mm, vm=10,6 m/s,  =999 kg/m3. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    21/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  17 / 24

     pa

     pa

     g 

      R

     F =?

    O

    mg 

     L1

     L

    h

     d vm

     

    9.4 

    Fluid nastrujava u horizontalnom ravninskom neviskoznom strujanju na ploču jedinične širine nagnutu pod kutom  =36°. Treba odrediti pretlak u presjeku A-A ako je ploča uravnotežena silom F =680 N, prema slici. Zadano je: h=25 mm, H =40 mm,  =42°,  =1000 kg/m3. 

     p =M   ?

     H 

     F 

    Q

    h

     z = konst.

     pa

    A

    A

     

    9.5  Osnosimetrična posuda prema slici otvorena je prema atmosferi, a u početnom jetrenutku ispunjena nestlačivim fluidom do visine H . Treba odrediti vrijeme pražnjenja

     posude ako otvor na dnu ima koeficijent protoka C d=0,96. Zadano je: D=42 cm, d =12

    mm, H =59,5 cm, h=29 cm. 

     pa

     pa

    d    C d

    h

     H 

     D

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    22/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  18 / 24

    10.  Vježbe 

    10.1  Ispitajte dimenzionalnu nezavisnost sljedećih skupova fizikalnih veličina: 

    a) 

     p,    i v 

     b) 

    Q, L i   

    c) 

     g , L i Q 

    d)   F , M  i t  

    e)    , p i V  

    gdje su: p - tlak,   - smično naprezanje, v - brzina, Q - protok, L - karakteristična duljina,   - dinamička viskoznost, g - ubrzanje sile teže, F - sila, M - moment sile, t - vrijeme iV - volumen. 

    10.2  Formirajte bezdimenzijske    parametre od veličina: vrijeme t , gravitacija  g , sila  F ,moment  M , tlak  p  i dinamička viskoznost    s pomoću dimenzionalno nezavisnogskupa: gustoća  , brzina v i duljina L. 

    10.3  Moment  M   fluida na rotor aksijalne turbine zavisi od gustoće fluida   , promjera  D rotora, kutne brzine    rotacije rotora i volumenskog protoka Q  fluida kroz turbinu.

    Primjenom dimenzionalne analize treba odrediti opći oblik zavisnosti momenta  M  od preostalih veličina. Ako se zna da moment  M  linearno zavisi od protoka Q (pri čemu je za Q=0, M =0), treba odrediti postotnu promjenu momenta M  za geometrijski sličnu

    turbinu 10% manjeg promjera koja rotira 15% većom kutnom brzinom i koristi istifluid pri istom protoku Q. 

    10.4  Otvorena cilindrična posuda promjera  D, koja na dnu ima otvor promjera d ,koeficijenta protoka C d je ispunjena fluidom do visine  H . Posuda se potpuno isprazni

    u vremenu t 1=36,5 s. Primjenom Pi-teorema treba odrediti za koje bi se vrijeme t 2 

    ispraznila geometrijski slična posuda tri puta većih dimenzija (što znači da je i otvorna dnu tri puta veći) istog koeficijenta protoka C d otvora na dnu posude u istom poljugravitacije. Uputa: pretpostaviti da je t =f( D, d , C d, H , g ). 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    23/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  19 / 24

    11.  Vježbe 

    11.1  Treba odrediti kutnu brzinu vrtnje  0  i protok Q0  kroz slobodno rotirajuću svinutucijev prema slici. Kolika je dobivena snaga  P T  i protok QT za slučaj da cijev rotirakutnom brzinom  T= 0/2. Koliku snagu  P P (i pri kojem protoku QP) treba uložiti da

     bi se cijev okretala kutnom brzinom  P=2 0. Pretpostavite neviskozno strujanjefluida, a gubitke trenja u ležaju zanemarite. Zadano je: H =0,6 m, R=0,6 m, d =60 mm,

     pM0=0,31 bar,  =35o,  =1000 kg/m3.

     

     H 

     pM0

     R

     g 

    .

    .

    ..

    .

    .   ...   .

    .

    ..

    ..   .

    .

    .

    .

    ..

    ... ..   .

    .. .   ..

    .

    ..   .

    ..

    . .

    .

    ...

    . ..

    ..

    .

    .

    .

    ..

    ..   .

    ..

    .

    ...

    ....   ..

    ..   .

    tlocrt

     pa

    1

    0

     

    11.2  Primitivna turbina preko remenice predaje korisnu snagu  P M=730 W, pri konstantnoj

     brzini vrtnje  N =30 o/min i pri ukupnom protoku kroz turbinu Q=28,5 l/s. Trebaodrediti snagu P S koju predaje spremnik, snagu  P T turbine i snagu P I fluida na izlazu

    iz turbine, mehanički stupanj korisnosti MmT

     P 

     P   i ukupni stupanj korisnosti

    Mu

    S

     P 

     P . Pretpostavite jednodimenzijsko strujanje idealnog fluida. Zadano je H =1,3

    m, R=1,2 m, D=40 mm,  =15o,  =1000 kg/m3. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    24/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  20 / 24

     D

     R

      N 

     H =konst.

     pM0

    remenica

     A A

     N=konst.

     g 

    Presjek A-A

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    25/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  21 / 24

    12.  Vježbe 

    12.1  Propeler vanbrodskog motora pogoni brodicu brzinom v=8,3 m/s. Promjer propelera

     D=250 mm, a kroz njega se ostvaruje protok od Q=0,5 m3/s. Odredite potisnu silu,

    ukupnu snagu predanu vodi i stupanj djelovanja propelera. Zadano je  =1000 kg/m3. 

    12.2  Peltonova turbina promjera radnog kola  D=3 m i kuta lopatice   =160o  okreće se

    konstantnom kutnom brzinom n=240 o/min. Mlaz vode (gustoće   =1000kg/m3)napušta mlaznicu promjera d=5 cm brzinom v=60 m/s. Odredite silu  F   nalopaticu te moment M  i snagu P  radnog kola.

     

    12.3  Odredite snagu predanu jednom stupnju radnog kola aksijalne turbine srednjeg

     promjera R=0.32 m rotora. Odredite kutove statorske lopatice  3 i  4 ako su ulazni i

    izlazni kut rotora jednaki i iznose o1 2   25 . Zadano je: Q=0.031 m

    3/s,

    (protok kroz turbinu),   =1000 kg/m3,  =10.472 rad/s, b=10 mm (visina rotorske

    lopatice). 

    12.4  Centrifugalna pumpa radi na  N =1750 o/min, a apsolutna brzina na ulazu u lopatični prostor je radijalna ( 1=90

    o). Kut lopatica na ulaznom bridu u odnosu na negativni

    smjer obodne brzine je   1=30o, a na izlaznom   2=45

    o. Uz pretpostavku neviskoznog

    strujanja i beskonačnog broja beskonačno tankih lopatica (tangencijalne relativne brzine na lopatice) odredite protok Q  vode gustoće   =1000 kg/m3  kroz pumpu, tevisinu dobave h p pumpe, snagu  P  p koju pumpa predaje vodi i prirast tlaka  p2- p1 kroz

     pumpu. Promjer lopatičnog vijenca na ulazu je D1=100 mm, a na izlazu D2=250 mm,visina lopatica na ulazu je b1=15 mm, a na izlazu b2=8 mm. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    26/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  22 / 24

    13.  Vježbe 

    13.1  Voda se prepumpava iz nižeg u viši spremnik, protokom Q=14 l/s. Odredite visinudobave h p  pumpe i potrebnu snagu  P M  motora za pokretanje pumpe ako su

    iskoristivost pumpe   P=0,75, visina gubitaka do ulaza u pumpu hF1-2=1,5 m, visina

    gubitaka od izlaza iz pumpe do ulaza u viši spremnik hF3-4=1,5m. Zadano je:  =998,2kg/m3, D=71,4 mm, z 1=6,2 m, z 5=12,5 m. 

    1

     pumpa

    2

    4

    3

    5

     pa

    Q

     g 

     D

     D

     z 1

     z 5

     p 

    13.2  Pumpa dobavlja vodu mlaznici protokom Q=0,056 m3/s. Motor predaje pumpi snagu

     P M=40,2 kW, a ukupna iskoristivost pumpe je 85%. Na ulazu u pumpu je izmjeren

    manometarski tlak  pM2=-0,351 bar. Odredite visinu gubitaka energije hF1-2 od razine

    vode u spremniku do ulaza u pumpu, te hF3-5 od izlaza iz pumpe do izlaza iz mlaznice.Skicirajte energetsku i hidrauličku-gradijentnu liniju. Zadano je: h=1,5 mm,  =998,2kg/m3, D2=150 mm,  D3=100 mm, D5=50 mm. 

     pumpa pa

     pa

    Q

    h

     g 

     D3  D5

     D  2 

     p

     

    13.3  Odredite gubitke tlaka pri strujanju zraka ( ρ=1,225 kg/m3=konst., =1,4607·10-5 m2/s) protokom Q=5 m3/s kroz cjevovod duljine  L=60 m pravokutnog presjeka

    axb=600x300 mm. Cijev je od galvaniziranog željeza. 

    a

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    27/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  23 / 24

    14.  Vježbe 

    14.1  Odredite promjer  D2 cjevovoda da bi razina fluida u spremniku 2 prema slici ostala

    konstantna. Zadano je:  ρ=997 kg/m3, =0,86·10-6 m2/s, H =18,2 m, h=11,4 m, L1=898m, D1=200 mm, k 1=k 2=0,02 mm i L2=2610 m. 

     pa

     pa

     pa

     H 

    h

     g 

     L ,D1 1,  k 1

     L , D2 2  =?k 2,

    1

    2

    Q=?

     

    14.2  Treba odrediti snagu koju pumpa predaje fluidu u sustavu za hlađenje kada je izvedenkao otvoreni, prema slici (a), te kao zatvoreni prema slici (b). U oba je slučaja protoku sustavu Q=0,005 m3/s, a promjena gustoće i viskoznosti s temperaturom se možezanemariti. Zadano je:  =998,2 kg/m3,  =1,2.10-6 m2/s, La=10,4 m, D=80 mm, k =0,05

    mm,  H =2,4 m, h=0,5 m, svi lokalni gubici u otvorenom sustavu  K a=4,2, a u

    zatvorenom  K  b=4,8, L b= La+ H. 

     

     pa

     H 

    1

     pumpa   pumpa

     P =a   ?   P = b   ?

     La   L =L +H  b a D   D

    k    k 

    h

    hladnjak 

    (a)   (b)

    Q  Q g 

     g 

    hla eniobjekt

    đ   hla eniobjekt

    đ

     

    14.3  Treba odrediti promjer  D  cjevovoda da bi se na izlazu iz mlaznice dobilo 92%

    raspoložive potencijalne energije u obliku kinetičke energije izlaznog mlaza uz protokod Q=0,552 m3/s. Koliki je promjer  D3  mlaznice. Zadano je:   =998,2 kg/m

    3,

     =1,139.10-6 m2/s, L=390 m, k =0,2 mm, H =274 m, K u=0,1, K m=0,06. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    28/118

    Zadaci

    Mehanika fluida –  Vježbe  24 / 24

     H 

     pa

     pa

     

     L, k 

     K m   D3

     K u   D  =  ?   g 

     

    14.4  Treba odrediti visinu h, protok Q  i snagu  P F  koja se troši na svladavanje trenja, usituaciji prema slici. Koliku bi visinu hid dosegao mlaz i koliki bi bio protok Qid da je

    fluid idealan. Zadano je:   =999 kg/m3,  =1,13.10-6  m2/s,  D=65 mm, d =30 mm,

     Luk =9,9 m, k =0,045 mm,  H =2,4 m,  K k =0,9,  K u=0,5,  K m=0,05 (uz izlaznu brzinu), pM0=0,86 bar. 

     

     D

     K k    K k 

     H 

     pM0

     K u

    h=?

     pa

     g 

     , k 

     Luk 

     K m

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    29/118

    1. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  1 / 4

    1. VJEŽBE 

    1.1  Zapišite u Gibbsovoj notaciji te nizom skalarnih jednadžbi izraze za: 

    a)  moment sile  F   u odnosu na ishodište 

     b)  rad sile  F   na putu d r .

    Rješenje: 

    a)

     M r F    x y z z y z 

     y z x x z x x

     z x y y x y x

     M r F r F yF zF 

     M r F r F zF x F 

     M r F r F xF yF 

     

    ( , , ) ( , , )

    ( , , )

     x y z 

     x y z 

    r r r r x y z  

     F F F F 

     

     b)

    d dW F r   

    x y zd d d dW F x F y F z    

     Napomena:

    Snaga jed

    =d

    W  P 

    t  

    d d=

    d d

    W r  P F F v

    t t 

     

    1.2  Odredite jedan jedinični vektor  s  u čijem smjeru nema promjene polja 26 p x yz   u točki T(1,2,3). 

    Rješenje: 

    - općenito: 

    -  s može biti bilo koji vektor u

    ravnini koja je tangencijalna na p = konst. u točki T

    grad

    , ,

     p p p p p i j k 

     x y z 

     p p p

     x y z 

     

    12

     p

     x x

    ; p

     z  y

    ; p

     y z 

     U točki T

    T

      12;3;2 p  

     F  

    r  

     F  

    d r  

    r  

    grad  P

     s i 

     p = konst. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    30/118

    1. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  2 / 4

    Uvjet okomitosti grad p i  s  

    0 p s   x y zx y z

    0 p p p

     s s s x x x

     

      0T 

     p s   x y z12 3 2 0 s s s  

    Proizvoljno odabiremo x y   1 s s  pa je

    z x y

    22 2 2 2 2

    1 1512 3 7,5

    2 2

    1 1 7,5 58,25 x y z 

     s s s

     s s s s

     

    1 1 7,5; ; 0,131;0,131; 0,98358,25 58,25 58,25

     s

     

    1.3  Izračunajte vrijednost integrala dS 

     F pn S  , gdje je S   površina kugle polumjera

     R = 3, sa središtem u točki S (2,1,3) a n   je vanjska normala na površinu, ako je2 2 2 p x y z  . Kolika bi bila vrijednost F   za slučaj p = konst?

    Rješenje: 

    d dS V 

     F pn S p V   

    2 2 2 p x y z   2

     p x

     x

    ; 2

     p y

     y

    ; 2

     p z 

     z 

     

    3

    x

    42 d 2 2 2 3 144

    3 sV 

     F x V x V       

    3

    y42 d 2 2 1 3 723 s

     F y V y V       

    3

    z

    42 d 2 2 3 3 216

    3 sV 

     F z V z V       

    144 ,72 ,216 F       

    Za p = const. i (0,0,0) p slijedi (0,0,0)r    

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    31/118

    1. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  3 / 4

    1.4  Odredite fluks vektora : dS 

    Q v n S     po površini S   kocke brida a=2 s centrom u

    ishodištu (0,0,0)T  . Površina S  je orijentirana vektorom vanjske normale n , a vektor

    v  je 3 2 4v z y i xj x z k   .

    Rješenje: 

    Formula Gauss-Ostrogradski

    dS V 

    Q v n S vd V    

    yx z 1

    0   10

    vv vv

     x y z 

     

    1 d 1 8V 

    Q V V   

    1 1 1 1

    1 11 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

    d 3 3

    2 2 4 4

     x x

     y y z z 

    Q v n S z y dz dy z y dz dy

     x dz dx x dz dx x z dxdy x z dxdy

     

    11 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1   1

    1 1

    11

    4 1 4 1 2 2

    4 4 8

    Q x dxdy x dxdy dxdy x dy

    dy y

     

     

    y

    x

    z

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    32/118

    1. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  4 / 4

    1.5  U točki T fluida tenzor naprezanja ima sljedeće komponente u odnosu na koordinatnisustav Oxyz  

    xy xy

    ij

    7 0 2

    0 5 0

    2 0 4

     xx

     yx yy yz 

     zx zy zz 

     

     

     

             

     

     

    Odredite vektor naprezanja na ravninu orijentiranu normalom2 2 1

    , ,3 3 3

    , te

    apsolutnu vrijednost toga vektora.

    Rješenje: 

    ij

    7 0 2

    0 5 0

    2 0 4

     

       

     2 2 1

    , ,3 3 3

     

     jin    

    x x xx y yx z zx2 1

    7 2 43 3

    n n n    

    y x xy y yy z zy2 10

    53 3

    n n n    

    z x xz y yz z zz2 1

    2 4 03 3

    n n n    

    104; ;0

     

     

    2

    2 2 2 2   104 5,213

     x y z    

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    33/118

    2. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  1 / 6

    2. VJEŽBE 

    2.1   Na visini h=1 m, prema slici, nalazi se otvor cijevi iz koje izlazi mlaz fluida stalnom

     brzinom v=8 m/s, pod kutom  =49°. Uz pretpostavku idealnog fluida i uzzanemarenje trenja između zraka i fluida odredite maksimalnu visinu  H   i duljinu  L 

    koju će mlaz dosegnuti.

      g  pa

    v

     

    Rješenje: 

    Mlaz fluida je sa svih strana okružen zrakom pod konstantnim atmosferskim tlakom, takoda je rezultirajuća sila tlaka na svaku česticu fluida u mlazu jednaka nuli, te od vanjskihsila ostaje samo sila težine. Prema tome, svaka  čestica fluida u mlazu gibat će se poputmaterijalne točke u polju gravitacije (kosi hitac). Budući da svaka čestica u izlaznommlazu ima brzinu v, dovoljno je promatrati gibanje jedne čestice fluida, a gibanje svihostalih čestica će biti potpuno identično. Stoga će oblik mlaza biti jednak obliku putanješto bi ga opisala jedna materijalna točka izbačena brzinom v  pod kutom    s visine h  uodnosu na koordinatni sustav prikazan na slici.

     z 

     x

    v =vA

     g 

    vC

    vB

    t =A  0

    t B

    t C

    dm g .

    dm g .

    dm g .

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    34/118

    2. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  2 / 6

    Gibanje se rastavlja u smjeru osi  x i osi z . U svakom trenutku na česticu djeluje samo sila

    težine d d F m g  , te prema drugom Newtonovom zakonu d dm a F  , vrijedi a g  , ili

    2

    x   2

    d= 0

    d

     xa x

     

    2

    z   2

    d= -

    d

     z a z g 

    t    (1)

    Jednadžbe (1) se integriraju u vremenu nakon čega slijedi: 

    x 1

    d= =

    d

     x x v C 

    t   

    z 2

    d= = - +

    d

     z  z v g t C 

    t    (2)

    Konstante C 1  i C 2  se određuju iz početnih uvjeta. Vremenski trenutak t =0 odgovaratrenutku nailaska čestice fluida u točku A u kojoj se komponente brzine

    x = cosv v      

    z = sinv v     ; za t =0 (3)

    Uvrštavanjem (3) u (2) slijedi da je

    1 = cosC v       i 2 = sinC v       (4)

    odnosno vrijedi

    x

    d= = cos

    d

     xv v

    t    

    z

    d= = sin

    d

     z v v g t  

    t     (5)

    Integriranjem jednadžbi (5) dobije se promjena puta čestice fluida u vremenu: 

    3= cos x v t C    

    2

    4

    1= sin

    2 z v t gt C     (6)

    Konstante integracije C 3 i C 4 se ponovo dobiju iz početnih uvjeta, tj. U trenutku t =0 česticafluida se nalazi u točki A s koordinatama x= xA=0 i z = z A=h, što uvršteno u (6) daje: 3 = 0C   

    i 4 =C h , odnosno:

    = cos x v t    

    21

    = + sin2

     z h v t gt     (7)

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    35/118

    2. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  3 / 6

    Položaje točaka B i C moguće je odrediti iz jednadžbi (5) i (7).

    Do točke B mlaz fluida ide prema gore, odnosno brzina vz  je pozitivna, a nakon točke B brzina vz  je negativna, što znači da je u točki B brzina vz  jednaka nuli, te se iz jednadžbe (5)

    može izračunati vrijeme t B  potrebno da čestica fluida dođe od točke A do točke B.

    zB B B

    sin= 0 = sin

      vv v g t t  

     g 

      

        (8)

    Iz jednadžbe (7) za t = t B slijede koordinate točke B 

    2

    B

    sin sin cos= cos 3,23 m

    v v x v

     g g 

      

       

    2

    B

    sin= = + 2,86 m2

    v z H h  g 

        (9)

    U točki C je t =t C i z C=0 te iz jednadžbe (7) slijedi 

    2

    C C

    10 = + sin

    2h v t g t      (10)

    Rješenje kvadratne jednadžbe (10) je: 

    2 2

    C sin sin 2= v v ght  g 

        (11)

    gdje je očito samo jedno rješenje fizikalno (t C mora biti pozitivno)

    2 2

    C

    sin sin 2= 1,379 s

    v v ght 

     g 

       

    Uvrštenjem t C u jednadžbu (7) za x-koordinatu točke C slijedi: 

    C C= = cos 7,24 m x L v t   .

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    36/118

    2. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  4 / 6

    2.2  Blok mase m=10 kg kliže po glatkoj površini kosine nagnute pod kutom  =20.Odredite brzinu U   bloka koja će se ustaliti, ako se između bloka i kosine nalazi uljnifilm debljine h=0,1 mm. Koeficijent dinamičke viskoznosti ulja je  =0,38 Pas, a

     površina bloka u dodiru s uljem  A=0,15 m2. Pretpostavite linearni profil brzine uuljnom filmu. 

     U = ?

     m

     A

     

    Rješenje: 

     h

     

    h    

     F A       

    mg 

     m g s i n 

     F  

     

    sin F mg        

    sinU 

     A mg h    

    sinmg hU 

     A

     

     

     

    310 9,80665 sin 20 0,1 10

    0,38 0,15U 

     

    0,0588 m/sU    

     Napomena: Za konstantu g  se koristi vrijednost 29,80665 m/s g   .

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    37/118

    2. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  5 / 6

    2.3   Newtonska kapljevina gustoće    =920 kg/m3, kinematičkog koeficijenta viskoznosti =510-4 m2/s struji preko nepomične stijenke. Profil brzine uz stijenku dan jeizrazom

    33 1

    2 2

    u y y

    U     

     

     

    u( ) y

     gdje je  y  udaljenost od stijenke, a    udaljenost na kojoj je brzina u U  . Odredite

    veličinu i smjer tangencijalnog naprezanja na površini stijenke, u zavisnosti od U   i

      .

    Rješenje: 

    0 0

    d d

    d d y y

    u u

     y y  

     

    2

    3

    0

    d 3 1 3 d 3

    d 2 2 d 2 y

    u y u U  U 

     y y  

     

    32

    U    

     

    4   3920 5 102

    U  

     

     

     

    2

    m/s

     N/m

    m

    0,69U 

      

     

    Tangencijalno naprezanje fluida na stijenku djeluje u smjeru relativne brzine fluida u

    odnosu na stijenku.

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    38/118

    2. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  6 / 6

    2.4  U cilindričnoj posudi polumjera R0=220 mm, nalazi se cilindar polumjera R=216 mmkoji rotira stalnom brzinom vrtnje n=200 o/min za što se troši snaga  P = 46 W.Odredite koeficijent dinamičke viskoznosti    kapljevine koja ispunjava prostorizmeđu cilindra i posude u kojem pretpostavite linearni profil brzine, a utjecaj dnazanemarite. Zadano je: h=20 cm.

     R

    h

    =?

    n=konst

    POSUDA

     R0

     g 

    cilindar 

     

    Rješenje: 

    30

    n  

       ; u R  ;

    0

    u

     R R  

     

    2 F R h   ;  M F R ;  P M      

    2 2

    0

    2 2  u

     P F R R h R h R R

     

     

    2 3 3 2 3

    0 0

    2 2900

     R n R P h h

     R R R R

       

     

    03 2 3

    450 P R R

    n R h

     

     

     

    3 2 3

    450 46 0,220 0, 216

    200 0,216 0,20 

     

     

    0,0331 Pa s    

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    39/118

    3. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  1 / 6

    3. VJEŽBE 

    3.1  U jedan krak U-cijevi u kojoj se nalazi voda gustoće   =999,1 kg/m3  nadoliveno jeulje gustoće   0=820 kg/m

    3, prema slici. Ako je visina stupca ulja h0=150 mm,

    odredite razliku visina h razina ulja i vode.

     pa   pa g 

    h=?

    h0ulje

     

    Rješenje: 

     pa

     pa   hA

    B

    h0h0-h

     

    Jednadžba manometra od A do B: 

    0 0 0a a p g h h gh p     

    0 0 0   0h h h     

    00   1h h

       

      

     

    8200,15 1

    999,1h

     

     

    0,0269 m 26,9 mmh   

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    40/118

    3. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  2 / 6

    3.2  Odredite apsolutni i manometarski tlak u točki A spremnika, za otklone manometra i

     barometra prema slici. Zadano je:  =999 kg/m3, 1 =771 kg/m3, 0 =13560 kg/m

    3,

    h=5 cm, h0=17,5 cm, h1=12,5 cm, ha=752 mm.

    h

    h0

    h1

    haA

     

    Rješenje: 

    Barometar: a 0   a   99999,6 Pa = 1000 mbar = 1000 hPa p gh    

    0,001 bar 1mbar 1hPa  

    Manometar : A 0 0 1 1 1a p p g h h gh gh     

    Apsolutni tlak u točki A: A   138458 Pa=1385 mbar  p    

    Manometarski tlak u točki A: MA A   a   38458 Pa = 385 mbar  p p p  

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    41/118

    3. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  3 / 6

    3.3  Hidrostatski manometar može se iskoristiti za mjerenje količine fluida u spremnikuoblika paralelopipeda. Odredite zavisnost visine l   žive gustoće   0  u lijevom krakumanometra o volumenu V  nafte gustoće   u spremniku dimenzija dna  Lx B. Visina h se mjeri od ravnotežnog položaja žive prije punjenja spremnika i priključne cijevinaftom.

     pa

     pa

    h

    spremnik dimen ija dnax

    z  L B

    ravnotežni položaj žive 

    nafta 

     priklju na cijev

    č

     

    živa

     

    Rješenje: 

    V V L B H H  

     L B

      (1)

      0a a2 p g H h l gl p      (2)

    (1) u (2)

    02V 

    h l  L B

       

     

    02

    V l h L B

      

       

     

    Slučaj V =0, priključna cijev puna, 0l l   

    0

    02

    hl 

       

       

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    42/118

    3. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  4 / 6

    3.4  Osjetljivost hidrostatskog manometra (definirana odnosom otklon manometra /

    mjerena razlika tlakova) povećava se naginjanjem kraka manometra. Zamikromanometar na slici, duljina l  u nagnutom kraku mjeri se od položaja meniskusakod jednakih tlakova  p1 i  p2.

    Odredite kut nagiba kraka da bi osjetljivost manometra bila 1mm/Pa. Zadano je:

     =800 kg/m3.

     D= d 10

    d        

     h1 h2

     

     l

     

    Rješenje: 

    2   sinh l        (1)

    2 1 2 1J.M.   p g h h p     (2)

    2 2

    14 4

     D d h l 

     

      (3)

    2

    1iz(3)  d 

    h l  D

     

      (3a)

    (1) i ( 3a) u (2)

    2

    1 2sind 

     g l p p D

            (4)

    3

    21 2

    1osjetljivost 10 m Pa

    sin

     p p   d  g 

     D   

      (5)

    2 233   1010 sin 1 sin 0,017

    d d  g 

     D g D   

      

     

     

    sin 0,017    

    6,75 6 44 45     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    43/118

    3. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  5 / 6

    3.5   Na slici je shematski prikazan princip rada hidrauličke preše. Odredite kojom silom F  treba gurati ručicu da se ostvari sila prešanja  F 2=4800 N. Zadano je: m=25 kg,

     D=200 mm, h=1,3 m, l 1= 52 cm, l 2=12 cm, A1=19,6 cm2,  =820 kg/m3.

    l 1

     h

      A1 l 2

     D

    m

     F 2

     F =?

    otpresak 

     g 

     

    Rješenje: 

    h l 1

      A1

      A2

      F 1   F 1

     l 2

     F 

     F 2

     F 2

     F 2

     p2

    mg 

    mg 

    otpresak 

    ulje

    stap 2

     F 2

     p2

     p1

     p1

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    44/118

    3. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  6 / 6

    Poluga: 1 2 1 2 F l l F l   (1)

    Stap 1:1

    1 1 a 1 1 1 a

    1

     F  p A p A F p p

     A

     (2)

    Jednadžba

    manometra

    2 1 p p gh    (3)

    Stap 2:2

    2 2 a 2 2 2 a   2

    4

     F mg  p A p A F mg p p

     D  

     

    (4)

     Nepoznanice:  F , F 1, p1, p2 

    (2) i ( 4) u (3)

    2 1a a2

    1

    4

     F mg F  p p gh

     D   A  

     

     

    21 1   2

    4

     F mg  F A gh

     D  

     

     

    1   335 N F    

    21

    1 2

    l  F F 

    l l 

     

    62,9 N F    

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    45/118

    4. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  1 / 7

    4. VJEŽBE 

    4.1  Odredite rezultantnu silu tlaka (veličinu, smjer i hvatište) na kvadratni poklopacdimenzije a=0,8 m, čije se težište nalazi na  dubini  H =1,8 m, za slučajeve prema

    slikama (a), (b) i (c). Zadano je: h=0,8 m, H 1=1,2 m,  =998,2 kg/m3, 1 =820 kg/m

    3,

    =70o.

     H 

     H 1

     H 

     H 

    h

    C

    C

    C

     g 

     g 

     g 

    .

    .   .

    .

    .   .

    .  .

    .

    .

    .

    ..

    ..

    .

    .  .

    ..

    .

    a    

    a    a    

    (a) (b)

    (c)  

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    46/118

    4. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  2 / 7

    Rješenje: 

    (a)

     H 

    O

    C

     z 

    F  h

      y    C    

          y    

    70o

     

    2

    h   11277N F gH a    

    C   1,92 msin

     H  y

       

    4

    2ξξ

    2

    C C C

    12 0,0278 m12

    a I    a

     y y S y a y

     

    Sile konstantnog tlaka  pa izvana i iznutra

    se poništavaju. 

    (b) 1. način 

    h

     H 

    .

    .   .

    .

    .   .

    .   ..

    .

    .

    ..

    ..

    .

    .

      .

    ..

    .

    C

    a    

     

    Izvana djeluje sila uslijed atmosferskog

    tlaka  pa, a iznutra sila uslijed konstantnog

    tlaka p0.

    Razlika tih dviju sila je sila  F 0  pretlaka pM0 iznutra.

    Sila  F h  uslijed hidrostatskog tlaka je ista

    kao pod (a).

    Jednadžba manometra 

    0a p gh p      

    M0 0   a   7831Pa p p p gh      

    2

    M00   5012 N F p a  

    C  F 

    h

    F 0F R 

          y    

          y    R   

     poklopac

     

    Rezultantna sila :

    R    0   h   16289 N F F F   

    i   R M M   R R    h F y F y  

    hR  R 

    0,0193m F  y y F 

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    47/118

    4. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  3 / 7

    (b) 2. način 

     H 

    h

     z 

    .   .

    .

    .

    .  .

    .

    .

    .

    ..

    ..

    .

    .  .

    ..

    .

     H 

    O

    C

    fiktivna

    slobodna površina

      y    C    

          y    R   

     

    Ako se pretlak M0 p  

     pretvori u visinu tlaka

    M0 p

    h g   

      dolazi se do

    fiktivne slobodne

     površine na kojoj  vladaatmosferski tlak, te na

     površinu djeluje samo silauslijed hidrostatskog tlaka

    računata na osnovudubine mjerene od

    fiktivne slobodne

     površine.

      2R h   16289 N F F g H h a  

    C   2,77 msin

     H h y

     

     

    4

    ξξ

    R    2

    C C

    2

    C

    12

    0,0193m12

    a I 

     y y S y a

    a y

     y

     

    (c)

     H  1 

     H  

     

    F  h 

    F  h 1 

    F  R  

     1 

     

     R  

    Sile konstantnog tlaka  pa se

     poništavaju.

    Sila  F h  uslijed hidrostatskog

    tlaka je ista kao pod (a).

    2

    h1 1 1   6176 N F gH a    

    1C1   1,28 m

    sin

     H  y

       

    4

    ξξ

    1   2

    C1 C1

    12 0,0418 m

    a I 

     y y S y a

    R    h h1   5101N F F F   

    C   0 M    R h h1   1 R 

     F y F y F y  

    1h h1R  R 

    0,0109 m F y F y

     y F 

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    48/118

    4. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  4 / 7

    4.2  Potrebno je odrediti na koju visinu h  treba spustiti razinu vode, da bi se poklopac

     jedinične širine, okretljiv u točki O, prema slici, otvorio uslijed vlastite težine.Gustoća poklopca je jednolika, a masa mu je m =250 kg. Zadano je:  L=160 cm ,

    15   ,  =998 kg/m3.

    O

      L

     pa

     pa

    h=?

    g

     poklopac

     

    Rješenje: 

    O

      L

     pa

    mg 

    F  h

      y  C

      x

       y

     pa h

    C

     

     Na poklopac djeluje

    vlastita težina i silahidrostatskog tlaka.

    Poklopac će se otvoritikada moment sile težineu odnosu na točku O

     bude veći od momentasile hidrostatskog tlaka.

    Krak sile težine u odnosu

    na točku O je, cos2

     L  a

    krak sile F h hidrostatskog

    tlaka je2

     L y , te vrijedi

    hcos2 2

     L Lmg F y

      (a)

    Sila hidrostatskog tlaka je definirana izrazom

    h C C sin 1 F gh A g y L      (b)

    a pomak3 2

    C C C

    112 1 12

     I   L L y

     y A y L y       (c)

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    49/118

    4. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  5 / 7

    Uvrštavanjem izraza (b) i (c) u (a) slijedi izraz za yC 

    C   ctg 0,851 m6

    m L y

     L 

         (d)

    Iz slike (a) slijedi granična visina h fluida

    Csin sin 0,427m2

     Lh x y  

      (e)

    Očito je sinh L      = 0,414 m, što znači da je razina fluida iznad gornjeg ruba poklopca,kao što je pretpostavljeno na slici (a). Da to nije tako, trebalo bi ponoviti proračun uz

     pretpostavku da je samo dio površine poklopca u dodiru s fluidom.

    4.3 

    Treba odrediti silu  F   koja drži u ravnoteži poklopac AB jedinične širine, zglobnovezan u točki A, u položaju prema slici. Zadano je : a=0,84 m;  H =0,65 m;h=35,5 cm;  =999 kg/m3.

     pa

     pa

     p0=?.. ....

    ..

    .

    .

    .   ..

     H 

    B

    A

    a

    h

     F 

     poklopac

     g 

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    50/118

    4. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  6 / 7

    Rješenje: 

     pa

     p0. . .... ..

    .

    .   ..

     H 

    B

    A

    a

    a/2

    h =y H  C C= /2

     H /2h

    12

     F 

    F h

    F 0

       y

     

    Slika (a) Sile na poklopac

    U ovom primjeru nije pogodno

    uvoditi fiktivnu slobodnu

     površinu, jer površina AB nije

    čitava uronjena u fluid. Na dio površine poklopca koji senalazi iznad fluida, djeluje

    samo sila konstantnog tlaka p0,

    a na potopljeni dio površine isila tlaka p0 i sila hidrostatskog

    tlaka. Zbog toga je u ovom

    slučaju jednostavnije računatisilu  F 0  (uslijed konstantnog

    tlaka  p0) na čitavu površinu,koja djeluje u težištu poklopcaAB i silu hidrostatskog tlaka

     F h, na dio poklopca ispod

    stvarne slobodne površine, kaošto je prikazano na slici (a). 

    Sila težine poklopca prolazi točkom A, te u ravnoteži momenata nije bitna. S obzirom dafluid u spremniku miruje, tlak  p0  će se odrediti iz jednadžbe manometra od točke 1 u

     piezometričkoj cijevi do točke 2 na slobodnoj površini, koja glasi 

    a 0 p gh gH p      (a)

    iz koje je manometarski tlak

    M0 0 a   2890Pa p p p g h H      (b)

     Negativni predznak ukazuje da se radi o podtlaku, te će sila F 0

    0 M01 2428N F p a   (c)

     biti negativna, odnosno usmjerena suprotno nego što je ucrtano na slici (a). Sila F h je

    h   1 20702

     H  F g H N      (d)

    a pomak hvatišta sile F h je

    3

    C

    1

    12 0,108 m6

    1

    2

     H  I    H 

     y H  y A

     H 

     

      (e) 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    51/118

    4. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  7 / 7

    Sila F  se određuje iz uvjeta ravnoteže momenata u odnosu na točku A, koja glasi 

    0 h2 2 6

    a H H  F a F F 

     

      (f)

    U gornjoj se jednadžbi sila F 0 uvrštava s negativnim predznakom, te slijedi sila F =-680 N,što znači da na poklopac treba djelovati silom F  u suprotnom smjeru od smjera na slici (a).S obzirom da se poklopac naslanja na stjenku u točki B, sila F  će biti sila reakcije između

     poklopca i stjenke, te za držanje poklopca u ravnoteži neće trebati djelovati silom izvana. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    52/118

    5. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  1 / 5

    5. VJEŽBE 

    5.1  Kvadratična greda zglobno je učvršćena u bridu A. Odredite silu  F   kojom trebadjelovati na gredu jedinične duljine da bi bila u ravnoteži u položaju prema slici.  Zadano je: a=1 m;   =999 kg/m3.

     pa

     pa

    g

    A

      a

    a

     F =?

     

    Rješenje: 

    1. način  –   površina se tretira kao zbrojravnih površina 

     pa

    C1F 

    1

    F 2

    C2a

    a

     F 

    A

    C1

    C2

     

    2l a  

    1

    1

    2 F g a l B    

    3

    112

    1   6

    2

    l Bl 

    l l B

     

    2

    3

    2

     F g a l B    

    3

    212

    3  182

    l Bl 

    l l B

     

    1 1 2 2

    1 12 0

    2 2 F a F l l F l l 

     

    2 21 1 5

    12 3 12 F gl B gl B   

     

    8164 N F    

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    53/118

    5. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  2 / 5

    2. način  –   površina se tretira kao zakrivljena  površina 

     pa

    A

    C2

     x

     z 

    hC=a

     H= a2h

     B=1

     projekcija površine

    Cx

    H

    S x

     

    x   2S B a  

    3 32   2

    12 3

     B a   a I 

     

    Horizontalna komponenta F h 

      2h C x   2 2 19593 F g h S g a a ga N      3

    C x

    2

    13 0,333 m2 3

    a I 

    h ah S a a

     

     

    Vertikalna komponenta F v 

    A

    A

    T2a

    a

    =

     

    22

    2

    a aV a

     

    2

    v   9797 F gV ga N      

    10,333 m

    3 x a    

     pa

    A

     F 

     F h 2a F v

     

    Uvjet ravnoteže:

    A0 M     

    v h2 F a F x F a h  

    v h

    1 2

    2 3 3

    a a F F F 

    a

     

    8164 N F    

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    54/118

    5. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  3 / 5

    5.2  Drvena homogena greda gustoće    =940 kg/m3, duljine L=8 m i promjera D=0,5 m, pričvršćena je pod vodom gustoće  v=999kg/m

    3 u točki O, oko koje se može okretati.Kolika će u ravnotežnom položaju biti duljina l  uronjenog dijela grede?

    v

     g 

    O

     pa

       L

       l  =   ?

     D   

     

    Rješenje: 

    O

       L   /   2

       l   /   2

    F b

     

    2

    4

     DG g L

         

    2

     b v4

     D F g l 

         

    O

    0 M   

     

     bcos cos2 2

     L l G F     

    2 2 2 2

    vcos cos

    4 2 4 2

     D L D l  g g 

          

    v

    7,76 ml L   

        

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    55/118

    5. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  4 / 5

    5.3  Homogena čelična kugla gustoće   c=7800 kg/m3  radijusa  R=8 cm zatvara otvor na

    ravnoj stjenci promjera d =12 cm. Treba odrediti kut nagiba kose stjenke da kuglica

    oslobodi otvor kada u spremniku nastupi pretlak od pM=5000 Pa.

    d   

    =? 

     R

     g

     plin

     pM=konst.

     pa

     

    Rješenje: 

    d    /   2  

    G

     F 0

    C

    A   

    O

     R

     

    Slika (a) Sile na kuglu

    Od vanjskih sila na kuglu djeluju sila težine G u težištu Ckugle, te sila  F 0  uslijed pretlaka  pM  koja je okomita na

     projekciju dijela površine kugle izložene pretlaku  pM, tetakođer prolazi težištem C kugle, kao što prikazuje slika(a). Gledajući raspored sila može se zaključiti da će sekuglica pomaknuti kada moment sile  F 0  bude veći odmomenta težine, a kuglica će se gibati oko točke O ukojoj će biti nepoznata sila reakcije, koju nije nužno

    odrediti  jer se postavlja momentna jednadžba oko točkeO u obliku

    02

    d  F G k    (a)

    Sila  F 0 konstantnog tlaka je jednaka umnošku pretlaka i projekcije površine pod pretlakom, što u ovom slučajuglasi

    2

    0 M  56,5 N

    4

    d  F p

          (b)

    Sila težine je

    3c

    4164 N3G mg R g        (c)

    Krak k  sile težine, prema slici (a) je 

    cosk R       (d)

    gdje se kut   može odrediti iz pravokutnog trokuta AOC prema slici (a), iz jednadžbe 

    o2cos 41,4d 

     R      (e)

    Uvrštavanje izraza (d) u izraz (a) daje

    0cos2

     F d 

     R G  

     

      (f)

    odakle jeo75   , odnosno o33,6   . (g)

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    56/118

    5. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  5 / 5

    5.4  Tankostijena bačva mase m=94 kg, volumena V =600 l, potpuno je potopljena podvodu gustoće  =998,2 kg/m3. Do polovine volumena ispunjena je zrakom zanemarivetežine i privezana užetom za dno. Odredite silu F  u užetu. 

     g 

     pa

    zrak 

    .

    ...

      ..

    .  .

    .

    ..

    .

    .

    .

    .   .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    ..

    .

    ..

    .

    .   ..

    .

    ..

    .

    .

    ..

    .

    .

    .

    voda

    uže

     

    Rješenje: 

     F  b

     F 

    mg 

    .

    ...

    .

    ..

    ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .   .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    ..

    .

    ..

    .

    .  .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    ..

    .

    .

    .

     

     b2

    V  F g     

    G mg   

     b   0 F F G  

     b2

    V  F F G g mg     

    2015 N F    

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    57/118

    6. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  1 / 6

    6. VJEŽBE 

    6.1  Treba odrediti rezultantnu silu na zatvarač, oblika polucilindra, jedinične širine B, prema slici. Zadano je: H =3 m, R=1 m,  =60o,  =998,2 kg/m3.

     g 

     H 

    C

       R

     pa

     pa

     

    Rješenje: 

     H 

    C

    A

    B

    DE

    F

           2

         s        i     n

          R

        

    2 cos R  

    n

    n

    V  

    H I   xG

     z 

    O

     

    Slika (a) Sile na zatvarač 

    Ishodište koordinatnog sustava O xz   jesmješteno na slobodnu površinu. Sileatmosferskog tlaka  pa  izvana i iznutra se

     poništavaju tako da na zatvarač djeluje samosila hidrostatskog tlaka, koja se razlaže nahorizontalnu i vertikalnu komponentu.

    Horizontalna komponenta sile se računa izizraza

    x Cx x F p S    (a)

    gdje je S x  projekcija površine zatvarača, a  pCx hidrostatski tlak u njenu težištu. Gledajućisliku (a), horizontalne sile na dijelu površineDEF zatvarača se međusobno poništavaju jer

     je projekcija dijela EF jednaka projekciji DE,

    a suprotnog je predznaka.

    Projekcija S x  se dakle odnosi na dio ABD površine zatvarača, oblika je pravokutnika površine 2 BRsin   i pozitivna je, jer vektor normale n   na površinu čini s pozitivnimsmjerom osi  x  kut manji od 90o. Težište projekcije površine S x  je u točki C u kojoj jehidrostatski tlak Cx p gH  , te je

    x   2 sin 50,9 kN F gH R B   (b)

     Negativni predznak sile F x kazuje da sila gleda u negativnom smjeru osi x, tj. u lijevo.

    Vertikalna komponenta sile je  po veličini jednaka težini fluida u volumenu od površinezatvarača do slobodne površine. Volumen je definiran vertikalama AH i FI, povučenim iz

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    58/118

    6. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  2 / 6

    rubnih točaka površine zatvarača. Vertikala BG dijeli površinu zatvarača na dijelove s pozitivnom i negativnom projekcijom S z. Dio AB površine ima negativnu projekciju S z, tevertikalna sila na taj dio površine gleda u pozitivnom smjeru osi  z , a definirana jevolumenom ABGHA. Dio površine BDEF ima pozitivnu projekciju S z, na koju vertikalnakomponenta sile hidrostatskog tlaka gleda prema dolje, a definirana je težinom fluida u

    volumenu BDEFIGB.

    AA

    BBB

    DD   EE  FF

    V  

    HH   IIG   G

    +    = 

     

    Kada se ove dvije sile zbroje dobije se ukupna vertikalna komponenta sile hidrostatskog

    tlaka koja gleda prema dolje, a definirana je volumenom ABDEFIHA, koji je osjenčan naslici (a). Veličina tog volumena se računa kao umnožak zbroja površina polukruga itrapeza AFIH sa širinom B zatvarača, te je izraz za silu F z 

    2

    z  2 cos 44,7 kN

    8

     D F g R H B   (c)

     Negativni predznak sile F z ukazuje da ona gleda prema dolje.

    Za određivanje hvatišta rezultante u općem bi slučaju bilo potrebno prvo odrediti položajhvatišta horizontalne i vertikalne komponente sile hidrostatskog tlaka. Za slučaj cilindrične

     površine to nije nužno, jer se unaprijed zna da će rezultanta prolaziti točkom C jer i sveelementarne sile d pn S   prolaze točkom C. 

    C

     F R   

    Slika (b) Položaj rezultantne sile 

    Rezultantna sila je po veličini jednaka 

    2 2

    R x z   67,7 kN F F F    (d)

    a djeluje pod kutom   prema slici (b)

    oz

    x

    arctg 41,3 F 

     F   (e)

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    59/118

    6. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  3 / 6

    6.2  Treba odrediti silu F  u vijcima, kojima je pričvršćen poklopac, oblika stošca, mase m= 474 kg, prema slici. Zadano je:  H =1,4 m,  h=0,9 m,  R=0,8 m,  pM0=2800 Pa,

      =998 kg/m3.

     g 

     H 

     . .

     .

     .

     .

      .

     .

     .

     .

     .

     .

     .

     . .

     .

     .

     .

     .

     .

     .

     .

     . .

     .

     R

    h

     poklopac pM0

     

    Rješenje: 

     H  

     R 

    M0 

     F  0 

     F  z 

    mg  

     F  v 

    sl. povina rš 

    r  V  

    Slika (a) Sile na poklopac 

     Na slici (a)  su prikazane sile  koje djeluju na

     poklopac. Osim sile težine samog poklopca i sile F v  u vijcima (koja je pretpostavljena tako da

    izaziva vlačna naprezanja u vijcima), djeluje jošvertikalna sila F 0 konstantnog pretlaka pM0 i sila

     F z hidrostatskog tlaka. Horizontalne sile tlaka se

    međusobno poništavaju. Sila  F 0  konstantnog pretlaka je jednaka umnošku pretlaka i ploštine projekcije S z  površine stošca sa strane pretlaka pM0. Projekcija S z  je oblika kruga polumjera  R  inegativna je, te je sila jednaka

    2

    0 M0   5630 N F p R   (a)

    i gleda prema gore. 

    Vertikalna komponenta  F  z   sile hidrostatskog tlaka je po veličini jednaka težini fluida u prostoru od površine stošca u dodiru s fluidom do slobodne površine. Taj volumen jeosjenčan na slici (a). Njegov je obujam 

    2 2 2

    3

    hV R h R r Rr    (b)

     Nepoznati polumjer r  se određuje iz sličnosti trokuta, prema kojoj je 

    0,286 mr R H h

    r R H h H H 

      (c)

    što uvršteno u izraz (b), daje obujam V =0,914 m3. Sila F z također gleda prema gore (jer je

     projekcija površine u dodiru s fluidom negativna), a po veličini je 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    60/118

    6. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  4 / 6

    z   8945 N F gV    (d)

    Iz ravnoteže vertikalnih sila, prema slici (a), slijedi tražena sila u vijcima 

    v 0 z   9930 N F F F mg    (e)

     .

     .

     .

     .

     .

     .

     .   . .

     . .

     .

    h

     pM0

    Fiktivna slobodna povr inaš

    hF

    A B  

    Slika (b)

    Do istog se rezultata moglo doći i na druginačin. Ako se poklopcem smatra sve onošto se nalazi iznad ravnine A-B, prema slici(b), odnosno iznad otvora polumjera R,

    tada će i fluid unutar stošca pripadati poklopcu. Ako se sa F M0h p g , prema

    slici (b), označi visinu pretlaka  pM0, kojadefinira položaj fiktivne slobodne površine,

    tada će sila  F   na poklopac biti jednakatežini fluida u osjenčanom volumenu. 

     .

     .

     .

     .

     .

     .

     .   . .

     . .

     .

    h

     pM0

    Fiktivna slobodna povr inaš

    hF

    A B  

    Slika (c)

    Ako se toj sili oduzme težina fluida uzatvar aču, dobije se situacija prikazana naslici (c), gdje osjenčani dio volumena odstvarne do fiktivne slobodne površinedefinira silu F 0, a osjenčani volumen ispod

    stvarne slobodne površine definira silu  F z, jednako kao u prvom načinu. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    61/118

    6. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  5 / 6

    6.3  Kocka gustoće  0=495 kg/m3, brida a=0,44 m, zglobno je vezana u bridu O i zatvara

    kvadratični otvor na dnu spremnika, prema slici. Treba odrediti silu  F   potrebnu za podizanje kocke. Zadano je: H =1,2 m,  =35o,  =999 kg/m3.

     pa

     pa

     g 

    O

     a

     

     H 

     F=?

     

    Rješenje:  pa

     pa

    O

    A

     H 

     F 2

     F 1

     F 3

     

    Slika (a) Sile tlaka na kocku

     pa

     pa

    A

    O

     H  F 2

     F 1

     F 3 F 4

     F 4

     

    Slika (b)

     Na slici (a) su prikazane sile tlaka koje djeluju na kocku. Sile koje djeluju na plohe kocke

    koje su paralelne ravnini slike, međusobno se poništavaju. Ako se na plohi OA doda i

    oduzme sila F 4 hidrostatskog tlaka, kao što je prikazano na slici (b), tada suma sila 1 F  , 2 F  ,

    3 F    i sile 4 F    izvana, daju silu uzgona, koja djeluje u težištu kocke, te osim nje ostaje silahidrostatskog tlaka  F 4  iznutra na plohu OA, kao što je prikazano na slici (c), na kojoj jeucrtana i sila težine kocke, odgovarajući krakovi sila, te veličine yC i  y za silu F 4. Iz slike(c) slijedi

    sin cos 0,613 m L a a   (a)

    2 0,306 mk L   (b)

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    62/118

    6. Vježbe

    Mehanika fluida –  Vježbe  6 / 6

     pa

     pa

    O  

     H 

     F 

     F 4

    A

      y   C   

         y    

    C

    asin   acos

     L

    mg 

     F  b

    k=L/2

     

    Slika (c) Sile na kocku

    C   1,68 mcos 2

     H a y

      (c)

    C C cos 1,38 mh y

      (d)

     Na temelju čega je 

    2

    4 C C

    4

    cos

    2618 N

     F g h A g y a

     F 

     4

    2

    C C

    2

    C

    12

    0,011m12

    a I 

     y y A y a

    a y

     y

     

    3

     b   834,5 N F gV ga

     

    Kocka će se podići kada moment sile F (u odnosu na točku O) svlada momente ostalih sila,tj.

    4   b2 2

    a L F L F y mg F    (e)

    odakle je sila 776 N F  .

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    63/118

    7. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  1 / 6

    7. VJEŽBE 

    7.1  Odredite minimalni protok Q  u nestlačivom strujanju fluida kod kojeg će ejektor početi usisavati fluid kroz vertikalnu cjevčicu. Zadano je  A2=14 cm

    2,  A1=3,5 cm2,

    h=0,9 m.

    h

    Q=? A1

     pa

     pa

     A2

     g 

     

    Rješenje: 

    Da bi ejektor počeo usisavati fluid kroz vetikalnu cjevčicu, tlak  p1 u presjeku A1 mora bitimanji od hidrostatskog tlaka koji vlada pri mirovanju fluida u vertikalnoj cjevčici.

    1 a p p gh     (a)

    Bernoullijeva jednadžba od presjeka A1 do presjeka A2 glasi:

    2 2

    1 1 2 2

    2 2

     p v p v

     g g g g       (b)

    Jednadžba kontinuiteta 

    1 1 2 2v A v A Q     1 21 2

    iQ Q

    v v A A

      (c)

    Uvrštavanjem (c) i (a) u (b) 

    2 2

    a a

    2 2

    1 22 2

     p gh pQ Q

     g gA g gA

      

       

     

    odakle je:

    3 31 2

    2 2

    2 1

    2 1,52 10 m s A A

    Q gh A A

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    64/118

    7. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  2 / 6

    7.2  Odredite visinu  z B  kraja B sifona, pri kojoj se u neviskoznom strujanju fluida

    ostvaruje maksimalni protok Q  nestlačivog fluida gustoće   =995,6 kg/m3, tlakaisparavanja pv =4241 Pa, ako je: pa =1010 mbar, z 1=34 m, z 0=30,5 m, d =150 mm.

     g 

     pa

     pa

     z B=?

     z 0

     z 1

    0

    1

     

    Rješenje: 

    Spuštanjem izlaznog kraja sifona brzina strujanja se povećava, a tlak u najvišoj točkisifona smanjuje. Pri minimalnom tlaku u najvišoj točki, koji odgovara tlaku isparavanja pv 

     postiže se maksimalno moguća brzina.

    Iz Bernoullijeve jednadžbe od točke 1 do točke B slijedi: 

    2 2max a max1 B

    2 2

    v p v p v z z  g g g g    

     

    odakle je:

    aB 1   24,1m

    v p p z z  g   

     

    Iz Bernoullijeve jednadžbe od 0 do B slijedi: 

    2

    0 B 0 B2 11,2 m/s2

    v z z v g z z 

     g   

    2 2

    3

    0 B2 0,2 m s4 4

    d d Q v g z z  

       

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    65/118

    7. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  3 / 6

    7.3  Voda neviskozno struji između dva velika spremnika u kojima je razlika visina razina H , kroz cijev promjera d . Odredite postotno povećanje protoka Q  ako se na cijevugradi difuzor izlaznog promjera D=2d .

     H 

     D

    0

    1

     g 

     pa

     pa

     

    Rješenje: 

    B.J. 0-1

    2

    a a2

     p p   v H  g g g      

    2v gH   

    Ova Bernoulijjeva jednadžba vrijedi i za cijev konstantnog promjera d i za cijev sdifuzorom promjera D, a v je brzina utjecanja u spremnik.

    Stoga će u prvom slučaju protok biti2

    04

    d Q v

        , a u drugom slučaju

    2

    4

     DQ v

        , odakle

     je

    2

    20 4

     DQ

    Q d  što znači da bi se protok povećao četiri puta. 

    Komentar: Iz gornjeg slijedi da bi se povećanjem promjera D mogao dobiti po volji veliki protok, što u stvarnosti nije slučaj.

    1) Povećanjem protoka Q  povećava se brzina u cijevi promjera d , viskozni gubici postaju značajni što smanjuje brzinu i protok.

    2) Kod velike razlike promjera D i d  dolazi do

    odvajanja strujanja od stijenke difuzora, te je

    izlazna brzina v  veća od prosječne brzine koja bi bila za slučaj jednolikog profila brzine po presjekušto dovodi do većih gubitaka, odnosno smanjenje

     protoka Q.

     D

     

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    66/118

    7. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  4 / 6

    7.4  Odredite visinu h koju će dosegnuti mlaz vode (  =1000 kg/m3) na izlazu iz račvastecijevi, prema slici, ako su manometarski tlakovi  pM1=  pM2=2,68 bar. Zadano je:

     D1=200 mm, D2=150 mm, d =100 mm, H =8 m.

    h=?

    3

    4

     pM1  pM2

     z =021

     D1   D2

     H 

     pa g 

     

    Rješenje: 

    Budući je cijev horizontalna, a u presjecima 1 i 2 vlada pretlak može se zaključiti da ćevoda strujati od oba presjeka prema izlazu, te se može postaviti Bernoullijeva jednadžba od1 do 3 i od 2 do 3. U izlaznom presjeku 3, pretlak je jednak nuli, a brzina jednaka v3 pa

    vrijedi:

    Bernoullijeva jednadžba od 1 do 3 22

    3M1 1

    2 2

    v p v H 

     g g g      (1)

    Bernoullijeva jednadžba od 2 do 3 22

    3M2 2

    2 2

    v p v H 

     g g g      (2)

    Gornje  jednadžbe imaju jednake desne strane, a budući su jednaki pretlaci  pM1=  pM2 zaključuje se da je v1= v2.

    Q3

    Q1   Q2

     

    Iz jednadžbe kontinuiteta slijedi

    1 2 3Q Q Q   (3)

    ili2 2 2

    1 21 2 3

    4 4 4

     D D d v v v

       

    odakle je2 2

    1 23 1   2

     D Dv v

      (4)

    Uvrštavanjem (4) u (1) slijedi: 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    67/118

    7. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  5 / 6

    23

    22 22 21 2M1 1 1

    4

    2

    2 2

    v

     g 

     D D p v v H 

     g g g d   

     

    ili

    M1

    1   22 2

    1 2

    4

    22

    3,16 m s

    1

     p gH 

    v D D

      

     

    3   19,7 m sv    

    Iz Bernoullijeve jednadžbe od 3 do 4

    2

    3 19,8 m2

    vh h

     g   

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    68/118

    7. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  6 / 6

    7.5  Odredite promjer d mlaznice u sustavu prema slici uz uvjet da fluid u priključnojcijevi spremnika 2  miruje. Pretpostavite neviskozno strujanje. Zadano je  H =3,4 m,

    h=2,6 m, D=100 mm.

     D

     H 

    h

    1

    2   3   d =?

    1

    2

     pa

     pa

     pa  g 

     

    Rješenje: 

    Ako fluid u priključnoj cijevi u spremniku 2 miruje. Znači da u točki 2 vlada hidrostatskitlak 2 a p p gh    ili M2 p gh    

    Bernoullijeva jednadžba od 1 do 32

    33   2

    2

    v H v gH 

     g   

    Bernoullijeva jednadžba od 1 do 2 2

    2 22   2

    2

     M v p H v g H h

     g g h

      

     

    2 2

    1 22 3

    34 4

     D d vv v d D

    v

       

    4 69,7 mm H h

    d D H 

     

    U slučaju d  < 69,7 mm protok Q bi bio manji, brzina v2 manja, a tlak p2 veći, te bi došlo

    do strujanja u spremnik 2.U slučaju d  > 69,7 mm fluid bi istjecao iz spremnika 2.

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    69/118

    8. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  1 / 7

    8. VJEŽBE 

    8.1  Odredite brzinu v1  i tlak  p1 zraka (  z =1,23 kg/m3) u simetrali cijevi promjera  D=50

    mm, pomoću mjernog sustava s Prandtl-Pitotovom cijevi prema slici. Pretpostaviteneviskozno strujanje i uzmite u obzir debljinu Prandtl-Pitotove cijevi. Zadano je: d =5

    mm, L=100 mm, =11,   a=800 kg/m3

    , h=40 mm, pa=101325 Pa.

    d  D1 2

    3

     p1, =?v1

     h L

    aa

    z

    z

     

    Rješenje: 

    Točka 2 je točka zastoja, a u točki 3 će zbog smanjenja presjeka brzina v3  biti veća od

     brzine v1, a tlak p3 manji od tlaka p1. Diferencijalni manometar s kosom cijevi mjeri razlikutlaka 2 3 p p , a U cijev razliku tlaka 3   a p p  (ako se u jednadžbama manometra zanemari

    gustoća zraka što je moguće jer je gustoća zraka   z  puno manja od gustoće alkohola  a  umanometrima).

    Postavljanjem Bernoullijevih jednadžbi, jednadžbe kontinuiteta i jednadžbi manometraslijedi:

    Bernoullijeva jednadžba od 1 do 22

    1 1 2

    z z2

     p v p

     g g g       (1)

    Bernoullijeva jednadžba od 2 do 32

    3 32

    z z   2

     p v p

     g g g       (2)

    Jednadžba kontinuiteta  2 22

    1 34 4

     D d  Dv v

           (3)

    Jednadžba diferencijalnog manometra  2 3 a   sin p p g L      (4)

    Jednadžba manometra  a 3 a p p g h     (5)

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    70/118

    8. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  2 / 7

    U gornjem sustavu s pet jednadžbi nepoznanice su: p1, v1, p2, p3, i v3.

    iz (5) 3 a a   101325 Pa p p g h    

    iz (4) 2 3 a   sin 101161Pa p p g L     

    iz (2) 3 2 3z

    215,6 m sv p p

        

    iz (3)2 2

    1 3   2  15,44 m s

     D d v v

     D

     

    vidimo da je korekcija neznatna pa se najčešće zanemaruje debljina Prandtl-Pitotove cijevi

    iz (1)

    2

    1 2 z 1

    1

    100841 Pa2 p p v    

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    71/118

    8. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  3 / 7

    8.2  Odredite protok vode mjeren Venturijevom cijevi, prema slici. Uzmite u obzir i

    koeficijent korekcije brzine. Pri kojem bi protoku, za isti smjer strujanja i apsolutni

    tlak  p1=1,96 bar nastupila kavitacija u presjeku 2. Zadano je:   =998,2 kg/m3,

     pv =2337 Pa,   0=13546kg/m3, h0=360 mm,  L=0,75 m,  D1=300 mm,  D2=150 mm,

    kinematička viskoznost vode =1,00410-6 m2/s.

    h0 D1

     L

     D2

    0

    , pv

    Q

     g 

     

    Rješenje: 

    h0v p1, 1

    v p2, 2

     L

     x1

    2

    0

    ,

     pv

     

    Jednadžba kontinuiteta2 2

    1 21 3

    4 4

     D DQ v v

       

    (1)

    Bernoullijeva jednadžba od 1 do 22 2

    id id1 2

    4 2 4 2

    1 2

    8 8

    g g

    Q Q p p L

     g D g D      (2)

    Jednadžba manometra

    1 0 0 0 2 p g x h gh g x L p      (3)

    Iz (3) 01 2 0   1 p p

     L h

     g 

      

       

      (4)

    Iz (2)2 2

    1 2 1 2id

    4 4

    1 2

    24

     D D p pQ g L

     g  D D

     

      

        (5)

    2 2

    01 2id 0

    4 4

    1 2

    2 1 171,9 l s4

     D DQ gh

     D D

       

      

       

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    72/118

    8. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  4 / 7

    Stvarni protok C idQ C Q  

    5 51id 1 id1

    1

    47,27 10 10

    v D Q Re

     D  

     

     pa je prema dijagramu u Tehničkoj enciklopediji broj 8 str. 148 C   0,984C    

    3

    id0,984 0,1692 m sQ Q  

    Kavitacijski protok uz p1=1,96 bar i  p2 = pv =2337 Pa i C C=0,984 je prema (5)

    2 2 5

    kav4 4

    0,3 0,15 1,96 10 23370,984 2 0,75

    4 998,20,3 0,15Q g 

     g 

       

       

    3

    kav   0,347 m sQ    

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    73/118

    8. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  5 / 7

    8.3  Odredite horizontalnu silu vode na redukcijsku spojnicu prema slici, uz pretpostavku

    neviskoznog strujanja fluida. Zadano je:  D=200 mm, d=100 mm,   =1000 kg/m3,

     pM1=1,6 bar, pM2=0,9 bar.

     pM1

     pM2

     D d 

     pa1

    2

    Q

     

    Rješenje: 

    Bernoullijeva jednadžba 

    2 2

    M1 1 M2 2

    2g 2g

     p v p v

     g g       (1)

    Jednadžba kontinuiteta2 2

    1 24 4

     D d Q v v

        (2)

    Iz (2) 1 22 24 4

    ;Q Q

    v v D d   

      (3)

    (3) u (1)

    3M1 M2

    4 4

    0,096 m s

    1 18

     p pQ

    d D

     

      

     

    iz (3) 1 23, 05 m s; 12, 2 m sv v  

    Sila se određuje iz jednadžbe količine gibanja: 

     xK.V.

    K. .P

     I 1

     

    2

    2

    1 1 M1   5320 N4

     D I v p

           

    2

    22 2 M2   1880 N

    4d  I v p        

    Impulsne funkcije su izračunate s pretlakom što znači da smo obračunali silu atmosferskogtlaka izvana.

    x 1 2   3440 N F I I   

    S obzirom da se radi o neviskoznom strujanju, brzine i tlakovi u presjecima 1 i 2 bi bili isti

    da je strujanje protokom Q u suprotnom smjeru, te bi impulsne funkcije I 1 i I 2 ostale iste, pa bi sila F x ostala ista po veličini i po smjeru. 

  • 8/20/2019 Mehanika fluidaa

    74/118

    8. Vježbe 

    Mehanika fluida –  Vježbe  6 / 7

    8.4  Odredite rezultantu silu vode na račvu prema slici uz pretpostavku neviskoznogstrujanja. Volumen vode u račvi je V =0,11 m3. Zadano je: H =3,8 m, h=2,1 m, h1=1 m,

     D1=300 mm, D2=200 mm, D3=300 mm,   =1000 kg/m3.

     D3

     D1

     D2

     H 

    h

    h1

      pa

     pa

     g 

     

    Rješenje: 

     H 

    h

    h1

    1 2

    3

    0

    4

     

    Budući je točka 0 na najvećoj geodetskoj, aujedno i piezometričkoj visini, a točka 3 nanajnižoj, fluid će sigurno strujati od točke 0

     prema 3 te vrijedi Bernoullijeva jednadžbaod 0 do 3

    2

    3

    3  2 8,63 m s

    2g

    v H v gH   

    Budući nema viskoznih gubitaka, a točka 4 jeniža od točke 0, doći će do strujanja uspremnik te Bernoullijeva jednadžba od 0 do4 uz gubitke utjecanja glasi

    2

    22   2 5,77 m s

    2g

    v H h v g H h

     

    Brzina u presjeku 1 se određuje iz jednadžbe kontinuiteta 

    22 2

    31 21 2 3

    4 4 4

     D D Dv v v

           

    2 2

    2 2 3 31   2

    1

    3,53 m sv D v D

    v D

     

    Za određivanje impulsnih funkcija potrebno je poznavati pretlake u presjecima 1 i 2, kojise odre�