1

MATRIX

2

Definisi• Matrix adalah himpunan skalar (Riil dan

Complex), yang disusun secara empat persegi panjang (baris x kolom)

• Skalar – skalar disebut Elemen Matrix• Batas-batas

[ ] atau atau

3

ContohMatrix Riil

110373004

1132 baris 1

baris 3

baris 2

kolom 1 2 3 4

4

Notasi Matrix• Nama Matrix dengan huruf Besar A, B, C,

P, Q

• Secara lengkap Matrix A = (aij), artinya

matrix A dengan elemen (aij),

dimana : index i adalah baris ke-i, index j adalah kolom ke-j

5

Matrix Secara Umum

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

a...aaa....................

a...aaaa...aaa

A Atau dapat ditulis : n m.aA ijn m

6

Operasi Matrix

a) Penjumlahan Matrix (Syarat ukuran sama)b) Perkalian Skalar terhadap Matrixc) Perkalian Matrix

7

Penjumlahan MatrixDEFINISI:

• Jika A = (aij) dan B = (bij), (ukuran sama)

• Maka C = A + B, dimana

cij = aij + bij ; atau A + B = (aij + bij)

CONTOH

2413

A dan

3120

B maka

8

Penjumlahan Matrix (1)

31142103

3120

2413

BA

5533

9

Perkalian Skalar terhadap Matrix

• Jika suatu skalar dan A = (aij),

• Maka (aij), Matrix diperoleh dengan mengalikan elemen matrix A dengan

Contoh

103

734A

130333733343

3Amaka

309

21912A3

10

Perkalian Matrix• Secara umum perkalian Matrix tidak

komutatif AB BA• Perkalian Matrix AB;

Matrix A = Matrix PertamaMatrix B = Matrix Kedua

DEFINISI• A = (aij) berukuran (p x q); • B = (bij) berukuran (q x r)Maka Perkalian AB adalah Matrix C = (cij)

berukuran (p x r)

11

Perkalian Matrix (1)Kombinasi linear satu vektor

• v = kelipatan u, yaitu • v = u, dengan arah

yang sama (sejajar) • v dan u disebut koliner

(segaris)

Kombinasi linear dua vektor

• v dan u1, u2 disebut koplanar (sebidang)

u v

u1

u2

1u1

2u2

v = u

12

Perkalian Matrix (1)• CONTOH

• BA ukuran (2 x 3)

101012413

A 33

131

023B 32

101012413

131023

BA 32

13

Perkalian Matrix (2)

1.10.34.10.11.31.11.12.33.11.00.24.30.01.21.31.02.23.3

541012513

14

Tugas

Buat Algoritma untuk:1. Penjumlahan Matrix2. Perkalian Skalar terhadap Matrix3. Perkalian Matrix

15

Transpose MatrixDEFINISI:

• Jika A = (aij) dengan ukuran (m x n)

• maka Tranpose Matrix AT = (aji), dengan

ukuran (n x m)CONTOH

232221131211

A

231322122111

AT

16

Sifat Matrix Transpose1. (A + B)T = AT + BT 2. (AT)T = A3. (AT) = (A)T

4. (AB)T = BT AT

17

Jenis Matrix Khusus1. Matrix Bujur Sangkar, • jumlah baris = jumlah kolomContoh Matrix (2x2) Matrix (3 x 3)

6543

333231232221131211

18

Jenis Matrix Khusus (1)2. Matrix Nol ( O )Semua elemen = 0CONTOHMatrix (2x2) Matrix (2 x 3) Matrix (3 x 3)

Sifat-Sifat Matrix NOL:a) A + O = A (ukuran A = ukuran O)b) AO = 0; OA = 0 (bila syarat perkalian OK)

0000

000000

000000000

19

Jenis Matrix Khusus (2)3. Matrix DiagonalMatrix Bujur sangkar, dimana elemen diluar

diagonal utama = Nol(aij) =Matrix Diagonal, bila aij = 0, untuk i j

CONTOH :

300020001

20

Jenis Matrix Khusus (3)4. Matrix Identitas ( I )Matrix Diagonal dimana diagonalnya bernilai

1 semuanyaCONTOH :

100010001

21

Jenis Matrix Khusus (4)5. Matrix Idempoten, Periodik, Nilpoten• Idempoten :

AA = A2 = A (A = Matrix Bujur Sangkar)• Periodik :

AAA….A = Ap = A (dengan periode p-1)• Nilpoten :

Ar = 0 ; Nilpoten dengan Index r (Integer terkecil)

22

Matrix Nilpoten• Matrix A = Nilpoten dengan index = 3

312625311

312625311

312625311

312625311

311933000

=

=

000000000

= = O

23

Transformasi Elementer1. Penukaran tempat baris/kolom

a) baris ke-i dan baris ke-j, ditulis Hij(A)

b) kolom ke-i dan kolom ke-j, ditulis Kij(A)

2. Mengalikan baris/kolom dengan Skalar a) Baris ke-i dengan Skalar 0 Hi

()(A)

b) Kolom ke-i dengan Skalar 0 Ki()(A)

3. Menambah baris/kolom dengan kali baris/kolom

a) Baris ke-i dng kali baris ke-j, Hij()(A)

b) Kolom ke-i dng kali kolom ke-j, Kij()(A)

24

Penukaran Baris/Kolom

987654321

A

987321654

AH12

897564231

AK 23

CONTOH

25

Mengalikan Baris/Kolom dng Skalar

CONTOH

987654321

A

98216512323

(A)K 31

98712108321

(A)H 2-2

26

Menambah Baris ke-i dengan Skalar kali Baris ke-j

• CONTOH

329228127654321

(A)H 231

15129654321

(A)H 231

27

Menambah Kolom ke-i dengan

Skalar kali Kolom ke-j

993876635433321

(A)K 323

935762343111

(A)K 323

28

Contoh Lain

329322831273654321

(A)H )2(1

)3(3

332823654321

(A)H )2(1

)3(3

29

Matrix Ekivalen• DEFINISI• Dua Matrix dikatakan ekivalen (A~B), bila

salah satunya diperoleh dari yang lain dengan transformasi2 elementer terhadap baris/kolom

CONTOH• Ekivalen Baris

232221131211

A

131211232221

B

30

Matrix Ekivalen (Contoh)

23141203

A

12031315

B

23151203

K (1)12

12031315

H 21

13151203

K (-1)42~ ~

~ = B

31

Matrix Elementer

100001010

IK12

100001010

IH12

10k010001

(I)H k31

100010k01

(I)K k31