Matriks (Cont’d)

Transformasi (operasi) Elementer pada Baris danKolom Matriks

Transformasi Elementer pada matriks adalah:

• Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan bariske j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis Hij(A)

• Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke idijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis Kij (A)

12((A)H

1 2 0

A 1 2 0

0 1 a 0 1

2

2 3

a

3 1

1

H12(A) berarti menukar baris ke-1matriks A dengan baris ke-2

23((A)K

0 0

1 1

1 1

1 2 1 2

A 2 3 2 3

0 1 0 1

K23(A) berarti menukar kolom ke-2matriks A dengan kolom ke-3

• Mengalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis

Hi (A). Mengalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis Ki (A)

• Menambah kolom ke-i dengan kali kolom ke-j, ditulis Kij (A) dan menambah baris ke-i dengan kali baris ke-j,

ditulis Hij (A).

)(

)(

)(

H K( 2) (1/2)2 3

1 2 0 1 2 0 1 2 0

A 2 3 1 (A) (A) 2 3 1/2

0 1 1 0

4

1 1 0 1 1/2

6 2

)(

H K

( 1) (2)23 31

2 3 3 1

(A) (A)

H ( 1*H ) K (2*K )

1 2 0 1 2 0 1 2

A 2 3 1 2 2

0 1 1 0 1 1 0

2

2 2 0 4

11

Transformasi (operasi) Elementer pada Baris danKolom Matriks

• Jika transformasi elementer hanya terjadipada baris saja disebut ELEMENTER BARIS

• jika transformasi terjadi pada kolom sajadisebut ELEMENTER KOLOM

Transformasi (operasi) Elementer pada Baris danKolom Matriks

Latihan 1

3 1 2 1

A= 4 1 0 2 ,carilah matrik B yang dihasilkan dari

1 3 0 1

sederetan transformasi elementer

. Carilah B tersebut.

(-1) (2)H , H , H ,31 2 12

(1)K41

• Penyelesaian

( 1)31

(2)2 12

H

H H

4 1 0 2

3 1 2 1 3 1 2 1

4 1 0 2

1 3 0 1 -2 2 -2 0

3 1 2 1 8 2 0 4

8 2 0 4 3 1

-2 2 -2 0

(1)41K 2

2 1

-2 2 -2 0

8 2 0 12

3 1 4

-2 2 -2 -2

Latihan 2

(-1) (1/2)12 31 13 2

2 2 1 2

B= 6 0 4 2 ,diperoleh dari A dengan sederetan

1 2 3 1

transformasi elementer berturut-turut: H ,H ,K ,K .

Carilah A.

Determinan

• Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilaideterminan

• Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatuskalar.

• Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol,maka matriks tersebut disebut matriks singular.

• Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujursangkar

• Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A)

• Jumlah det(A) disebut determinan A

• det(A) sering dinotasikan |A|

• Pada matriks 2x2 cara menghitung nilaideterminannya adalah :

• Contoh :

2221

1211

aa

aaA

21122211)det( aaaaA

31

52A 156)det( A

2221

1211)det(

aa

aaA

31

52)det( A

Determinan

• Pada matriks 3x3 cara menghitung nilaideterminannya adalah menggunakan MetodeSarrus

• Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi3x3

122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Determinan

• Contoh :

• Nilai Determinan dicari menggunakan metodeSarrusdet(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –

(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)= 2 +12+0+6-0-2= 18

102

311

322

A

Determinan

• Metode Cramer (orde 3 x 3)

Determinan

• Misalkan

• Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar• Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian

minor dan kofaktor.

• Ilustrasi:

• Minor komponen adalah

• Kofaktor komponen adalah

det A = | A | = ad-bc

Minor adalah bagian matrik terkecil dengan dimensi 2x2 dari suatu matrik bujursangkar yang sama atau lebih dari dimensi 3x3.

Kofaktor adalah nilai skalar permutasi dari minor

Determinan : Minor-Kofaktor

• Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalahdeterminan yang berasal dari determinan orde ke-n tadidikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

• Dinotasikan dengan Mij

• Contoh Minor dari elemen a₁₁

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A3332

2322

11aa

aaM

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

444342

343332

242322

11

aaa

aaa

aaa

M

Minor

• Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskandengan

Contoh :• Kofaktor dari elemen a11

2323

32

23 )1( MMc

Kofaktor

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris• Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

• Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktorbaris pertama|A|

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

131312121111

131312121111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

Determinan

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom• Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

• Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktorkolom pertama|A|

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

2322

1312

31

3332

1312

21

3332

2322

11

313121211111

313121211111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

Determinan

sehingga determinan matriks A adalah = 36 + 12 + 16 = 64

Mencari determinan matriks A dengan kofaktor

36

-4

3

0= 3 x (-1)1+1 x (6x0 - 3x-4) = 36

21

2

3

0= 2 x (-1)1+2 x (1x0 - 3x2) = 12

-11

2

6

-4= -1 x (-1)1+3 x (1x-4 - 6x2) = 16

i = 1, j = 1

i = 1, j = 2

i = 1, j = 3

• Matriks invers dari suatu matriks A adalahmatriks B yang apabila dikalikan denganmatriks A memberikan satuan I

• AB = I• Notasi matriks invers :• Sebuah matriks yang dikalikan matriks

inversenya akan menghasilkan matriksatuan

1A

IAA 1

Invers matriks

• Invers matriks (ordo 2 x 2)

1 1invers A

det(A)

ket :

-1

a bA =

c d

d -b

-c a

A = invers matriks A

det(A) = determinan dari matriks A

Invers matriks

Contoh soal

1 !

3 5A =

1 2

tentukan A

• Invers matriks (ordo 3 x 3)

-1

a a a

A = a a a

a a a

A = invers matriks A

Adj(A) = matriks Adjoin dari A (transpos dari matriks kofaktor A)

det(A) = deter

11 12 13

21 22 23

31 23 33

1 1invers A Adj(A)

det(A)

ket :

minan dari matriks A

Invers matriks

22 23 12 13 12 13

32 33 32 33 22 23

21 23 11 13 11 13

31 33 31 33 21 23

21 22 11 12 11 12

31 32 31 32 21 22

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a aAdj(A) =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A = a a a

a a a

Menentukan adjoin

Latihan 3

1 2 -1

HItunglah invers matriks A = 0 -2 3

-3 4 5

b.

c. d.

tentukan invers dari matriks berikut :

2 4 3 2a.

4 7 10 7

2 0 3 1 0 1

1 4 5 2 3 7

0 2 -1 4 1 6

Latihan 4

Penyelesaian persamaan matriks

• Penyelesaian persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan A, B, dan X adalahmatriks-matriks berordo 2x2, dan matriks A adalah matriks nonsingular, sehingga matriks A mempunyai invers (A-1).

1. Persamaan bentuk A.X = B

Untuk persamaan A.X = B, kalikan persamaanmatriks tersebut dengan A-1 dari arah kiri.

A-1.(A.X) = A-1 .B

(A-1.A).X = A-1 .B

I.X = A-1 .B (sebab A-1 .A = I)

X = A-1 .B (sebab I.X = X.I = X)

Jadi, jika A.X = B, maka X = A-1 .B

2. Persamaan bentuk X.A = B

Untuk persamaan X.A = B, kalikan persamaanmatriks tersebut dengan A-1 dari arah kanan.

(X.A) A-1 = B. A-1

X.(A. A-1) = B. A-1

X.I = B. A-1 (sebab A.A-1 = I)

X = B. A-1 (sebab I.X = X.I = X)

Jadi, jika X.A = B, maka X = B. A-1

Contoh

• Metode Cramer

Penyelesaian sistem persamaan linear

i

i

i

AX

A

A

dengan Xi = bilangan yang tidak diketahui ke-i

= nilai determinan dari A (matriks koefisien)

yang kolom ke-i sudah d

A

iganti dengan

matriks H atau matriks konstanta

= nilai determinan matriks A

Contoh soal

Penyelesaian sistem persamaan linear

ax by puntuk

cx dy q

x p

y q

persamaan linear berbentuk :

dapat diubah menjadi perkalian matriks sbb :

a b a b dengan masing-masing ruas dikalikan invers matriks

c d c

1 1

1

x p

y q

x p

y q

x

y

d

diperoleh :

a b a b a b

c d c d c d

1 0 a b

0 1 c d

p1

qad bc

d -b

-c a

• Metode Invers

Contoh soal

Latihan 5

1. Diketahui matriks

2 1 5 7A = dan B =

3 4 11 3

a. Tentukan matriks X ordo 2x2, sehingga A.X=B

b. Tentukan matriks X ordo 2x2 sehingga X.A=B

2. Tentukan himpunan dari sistem p

x y z 32x 3y 1

2x y z 53x y 5

x 2y z 7

ersamaan berikut :

a. b.

Eigenvalue-Eigenvector

• Jika A adalah sebuah matriks n kali n, makasebuah vektor yang tak nol x berukuran n kali 1 di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jikaAx adalah kelipatan skalar dari x, yaitu:

Ax = λx

untuk suatu skalar λ, Ax sebuah vektorberukuran n kali 1.

Skalar λ dinamakan nilai eigen dari A dan x dikatakan sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan A

Contoh soal :

1. Buktikan vektor adalah vektor eigen dari

dan tentukan nilai eigennya!

Jawab :

Untuk membuktikannya dilakukan dengan caramengalikan matrik dengan vektor, sehingga diperolehhasil kelipatan dari vektor itu sendiri.

1 4

2 3A

2

-1x

1 4 2 -2 21

2 3 -1 1 -1Ax

vektor eigen

nilai eigen

Cara menentukan nilai eigen dari A

Untuk mencari nilai eigen dari matrik A yang berukuran n kali n yang memenuhi persamaan :

Ax = λx dapat ditulis sebagai :

Ax = λI.x atau ekuivalen : (λI – A)x = 0

Sistem persamaan tersebut memiliki jawaban bukannol , jika dan hanya jika :

Ini disebut sebagai persamaan karakteristik

(polinomial dalam λ)

0I A

2. Carilah nilai eigen dari :

Jawab :

Persamaan karakteristik :

= (λ)(λ-2)(λ-3) - (-2(λ-2)) = (λ-2) (λ(λ-3)+2)=0

= (λ-2)((λ-2)(λ-1))= 0 λ=2 dan λ= 1

Nilai-nilai eigen: 1 dan 2

0 0 -2

1 2 1

1 0 3

A

1 0 0 0 0 -2 0 2

0 1 0 1 2 1 -1 -2 -1 0

0 0 1 1 0 3 -1 0 -3

I A

Menentukan vector eigen

1. Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ= 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3.

1 2 3

3

1 2 3

2 0

3 0

2 2 0

x x x

x

x x x

1

2 ,

0

a a R

1

2

3

1 3 1 1 0

( 3 ) 0 3 3 3 0

2 1 1 3 0

x

A I x x

x

(A - 3 I)x = 0

Penyelesaian 1

2

3

2

0

x a

x a

x

Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 :

Himpunanpenyelesaian

1

2 , 0,

0

a a a R

1 3 1 1

3 0 3 3 3

2 1 1 3

A I A I

1 1 1

0 3 3

2 1 1

A

2. Carilah nilai-nilai eigen dan basis-basis untuk

matriks A :

Jawab :

Persamaan karakteristik :

det (λI – A)= 0

(λ-3)(λ) – (1)(-2)=0

λ 2- 3 λ + 2 = 0 Nilai eigen : λ1 = 2, λ2 = 1

3 2

-1 0A

1 0 3 2 -3 -2

0 1 -1 0 1 I A

Ruang vektor :

Untuk λ1 = 2 diperoleh :

-x1 – 2x2 = 0

x1 + 2x2 = 0

Jadi vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ adalah

vektor tak nol :

Jadi untuk λ=2, basisnya adalah :

1

2

-3 -2 0

1 0

x

x

1

2

-1 -2 0

1 2 0

x

x

x1 = –2x2

-2s -2

s 1x s

-2

1

Latihan 6

2 11. Tentukan nilai eigen dari matriks A =

3 2

3 22. Tentukan vector eigen dari matriks A =

-1 0