MATRIK PERSPEKTIF DAN SIFAT GARIS DALAM ...Hasil dari proyeksi perspektif dapat dipandang sebagai...

i

MATRIK PERSPEKTIF DAN SIFAT GARIS DALAM GAMBAR

PERSPEKTIF

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

PILIPUS NERI AGUSTIMA

NIM :111414042

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


iv

I have always studied,

no matter what the

result is...

HALAMAN PERSEMBAHAN

I dedicated this thesis for

Agustinus Sarman as my father

Anastasia Sutinem as my mother

Veronika Kania Anindita as my sister

Putu Diah Pramita Dewi as my beloved friend

And every precious one in my life that I can not mention his or her name one by one


v


vi


vii

ABSTRAK

Pilipus Neri Agustima, 2015. Matrik Perspektif dan Sifat Garis Dalam Gambar

Perspektif. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

Dalam kehidupan sehari-hari, terutama di kalangan arsitek dan seniman,

dikenal teknik menggambar perspektif. Teknik menggambar perspektif merupakan

suatu teknik menggambar sehingga diperoleh gambar yang lebih realistik, sesuai

apa yang terlihat oleh mata. Gambar yang dihasilkan menggunakan teknik ini

disebut gambar perspektif. Dalam dunia matematika, dikenal transformasi untuk

menghasilkan gambar perspektif. Transformasi tersebut adalah proyeksi perspektif.

Hasil dari proyeksi perspektif dapat dipandang sebagai titik tembus antara garis

yang menghubungkan titik proyeksi dan titik yang terletak pada objek gambar

dengan bidang proyeksi. Penelitian ini membahas matrik perspektif dan sifat garis

dalam gambar perspektif.

Penelitian ini menggunakan metode studi pustaka. Buku acuan yang

digunakan adalah “Math and Art: An Introduction to Visual Geometry” karangan

Sasho Kaldjevski. Penelitian ini juga menggunakan konsep koordinat homogen dan

transformasi sistem koordinat sehingga diperoleh matrik perspektif secara umum.

Sedangkan sifat garis dalam gambar perspektif ditulis lengkap dengan pembuktian

sifatnya.

Hasil dari penelitian ini adalah matrik perspektif yang dapat ditentukan jika

koordinat titik proyeksi dan persamaan bidang gambar diketahui. Sifat-sifat garis

dalam gambar perspektif meliputi gambar perspektif dari suatu garis lurus

merupakan garis lurus, gambar perspektif dari garis-garis lurus yang saling sejajar

dan sejajar dengan bidang proyeksi merupakan garis-garis lurus yang sejajar pula

pada bidang proyeksi, gambar perspektif dari garis-garis lurus yang sejajar namun

tidak sejajar dengan bidang proyeksi merupakan garis-garis lurus yang berpotongan

di satu titik, yang disebut dengan titik lenyap. Penelitian ini juga menghasilkan

koordinat titik lenyap jika koordinat titik proyeksi dan persamaan bidang

proyeksinya diketahui..

Kata Kunci: Proyeksi Perspektif, Matrik Perspektif, Titik Lenyap


viii

ABSTRACT

Pilipus Neri Agustima, 2015. Perspective Matrix and Property of Line in

Perspective Drawing. Thesis. Mathematic Education Study Program,

Mathematic and Science Education Departement, Faculty of Teacher Training

and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. In our life, especially for architect and artist, was known a term about

perspective drawing. Perspective drawing is a technique to produce a realistic

painting which appropriate to what was seen by eye. A painting which was produce

from this techique is called perspective painting. But in mathematic, perspective

drawing is known as perspective projection. Perspective projection is an intersect

point between projective plane and a line segment which connected point of

projection and any point in the object. This research is discussed about perspective

matrik and property of line in perspective drawing.

This research use study method with “Math and Art: An Introduction to

Visual Geometry” of Sasho Kaldjevski as a main book. This research use

homogenous coordinate and transformation of coordinate system concept to get the

general perspective matrix. Beside that, property of line in perspective projection is

written with it’s verification.

The result of this research is a perspective matrix if coordinate point of

projection and equation of plane projectian was given. Line has three property in

perspective drawing, there are perspective painting of a line is a line, perspective

painting a class of paralel lines which paralel to projection plane is a class of paralel

lines in projection plane, perspective painting a class of paralel lines which not

paralel to projection plane is a class of line which intersect in one point in projection

plane. That point also known as vanishing point. And coordinate of vanishing point

if coordinate of point of projection and equation of projection plane was given.

Key Word: Perspective Projection, Perspective Matrix, Vansihing Point.


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena

atas berkat dan rahmat-Nya lah saya dapat menyelesaikan skripsi dengan judul

“Matrik Perspektif dan Sifat Garis Dalam Gambar Perspektif”. Skripsi ini disusun

dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana

Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan

Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Banyak hambatan dan rintangan yang dialami oleh penulis selama

penyusunan skripsi ini. Namun atas bantuan dan dukungan dari berbagai pihak,

maka penulis dapat mengatasi segala hambatan dan rintangan yang dialami. Oleh

karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih

kepada:

1. Keluargaku, Bapak Agustinus Sarman dan Ibu Anastasia Sutinem, serta

adikku Veronika Kania Anindita, yang selalu memberikan doa, dukungan

dan semangat kepada penulis.

2. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si. sebagai dosen

pembimbing skripsi yang dengan sabar telah membimbing serta

memberikan kritik dan saran selama penulis menyelesaikan skripsi ini.

3. Bapak Dr. M. Andy Rudhito selaku Kaprodi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma serta dosen penguji skripsi, terima kasih atas

bimbingannya selama ini.

4. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan.

5. Ibu Veronika Fitri Rianasari, S.Pd., M.Sc., sebagai dosen pembimbing

akademis yang telah memberikan bimbingan akademis selama penulis

melaksanakan perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.

6. Bapak Antonius Yudhi Anggoro selaku dosen penguji skripsi, terima kasih

atas bimbingan dan sarannya selama ini.

7. Bapak dan Ibu dosen di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas

Sanata Dharma yang telah membimbing dan mendidik penulis selama


x

menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata

Dharma sehingga penulis memperoleh ilmu yang berguna untuk

menyelesaikan tugas akhir ini.

8. Bapak dan ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat

JPMIPA dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala jenis

bantuan dan fasilitas yang telah diberikan.

9. Putu Diah Pramita Dewi yang dengan setia selalu menemani dan

memberiku semangat selama penulisan tugas akhir ini.

10. Teman seperjuanganku, Singgih Satriyo Wicaksono, yang telah menemani

dan membantuku mengatasi hambatan yang dialami selama penulisan tugas

akhir ini.

11. Sahabat-sahabatku, Leonardus Igor Sidha Malelang, Chatarina Anjar Putri

L.D., Emilia Jevina Lintang Puspita, Thevea Yurike Redianawati, Veronika

Dyah Febriana, Yuliana Pebri Heriawati, Ana Karisma A.P., Regina

Wahyudyah Sonata Ayu,Theresia Veni Dwi Lestari, Margaretha Nobilio

Pasia Janu, Gregorius Andy Krismanto, dan Patricia Merdekawati yang

telah menemaniku selama proses pembelajaran di Universitas Sanata

Dharma.

12. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan tugas akhir ini,

baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat disebutkan

satu persatu.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan tugas

akhir ini. Oleh karena itu, dengan rendah hati, penulis mengucapkan terima kasih

atas kritik dan saran yang dapat membangun tugas akhir ini. Semoga tulisan ini

dapat memberikan manfaat dan wawasan yang lebih kepada setiap pembacanya.

Yogyakarta, 21 April 2015

Penulis


xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .. vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ......................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi

DAFTAR SIMBOL .............................................................................................. xiii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

A. Latar Belakang ........................................................................................ 1

B. Batasan Masalah ..................................................................................... 2

C. Rumusan Masalah .................................................................................. 3

D. Tujuan Penelitian .................................................................................... 3

E. Manfaat Penelitian .................................................................................. 3

F. Metode Penulisan ................................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan ............................................................................. 5

BAB II LANDASAN TEORI .............................................................................. 7

A. Titik, Garis dan Bidang dalam ℝ3 .......................................................... 7

B. Sistem Koordinat .................................................................................. 17

C. Persamaan Garis dan Bidang Datar Dalam ℝ3 .................................... 19

D. Transformasi Sistem Koordinat ............................................................ 30

E. Proyeksi ................................................................................................ 37

F. Matrik ................................................................................................... 39


xii

BAB III MATRIK PERSPEKTIF DAN SIFAT GARIS DALAM GAMBAR

PERSPEKTIF ....................................................................................... 45

A. Koordinat Gambar Perspektif ............................................................... 45

B. Matrik Translasi Salib Sumbu .............................................................. 57

C. Matrik Rotasi Salib Sumbu .................................................................. 60

D. Matrik Perspektif .................................................................................. 64

E. Sifat Garis Dalam Gambar Perspektif ................................................ 100

BAB IV PENUTUP .......................................................................................... 110

A. Kesimpulan ......................................................................................... 110

B. Saran ................................................................................................... 113

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 114


xiii

DAFTAR SIMBOL

𝐴′ : Koordinat hasil proyeksi perspektif dari titik A

𝐴ℎ : Koordinat homogen dari titik A

𝑃 : Koordinat titik proyeksi

ℝ2 : Ruang Dimensi Dua

ℝ3 : Ruang Dimensi Tiga

(𝐴 − 𝐵 − 𝐶) : Keantaraan, 𝐵 diantara 𝐴 dan 𝐶

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ : Segmen garis yang titik ujungnya berada di titik A dan titik B

𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ : Sinar garis yang titik pangkalnya adalah titik A dan melalui titik B

𝐴𝐵⃡⃗ ⃗⃗ ⃗ : Garis yang melalui titik A dan titik B

∥ : Sejajar

𝐴ℎ~𝐵ℎ : koordinat homogen titik A dan koordinat homogen titik B

merepresantisakan titik yang sama

𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠 : Matrik Perspektif

𝑀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 : Matrik Translasi Salib Sumbu

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑌 : Matrik Rotasi Terhadap Sumbu Y

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍 : Matrik Rotasi Terhadap Sumbu Z

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑡𝑜𝑡 : Matrik Rotasi Total

𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠′

: Matrik Perspektif Setelah Dilakukan Transformasi Salib Sumbu

∎ : Akhir dari pembuktian suatu teorema atau sifat


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1: Pembuktian Teorema 2.1





Gambar 2.6: Koordinat Kartesius

Gambar 2.7: Sudut Arah Suatu Garis

Gambar 2.8: Sudut Arah Garis Sebarang

Gambar 2.9: Cosinus Arah Suatu Garis

Gambar 2.10: Translasi salib sumbu pada ℝ2

Gambar 2.11: Translasi salib sumbu pada ℝ3

Gambar 2.12: Rotasi salib sumbu pada ℝ2

Gambar 2.13: Rotasi salib sumbu pada ℝ3 dengan sumbu X sebagai poros

Gambar 2.14: Rotasi salib sumbu pada ℝ3 dengan sumbu Y sebagai poros

Gambar 2.15: Rotasi salib sumbu pada ℝ3 dengan sumbu Z sebagai poros

Gambar 2.16: Proyeksi Paralel

Gambar 2.17: Proyeksi Perspektif

Gambar 2.18: Contoh Lukisan Tanpa Menggunakan Prinsip Proyeksi Perspektif

Gambar 2.19: Contoh Lukisan Menggunakan Prinsip Proyeksi Perspektif

Gambar 3.1 Bidang proyeksi 𝑥 = 𝑘 dan titik proyeksi 𝑃(𝑝, 0,0)

Gambar 3.2 Gambar Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi x=k

Gambar 3.3 Bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘dan titik proyeksi 𝑃(0, 𝑝, 0)

Gambar 3.4 Gambar Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi y=k

Gambar 3.5 Bidang Proyeksi z = k dan Titik Proyeksi P(0,0, p)

Gambar 3.6 Gambar Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘

Gambar 3.7 Gambar Perspektif Segitiga 𝐴𝐵𝐶 di Bidang Proyeksi 𝑥 = 2

Gambar 3.8 Gambar Perspektif Segitiga 𝐴𝐵𝐶 di Bidang Proyeksi 𝑦 = 3

Gambar 3.9 Gambar Perspektif Segitiga 𝐴𝐵𝐶𝐷 di Bidang Proyeksi 𝑧 = 1


xv

Gambar 3.10 Translasi Salib Sumbu Jika Bidang Proyeksi 𝑥 = 𝑘

Gambar 3.11 Gambar Perspektif Dari Segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷 di bidang proyeksi 𝑥 = 1

Gambar 3.12 Translasi Salib Sumbu Jika Bidang Proyeksi 𝑦 = 𝑘

Gambar 3.13 Gambar Perspektif Dari Piramida𝑇. 𝐴𝐵𝐶𝐷 di bidang proyeksi 𝑦 = 4

Gambar 3.14 Translasi Salib Sumbu Jika Bidang Proyeksi 𝑧 = 𝑘

Gambar 3.15 Gambar Perspektif Dari Prisma 𝐴𝐵𝐶.𝐷𝐸𝐹 di bidang proyeksi 𝑦 = 4

Gambar 3.16 Bilangan Arah dan Sudut Arah dari Bidang Proyeksi

Gambar 3.17 Rotasi Terhadap Sumbu Z

Gambar 3.18 Rotasi Terhadap Sumbu Y’

Gambar 3.19 Ilustrasi Titik Proyeksi Berada di Sumbu Z’

Gambar 3.20 Ilustrasi Titik Proyeksi Tidak Berada di Sumbu Z’

Gambar 3.21 Sifat Garis Pada Gambar Perspektif 1

Gambar 3.22 Ilustrasi Titik V

Gambar 3.23 Titik Lenyap dari Kumpulan Garis yang Sejajar dengan Garis l


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kata “geometri” berasal dari bahasa Yunani yaitu “geometrein” (“geo”

artinya bumi dan “metrein” artinya pengukuran). Jadi secara harafiah, geometri

berarti ilmu pengukuran bumi. Ahli sejarah Yunani bernama Herodotus dan

Proculus (5 SM) mengatakan bahwa orang-orang yang memakai ilmu geometri

pertama kali adalah orang-orang Mesir. Mereka menggunakan geometri untuk

mengukur lahan mereka setelah banjir tahunan sungai Nil melanda daerah Mesir.

Aristoteles menyetujui bahwa bangsa Mesir lah yang pertama kali menggunakan

subjek geometri, tetapi dengan alasannya sendiri. Dalam bukunya yang berjudul

Metaphysics, Aristoteles berpendapat bahwa geometri di Mesir muncul

dikarenakan para pemuka agama di Mesir memiliki waktu yang sangat luang.

(Owen Byer, 2010)

Selama lebih dari 2000 tahun pengetahuan geometri identik dengan ilmu

geometri yang berasal dari buku The Elements karangan Euclides yang ditulis

sekitar 300 Sebelum Masehi. Selanjutnya, pengetahuan geometri yang berasal dari

buku The Elements dikenal sebagai Geometri Euclides. Sampai saat ini,

pengetahuan geometri yang diajarkan di sekolah-sekolah adalah Geometri Euclides

(John Stillwell, 2005). Pada zaman Renaissance, muncul suatu permasalahan di

kalangan para seniman dan arsitek. Ketika mereka menggambar objek-objek di

bidang gambar menggunakan prinsip-prinsip Geometri Euclides,


2

gambar yang dihasilkan tidak sesuai dengan apa yang mereka lihat. Kemudian

muncullah keinginan dari para seniman untuk menghasilkan gambar pada bidang

gambar sesuai dengan apa yang mereka lihat. Kemudian, pada tahun 1435, seorang

seniman dari Florence, Italia bernama Leon Battista Alberti mengemukakan idenya

mengenai salah satu metode menggambar yaitu costruzione legittima untuk

menghasilkan gambar agar terlihat lebih nyata pada bidang gambar (David A.

Thomas, 1998). Kemudian sekitar awal abad ke-19, berkembang sistem geometri

yang lebih umum dari Geometri Euclides, yaitu geometri proyeksi. Proyeksi terbagi

menjadi dua bagian yaitu proyeksi paralel dan proyeksi perspektif.

Selama perkuliahan di Universitas Sanata Dharma penulis memperoleh

perkuliahan mengenai geometri ruang, geometri analitik ruang, geometri analitik

bidang, dan aljabar linear elementer. Berdasarkan ide mengenai proyeksi perspektif

dan apa yang telah diperoleh penulis pelajari pada perkuliahan-perkuliahan

tersebut, penulis mencoba mengkaji proyeksi perspektif tersebut menggunakan

pengetahuan-pengetahuan yang diperoleh pada saat perkuliahan geometri ruang,

geometri analitik ruang, geometri analitik bidang dan aljabar linear elementer

sehingga menghasilkan matrik perspektif dari suatu titik dan sifat-sifat garis dalam

gambar perspektif.

B. Batasan Masalah

Pembahasan mengenai Proyeksi Perspektif dan Sifat-Sifat Garis Dalam

Gambar Perspektif ini dibatasi pada:

1. Bidang gambar yang digunakan adalah sebarang bidang datar di ℝ3.


3

2. Objek gambar berupa bangun datar dan bangun ruang sisi datar dalam ℝ3.

C. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam penelitian ini yaitu:

1. Bagaimana bentuk matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi dan

persamaan bidang proyeksinya diketahui?

2. Bagaimana sifat - sifat garis dalam gambar perspektif?

D. Tujuan Penelitian

Tujuan dalam penelitian ini adalah:

1. Untuk mengetahui bentuk matrik perspektif jika titik proyeksi dan

persamaan bidang proyeksinya diketahui.

2. Untuk mengetahui sifat-sifat garis dalam gambar perspektif.

3. Untuk menentukan koordinat titik lenyap dari kumpulan garis-garis yang

sejajar.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah:

1. Bagi Pembaca

Pembaca dapat mengetahui bagaimana matrik perspektif dari suatu titik

dan bagaimana sifat-sifat garis dalam gambar perspektif jika dikaji

menggunakan geometri ruang, geometri analitik ruang, geometri analitik

bidang, dan aljabar linear elementer.


4

2. Bagi Penulis

Penulis dapat menambah pengetahuan mengenai matrik perspektif dari

suatu titik dan dapat menerapkan apa yang telah dipelajari selama

perkuliahan sehingga dapat mengkaji kembali matrik perspektif dan sifat-

sifat garis dalam gambar perspektif.

3. Bagi Universitas

Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang geometri,

khususnya mengenai geometri proyeksi dengan spesialisasi proyeksi

perspektif.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan oleh peneliti untuk menyusun skripsi ini adalah

metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi-referensi yang berkaitan

dengan geometri ruang, geometri analitik ruang, geometri analitik bidang, aljabar

linear elementer, dan gambar perspektif. Lalu peneliti mencoba mengkaji ulang

gambar perspektif menggunakan apa yang telah dipelajari pada geometri ruang,

geometri analitik ruang, geometri analitik bidang dan aljabar linear elementer.

Pembahasan dalam skripsi ini mengacu pada buku “Math and Art: An Introduction

to Visual Mathematics” karangan Sasho Kalajdzievski (2008).

Langkah-Langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Membaca berbagai referensi yang diperlukan, khususnya mengenai gambar

perspektif, geometri ruang, geometri analitik ruang, geometri analitik bidang,

aljabar linear elementer, dan berbagai referensi lain yang dibutuhkan.


5

2. Menyajikan ilustrasi atau gambaran mengenai gambar perspektif.

3. Menyajikan kembali beberapa teori pada geometri ruang, geometri analitik

ruang, geometri analitik bidang, dan aljabar linear elementer.

4. Memberikan penjelasan yang diperlukan dan contoh-contoh dari teori yang

digunakan.

5. Mencari hubungan antara geometri ruang, geometri analitik ruang, geometri

analitik bidang, aljabar linear elementer dengan gambar perspektif.

6. Menyusun seluruh materi yang telah dikumpulkan secara runtut agar

memudahkan pembaca dalam memahaminya.

G. Sistematika Penulisan

Tujuan akhir penulisan skripsi ini yaitu untuk mengetahui matrik

perspektif dari suatu titik dan sifat-sifat garis dalam gambar perspektif. Untuk

itu pada bab pertama disampaikan terlebih dahulu latar belakang, rumusan

masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode

penulisan dan sistematika penulisan dalam skripsi ini.

Kemudian pada bab kedua akan dibahas terlebih dahulu mengenai

definisi-definisi dasar yang digunakan dalam penulisan skripsi ini. Selain itu

disajikan pula beberapa teorema yang ada pada geometri ruang yang nantinya

akan digunakan dalam pembahsan di bab tiga. Selanjutnya dibahas pula

mengenai beberapa teori yang ada di geometri analitik ruang, geometri

analitik bidang. Kemudian penulis menyajikan pula pengertian proyeksi, baik

proyeksi paralel maupun proyeksi perspektif. Kemudian di bagian akhir dari


6

bab kedua akan dibahas pula mengenai matrik yang nantinya akan digunakan

untuk pemahasan matrik perspektif dan sifat-sifat garis dalam gambar

perspektif.

Bab ketiga yang merupakan inti dari penulisan ini berisi tentang

Koordinat titik perspektif, matrik translasi salib sumbu, matrik rotasi salib

sumbu, matrik perspektif, prinsip – prinsip dalam gambar perspektif, dan

koordinat titik lenyap dari kumpulan garis sejajar yang tidak sejajar dengan

bidang proyeksi. Pada bab tiga juga diberikan contoh-contoh yang terkait

dengan proyeksi perspektif dan sifat-sifat garis dalam gambar perspektif.

Bab keempat berisi tentang kesimpulan dari pembahasan pada bab

ketiga serta saran yang diberikan penulis kepada pembaca yang ingin

melanjutkan penelitian ini.


7

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab II, terlebih dahulu kita akan mempelajari titik, garis dan bidang

melalui teorema-teorema. Setelah itu, akan dibahas pula sistem koordinat kartesius

dan koordinat homogen. Kemudian setelah kita mempelajari garis dan bidang

melalui teorema-teorema, kita akan mempelajari pula garis dan bidang datar secara

analitik sehingga diperoleh persamaan garis dan persamaan bidang. Selanjutnya

akan dipelajari transformasi salib sumbu dalam ℝ2 dan akan diperumum untuk ℝ3.

Karena skripsi ini membahas proyeksi perspektif, maka di subbab selanjutnya akan

disajikan definisi umum tentang proyeksi dan macam-macam proyeksi yang salah

satunya adalah proyeksi perspektif. Kemudian di bagian akhir dari bab ini, akan

dibahas pula mengenai matrik.

Berikut ini adalah pembahasan titik, garis dan bidang dalam ℝ3 melalui

teorema-teorema.

A. Titik, Garis dan Bidang dalam ℝ𝟑

Pada ilmu ukur ruang, terdapat 3 unsur pangkal yaitu titik, garis, dan bidang

datar. Menurut postulat SMSG (School Mathematics Study Group) untuk geometri

Euclides titik, garis dan bidang tidak memiliki definisi karena ketiga unsur tersebut

merupakan unsur pangkal. Kemudian ketiga unsur tersebut membentuk suatu

konsep-konsep yang lain yaitu jarak antar dua titik, sudut antar dua garis, sudut

antar dua bidang, dan yang lainnya.


8

Postulat 2.1 (Zakaria T., -:5):

Melalui sebuah garis, dapat dibuat tak hingga banyak bidang yang melalui garis

tersebut.

Diketahui bahwa 𝜌 merupakan himpunan titik. Himpunan 𝜌 memiliki anggota

lebih dari satu titik. Definisi 2.1 berikut ini menjelaskan bahwa jika 𝜌 merupakan

himpunan titik-titik, maka 𝜌 dikatakan kolinear jika semua titik pada himpunan 𝜌

terletak pada satu garis yang sama.

Definisi 2.1 (Millman & Parker, 1991:22):

Misalkan 𝜌 adalah himpunan titik-titik dalam ℝ3 dan memiliki lebih dari satu

anggota. Himpunan 𝜌 dikatakan kolinear jika ada sebuah garis 𝑙 sehingga 𝜌 ⊆ 𝑙.

Dengan kata lain, jika untuk semua garis 𝑙 ∈ ℝ3, 𝜌 ⊈ 𝑙 maka 𝜌 dikatakan

tidak kolinear. Postulat 2.2 berikut menyatakan sebuah bidang memiliki paling

sedikit tiga titik yang tidak kolinear.

Postulat 2.2 (Owen & Felix, 2010:18)

Bidang memiliki sedikitnya tiga buah titik yang tidak kolinear.

Postulat 2.2 menjelaskan sebuah bidang memiliki sedikitnya tiga buah titik

yang tidak kolinear. Berdasarkan hal tersebut, teorema 2.1 berikut menyatakan


9

bahwa tiga buah titik yang berbeda dan tidak kolinear terletak pada tepat satu

bidang datar.

Teorema 2.1 (Zakaria, -:5):

Melalui tiga buah titik yang tidak kolinear dapat dilukiskan tepat satu bidang datar.

Bukti: (lihat di buku Ilmu Ukur Ruang karangan

Zakaria T. halaman 5)

Gambar 2.1


Melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut dapat dilukis tepat satu

bidang datar.

Bukti:

Titik A terletak di luar garis l. Ambil dua buah titik

yang berbeda yang terletak pada garis l. Misalkan

titik P dan Q. Berdasarkan Postulat 2.3, maka titik A,

P, dan Q terletak pada tepat satu bidang datar. ∎ Gambar 2.2


10

Dalam ℝ3 terdapat tiga jenis kedudukan antara dua buah garis yang berbeda

yaitu berpotongan, sejajar dan bersilangan. Definisi 2.2 berikut ini menjelaskan

kedudukan antara dua buah garis.

Definisi 2.2:

Diberikan garis l dan garis m dalam ℝ3. Kedudukan garis l terhadap garis m

memenuhi salah satu kondisi berikut ini:

a. Berpotongan jika garis l memiliki satu titik persekutuan dengan garis m.

b. Sejajar jika garis l dan garis m terletak pada satu bidang dan garis-garis tersebut

tidak memiliki satu titik persekutuan.

c. Bersilangan jika garis l dan garis m tidak terletak pada satu bidang dan garis

tersebut tidak memiliki titik persekutuan.


Melalui dua buah garis yang saling berpotongan dapat dilukiskan tepat satu bidang

datar.

Bukti:

Andaikan garis l dan garis g berpotongan di titik P.

Ambil sebarang titik yang terletak pada garis l dan

berbeda dengan titik P. Misalkan titik A. Jelas bahwa

titik A tidak dilalui oleh garis g. Berdasarkan Teorema

2.1, maka dapat dibentuk sebuah bidang datar. ∎

Gambar 2.3


11


Melalui dua buah garis yang sejajar hanya dapat dilukis sebuah bidang datar.

Gambar 2.4

Bukti:

Garis l dan garis g sejajar. Ambil sebarang titik yang

terletak pada garis l . Misalkan titik A. Jelas bahwa

titik A tidak dilalui oleh garis g. Hal ini dikarenakan

𝑔 ∥ 𝑙. Berdasarkan Teorema 2.1, maka dapat

dibentuk sebuah bidang datar. ∎

Teorema 2.5 (Zakaria, -:5)

Melalui dua buah garis yang tidak berpotongan maupun tidak sejajar maka kita

tidak dapat melukis sebuah bidang datar yang melalui garis-garis tersebut.

Bukti:

Andaikan dapat dilukiskan sebuah bidang melalui garis-garis tersebut. Berdasarkan

teorema-teorema sebelumnya, maka kedua garis tersebut memiliki dua

kemungkinan yaitu sejajar atau berpotongan. Kontradiksi dengan pernyataan kedua

garis tidak sejajar maupun tidak berpotongan. ∎

Secara tidak langsung, teorema 2.5 mengatakan bahwa suatu bidang tidak

dapat dibentuk dari dua buah garis yang bersilangan. Bidang hanya dapat dibentuk

dari dua buah garis yang berpotongan atau dua buah garis yang sejajar.


12

Postulat 2.3 (Wallace and West, 1992:376):

Melalui satu titik di luar garis, hanya dapat dilukiskan sebuah garis yang sejajar

dengan garis tersebut.

Postulat 2.3, menjelaskan bahwa dari satu titik di luar suatu garis, dapat

dibentuk satu garis yang sejajar dengan garis pertama. Dengan kata lain jika satu

titik terletak pada satu garis, maka kita tidak dapat melukiskan garis yang sejajar

dengan garis pertama.

Definisi 2.3 (Prenowitz & Jordan, 1965:186)

Notasi untuk keantaraan adalah (𝐴 − 𝐵 − 𝐶) dan dibaca B di antara A dan C. Relasi

keantaraan memenuhi sistem postulat berikut:

A.1 Jika (𝐴 − 𝐵 − 𝐶) maka (𝐶 − 𝐵 − 𝐴). (Sifat Simetri)

A.2 Jika (𝐴 − 𝐵 − 𝐶) maka bukan (𝐵 − 𝐶 − 𝐴). (Sifat Antisiklik)

A.3 𝐴, 𝐵, 𝐶 adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear jika dan hanya jika

(𝐴 − 𝐵 − 𝐶) atau (𝐵 − 𝐶 − 𝐴) atau (𝐶 − 𝐵 − 𝐴). (Koherensi Linear)

A.4 Misalkan titik 𝑃 kolinear dan berbeda dengan titik 𝐴, 𝐵, 𝐶. Maka, (𝐴 − 𝑃 − 𝐵)

mengakibatkan (𝐵 − 𝑃 − 𝐶) atau (𝐴 − 𝑃 − 𝐶) tetapi tidak keduanya. (Sifat

Memisahkan)

A.5 Jika 𝐴 ≠ 𝐵, maka ada 𝑋, 𝑌, 𝑍 sedemikian sehingga (𝑋 − 𝐴 − 𝐵), (𝐴 − 𝑌 − 𝐵),

dan (𝐴 − 𝐵 − 𝑍). (Sifat Eksistensi)


13

Definisi 2.3 menjelaskan konsep keantaraan dari tiga buah titik. Postulat A.1

mengatakan jika titik B di antara titik A dan C, maka titik B juga diantara titik C dan

A. Postulat A.2 mengatakan bahwa jika titik B berada di antara titik A dan C tidak

sama dengan titik C di antara titik A dan B. Postulat A.3 merupakan biimplikasi

sehingga dapat diartikan menjadi dua implikasi yaitu:

A.3(a) Jika titik A, B, C adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear, maka (A-B-C)

atau (B-C-A) atau (C-B-A).

A.3(b) Jika (A-B-C) atau (B-C-A) atau (C-B-A), maka titik A, B, C adalah titik-titik

yang berbeda dan kolinear.

Postulat A.4 mengatakan jika titik P memisahkan titik A dan titik B, maka titik P

juga memisahkan titik A atau B dari titik C tetapi tidak keduanya. Postulat A.5

mengatakan jika titik A tidak sama dengan titik B maka

A.5(a) ada sebuah titik yang dipisahkan oleh titik A dari titik B, dengan kata lain

titik A berada di antara titik B dan suatu titik.

A.5(b) ada sebuah titik yang memisahkan titik A dari titik B.

A.5(c) ada sebuah titik yang dipisahkan oleh titik B dari titik A, dengan kata lain

titik B berada di antara titik A dan suatu titik.

Setelah membahas konsep keantaraan, sekarang kita akan membahas konsep

segmen garis dan sinar garis. Definisi 2.3 berikut menjelaskan segmen garis.

Definisi 2.3 (Millman & Parker, 1991:52)

Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah merupakan dua buah titik yang berbeda, maka segmen garis

dari A ke B didefinisikan sebagai

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = {𝐶 ∈ ℝ3|(𝐴 − 𝐶 − 𝐵) atau 𝐴 = 𝐶 atau 𝐴 = 𝐵}.


14

Definisi 2.3 merupakan definisi dari segmen garis. Definisi 2.3 mengatakan

bahwa segmen garis adalah himpunan titik-titik yang terletak di antara dua buah

titik tertentu dan kolinear dengan dua buah titik tersebut. Selanjutnya akan dibahas

mengenai jarak dua buah titik. Postulat berikut ini akan menjelaskan tentang jarak

antara dua buah titik yang berbeda.

Postulat 2.4 (Owen & Felix, 2010:18):

Titik-titik pada suatu garis berkorespondensi dengan bilangan real sedemikian

sehingga, 1) setiap titik yang ada pada garis berkorespondensi dengan tepat satu

bilangan real. 2) setiap bilangan real berkorespondensi dengan tepat satu titik yang

ada pada garis. 3) jarak antara dua buah titik merupakan nilai mutlak dari selisih

bilangan real yang berkorespondensi dengan titik tersebut.

Postulat 2.4 memberikan definisi mengenai jarak antara dua buah titik. dalam

postulat tersebut, jarak didefinisikan sebagai bilangan positif yang

berkorespondensi dengan sepasang titik yang berbeda. Jarak bisa disebut sebagai

panjang segmen garis. Setelah kita memahami konsep segmen garis, dan jarak

antara dua buah titik, selanjutnya kita akan mempelajari konsep sinar garis. Definisi

2.4 berbicara mengenai sinar garis.

Definisi 2.4 (Millman & Parker, 1991:54)

Jika A dan B adalah dua titik yang berbeda, maka sinar garis dari A melewati B

didefinisikan sebagai:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ⋃ {𝐶 ∈ ℝ3|(𝐴 − 𝐵 − 𝐶)}


15

Sinar garis 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ merupakan himpunan bagian dari garis 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗. Sinar garis 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

merupakan himpunan titik-titik yang kolinear sedemikian sehingga titik 𝐵 berada

di antara titik 𝐴 dan suatu titik. Titik 𝐴 dinamakan titik pangkal atau titik asal sinar

garis 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Berikutnya akan dikenalkan konsep sudut. Dua buah garis berbeda yang

berpotongan di satu titik membagi sebuah bidang datar menjadi beberapa daerah.

Daerah yang dibatasi sinar-sinar garis tersebut dinamakan sudut seperti dijelaskan

pada definisi 2.5 berikut ini.

Definisi 2.5:

Sudut adalah gabungan antara dua buah sinar garis berbeda yang memiliki satu titik

pangkal.

Postulat 2.5 (Wallace & West, 1996:377):

Setiap sudut berkorespondensi dengan sebuah bilangan real diantara 0 sampai 180.

Setelah memahami konsep sudut, selanjutnya akan dibahas mengenai

kedudukan garis dan bidang. Dalam ℝ3 terdapat dua jenis kedudukan garis dan

bidang yaitu garis menembus bidang, garis terletak pada bidang dan garis sejajar

bidang. Definisi 2.6 berikut ini menjelaskan kedudukan antara garis dan bidang.

Definisi 2.6 (Zakaria, -:5):

Apabila sebuah garis dan sebuah bidang memiliki satu titik persekutuan, maka garis

itu menembus bidang. Dengan kata lain bidang tersebut memotong garis.


16

Definisi 2.6 berbicara mengenai salah satu kedudukan garis dan bidang.

Dengan kata lain, jika sebuah garis dan sebuah bidang tidak memiliki satu titik

persekutuan, maka garis tersebut dikatakan sejajar dengan bidang. Setelah

membahas hubungan antara sebuah garis dan sebuah bidang, kita akan mempelajari

hubungan antara dua buah bidang. Secara umum tiga jenis kedudukan bidang yaitu

sejajar, berpotongan dan berimpit. Definisi 2.7 berikut ini menjelaskan kedudukan

antara dua buah bidang.

Definisi 2.7 (Zakaria, -:5):

Dua buah bidang dikatakan berpotongan jika dua buah bidang tersebut memiliki

garis persekutuan.


Jika dua buah bidang datar mempunyai satu titik persekutuan, maka kedua bidang

tersebut juga mempunyai sebuah garis persekutuan yang melalui titik tersebut.

Gambar 2.5

Bukti: (lihat di buku Ilmu Ukur Ruang karangan Zakaria

T. halaman 6)

Definisi 2.8:

Misalkan 𝐴 ∈ ℝ3, dan 𝑙 adalah sebarang garis di ℝ3. Jarak antara titik 𝐴 dan 𝑙

adalah panjang ruas garis 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅ dimana 𝐴′ = 𝑙 ∩ 𝑙′, 𝑙′ ⊥ 𝑙 dan 𝐴 ∈ 𝑙′.


17

Setelah kita memahami tentang titik, garis dan bidang, kita akan mempelajari

sistem koordinat Cartesius dalam ℝ3 dan koordinat homogen. Sistem koordinat

kartesius akan sangat berguna untuk menentukan letak atau posisi suatu titik dalam

ℝ3 dan akan sangat berguna untuk pembahasan selanjutnya tentang persamaan

garis dan persamaan bidang. Sedangkan koordinat homogen akan sangat berguna

untuk pembentukan matrik perspektif yang akan dibahas di bab III. Berikut ini

pembahasan mengenai sistem koordinat.

B. Sistem Koordinat

Letak suatu titik yang terletak dalam ℝ3 dapat ditentukan dengan bantuan

sistem koordinat ruang. Ada beberapa jenis sistem koordinat, tetapi dalam skripsi

ini akan dibahas sistem koordinat Cartesius saja.

Sistem koordinat Cartesius dalam ℝ3 terdiri atas tiga garis yang saling

berpotongan tegak lurus di satu titik. Kemudian garis-garis tersebut dinamakan

sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z (Sasho Kalajdzievski, 2008:184). Letak titik-titik

yang ada pada ℝ3 ditentukan oleh tripel bilangan berurutan (𝑎, 𝑏, 𝑐). Bilangan

pertama dan kedua pada tripel bilangan berurutan (𝑎, 𝑏, 𝑐) merupakan koordinat

titik pada bidang xy. Bilangan ketiga merupakan jarak berarah dari titik terhadap

bidang-xy. Bilangan tersebut bernilai positif jika titik berada di bawah bidang-xy,

dan bernilai negatif jika titik berada di atas bidang-xy. Dalam skripsi ini digunakan

aturan tangan kanan untuk melukiskan salib-salib sumbu. Gambar 2.6 menunjukkan

titik 𝐴 pada ℝ3.


18

Gambar 2.6 Koordinat Cartesius

Dalam skripsi ini akan dikenalkan konsep baru yaitu koordinat homogen.

Koordinat homogen akan sangat berguna untuk membentuk matrik perspektif yang

merupakan topik dari skripsi ini. Berikut ini akan disajikan definisi dari koordinat

homogen.

Definisi 2.9:

Jika suatu titik dalam ℝ3 memiliki koordinat (𝑥, 𝑦, 𝑧) maka dipilih 𝑐 ∈ ℝ sehingga

koordinat homogen dari titik tersebut adalah (𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑐) dengan 𝑥 =𝑢

𝑐, 𝑦 =

𝑣

𝑐, 𝑧 =

𝑤

𝑐 dan 𝑐 ≠ 0, serta 𝑘(𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑐) merepresentasikan titik yang sama yaitu (𝑥. 𝑦. 𝑧)

untuk 𝑘 ∈ ℝ dan 𝑘 ≠ 0.

Jika kita memilih 𝑐 = 1, maka 𝑥 = 𝑢, 𝑦 = 𝑣, 𝑧 = 𝑤 sehingga koordinat

homogen dari koordinat titik (𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah (𝑥, 𝑦, 𝑧, 1) dan merupakan koordinat

homogen paling sederhana dari koordinat titik (𝑥, 𝑦, 𝑧). Untuk lebih memahami

hubungan antara koordinat kartesius dalam ℝ3 dengan koordinat homogen, maka

perhatikanlah contoh berikut.


19

Contoh 2.1:

Jika diketahui titik 𝐴 dengan koordinat 𝐴(2,9, −1) maka koordinat homogen dari

titik 𝐴(2,9, −1) adalah 𝐴ℎ1(2,9, −1,1) atau 𝐴ℎ2 (1,9

2, −

1

2,1

2). Kedua koordinat Aℎ1

dan Aℎ2 merepresentasikan satu titik yang sama yaitu titik 𝐴(2,9, −1).

Setelah mempelajari garis dan bidang secara aksiomatik, maka pada subab ini

akan membahas garis dan bidang secara analitik sehingga menghasilkan persamaan

garis dan persamaan bidang. Berikut ini adalah pembahasan tentang persamaan

garis dan persamaan bidang datar dalam ℝ3.

C. Persamaan Garis dan Bidang Datar Dalam ℝ𝟑

Sebelum kita mempelajari persamaan garis dan persamaan bidang, kita akan

mempelajari terlebih dahulu sudut arah dan cosinus arah dari suatu garis dalam ℝ3.

Definisi 2.10 (Charles & Irving, 1980:148):

Sudut Arah dari suatu sinar garis yang berpangkal di titik asal adalah sudut-sudut

𝛼, 𝛽, dan 𝛾 yang dibentuk oleh sinar garis tersebut terhadap sumbu 𝑥 positif, sumbu

𝑦 positif dan sumbu 𝑧 positif, sedemikian sehingga 0° ≤ 𝛼 ≤ 180°,0° ≤ 𝛽 ≤

180°, dan 0° ≤ 𝛽 ≤ 180°.

Gambar 2.5 merupakan ilustrasi dari sudut-sudut arah suatu sinar garis yang

berpangkal di titik asal. Sudut-sudut 𝛼, 𝛽, dan 𝛾 merupakan sudut-sudut arah dari 𝑙.


20

Gambar 2.7 Sudut Arah

Sudut arah dari sebarang garis di ℝ3 adalah sudut arah dari sinar garis yang

berpangkal di titik asal dan sejajar dengan garis tersebut. Gambar 2.7 merupakan

ilustrasi dari sudut arah sebarang sinar garis yang pangkalnya tidak terletak di titik

asal. 𝑛 merupakan sebarang sinar garis yang titik pangkalnya tidak terletak pada

titik asal, sedangkan 𝑙 merupakan sinar garis yang sejajar dengan 𝑛. Sudut-sudut

𝛼, 𝛽, dan 𝛾 merupakan sudut-sudut arah dari 𝑙 yang juga merupakan sudut-sudut

arah dari sinar garis 𝑛.

Gambar 2.8 Sudut Arah Garis Sebarang


Cosinus arah dari suatu garis adalah nilai cosinus dari masing-masing sudut

arahnya.

l

l

n


21

Setelah memahami sudut arah dan cosinus arah, selanjutnya akan dipelajari

teorema mengenai jarak antara dua buah titik dalam ℝ3.

Teorema 2.7 (F. Riddle, 1996:318):

Jarak antara dua buah titik berbeda (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) adalah

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2

(Bukti lihat di buku Analytic Geometry karangan Douglas F Riddle halaman 318)

Teorema 2.8 (Charles & Irving, 1980:149):

Jika d adalah jarak antara titik 𝐴1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan 𝐴2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), maka cosinus arah

dari garis yang melalui titik 𝐴1 dan 𝐴2 adalah

cos𝛼 =𝑥2−𝑥1

𝑑, cos𝛽 =

𝑦2−𝑦1

𝑑 , cos𝛾 =

𝑧2−𝑧1

𝑑

Teorema 2.8 merupakan teorema mengenai cosinus-cosinus arah dari suatu

garis yang melalui dua titik tertentu. Gambar 2.9 merupakan ilustrasi dari sudut-

sudut arah suatu garis yang melalui titik 𝐴1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan titik 𝐴2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2).

Gambar 2.9 Cosinus Arah Suatu Garis yang melalui dua buah titik

2 2 2 2, ,A x y z

1 1 1 1, ,A x y z

d


22

Untuk membantu memahami sudut arah dan cosinus arah suatu garis, maka

perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 2.2:

Jika suatu garis yang melalui titik 𝐴1(1,5,2) dan 𝐴1(2,4,1), maka cosinus-cosinus

arahnya adalah

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2

= √(2 − 1)2 + (4 − 5)2 + (1 − 2)2

= √1 + 1 + 1

= √3

cos𝛼 =𝑥2 − 𝑥1

𝑑=

2 − 1

√3=

1

√3

cos𝛽 =𝑦2 − 𝑦1

𝑑=

4 − 5

√3= −

1

√3

cos𝛾 =𝑧2 − 𝑧1

𝑑=

1 − 2

√3= −

1

√3

Setelah pembahasan sudut arah dan cosinus arah dari suatu garis, sekarang

akan dibahas mengenai bilangan arah dari suatu garis serta hubungan antara cosinus

arah dan bilangan arah suatu garis.


Bilangan arah [𝑎, 𝑏, 𝑐] dari suatu garis adalah tiga bilangan berurutan dari hasil kali

antara cosinus arah garis tersebut dengan sebarang konstanta yang tidak sama

dengan nol.

Definisi 2.12 merupakan definisi dari bilangan-bilangan arah suatu garis, di

mana bilangan arah suatu garis merupakan hasil kali dari cosinus-cosinus arah


23

dengan sebarang konstanta k di mana 𝑘 ∈ ℝ dan 𝑘 ≠ 0. Untuk lebih memahami

bilangan-bilangan arah suatu garis jika cosinus-cosinus arahnya diketahui, maka

perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 2.3:

Jika cosinus arah dari suatu garis adalah

cos𝛼 =1

3, cos𝛽 = −

2

3, cos𝛾 =

2

3,

Di mana untuk sebarang 0k , maka

[1

3𝑘,−

2

3𝑘,

2

3𝑘]

Juga merupakan bilangan arah garis tersebut. Untuk k = −2, bilangan arahnya

adalah [−2

3,4

3, −

4

3]; untuk 𝑘 = −1, bilangan arahnya adalah [−

1

3,2

3, −

2

3].


Jika suatu garis melalui titik 𝐴1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan 𝐴2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), maka untuk setiap

bilangan arah [𝑎, 𝑏, 𝑐], ada sebarang bilangan real 𝑘 ≠ 0 sedemikian sehingga

𝑎 = 𝑘(𝑥2 − 𝑥1), 𝑏 = 𝑘(𝑦2 − 𝑦1), 𝑐 = 𝑘(𝑧2 − 𝑧1)

Bukti:

Berdasarkan teorema 2.8 diperoleh:

cos𝛼 =𝑥2−𝑥1

𝑑, cos𝛽 =

𝑦2−𝑦1

𝑑 , cos𝛾 =

𝑧2−𝑧1

𝑑

Berdasarkan definisi 2.12, diperoleh:

𝑎 = 𝑙. cos𝛼, 𝑏 = 𝑙. cos𝛽, 𝑐 = 𝑙. cos𝛾

Akibatnya:


24

𝑎 = 𝑙.𝑥2−𝑥1

𝑑, 𝑏 = 𝑙.

𝑦2−𝑦1

𝑑, 𝑐 = 𝑙.

𝑧2−𝑧1

𝑑

atau

𝑎 =𝑙

𝑑(𝑥2 − 𝑥1), 𝑏 =

𝑙

𝑑(𝑦2 − 𝑦1), 𝑐 =

𝑙

𝑑(𝑧2 − 𝑧1)

Dengan memisalkan 𝑘 =𝑙

𝑑, maka diperoleh

𝑎 = 𝑘(𝑥2 − 𝑥1), 𝑏 = 𝑘(𝑦2 − 𝑦1), 𝑐 = 𝑘(𝑧2 − 𝑧1) ∎

Teorema 2.9 menjelaskan bahwa bilangan arah dari suatu garis yang melalui

titik 𝐴1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan 𝐴2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) adalah [𝑘(𝑥2 − 𝑥1), 𝑘(𝑦2 − 𝑦1), 𝑘(𝑧2 − 𝑧1)].

Jika kita ambil nilai 1k , maka bilangan arah dari suatu garis yang melalui titik

𝐴1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan 𝐴2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) adalah [𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1]. Bilangan arah

[𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1] merupakan bilangan arah paling sederhana dari suatu

garis yang melalui dua titik yang diketahui. Untuk lebih memahami bilangan-

bilangan arah dari suatu garis yang melalui dua buah titik yang diketahui, maka

perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 2.4:

Jika suatu garis melalui titik 𝐴1(3,1,2) dan 𝐴2(−1,2,0), maka bilangan arah dari

suatu garis yang melalui titik 𝐴1 dan 𝐴2 adalah

[𝑘(−1 − 3), 𝑘(2 − 1), 𝑘(0 − 2)]

atau bisa ditulis sebagai berikut

[−4𝑘, 𝑘, −2𝑘]

Untuk nilai 𝑘 = −1 , maka bilangan arah A1A2⃡⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ adalah [4,1, −2].


25

Untuk nilai 𝑘 = −3, maka bilangan arah A1A2⃡⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ adalah [12, −3,6].

Teorema 2.10 (Charles & Irving 1980:151):

Jika [𝑎, 𝑏, 𝑐] adalah himpunan dari bilangan arah suatu garis, maka cosinus arahnya

adalah

cos𝛼 =𝑎

√𝑎2+𝑏2+𝑐2, cos𝛽 =

𝑏

√𝑎2+𝑏2+𝑐2,

cos𝛾 =𝑐

√𝑎2+𝑏2+𝑐2

Setelah dibahas sudut arah, cosinus arah dan bilangan arah dari suatu garis,

maka selanjutnya akan dibahas persamaan garis. Ada berbagai macam bentuk untuk

menyatakan persamaan garis dalam ℝ3, tetapi dalam skripsi ini akan digunakan

persamaan parametrik dari suatu garis.


Jika suatu garis melalui titik 𝐴1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan

a) Jika bilangan arah garis tersebut [𝑎, 𝑏, 𝑐] dan tidak ada bilangan arah yang nol,

maka persamaan garisnya adalah:

𝑥−𝑥1

𝑎=

𝑦−𝑦1

𝑏=

𝑧−𝑧1

𝑐

b) Jika bilangan arah garis tersebut [𝑎, 𝑏, 𝑐] dan salah satu bilangan arahnya nol,

maka persamaan garisnya adalah

i. Jika 𝑎 = 0, maka 𝑥 = 𝑥1 dan 𝑦−𝑦1

𝑏=

𝑧−𝑧1

𝑐;

ii. Jika 𝑏 = 0, maka 𝑦 = 𝑦1 dan 𝑥−𝑥1

𝑎=

𝑧−𝑧1

𝑐;


26

iii. Jika 𝑐 = 0, maka 𝑧 = 𝑧1 dan 𝑥−𝑥1

𝑎=

𝑦−𝑦1

𝑏

c) Jika bilangan arah garis tersebut [𝑎, 𝑏, 𝑐] dan dua dari bilangan arahnya nol,

maka persamaan garisnya adalah

i. Jika 𝑏 = 𝑐 = 0, maka 𝑦 = 𝑦1 dan 𝑧 = 𝑧1

ii. Jika 𝑎 = 𝑐 = 0, maka 𝑧 = 𝑧1 dan 𝑥 = 𝑥1

iii. Jika 𝑎 = 𝑏 = 0, maka 𝑦 = 𝑦1 dan 𝑥 = 𝑥1

(Bukti: buku Analytic Geometry karangan Charles C. Carico dan Irving Drooyan

halaman158)

Teorema 2.10 a) merupakan persamaan kanonik atau persamaan umum dari

suatu garis dalam ℝ3 di mana garis teresebut memiliki bilangan arah [𝑎, 𝑏, 𝑐]. Selain

dalam bentuk persamaan kanonik, suatu garis juga dapat ditulis dalam bentuk

parameter:

𝑥 − 𝑥1

𝑎=

𝑦 − 𝑦1

𝑏=

𝑧 − 𝑧1

𝑐= 𝑡

Persamaan di atas dikenal dengan persamaan parameter garis lurus dengan 𝑡 ∈ ℝ.

Telah kita ketahui bahwa kedudukan dua garis dalam ℝ3 adalah sejajar,

berpotongan dan bersilangan. Kedua garis yang sejajar, berpotongan dan

bersilangan memiliki sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut.. Berikut ini

adalah pembahasan sudut antara dua garis pada ℝ3.

Definisi 2.13 (Douglas F. Riddle, 1996:323):

Sudut antara dua garis dalam ℝ3 didefinisikan sebagai sudut terkecil yang dibentuk

oleh dua sinar garis yang memiliki satu titik pangkal dan sejajar dengan dua garis

yang diberikan.


27

Definisi 2.13 menjelaskan bahwa walaupun kedua garis dalam ℝ3 tidak

berpotongan maupun tidak sejajar, kedua garis tersebut tetap memiliki sudut antara

dua garis tersebut. Sudut antara dua garis tersebut merupakan sudut yang dibentuk

oleh dua buah sinar garis yang sejajar dengan garis-garis tersebut dan berpotongan

di satu titik


Dua buah garis yang memiliki bilangan arah [𝑎1, 𝑏1, 𝑐1] dan [𝑎2, 𝑏2, 𝑐2] akan:

a) Sejajar jika dan hanya jika untuk sebarang 𝑘 ∈ ℝ dan 𝑘 ≠ 0 berlaku

𝑎2 = 𝑘𝑎1, 𝑏2 = 𝑘𝑏1, dan 𝑐2 = 𝑘𝑐1

b) Tegak lurus jika dan hanya jika

𝑎1𝑎2 + 𝑏1𝑏2 + 𝑐1𝑐2 = 0

Teorema 2.11 a) mengatakan bahwa dua buah garis yang memiliki bilangan

arah [𝑎1, 𝑏1, 𝑐1] dan [𝑎2, 𝑏2, 𝑐2] dikatakan sejajar jika dan hanya jika bilangan arah

dari salah satu garis merupakan perkalian bilangan arah garis yang lain dengan

suatu konstanta yang tidak sama dengan nol. Sedangkan Teorema 2.11 b)

mengatakan bahwa dua buah garis yang memiliki bilangan arah [𝑎1, 𝑏1, 𝑐1] dan

[𝑎2, 𝑏2, 𝑐2] dikatakan tegak lurus jika dan hanya jika jumlah dari perkalian

bilangan-bilangan arah yang seletak sama dengan nol.

Teorema 2.13 (F. Riddle, 1996:358):

Jarak antara titik (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dengan bidang 𝑎𝑐 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 adalah

𝑑 =|𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐𝑧1|

√𝑎2+𝑏2+𝑐2


28

Setelah kita mempelajari sudut antara dua garis dalam ℝ3, maka kita akan

mempelajari persamaan bidang datar dalam ℝ3. Andaikan suatu garis yang melalui

titik asal memiliki bilangan arah [𝑎, 𝑏, 𝑐]. Maka persamaan suatu bidang datar yang

melalui titik 𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) dan tegak lurus dengan garis tersebut adalah:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0

atau dapat dinyatakan juga dalam bentuk

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − 𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 = 0

atau

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 di mana 𝑑 = −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0

Persamaan ini disebut dengan persamaan umum bidang datar dengan bilangan arah

[𝑎, 𝑏, 𝑐]dan melalui titik (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0).

Selanjutnya akan dibahas sudut arah, cosinus arah dan bilangan arah dari

suatu bidang datar. Sebelum membahas ketiga hal tersebut, perhatikanlah definisi

berikut ini.

Definisi 2.14 (Charles & Irving, 1980):

Suatu garis yang tegak lurus dengan bidang datar disebut normal dari bidang datar

tersebut (garis normal bidang).

Berdasarkan definisi 2.14 maka sudut arah, cosinus arah, dan bilangan arah

dari suatu bidang datar adalah sudut arah, cosinus arah dan bilangan arah dari garis

normalnya. Jika suatu bidang datar memiliki persamaan:


29

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

Maka [𝑎, 𝑏, 𝑐] adalah bilangan-bilangan arah dari garis normal bidang atau

bilangan-bilangan arah bidang tersebut dan

cos 𝛼 =𝑎

√𝑎2+𝑏2+𝑐2

cos 𝛽 =𝑏

√𝑎2+𝑏2+𝑐2

cos 𝛾 =𝑐

√𝑎2+𝑏2+𝑐2

adalah cosinus-cosinus arah bidang tersebut. Sedangkan 𝛼, 𝛽 dan 𝛾 adalah sudut-

sudut arah bidang tersebut.

Ada beberapa cara untuk menyatakan suatu persamaan bidang datar, salah

satunya dengan persamaan bidang datar bentuk normal dari Hesse. Persamaan dari

suatu bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk

𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 + 𝑛 = 0 dengan 𝑛 =𝑑

√𝑎2+𝑏2+𝑐2

Persamaan di atas dapat disebut dengan persamaan bidang datar bentuk

normal dari Hesse di mana 𝛼, 𝛽 dan 𝛾 adalah sudut-sudut arah dari bidang datar dan

n merupakan jarak bidang datar tersebut dari titik pangkal O. Untuk lebih

memahami persamaan bidang, maka perhatikan contoh berikut.

Contoh 2.6

Jika �⃡� memiliki bilangan arah [2,1, −3]. Maka persamaan bidang datar yang tegak

lurus dengan garis �⃡� dan melalui titik 𝐴(3,1,2) adalah

2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 − 2.3 − 1.1 + 3.2 = 0

2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 1 = 0


30

Cosinus-cosinus arah bidang tersebut adalah

cos 𝛼 =2

√22+12+(−3)2=

2

√14=

1

7√14

cos 𝛽 =1

√22+12+(−3)2=

1

√14=

1

14√14

cos 𝛾 =−3

√22+12+(−3)2= −

3

√14=

3

14√14

Persamaan normal Hesse bidang tersebut adalah

1

7√14𝑥 +

1

14√14𝑦 +

3

14√14𝑧 −

1

14√14 = 0

Setelah kita memahami persamaan garis dan persamaan bidang, maka

selanjutnya kita akan mempelajari transformasi sistem koordinat. Transformasi

sistem koordinat yang dibahas adalah transformasi di ℝ2, namun selanjutnya

diperumum menjadi transformasi sistem koordinat dalam ℝ3. Berikut adalah

pembahasan transformasi sistem koordinat.

D. Transformasi Sistem Koordinat

Menurut Fuller & Tarwater (1986:90) transformasi sistem koordinat adalah

proses perubahan sistem koordinat yang lama ke sistem koordinat yang baru. Dalam

skripsi ini akan dibahas transformasi sistem koordinat berupa translasi salib sumbu

dan rotasi salib sumbu.

1. Translasi (Pergeseran) Salib Sumbu

Menurut Charles & Irving (1980:75), translasi salib sumbu adalah

proses pergeseran titik asal O ke sebarang titik A dengan salib-salib sumbu

yang baru tetap sejajar dengan salib-salib sumbu awal. Berikut ini akan


31

dibahas teorema yang berkaitan dengan translasi salib sumbu yang akan

digunakan untuk pembahasan dalam skripsi ini.

Teorema 2.14 (Charles & Irving, 1980:75)

Jika titik asal 𝑂′ dari sumbu-sumbu 𝑋′𝑌′ memiliki koordinat 𝐴(𝑎, 𝑏) pada

sumbu-sumbu 𝑋𝑌, maka relasi antara koordinat titik 𝑃(𝑥, 𝑦) pada sumbu-

sumbu 𝑋𝑌 dengan koordinat titik 𝑃′(𝑥′, 𝑦′) pada sumbu-sumbu 𝑋′𝑌′

dinyatakan dalam persamaan

'.

'

x x aa

y y b

atau

'.

'

x x ab

y y b

Gambar 2.10 Translasi Salib Sumbu pada ℝ2

Gambar 2.10 merupakan ilustrasi dari translasi salib sumbu pada ℝ2.

Dari gambar tersebut, titik 𝑂(0,0) ditranslasikan ke sebuah titik yang

memiliki koordinat 𝐴(𝑎, 𝑏) sehingga terbentuklah sumbu-sumbu baru yaitu

𝑋′ dan 𝑌′ yang sejajar dengan sumbu 𝑋 dan 𝑌 .

Berdasarkan teorema 2.13 maka persamaan translasi salib sumbu akan

diperumum untuk sebarang titik di ℝ3. Jika titik asal 𝑂(0,0,0) dari sumbu-

sumbu 𝑋′𝑌′𝑍′ memiliki koordinat 𝐴(𝑎, 𝑏, 𝑐) pada sumbu-sumbu 𝑋𝑌𝑍, maka


32

relasi antara koordinat titik 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) pada sumbu-sumbu 𝑋𝑌𝑍 dengan

koordinat titik 𝑃′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) pada sumbu-sumbu 𝑋′𝑌′𝑍′ dinyatakan dalam

persamaan

𝑥 = 𝑥′ + 𝑎 𝑥′ = 𝑥 − 𝑎

𝑦 = 𝑦′ + 𝑏 atau 𝑦′ = 𝑦 − 𝑏

𝑧 = 𝑧′ + 𝑐 𝑧′ = 𝑧 − 𝑐

Gambar 2.11 Translasi Salib Sumbu pada ℝ3

Gambar 2.11 merupakan ilustrasi dari translasi salib sumbu pada ℝ3.

Titik asal 𝑂(0,0,0) ditranslasikan ke titik 𝐴(𝑎, 𝑏, 𝑐) sehingga terbentuklah

sistem koordinat baru yaitu 𝑋′Y'𝑍′ yang sumbu-sumbunya sejajar dengan

sumbu-sumbu pada sistem koordinat 𝑋𝑌𝑍.

2. Rotasi (Perputaran) Salib Sumbu

Menurut Fuller & Tarwater (1986:140) rotasi salib sumbu adalah proses

perputaran salib-salib sumbu-sumbu terhadap satu poros/pusat dengan sudut

rotasi tertentu. Berikut ini akan dibahas teorema yang berkaitan dengan rotasi

salib sumbu yang akan digunakan untuk pembahasan dalam skripsi ini.


33

Teorema 2.15 (Charles & Irving, 1980:87)

Jika sumbu-sumbu 𝑋 dan 𝑌 dirotasikan terhadap titik asal 𝑂(0,0) dengan

sudut rotasi 𝜃 terhadap sumbu 𝑋+ sehingga menghasilkan sumbu-sumbu baru

yaitu sumbu-sumbu ℝ2, maka relasi antara koordinat titik 𝐴(𝑥, 𝑦) pada

sumbu-sumbu 𝑋𝑌 dengan koordinat titik 𝐴′(𝑥′, 𝑦′) pada sumbu-sumbu ℝ2

dinyatakan dalam persamaan

𝑥 = 𝑥′𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦′𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑦 = 𝑥′𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦′𝑐𝑜𝑠𝜃

atau

𝑥′ = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑦′ = −𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃

Gambar 2.12 Rotasi ℝ2

Berdasarkan teorema 2.15 maka persamaan rotasi salib sumbu akan

diperumum untuk ℝ3, sehingga dalam ℝ3 terdapat tiga macam rotasi salib

sumbu yaitu rotasi salib sumbu terhadap sumbu 𝑋, rotasi salib sumbu

terhadap sumbu 𝑌, dan rotasi salib sumbu terhadap sumbu 𝑍.

a. Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu 𝑋

Pada rotasi salib sumbu terhadap sumbu 𝑋, sumbu-sumbu 𝑌𝑍

dirotasikan dengan sudut rotasi 𝜃 terhadap sumbu 𝑌+, maka komponen 𝑥


34

pada sebarang titik di ℝ3 tetap sedangkan komponen 𝑦 dan komponen 𝑧

nya berubah dan dapat dinyatakan dalam persamaan

𝑦′ = 𝑦 cos 𝜃 + 𝑧 sin 𝜃

𝑧′ = −𝑦 sin 𝜃 + 𝑧 cos 𝜃

Gambar 2.13 Rotasi ℝ3 terhadap sumbu X

Jika suatu titik memiliki koordinat 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) dan salib-salib

sumbunya dirotasikan terhadap sumbu 𝑋 sejauh dengan sudut rotasi 𝜃

terhadap sumbu 𝑋, maka koordinat titik tersebut terhadap salib sumbu

yang baru dapat dicari dengan persamaan

𝑥′ = 𝑥

𝑦′ = 𝑦 cos 𝜃 + 𝑧 sin 𝜃

𝑧′ = −𝑦 sin 𝜃 + 𝑧 cos 𝜃

Jadi koordinat titik tersebut adalah (𝑥, 𝑦 cos 𝜃 + 𝑧 sin 𝜃 ,−𝑦 sin 𝜃 +

𝑧 cos 𝜃) terhadap salib sumbu yang baru.

b. Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu 𝑌

Pada rotasi salib sumbu terhadap sumbu 𝑌, sumbu-sumbu 𝑋𝑍

dirotasikan dengan sudut rotasi 𝜃 terhadap sumbu 𝑍+, maka komponen 𝑦


35

pada sebarang titik di ℝ3 tetap sedangkan komponen 𝑥 dan komponen 𝑧


𝑥′ = −𝑧𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑧′ = 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃

Gambar 2.14 Rotasi ℝ3 terhadap sumbu 𝑌

Jika suatu titik memiliki koordinat 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) dan salib-salib

sumbunya dirotasikan terhadap sumbu 𝑌 sejauh dengan sudut rotasi 𝜃

terhadap sumbu 𝑌, maka koordinat titik tersebut terhadap salib sumbu


𝑥′ = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑧𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃

Jadi koordinat titik tersebut adalah (𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑧𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑦, 𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 +

𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃) terhadap salib sumbu yang baru.

c. Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu 𝑍

Pada rotasi salib sumbu terhadap sumbu 𝑍, sumbu-sumbu 𝑋𝑌

dirotasikan dengan sudut rotasi 𝜃 terhadap sumbu 𝑋+, maka komponen 𝑧


36

pada sebarang titik di ℝ3 tetap sedangkan komponen 𝑥 dan komponen 𝑦




Gambar 2.15 Rotasi ℝ3 terhadap sumbu 𝑍

Jika suatu titik memiliki koordinat ( , , )x y z dan salib-salib

sumbunya dirotasikan terhadap sumbu 𝑍 sejauh dengan sudut rotasi 𝜃

terhadap sumbu 𝑋+, maka koordinat titik tersebut terhadap salib sumbu




𝑧′ = 𝑧

Jadi koordinat titik tersebut adalah (𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃,−𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 +

𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑧) terhadap salib sumbu yang baru.

Setelah kita memahami transformasi sistem koordinat yang berupa translasi

salib sumbu dan rotasi salib sumbu, maka selanjutnya kita akan mempelajari


37

mengenai proyeksi. Pada bagian awal akan disajikan definisi umum dari proyeksi,

namun selanjutnya akan dibahas proyeksi perspektif yang merupakan topik utama

dari skripsi ini.

E. Proyeksi

Ada berbagai macam jenis proyeksi. Namun terlebih dahulu kita akan

melihat definisi proyeksi secara umum.

Definisi 2.15 (Foley & Dam, 1983):

Proyeksi merupakan transformasi dari suatu titik dalam sistem koordinat ℝ𝑛

menjadi titik dalam sistem koordinat yang lebih kecil dari dimensi asalnya.

Dalam pembahasan kali ini proyeksi yang digunakan adalah proyeksi dari

ℝ3 ke ℝ2. Proyeksi dari suatu benda yang ada di ℝ3 dapat dihasilkan dari sinar-

sinar garis yang berasal dari suatu titik tertentu dan melalui setiap titik pada benda

tersebut serta memotong suatu bidang datar. Sinar-sinar garis disebut proyektor,

titik tertentu disebut titik proyeksi, dan bidang datar disebut bidang proyeksi.

Berdasarkan letak titik proyeksi terhadap bidang proyeksi, proyeksi dibagi menjadi

dua yaitu proyeksi paralel dan proyeksi perspektif.

1. Proyeksi Paralel

Proyeksi paralel adalah proyeksi di mana titik proyeksinya terletak di jauh

tak hingga. Proyeksi paralel di mana proyektornya tegak lurus dengan bidang

proyeksi disebut proyeksi orthogonal. Gambar 2.16 a mengilustrasikan proyeksi


38

paralel secara umum, sedangkan Gambar 2.16 b mengilustrasikan proyeksi

orthogonal.

a b

Gambar 2.16 Proyeksi Paralel

2. Proyeksi Perspektif

Proyeksi Perspektif adalah proyeksi di mana titik proyeksinya terletak di

suatu tempat yang berhingga. Gambar 2.15 mengilustrasikan proyeksi

perspektif.

A

b

c

Gambar 2.17 Proyeksi Perspektif

Gambar 2.17 a merupakan proyeksi perspektif di mana objek dan titik

proyeksi dipisahkan oleh bidang proyeksi. Gambar 2.17 b merupakan proyeksi

perspektif di mana titik perspektif berada di antara objek dan bidang proyeksi.

Sedangkan Gambar 2.17 c merupakan proyeksi perspektif di mana titik objek

berada di antara titik proyeksi dan bidang proyeksi.


39

Teknik menggambar perspektif merupakan suatu teknik menggambar

yang bertujuan untuk menghasilkan gambar dari beberapa objek dalam ℝ3

sesuai dengan apa yang terlihat ke ℝ2 dalam bidang gambar sehingga ketika kita

melihat gambar tersebut, kita dapat membayangkan objek-objek tersebut secara

nyata (Sasho Kalajdzievski, 2008:169). Pada teknik menggambar perspektif ini,

titik proyeksi dengan benda dipisahkan oleh bidang proyeksi.

Gambar 2.16

Gambar 2.17

Gambar 2.16 merupakan suatu lukisan yang dihasilkan tanpa

menggunakan teknik menggamar perspektif sedangkan gambar 2.17 merupakan

suatu gambar yang dihasilkan dengan menggunakan teknik menggambar

perspektif.

F. Matrik

Setelah kita membahas titik, garis, bidang, sistem koordinat, persamaan

garis, persamaan bidang, dan proyeksi, maka selanjutnya kita akan membahas

mengenai matrik. Matrik merupakan susunan dari bilangan-bilangan yang teratur


40

sehingga susunan bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu segi empat

beraturan. Definisi 2.16 di bawah ini menjelaskan pengertian matrik.

Definisi 2.16 (Howard Anton, 2010:26):

Matrik adalah susunan bilangan-bilangan yang teratur sedemikian sehingga

membentuk segi empat beraturan. Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam

susunan tersebut dinamakan elemen dari matrik

Contoh 2.7:

[1 3 78 1 39 2 4

], [142], [3 2], [1]

Di dalam matrik, susunan bilangan-bilangan tersebut ditentukan oleh baris

dan kolom. Baris merupakan susunan yang horisontal, sedangkan kolom

merupakan susunan yang vertikal. Ukuran dari suatu matrik ditentukan oleh

banyaknya baris dan kolom dari matrik tersebut dan dituangkan ke dalam definisi

2.17 berikut ini.


Ukuran dari suatu matrik ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom

dari matrik tersebut.


41

Contoh 2.8:

Matrik pertama pada contoh 2.7 memiliki 4 baris dan 3 kolom, maka ukuran matrik

tersebut dapat ditulis 4 × 3.

Dalam menuliskan nama matrik akan digunakan huruf kapital, sedangkan

untuk menuliskan elemen matrik akan digunakan huruf kecil. Matrik A yang

berukuran 𝑚 × 𝑛 dapat dituliskan dengan A𝑚×𝑛

Contoh 2.9:

2 1 4

0 3 2

5 0 2

1 3 1

A

, a b

Bc d

Suatu matrik A dengan 𝑛 baris dan 𝑛 kolom disebut matrik persegi

berukuran 𝑛 × 𝑛, dan elemen 𝑎11, 𝑎22, … , 𝑎𝑛𝑛 pada matrik A di bawah ini disebut

diagonal utama dari A.

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

Definisi 2.18 (Howard Anton, 2010:27)

Dua matrik dikatakan sama jika matrik-matrik tersebut memiliki ukuran yang sama

dan elemen-elemen yang bersesuaian sama.


42

Definisi 2.19 (Howard Anton, 2010:27)

Jika A dan B adalah dua buah matrik yang memiliki ukuran yang sama, maka

jumlah dari matrik A dan B (A+B) adalah suatu matrik yang elemen-elemennya

merupakan jumlahan dari elemen matrik A yang berkorespondensi dengan elemen

matrik B. Selisih dari matrik A dan B (A-B) adalah suatu matrik yang elemen-

elemennya merupakan selisih dari elemen-elemen dari matrik A yang

berkorespondensi dengan elemen matrik B.

Definisi 2.19 menjelaskan operasi penjumlahan dan operasi pengurangan

antara dua buah matrik A dan matrik B. Selain operasi penjumlahan dan operasi

pengurangan, operasi perkalian juga berlaku dalam matrik. Operasi perkalian dalam

matrik terbagi menjadi dua yaitu perkalian matrik dengan skalar dan perkalian

matrik dengan matrik. Definisi 2.20 dan definisi 2.21 berikut ini menjelaskan

operasi perkalian di dalam matrik.


Jika A adalah suatu matrik dan 𝑐 ∈ ℝ, maka hasil dari 𝑐A adalah suatu matrik yang

diperoleh dengan cara mengalikan setiap elemen pada matrik A dengan 𝑐. Matrik

𝑐A disebut hasil kali skalar dari matrik A.

Untuk lebih memahami perkalian skalar dengan matrik, mari perhatikan

contoh 2.10 berikut ini.


43

Contoh 2.10:

Jika matrik 2 1

0 2A

, maka 6 3

30 6

A


Jika A𝑚×𝑟 dan B𝑟×𝑛 , maka hasil perkalian matrik A dengan matrik B adalah suatu

matrik yang berukuran 𝑚 × 𝑛 yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai

berikut:

𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘. 𝑏𝑘𝑗

𝑟

𝑘=1

di mana 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.

Untuk lebih memahami perkalian antara matrik dengan matrik, maka

perhatikan contoh 2.11 berikut ini.

Contoh 2.11:

Jika matrik A = [2 01 1

] dan B = [1 0 23 1 1

], maka matrik A.B berukuran 2 × 3.

Untuk menentukan elemen-elemennya, sebagai contoh kita akan menentukan

elemen dari baris ke-2 kolom ke-3, perhatikan elemen dari baris ke-2 pada matrik

A dan elemen dari kolom ke-3 matrik B. Mengalikan elemen yang

berkorespondensi dari baris dan kolom bersama-sama, lalu jumlahkan hasil kalinya

akan diilustrasikan sebagai berikut:


44

[2 01 1

] . [1 0 23 1 1

] = [3

]

1.2 1.1 3

Perhitungan untuk elemen yang tersisa sebagai berikut:

(2.1) + (0.3) = 2

(2.0) + (0.1) = 0

(2.2) + (0.1) = 4 A. B = [2 0 44 1 3

]

(1.1) + (1.3) = 4

(1.0) + (1.1) = 1


45

BAB III

MATRIK PERSPEKTIF DAN SIFAT GARIS DALAM GAMBAR

PERSPEKTIF

Setelah mempelajari teori-teori pada bab II, maka pada bab III kita akan

mempelajari matrik perspektif dan sifat garis dalam gambar perspektif. Perspektif

merupakan suatu konsep yang setiap hari kita alami, contohnya adalah ketika kita

melihat, pembentukan bayangan ketika proses pengelihatan kita menggunakan

konsep perspektif. Hal yang sama terjadi ketika kita menggambil gambar dari

kamera. Teknik menggambar construzione legittima juga menggunakan konsep

perspektif.

A. Koordinat Gambar Perspektif

Sebelum kita mencari matrik perspektif dari suatu titik, mari kita terlebih

dahulu mencari koordinat hasil proyeksi perspektif dari suatu titik. Koordinat hasil

proyeksi perspektif merupakan koordinat titik tembus dari garis yang

menghubungkan titik proyeksi dengan objek.

1. Koordinat titik proyeksi P(𝑥𝑝, 0,0) dan bidang proyeksi 𝑥 = 𝑘

Gambar 3.1 yang merupakan ilustrasi untuk mencari koordinat hasil

proyeksi perspektif titik A(𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan titik proyeksi P(𝑥𝑝, 0,0) dan

persamaan bidang proyeksinya 𝑥 = 𝑘. Pada gambar 3.1, A(𝑥, 𝑦, 𝑧) merupakan


46

titik yang terletak pada objek yang akan digambar sedangkan A′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)

merupakan koordinat hasil proyeksi perspektif titik A(𝑥, 𝑦, 𝑧). Pada gambar 3.1

terlihat bahwa A′ terletak pada bidang proyeksi yang memiliki persamaan 𝑥 =

𝑘, sehingga komponen pertama dari koordinat titik A′ sama dengan 𝑘. Dengan

kata lain koordinat dari titik A′ berbentuk A′(𝑘, 𝑦′, 𝑧′) .

Gambar 3.1 Bidang proyeksi 𝑥 = 𝑘 dan titik proyeksi 𝑃(𝑥𝑝, 0,0)

Perhatikan segmen garis yang melalui titik P dan A (PA̅̅̅̅ ). Persamaan garis

yang melalui titik P(𝑥𝑝, 0,0) dan titik A(𝑥𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧𝑎) adalah:

𝑥−𝑝

𝑥𝑎=

𝑦−0

𝑦𝑎−0=

𝑧−0

𝑧𝑎−0= 𝑡

⟹𝑥−𝑥𝑝

𝑥𝑎=

𝑦

𝑦𝑎=

𝑧

𝑧𝑎= 𝑡

atau dapat ditulis menjadi persamaan parametrik yaitu:

{𝑥 = 𝑡. (𝑥𝑎 − 𝑥𝑝) + 𝑥𝑝

𝑦 = 𝑡. 𝑦𝑎

𝑧 = 𝑡. 𝑧𝑎

titik tembus PA⃡⃗ ⃗⃗ dengan bidang x = k adalah:

𝑡(𝑥𝑎 − 𝑥𝑝) + 𝑥𝑝 = 𝑘

𝑡(𝑥𝑎 − 𝑥𝑝) = 𝑘 − 𝑥𝑝


47

𝑡 =𝑘−𝑥𝑝

𝑥𝑎−𝑥𝑝

𝑡 =𝑥𝑝−𝑘

𝑥𝑝−𝑥𝑎

Subtitusi 𝑡 =𝑥𝑝−𝑘

𝑥𝑝−𝑥𝑎 ke persamaan garis, maka diperoleh:

𝑥 = 𝑘


=𝑥𝑝−𝑘

𝑥𝑝−𝑥𝑎. 𝑦𝑎

=𝑦𝑎(𝑥𝑝−𝑘)

𝑥𝑝−𝑥𝑎


=𝑥𝑝−𝑘

𝑥𝑝−𝑥𝑎. 𝑧𝑎

=𝑧𝑎(𝑥𝑝−𝑘)

𝑥𝑝−𝑥𝑎

Jadi jika bidang proyeksinya berjarak 𝑘 satuan dari bidang YOZ dan

koordinat titik proyeksi adalah P(𝑥𝑝, 0,0), maka hasil proyeksi perspektif titik

A(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah titik A′ dengan koordinat (𝑘,𝑦(𝑥𝑝−𝑘)

𝑥𝑝−𝑥,𝑧(𝑥𝑝−𝑘)

𝑥𝑝−𝑥).

Untuk lebih memahami koordinat hasil proyeksi perspektif jika koordinat

titik proyeksi adalah P(𝑥𝑝, 0,0) dan bidang proyeksi memiliki persamaan 𝑥 =

𝑘, maka perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 3.1 :

Akan ditentukan koordinat hasil proyeksi perspektif titik A(−5,2, −1) jika

koordinat titik proyeksi adalah P(3,0,0) dan bidang proyeksinya adalah 𝑥 = 1.


48

Dari rumus yang telah diperoleh, maka koordinat hasil proyeksi perspektif titik

A(−5,2,−1) adalah:

(1,2(3−1)

3−(−5),−1(3−1)

3−(−5))

= (1,2.2

8,−1.2

8)

= (1,1

2, −

1

4)

Pada contoh 3.2 berikut ini kita akan mencari hasil proyeksi perspektif

sumbu Y. Hasil yang diperoleh pada contoh 3.2 akan digunakan untuk

mengambil kesimpulan hasil proyeksi perspektif sumbu Z.

Contoh 3.2:

Akan ditentukan hasil proyeksi perspektif sumbu Y jika koordinat titik

proyeksi berada di P(𝑥𝑝, 0,0), serta bidang proyeksi adalah bidang 𝑥 = 𝑘 dan

xp ≠ k. Titik yang melalui sumbu Y memiliki koordinat (0, 𝑦, 0), akibatnya

berdasarkan rumus yang telah diperoleh, hasil proyeksi perspektif untuk titik

tersebut adalah (𝑘,𝑦(𝑥𝑝−𝑘)

𝑥𝑝−0,0(𝑥𝑝−𝑘)

𝑥𝑝−0) = (𝑘, 𝑦 (1 −

𝑘

𝑥𝑝) , 0). Karena 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥𝑝 ∈

ℝ dan 𝑘 ∈ ℝ, maka 𝑦 (1 −𝑘

𝑥𝑝) ∈ ℝ . Akibatnya himpunan titik (𝑘, 𝑦 (1 −

𝑘

𝑥𝑝) , 0) juga merupakan sumbu Y pada bidang proyeksi yang sejajar dengan

sumbu Y dalam ruang dan berjarak k satuan dari sumbu Y di ruang.

Begitu pula dengan sumbu z pada bidang proyeksi akan berjarak 𝑘 satuan

dengan sumbu Z pada ruang. Akibatnya pada bidang proyeksi akan digunakan

koordinat kartesius dengan sumbu Z′ sejajar dengan sumbu Z dalam ℝ3 dan


49

sumbu Y′ yang merupakan hasil proyeksi perspektif sumbu Y dalam ℝ3. Gambar

3.2 mengilustrasikan gambar proyeksi dari salib sumbu Y dan Z.

Gambar 3.2 Hasil Proyeksi Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi x=k

2. Koordinat titik proyeksi P(0, 𝑦𝑝, 0) dan bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘.


proyeksi perspektif dari titik A(𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan titik proyeksi P(0, 𝑦𝑝, 0) dan

persamaan bidang proyeksinya 𝑦 = 𝑘. Pada gambar 3.4, A(𝑥, 𝑦, 𝑧) merupakan

titik yang terletak pada objek yang akan digambar sedangkan A′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)

merupakan koordinat hasil proyeksi dari titik 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧). Pada gambar terlihat

bahwa A′ terletak pada bidang proyeksi yang memiliki persamaan 𝑦 = 𝑘,

sehingga komponen kedua dari koordinat titik A′ sama dengan 𝑘. Dengan kata

lain koordinat dari titik A′ berbentuk A′(𝑥′, 𝑘, 𝑧′) .

Gambar 3.3 Bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘 dan titik proyeksi P(0, 𝑦𝑝, 0)


50

Perhatikan segmen garis yang melalui titik P dan A

(PA⃗⃗⃗⃗ ⃗). Persamaan garis yang melalui titik P(0, 𝑦𝑝, 0) dan titik A(𝑥𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧𝑎)

adalah:

𝑥−0

𝑥𝑎−0=

𝑦−𝑦𝑝

𝑦𝑎−𝑦𝑝=

𝑧−0

𝑧𝑎−0= 𝑡

⇒𝑥

𝑥𝑎=

𝑦−𝑦𝑝

𝑦𝑎−𝑦𝑝=

𝑧

𝑧𝑎= 𝑡


{

𝑥 = 𝑡. 𝑥𝑎

𝑦 = 𝑡. (𝑦𝑎 − 𝑦𝑝) + 𝑦𝑝


Titik tembus PA⃡⃗ ⃗⃗ dengan bidang 𝑦 = 𝑘 adalah:

𝑡. (𝑦𝑎 − 𝑦𝑝) + 𝑦𝑝 = 𝑘

𝑡. (𝑦𝑎 − 𝑦𝑝) = 𝑘 − 𝑦𝑝

𝑡 =𝑘−𝑦𝑝

𝑦𝑎−𝑦𝑝

𝑡 =𝑦𝑝−𝑘

𝑦𝑝−𝑦𝑎

Subtitusi 𝑡 =𝑦𝑝−𝑘

𝑦𝑝−𝑦𝑎 ke persamaan garis, maka diperoleh:


=𝑦𝑝−𝑘

𝑦𝑝−𝑦𝑎. 𝑥𝑎

=𝑥𝑎(𝑦𝑝−𝑘)

𝑦𝑝−𝑦𝑎

𝑦 = 𝑘



51

=𝑦𝑝−𝑘

𝑦𝑝−𝑦𝑎. 𝑧𝑎

=𝑧𝑎(𝑦𝑝−𝑘)

𝑦𝑝−𝑦𝑎

Jadi jika bidang proyeksinya berjarak k satuan dari bidang XOZ dan

koordinat titik proyeksi adalah P(0, 𝑦𝑝, 0), maka hasil proyeksi perspektif titik

A(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah titik A′ dengan koordinat (𝑥(𝑦𝑝−𝑘)

𝑦𝑝−𝑦, 𝑘,

𝑧(𝑦𝑝−𝑘)

𝑦𝑝−𝑦).

Untuk lebih memahami koordinat hasil proyeksi perspektif jika koordinat

titik proyeksi adalah P(0, y𝑝, 0) dan bidang proyeksi memiliki persamaan 𝑦 = 𝑘

maka perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 3.3 :

Akan dicari koordinat hasil proyeksi perspektif titik A(3,−3,1) jika

koordinat titik proyeksi adalah 𝑃(0,3,0) dan bidang proyeksinya adalah 𝑦 = 0.


A(3,−3,1) adalah:

(3(3−0)

3−(−3), 0,

−1(3−0)

3−(−3))

= (3.3

6, 0,

−1.3

6)

= (3

2, 0,

−1

2)


sumbu X. Hasil yang diperoleh pada contoh 3.4 akan digunakan untuk

mengambil kesimpulan hasil proyeksi perspektif sumbu Z.


52

Contoh 3.4:

Akan ditentukan hasil proyeksi perspektif sumbu X jika koordinat titik

proyeksi berada di P(0, 𝑦𝑝, 0) serta bidang proyeksi adalah bidang 𝑦 = 𝑘. Ingat

bahwa sumbu X berada di sisi lain dari bidang proyeksi yang tidak memuat

koordinat titik proyeksi. Titik yang melalui sumbu X memiliki koordinat

(𝑥, 0,0), akibatnya berdasarkan rumus yang telah diperoleh, hasil proyeksi

perspektif untuk titik tersebut adalah (𝑥(𝑦𝑝−𝑘)

𝑦𝑝−0, 𝑘,

0(𝑦𝑝−𝑘)

𝑦𝑝−0) = (𝑥 (1 −

𝑘

𝑦𝑝) , 𝑘, 0).

Karena 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦𝑝 ∈ ℝ dan 𝑘 ∈ ℝ, maka 𝑥 (1 −𝑘

𝑦𝑝) ∈ ℝ Akibatnya himpunan

titik (𝑥 (1 −𝑘

𝑦𝑝) , 𝑘, 0) juga merupakan sumbu x pada bidang proyeksi yang

sejajar dengan sumbu X dalam ruang dan berjarak 𝑘 satuan dari sumbu X di

ruang.

Begitu pula dengan sumbu Z pada bidang proyeksi akan berjarak 𝑘 satuan

dengan sumbu Z pada ruang. Akibatnya pada bidang proyeksi akan digunakan

koordinat kartesius dengan sumbu Z′ sejajar dengan sumbu Z dalam ℝ3 dan

sumbu X′ yang merupakan hasil proyeksi perspektif sumbu X dalam ℝ3. Dalam

kasus seperti ini, Z′ akan menjadi sumbu X di bidang gambar. Sedangkan X′ akan

menjadi sumbu Y pada bidang gambar. Gambar 3.4 mengilustrasikan gambar

proyeksi dari salib sumbu Y dan Z.


53

Gambar 3.4 Hasil Proyeksi Perspektif Salib-Salib Sumbu di Bidang Proyeksi y=k

3. Koordinat titik proyeksi P(0,0, 𝑧𝑝) dan bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘.


proyeksi perspektif titik A(𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan persamaan bidang proyeksinya 𝑧 =

𝑘. Pada gambar 3.5, A(𝑥, 𝑦, 𝑧) merupakan titik yang terletak pada objek yang

akan digambar sedangkan A′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) merupakan koordinat hasil proyeksi

perspektif dari titik A(𝑥, 𝑦, 𝑧). Pada gambar terlihat bahwa A′ terletak pada

bidang proyeksi yang memiliki persamaan 𝑧 = 𝑘, sehingga komponen kedua

dari koordinat titik A′ sama dengan k. Dengan kata lain 𝑧′ = 𝑘 Akibatnya

koordinat dari titik A′ berbentuk A′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) .

Gambar 3.5 Bidang Proyeksi 𝑧 = 𝑘 dan Titik Proyeksi P(0,0, 𝑧𝑝)

Perhatikan segmen garis yang melalui titik P dan A (PA⃗⃗⃗⃗ ⃗). Persamaan garis

yang melalui titik P(0,0, 𝑧𝑝) dan titik A(𝑥𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧𝑎) adalah:


54

𝑥−0

𝑥𝑎−0=

𝑦−0

𝑦𝑎−0=

𝑧−𝑧𝑝

𝑧𝑎−𝑧𝑝= 𝑡

⟹𝑥

𝑥𝑎=

𝑦

𝑦𝑎=

𝑧−𝑧𝑝

𝑧𝑎−𝑧𝑝= 𝑡


{



𝑧 = 𝑡. (𝑧𝑎 − 𝑧𝑝) + 𝑧𝑝

Titik tembus garis 𝑃𝐴⃡⃗⃗⃗ ⃗ dengan bidang 𝑧 = 𝑘 adalah:

𝑡. (𝑧𝑎 − 𝑧𝑝) + 𝑧𝑝 = 𝑘

𝑡. (𝑧𝑎 − 𝑧𝑝) = 𝑘 − 𝑧𝑝

𝑡 =𝑘−𝑧𝑝

𝑧𝑎−𝑧𝑝

𝑡 =𝑧𝑝−𝑘

𝑧𝑝−𝑧𝑎

Subtitusi 𝑡 =𝑧𝑝−𝑘

𝑧𝑝−𝑧𝑎 ke persamaan garis, maka diperoleh:


= (𝑧𝑝 − 𝑘

𝑧𝑝 − 𝑧𝑎) . 𝑥𝑎

=𝑥𝑎. (𝑧𝑝 − 𝑘)

(𝑧𝑝 − 𝑧𝑎)


= (𝑧𝑝 − 𝑘

𝑧𝑝 − 𝑧𝑎) . 𝑦𝑎

=𝑦𝑎. (𝑧𝑝 − 𝑘)

(𝑧𝑝 − 𝑧𝑎)

𝑧 = 𝑘


55

Jadi jika bidang proyeksinya berjarak 𝑘 satuan dari bidang XOY dan

koordinat titik proyeksi adalah P(0,0, 𝑧𝑝), maka hasil proyeksi perspektif titik

A(x, y, z) adalah titik A′ dengan koordinat (𝑥(𝑧𝑝−𝑘)

𝑧𝑝−𝑧,𝑦(𝑧𝑝−𝑘)

𝑧𝑝−𝑧, 𝑘).

Untuk lebih memahami mengenai koordinat gambar perspektif jika

koordinat titik proyeksi adalah P(0,0, zp) dan bidang proyeksi memiliki

persamaan 𝑧 = 𝑘, maka perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 3.5 :

Akan dicari koordinat hasil proyeksi perspektif titik A(3,2, −1) jika

koordinat titik proyeksi adalah P(0,0,6) dan bidang proyeksinya adalah 𝑧 = 2.


A(3,2, −1) adalah:

(3(6 − 2)

6 − (−1),2(6 − 2)

6 − (−1), 2)

= (3.4

7,2.4

7, 2)

= (12

7,8

7, 2)


sumbu X. Hasil yang diperoleh pada contoh 3.6 akan digunakan untuk

mengambil kesimpulan hasil proyeksi perspektif sumbu Y.


56

Contoh 3.6:

Akan ditentukan hasil proyeksi perspektif sumbu X jika koordinat titik

proyeksi berada di P(0,0, 𝑧𝑝), serta bidang proyeksi adalah bidang 𝑧 = 𝑘. Titik

yang melalui sumbu X memiliki koordinat (𝑥, 0,0), akibatnya berdasarkan rumus

yang telah diperoleh, hasil proyeksi perspektif untuk titik tersebut adalah

(𝑥(𝑧𝑝−𝑘)

𝑧𝑝−0,0(𝑧𝑝−𝑘)

𝑧𝑝−0, 𝑘) = (𝑥 (1 −

𝑘

𝑧𝑝) , 0, 𝑘).Karena 𝑥 ∈ ℝ, 𝑧𝑝 ∈ ℝ, dan 𝑘 ∈ ℝ ,

maka 𝑥 (1 −𝑘

𝑧𝑝) ∈ ℝ. Akibatnya himpunan titik (𝑥 (1 −

𝑘

z𝑝)0, 𝑘) juga

merupakan sumbu 𝑥 pada bidang proyeksi yang sejajar dengan sumbu X dalam

ruang dan berjarak 𝑘 satuan dari sumbu X di ruang.

Begitu pula dengan sumbu 𝑦 pada bidang proyeksi akan berjarak 𝑘 satuan

dengan sumbu Y pada ruang. Akibatnya pada bidang proyeksi akan digunakan

koordinat kartesius dengan sumbu Y′ yang merupakan hasil proyeksi perspektif

sumbu Y dalam ℝ3 dan sumbu X′ yang merupakan hasil proyeksi perspektif

sumbu Y dalam ℝ3. Dalam kasus seperti ini, X′ akan menjadi sumbu X di bidang

gambar. Sedangkan Y′ akan menjadi sumbu Y pada bidang gambar. Gambar 3.6

mengilustrasikan gambar proyeksi dari salib sumbu X dan Y.

Gambar 3.6 Gambar Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘


57

Setelah kita memperoleh koordinat-koordinat titik proyeksi, maka

selanjutnya kita akan mencari matrik translasi salib-salib sumbu dan matrik rotasi

salib-salib sumbu dalam ℝ3. Pertama-tama akan kita pelajari terlebih dahulu matrik

translasi salib sumbu.

B. Matrik Translasi Salib Sumbu

Matrik translasi salib sumbu adalah suatu matrik yang berguna untuk

mendapatkan hasil translasi salib sumbu jika salib sumbu digeser ke titik (𝑎, 𝑏, 𝑐).

Hasil translasi salib sumbu diperoleh dengan cara mengalikan matrik translasi

dengan titik A(𝑥, 𝑦, 𝑧). Pada bab II subbab D telah dibahas mengenai translasi salib

sumbu serta diperoleh rumus translasi sebagai berikut:

(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) = (𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏, 𝑧 − 𝑐)

dapat ditulis dalam bentuk:

𝑥′ = 𝑥 − 𝑎

𝑦′ = 𝑦 − 𝑏

𝑧′ = 𝑧 − 𝑐

Jika ditulis dalam bentuk persamaan matrik menjadi:

[𝑥′𝑦′

𝑧′

] = [1 0 00 1 00 0 1

] . [𝑥𝑦𝑧].................................(1)

Pada persamaan (1), untuk memperoleh hasil translasi salib sumbu

memerlukan operasi perkalian dan pengurangan matrik sedangkan matrik translasi

salib sumbu hanya digunakan operasi perkalian. Berdasarkan hal tersebut maka

digunakanlah koordinat homogen yang telah dijelaskan pada bab II subbab B,


58

sehingga koordinat homogen dari titik A(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah Ah(𝑥, 𝑦, 𝑧, 1) dan koordinat

homogen dari titik hasil proyeksi prspekifnya adalah Ah′ (𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏, 𝑧 − 𝑐, 1).

Kita pilih matrik translasi salib sumbu berupa suatu matrik yang berukuran 4 × 4.

Misalkan matrik perspektifnya adalah 𝑀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = [

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4

𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4

𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4

𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4

], maka

[

𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏𝑧 − 𝑐

1

] = [

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4

𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4

𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4

𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4

] . [

𝑥𝑦𝑧1

]

[

𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏𝑧 − 𝑐

1

] = [

𝑥. 𝑎1 + 𝑦. 𝑎2 + 𝑧. 𝑎3 + 𝑎4

𝑥. 𝑏1 + 𝑦. 𝑏2 + 𝑧. 𝑏3 + 𝑏4

𝑥. 𝑐1 + 𝑦. 𝑐2 + 𝑧. 𝑐3 + 𝑐4

𝑥. 𝑑1 + 𝑦. 𝑑2 + 𝑧. 𝑑3 + 𝑑4

]

Kemudian diperoleh:

𝑎1 = 1; 𝑎2 = 0; 𝑎3 = 0; 𝑎4 = −𝑎

𝑏1 = 0; 𝑏2 = 1; 𝑏3 = 0; 𝑏4 = −𝑏

𝑐1 = 0; 𝑐2 = 0; 𝑐3 = 1; 𝑐4 = −𝑐

𝑑1 = 0; 𝑑2 = 0; 𝑑3 = 0; 𝑑4 = 1

Jadi matrik translasi salib sumbu ke titik (𝑎, 𝑏, 𝑐) adalah

𝑀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = [

1 0 0 −𝑎0 1 0 −𝑏0 0 1 −𝑐0 0 0 1

]

Untuk lebih memahami matrik translasi salib sumbu, maka perhatikanlah

contoh berikut ini.


59

Contoh 3.7:

Akan dicari koordinat titik 𝐴′ jika koordinat titik A(4,1,3) dan titik asal

ditranslasikan ke titik B(1,−3,2). koordinat homogen dari titik A(4,1,3) adalah

Ah(4,1,3,1). Karena titik asal ditranslasikan ke titik B(1,−3,2), maka matrik

translasi dari salib-salib sumbunya adalah


1 0 0 −10 1 0 30 0 1 −20 0 0 1

]

Maka koordinat thomogen dari titik 𝐴ℎ′ adalah

[

𝑥′𝑦′

𝑧′1

] = [

1 0 0 −10 1 0 30 0 1 −20 0 0 1

] [

4131

]

= [

3−211

]

Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik Ah′ adalah Ah

′ (3, −2,1,1) dan

merupakan koordinat homogen dari titik A′(3, −2,1).

Setelah kita memperoleh matrik translasi salib sumbu dalam ℝ3, maka

selanjutnya kita akan mempelajari mengenai matrik rotasi salib sumbu dalam ℝ3

yang nantinya akan digunakan untuk mencari matrik perspektif. Berikut ini

pembahasan mengenai matrik rotasi salib sumbu.


60

C. Matrik Rotasi Salib Sumbu

Matrik rotasi salib sumbu adalah suatu matrik yang berguna untuk

mendapatkan hasil rotasi salib sumbu jika salib sumbu dirotasikan dengan sudut

rotasi 𝜃. Pada tulisan ini akan digunakan rotasi salib sumbu terhadap sumbu Y dan

rotasi salib sumbu terhadap sumbu Z untuk memperoleh matrik perspektif. Hasil

rotasi salib sumbu diperoleh dengan cara mengalikan matrik rotasi dengan titik

A(𝑥, 𝑦, 𝑧).

1. Matrik Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu Y

Pada bab II subbab D diperoleh persamaan

𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 − 𝑧 sin𝜃

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑥 sin 𝜃 + 𝑧 cos𝜃

Jika persamaan diatas ditulis dalam bentuk operasi matrik maka diperoleh

[𝑥′𝑦′

𝑧′

] = [cos𝜃 0 −sin𝜃

0 1 0sin𝜃 0 cos𝜃

] . [𝑥𝑦𝑧]

Maka matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu 𝑌 adalah

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑌 = [cos𝜃 0 −sin𝜃

0 1 0sin𝜃 0 cos𝜃

]

Karena pada tulisan ini akan digunakan koordinat homogen, maka matrik rotasi

dari koordinat homogen 𝐴ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 1) adalah

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑌 = [

cos𝜃 0 −sin𝜃 00 1 0 0

sin𝜃 0 cos𝜃 00 0 0 1

]


61

Untuk lebih memahami matrik rotasi salib sumbu dengan sumbu Y sebagai

porosnya, maka perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 3.8:

Akan dicari koordinat titik 𝐴′ jika koordinat titik A(10,3,4) dan salib-salib

sumbu dirotasikan sejauh 30° diukur dari sumbu Z+ dengan sumbu Y sebagai

sumbu rotasinya. Koordinat homogen dari titik A(10,3,4) adalah Ah(10,3,4,1).

Karena salib-salib sumbu dirotasikan sejauh 30° diukur dari sumbu Z+ dengan

sumbu Y sebagai sumbu rotasinya, maka matrik rotasi dari salib-salib sumbunya

adalah

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑌 = [

cos 30° 0 − sin 30° 00 1 0 0

sin 30° 0 cos 30° 00 0 0 1

]

=

[ √3

2⁄ 0 −1

2⁄ 0

0 1 0 0

12⁄ 0 √3

2⁄ 0

0 0 0 1]

Andaikan A′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) adalah koordinat titik A(10,3,4) terhadap salib

sumbu yang telah dirotasikan sejauh 30° diukur dari sumbu Z+ dengan sumbu

Y sebagai sumbu rotasinya. Maka koordinat Ah′ adalah:

[

𝑥′𝑦′

𝑧′1

] =

[ √3

2⁄ 0 −1

2⁄ 0

0 1 0 0

12⁄ 0 √3

2⁄ 0

0 0 0 1]

[

10341

]


62

= [

5√3 − 23

5 − 2√31

]

Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik Ah′ adalah Ah

′ (5√3 −

2,3,5 − 2√3, 1) dan merupakan koordinat homogen dari titik A′(5√3 − 2,3,5 −

2√3).

2. Matrik Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu Z

Pada bab II subbab D diperoleh persamaan

𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin𝜃

𝑦′ = −𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos𝜃

𝑧′ = 𝑧

Jika persamaan diatas ditulis dalam bentuk operasi matrik maka diperoleh

[𝑥′𝑦′

𝑧′

] = [cos𝜃 sin𝜃 0−sin𝜃 cos𝜃 0

0 0 1] . [

𝑥𝑦𝑧]

Maka matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu 𝑍 adalah

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍 = [cos𝜃 sin𝜃 0−sin𝜃 cos𝜃 0

0 0 1]

Karena pada tulisan ini akan digunakan koordinat homogen, maka matrik rotasi

dari koordinat homogen dari titik Ah(𝑥, 𝑦, 𝑧, 1) adalah

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍 = [

cos𝜃 sin𝜃 0 0−sin𝜃 cos𝜃 0 0

0 0 1 00 0 0 1

]


63

Untuk lebih memahami matrik rotasi salib sumbu dengan sumbu Y sebagai

porosnya, maka perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 3.9:

Akan dicari koordinat titik 𝐴′ jika koordinat titik A(2,−1, −4) dan salib-

salib sumbu dirotasikan sejauh 45° diukur dari sumbu X+ dengan sumbu Z

sebagai sumbu rotasinya. Koordinat homogen dari titik A(2,−1,−4) adalah

Ah(2, −1,−4,1). Karena salib-salib sumbu dirotasikan sejauh 45° diukur dari

sumbu X+ dengan sumbu Z sebagai sumbu rotasinya, maka matrik rotasi dari

salib-salib sumbunya adalah

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍 = [

cos 45° sin 45° 0 0−sin 45° cos 45° 0 0

0 0 1 00 0 0 1

]

= [

1 1 0 0−1 1 0 00 0 1 00 0 0 1

]

Andaikan A′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) adalah koordinat titik A(2,−1, −4) terhadap salib

sumbu yang telah dirotasikan sejauh 45° diukur dari sumbu X+ dengan sumbu

Z sebagai sumbu rotasinya. Maka Ah′ adalah:

[

𝑥′𝑦′

𝑧′1

] = [

1 1 0 0−1 1 0 00 0 1 00 0 0 1

] [

2−1−41

]

= [

1−3−41

]


64

Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik Ah′ adalah

Ah′ (1, −3,−4,1) dan merupakan koordinat homogen dari titik A′(3,1, −4).

Setelah kita memahami tentang koordinat hasil proyeksi perspektif dan

transformasi salib sumbu yang berupa translasi, rotasi dengan sumbu Z sebagai

poros, dan rotasi dengan sumbu Y, maka kita akan mempelajari matrik perspektif.

Dalam pembahasan mengenai matrik perspektif, akan dibagi dalam beberapa kasus.

Berikut ini merupakan pembahasan mengenai matrik perspektif.

D. Matrik Perspektif

Matrik perspektif adalah suatu matrik yang berguna untuk mendapatkan titik

hasil proyeksi perspektif dari suatu titik yang diketahui. Titik hasil proyeksi

perspektif A′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) diperoleh dengan cara mengalikan matrik perspektif dengan

titik A(𝑥, 𝑦, 𝑧).

1. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi P(𝑥𝑝, 0,0) dan bidang proyeksi

𝑥 = 𝑘

Ambil sembarang titik A(𝑥, 𝑦, 𝑧), maka koordinat homogen dari titik

tersebut adalah A(𝑥, 𝑦, 𝑧, 1). Koordinat yang merupakan hasil proyeksi

perspektif titik A adalah A′ (𝑘,𝑦(𝑥𝑝−𝑘)


𝑥𝑝−𝑥). Koordinat homogen dari A′

adalah Ah′ (𝑘,

𝑦(𝑥𝑝−𝑘)


𝑥𝑝−𝑥, 1) ∼ Ah

′ (𝑘(𝑥𝑝 − 𝑥), 𝑦(𝑥𝑝 − 𝑘), 𝑧(𝑥𝑝 − 𝑘),

(𝑥𝑝 − 𝑥))Jika dipandang sebagai matrik, maka A′ dapat diperoleh dari perkalian


65

suatu matrik berordo 4 × 4 dengan titik A. Misalkan matrik tersebut adalah

matrik 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠 = [

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4

𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4

𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4

𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4

]. Maka

[ 𝑘(𝑥𝑝 − 𝑥)

𝑦(𝑥𝑝 − 𝑘)

𝑧(𝑥𝑝 − 𝑘)

(𝑥𝑝 − 𝑥) ]

= [

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4

𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4

𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4

𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4

] . [

𝑥𝑦𝑧1

]

[ 𝑘(𝑥𝑝 − 𝑥)

𝑦(𝑥𝑝 − 𝑘)

𝑧(𝑥𝑝 − 𝑘)

(𝑝 − 𝑥) ]

= [

𝑥. 𝑎1 + 𝑦. 𝑎2 + 𝑧. 𝑎3 + 𝑎4

𝑥. 𝑏1 + 𝑦. 𝑏2 + 𝑧. 𝑏3 + 𝑏4

𝑥. 𝑐1 + 𝑦. 𝑐2 + 𝑧. 𝑐3 + 𝑐4

𝑥. 𝑑1 + 𝑦. 𝑑2 + 𝑧. 𝑑3 + 𝑑4

]

Kemudian diperoleh:

𝑎1 = −𝑘; 𝑎2 = 0; 𝑎3 = 0; 𝑎4 = 𝑘𝑥𝑝

𝑏1 = 0; 𝑏2 = 𝑥𝑝 − 𝑘; 𝑏3 = 0; 𝑏4 = 0

𝑐1 = 0; 𝑐2 = 0; 𝑐3 = 𝑥𝑝 − 𝑘; 𝑐4 = 0

𝑑1 = −1; 𝑑2 = 0; 𝑑3 = 0; 𝑑4 = 𝑥𝑝

Jadi matrik perspektif dari titik A jika koordinat titik proyeksi P(𝑥𝑝, 0,0)

dan bidang proyeksi 𝑥 = 𝑘 adalah:

𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠 =

[ −𝑘 0 0 𝑘𝑥𝑝

0 𝑥𝑝 − 𝑘 0 0

0 0 𝑥𝑝 − 𝑘 0

−1 0 0 𝑥𝑝 ]

Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi

P(𝑥𝑝, 0,0) dan bidang proyeksi 𝑥 = 𝑘, maka perhatikanlah contoh berikut ini.


66

Contoh 3.10:

Suatu benda yang berbentuk segitiga jika titik-titik sudut dari benda tersebut

memiliki koordinat (−3,0,0), (−3,4,0) dan (−9

2, 2,5). Benda tersebut akan

dilukiskan di bidang proyeksi jika koordinat titik proyeksinya berada di titik

𝑃(5,0,0) dan persamaan bidang proyeksinya adalah 𝑥 = 2. Koordinat homogen

dari titik-titik sudut benda tersebut adalah Ah(−3,0,0,1), Bh(−3,4,0,1),

Ch (−9

2, 2,5,1). Karena koordinat titik proyeksinya adalah P(5,0,0) dan

persamaan bidang proyeksinya adalah 𝑥 = 2, maka matrik perspektifnya adalah

𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠 = [

−2 0 0 100 3 0 00 0 3 0

−1 0 0 5

]

Koordinat homogen proyeksi perspektif dari titik-titik sudut segi tiga ABC

adalah.

Ah′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. Ah

= [

−2 0 0 100 3 0 00 0 3 0

−1 0 0 5

] . [

−3001

]

= [

16008

]~ [

2001

]

Ch′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. Ch

= [

−2 0 0 100 3 0 00 0 3 0

−1 0 0 5

] .

[ −

92⁄

251 ]

=

[

19615

192⁄ ] ~

[

212

19⁄

3019⁄

1 ]

Bh′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. Bh

= [

−2 0 0 100 3 0 00 0 3 0

−1 0 0 5

] . [

−3401

]


67

= [

161208

]~ [

23

2⁄

01

]

Berdasaran perhitungan di atas diperoleh titik Ah′ (2,0,0,1),

Bh′ (2,

3

2, 0,1) , Ch

′ (2,12

19,30

19, 1) yang masing-masing merupakan koordinat

homogen dari A′(2,0,0), B′ (2,3

2, 0) , C′ (2,

12

19,30

19). Jadi titik-titik sudut hasil

proyeksi perspektif dari segitiga ABC memiliki koordinat A′(2,0,0),

B′ (2,3

2, 0) , C′ (2,

12

19,30

19).

Setelah diperoleh koordinat hasil proyeksi perspektif dari masing-masing

titik sudut segitiga, maka selanjutnya akan dilukiskan segitiga tersebut ke bidang

proyeksi 𝑥 = 2. Kita telah memperoleh titik-titik A′(2,0,0), B′ (2,3

2, 0) ,

C′ (2,12

19,30

19) merupakan hasil proyeksi perspektif dari titik-titik sudut segitiga.

Karena bidang proyeksinya adalah 𝑥 = 2, maka komponen X pada setiap

koordinat hasil proyeksi perspektif dapat diabaikan, komponen y dalam

koordinat ruang dari hasil proyeksi perspektif suatu titik menjadi komponen x

dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen z dalam koordinat ruang dari

hasil proyeksi perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang

proyeksi. Maka diperoleh koordinat hasil proyeksi perspektif dari titik-titik sudut

segitiga dalam bidang proyeksi adalah A′(0,0), B′ (3

2, 0) , C′ (

12

19,30

19). Gambar

3.7 merupakan hasil proyeksi perspektif dari segitiga ABC yang dilukiskan di

bidang proyeksi 𝑥 = 2.


68

Gambar 3.7 Hasil Proyeksi perspektif Segitiga ABC di Bidang Proyeksi 𝑥 = 2

Setelah kita memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi

P(𝑥𝑝, 0,0) dan bidang proyeksi 𝑥 = 𝑘, selanjutnya kita akan mempelajari mengenai

matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi P(0, 𝑦𝑝, 0) dan bidang proyeksi 𝑦 =

𝑘. Berikut ini adalah pembahasan mengenai matrik perspektif jika koordinat

koordinat titik proyeksi P(0, 𝑦𝑝, 0) dan bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘.

2. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi P(0, 𝑦𝑝, 0) dan bidang proyeksi

𝑦 = 𝑘

Ambil sembarang titik A(𝑥, 𝑦, 𝑧), maka koordinat homogen dari titik

tersebut adalah A(𝑥, 𝑦, 𝑧, 1). Koordinat hasil proyeksi perspektif titik A

adalah A′ (𝑥(𝑦𝑝−𝑘)



𝑦𝑝−𝑦). Koordinat homogen dari A′ adalah

Ah′ (

𝑥(𝑦𝑝−𝑘)



𝑦𝑝−𝑦, 1) ∼ Ah

′ (x(𝑦𝑝 − k), k(𝑦𝑝 − y), z(𝑦𝑝 − k), (𝑦𝑝 − y)).


69

Jika dipandang sebagai matrik, maka 𝐴′ dapat diperoleh dari perkalian suatu

matrik berordo 4 × 4 dengan titik 𝐴. Misalkan matrik tersebut adalah matrik


𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4

𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4

𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4

𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4

]. Maka

[ 𝑥(𝑦𝑝 − 𝑘)

𝑘(𝑦𝑝 − 𝑦)

𝑧(𝑦𝑝 − 𝑘)

(𝑦𝑝 − 𝑦) ]

= [

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4

𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4

𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4

𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4

] . [

𝑥𝑦𝑧1

]

[ 𝑥(𝑦𝑝 − 𝑘)

𝑘(𝑦𝑝 − 𝑦)

𝑧(𝑦𝑝 − 𝑘)

(𝑦𝑝 − 𝑦) ]

= [

𝑥. 𝑎1 + 𝑦. 𝑎2 + 𝑧. 𝑎3 + 𝑎4

𝑥. 𝑏1 + 𝑦. 𝑏2 + 𝑧. 𝑏3 + 𝑏4

𝑥. 𝑐1 + 𝑦. 𝑐2 + 𝑧. 𝑐3 + 𝑐4

𝑥. 𝑑1 + 𝑦. 𝑑2 + 𝑧. 𝑑3 + 𝑑4

]

Kemudian diperoleh:

𝑎1 = 𝑦𝑝 − 𝑘; 𝑎2 = 0; 𝑎3 = 0; 𝑎4 = 0

𝑏1 = 0; 𝑏2 = −𝑘; 𝑏3 = 0; 𝑏4 = 𝑘𝑦𝑝

𝑐1 = 0; 𝑐2 = 0; 𝑐3 = 𝑦𝑝 − 𝑘; 𝑐4 = 0

𝑑1 = 0; 𝑑2 = −1; 𝑑3 = 0; 𝑑4 = 𝑦𝑝

Jadi matrik perspektif dari titik 𝐴 jika koordinat titik proyeksi P(0, 𝑦𝑝, 0)dan

bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘 adalah:


[ 𝑦𝑝 − 𝑘 0 0 0

0 −𝑘 0 𝑘𝑦𝑝

0 0 𝑦𝑝 − 𝑘 0

0 −1 0 𝑦𝑝 ]


70


P(0, 𝑦𝑝, 0) dan bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘, maka perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 3.11:

Suatu benda yang berbentuk segitiga yang titik-titik sudutnya memiliki

koordinat (1,1,1), (−3,1,1) dan (−1,1,4). Akan dilukiskan benda tersebut jika

koordinat titik proyeksinya berada di titik 𝑃(0,7,0) dan persamaan bidang

proyeksinya adalah 𝑦 = 3. Koordinat homogen dari titik-titik sudut benda

tersebut adalah 𝐴ℎ(1,1,1,1), 𝐵ℎ(−3,1,1,1), 𝐶ℎ(−1,1,4,1). Karena koordinat

titik proyeksinya adalah 𝑃(0,7,0) dan persamaan bidang proyeksinya adalah 𝑦 =

3, maka matrik perspektifnya adalah


4 0 0 00 −3 0 210 0 4 00 −1 0 7

]

Koordinat homogen proyeksi perspektif titik-titik sudut dari segitiga ABC

adalah.

𝐴ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐴ℎ

= [

4 0 0 00 −3 0 210 0 4 00 −1 0 7

] . [

1111

]

= [

41846

]~

[ 2

3⁄

32

3⁄

1 ]

𝐶ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐶ℎ

= [

4 0 0 00 −3 0 210 0 4 00 −1 0 7

] . [

−1141

]

= [

−418166

]~

[ −

23⁄

38

3⁄

1 ]


71

𝐵ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐵ℎ

= [

4 0 0 00 −3 0 210 0 4 00 −1 0 7

] . [

−3111

]

= [

−121846

]~ [

−23

23⁄

1

]

Dari perhitungan di atas diperoleh titik 𝐴ℎ′ (

2

3, 3,

2

3, 1) ,

𝐵ℎ′ (−2,3,

2

3, 1) , 𝐶ℎ

′ (−2

3, 3,

8

3, 1) yang masing-masing merupakan koordinat

homogen dari titik-titik sudut hasil proyeksi segitiga 𝐴𝐵𝐶. Jadi titik-titik sudut

hasil proyeksi dari segitiga 𝐴𝐵𝐶 memiliki koordinat 𝐴′ (2

3, 3,

2

3) , 𝐵′ (−2,3,

2

3) ,

𝐶′ (−2

3, 3,

8

3).

Setelah diperoleh koordinat hasil proyeksi dari masing-masing titik sudut

segitiga, maka selanjutnya akan dilukiskan segitiga tersebut ke bidang proyeksi

𝑦 = 3. Kita telah memperoleh titik-titik 𝐴′ (2

3, 3,

2

3) , 𝐵′ (−2,3,

2

3) ,

𝐶′ (−2

3, 3,

8

3) merupakan hasil proyeksi dari titik-titik sudut segitiga. Karena

bidang proyeksinya adalah 𝑦 = 3, maka komponen 𝑦 pada setiap koordinat hasil

proyeksi dapat diabaikan, komponen 𝑧 dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi

suatu titik menjadi komponen 𝑥 dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen

𝑥 dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi suatu titik menjadi komponen y

dalam koordinat bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat hasil proyeksi dari

titik-titik sudut segitiga dalam bidang proyeksi adalah 𝐴′ (2

3,2

3) , 𝐵′ (−2,

2

3) ,


72

𝐶′ (−2

3,8

3). Gambar 3.8 merupakan hasil proyeksi dari segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang

dilukiskan di bidang proyeksi 𝑦 = 3.

Gambar 3.8 Hasil Proyeksi Segitiga ABC di Bidang Proyeksi 𝑦 = 3

Setelah kita memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi

P(0, 𝑦𝑝, 0) dan bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘, selanjutnya kita akan mempelajari matrik

perspektif jika koordinat titik proyeksi 𝑃(0,0, 𝑧𝑝) dan bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘.

Berikut ini pembahasan matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi adalah

𝑃(0,0, 𝑧𝑝) dan bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘.

3. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi 𝑃(0,0, 𝑧𝑝) dan bidang proyeksi

𝑧 = 𝑘.

Ambil sembarang titik 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧), maka koordinat homogen dari titik

tersebut adalah 𝐴ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 1). Koordinat hasil proyeksi dari titik 𝐴 adalah

𝐴′ (𝑥(𝑧𝑝−𝑘)


𝑧𝑝−𝑧, 𝑘). Koordinat homogen dari 𝐴′ adalah

Ah′ (

𝑥(𝑧𝑝−𝑘)


𝑧𝑝−𝑧, 𝑘, 1) ∼ Ah

′ (𝑥(𝑧𝑝 − 𝑘), 𝑦(𝑧𝑝 − 𝑘), 𝑘(𝑧𝑝 − 𝑧), (𝑧𝑝 − 𝑧)).

Jika dipandang sebagai matrik, maka 𝐴 dapat diperoleh dari perkalian suatu


73

matrik berordo 4 x 4 dengan titik 𝐴. Misalkan matrik tersebut adalah matrik


𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4

𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4

𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4

𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4

]. Maka

[ x(𝑧𝑝 − k)

y(𝑧𝑝 − k)

k(𝑧𝑝 − z)

(𝑧𝑝 − z) ]

= [

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4

𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4

𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4

𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4

] . [

𝑥𝑦𝑧1

]

[ x(𝑧𝑝 − k)

y(𝑧𝑝 − k)

k(𝑧𝑝 − z)

(𝑧𝑝 − z) ]

= [

𝑥. 𝑎1 + 𝑦. 𝑎2 + 𝑧. 𝑎3 + 𝑎4

𝑥. 𝑏1 + 𝑦. 𝑏2 + 𝑧. 𝑏3 + 𝑏4

𝑥. 𝑐1 + 𝑦. 𝑐2 + 𝑧. 𝑐3 + 𝑐4

𝑥. 𝑑1 + 𝑦. 𝑑2 + 𝑧. 𝑑3 + 𝑑4

]

Kemudian diperoleh:

𝑎1 = 𝑧𝑝 − 𝑘; 𝑎2 = 0; 𝑎3 = 0; 𝑎4 = 0

𝑏1 = 0; 𝑏2 = 𝑧𝑝 − 𝑘; 𝑏3 = 0; 𝑏4 = 𝑧𝑝

𝑐1 = 𝑧𝑝 − 𝑘; 𝑐2 = 0; 𝑐3 = −𝑘; 𝑐4 = 𝑘𝑧𝑝

𝑑1 = 0; 𝑑2 = 0; 𝑑3 = −1; 𝑑4 = 𝑧𝑝

Jadi matrik perspektif dari titik 𝐴 jika koordinat titik proyeksi 𝑃(0,0, 𝑧𝑝)dan

bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘 adalah:


[ 𝑧𝑝 − 𝑘 0 0 0

0 𝑧𝑝 − 𝑘 0 0

0 0 −𝑘 𝑘𝑧𝑝

0 0 −1 𝑧𝑝 ]


𝑃(0,0, 𝑧𝑝) dan bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘, maka perhatikanlah contoh berikut ini.


74

Contoh 3.12:

Suatu benda yang berbentuk segiempat titik-titik sudut dari benda tersebut

memiliki koordinat (−1,2,0), (2,2,0), (2, −2,−3) dan (−1,−2,−3). Akan

dilihat lukisan dari benda tersebut jika koordinat titik proyeksinya berada di titik

𝑃(0,0,3) dan persamaan bidang proyeksinya adalah 𝑧 = 1. Koordinat homogen

dari titik-titik sudut benda adalah Ah(−1,2,0,1), Bh(2,2,0,1), Ch(2, −2,−3,1),

Dh(−1,−2,−3,1). Karena koordinat titik proyeksinya adalah P(0,0,3) dan

persamaan bidang proyeksinya adalah 𝑧 = 1, maka matrik perspektifnya adalah


2 0 0 00 2 0 00 0 −1 30 0 −1 3

]

Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut segi empat

ABCD adalah.


= [

2 0 0 00 2 0 00 0 −1 30 0 −1 3

] . [

−1201

]

= [

−2433

]~

[ −

23⁄

43⁄

11 ]


= [

2 0 0 00 2 0 00 0 −1 30 0 −1 3

] . [

2−2−31

]

= [

4−466

]~

[

23⁄

−23⁄

11 ]

𝐵ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐿ℎ

= [

2 0 0 00 2 0 00 0 −1 30 0 −1 3

] . [

2201

]

𝐷ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐷ℎ

= [

2 0 0 00 2 0 00 0 −1 30 0 −1 3

] . [

−1−2−31

]


75

= [

4433

]~

[ 4

3⁄

43⁄

11 ]

= [

−2−466

]~

[ −

13⁄

−23⁄

11 ]

Dari perhitungan di atas diperoleh titik 𝐴ℎ′ (−

2

3,4

3, 1,1) ,

𝐵ℎ′ (

4

3,4

3, 1,1) , 𝐶ℎ

′ (2

3, −

2

3, 1,1) , 𝐷ℎ

′ (−1

3, −

2

3, 1,1) yang masing-masing

merupakan koordinat homogen dari titik-titik sudut hasil proyeksi perspektif

segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷. Jadi titik-titik sudut hasil proyeksi perspektif dari segiempat

𝐴𝐵𝐶𝐷 memiliki koordinat 𝐴′ (−2

3,4

3, 1) , 𝐵′ (

4

3,4

3, 1) , 𝐶′ (

2

3, −

2

3, 1) ,

𝐷′ (−1

3, −

2

3, 1).

Setelah diperoleh koordinat hasil proyeksi perspektif dari masing-masing

titik sudut segiempat, maka selanjutnya akan dilukiskan segiempat tersebut ke

bidang proyeksi 𝑧 = 1. Kita telah memperoleh titik-titik 𝐴′ (−2

3,4

3, 1) ,

𝐵′ (4

3,4

3, 1) , 𝐶′ (

2

3, −

2

3, 1) , 𝐷′ (−

1

3, −

2

3, 1) merupakan hasil proyeksi

perspektif dari titik-titik sudut segiempat. Karena bidang proyeksinya adalah

𝑧 = 1, maka komponen 𝑧 pada setiap koordinat hasil proyeksi perspektif dapat

diabaikan, komponen 𝑥 dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi perspektif

suatu titik menjadi komponen 𝑥 dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen

𝑦 dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi perspektif suatu titik menjadi

komponen y dalam koordinat bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat hasil

proyeksi perspektif dari titik-titik sudut segitiga dalam bidang proyeksi adalah

𝐴′ (−2

3,4

3) , 𝐵′ (

4

3,4

3) , 𝐶′ (

2

3, −

2

3) , 𝐷′ (−

1

3, −

2

3). Gambar 3.9 merupakan hasil


76

proyeksi perspektif dari segi empat ABCD yang dilukiskan di bidang proyeksi

𝑦 = 3.

Gambar 3.9 Gambar Perspektif Segitiga 𝐴𝐵𝐶 di Bidang Proyeksi 𝑧 = 1

Selanjutnya kita akan menentukan matrik perspektif jika koordinat titik

proyeksi tidak berada pada sumbu 𝑋, sumbu 𝑌 atau sumbu 𝑍 tetapi bidang proyeksi

memiliki persamaan 𝑥 = 𝑘, 𝑦 = 𝑘 atau 𝑧 = 𝑘. Ada beberapa langkah untuk

mencari matrik perspektif dari suatu titik jika titik proyeksi tidak berada pada

sumbu 𝑋, sumbu 𝑌, atau sumbu 𝑍. Langkah-langkah tersebut yaitu:

1. Tentukan matrik translasi salib sumbu dengan ketentuan (𝑀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠):

a. Jika bidang proyeksi memiliki persamaan 𝑥 = 𝑘, maka salib sumbu

ditranslasikan ke titik (0, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝).

b. Jika bidang proyeksi memiliki persamaan 𝑦 = 𝑘, maka salib sumbu

ditranslasikan ke titik (𝑥𝑝, 0, 𝑧𝑝)

c. Jika bidang proyeksi memiliki persamaan 𝑧 = 𝑘, maka salib sumbu

ditranslasikan ke titik (𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 0)


77

2. Kemudian dengan menggunakan salib-salib sumbu yang baru, tentukan

matrik perspektif berdasarkan persamaan bidangnya. (𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠)

3. Tentukan matrik perspektif dengan rumus 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝑀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 .

Berikut ini pembahasan tentang matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi

tidak berada pada sumbu 𝑋, sumbu 𝑌 atau sumbu 𝑍 tetapi bidang proyeksi memiliki

persamaan 𝑥 = 𝑘, 𝑦 = 𝑘 atau 𝑧 = 𝑘.

4. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan bidang

proyeksi 𝑥 = 𝑘

Dalam kasus ini, diperlukan translasi salib sumbu sedemikian sehingga

koordinat 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) menjadi 𝑃′(𝑥𝑝, 0,0). Maka salib sumbu ditranslasikan

ke titik (0, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) sehingga matrik translasinya adalah


1 0 0 00 1 0 −𝑦𝑝

0 0 1 −𝑧𝑝

0 0 0 1

]

Gambar 3.10 Translasi salib sumbu jika bidang proyeksi 𝑥 = 𝑘

Perhatikan Gambar 3.10. Pada Gambar 3.10, titik asal 𝑂(0,0,0)

ditranslasikan ke titik (0, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) sehingga koordinat titik perspektif akan


78

berubah dari 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) menjadi 𝑃′(𝑥𝑝, 0,0) akibat dari translasi salib sumbu

yang telah dilakukan.

Karena bidang proyeksinya memiliki persamaan 𝑥 = 𝑘, maka matrik

perspektif yang bersesuian adalah:


[ −𝑘 0 0 𝑘𝑥𝑝

0 𝑥𝑝 − 𝑘 0 0

0 0 𝑥𝑝 − 𝑘 0

−1 0 0 𝑥𝑝 ]

Matrik perspektifnya jika koordinat titik proyeksi 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan bidang

proyeksi 𝑥 = 𝑘 adalah:

𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠′ =

[ −𝑘 0 0 𝑘𝑥𝑝

0 𝑥𝑝 − 𝑘 0 0

0 0 𝑥𝑝 − 𝑘 0

−1 0 0 𝑥𝑝 ]

. [

1 0 0 00 1 0 −𝑦𝑝

0 0 1 −𝑧𝑝

0 0 0 1

]


[ −𝑘 0 0 𝑘𝑥𝑝

0 𝑥𝑝 − 𝑘 0 −𝑦𝑝(𝑥𝑝 − 𝑘)

0 0 𝑥𝑝 − 𝑘 −𝑧𝑝(𝑥𝑝 − 𝑘)

−1 0 0 𝑥𝑝 ]


𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan bidang proyeksi 𝑥 = 𝑘, maka perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 3.13:

Suatu benda yang berbentuk segiempat titik-titik sudutnya memiliki

koordinat (−4,3,1), (−4,1,1), (−6,1,1) dan (−6,3,1). Akan dilukiskan benda

tersebut jika koordinat titik proyeksinya berada di titik 𝑃(3,2, −1) dan


79

persamaan bidang proyeksinya adalah 𝑥 = 1. Koordinat homogen dari titik-titik

sudut benda tersebut adalah 𝐴ℎ(−4,3,1,1), 𝐵ℎ(−4,1,1,1), 𝐶ℎ(−6,1,1,1),

𝐷ℎ(−6,3,1,1). Karena koordinat titik proyeksinya adalah 𝑃(3,2, −1) dan

persamaan bidang proyeksinya adalah 𝑥 = 1, maka matrik perspektifnya adalah


−1 0 0 30 2 0 −40 0 2 2

−1 0 0 3

]

Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut segi empat

ABCD adalah.


= [

−1 0 0 30 2 0 −40 0 2 2

−1 0 0 3

] . [

−4311

]

= [

7247

]~

[

12

7⁄

47⁄

1 ]


= [

−1 0 0 30 2 0 −40 0 2 2

−1 0 0 3

] . [

−6111

]

= [

9−249

]~

[

1

−29⁄

49⁄

1 ]


= [

−1 0 0 30 2 0 −40 0 2 2

−1 0 0 3

] . [

−4111

]

= [

7−247

]~

[

1

−23⁄

47⁄

1 ]


= [

−1 0 0 30 2 0 −40 0 2 2

−1 0 0 3

] . [

−6311

]

= [

9249

]~

[

12

9⁄

49⁄

1 ]

Dari perhitungan di atas diperoleh titik 𝐴ℎ′ (1,

2

7,4

7, 1) ,

𝐵ℎ′ (1,−

2

3,4

7, 1) , 𝐶ℎ

′ (1,−2

9,4

9, 1) , 𝐷ℎ

′ (1,−10

9,4

9, 1) yang masing-masing

merupakan koordinat homogen dari titik-titik sudut gambar perspektif dari


80

segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷. Jadi titik-titik sudut gambar perspektif dari segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷

memiliki koordinat 𝐴′ (1,2

7,4

7) , 𝐵′ (1, −

2

3,4

7) , 𝐶′ (1,−

2

9,4

9) , 𝐷′ (1,

2

9,4

9).

Setelah diperoleh koordinat gambar perspektif dari masing-masing titik

sudut segiempat, maka selanjutnya akan dilukiskan segiempat tersebut ke bidang

proyeksi 𝑥 = 1. Kita telah memperoleh titik-titik 𝐴′ (1,2

7,4

7) , 𝐵′ (1,−

2

3,4

7) ,

𝐶′ (1,−2

9,4

9) , 𝐷′ (1,

2

9,4

9) merupakan gambar perspektif dari titik-titik sudut

segiempat. Karena bidang proyeksinya adalah 𝑥 = 1, maka komponen 𝑥 pada

setiap koordinat gambar perspektif dapat diabaikan, komponen 𝑦 dalam

koordinat ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen 𝑥 dalam

koordinat bidang proyeksi dan komponen 𝑦 dalam koordinat ruang dari gambar

perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang proyeksi.

Maka diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik sudut segitiga dalam

bidang proyeksi adalah 𝐴′ (2

7,4

7) , 𝐵′ (−

2

3,4

7) , 𝐶′ (−

2

9,4

9) , 𝐷′ (

2

9,4

9). Gambar

3.11 merupakan gambar perspektif dari segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷 yang dilukiskan di

bidang proyeksi 𝑥 = 1.

Gambar 3.11 Hasil Proyeksi Perspektif Segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷 di Bidang Proyeksi 𝑥 = 1


81


proyeksi 𝑦 = 𝑘


koordinat 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝)menjadi 𝑃′(0, 𝑦𝑝, 0). Maka salib sumbu ditranslasikan ke

titik (𝑥𝑝, 0, 𝑧𝑝) sehingga matrik translasinya adalah:


1 0 0 −𝑥𝑝

0 1 0 00 0 1 −𝑧𝑝

0 0 0 1

]

Gambar 3.12 Translasi salib sumbu jika bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘


ditranslasikan ke titik (𝑥𝑝, 0, 𝑧𝑝) sehingga koordinat titik perspektif akan

berubah dari 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) menjadi 𝑃′(0, 𝑦𝑝, 0) akibat dari translasi salib sumbu


Karena bidang proyeksinya memiliki persamaan 𝑦 = 𝑘, maka matrik



[ 𝑦𝑝 − 𝑘 0 0 0


0 0 𝑦𝑝 − 𝑘 0

0 −1 0 𝑦𝑝 ]


82

Matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan bidang

proyeksi 𝑦 = 𝑘 adalah:


[ 𝑦𝑝 − 𝑘 0 0 0


0 0 𝑦𝑝 − 𝑘 0

0 −1 0 𝑦𝑝 ]

. [

1 0 0 −𝑥𝑝

0 1 0 00 0 1 −𝑧𝑝

0 0 0 1

]


[ 𝑦𝑝 − 𝑘 0 0 −𝑥𝑝(𝑦𝑝 − 𝑘)


0 0 𝑦𝑝 − 𝑘 −𝑧𝑝(𝑦𝑝 − 𝑘)

0 −1 0 𝑦𝑝 ]


𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘, maka perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 3.14

Sebuah piramida di Mesir berbentuk limas segiempat dengan titik

(0,2,2), (0, −2,2), (0, −2, −2), (0,2, −2) merupakan titik-titik sudut alas

piramida dan titik (0,8,0) merupakan puncak dari piramida. Akan dilukiskan

piramida tersebut jika koordinat titik proyeksinya berada di titik 𝑃(0,7,3) dan

persamaan bidang proyeksinya adalah 𝑦 = 4. Koordinat homogen dari titik-titik

sudut piramida adalah 𝐴ℎ(0,2,2,1), 𝐵ℎ(0, −2,2,1), 𝐶ℎ(0, −2,−2,1),

𝐷ℎ(0,2, −2,1) dan 𝑇ℎ(0,8,0,1). Karena koordinat titik proyeksinya adalah

𝑃(4,7,3) dan persamaan bidang proyeksinya adalah 𝑦 = 4, maka matrik

perspektifnya adalah


3 0 0 −160 −4 0 280 0 3 −90 −1 0 7

]


83

Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut piramida

T.ABCD adalah:


= [

3 0 0 −160 −4 0 280 0 3 −90 −1 0 7

] . [

0221

]

= [

−1620−35

]~

[ −

165⁄

4

−35⁄

1 ]


= [

3 0 0 −160 −4 0 280 0 3 −90 −1 0 7

] . [

0−2−21

]

= [

−1636

−159

]~

[ −

169⁄

4

−53⁄

1 ]


= [

3 0 0 −160 −4 0 280 0 3 −90 −1 0 7

] . [

0−221

]

= [

−1636−39

]~

[ −

169⁄

4

−13⁄

1 ]


= [

3 0 0 −160 −4 0 280 0 3 −90 −1 0 7

] . [

02

−21

]

= [

−1620

−155

]~

[ −

165⁄

4−31 ]

𝑇ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝑇ℎ

= [

3 0 0 −160 −4 0 280 0 3 −90 −1 0 7

] . [

8001

]

= [

828−97

]~

[

87⁄

4

−97⁄

1 ]


16

5, 4, −

3

5, 1) ,

𝐵ℎ′ (−

16

9, 4, −

1

3, 1) , 𝐶ℎ

′ (−16

9, 4, −

5

3, 1) , 𝐷ℎ

′ (−16

5, 4, −3,1) , 𝑇ℎ

′ (8

7, 4, −

9

7, 1)


84

yang masing-masing merupakan koordinat homogen dari titik-titik sudut hasil

proyeksi perspektif piramida. Jadi titik-titik sudut gambar perspektif dari alas

piramida tersebut adalah memiliki koordinat 𝐴′ (−16

5, 4, −

3

5) ,

𝐵′ (−16

9, 4, −

1

3) , 𝐶′ (−

16

9, 4, −

5

3) , 𝐷′ (−

16

5, 4, −3) dan titik puncak dari

gambar perspektif piramida tersebut adalah 𝑇′ (8

7, 4, −

9

7).

Selanjutnya akan dilukiskan piramida tersebut ke bidang proyeksi 𝑦 = 4.

Karena bidang proyeksinya adalah 𝑦 = 4, maka komponen 𝑦 pada setiap

koordinat gambar perspektif dapat diabaikan, komponen 𝑧 dalam koordinat

ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen 𝑥 dalam koordinat

bidang proyeksi dan komponen 𝑥 dalam koordinat ruang dari gambar perspektif

suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang proyeksi. Maka

diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik sudut alas piramida dalam

bidang proyeksi adalah 𝐴′ (−3

5, −

16

5) , 𝐵′ (−

1

3, −

16

9) , 𝐶′ (−

5

3, −

16

9) ,

𝐷′ (−3,−16

5) dan koordinat titik puncak gambar perspektif dari piramida adalah

𝑇′ (−9

7,8

7). Gambar 3.13 merupakan gambar perspektif dari piramida yang

dilukiskan di bidang proyeksi 𝑦 = 4.

Gambar 3.13 Gambar Perspektif Piramida 𝑇. 𝐴𝐵𝐶𝐷 di Bidang Proyeksi 𝑦 = 4


85


proyeksi 𝑧 = 𝑘.


koordinat 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝)menjadi 𝑃′(0,0, 𝑧𝑝). Maka salib sumbu harus

ditranslasikan ke titik (𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 0) sehingga matrik translasinya adalah:


1 0 0 −𝑥𝑝

0 1 0 −𝑦𝑝

0 0 1 00 0 0 1

]

Gambar 3.14 Translasi salib sumbu jika bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘


ditranslasikan ke titik (𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 0) sehingga koordinat titik perspektif akan

berubah dari 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) menjadi 𝑃′(0,0, 𝑧𝑝) akibat dari translasi salib sumbu


Karena bidang proyeksinya memiliki persamaan 𝑧 = 𝑘, maka matrik



[ 𝑧𝑝 − 𝑘 0 0 0

0 𝑧𝑝 − 𝑘 0 0


0 0 −1 𝑧𝑝 ]


86

Matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan bidang proyeksi

𝑧 = 𝑘 adalah:


[ 𝑧𝑝 − 𝑘 0 0 0

0 𝑧𝑝 − 𝑘 0 0


0 0 −1 𝑧𝑝 ]

. [

1 0 0 −𝑥𝑝

0 1 0 −𝑦𝑝

0 0 1 00 0 0 1

]


[ 𝑧𝑝 − 𝑘 0 0 −𝑥𝑝(𝑧𝑝 − 𝑘)

0 𝑧𝑝 − 𝑘 0 −𝑦𝑝(𝑧𝑝 − 𝑘)


0 0 −1 𝑧𝑝 ]


𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘, maka perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 3.15

Sebuah prisma 𝐴𝐵𝐶. 𝐷𝐸𝐹 yang titik-titik sudutnya berada pada koordinat

𝐴(2,4, −5), 𝐵(−2,4, −5), 𝐶(0,4, −2), 𝐷(2,−2,−5), 𝐸(−2,−2,−5),

𝐹(0, −2, −2). Akan dilukiskan prisma 𝐴𝐵𝐶.𝐷𝐸𝐹 jika koordinat titik proyeksi

adalah (3,1,5) dan 𝑧 = 1 merupakan persamaan bidang proyeksinya. Koordinat

homogen dari titik-titik sudut prisma 𝐴𝐵𝐶. 𝐷𝐸𝐹 adalah 𝐴ℎ(2,4,−5,1),

𝐵ℎ(−2,4,−5,1), 𝐶ℎ(0,4, −2,1), 𝐷ℎ(2, −2,−5,1), 𝐸ℎ(−2,−2, −5,1),

𝐹ℎ(0, −2,−2,1). Karena koordinat titik proyeksinya adalah (3,1,5) dan

persamaan bidang proyeksinya adalah 𝑧 = 1, maka matrik perspektifnya adalah


4 0 0 −120 4 0 −40 0 −1 50 0 −1 5

]


87

Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut pada prisma

dapat dicari dengan cara.


= [

4 0 0 −120 4 0 −40 0 −1 50 0 −1 5

] . [

24

−51

]

= [

−4121010

]~

[ −

25⁄

65⁄

11 ]


= [

4 0 0 −120 4 0 −40 0 −1 50 0 −1 5

] . [

2−2−51

]

= [

−4−121010

]~

[ −

25⁄

−65⁄

11 ]


= [

4 0 0 −120 4 0 −40 0 −1 50 0 −1 5

] . [

−24

−51

]

= [

−20121010

]~ [

−26

5⁄

11

]

𝐸ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐸ℎ

= [

4 0 0 −120 4 0 −40 0 −1 50 0 −1 5

] . [

−2−2−51

]

= [

−20−121010

]~ [

−2

−65⁄

11

]


= [

4 0 0 −120 4 0 −40 0 −1 50 0 −1 5

] . [

04

−21

]

= [

−121277

]~

[ −

127⁄

127⁄

11 ]

𝐹ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐹ℎ

= [

4 0 0 −120 4 0 −40 0 −1 50 0 −1 5

] . [

0−2−21

]

= [

−12−1279

]~

[ −

127⁄

−127⁄

11 ]


2

5,6

5, 1,1) , 𝐵ℎ

′ (−2,6

5, 1,1) ,

𝐶ℎ′ (−

12

7,12

7, 1,1) , 𝐷ℎ

′ (−2

5, −

6

5, 1,1) , 𝐸ℎ

′ (−2,−6

5, 1,1) 𝐹ℎ

′ (−12

7, −

12

7, 1,1)

yang masing-masing merupakan koordinat homogen hasil proyeksi perspektif

titik-titik sudut pada prisma. Jadi titik-titik sudut gambar perspektif dari prisma


88

tersebut memiliki koordinat 𝐴′ (−2

5,6

5, 1) , 𝐵′ (−2,

6

5, 1) , 𝐶′ (−

12

7,12

7, 1) ,

𝐷′ (−2

5, −

6

5, 1) , 𝐸′ (−2,−

6

5, 1) , 𝐹′ (−

12

7, −

12

7, 1).

Setelah diperoleh koordinat gambar perspektif dari masing-masing titik

sudut prisma 𝐴𝐵𝐶.𝐷𝐸𝐹, maka selanjutnya akan dilukiskan prisma tersebut ke

bidang proyeksi 𝑧 = 1. Karena bidang proyeksinya adalah 𝑧 = 1, maka

komponen 𝑧 pada setiap koordinat gambar perspektif dapat diabaikan,

komponen 𝑥 dalam koordinat ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi

komponen 𝑥 dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen 𝑦 dalam koordinat

ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat

bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik

sudut prisma 𝐴𝐵𝐶.𝐷𝐸𝐹 dalam bidang proyeksi adalah 𝐴′ (−2

5,6

5) , 𝐵′ (−2,

6

5) ,

𝐶′ (−12

7,12

7) , 𝐷′ (−

2

5, −

6

5) , 𝐸′ (−2,−

6

5) , 𝐹′ (−

12

7, −

12

7). Gambar 3.15

merupakan gambar perspektif dari prisma yang dilukiskan di bidang proyeksi

𝑧 = 1

Gambar 3.15 Gambar Perspektif Prisma 𝐴𝐵𝐶. 𝐷𝐸𝐹 di Bidang Proyeksi 𝑧 = 1


89

Selanjutnya kita akan membahas matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi

tidak berada pada sumbu 𝑋, sumbu 𝑌 atau sumbu 𝑍 dan bidang proyeksi memiliki

persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0. Ada beberapa langkah untuk mencari matrik

perspektif dari suatu titik jika titik proyeksi tidak berada pada sumbu 𝑋, sumbu 𝑌,

atau sumbu 𝑍 dan persamaan bidangnya berbentuk 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0.

Langkah-langkah tersebut yaitu:

1. Tentukan cosinus-cosinus arah dari bidang datar tersebut. Misalkan sudut-

sudut arahnya adalah 𝛼, 𝛽, dan 𝛾.

2. Tentukan sudut yang dibentuk oleh hasil proyeksi garis normal bidang datar

tersebut di bidang 𝑋𝑂𝑌 dengan sumbu 𝑋+. (𝜑)

3. Tentukan jarak titik asal ke bidang tersebut (𝑟).

4. Rotasikan salib-salib sumbu terhadab sumbu 𝑍 dengan sudut rotasinya

adalah sudut yang telah diperoleh pada langkah 2. Hal ini dilakukan agar

garis normal bidang berada pada bidang 𝑋′𝑂𝑍.

5. Tentukan matrik rotasi dari langkah 3. 𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍

6. Rotasikan salib-salib sumbu terhadab sumbu 𝑌′ dengan sudut rotasi sebesar

𝛾 dari sumbu 𝑍+. Hal ini dilakukan agar garis normal bidang berada pada

bidang berimpit pada sumbu 𝑍′, sehingga bidang datar tersebut memiliki

persamaan 𝑧′ = 𝑟.

7. Tentukan matrik rotasi pada langkah 6. 𝑀𝑟𝑜𝑡𝑌

8. Tentukan matrik rotasi totalnya dengan rumus

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑡𝑜𝑡 = 𝑀𝑟𝑜𝑡𝑌′ . 𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍


90

9. Tentukan koordinat homogen dari titik proyeksi pada salib-salib sumbu

yang telah dirotasikan pada langkah 4 dan langkah 6. (𝑃ℎ′(𝑥𝑝

′ , 𝑦𝑝′ , 𝑧𝑝

′ , 1))

10. Rotasi-rotasi yang telah dilakukan tadi mengakibatkan sumbu X’ menuju ke

bawah, akibatnya perlu dilakukan rotasi sejauh 90° dengan poros sumbu Z’.

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍′ = [

0 1 0 0−1 0 0 00 0 1 00 0 0 1

]

11. a) Jika 𝑥𝑝′ = 0 dan 𝑦𝑝

′ = 0, maka matrik perspektifnya diperoleh dengan

cara 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠′ = 𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍′ .𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝑀𝑟𝑜𝑡𝑡𝑜𝑡

b) Jika 𝑥𝑝′ ≠ 0 atau 𝑦𝑝

′ ≠ 0, maka diperlukan matrik translasi ke titik

(𝑥𝑝′ , 𝑦𝑝

′ , 0), sehingga matrik perspektifnya diperoleh dengan rumus

𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠′ = 𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍′ . (𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝑀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠)𝑀𝑟𝑜𝑡𝑡𝑜𝑡

Berikut ini pembahasan tentang matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi

tidak berada pada sumbu 𝑋, sumbu 𝑌 atau sumbu 𝑍 dan bidang proyeksi memiliki

persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0.

7. Matrik Perspektif Jika Koordinat Titik Proyeksi 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan Persamaan

Bidang Proyeksinya 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

Langkah-langkah menentukan matrik perspektif jika koordinat titik

proyeksi 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan persamaan bidang proyeksi 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0:

a. Bidang proyeksi memiliki persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0. Berdasarkan

Teorema 2.11, maka cosinus arah dari bidang tersebut adalah


91

cos 𝛼 =𝑎

√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

cos 𝛽 =𝑏

√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

cos 𝛾 =𝑐

√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

Gambar 3.16 Bilangan arah dan Sudut Arah dari Bidang Proyeksi

Pada Gambar 3.16 terlihat bahwa 𝛼, 𝛽, dan 𝛾 merupakan sudut-sudut

arah dari bidang proyeksi. Sedangkan [𝑎, 𝑏, 𝑐] merupakan bilangan-

bilangan arah dari garis 𝑛. 𝑟 merupakan jarak titik asal 𝑂(0,0,0) ke bidang

proyeksi.

b. Sudut yang dibentuk oleh proyeksi garis normal di bidang 𝑋𝑂𝑌 dengan

sumbu 𝑋+ adalah

𝜑 = tan−1 (𝑏

𝑎)

c. Jarak titik asal 𝑂(0,0,0) ke bidang proyeksi yang memiliki persamaan 𝑎𝑥 +

𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 adalah:

𝑟 =𝑎. 0 + 𝑏. 0 + 𝑐. 0 + 𝑑

√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

=𝑑

√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2


92

d. Matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu 𝑍 sejauh

𝜑 = tan−1 (𝑏

𝑎) dari sumbu 𝑋+ adalah

𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍 =

[

𝑎

√𝑎2 + 𝑏2

𝑏

√𝑎2 + 𝑏20 0

−𝑏

√𝑎2 + 𝑏2

𝑎

√𝑎2 + 𝑏20 0

0 0 1 00 0 0 1]

Gambar 3.17 Rotasi terhadap sumbu 𝑍

Gambar 3.17 merupakan ilustrasi dari rotasi salib sumbu terhadap

sumbu 𝑍 dengan besar sudut rotasinya adalah 𝜑 diukur dari sumbu 𝑋+.

Rotasi tersebut mengakibatkan garis 𝑛 berada pada bidang 𝑋′𝑂𝑌′.

e. Matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu 𝑌′ sejauh 𝛾 dari sumbu 𝑍+ adalah

MrotY′ = [

cos 𝛾 0 − sin 𝛾 00 1 0 0

sin 𝛾 0 cos 𝛾 00 0 0 1

]

=

[ cos 𝛾 0 −

√a2 + 𝑏2

√a2 + b2 + c20

0 1 0 0

√a2 + 𝑏2

√a2 + b2 + c20 cos 𝛾 0

0 0 0 1]


93

Gambar 3.18 Rotasi terhadap sumbu Y’

Gambar 3.18 merupakan ilustrasi dari rotasi salib sumbu terhadap

sumbu 𝑌′ dengan besar sudut rotasinya adalah 𝛾 diukur dari sumbu 𝑍+.

Rotasi tersebut mengakibatkan garis 𝑛 berhimpit dengan bidang 𝑍′.

Akibatnya persamaan bidang proyeksinya menjadi 𝑧′ = 𝑟.

f. Matrik rotasi totalnya adalah

M𝑟𝑜𝑡𝑡𝑜𝑡 = MrotY′ .𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍

=

[ a. cosγ

√a2 + 𝑏2

b. cosγ

√a2 + 𝑏2−

√a2 + 𝑏2

√a2 + b2 + c20

−b

√a2 + 𝑏2

a

√a2 + 𝑏20 0

𝑐𝑜𝑠𝛼 cos𝛽 cosγ 00 0 0 1]

g. Koordinat titik proyeksi terhadap salib sumbu yang baru:

[ 𝑥′𝑝𝑦′𝑝𝑧′𝑝1 ]

=

[ a. cosγ

√a2 + 𝑏2

b. cosγ

√a2 + 𝑏2−

√a2 + 𝑏2

√a2 + b2 + c20

−b

√a2 + 𝑏2

a

√a2 + 𝑏20 0

𝑐𝑜𝑠𝛼 cos𝛽 cosγ 00 0 0 1]

. [

𝑥𝑝

𝑦𝑝

𝑧𝑝

1

]


94

=

[ a. 𝑥𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝛾

√a2 + 𝑏2+

b. 𝑦𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝛾

√a2 + 𝑏2−

𝑧𝑝√a2 + 𝑏2

√a2 + b2 + c2

−b. 𝑥𝑝

√a2 + 𝑏2+

a. 𝑦𝑝

√a2 + 𝑏2

𝑥𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑧𝑝𝑐𝑜𝑠𝛾

1 ]

diperoleh:

𝑥′𝑝 =a. 𝑥𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝛾

√a2 + 𝑏2+

b. 𝑦𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝛾

√a2 + 𝑏2−

𝑧𝑝√a2 + 𝑏2

√a2 + b2 + c2

𝑦′𝑝 = −b. 𝑥𝑝

√a2 + 𝑏2+

a. 𝑦𝑝

√a2 + 𝑏2

𝑧′𝑝 = 𝑥𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑧𝑝𝑐𝑜𝑠𝛾

h. Jika 𝑥𝑝′ = 0 dan 𝑦𝑝

′ = 0, maka


[ 𝑧′𝑝 − 𝑟 0 0 0

0 𝑧′𝑝 − 𝑟 0 0

0 0 −𝑟 𝑟. 𝑧′𝑝0 0 −1 𝑧′𝑝 ]

Gambar 3.19 Ilustrasi Titik Proyeksi berada di sumbu 𝑍′

sehingga matrik perspektifnya adalah

𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠′ = 𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍′ .𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝑀𝑟𝑜𝑡𝑡𝑜𝑡


95

=

[ −

(𝑧𝑝′ − 𝑟). b

√a2 + 𝑏2

(𝑧𝑝′ − 𝑟). a

√a2 + 𝑏20 0

−(𝑧𝑝

′ − 𝑟). a. cosγ

√a2 + 𝑏2

(𝑧𝑝′ − 𝑟). b. cosγ

√a2 + 𝑏2

(𝑧𝑝′ − 𝑟)√a2 + 𝑏2

√a2 + b2 + c20

−𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝛼 −𝑟. cos𝛽 −r. cosγ r. 𝑧𝑝′

−𝑐𝑜𝑠𝛼 −cos𝛽 −cosγ 𝑧𝑝′ ]

i. Jika 𝑥𝑝′ ≠ 0 atau 𝑦𝑝

′ ≠ 0, maka

𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝑀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 =

[ 𝑧𝑝

′ − 𝑘 0 0 −𝑥𝑝′ (𝑧𝑝

′ − 𝑘)

0 𝑧𝑝′ − 𝑘 0 −𝑦𝑝

′(𝑧𝑝′ − 𝑘)

0 0 −𝑘 𝑘. 𝑧𝑝′

0 0 −1 𝑧𝑝′ ]

Gambar 3.20 Ilustrasi Titik Proyeksi tidak berada di sumbu 𝑍′

sehingga matrik perspektifnya adalah

𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠′ = 𝑀𝑟𝑜𝑡𝑍′ . (𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝑀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠)𝑀𝑟𝑜𝑡𝑡𝑜𝑡

=

[ −

(𝑧𝑝′ − 𝑟). b

√a2 + 𝑏2

(𝑧𝑝′ − 𝑟). a

√a2 + 𝑏20 −𝑦𝑝

′(𝑧𝑝′ − 𝑟)

−(𝑧𝑝

′ − 𝑟). a. cosγ

√a2 + 𝑏2−

(𝑧𝑝′ − 𝑟). b. cosγ

√a2 + 𝑏2

(𝑧𝑝′ − 𝑟)√a2 + 𝑏2

√a2 + b2 + c2𝑥𝑝

′ (𝑧𝑝′ − 𝑟)




96


𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan bidang proyeksi 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, maka perhatikanlah

contoh berikut ini.

Contoh 3.16

Sebuah kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 yang titik-titik sudutnya berada pada koordinat

𝐴(0,0,0), 𝐵(2,0,0), 𝐶(2, −2,0), 𝐷(0, −2,0), 𝐸(0,0, −2), 𝐹(2,0, −2),

𝐺(2,−2,−2), 𝐻(0,−2,−2). Akan dilukiskan kubus tersebut jika titik (0,10,2)

merupakan titik proyeksinya dan 3𝑥 + 4𝑦 = 20 merupakan persamaan bidang

proyeksinya. Koordinat homogen dari titik-titik tersebut adalah 𝐴ℎ(2,2,0,1),

𝐵ℎ(2, −2,0,1), 𝐶ℎ(−2,−2,0,1), 𝐷ℎ(−2,2,0,1), 𝐸ℎ(2,2,4,1), 𝐹ℎ(2, −2,4,1),

𝐺ℎ(−2,−2,4,1), 𝐻ℎ(−2,2,4,1). Karena persamaan bidang proyeksinya adalah

3𝑥 + 4𝑦 = 20, maka bilangan arah dari garis normal bidang proyeksi adalah

[3,4,0] dan cosinus-cosinus arahnya adalah:

cos 𝛼 =3

√32+42+02=

3

5

cos 𝛽 =4

√32+42+02=

4

5

cos 𝛾 =0

√32+42+02= 0

Koordinat titik proyeksi setelah salib-salib sumbu dirotasikan adalah:

𝑥𝑝′ =

a.𝑥𝑝.𝑐𝑜𝑠𝛾

√a2+𝑏2+

b.𝑦𝑝.𝑐𝑜𝑠𝛾

√a2+𝑏2−

𝑧𝑝√a2+𝑏2

√a2+b2+c2

=3.0.0

√32+42+

4.10.0

√32+42−

2.√32+42

√32+42+02

= −2


97

𝑦𝑝′ = −

b.𝑥𝑝

√a2+𝑏2+

a.𝑦𝑝

√a2+𝑏2

= −4.0

√32+42+

3.10

√32+42

= 6

𝑧𝑝′ = 𝑥𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑧𝑝𝑐𝑜𝑠𝛾

= 0.3

5+ 10.

4

5+ 2.0

= 8

Jarak titik asal 𝑂(0,0,0) ke bidang proyeksi adalah:

𝑟 = |3.0 + 4.0 + 0.0 − 20

√32 + 42 + 02|

= |−20

√5|

= 4

Jadi persamaan bidang proyeksi setelah salib-salib sumbu

ditransformasikan adalah 𝑧 = 4. Karena 𝑥𝑝′ ≠ 0 dan 𝑦𝑝

′ ≠ 0, maka matrik

perspektifnya adalah


[ −

(𝑧𝑝′ −𝑟).b

√a2+𝑏2

(𝑧𝑝′ −𝑟).a

√a2+𝑏20 −𝑦𝑝

′(𝑧𝑝′ − 𝑟)

−(𝑧𝑝

′ −𝑟).a.cosγ

√a2+𝑏2−

(𝑧𝑝′ −𝑟).b.cosγ

√a2+𝑏2

(𝑧𝑝′ −𝑟)√a2+𝑏2

√a2+b2+c2𝑥𝑝

′ (𝑧𝑝′ − 𝑟)



=

[ −

(8−4).4

√32+42

(8−4).3

√32+420 −6(8 − 4)

−(8−4).3.0

√32+42−

(8−4).4.0

√32+42

(8−4)√32+42

√32+42+02−2(8 − 4)

−4.3

5−4.

4

5−4.0 4.8

−3

5−

4

5−0 8 ]


98

=

[ −

16

5

12

50 −24

0 0 4 −8

−12

5−

16

50 32

−3

5−

4

50 8 ]

Koordinat homogen dari hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut kubus

𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 adalah:


=

[ −

16

5

12

50 −24

0 0 4 −8

−12

5−

16

50 32

−3

5−

4

50 8 ]

. [

2201

]

=

[ −

1285⁄

−8104

5⁄

265⁄ ]

~

[ −

6413⁄

−2013⁄

41 ]

𝐸ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐸ℎ

=

[ −

16

5

12

50 −24

0 0 4 −8

−12

5−

16

50 32

−3

5−

4

50 8 ]

. [

2241

]

=

[ −

1285⁄

8104

5⁄

265⁄ ]

~

[ −

6413⁄

2013⁄

41 ]


=

[ −

16

5

12

50 −24

0 0 4 −8

−12

5−

16

50 32

−3

5−

4

50 8 ]

. [

2−201

]

=

[ −

1765⁄

−8168

5⁄

425⁄ ]

~

[ −

8821⁄

−2021⁄

41 ]

𝐹ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐹ℎ

=

[ −

16

5

12

50 −24

0 0 4 −8

−12

5−

16

50 32

−3

5−

4

50 8 ]

. [

2−241

]

=

[ −

1765⁄

8168

5⁄

425⁄ ]

~

[ −

8821⁄

2021⁄

41 ]


=

[ −

16

5

12

50 −24

0 0 4 −8

−12

5−

16

50 32

−3

5−

4

50 8 ]

. [

−2−201

]

𝐺ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐺ℎ

=

[ −

16

5

12

50 −24

0 0 4 −8

−12

5−

16

50 32

−3

5−

4

50 8 ]

. [

−2−241

]


99

=

[ −

1125⁄

−8216

5⁄

545⁄ ]

~

[ −

5627⁄

−2027⁄

41 ]

=

[ −

1125⁄

8216

5⁄

545⁄ ]

~

[ −

5627⁄

2027⁄

41 ]


=

[ −

16

5

12

50 −24

0 0 4 −8

−12

5−

16

50 32

−3

5−

4

50 8 ]

. [

−2201

]

=

[ −

645⁄

−8152

5⁄

385⁄ ]

~

[ −

3219⁄

−2019⁄

41 ]

𝐻ℎ′ = 𝑀𝑝𝑒𝑟𝑠. 𝐻ℎ

=

[ −

16

5

12

50 −24

0 0 4 −8

−12

5−

16

50 32

−3

5−

4

50 8 ]

. [

−2241

]

=

[ −

645⁄

8152

5⁄

385⁄ ]

~

[ −

3219⁄

2019⁄

41 ]


64

13, −

20

13, 4,1) ,

𝐵ℎ′ (−

88

21, −

20

21, 4,1) , 𝐶ℎ

′ (−56

27, −

20

27, 4,1) , 𝐷ℎ

′ (−32

19, −

20

19, 4,1) , 𝐸ℎ

′ (−64

13,20

13, 4,1) ,

𝐹ℎ′ (−

56

27,20

27, 4,1) , 𝐺ℎ

′ (−56

27,20

27, 4,1) , 𝐻ℎ

′ (−32

19,20

19, 4,1) yang masing-masing

merupakan koordinat homogen dari titik 𝐴′ (−64

13, −

20

13, 4) ,

𝐵′ (−88

21, −

20

21, 4) , 𝐶′ (−

56

27, −

20

27, 4) , 𝐷′ (−

32

19, −

20

19, 4) , 𝐸′ (−

64

13,20

13, 4),

𝐹′ (−56

27,20

27, 4) , 𝐺′ (−

56

27,20

27, 4) , 𝐻′ (−

32

19,20

19, 4) dan merupakan hasil

proyeksi perspektif dari titik-titik sudut kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻.

Selanjutnya akan dilukiskan kubus tersebut ke bidang proyeksi 𝑧 = 5.

Karena bidang proyeksinya adalah 𝑧 = 5, maka komponen 𝑧 pada setiap

koordinat gambar perspektif dapat diabaikan, dan sesuai kesepakatan, maka

komponen 𝑥 dalam koordinat ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi

komponen 𝑥 dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen 𝑦 dalam koordinat


100

ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat

bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik

sudut kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 dalam bidang proyeksi adalah

𝐴′ (−64

13, −

20

13) , 𝐵′ (−

88

21, −

20

21) , 𝐶′ (−

56

27, −

20

27) , 𝐷′ (−

32

19, −

20

19) , 𝐸′ (−

64

13,20

13) ,

𝐹′ (−56

27,20

27) , 𝐺′ (−

56

27,20

27) , 𝐻′ (−

32

19,20

19). Gambar 3.21 merupakan gambar

perspektif dari kubus ABCD.EFGH yang dilukiskan di bidang proyeksi 3𝑥 +

4𝑦 = 20

Gambar 3.21

Setelah kita memperoleh berbagai macam matrik perspektif sesuai dengan

berbagai macam kondisi, maka selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat garis

dalam gambar perspektif. Terdapat tiga sifat garis dalam gambar perspektif yang

akan diuraiakan dan dibuktikan pada subbab berikut ini.

E. Sifat Garis Dalam Gambar Perspektif

Sekarang akan dibahas mengenai sifat-sifat garis yang ada di ℝ3 jika

digambarkan menggunakan teknik menggambar perspektif dalam bidang

proyeksi/bidang gambar.


101

Sifat Garis 1:

Jika tiga titik pada objek gambar terletak pada satu garis dan melalui titik

proyeksi, maka gambar perspektifnya berupa titik. Jika tiga titik pada objek gambar

terletak pada satu garis yang tidak melewati titik proyeksi, maka gambar

perspektifnya juga akan terletak pada satu garis.

Andaikan titik 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 merupakan tiga buah titik yang terletak pada objek

gambar, dan titik 𝑃 merupakan titik proyeksi. Maka sifat garis yang pertama ingin

mengatakan bahwa jika titik 𝐴, 𝐵, 𝐶 kolinear, (misalkan 𝐴, 𝐵, 𝐶 terletak pada garis

𝑙) dan 𝑙 juga melalui titik 𝑃, maka gambar perspektif dari garis 𝑙 adalah sebuah titik.

Sedangkan jika titik 𝐴, 𝐵, 𝐶 kolinear (misalkan 𝐴, 𝐵, 𝐶 terletak pada garis 𝑙) dan 𝑙

tidak melalui titik 𝑃, maka gambar perspektif dari garis 𝑙 merupakan suatu garis

juga. Dengan kata lain jika titik 𝐴, 𝐵, 𝐶 kolinear maka titik 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′ juga kolinear.

Bukti:

Jika tiga titik pada objek gambar (𝐴, 𝐵, dan 𝐶) terletak pada satu garis 𝑙 dan

melewati titik proyeksi, maka garis 𝑙 tersebut menembus bidang proyeksi,

akibatnya gambar perspektif garis tersebut adalah sebuah titik.

Sekarang kondisi tersebut diperumum untuk garis yang melalui tiga titik yang

tidak melewati titik proyeksi. Maka berdasarkan teorema 2.2, dapat dibentuk

sebuah bidang yang melalui garis tersebut dan titik proyeksi. Kemudian

berdasarkan teorema 2.6 kedua bidang tersebut memiliki garis persekutuan. Garis


102

persekutuan tersebut merupakan gambar perspektif dari garis yang melalui tiga titik

yang diketahui. Maka gambar perspektif dari sebuah garis yang melalui tiga titik

juga merupakan sebuah garis pada bidang proyeksi/bidang gambar. Dengan kata

lain, jika titik 𝐴, 𝐵, 𝐶 kolinear maka titik 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′ juga kolinear

Gambar 3.22. Sifat Garis Pada Gambar Perspektif 1

Sifat Garis 2:

Kumpulan garis yang sejajar dan sejajar dengan bidang proyeksi dilukiskan

sebagai kumpulan garis yang sejajar pada bidang proyeksi.

Bukti:

Diberikan himpunan ℒ = {𝑙1, 𝑙2, … , 𝑙𝑛} merupakan himpunan garis-garis lurus

yang saling sejajar dan sejajar dengan bidang gambar serta tidak melalui titik

proyeksi. Andaikan bidang proyeksinya adalah bidang U dan Titik P adalah titik

proyeksinya. Karena ℒ merupakan himpunan garis-garis lurus yang saling sejajar

dan sejajar dengan bidang proyeksi maka 𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛 ∥ 𝑈 dan akan dibuktikan

bahwa 𝑙1′ ∥ 𝑙2

′ ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛′ .

Pertama akan dibuktikan bahwa jika 𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛 ∥ 𝑈 dan 𝑙1′ merupakan

hasil proyeksi perspektif dari garis 𝑙1 maka 𝑙1′ ∥ 𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛. Lukislah sebuah


103

bidang yang sejajar dengan bidang U dan memuat garis 𝑙1. Namakan bidang 𝑉1.

Karena 𝑙1′ merupakan hasil proyeksi perspektif dari garis 𝑙1 dan berdasarkan sifat

garis 1, maka 𝑙1′ dan 𝑙1 terletak pada bidang yang sama. Karena 𝑈 ∥ 𝑉1 dan 𝑙1

′ dan

𝑙1 terletak pada bidang yang sama maka 𝑙1′ ∥ 𝑙1. Akibatnya 𝑙1

′ ∥ 𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛.

Kemudian akan dibuktikan bahwa jika 𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛 ∥ 𝑈 dan 𝑙2′ merupakan

hasil proyeksi perspektif dari garis 𝑙2 maka 𝑙2′ ∥ 𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛. Dengan cara yang

hampir sama untuk membuktikan 𝑙1′ ∥ 𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛, maka terbukti bahwa 𝑙2

′ ∥

𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛. Karena 𝑙1′ ∥ 𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛 dan 𝑙2

′ ∥ 𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛, maka 𝑙1′ ∥

𝑙2′ . Kemudian secara umum dapat disimpulkan bahwa jika 𝑙1 ∥ 𝑙2 ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛 ∥ 𝑈

maka 𝑙1′ ∥ 𝑙2

′ ∥ ⋯ ∥ 𝑙𝑛′ . Jadi gambar perspektif dari kumpulan garis sejajar yang

sejajar dengan bidang proyeksi/gambar akan dilukiskan sebagai kumpulan garis

yang sejajar pada bidang proyeksi/gambar.

Sifat Garis 3:

Garis-garis yang saling sejajar dan tidak sejajar dengan bidang proyeksi

dilukiskan sebagai garis yang berpotongan di satu titik.

Bukti:

Perhatikan Gambar 3.23 Ambil sebarang garis 𝑙 yang tidak sejajar dengan

bidang proyeksi, maka garis 𝑙 akan berpotongan dengan bidang proyeksi. Misalkan

titik itu adalah titik C. Berdasarkan postulat 2.3 maka dapat dilukiskan sebuah garis

yang sejajar dengan 𝑙 dan melalui koordinat titik proyeksi. Garis tersebut

menembus bidang proyeksi pada titik 𝑉. Berdasarkan teorema 2.4 dapat dilukiskan


104

sebuah bidang yang memuat garis 𝑙 dan 𝑃𝑉⃡⃗⃗⃗ ⃗, sehingga titik V terletak pada bidang

proyeksi dan bidang yang memuat garis 𝑙 dan garis 𝑃𝑉⃡⃗⃗⃗ ⃗. Maka 𝐶𝑉̅̅ ̅̅ merupakan

gambar perspektif dari garis 𝑙.

Gambar 3.23 Ilustrasi Memperoleh Titik V

Ingat bahwa 𝑉 adalah titik tembus dari garis yang sejajar dengan 𝑙 dan melalui

titik 𝑃. Ambil sebarang garis 𝑚 yang sejajar dengan 𝑙 dan tidak melalui 𝑃. maka

garis 𝑚 akan berpotongan dengan bidang proyeksi. Misalkan titik itu adalah titik

𝐴. Berdasarkan postulat 2.3 maka dapat dilukiskan sebuah garis yang sejajar dengan

𝑚 dan melalui koordinat titik proyeksi. Garis tersebut menembus bidang proyeksi

pada titik 𝐾. Berdasarkan teorema 2.4 dapat dilukiskan sebuah bidang yang memuat

garis 𝑚 dan 𝑃𝐾⃡⃗⃗⃗ ⃗, sehingga titik 𝐾 terletak pada bidang proyeksi dan bidang yang

memuat garis 𝑚 dan 𝑃𝐾⃡⃗⃗⃗ ⃗. Maka 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ merupakan gambar perspektif dari garis 𝑚.

Sekarang akan dibuktikan 𝑉 dan 𝐾 berimpit. Karena 𝑚 ∥ 𝑙, garis 𝑃𝑉⃡⃗⃗⃗ ⃗ ∥ 𝑙, dan

garis 𝑙 ∥ 𝑃𝐾⃡⃗⃗⃗ ⃗, maka garis 𝐸𝑉⃡⃗⃗⃗ ⃗ ∥ 𝑃𝐾⃡⃗⃗⃗ ⃗. Karena kedua garis ini sejajar dan melalui titik

𝑃, maka 𝐾 dan 𝑉 haruslah berimpit. Perhatikan gambar 3.24 berikut.


105

Gambar 3.24 Titik lenyap dari garis-garis yang sejajar dengan garis 𝑙

Akibatnya 𝐶𝑉̅̅ ̅̅ yang merupakan gambar perspektif dari garis 𝑙 dan 𝐴𝑉̅̅ ̅̅ yang

merupakan gambar perspektif dari 𝑚 berpotongan di satu titik yaitu titik V.

Jadi, gambar perspektif dari setiap garis yang sejajar dengan garis 𝑙 haruslah

melewati titik V. Titik V disebut titik lenyap dari kumpulan garis yang sejajar

dengan garis 𝑙.

1. Titik Lenyap

Sekarang akan dicari koordinat titik lenyap secara analitik. Diberikan

himpunan ℒ merupakan himpunan garis-garis lurus yang memiliki bilangan arah

[𝑎, 𝑏, 𝑐]. Andaikan 𝑙, 𝑚, 𝑛, … ∈ ℒ. 𝑃𝑉⃡⃗⃗⃗ ⃗ ∥ 𝑙 akibatnya garis 𝑃𝑉⃡⃗⃗⃗ ⃗ memiliki bilangan

arah [𝑎, 𝑏, 𝑐]. 𝑃𝑉⃡⃗⃗⃗ ⃗ melalui titik 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) dan memiliki bilangan arah [𝑎, 𝑏, 𝑐],

maka persamaan garis 𝑃𝑉⃡⃗⃗⃗ ⃗ adalah:

{

𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥𝑝

𝑦 = 𝑎𝑡 + 𝑦𝑝

𝑧 = 𝑎𝑡 + 𝑧𝑝

a. Koordinat titik V jika bidang proyeksi adalah bidang 𝑧 = 𝑘

Titik V merupakan titik tembus garis 𝑃𝑉⃡⃗⃗⃗ ⃗ dengan bidang proyeksi.

Koorinat titik 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) setelah ditransformasikan menjadi 𝑃(0,0, 𝑧′𝑝)


106

untuk bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘 maka koordinat titik V dapat dicari dengan

memotongkan persamaan garis {

𝑥 = 𝑎𝑡𝑦 = 𝑏𝑡

𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧′𝑝

dengan persamaan bidang

𝑧 = 𝑘.

𝑘 = 𝑐𝑡 + 𝑧′𝑝

𝑐𝑡 = 𝑘 − 𝑧′𝑝

𝑡 =𝑘−𝑧′𝑝

𝑐................(1)

Subtitusi persamaan (1) ke 𝑥 = 𝑎𝑡 dan 𝑦 = 𝑏𝑡, diperoleh

𝑥 = 𝑎𝑘−𝑧′𝑝

𝑐

=𝑎(𝑘−𝑧′𝑝)

𝑐

𝑦 = 𝑏𝑘−𝑧′𝑝

𝑐

=𝑏(𝑘−𝑧′𝑝)

𝑐

Jadi koordinat titik V untuk bidang proyeksi 𝑧 = 𝑘 adalah

(𝑎(𝑘−𝑧′𝑝)

𝑐,𝑏(𝑘−𝑧′𝑝)

𝑐, 𝑘).

Dapat kita simpulkan bahwa semua garis yang memiliki bilangan arah

[𝑎, 𝑏, 𝑐] dan tidak sejajar dengan bidang 𝑧 = 𝑘 akan bertemu di satu titik

yang memiliki koordinat (𝑎(𝑘−𝑧′𝑝)

𝑐,𝑏(𝑘−𝑧′𝑝)

𝑐, 𝑘).

b. Koordinat titik 𝑉 jika bidang proyeksi adalah bidang 𝑦 = 𝑘


Koorinat titik 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) setelah ditransformasikan menjadi 𝑃(0, 𝑦′𝑝, 0)


107

untuk bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘 maka koordinat titik V dapat dicari dengan

memotongkan persamaan garis {𝑥 = 𝑎𝑡

𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦′𝑝𝑧 = 𝑐𝑡


𝑦 = 𝑘.

𝑘 = 𝑏𝑡 + 𝑦′𝑝

𝑏𝑡 = 𝑘 − 𝑦′𝑝

𝑡 =𝑘−𝑦′𝑝

𝑏................(1)

Subtitusi persamaan (1) ke 𝑥 = 𝑎𝑡 dan 𝑧 = 𝑐𝑡, diperoleh

𝑥 = 𝑎𝑘−𝑦′𝑝

𝑏

=𝑎(𝑘−𝑦′𝑝)

𝑏

𝑧 = 𝑐𝑘−𝑦′𝑝

𝑏

=𝑐(𝑘−𝑦′𝑝)

𝑏

Jadi koordinat titik 𝑉 untuk bidang proyeksi 𝑦 = 𝑘 adalah

(𝑎(𝑘−𝑦′𝑝)

𝑏, 𝑘,

𝑐(𝑘−𝑦′𝑝)

𝑏).


[𝑎, 𝑏, 𝑐] dan tidak sejajar dengan bidang 𝑦 = 𝑘 akan bertemu di satu titik

yang memiliki koordinat (𝑎(𝑘−𝑦′𝑝)

𝑏, 𝑘,

𝑐(𝑘−𝑦′𝑝)

𝑏).

c. Koordinat titik 𝑉 jika bidang proyeksi adalah bidang 𝑥 = 𝑘


Koorinat titik 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) setelah ditransformasikan menjadi 𝑃(𝑥′𝑝, 0,0)


108

untuk bidang proyeksi 𝑥 = 𝑘, maka koordinat titik V dapat dicari dengan

memotongkan persamaan garis {𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥′𝑝

𝑦 = 𝑏𝑡𝑧 = 𝑐𝑡


𝑥 = 𝑘.

𝑘 = 𝑎𝑡 + 𝑥′𝑝

𝑎𝑡 = 𝑘 − 𝑥′𝑝

𝑡 =𝑘−𝑥′𝑝

𝑎................(1)

Subtitusi persamaan (1) ke 𝑦 = 𝑏𝑡 dan 𝑧 = 𝑐𝑡, diperoleh

𝑦 = 𝑏𝑘−𝑥′𝑝

𝑎

=𝑏(𝑘−𝑥′𝑝)

𝑎

𝑧 = 𝑐𝑘−𝑥′𝑝

𝑎

=𝑐(𝑘−𝑥′𝑝)

𝑎

Jadi koordinat titik 𝑉 untuk bidang proyeksi 𝑥 = 𝑘 adalah

(𝑘,𝑏(𝑘−𝑥′𝑝)

𝑎,𝑐(𝑘−𝑥′𝑝)

𝑎).


[𝑎, 𝑏, 𝑐] dan tidak sejajar dengan bidang 𝑥 = 𝑘 akan bertemu di satu titik

yang memiliki koordinat (𝑘,𝑏(𝑘−𝑥′𝑝)

𝑎,𝑐(𝑘−𝑥′𝑝)

𝑎). .


110

BAB IV

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. a) Jika 𝑃(𝑥𝑝, 0,0) adalah koordinat titik proyeksi dan 𝑥 = 𝑘 merupakan

persamaan bidang proyeksi maka matriks perspektif berbentuk


[ −𝑘 0 0 𝑘. 𝑥𝑝

0 𝑥𝑝 − 𝑘 0 0

0 0 𝑥𝑝 − 𝑘 0

−1 0 0 𝑥𝑝 ]

.

b) Jika 𝑃(0, 𝑦𝑝, 0) adalah koordinat titik proyeksi dan 𝑦 = 𝑘 merupakan



[ 𝑦𝑝 − 𝑘 0 0 0

0 −𝑘 0 𝑘. 𝑦𝑝

0 0 𝑦𝑝 − 𝑘 0

0 −1 0 𝑦𝑝 ]

c) Jika 𝑃(0,0, 𝑧𝑝) adalah koordinat titik proyeksi dan 𝑧 = 𝑘 merupakan



111


[ 𝑧𝑝 − 𝑘 0 0 0

0 𝑧𝑝 − 𝑘 0 0

0 0 −𝑘 𝑘. 𝑧𝑝

0 0 −1 𝑧𝑝 ]

d) Jika 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) adalah koordinat titik proyeksi dan 𝑥 = 𝑘 merupakan



[ −𝑘 0 0 𝑘𝑥𝑝

0 −𝑘 0 −𝑦𝑝(𝑥𝑝 − 𝑘)

0 0 𝑥𝑝 − 𝑘 −𝑧𝑝(𝑥𝑝 − 𝑘)

−1 0 0 𝑥𝑝 ]

e) Jika 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) adalah koordinat titik proyeksi dan 𝑦 = 𝑘 merupakan



[ 𝑦𝑝 − 𝑘 0 0 −𝑥𝑝 (𝑦𝑝 − 𝑘)


0 0 𝑦𝑝 − 𝑘 −𝑧𝑝 (𝑦𝑝 − 𝑘)

0 −1 0 𝑦𝑝 ]

f) Jika 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) adalah koordinat titik proyeksi dan 𝑧 = 𝑘 merupakan



[ 𝑧𝑝 − 𝑘 0 0 −𝑥𝑝(𝑧𝑝 − 𝑘)

0 𝑧𝑝 − 𝑘 0 −𝑦𝑝(𝑧𝑝 − 𝑘)


0 0 −1 𝑧𝑝 ]

g) Jika 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) adalah koordinat titik proyeksi dan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

merupakan persamaan bidang proyeksi dengan 𝑥𝑝′ =


√a2+𝑏2+


√a2+𝑏2−


112

𝑧𝑝√a2+𝑏2

√a2+b2+c2= 0, 𝑦𝑝

′ = −b.𝑥𝑝

√a2+𝑏2+

a.𝑦𝑝

√a2+𝑏2= 0 dan 𝑧𝑝

′ = 𝑥𝑝𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑝𝑐𝑜𝑠𝛽 +

𝑧𝑝𝑐𝑜𝑠𝛾, maka matrik perspektifnya adalah


[ −


√a2+𝑏2


√a2+𝑏20 0

−(𝑧𝑝


√a2+𝑏2


√a2+𝑏2

(𝑧𝑝′ −𝑟)√a2+𝑏2

√a2+b2+c20


−𝑐𝑜𝑠𝛼 −cos𝛽 −cosγ 𝑧𝑝′

]

h) Jika 𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝) adalah koordinat titik proyeksi dan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

merupakan persamaan bidang proyeksi 𝑥𝑝′ =


√a2+𝑏2+


√a2+𝑏2−

𝑧𝑝√a2+𝑏2

√a2+b2+c2≠ 0, 𝑦𝑝

′ = −b.𝑥𝑝

√a2+𝑏2+

a.𝑦𝑝

√a2+𝑏2≠ 0 dan 𝑧𝑝

′ = 𝑥𝑝𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑝𝑐𝑜𝑠𝛽 +

𝑧𝑝𝑐𝑜𝑠𝛾, maka matrik perspektifnya adalah


[ −


√a2+𝑏2


√a2+𝑏20 −𝑦𝑝

′ (𝑧𝑝′ − 𝑟)

−(𝑧𝑝


√a2+𝑏2−


√a2+𝑏2

(𝑧𝑝′ −𝑟)√a2+𝑏2

√a2+b2+c2𝑥𝑝

′ (𝑧𝑝′ − 𝑟)


−𝑐𝑜𝑠𝛼 −cos𝛽 −cosγ 𝑧𝑝′

]

2. Sifat-sifat garis dalam gambar perspektif sebagai berikut:

a) Gambar perspektif dari suatu garis pada ℝ3 juga merupakan garis pada

bidang proyeksi.


113

b) Garis-garis yang sejajar pada ℝ3 dan sejajar dengan bidang proyeksi akan

digambarkan sebagai garis-garis yang sejajar pula.

c) Garis-garis yang sejajar pada ℝ3 tetapi tidak sejajar dengan bidang

proyeksi akan digambarkan sebagai garis-garis yang berpotongan pada

satu titik. Titik tersebut dinamakan titik lenyap.

3. a) Jika bidang proyeksi memiliki persamaan 𝑥 = 𝑘, maka koordinat titik

lenyapnya adalah (𝑘,𝑏(𝑘−𝑥𝑝)

𝑎,𝑐(𝑘−𝑥𝑝)

𝑎) .

b) Jika bidang proyeksi memiliki persamaan 𝑦 = 𝑘, maka koordinat titik

lenyapnya adalah (𝑎(𝑘−𝑦𝑝)

𝑏, 𝑘,

𝑐(𝑘−𝑦𝑝)

𝑏).

c) Jika bidang proyeksi memiliki persamaan 𝑧 = 𝑘, maka koordinat titik

lenyapnya adalah (𝑎(𝑘−𝑧𝑝)

𝑐,𝑏(𝑘−𝑧𝑝)

𝑐, 𝑘).

B. SARAN

Untuk penulisan selanjutnya, skripsi ini dapat dikembangkan dengan

membuat program untuk melukis gambar perspektif dari suatu titik dengan

koordinat titik proyeksi dan persamaan bidang proyeksi yang telah diketahui serta

mengkaji untuk sifat-sifat segmen garis dalam gambar perspektif.


114

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 2010. Elementary Linear Algebra 10𝑡ℎ Edition. World Colour

USA: United States of America.

Byer, Owen, Felix Lazebnik, and Deirdre L. Smeltzer. 2010. Methods for Euclidean

Geometry. Mathematical Association of America: United States of

America.

Carico, Charles C. and Irving Drooyan. 1980. Analytic Geometry. John Wiley &

Sons Incorporation: Canada.

Fuller, Gordon and Dalton Tarwater. 1986. Analytic Geometry Edition. Addison-

Wesley Publishing Company Incorporation: United States of America.

Hearn, Donald and M. Pauline Baker. 1986. Computer Graphic. Prentice-Hall

Incorporation: United States of America.

Kalajdzievski, Sasho. 2008. Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics.

CRC Press: United States of America.

Millman, Richard S. and George D. Parker. 1991. Geometry: A Metric Approach

with Models Edition. Springer: New York.

Prenowitz, Walter and Meyer Jordan. 1989. Basic Concept of Geometry. Blaisdell

Publishing Company: London.

Stillwell, John. 2005. The Four Pillars of Geometry. Springer: United States of

America


115

Wallace, Edward C. and Stephen F. West. 1992. Roads to Geometry. Prentice-Hal,

Incorporation: United States of America.

Zakaria, T., Ilmu Ukur Ruang. N.V. Keng po: Jakarta.

http://mathworld.wolfram.com/


MATRIK PERSPEKTIF DAN SIFAT GARIS DALAM ...Hasil dari proyeksi perspektif dapat dipandang sebagai...

Documents

Transcript of MATRIK PERSPEKTIF DAN SIFAT GARIS DALAM ...Hasil dari proyeksi perspektif dapat dipandang sebagai...