STATISTIKAPART 2

Matematika Wajib SMA Kelas X

PENGOLAHAN DATA

A. Mean (Rataan Hitung)

𝑴𝒆𝒂𝒏 (𝒙 )= 𝑱𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒔𝒆𝒍𝒖𝒓𝒖𝒉𝒅𝒂𝒕𝒂𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌𝒏𝒚𝒂𝒅𝒂𝒕𝒂

Mean untuk data tunggalDiketahui adalah sekumpulan data, maka mean dapat dirumuskan sebagai berikut

Contoh :Nilai ulangan harian matematika 10 siswa kelas X diperoleh data 7, 6, 8, 9, 7, 5, 6, 7, 5, dan 8. tentukan mean dari data tersebut!Jawab :

𝒙=𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑+…+𝒙𝒏

𝒏

PENGOLAHAN DATA

Mean untuk data berdistribusi frekuensiApabila data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka mean dapat dirumuskan sebagai berikut

Contoh :Berdasarkan data hasil ulangan matematika di kelas X, empat siswa mendapat nilai 9, sembilan siswa mendapat nilai 8, sembilan siswa mendapat nilai 7, lima siswa mendapat nilai 6 dan tiga siswa mendapat nilai 5. tentukan rata-rata nilai ulangan matematika di kelas tersebut!Jawab :

PENGOLAHAN DATAContoh :Tentukan rataan dari data berikut ini!

Jawab :

Jadi, rata-rata berat badan adalah 51 kg.

Berat Badan (kg) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 - 64Frekuensi 1 6 10 2 1

Berat Badan (kg)

Titik Tengah (

40 – 44 42 1 4245 – 49 47 6 28250 – 54 52 10 52055 – 59 57 2 11460 – 64 62 1 62

.

PENGOLAHAN DATA

Cara lain untuk menghitung mean yaitu menentukan rataan sementara terlebih dahulu dengan rumus berikut.

Keterangan : = rata-rata sementara = simpangan dari rata-rata sementara = frekuensi kelas ke-i

Contoh :Tentukan mean dengan rataan sementara dari data pada tabel berikut!

Berat Badan (kg) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 - 64Frekuensi 1 6 10 2 1

PENGOLAHAN DATA

Jawab :Nilai rata-rata sementara diambil dari nilai titik tengah kelas dengan frekuensi paling besar, .

Nilai f Titik Tengah (40 – 44 1 42 -10 -1045 – 49 6 47 -5 -3050 – 54 10 52 0 055 – 59 2 57 5 1060 – 64 1 62 10 10Jumlah 20 -20

PENGOLAHAN DATA

Mean gabunganJika terdapat i kelompok data yang sejenis dan mempunyai ukuran rataan yang berbeda-beda: - Kumpulan data pertama mempunyai dan rataan .- Kumpulan data kedua mempunyai dan rataan .- Kumpulan data ketiga mempunyai dan rataan .- Kumpulan data ke-i mempunyai dan rataan .Rataan gabungan i buah kelompok tersebut dapat ditentukan dengan rumus berikut :

𝒙𝒈𝒂𝒃=𝒏𝟏𝒙𝟏+𝒏𝟐𝒙𝟐+𝒏𝟑𝒙𝟑+…+𝒏𝒊𝒙 𝒊

𝒏𝟏+𝒏𝟐+𝒏𝟑+…+𝒏𝒊

PENGOLAHAN DATA

Contoh :Nilai rata-rata ulangan Matematika dari 20 orang adalah 7,6. Jika nilai Anita dimasukkan, nilai rata-ratanya menjadi 7,7. Tentukan nilai ulangan harian Matematika Anita!

Jawab :; Misalkan nilai Anita

PENGOLAHAN DATA

B. ModusModus adalah data yang paling sering muncul atau data yang paling besar frekuensinya.

Contoh :Tentukan modus dari data berikut !a. 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9b. 10, 9, 8, 9, 8, 7c. 50, 49, 49, 50

Jawab :d. Modus = 6e. Modus = 8 dan 9f. Tidak ada modus

PENGOLAHAN DATA

Modus untuk data berkelompok ditentukan dengan rumus :

Keterangan :tb = tepi bawah kelas modusp = panjang kelas = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

𝑴𝒐=𝒕𝒃+( 𝒅𝟏

𝒅𝟏+𝒅𝟐 )𝒑

PENGOLAHAN DATA

Contoh :Tentukan modus dari data berikut !Berat Badan (kg) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 - 64Frekuensi 1 6 10 2 1

Jawab :Modus terletak di kelas ketiga, sehingga diperolehtb = 49,5; ; ; p = 5

Jadi, modus dari data tersebut adalah 51,17.

PENGOLAHAN DATA

C. MedianMedian adalah nilai yang membagi data menjadi dua kelompok yang sama banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Median untuk data tunggal Jika ukuran data n ganjil, mediannya adalah data yang di

tengah.

Jika ukuran data n genap, mediannya adalah rataan dari dua nilai datum yang di tengah.

𝑴𝒆=𝟏𝟐 (𝒙𝒏

𝟐+𝒙 𝒏

𝟐+𝟏)

𝑴𝒆=𝒙 𝒏+𝟏𝟐

PENGOLAHAN DATA

Contoh :Tentukan median dari data berikut !1) 10, 7, 9, 7, 9, 8, 92) 5, 2, 7, 6, 3, 4

Jawab :1) 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10

MeJadi, mediannya adalah 9.

2) 2, 3, 4, 5, 6, 7

MeJadi, mediannya adalah 4,5.

PENGOLAHAN DATA

Median untuk data berkelompok

Keterangan :tb = tepi bawah kelas medianp = panjang kelasN = banyak data = frekuensi kumulatif sebelum kelas median = frekuensi kelas median

𝑴𝒆=𝒕𝒃+( 𝟏𝟐 𝑵− 𝒇 𝒌

𝒇 𝑴𝒆)𝒑

PENGOLAHAN DATA

Jawab :Banyaknya data ada 20, sehingga letak median pada frekuensi , yaitu pada interval 50 – 54. Sehingga diperoleh tb = 49,5; p = 5; = 7; dan = 10

Jadi, median data tersebut adalah 51.

Contoh :Tentukan median dari data berikut !Berat Badan (kg) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 - 64Frekuensi 1 6 10 2 1

PENGOLAHAN DATA

D. KuartilKuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat kelompok yang sama banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Terdapat tiga buah kuartil, yaitu kuartil bawah (), kuartil tengah () dan kuartil atas ().

Kuartil untuk data tunggalLetak dari dapat dirumuskan sebagai berikut

Dan besar dirumuskan sebagai berikut

𝑄2𝑄1 𝑄3 𝑥𝑚𝑎𝑥𝑥𝑚𝑖𝑛

PENGOLAHAN DATA

Contoh :Tentukan kuartil bawah, tengah dan atas dari data berikut!9, 7, 6, 8, 6, 3, 5, 8, 2, 5, 4, 6

Jawab :Data yang telah diurutkan : 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9

Kuartil bawah () = = 4,5Kuartil tengah () = = 6Kuartil atas () = = 7,5

PENGOLAHAN DATA

Kuartil untuk data berkelompokKuartil untuk data berkelompok ditentukan dengan rumus

Keterangan :tb = tepi bawah kelas p = panjang kelasn = banyak data = frekuensi kumulatif sebelum kelas = frekuensi kelas

𝑄𝑖=𝑡𝑏+( 𝑖 .𝑛4 − 𝑓 𝑘𝑓 𝑄𝑖

)𝑝

PENGOLAHAN DATA

Jawab :• Letak : , yaitu pada interval kelas 45 – 49 sehingga diperoleh

tb = 44,5; p = 5; ; dan

Jadi, kuartil bawah adalah 48,17.• Letak : , yaitu pada interval kelas 50 – 54 sehingga diperoleh tb =

49,5; p = 5; ; dan

Jadi, kuartil tengah adalah 51.

Contoh :Tentukan kuartil bawah, tengah dan kuartil atas dari data berikut !Berat Badan (kg) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 - 64Frekuensi 1 6 10 2 1

PENGOLAHAN DATA

Jawab :• Letak : , yaitu pada interval kelas 50 – 54 sehingga diperoleh

tb = 49,5; p = 5; ; dan

Jadi, kuartil atas adalah 53,5.

PENGOLAHAN DATA

E. DesilDesil adalah nilai yang membagi data menjadi 10 kelompok yang sama banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Desil untuk data tunggal

Letak dari dapat dirumuskan sebagai berikut

dengan i = 1, 2, 3, ..., 9Dan besar dirumuskan sebagai berikut

PENGOLAHAN DATA

Contoh :Tentukan desil ke-2 dan desil ke-7 dari data berikut :14, 12, 8, 6, 15, 10, 2, 9, 4, 3

Jawab :Data setelah diurutkan : 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15.• Letak desil ke-2 : = 2,2

Sehingga diperoleh k = 2 dan d = 0,2

• Letak desil ke-7 : = 7,7Sehingga diperoleh k = 7 dan d = 0,7

PENGOLAHAN DATA

Desil untuk data berkelompokDesil untuk data berkelompok ditentukan dengan rumus

Keterangan :tb = tepi bawah kelas p = panjang kelasn = banyak data = frekuensi kumulatif sebelum kelas = frekuensi kelas

𝐷𝑖=𝑡𝑏+( 𝑖 .𝑛10 − 𝑓 𝑘𝑓 𝐷𝑖

)𝑝

PENGOLAHAN DATA

Jawab :• Letak : , yaitu pada interval kelas 45 – 49 sehingga diperoleh

tb = 44,5; p = 5; ; dan

Jadi, nilai desil ketiga adalah 48,67.

Contoh :Tentukan desil ke-3 atas dari data berikut !Berat Badan (kg) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 - 64Frekuensi 1 6 10 2 1

PENGOLAHAN DATA

F. JangkauanJangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dengan nilai terkecil, dilambangkan dengan J.

Jangkauan interkuartil (H) adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama.

G. Jangkauan Interkuartil (H)

H. Jangkauan Semi Interkuartil () atau Simpangan Kuartil

𝑸𝒅=𝟏𝟐 (𝑸𝟑−𝑸𝟏 )

I. Langkah (L)

𝑳=𝟑𝟐 (𝑸𝟑−𝑸𝟏 )

PENGOLAHAN DATA

J. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)Simpangan Rata-Rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai rataan.

Simpangan Rata-Rata untuk data tunggal

Keterangan :SR = simpangan rata-ratan = jumlah data = data ke-i = rataan

PENGOLAHAN DATA

K. Simpangan Baku (Deviasi Standar)Simpangan Baku suatu data adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya data.

Simpangan Baku untuk data tunggal

Keterangan :s = simpangan bakun = jumlah data = data ke-i = rataan

L. Ragam atau VariansiJika simpangan baku dilambangkan dengan s, maka ragam atau variansi dilambangkan dengan .

PENGOLAHAN DATAContoh :Diketahui data : 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5. Tentukan :a. Jangkauanb. Jangkauan interkuartilc. Simpangan kuartild. Langkah e. Simpangan rata-rataf. Simpangan baku, dang. Variansi.

Jawab :Data diurutkan : 5, 6, 6, 7, 7, 8, 10

PENGOLAHAN DATA

Jawab :

LATIHAN

1.

2

3.

4.

5.

LATIHAN

SEMANGAT BELAJAR