Materi Sistem Linear elektro unsoed

1

BAB I SINYAL DAN SISTEM

1.1. Definisi

Sistem dapat didefinisikan sebagai sekumpulan objek yang disusun membentuk

proses dengan tujuan tertentu. Sebagai model matematis yang menghubungkan antara

input dan output, umumnya disebut IO Sistem, seperti tampak dalam gambar 1 dibawah

ini :

gambar 1 Model matematik IO Sistem

Masukan dari lingkungan (environment) ke sistem dan keluaran dari sistem ke

environment disebut sinyal. Sistem yang menghubungkan sinyal input kontinu dengan

sinyal output kontinyu disebut Sistem Waktu Kontinyu dan yang menghubungkan

deretan sinyal input (diskrit) dengan deretan sinyal output disebut Sistem Waktu Diskrit

(SWD), seperti tampak pada gambar 2 dan gambar 3

gambar 2 Sistem Waktu Kontinyu

gambar 3 Sistem Waktu Diskrit

Analisis sistem, periksa apakah sistem tersebut :

x(n)

n SWD

x(n) y(n) n

x(t)

t

SWK

x(t) y(t) t

Input Output Sistem

Sinyal Output Sinyal Input

Environment

yt)=T(x(t))

2

Stabil/tidak stabil

Kausal/tidak kausal

Tak ubah waktu/berubah waktu

Linier/non linier

Statis/dinamis

Deterministik/stokastik

Tools Analisis = model matematis

Persamaan linier

Transformasi = jembatan=memindahkan satu kawasan ke kawasan yang lain,

dengan : 1. transformasi fourier

2. transformasi laplace

3. transformasi z

4. transformasi Fourier Diskrit

Bedakan antara waktu kontinyu dengan waktu diskrit dan kawasan frekuensi

kontinyu dengan kawasan frekuensi diskrit

1.1. Sifat dan Klasifikasi sistem

a. Statis dan dinamis

3

Sistem statis jika keluaran sistem hanya tergantung pada masukan pada saat itu

(memoryless), sedangkan sistem dinamis jika keluaran sistem mengingat masa

lalu (with memory)

b. Linier

Sistem linier jika memenuhi prinsip superposisi, seperti tampak pada gambar 4

dibawah ini :

gambar 4 Prinsip superposisi

Dan homogenitas :

x1 (t) + x2(t) = y1(t) + y2(t)

c. Pergeseran waktu

Sistem tak ubah waktu (invariant) jika output sistem tidak berubah betuk

walaupun outputnya akan bergeser sejauh pergeseran input.

gambar 5. Sistem tak ubah waktu

Jika y1(t) adalah output dari x1 (t) dan y2 (t) adalah output dari x2 (t) dan x1 (t) =

x1(t-t0) maka y1 (t) = y1 (t-t0) Sistem disebut LTW atau LTI (Linier Time

Invariant) jika linier tak ubah waktu

SWK

y1 (t) x1 (t)

SWK

y2(t) x2 (t)

y1(t) + y2(t) x1(t) SWK

x2(t)

x (t) SWK

SWK x (t-2) y (t-2)

2 1

y (t)

2

1

2 3

4

d. Kausalitas

Sistem LTW disebut kausal/non anticipatory bila keluaran pada waktu n=n0

(untuk SWD) hanya bergantung pada harga-harga dari masukan (sebelumnya

dan sekarang), jadi h(n) = 0 untuk n < 0

Respons impuls SWD

gambar 6 Respon Impuls SWD kausal dan non Kausal

Respon impuls SWK

gambar 7. Respons Impuls SWK Kausal dan Non Kausal

Catatan : sistem yang dapat direalisasi harus kausal

e. Stabilitas

Sistem LTW disebut stabil bla setiap masukan terbatas menghasilkan keluaran

terbatasBIBO = Bounded Input Bounded Output

h(n) h(n)

Non Kausal Kausal

Non Kausal Kausal

h(n) h(n)

t t 0 0

5

... ... n n

stabil Tidak stabil

)(th

Kondisi yang diperlukan dan cukup (KPC) adalah :

n

nh )( untuk SWD dt

6

a. y(n) = ax 2 (n-1)

b. y(n) = ax(n-2) + bx(n+2)

Periksa sistem di atas.

Jawab.

a. y(n) = ax 2 (n-1)

Linieritas

Jika input x1 (n) maka output y1 (n) = ax1 2 (n-1)

Jika input x2 (n) maka output y2 (n) = ax2 2 (n-1)

Ambil

X(n) = x3 (n) = x1 (n) + x2(n)

Maka :

Y(n) = y3 (n) = a[x(n-1)]2

b. y(n) = ax(n-2) + bx(n+2)

1.2. Operator p dan q

Suatu operator L input

output = Fungsi Transfer sistem

Untuk SWK L(p) = )(

)(

pD

pN

Persamaan 1 Fungsi Transfer

N = numerator

D = denominator

Dimana p = operator maju

p = operator integral c dt

Untuk SWD L(q) = )(

)(

qD

qN

Dimana q = operator maju

q = operator tunda

q x(n) = x (n-1)

7

q x(n) = x (n+1)

Untuk menganalisis suatu sistem maka buat dulu model matematis input-outputnya

Contoh 1.2.1

Model matematis sistem :

L dt

tdi )( +

t

tiC

)(1

d t = v (t)

)()(1

tvtidtC

Rdt

dL

)()(1

tvtipC

RLp

L(p) = C

Cx

p

px

CpRLptv

ti

input

output

/

1

)(

)(

= 1 RCpLCp

pC

Persamaan 2 Model Matematika Sistem

1.3. Diference Equation Model

a. SWK persamaan Diferensial

ntxb

dt

txdbtyaty

dt

da

dt

tyda

dt

tyda am

m

mnn

n

nn

n

n

......1

11

1

1

L R

C i(t)

v(t) +

-

Output sistem = i(t)

Input sistem = v(t)

8

Persamaan 3 Model Persamaan diferensial

n = orde persamaan diferensial

n

t

a0

1 = koefisien penyebut = koefisien D(p)

m

t

b0

1 = koefisien pembilang = koefisien N(p)

Umumnya n > m. Ambil p = d/dt maka :

n

n

n

n

n

n

m

m

m

m

n

m

mn

n

n

n

n

apapapa

bpbpbpb

pD

pN

tx

typL

txbpbtyapapapa

1

1

1

1

1

1

1

1

...

...

......

Dimana :

atorsistemoperpL

apbpbpbpN

apapapapD

n

m

m

m

m

n

n

n

n

n

1

1

1

1

1

1

1

...

...

Jadi : D(p) y(t)=N(p) x(t)

Solusi ada dua, yaitu komplementer dan partikuler

1. Solusi komplementer (yc(t)) jika input x(t) = 0,

Jadi :

0...0 011

1

apapapatypDn

n

n

nc

Didapat :

n

i

nniic tyAtyAtyAtyAty1

2211 ...

Dimana : y1(t) = en(t)

Yi = akar-akar polynomial D(p)

Ai = konstanta yang dihitung dari kondisi awal

Kemungkinan akar D(p) adalah riil atau kompleks dan simpel atau jamak.

Maka :

i. y1(t) = erit

untuk semua akar riil yang berbeda

ii. y1(t) = ert , te

rt , t

2e

rt , ... , t

m-1e

rt untuk m buah akar riil kembar

9

iii. y1(t) = et

cos t ; et sin t untuk akar komplek yang berbeda ini

dari

et

= + j

iv. y1(t) = et

cos t ; et sin t (1)

= tet

cos t ; tet sin t (2)

2. Solusi khusus (particular) jika input sistem ada , x(t) 0

txpLtxpD

pNty

txpNtypD

p

p

Kasus khusus jika input eksponensial maka output juga eksponensial.

Ambil

x(t) = Aest

Maka

yp(t) = L(p) x (t) , p = s

jika input sinudoida maka buat menjadi eksponensial.

Ingat : tjte tj sincos

Jika x(t) = A cos (t) = Re ( A tje )

Maka y(t) = ( L(p) x(t)),p = j

Jika x(t) = A sin (t) = Im ( A tje )

Maka y(t) = ( L(p) x(t)),p = j

Didapat :

Solusi persamaan : solusi komplemeter + solusi particular

y(t) = yc(t) + yp(t)

10

1.4. Realisasi Sistem Waktu Kontinyu dan Sistem Waktu Diskret

Syarat sistem dapat direalisasi jika kausal. Dapat direalisasi dalam bentuk :

a. Struktur langsung type I

b. Struktur langsung type II

a. Realisasi untuk Sistem Waktu Diskrit

a. Struktur I untuk SWD-LTW kausal

N

i

N

i

ii inxbinya0 0

Ambil ao = 1

N

i

N

i

ii inxbinyany0 0

NnyanyaNnxbnxbnxb Nn ...1...1 110

Persamaan 4 Struktur I SWD-LTW

gambar 9 Struktur I SWD-LTW Kausal

b. Struktur II untuk SWD

N

oi

N

i

ii inxbinya0

+ + + +

q-1

q-1

q-1

...

...

...

... q

-1

...

... aN-1 aN

bo

b1 BN

Bo

11

NnybnybnybNnyanyanya nn ...1...1 1010

NNoNNo qbqbbnxqaqaany ...... 1111

N

oiN

oi

N

No

N

No qb

qaqaqaa

qbqbb

qX

qy

qD

qNqL 11

1

1

1

1

1

1 1

...

...

Persamaan 5 Struktur II SWD

N

oiN

oi

nxqannx

n

qa

qL 111

1

1

1

gambar 10 Struktur II SWD

N

oi

N

oi

N

oi

i inbqbnnyqbn

nyqL

1

1

112

gambar 11 Struktur II SWD

Rangkaian total digabung

L2(q) = L1(q).L2(q)

nnx

nyn

nx

ny

+

q-1

q-1

q-1

y(n) x(n)

y(n) x(n) +

q-1

q-1

q-1

12

gambar 12 Rangkaian total

Contoh 1.3.1

SWD dengan y(n)+y(n-1)+5y(n-2)+7y(n-3)=6x(n)+4x(n-1) Buat realisasi type I

dan type II sistem diatas Jawab :

y(n) x(n) +

q-1

q-1

q-1

+

-bo

-b1

-b2

-bN

-a1

-a2

-aN

13

1.5. Stabilisasi Sistem Linier

SWK stabil jika bagian riil akar persamaan D(p) adalah negatif. Pada sistem di atas

pole p = -6 dan p = -4 adalah negatif, maka sistem stabil sistem stabil.

Jika Y = + j stabil jika < 0

Bidang p :

gambar 13 Bagian negatif D (p)

1.5.1. Persamaan Diference (untuk SWD)

Bentuk umum sistem LTW

N

i

M

i

ii inxbinya0 0

Persamaan 6 Bentuk umum LTW

Ambil ao = 1

MnxbnxbNnyanyany MN ......1 01

Dengan operator q :

Dimana :

q-1

x(n) = x(n-1) dan q x(n) = x (n+1)

maka :

y(n) (1 + a1 q-1

+ + aN q-N

) = x (n) (b0 + b1 q-1+..+ bM q

-M

L(q) =

qD

qN

nx

ny

Daerah stabil

Im(p)

riil(p)

14

N)-q aN 1-q a1 (1

-q bM ..1-q b1 (b0

Jadi : D (q)y(n) = N (q) x(n)

Solusi : y (n) = yc(n) + yp(n)

1.5.2. Solusi komplementer jika deretan masukan = 0

D(q) yc(n) = N (q).0 = 0 , maka D (q) = 0 dengan solusi, yc(n) = rk riil dan

tunggal, dimana rk = akar polynomial D (q) dengan solusi :

1. rk riil dan tunggal yk (n) = rk

2. rk riil dan jamak sejumlah m buah

3. rk kompleks tapi tunggal

4. rk kompleks dan jamak sejumlah m buah

1.5.3. Solusi partikuler jika deretan masukan ada

D(q) y p (n) = N (q) x (n)

y p (n) = )(

)(

qD

qNx(n) = L(q) x (n)

kasus khusus jika input eksponensial, ambil x(n) = A (s) n

Didapatkan : y p (n) =

[L(q) x(n)]q Stabilitas sistem SWD, stabil jika amplitudo akar polinomial D(q)

15

a. Continous Time dan Diskrit Time Signals

b. Analog dan Digital Signals

c. Real dan Kompleks Signals

d. Deterministic dan Random Signals

e. Even dan Odd Signals

f. Periodik dan Non periodik Signals

g. Energy dan Power Signals

Adapun Macam-macam sinyal-sinyal Dasar adalah

1. Unit Step Kontinyu u (t)

0,0

0,1

t

ttu

gambar 14 Unit step kontinu u (t)

2. Unit step diskrit u(n)

0,0

0,1

n

nnu

gambar 15 Unit step diskrit u (n)

3. Fungsi segiempat (t)

lainnyat

tt

,0

5.05.0,1

u(t)

1

0 t

u(n)

0 1 2 3 n

(t)

-0.5 0 0.5 t

16

gambar 16 Unit fungsi segi empat (t)

4. Fungsi segitiga

tt 1

11 t

gambar 17 Unit fungsi segi tiga

5. Fungsi sinc

tt

ttc

sinsin

gambar 18 Unit fungsi sinc

6. Fungsi impuls delta kontinyu

lainnyat

tt

,0

0,1

gambar 19 impuls delta kontinyu

7. Fungsi impuls diskrit (t)

lainnyan

nn

,0

0,1

(t)

-t 1 t

(t)

1

0 t

(n)

1

0 n

= 0 untuk t = 1, 1, ...

= 1 untuk t = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3 t

Sinc(t)

17

Operasi Pencerminan, Penskalaan waktu dan pergeseran

1. Sinyal kontinyu f (t)

a

btafbatf

2. sinyal diskrit

a

bnafbaxf

Contoh :

1. Diketahui sinyal kontinyu f(t)

lainnyat

tt

t

tf

,0

20,5.01

01,1

f(t)

1 1-0.5t

-1 0 1 2 t

+ geser kiri, - geser kanan

a = kompressi ax, a 1

1/a = ekspansi ax

pencerminan

18

lainnyat

tt

t

tf

,0

10,1

05.0,1

2

220),2(5.01

021,1

2 tt

t

tf

2.

3

1f f(2t) ekspansi 3x

tf

3

1

f(2t)

1 1-t

0.5 0 1 t

a. f(2t) kompressi 2x

,-0.5 t 0

1-t ,0 1 1

= 0 , t lainnya

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 t

1

t6

11

, 0 t 6

1, -3 t 0

19

ttf 6

11

3

1

3. f(t-3) geser kanan 3 step

3tf

\

4. f(-t)

tf

5. f(-0.5t)

1 , -1 t-3 0

, -2 t 3

1 0.5(t-3) , 0 t-3 2

2.5 0.5 t , -3 t 5

0 , t lainnya 1 2 3 4 5 t

2.5 0.5t 1

f(t-3)

1 , -1 t 0

, 0 t 1

1 0.5(-t) , 0 -t 2

1+0.25t , -2 t 0

0 , t lainnya -2 0 1 t

1- 0.5t

f(-t)

f(-0.5t)

0 , t lainnya

20

tf 5.0

6. f(3-t) = f-(t-3) = f(-t+3_ balik, geser kanan 3

tf 5.0

1.7. Konversi Sinyal Waktu Kontinyu ke Sinyal Waktu Diskrit Sinyal

Konversi sinyal kontinyu ke diskrit dapat digambarkan seperti gambar 21 sebagai

berikut :

1.8. Respon Impuls

Respons impuls adalah respons atau output sistem jika masukannya diberi fungsi

impuls/ delta.

Waktu

kontinyu t

Waktu diskrit

n

Frekuensi

diskrit Frekuensi

kontinyu

sampling

rekonstruksi

sampling

rekonstruksi

Pasangan

diskrit

Pasangan

kontinyu -1 -1

1 , -1 -0.5t 0

, 0 t 2

1 0.5(-0.5t) , 0 -0.5t 2

1+0.25t , -4 t 0

0 , t lainnya -1 0 2 t

1- 0.25t 1

1 , -1 3-t 0

, 3 t 4

1 0.5(3-t) , 0 3-t 2

-0.5+0.5t , 1 t 3

0 , t lainnya 0 1 3 4 t

f(3-t)=f-(t-3)

-0.5+0.5t

1

gambar 20 Hubungan Pasangan Kontinyu dan Pasangan Diskrit

(n)

h(n) SWD

(t)

h(t) SWK

Respons impuls

21

gambar 21 Respon Impulse

Sistem sering digambarkan dengan respons impulsnya karena dengan respons

impulsnya dapat dilihat apakah sistem tersebut kausal dan stabil

gambar 22 Respon Impulse (2)

1. Respons Impuls SWD

Contoh :

Diketahui SWD-LTW

y(n) + a1y(n-1) + a2 y(n-2) + ..........+ aN y (n-N) = x(n)

Respon impuls sistem jika x(n) = (n)

Maka y(n) = h(n)

Jadi

h(n) + a1h(n-1) + a2h(n-2) + .........+ a N h(n-N) = (n)

Karena kausal maka h(n) = 0 untuk n < 0

Maka

N = 0 h (0) = (0) = 1 ; h(n-1) =0, h (n-2) = 0 dst

N = 1 h (1) = h (1) + a1 h(0) + 0 + .......+ 0 = (1) = 0

N = 2 h(2) + a1 h(1) + a2 h (0) + .......= (2) = 0

Dst

Ingat solusi perbedaan y(n) = yc (n) + yp(n)

D(q) y(n) = N(q) x (n)

SWD x(n) h(n) y(n)

SWK x(t) h(t) y(t)

22

yc(n) D(q) yc (n) = 0 maka D (q) = 0 maka yc (n) =

m

k

n

kk rA1

yp(n) yp(n) = L (q) x (n) dimana q = s untuk x (n) = (s)n tetapi input di sini

bukan eksponensial maka yp(n) = 0

contoh :

y(n)-0,8y(n-1) + 0,15y(n-2) = x(n)

respons impuls

h(n) 0,8h(n-1) + 0,15h(n-2) = (n)

n=0 h(0) 0,8h(-1) + 0,15h(-2) = (0) = 1 h(0) = 1

n=1 h(1) 0,8h(0) + 0,15h(-1) = (1) = 0 h(1) = 0,8

n=2 h(2) 0,8h(1) + 0,15h(0) = (2) = 0 h(2) = 0,8 . 0,8 0,15 = 0,49

Solusi

m

k

nnn

kkc rArArAny1

2211

Dimana

nxqqny 21 15,08,01

3,05,015,08,015,08,01

2

2

2

2

2

21

qq

q

qq

q

q

q

qq

qqL

Jadi

nnc BAny 3,05,0

n = 0 yc(n) = A + B = 1

n = 1 yc(n) = 0,5A + 0,3B = 0,8

A + 0,6B = 1,6

A + B = 1

- 0,9B = 0,6 B = -1,5 dan A = 2,5

Maka

nunhny nn 3,05,15,05,2

23

Bagaimana jika inputnya superposisi ?

Karena sistem linier maka outputnya juga superposisi

2. Respons Impuls SWK

Dari pers Diferensial

tyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

n

n

nn

n

n 011

1

1 ...

txbdt

tdxb

dt

txdb

dt

txdb

m

m

nm

m

n 011

1

1 ...

Persamaan 7 Respon impulse SWK

Dalam operator p

txpNtypDtx

ty

pD

pNpL

Respon impuls y(t) = h(t) jika input x(t) = (t)

Dimana y(t) = h(t) = yk(p) + yp(t) yp(t) = 0

n

i

tr

ic eAtyth0

1

r = akar dari polinomial D(p)

jika input superposisi maka output superposisi prinsip linieritas dengan mencari

terlebih dahulu h(t) untuk satu harga (t)

jadi

ttyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

n

n

nn

n

n 011

1

1 ...

dengan kondisi awal (0) = 0, kalikan kedua sisi dengan dt kemudian diintegrasikan dari

0- hingga 0

+ didapat

24

0

0

1

1

1

10

dttdt

ydn

n

Contoh :

txdt

dxy

dt

dy

dt

yd3234

2

2

txppppy 32342

13

32

342

32

pp

p

pp

ppL

ttc BeAety 3

t = 0 yc(t) = A + B = 0

13 BAtdt

tdyc

-2A = 1 A = - dan B =

t

c eety31

2

1

2

1

Input tt eethtx 312

3

2

331

Input tt ee

dt

tdyth

dt

dx 32 3222

Jadi

ththth 21

25

tueeth t 5,05,1 3

1.9. Konvolusi

Konvolusi adalah suatu operasi perkalian sekaligus penjumlahan. Dalam kawasan

waktu dapat digunakan untuk mendapatkan respon sistem terhadap masukan bebas. Jadi

merupakan transformasi dari masukan ke keluaran.

1.9.1. Penjumlahan Konvolusi

Teorema

Jika x(n) adalah input suatu SWD-LTW dan y(n) output sistem tsb dimana y(n) =

T [x(n)] maka :

k k

khknxknhkxny

Persamaan 8 Konvolusi

Dimana semua operasi di atas didefinisikan sebagai operator konvolusi * sehingga

k k

khknxknhkxnhnxny *

h(n) = respon impuls

x(n) h(n) y(n)

y(n) = x(n) * h(n)

Sifat :

1. Commutative x(n) * h(n) = h (n) * x(n)

26

2. Assosiative x(n) * [y(n) * z(n) ] = [ x(n) * y(n)] * z (n)

3. Distributive untuk operasi penjumlahan

x(n) * [y(n) * z(n) ] = x(n) * y(n) * z(n)

4. Memiliki elemen identity

x(n) * (n)= (n) * x (n) = x(n)

5. Konvolusi dari suatu deretan pulsa sampling tertunda dengan x(n)

x(n) * (n-k) = x (n-k)

Contoh :

gambar 23 Konvolusi x(n) dan h(n)

1.9.2. Integral Konvolusi

Prinsip dan sifatnya sama dengan SWD dimana diganti dengan

xth*txtyx

-

dhtxdtthx

Persamaan 9 Konvolusi Integral

x(n) SWD- LTW

h(n) x(n)

n n

h(n) x(n)

0,5

3 2 1

Dapatkan output sistem y(n) = x(n) * h(n)

x(t) h(t) y(t)

27

secara grafis :

Gambarkan x() dan h (t0 - ) dimana h (t0 - ) = h- ( - t0 ) yaitu h() yang

dicerminkan kemudian digeser sejauh t0 kemudian di integralkan

Disini merupakan variabel integrasi, jadi set satu harga t kemudian lakukan

operasi di atas dimana hasil integrasi merupakan luas bawah kurva

Contoh :

Hitung y(t)

Jawab

dthxthtxty *

Set 0 < t < 1

R=1 y(t)

L=1H

x(t)

x(t)

t

1

1

x(t) h(t) y(t)

x(t) h1(t) = e-tu(t) h(-t)

1 t t t

1

1

x()

0 t 1

28

dthxthtxty *

t

rt de0

1

t

tt edee0

1

1

0

1 eeee et

t

1.1 e

BAB II ANALISIS FOURIER PADA SINYAL WAKTU KONTINYU

2.1. Pendahuluan

Analisis Fourier, diambil setelah ilmuwan fisika Prancis Jean Baptise Fourier

(1768-1830), memecahkan bahwa hampir seluruh fungsi periodik dapat

direpresentasikan sebagai sinusoidal pada seluruh frekuensi yang terkait. Kerja Fourier

telah membawa dampak yang nyata dalam teori sistem linier khususnya dalam teori

komunikasi. Bukan hanya membuat kita untuk dapat mengerti sinyal periodik melalui

29

spektrum frekuensinya tetapi juga dapat mengembangkan pengetahuan dasar pada

sejumlah sinyal periodik melalui transformasi Fourier.

Kontribusi Fourier dapat disimpulkan oleh pernyataan bahwa sinyal yang

digunakan dalam engineering dapat direpresentasikan dalam domain waktu dan

domain frekuensi, lebih dari itu representasinya mempunyai hubungan secara unik

sehingga pengubahan representasi sinyal tersebut dalam satu domain akan mengubah

representasinya dalam domain yang lain.

2.2. Deret Fourier Untuk Sinyal Perodik Sinyal x(t) dikatakan periodik jika memenuhi persamaan dibawah ini untuk

sejumlah nilai T,

x(t + T)=x(t)

Persamaan 10 Deret fourier untuk sinyal periodik

nilai terkecil T yang memenuhi Persamaan 10 diatas disebut sebagai periode sinyal.

Besaran fo=1/T dikatakan frekuensi dasar sinyal (Hertz) dan o=2fo adalah frekuensi

dasar dalam radian perdetik.

Sinusoidal dengan frekuensi nfo, dimana n adalah integer, dikatakan sebagai

harmonik ke n.

2.2.1. Bentuk Trigonometri pada Deret Fourier

Jika x(t) adalah fungsi periodik dengan periode T, hampir dalam setiap kasus dapat

diekspresikan dengan teorema Fourier seperti Persamaan 11 dibawah ini :

1

sincosn

onono tnbtnaatx

Persamaan 11 Teorema fourier

Persamaan 11 tersebut disebut sebagai deret fourier untuk x(t) konstanta ai dan b1

disebut koefisien fourier. Persamaan 2.2 tersebut menunjukkan bahwa sinyal periodik

30

gambar 24 Beberapa sinyal periodik yang sering digunakan

x(t) dapat didekati dengan penjumlahan sejumlah sinyal sinusoidal dengan periode

T=2o.

Analisis Fourier pada sinyal waktu kontinyu bertujuan untuk memindahkan sinyal

dari kawasan tertentu ke kawasan frekuensi, yaitu dengan menggunakan Deret Fourier

Waktu Kontinyu (DFWK) untuk sinyal periodik, dan dengan Transformasi

Fourier Waktu Kontinyu (TFWK) untuk sinyal tidak periodik (aperiodik). Deret

x(t) sebagaimana Persamaan 12 dapat juga dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :

1

cosn

oono tndatx

Persamaan 12 Deret x (t)

Hubungan koefisien an dan bn terhadap dn dan n dapat ditunjukkan sebagai berikut :

an = dn cos n

bn = dn sin n

Persamaan 13 koefisien an dan bn

Untuk keperluan perhitungan koefisien fourier digunakan sifat dasar ortogonalitas

sinusoidal. Beberapa integral penting yang dapat secara mudah dihasilkan untuk to dan

bilangan bulat n dan m maka :

To

n

t

t

o dttn 0sin (2.5)

Persamaan 14 koefisien fourier 1

To

n

t

t

o dttn 0cos (2.6)

Persamaan 15 koefisien fourier 1I

X(t

)

X(t

) X(t

)

31

To

n

t

t

oo dttmtn 0cossin (2.7)

Persamaan 16 koefisien fourier 1II

To

n

t

t

oo

mnjikaT

mnjikadttmtn

2/

0sinsin (2.8)

Persamaan 17 koefisien fourier 1V

To

n

t

t

oo

mnjikaT

mnjikadttmtn

2/

0sinsin (2.9)

Persamaan 18 koefisien V

Kita dapat menggunakan identitas diatas untk mengevaluasi koefisien fourier.

Pertama, kita kalikan kedua sisi dari Persamaan 11 dengan dt dan mengintegralkan

sepanjang satu perioda, misal t0 sampai t0 + t. Dengan menggunakan Persamaan 14 dan

Persamaan 15 maka sisi kanan akan hilang, kecuali a0. Sehingga kita peroleh :

Tt

tdttx

Ta

0

0

10 (2.10)

Persamaan 19 koefisien V

Begitu pula pengalian kedua sisi Persamaan 11 dengan cos n0t dan mengintegralkan

sepanjang satu perioda, akan kita peroleh harmonisa ke-n :

Tt

tn dttntx

Ta

0

00cos

2 (2.11)

Persamaan 20 Harmonisa an dan bn

Tt

tn dttntx

Tb

0

00sin

2 (2.12)

Persamaan 21 armonisa an dan bn (2)

2.2.2. Deret Fourier Waktu Kontinyu Bentuk Eksponensial

32

Bentuk eksponensial dari deret Fourier didasarkan pada identitas Euler,yang

dapat ditulis sebagai berikut :

2

cos00

0

tjntjnee

tn

(2.13)

Persamaan 22 Identitas euler

j

eetn

tjntjn

2sin

00

0

(2.14)

Persamaan 23 Identitas euler (2)

Persamaan diatas kita substitusikan ke dalam Persamaan 11, kita peroleh :

1

000 sincosn

nn tnbtnaatx

1

022

0000

n

tjntjn

n

tjntjn

nj

eeb

eeaa

1

000

22n

tjnnntjnnn ejba

ejba

a (2.15)


Selanjutnya dapat lebih disederhanakan dengan substitusi dibawah ini :

00 ac

2

nnn

jbac

2

nn

n

jbac

Sehingga :

n

tjn

necatx0

0 (2.16)


33

Demikian juga, dengan mensubtitusi integral an dan bn dari Persamaan 20 dan

Persamaan 21, kita peroleh :

Tt

t

tjn

n dtetxT

c0

0

01

(2.17)

Persamaan 26 Transformasi fourier

Persamaan 25 dan Persamaan 26 diatas mendifinisikan deret fourier bentuk

eksponensial yang mana Persamaan 26 merupakan persamaan analisis untuk

menganalisa persamaan bentuk periodik ke dalam komponen fourier. Sedangkan

Persamaan 25 dikatakan sebagai persamaan sintesis yang dapat digunakan mensintesa

bentuk gelombang dari komponen Fourier.

Hubugan antara koefisien fourier bentuk trigonometri dengan bentuk

eksponensial ditunjukkan sebagai berikut :

nj

nnn cedjban 2 (2.18)

Persamaan 27 Koefisien fourier

Contoh 2.2

Kita perhatikan gelombang bentuk persegi seperti pada contoh 3-1, misalnya lebar pulsa

1 tinggi A1 dan periode T, maka :

Tt

t

T

Ttjn

T

T

tjn

T

T

tjntjn

n dtedtedtAeT

dtetxT

c0

0

0000

2

22

2

.0.011

2

2

01

A

A

tjndtAe

T

j

e

j

e

Tn

Ae

Tjn

AtjntjnA

A

tjn

22

2 000

0

2

20

34

2sin

2

sin 0

0

0 ncT

A

n

n

T

A

Untuk n=0 dengan L1 Hopital diperoleh

T

Ac

0 , sehingga :

z

n

tjne

nc

T

A

T

Atx

1

0 0

2sin (2.19)

Persamaan 28 Fungsi L Hospital

2.2.3. Pengaruh Simetri

Sebuah sinyal periodik dikatakan fungsi genap jika memenuhi persamaan :

x(t) = x(-t) (2.20)

Persamaan 29 Fungsi genap

dan dikatakan fungsi ganjil jika :

x(t) = -x(-t) (2.21)

Persamaan 30 Fungsi ganjil

Persamaan 29 dan Persamaan 30 diatas menunjukkan bahwa fungsi genap adalah

simetri pada sumbu vertikal pada t=0, dan fungsi ganjil adalah antisimetri terhadap

sumbu vertikal. Beberapa contoh fungsi genap dan ganjil ditunjukkan pada gambar 25

Dengan demikian bahwa sin n0t adalah ganjil dan cos n0t adalah genap untuk

seluruh nilai n. Hasil dari penjumlahan dari beberapa fungsi ganjil adalah fungsi ganjil,

dan hasil dari penjumlahan sejumlah fungsi genap adalah fungsi genap. Sehingga Deret

Fourier untuk fungsi periodik ganjil dapat berisi hanya sinus dan konstanta. Sama

halnya, deret fourier untuk fungsi periodik genap dapat berisi hanya cosinus dan

konstanta. Konstanta akan bernilai nol jika daerah dibawah setengah siklus positif sama

dengan daerah dibawahsetengah siklus negatif. Jika kita menggunakan bentuk

eksponensial, koefisien yang muncul adalah majiner untuk fungsi ganjil dan real untuk

fungsi genap.

(a) (b) (c)

35

gambar 25 Contoh fungsi genap dan ganjil (a) fungsi genap (b) fungsi ganjil (c) fungsi genap

Dari keterangan diatas dapat kita pahami bahwa, jika sebuah sinyal periodik

mempunyai simetri ganjil atau genap, maka pengintegralan dapat dilakukan hanya

setengah periode, oleh karena setengah periode yang lainnya identik. Dengan

mengalikan hasil integral setengah periode tersebut dengan 2, akan diperoleh hasil akhir

integral lengkap.

Sebuah fungsi periodik dikatakan mempunyai simetri setengah gelombang jika :

txT

tx

2

Persamaan 31 Simetri setengah gelombang

Jenis simetri ini dapat divisualisasikan dengan catatan bahwa, jika bagian setengah

gelombang negatif dari gelombang digeser sepanjang setengah periode maka akan

merupakan cermin (bayangan) dari bagian setengah-gelombang positif terhadap sumbu

waktu t.

Beberapa bentuk gelombang yang mempunyai simetri setengah gelombang

ditunjukkan dengan gambar 26

gambar 26 Contoh bentuk gelombang dengan setengah-gelombang

2.2.4. Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Kontinyu

x(t)

t

x(t)

t

36

Dengan memahami sifat-sifat deret fourier, maka akan mempermudah dalam

menentukan deret fourier dari beberapa fungsi periodik. Untuk itu kita akan memulai

dengan operasi penurunan (deferensial) dan pengintegralan.

2.2.4.1. Diferensial dan Integrasi Sinyal Periodik

Jika deret fourier untuk sinyal periodik diketahui, maka deferensial atau integral

sinyal tersebut dapat diketahui jika penurunan atau mengintegralkan tiap-tiap bagian

dari deret tersebut. Lebih jelasnya, jika penurunan deret kedua sisi deret fourier

komplek yang diberikan persamaan 2.16 akan diperoleh :

n

ttjn

n

tjn

n ectjnecdt

d

dt

dx00 ..0 (2.23)

Persamaan 32 Differensial dan integrasi sinyal periodik

Dari Persamaan 32 dapat kita lihat bahwa pengaruh diferensial adalah pengalian

koefisien fourier dengan jn0. Dengan kata lain, jika koefisien deret fourier komplek

diberikan oleh jn0 cn. Ini menunjukkan bahwa pengaruh penurunan akan menaikkan

magnituda ke harmoni yang lebih tinggi.

Demikian halnya integrasi adalah kebalikan turunan. Pengaruh integrasi akan

membagi koefisien bentuk komplek pada deret fourier oleh jn0. Sehingga, integrasi

mempunyai pengaruh pengurangan magnituda pada harmonik yang lebih tinggi dari

sinyal tersebut. Dalam integrasi ini harus dihitung juga konstanta integrasi. Hal ini dapat

diperoleh secara sederhana, komponen dc dari integrasi diperoleh dari daerah dibawah

satu putaran penuh fungsi itu.

2.2.4.2. Pengaruh Pergeseran waktu pada bentuk gelombang

Diberikan sebuah sinyal x(t) dengan deret Fouriernya adalah :

n

tjn

n ectx0. (2.24)

Persamaan 33 Deret fourier

37

Misalkan kita definisikan sinyal lainnya y(t), yang mempunyai korelasi dengan x(t)

sebagai berikut :

y(t) = x(t-) (2.25)

Persamaan 34 Deret fourier (2)

Sinyal x(t) dan y(t) ditunjukan dalam gambar 2-6. Menunjukkan bahwa

keterlambatan tersebut dapat diperoleh dari transformasi sederhana dengan mengubah

variable t menjadi (t-). Konskuensinya, deret fourier untu y(t) akan diperoleh dengan

penggantian t menjadi (t-) kedalam persamaan 2.24, sehingga diperoleh :

n

tjn

n ectx0. (2.26)

Persamaan 35 Deret fourier (3)

Koefisien Fourier untuk fungsi yang telah digeser, n diperoleh :

n = c.e-jn0

(2.27)

Persamaan 36 Koefisien fourier

Ini menunjukkan bahwa dua koefisien Fourier tersebut adalah bilangan kompplek

dengan amplituda sama, akan tetapi argumen berbeda :

gambar 27. Pergeseran sepanjang sumbu waktu

Didepan telah kita singgung bahwa hampir setiap kasus sebuah fungsi periodik

dapat diekspresikan dalam bentuk deret fourier. Hal ini benar untuk hampir seluruh

x(t)

t

t

y(t)

38

sinyal yang digunakan dalam masalah engineering, tetapi perlu sekali mengetahui

kondisi yang diperlukan agar deret konvergen untuk fungsi yang diberikan. Kondisi

ini dikatakan Dirichlet Condition. Jika sebuah fungsi memenuhi kondisi ini maka

deret fourier dengan nilai tak terhingga (infinite), dijamin konvergen untuk

seluruh nilai t, dengan pengecualian pada titik diskontinyu sinyal. Kondisi tersebut

adalah seperti dibawah ini :

1. Fungsi tersebut dapat diintegralkan secara mutlak (absolutly integrable) sepanjang

beberapa periode, sehingga :

Tt

tdttx

0

0

(2.28)

Persamaan 37 absolutly integrable

2. Fungsi harus mempunyai nilai maksima dam minima terbatas (finite) sepanjang

perioda penuh.

3. Fungsi harus mempunyai jumlah diskontinuitas terbatas sepanjang perioda penuh.

Dalam kenyataannya, dapat dibuktikan bahwa jika suatu fungsi memenuhi ketiga

kondisi tersebut, maka deret Fourier Truncuted akan merupakan pendekatan terbaik

untuk sinyal aslinya, dibandingkan dengan beberapa fungsi harmonik lainnya.

2.3. Sistem Dengan Input Periodik

2.3.1. Respon Steady-State Terhadap Input Sinusoidal

Dalam Bab I kita telah membahas solusi particular persamaan diferensial linier

untuk fungsi sinusoidal yang mana telah diperoleh sangat sesuai menggunakan aljabar

komplek. Sebagaimana hal ini, dasar pendekatan adalah identik dan didasarkan pada

penggantian operator p dengan j, dimana adalah frekuensi sinusoidal dalam radian

perdetik.

Diberikan sebuah sistem linier yang dijelaskan oleh persamaan diferensial dibawah

ini, ditulis dalam notasi operator :

tupNtypD (2.29)

Persamaan 38 Persamaan differensial

39

Dimana D(p) dan N(p) adalah polinomial adalah operator diferensial p. Kita akan

meninjau kasus khusus dimana fungsi input u(t) adalah sinusoidal, diberikan oleh :

tAtu cos (2.30)

Persamaan 39 Fungsi input sinusiodal

Misalkan dengan identitas Euler kita tulis sebagai berikut :

tjtj eUeUtAtu cos (2.31)

Persamaan 40 Identias euler

Dimana :

jAeU 5.0 (2.32)


Dan

jAeU 5.0 (2.33)


Catatan bahwa secara umum U dan U adalah bilangan komplek dan konjugatnya U

dikatakan sebagai phasor yang merepresentasikan sinusoidal, yang mana berisi

informasi mengenai magnituda dan phase sinusoidal tersebut.

Dalam bab terdahulu, komponen steady-state akan diperoleh dengan menggunakan

superposisi :

tj

jp

tj

jp UepD

pNUe

pD

pNty

(2.34)

Persamaan 43 Komponen steady state

Jika sekarang kita mendefinisikan :

40

jjp Me

pD

pNty (2.35)

Persamaan 44 Komponen steady state (2)

Dimana M adalah modulus pada bilangan komplek dan adalah argument, kita

dapat menuliskan persamaan diatas :

tjtj eYeYty (2.36)


Dimana bilangan komplek

jj MAeUMetY (2.37)


Dan Y konjugat komplek

Dengan mensubtitusikan Y dan Y kedalam persamaan (2.36) diatas, kita peroleh

solusi steady-state :

tMAtyss cos2 (2.38)


Contoh 2-3 :

Rangkaian listrik seperti gambar dibawah dengan masukan sistem sebagai berikut :

36cos8

43cos2010

tttx (2.39)


Kita akan menghitung keluaran sistem stedy-state yss

gambar 28 Rangkaian RLC 2 Loop

Rangkaian tersebut jika nyatakan dalam operator p :

1 Mohm 1 Mohm

1 F 1 F x(t)

41

,133 txtyPP maka

13

13

PPtx

typL

Dalam kasus ini, input terdiri atas tiga komponen, dengan frekuensi0, 3, dan 6

radian. Oleh karena itu kita akan mengevaluasi sistem dalam frekuensi tersebut dan

kemudian mengalikan nilainya secara berurutan dengan phasor input untuk memperoleh

phasor output yang sesuai.

113

103

jP

PP

2297433 8305.013

1 jjP e

PP

26665863 0254.013

1 jjP e

PP

Akhirnya tegangan keluaran steady-state diberikan oleh :

66658.2

36cos0203.02974.2

43cos609.16102

ttv (2.40)

Persamaan 49 Tegangan keluaran steady state

2.4. Spektrum Sinyal Periodik

Pada umumnya, fungsi periodik terdiri fungsi sinusoidal dasar dan sejumlah

harmoniknya (secara teori tak terhingga). Jenis fungsi bergantung pada perubahan nilai

pada tiap-tiap harmonik. Jika kita menggunakan bentuk eksponensial untuk deret

Fourier, maka cnt yang secara umum adalah bilangan komplek,mengandung informasi

tentang magnituda dan phase tiap-tiap komponen gelombang. Jika cnt magnituda cn

diplot terhadap n0t kita akan memperoleh spektrum frekuensi magnituda fungsi

periodik tersebut. Dengan jalan yang sama kita dapat memplot spektrum frekuensi dari

phase cn. Dalam penggunaan yang umum, spektrum dari magnituda dikatakan sebagai

spektrum frekuensi, mungkin karena tidak berubah terhadap pergeseran waktu, dimana

spektrum dari phasa berubah terhadap pergeseran sepanjang sumbu waktu.

2.5. Daya Rata-Rata Sinyal Periodik

Berdasarkan Parseval pendekatan teorema, daya ratarata sinyal periodik adalah :

42

tjn

n

nectx

)(

Tt

tdttx

TP

0

0

21 (2.41)

Persamaan 50 Daya rata-rata sinyal periodik

Dimana T adalah perioda sinyal. Dapat ditunjukkan bahwa kuantitas P akan

merepresentasikan daya rata-rata sebenarnya yang dikirim kedalam resistor 1 ohm jika

x(t) adalah arus yang mengalirinya atau tegangannya.

Sifat ortogonalitas antar harmonik dalam deret Fourier, sebagaimana ditunjukkan

dalam bantuan Persamaan 10 dan Persamaan 11, bahwa : memungkinkan utuk

menghitung daya rata-rata dalam komponen koefisien Fourier tanpa harus mengerjakan

integrasi seperti yang diberikan dalam persamaan (2.41).

Hal ini dapat ditunjukkan dengan mudah, melalui bantuan Persamaan 10 dan

Persamaan 11, bahwa :

Tt

tn

ncdttxT

P0

0

221 (2.42)

Persamaan 51 Daya rata-rata sinyal periodik (2)

Dimana cn adalah koefisien deret Fourier komplek. Persamaan diatas juga mungkin

diekspresikan dalam bentuk koefisien deret Fourier trigonometri, sehingga :

n

nnbaaP

222

02

1 (2.43)

Persamaan 52 Koefisien deret fourier trigonometri

2.6. Transformasi Fourier

Pada bahasan 2.4 telah dijelaskan bahwa spectrum frekuensi pada sinyal periodik

adalah diskret dan dapat diperoleh dengan deret Fourier. Dengan pendekatan bentuk

eksponensial, dimana nilai spektralnya adalah diskret terhadap frekuensi, cn = f()

dengan n nilai integer.

43

dttx )(

tt

t

tjn

n etxT

c

0

0

)(1

Sekarang kita akan membahas konsep spektrum frekuensi dari sinyal aperiodik. Hal

ini sangat penting karena hamper setiap saat kita dihadapkan pada sinyal yang tidak

periodik. Untuk keperluan ini digunakan Transformasi Fourier. Untuk mempelajari

masalah ini kita gunakan pendekatan pengaruh kenaikan periode pada sinyal. Dalam

batas tertentu, ketika periode mendekati tak terhingga, kita akan memperole sinyal

aperiodik.

Dengan kata lain sebuah sinyal aperodik dapat dianggap sebagai sinyal periodik

dengan perode tak terhingga.

0 = T

2 0 untuk T

Sehingga d untuk sinyal periodik sangat kecil.

Konsekuensinya, spectrum diskret untuk fungsi perodk akan digantikan dengan

spectrum kontinyu untuk fungsi aperiodik.

dextx tj)(2

1)(

(2.47)

Persamaan 53 Integral spectrum discret

dtetxx tjn

)()( (2.48)

Persamaan 54 Integral spectrum kontinou

Dimana spectrum frekuensi x() adalah transformasi Fourier dari x(t) dan x(t)

adalah invers transformasi Fourier dan x().

Sebagaimana pada deret Fourier, fungsi x(t) harus memenuhi Diriclet Condition

agar transformasi Fourier ada. Kondisi ini menjamin bahwa integral yang didefinisikan

dalam persamaan 2.38 akan konvergen. Kondisi tersebut adalah

1. x(t) harus absolutely integrable, yaitu:

44

(2.49)

Persamaan 55 absolutely integrable

2. X(t) harus mempunyai jumlah maxima dan minima terhingga dalam interval

waktu terbatas

3. x(t) harus mempunyai jumlah diskontinyu terhinga dalam sejumlah interval dan

tiap-tiap diskontinyu terhingga

2.6.1. Beberapa Pasangan Transformasi Fourier

Dalam bahasan ini kita akan memberikan contoh mencarimencari tranformasi

Fourier untuk beberapa fungsi aperiodik, kemudian diikuti pencarian invers

transformasi Fouriernya.

2.6.2. Sifat-Sifat Transformasi Fourier

Dengan mengenal sifat-sifat transformasi Fourier akan mebuat kita mengerti

hubungan representasi sinyal pada kawasan waktu dan kawasan frekuensi. Selain itu

juga akan membantu kita memperoleh transformasi Fourier dengan lebih mudah.

Dalam hal ini kita sepkati bahwa :

X() = F [x(t)] menunjukkkan bahwa X() adalah transformasi Fourier dari x(t)

X(t) = F -1

[X()] x(t) adalah transformasi Fourier dari X ()

2.6.2.1. Linieritas

Sifat linieritas ditunjukkan :

X1 () = F [x1(t)] dan

X2 () = F [x2(t)]

Maka

F[a1x1(t) + a2x2(t)] = [a1X1() + a2 X2()]

45

Persamaan 56 Sifat linieritas

2.6.2.2. Dualitas

Dalam bahasan terdahulu, bahwa transformasi Fourier dari pulsa segiempat dalah

fungsi sinc , dan transformasi fungsi sinc adalah pulsa segiempat. Demikian juga

transformasi suatu konstanta adalah impuls dan impuls adalah suatu konstanta.

Hubungan dualitas transformasi Fourier ditunjukan sbb :

Jika

X () = F [x(t)] maka F [X(t)] = 2 x (-)

Persamaan 57 Prinsip dualitas

2.6.2.3. Turunan Dan Integral Dalam Kawasan Waktu

Seringali kita perlu menentukan transformasi Fourier untuk fungsi waktu dengan

memperolehnya dari fungsi waktu yang lain yang telah diketahui transformasi

Fouriernya. Persamaan berikut dapat membantu kita untuk keperluan ini.

Jika X () = F [x(t)] maka F [px(t)] = j x ()

Dan

)()0()(1

)(1

XjX

jtx

pF

Persamaan 58 Turunan dan itegral dalam kawasan waktu

2.6.2.4. Penskalaan Waktu Dan Frekuensi

aX

aatmakaFxtxFJikaX

1)()()(

Persamaan 59 Penskalaan waktu dan frekuensi

Dimana a adalah konstanta real

2.6.2.5. Pergeseran Waktu

Theorema :

)()()0()()( 0 XeatttmakaFtxFJikaX tj

Persamaan 60 Pergeseran waktu

46

2.6.2.6. Pergeseran Frekuensi

Theorema :

)()()()( txeFatomakaXtxFJikaX otj

Persamaan 61 Pergeseran frekuensi

2.6.2.7. Turunan Dan Integral Dalam Kawasan Frekuensi

Theorema :

)()(:)()( tjtxFd

dXmakatxFJikaX

Persamaan 62 Turunaan dan integral dalam kawasan frekuensi

2.6.3. Konvolusi

2.6.3.1. Konvolusi Dalam Kawasan Waktu

Teorema :

Misalkan:

X () = F [x(t)] , H()= F[h(t), dan jika Y () = F [y(t)]

dimana x(t), h(t), dan y(t) dihubungkan oleh integral konvolusi sbb :

dthxty )()()(

)()()( XHY

Persamaan 63 Konvolusi dalam kawasan waktu

2.6.3.2. Konvolusi Dalam Kawasan Frekuensi

Teorema:

Misalkan :

X () = F [x(t)] dan Y () = F [y(t)] maka :

duuyuXtytxF )()(2

1)()(

Persamaan 64 Konvolusi dalam kawasan frekuensi

2.6.4. Transformasi Fourier Pada Fungsi Periodik

47

2.6.4.1. Transformasi Fourier Pada Suatu Konstanta

Pada contoh 2.8 telah ditunjukkan bahwa invers transformasi Fourier untuk fungsi

impuls unit () adalah satu konstanta 1/2 leh karena itu, transformsi Fourier suatu

konstanta adalah 2 A ()

2.6.4.2. Transformasi Fourier Pada Sinusoidal

Transformasi Fourier untuk sinusoidal dapat ditentukan dari pernyataan bentuk

eksponensial kompleks sebagai berikut:

2

cosotjnotjn ee

otn

j

eeot

otjnotjn

2sin

Persamaan 65 Eksponensial kompleks

Konsekuensinya, untuk mengevaluasi transformasi fungsi tersebut, pertama kali

kita harus memperolehtransformsi fourier pada fungsi eksponensial. Kita dapat

mengerjakannya dengan mencari invers transformasi fourier untuk fungsi impuls (-

0).

otjtj edeotx

2

1)(

2

1)(

oeF otj 2

)]()(cos ootF

)()(sin oojtF

48

Hasil ini membrkan kita suatu pendekatan lain untuk menjelaskna modulasi.

Perkalian sinyal pemodulasi dengan pembawa sinusoidal sama dengan konvolusi dalam

kawasan frekuensi.

Tabel 1 Pasangan Transformasi Fourier

X(t) X() Keterangan

1. A(t-to) tojAe Impuls pada t=to

2. A 2A() Fungsi step

3. A(t)

)(

1

jA Hanya benar untuk a>0

4. A e at

(t) ja

A Hanya benar untuk a>0

5. A e at

2)(

22 ja

Aa Hanya benar untuk a>0

6. A e at

cos o t (t) 2)(

)(

ja

jaA Hanya benar untuk a>0

7. A e at

sin o t (t) 2)(

ja

oA Hanya benar untuk a>0

8. A t e at

(t) 2)( ja

A Hanya benar untuk a>0

9. A e jt

)(2 oA

10. A cos o t )()( ooA

11. A sin o t )()( oojA

49

12. A PT (t)

2sin

TcAT

Pulsa segi empat dengan

tinggi A, -T/2

50

2.7. Energi Sinyal

Kandungan energi sinyal didefinisikan sebagai :

dttxE )(2

Persamaan 66 Energi signal

Integral di atas merepresentasikan energi total yang akan didisipasikan dalam

hambatan satu ohm dengan arus x(t) yang melaluinya atau tegangan x(t).

Hanya daya dari sinyal perodik yang dapat diperoleh dari koefisien deret fourier,

sekarang kita akan menunjukkan bahwa energi sinyal aperiodik dapat diperoleh dari

transformasi fourier.

Dengan menggunakan invers transformasi fourier, kita dapat menuliskan

persamaan sebagai berikut :

dtdextxE tj)(

2

1)(2

ddtetxX tj)()(2

1

dXX )()(2

1

Persamaan 67 Inverse transformasi fourier

Dimana x(t) adalah fungsi waktu nyata, X (-)=X*(). Sehingga kita peroleh

dttxE )(2 =

dX 2)]([2

1

Persamaan ini merepresentasikan bentuk yang dihasilkan dari teorema Parseval untuk

fungsi waktu nyata aperiodik dengan energi terbatas Fungsi [X()]2 diketahui sebagai

energy spectral density function pada sinyal x(t) yang menunjukkan distribusi energi

total pada sinyal tersebut.

51

BAB III ANALISIS FOURIER UNTUK SINYAL WAKTU DISKRIT

Dalam bab 2 kita telah mempelajari bagaimana sinyal kontinyu waktu berulang

dapat digambarkan sebagai sebuah superposisi sinusoida dalam bentuk sebuah fourier

deret. Dalam bab ini kita akan mengulangi kembali waktu diskrit dalam teori yang

dipelajari dalam bab sebelumnya. Dalam bagian berikutnya kita akan memulai dengan

gambaran deret fourier dari sinyal waktu diskrit kontinyu. Ini akan diikuti dengan

sebuah pengkajian dari Transformasi fourier waktu diskrit (TFWD), dan perulangan

spektrum frekuensi dan sinyal-inyal waktu diskrit periodik.

3.1. Deret Fourier Untuk Sinyal-Sinyal Waktu Diskrit Berulang

Dalam bab 2, sebuah sinyal SWD x(n) didefinisikan periodik jika beberapa integer

postif N, sinyal tersebut memenuhi persamaan :

X(n)= x(n+N

Persamaan 68 Deret fourier sinyal waktu diskrit

Nilai terkecil N sehingga pers. 3.1 tsb dinamakan perioda sinyal. Juga telah

ditunjukan dalam bab 2 hanya untuk kasus sinyal waktu persamaan berulang yang

paling sederhana berbentuk :

X(n) = a n cos (2n/N)

52

X(n) = b n sin (2n/N)

Kita mendefinisikan frekuensi sudut sinyal-sinyal berulang waktu diskrit sbg :

= 2/N

Dengan satuan radian. Untuk sinyal-sinyal kontinyu frekuensi sudut dilambangkan

mempunyai satuan radian per detik. Frekuensi sudut tidak dapat dipenuhi oleh

sembarang nilai. Tetapi untuk fungsi berulang kontinyu waktu tidak ada batasan nilai

untuk .

Jadi dapat disimpulkan :

Cos ( + 2 k)n = cos n

Dimana k adalah sembarang integer. Ini menunjukkan bahwa persamaan sinusoida

yang identik dihasilkan untuk ferkuensi yang dipisah pada jarak 2 . Sebagai

konsekuensi dari hasil ini adalah bahwa hanya nilai-nilai terbatas dari harmonisa-

harmonisa bebas sinyal tersebut.

Dalam kasus sinyal waktu diskrit kita boleh menggunakan bentuk trigonometri :

o= 2/N Berdasar cos (kon) mempunyai harmonisa-harmonisa sbb:

cos (Non) = cos (2n) = cos (0on)

cos ([N+1]on) = cos (on)

cos ([N+2]on) = cos (2on)

cos ([N+k]on) = cos (Non

Persamaan 69 Nilai harmonisa

Hubungan yang serupa dengan mudah dikembangkan untuk harmonisa-harmonisa

dari bentuk sin ([N+k]on)

53

3.2. Pernyataan Deret Fourier

Didasarkan pada hubungan :

122

kj

N

N

kjNojk eee

Dimana k adalah sembarang integer untuk penyeragaman notasi, maka unit satuan

akar ke N dinotasikan sbb :

ojN

j

N eeW

2

Satu set sinyal kompleks waktu diskrit yang brulang dengan periode N diberikan

oleh persamaan :

N

kj

k

N ew

2

semua dari sinyal sinyal ini mempunyai frekuensi yang merupakan

kelipatan dari frekuensi dasar W N dan dinamakan harmonisa. Lebih lanjut frekuensi-

frekuensi ini memenuhi hubungan orthogonalitas :

0

1

)1()(

i

N

N

N

i

Nk

Nw

www

Dimana i sembarang integer.

Kita jabarkan sembarang sinyal berulang waktu diskrit dengan periode N dalam

bentuk deret Fourier, sbb :

1

0

2,1,0,)(N

k

kn

Nk nwanx

54

Dimana,

.1,.....,2,1,0,)(1

NkwnxN

a knNk

Yang paling penting untuk diingat bahwa deret Fourier sinyal waktu diskrit adalah

sebuah penjumlahan nilai-nilai yang jumlahnya terbatas, seperti yang ditunjukkan pada

pers. 3.13, dimana ini berbeda sekali deret Fourier untuk sinyal-sinyal kontinyu waktu

yang terdiri dari nilai-nilai yang jumlahnya tak terbatas. Terdapat komponen dc dan

komponen pokok frekuensi yang besarnya 2/N. Harmonisa-harmonisa frekuensi yang

besarnya 2k/N, dimana k=2,3,4,N-1. Penting juga dicatat bahwa hanya komponen-

komponen N dari deret yang harus dievaluasi.

3.3. Pembuktian Persamaan Deret Fourier

Persamaan 3.13 dan 3.14 adalah merupakan pernyataan deret Fourier untuk waktu

diskrit.

Contoh 3.1

Cari koefisisen Fourier waktu diskrit gelombang kotak seperti diperlihatkan dalam

gb 3.4 untuk N=8

3.4. Respon Tunak Terhadap Masukan Periodik

Respon tunak dari sistem waktu diskrit stabil terhadap masukan periodik dapat

ditentukan cara yang sama seperti cara-cara yang digunakan untuk sistem waktu

kontinyu.

Contoh 3.2

Tentukan output tunak (steady state) dari sistem, bila sistem mempunyai persamaan

sistem dan persamaan masukan periodik dengan perioda 10.

Persamaan sistem diskrit :

Y(n+2)-0.7y(n+1)+0.1y(n)=u(n+1)+2u(n)

Persamaan 70 Sistem diskrit

Persamaan masukan periodik diberikan oleh : U(n)= 20 e 102 nj

55

3.5. Transformasi Fourier Waktu Diskrit

Di bab ini kita akan membahas penerapan deret Fourier untuk sinyal-sinyal waktu

diskrit tidak periodik. Ini akan diselesaikan dengan cara yang digunakan untuk

menyelesaikan kasus waktu kontinyu.

Tinjau x(n) yang merupakan deret Fourieryang merupakan sinyal waktu diskrit

yang bernilai nol untuk range 0N, kita dapat menyatakan persamaan 3.29 dalam

bentuk x(n) seperti di bawah ini :

1

)(1 N

on

onjk

k enxN

a


Akhirnya karena x(n) adalah tidak nol untuk 0

56

Marilah sekarang kita menguji pengaruh yang ditimbulkan dengan penambahan N.

Dari definisi x(n), x(n) akan mendekati x(n) untuk nilai N yang meningkat terus.

Kita akan menguji pengaruh yang ditimbulkan dengan penambahan N

)()(~lim nxnxN

Bila N menuju ke nilai tak hingga, maka N

o

2

0. untuk menentukan spectrum

kontinu kita menentukan dulu persamaan selimut dari spectrum diskrit persamaan tsb

adalah :

nj

n

k enxNaX

)()(

Persamaan 72 Persamaan selimut spektruk diskrit

dimana mengganti k o dan ak diberikan oleh persamaan :

)(1

XN

ak

Sekarang kita dapat menulis persamaan dalam bentuk X() untuk menghasilkan :

N

n

onjkeokXN

nx0

.)(1

)(~


Bila N dari persamaan 3.32 disubstitusikan kita dapat menulis Persamaan 73 menjadi

N

n

onjkeokXo

nx0

)(2

)(~


Karena N , o0 untuk )(~ nx x(n) nilai terbatas dari n. Konsekuensinya adalah

pemisahan diantara komponen-komponen frekuensi akan mengubah o menjadi d dan

pers 3.37 menjadi

2

0)(

2

1)( deXnx onjk

Persamaan 3.34 dan 3.38 mendefinisikan Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD)

dan Transformasi Fourier Waktu Diskrit Invers(TFWDI)

57

)2(2)( koX

Contoh 3.4

Cari persamaan transformasi Fourier waktu diskrit X() dari sinyal pulsa kotak berikut

ini:

11,1 ,0)( NnNuntuk ainuntukyanglnx

3.2 Fourier Waktu Diskrit Sinyal-Sinyal Periodik

Seperti halnya kasus untuk waktu kontinyu, masukan eksponensial akan mengalami

pergeseran frekuensi, yang mana untuk masukan sinyal yang berbentuk sinusoida

diubah dulu ke dalam bentuk eksponensial.

Eksponensial kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk :

onjAenx )(

Persamaan 75 Eksponensial kompleks

Transformasi fouriernya diberikan oleh :

Persamaan 76 Transformasi fourier

Sekarang kita akan mencari TFWD untuk fungsi periodik cosinus dan sinus. Untuk

cosinus kita mempunyai persamaan :

)(2

cos)( )onjonj eeA

onAnx

Persamaan 77 Fungsi periodik sinus

Dengan memanfatkan hasil yang didapat pada Persamaan 76 dan Persamaan 77 kita

mendapatkan :

k

kokoX )2()2()(

Persamaan 78 Fungsi periodik sinus

Dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa TFWD dari fungsi sinus

adalah

49.3....................................................................(2

sin)( )onjonj eej

AonAnx

58

Adalah

k

kokojX 50.3.......................................).........2()2()(

3.3 Sifat-Sifat TFWD

Beberapa sifat TFWD adalah

a. Periodik atau berulang

)()2( XX

b. Linearitas

)()( 212111 XaXanxanxa

c. Pergeseran waktu dan frekuensi

)()()()()()( oXnxemakaXenonxmakaXnx nojnoj d. Penskalaan waktu dan frekuensi

)/()()()( kXnkxmakaXnx

e. Diferensiasi dan penjumlahan

kj

n

m

kXXe

mx )2()0()(1

1)(

f. Diferensiasi dalam frekuensi

)(

)()(

d

dXjnnx

g. Teorema parseval

n

dXnx

2

0

22)(

2

1)(

h. Konvolusi

Jika

k

XHmakaYknhkxny )()()()()()(

i. Konvolusi periodik dan konvolusi sirkular

59

Nk

k

N

m

nRmnxmxmnxmxny1

1

0

2121 )()(~)(~)()()(

3.4 Transformasi Fourier Diskrit

Meskipun teori dari transformasi Fourier waktu diskrit sangat berguna untuk

memahami proses penyamplingan dan untk banyak penerapan lain, kita tidak dapat

menempatkan X() ke dalam memori komputer karena dia adalah sebuah fungsi yang

kontinyu. Untk implementasi dari komputer digital kita harus mendiskritkan frekuensi.

Hal ini membutuhkan sebuah konsep dari transformasi Fourier Diskrit (TFD). TFD

mengambil peranan yang cukup luas dalam dunia pengolahan sinyal digital.

Transformasi Fourier Diskrit memiliki persamaan sbb :

).2

()()(

.1.....3,2,1,0,)()(

/2

1

0

2

N

kXXkX

NkenxkX

Nkn

N

K

N

knj

Persamaan 79 Transformasi fourier sinyal waktu diskrit

Invers dari TFD adalah

.1,.....,2,1,0,)(1

)(1

NnwkXN

nX knN

N

ok

Persamaan 80 Inverse transformasi fourier sinyal waktu diskrit

Perbedaan antara TFWD dan TFD adalah sebagai berikut :

Kita mempunyai sinyal terbatas waktu tetapi bukan merupakan sinyal periodik x(n)

dengan durasi N. Kita mendapatkan sebuah spectrum frekuensi kontinyu untuk deretan

sinyal ini, x(n), dengan membuat N mendekati nilai tak berhingga dan menganggap

bahwa perioda deretan sinyal ini x(n) adalah tak terbatas. Dengan kenyataan ini, TFWD

akan memprosesnya menjadi sebuah sinyal fungsi kontinyu dari frekuensi, sebaliknya

dengan TFD kita menganggap sinyal ini, x(n) adalah periodik dengan periode N,

dimana N adalah terbatas. Hasil dari TFD adalah fungsi diskrit dari frekuensi karena

semua komponen frekuensi adalah integral perkalian dari frekuensi dasar o = 2/N.

Selanjutnya akan tlih adalah sangat mirip dengan deret Fourier diskrit. Konsekuensinya

60

spectrum x(n) diskrit dengan nilai terletak pada perkalian integral dari frekuensi dasar

o.

Persamaan berikut mendefinisikan transformasi Fourier diskrit dan transformasi Fourier

diskrit invers

72.3....................................................................1,.....,2,1,0,)(1

)(1

NkwnXN

kX knN

N

ok

.Persamaan-persamaan ini siap diprogramkan pada computer. Lebih lanjut bila kita

membandingkan kedua persamaan di atas, kita akan mempunyai dasar algoritma yang

baik untk menghitung transformasi berikutnya.

Angka pengalian riil yang dibutuhkan untuk komputasi TFD adalah 4N2

3.5 Beberapa Sifat Dari TFD

Jika F[x(n)]=X(k), k =0,1,2,3,,N

Maka :

1. Linear

)()( 212111 kXakXanxanxa

2. pergeseran waktu

kmNwkXmnx )()(

3. pergeseran frekuensi

)()( mkXwnx mnN

4. dualitas

)()( nNxkx

5. konvolusi

)()()(mod)(1

0

kYkXiyNinxN

i

6. perkalian

61

)(mod)()()(1

0

1 iYNikxNnynxN

i

7. teorema parseval

1

1

1

1

22)()(

N

n

N

k

kXnxN

3.6 Penerapan TFD

Salah satu terapannya adalah untuk system identifikasi.

Kita telah membahas tentang permasalahan identifikasi system di baba 2 seperti untuk

penerapan dekonvolusi dan ditunjukkkan dalam sub bab 2.10 bahwa seseorang dapat

menentukan deretan respon impuls dari system linier jika masukan dan keluaran x(n)

dan y(n). Seseorang juga bias menggunkaan algoritma FFT untuk mendapatkan TFD

X(k) dan Y(k). TFD H(k) dari deretan respon impuls kemudian secara langsung dapat

diketahui melalui persamaan 3.74

H(k) =Y(k)/X(k)

Persamaan 81 Deretan respons impulse

Jika menginginkan, seseorang dapat menentukan deretan respon impuls h(n) dengan

menjumlah TFD invers dari H(k). Dalam perjalanan selanjutnya algoritma FF sering

digunakan untuk menentukan model system dari data input outputnya. Suatu keharusan

bagaimanapun perlu dicatat bahwasistem yang didapat selanjutnya dapat secara

signifikan dipengaruhi oleh kehadiran noise dalam data input-output. Hasil ini biasanya

dapat ditingkatkan dengan pemfilteran data sebelum menggunkan algoritma FFT.

62

BAB IV TRANSFORMASI LAPLACE

Analisis untuk SWK: Karena adanya kendala analisis dengan TFWK antara lain :

Kesulitan integrasi pada TFWK

Pada analisis transient rangkaian selalu dihadapkan dengan bilangan kompleks

+j, sedangkan TFWK hanya bekerja dalam daerah

Jadi transformasi Laplace seperti halnya TFWK merubah sinyal kawasan waktu

menjadi kawasan frekuensi frekuensi kompleks

4.1. Transformasi Laplace Bilateral

TLB diturunkan dari TFWK :

deXtx

dttxX

tj

tj

)(2

1)(

).()(

Persamaan 82 Transformasi laplace bilateral

Bila fungsi anatXe t dim)( fungsi eksponensial merupakan faktor

konvergensi, maka maka TFWK dari y(t) adalah:

)()(

)()(

).(.)(

)(

jXY

dtetxY

dtetxeY

tj

tjt

Jadi dari pers di atas

dejXtx j )().(2

1)(

Definisikan variable frekuensi kompleks

Bila s= +j ds=j.d d = ds/j

63

Maka

dsesXtx

dtetxsX

st

st

)(2

1)(

).()(

disebut pasangan TLB

Bidang s adalah :

Notasi :

X(s) = [x(t)]

x(t) = -1

[X(s)]

cat: transformasi Laplace

Konvergensi TLB :

Terintegrasi secara mutlak jika nilainya kurang dari tak hingga

64

4.2. Transformasi Laplace Satu Sisi

Definisi : Diberikan suatu sinyal x(t) kuasal, maka

0

. dtetxSx st

j

j

stdsesxtx .2

1

Konvergensi TLSS jika

0... txeLim t

4.3. Sifat-Sifat Transformasi Laplace Satu Sisi

a. sxsxtxtx 2.1.2.1. Linieritas

b. sxetutx s.. Pergeseran Waktu

c. asXetx ta .. Pergeseran Frekuensi

d. a

sXa

atx .1 Pensakalan waktu dan

Frekuansi

e. 0. XsXsdt

dxX Differensiasi Waktu

f. s

sXdX

t

0

Integrasi Waktu

dan

0

0

dxs

sXdX

t

g. ds

sXdtxt . Perkalian dengan t

dan

ds

sXdtxt

nnn 1.

h.

t

duuxt

tx Pembagian terhadap t

TLSS =

65

i. sXsXdtxx 2121 ..

Konvolusi Waktu

j.

jc

jc

duusXuXj

txtx 2121 .2

1. Konvolusi frekuansi

4.4. Pasangan Tlss Dan Gambar Di Bidang S

a. Fungsi Eksponensial Kausal

tueAtx t..

0

010.

s

A

s

Ae

s

AdteAsX sts

b. Fungsi Unit Step

0

0

. 11

se

sdtesU tsst

c. Fungsi Cosinus Kausal X(t)=A.Cos(.t).u(t)

22

t.jtj ..5,0.5,0

2

e

2

e

s

sA

js

A

js

AAsX

d. Fungsi Sinus Kausal X(t)=A.Sin(.t).u(t)

A

t

j

Pole X

Bidang S

A

t

j

u(t)

A

t

x

x

j

j

-j

zero

x A

t

j

j

-j

66

22

t-jtj ./.5,0/.5,0

.2

A.eA.e

s

A

js

jA

js

jA

jsX

e. Fungsi Cosinus Teredam Kausal X(t)=A.e

-.t.Cos(.t).u(t)

X(t)=[A.e-.t

.Cos(.t).u(t)] {Gunakan : sifat pergeseran frekuensi}

f. Fungsi Sinus Teredam Kausal X(t)=A.e

-.t.Sin(.t).u(t)

X(t)=[A.e-.t

.Sin(.t).u(t)] Gunakan sifat c. Maka ganti s dengan s + dimana

22

....

s

AtutSinA

Jadi 22

.

s

AsX

g. Fungsi Unit Ramp Kausal X(t)= t.u(t)

x

t

x

x -

j

j

-j

t

x

x -

j

j

-j

t

pole j

67

0 0

1

. !..int...n

xanst

a

ndxexegrasitabellihatdtetsX

Ambil n=1, maka X(s) =1/s2

Atau dari sifat : [t.x(t)] = -dX(s)/ds

Dimana X(s) = [ u(t) ] = 1/s

Jadi

2

11.

ssds

dtut

h. Fungsi Impuls

1.0 0

.

dttdttet ts

. set Sifat Pergesaran Waktu

Fungsi x(t) = A.t.e

asXetX t Sifat Pergesaran Frekuensi 2. /.. sAetA t Sifat Pergesaran Waktu

s

AeA t..

Maka

2

...

s

A

as

A

ds

detA t

4.5. Invers Transformasi Laplace

Untuk mengembalikan spektral ke sinyal fungsi waktu X(s) X(t)

(t)

1

t

1

(t-)

t

68

ja

ja

stdsesXj

tX2

1

Dapat diselesaikan lewat definisi diatas atau melihat pasangan TLSSnya

A.(t-) steA.

A.u(t) s

A

A.e-st

.u(t) s

A

A.Cos(t).u(t) 22

.

s

sA

A.Sin(t).u(t) 22

.

s

A

A.e-t.Cos(.t).u(t)

22

.

s

sA

A.e-t.Sin(.t).u(t)

22..

s

A

t.u(t) 2

1

s

tn.e

-at.u(t)

1!

nas

n

Lebih mudah diselesaikan dengan cara yang terakhir dengan melihat Bentuk polynomial X(s) = N(s)/D(s) lihat akar D Pasangan transformasinya Bentuk X(s) = N(s)/D(s) dalam ekspensi parsial

4.6. Solusi Dengan Penyesuaian Koefisien

Fungsi rasional

sss

ssX

43

12)(

23

69

4.7. Ekspansi Parsial Untuk Akar D(S) Simple Pole

n

n

k

k

ps

A

ps

A

ps

A

ps

A

sD

sNsX

........)( 2

2

2

1

1

n

nk

k

kk

kps

ApsA

ps

Aps

ps

ApssXps

........)(

2

2

1

1

Maka

kpskk

sXpsA

4.8. Akar D(S), Multiple Pole-Simple

nn

r

t

rt

t

t

t

t

ps

A

ps

A

ps

A

ps

A

ps

AsX

...........)( .

2

2.1.

1

1

dimana

1. ps

r

rrt sXpsA

tps

r

rrt sXpsds

dA

1.

tps

r

rrt sXpsds

dA

2

2

2.!2

1

.

.

.

tps

r

rk

k

kri sXpsds

d

kA

!

1.

4.9. Ekspansi Parsial: D(S) Kompleks Konjugate Simple Pole

22

2345

2562

375044012628706945

ssss

ssssX

70

4.10. Metode Grafis

Untuk mengevaluasi koefisien parsial dari X(s) dengan cara menggambarkan

vektor diagram semua pole-zore sistem.

Diketahui :

n

m

pspsps

zszszsK

sD

sNsX

......

.......

21

21

Nilai dari X(s) di s = s1

1

11

skePoleSetiapLangsungJarakPerkalian

skeZeroSetiapLangsungJarakPerkalianKsX

Evaluasi pole pk dari X(s)

kps

sXpsA 1.

k

k

kpkePoleSetiapLangsungJarakPerkalian

pkeZeroSetiapLangsungJarakPerkalianKKAsX 1

4.11. Teorema Nilai Awal Dan Akhir

Digunakan untuk memudahkan mencari suatu keadaan awal (t = 0) dan keadaan

akhir (t = ) dari suatu fungsi waktu melalui suatu frekuensi (s).

Teorama nilai awal, jika

71

sXtX Maka

)(.0x sXsLims

Teorama nilai akhir , jika

sXtX Maka

sXstx .limlim

4.12. Aplikasi TLSS

Aplikasi yang penting dari TLSS

a. Solusi persamaan differensial

b. Mencari respon impuls sistem

c. Mencari respon lengkap rangkaian analisa rangkaian

d. Analisis SWK

4.13. Solusi Persamaan Diferensial

Sifat differensiasi

0. XsXs

dt

dx

Bentuk umum

0...0.0..

121

n

nnnn

n

n

dt

d

dt

dxsXssXs

dt

xd

4.14. Respon Impuls Sistem

0000.2.3 xdanydengandt

dxtxty

dt

dy

s s0

72

4.15. Solusi Lengkap Rangkaian RLC

i. Resistor R

V(t) = R.i(t) V(s)=R.I(s) I(s)=G.V(s) i(t)=G.V(t)

ii. Induktor L

dt

diLt V 0...V LiLslsLs

01.

L Lis

sVsL

ls

01

i0t0

L

t

idVL

t

iii. Kapasitor C

dt

diLt V

s

Vs

sCs c

0

1.

1V

0....l cVsCsVsCs

01

V0t0

c

t

VdiC

t

4.16. Analisis SWK

Diberikan SWK LTW

an.yn(t)+...+a0.y(t) = b0.x(t)+...+bm.x

m(t)

h(t) X(t) Y(t)

73

sDsN

sH

Respon sistem y(t) = x(t)*h(t)

Transformasi Laplace

[ an.sn+ an-1.s

n-1+..+a0].Y(s) = [b0 + b1.s+...+bm.s

m(t)]X(s)

Fungsi Transfer Sistem

0

1

1

10

...

...

asasa

sbsbb

sX

sYsH

n

n

n

n

m

m

sH-tth

Respon steady state

s.XsY sH

sXsH .ty -1

Stabilitas SWK

SWK stabil jika dan hanya jika :

i. Stabil dalam arti BIBO

ii. Respon impuls terintegrasi secara mutlak

iii. Lim h(t) = 0

iv. Akar real D(s) < 0

v. Letak pole disebelah kiri sumbu imajiner

4.17. Transformasi Laplace Bilateral

TLB diturunkan dari TFWK :

deXtx

dttxX

tj

tj

)(2

1)(

).()(

74

bila fungsi anatXe t dim)( fungsi eksponensial merupakan faktorr konvergensi, maka

maka TFWK dari y(t) adalah:

)()(

)()(

).(.)(

)(

jXY

dtetxY

dtetxeY

tj

tjt

Jadi dari pers di atas

dejXtx j )().(2

1)(

Definisikan variable frekuensi kompleks

Bila s= +j ds=j.d d = ds/j

dsesXtx

dtetxsX

st

st

)(2

1)(

).()(

disebut pasangan TLB

Bidang s adalah :

Notasi :

X(s) = [x(t)]

x(t) = -1

[X(s)]

cat: transformasi Laplace

Konvergensi TLB :

75

Terintegrasi secara mutlak jika nilainya kurang dari tak hingga

76

BAB V TRANSFORMASI Z

Pada bab ini akan dibahas transformasi-z dengan waktu diskrit pada system LTI.

Pada waktu diskrit sistem LTI dengan respon impulse h[n], keluaran y[n] pada masukan

eksponensial nz adalah

y[n] = T{ nz } = H(z) nz

dimana,

H(z) =

n

nznh ][

5.1. Definisi

Fungsi H(z) merupakan transformasi-z dari h[n]. Untuk waktu diskrit sinyal x[n],

menjadi X(z)

X(z) =

n

nznx ][

Variabel z merupakan suatu nilai kompleks yang direpresentasikan dengan,

z = r je

dimana,

r adalah magnitude z dan adalah besar sudut z.

5.2. Region of Convergence (ROC)

ROC merupakan range nilai pada variabel komplek z dimana daerah ini dikenal.

5.3. Persyaratan pada ROC

1. ROC tidak berisi beberapa pole.

2. Jika x[n] merupakan suatu finite-sequence. Dimana nilai x[n] = 0, kecualai pada

N 1 n N 2 , dimana nilai N 1 dan N 2 adalah finite.

3. Jika x[n] merupakan sisi kanan dimana x[n] = 0 untuk n < N 1 < - dan X(z)

konvergen untuk beberapa nilai z, maka ROC :

maxrz atau > maxrz

maxr merupakan magnitude terbesar pada beberapa pole X(z).

4. Jika x[n] merupakan sisi kiri dimana x[n] = 0 untuk n > N 2 > X(z) konvergen

untuk beberapa nilai z, maka ROC

77

minrz atau < minrz

minr merupakan magnitude terkecilr pada beberapa pole X(z).

5. Jika x[n] merupakan kedua sisi dimana x[n] tidak dibatasi oleh sisi kanan

ataupun kiri dan X(z) konvergen untuk beberapa nilai z maka ROC :

21 rzr

Dimana,

1r dan 2r merupakan magnitude pada dua pole pada X(z).

5.4. Transformasi-z untuk beberapa common sequence

1. Unit Impuls [n]

X(z) = 1][ 0

zznn

n untuk semua z

Maka [n] 1

2. Unit Step u[n]

Setting a =1, maka

u[n] 11

11

z

z

z 1z

Tabel 3 Tabel Transformasi-z

X[n] X(z) ROC

[n] 1 Semua z

u[n]

1,

1

11 z

z

z

1z

-u[-n-1]

1,

1

11 z

z

z

1z

[n-m] mz Semua z kecual1 0 jika m> 0 atau jika m < 0

na u[n]

az

z

az ,

1

11

az

- na u[-n-1]

az

z

az ,

1

11

az

n na u[n] 221

1

)(,

)1( az

az

az

az

az

-n na u[-n-1] 221

1

)(,

)1( az

az

az

az

az

78

(n+1) na u[n] 2221

])(

[,)1(

1

az

z

az

az

)(cos 0n u[n]

1)cos2(

)(cos

0

2

0

2

zz

zz

1z

)(sin 0n u[n]

1)cos2(

)(sin

0

2

0

zz

z

1z

)cos( 0nrn u[n]

2

0

2

0

2

)cos2(

)cos(

rzz

zrz

rz

)sin( 0nrn u[n]

2

0

2

0

)cos2(

)sin(

rzz

zr

rz

100 Nnlainnyaan 11

1

az

za NN

0z

5.5. Sifat dari Transformasi-Z

1. Linier

Jika 1x [n]) 1X (z) ROC = 1R

2x [n] 2X (z) ROC = 2R

Kemudian ][][ 2211 nxanxa )()( 2211 zXazXa

2. Pergeseran

Jika x[n] X(z) ROC = R

X[n-n 0 ] )(0 zXe

n R = R { z0 }

3. Multiplikasi oleh nz0


Kemudian,

nz0 x[n] X(0z

z) R = Rz0

4. Time Reversal


Kemudian,

x[-n] X(z

1) R =

R

1

79

5. Diferensiasi


Kemudian,

nx[n] -zdz

zdX )() R = R

6. Kombinasi


Kemudian,

n

k

kx ][ )(1

)(1

11

zXz

zzX

z

R = R { 1z }

7. Konvolusi

Jika 1x [n] 1X (z) ROC = 1R

2x [n] 2X (z) ROC = 2R

Kemudian,

1x [n] * 2x [n] 1X (z) . 2X (z) 21' RRR

5.6. Inverse Transformasi-Z

Inverse dari transformasi-z dari X(z) adalah x[n]. Yang direpresentasikan dengan :

x[n] = )(1 zX

1. Inverse

x[n] = dzzzXj

n

c

1)(2

1

Dimana,

C merupakan counterclockwise.

2. Menggunakan tabel transformasi-z

X(z) = 1X (z)+.......+ nX (z)

Dimana,

1X (z)....... nX (z) merupakan fungsi dari inverse transformasi 1x [n]..... nx [n].

Dengan sifat kelinieran menjadi:

x[n] = 1x [n]+.....+ nx [n]

80

3. Power Series

X(z) =

n

nznx ][

= ...+ x[-2] 2z + x[-1]z + x[0]+ x[1] 1z + x[2] 2z +...

4. Menggunakan Pecahan Parsial

X(z) = ))...((

))...((

)(

)(

1

1

n

m

pzpz

zzzzk

zD

zN

Asumsikan n m dan semua pole kp adalah sederhana

Maka :

n

k k

k

n

n

pz

c

z

c

pz

c

pz

c

pz

c

z

c

z

zX

1

0

2

2

1

10 ...)(

Dimana ,

00 )( zzXc kpzkk z

zXpzc

)()(

Dapat dituliskana menjadi:

X(z) =

n

k k

k

n

npz

zcc

pz

zc

pz

zcc

1

0

1

10 ...

Contoh Soal :

1. Tentukan Transformasi-z dari

a. x[n] = ]1[ nuan

b. x[n] = ]1[ nua n

a. X(z) = n

n

n

n

nn zaznua

1

]1[

za

zan

n

10

1

1

1)(

Jika azatauza 11

Sehingga menjadi,

X(z) = 11

1

1 1

1

11

11

azaz

z

za

za

za az

b. X(z) = n

n

n

n

nn zaznua

1

]1[

81

= 1)()(00

n

n

n

n azaz

az

zan

n

1

1)(

0

Jika a

zatauza1

1

Sehingga menjadi,

X(z) =

az

z

az

az

az 111

1

1

az

1

2. Jika diketahui,

2100)( NnNlainnyannnx Dimana, 1N dan 2N sebuah batasan. Tunjukkan ROC pada X(z) pada z-plane

kecuali kemungkina z=0 atau z=.

X(z) = nN

Nn

znx

2

1

][

Untuk z yang tidak bernilai 0 atau tak terbatas maka X(z) akan konvergen. Jika 1N

< 0 dan 2N > 0 maka keduanya akan positif pada z dan semuanya negatif pada z.

3. Tentukan X(z) dan gambarkan pole-zero dengan ROC :

a. x[n] = ][3

1][

2

1nunu

nn

b. x[n] = ]1[2

1][

3

1

nunu

nn

c. x[n] = ]1[3

1][

2

1

nunu

nn

a. Berdasarkan tabel transformasi-z:

][2

1nu

n

2

1z

z

2

1z

][3

1nu

n

3

1z

z

3

1z

Dapat dilihat ROC mengalami overlap :

82

X(z) = ))((

)(2

3

1

2

1

12

5

3

1

2

1

zz

zz

z

z

z

z

2

1z

Im(z) Im(z)

Re(z) Re(z)

(a) (b)

b. Berdasarkan tabel transformasi-z:

][3

1nu

n

3

1z

z

3

1z

]1[2

1

nu

n

-2

1z

z

2

1z

Dapat dilihat ROC mengalami overlap :

X(z) = ))((6

1

3

1

2

1

2

1

3

1

zz

z

z

z

z

z

3

1

2

1z

c. Berdasarkan tabel transformasi-z:

][2

1nu

n

2

1z

z

2

1z

]1[3

1

nu

n

-3

1z

z

3

1z

Dapat dilihat bahwa ROC tidak saling overlap maka tidak ada common

ROC dan x[n] tidak mempunyai X(z).

4. Tentukan inverse transformasi-Z dari :

X(z) = 2)2)(1( zzz

z 2z

Menggunakan teknik pecahan parsial :

83

2

211

2 )2(21)2)(1(

1)(

zzz

c

zzzz

ZX

Dimana,

1)2(

1121

z

zc 1

1

122

z

z

Dengan substitusi maka didapat :

2

1

2 )2(

1

21

1

)2)(1(

1

zzzzz

Setting nilai z=0, didapat

4

1

21

4

1 1

11

Maka diperoleh nilai

X(z) = 2)2(21

z

z

z

z

z

z 2z

Karena ROC adalah 2z , maka x[n] merupaka suatu fungsi sisi kanan.

x[n] = ][221 1 nun nn

5. Tentukan fungsi H(z) dari gambar berikut :

x[n]

k/2

q[n-1] q[n]

k/3

y[n] Berdasarkan gambar diatas diperoleh :

q[n] = x[n] + ]1[2

nqk

y[n] = q[n] + ]1[3

nqk

Menggunkan transformasi-z maka diperoleh :

Q(z) = X(z) + )(2

1 zQzk

Y(z) = Q(z) + )(3

1 zQzk

z1z

84

Apabila ditulis ulang :

)()(2

1 1 zXzQzk

)()(3

1 1 zXzQzk

Maka H(z) dapat diketahui:

H(z) =

2

3

)(1

)(1

)(

)(1

2

13

kz

kz

z

z

zX

zY

k

k

2

kz

Materi Sistem Linear elektro unsoed

Documents

Transcript of Materi Sistem Linear elektro unsoed