Materi Matematika Kelas Xii

download Materi Matematika Kelas Xii

of 37

description

MATERI MATEMATIKA KELAS XII IPA

Transcript of Materi Matematika Kelas Xii

1 MATERI PEMBELAJARAN KELAS XII IPA Semester 1 BAB I INTEGRAL Integral adalah lawan (invers) dari diferensial (turunan). RUMUS RUMUS INTEGRAL: { }{ }{ }}}}}}}+ =+ =+ = =+ == ++== + =+c x xdxc x xdxc x g fx gx g x g fdx x g x g fc x dxxn c xndx xta kons c c ax adxn ncos sinsin cos . 5) () ( ') ( ' . ) () ( ' . ) ( . 4ln1. 31 ,11. 2) tan ( , . 1'1 INTEGRAL TERTENTU Jika}= ) ( ) ( x g dx x f , maka ) ( ) ( ) ( ) ( a g b g x g dx x fbaba = =} SIFAT-SIFAT: { }}}} } }} }} } }} }+ + = ++ + = + = =s s + = =c b axadx b axc b axadx b axdx x g dx x f dx x g x fdx x f c dx x cfc b a dx x f dx x f dx x fdx x f dx x fbacbcaabba) sin(1) cos( . 6) cos(1) sin( . 5) ( ) ( ) ( ) ( . 4) ( ) ( . 3, ) ( ) ( ) ( . 2) ( ) ( . 1 CARA PENGINTEGRALAN 1.Substitusi 2 I = }dx x f ) ( substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du I = }f(Q(u)) Q`(u) du jika ruas kanan telah diintegralkan, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u) (ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan). 2. Substitusi Trigonometri a. Bentuk 2 2x a c x a xaxa dx x a + + + = }2 2 2 2 221arcsin21 b. Bentuk }+2 2 2x b aGunakan substitusi : x = a/b tgu dx = a/b sec2uduc. Bentuk }2 2 2a x bGunakan substitusi : x = a/b secu dx = a/b tgu sec2u3. Parsial Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain. I= } f(x) g(x) dx Misalkan :u = f(x); dv = g(x) dx du = ..... dx ; v = } g(x) dx = ..... maka : } u du = u v - } v du Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk} v du jadi lebih mudah Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI. Contoh Soal: 1.c x dx x + =}323442.c x x + + = +}) 7 2 cos(21) 7 2 sin(3. } } } = 312314312 4) 3 ( ) 5 ( ) 3 5 ( dx x dx x dx x x=216 ) 1 3 ( ) 1 3 (3 3 3 5313315= = x x 3 Penggunaan Integral1.Untuk menghitung luas daerah. a.Luas daerah yang dibatasi oleh Kurve F(x) , sumbu x dari x = a s.d x = b adalah: Luas (L) = }==b xa xdx x F ) ( b. Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva F(x) dan G(x) dari x = a s.d x= b adalah : Luas (L) = }==b xa xdx x G x F ) ( ) ( 2.Untuk menghitung volume benda putara.Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(x), sumbu x dari x = a s.dx= b adalah : Volume (V) = }==b xa xdx x F ) (2t b. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(x), dan G(x) dari x = a s.dx= b adalah : Volume (V) = }==b xa xdx x G x F ) ( ) (2 2t c.Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(y), sumbu y dari y = a s.dy= b adalah : Volume (V) = }==b ya ydx y F ) (2t d.Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(y), dan G(y dari y = a s.dy= b adalah : Volume (V) = }==b xa xdx x G x F ) ( ) (2 2t LATIHAN SOAL. Selesaikan soal-soal berikut ini. 1.... cos2 /0=}txdx . 2. }= + ... 2 . ) 3 (5 2xdx x . 3. }= + ... ) cos (sin2dx x x . 4. Jika F(x) = 8x-2, dan F(5) = 36, maka F(x) = .... 4 5.Hasil dari }3x cos 2x dx = .... 6. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva3 2 = x x ydan sumbu x pada interval 4 1 s s x7.Hitungvolumebendaputarapabiladaerahyangdibatasikurva22+ = x ydansumbux pada interval2 1 s s xjika diputar 360 0 mengelilingi sumbu x. 5 BAB II PROGRAM LINEAR 1.Pengertian Program Linear ProgramLinearadalahsuatucarauntukpenyelesaianmasalahdenganmenggunakan persamaan atau pertidaksamaan linearyang mempunyai banyak penyelesaian, dengan memperhatikansyarat-syaratagardiperolehhasilyangmaksimum/minimum (penyelesaian optimum). Contoh : Diketahui pertidaksamaan linear sebagai berikut : 3 s + y x10 5 2 s y x0 > x0 > yTentukan : a. Grafik dari sistem pertidaksamaan tersebut. b. Nilai maksimumnya jika Z= 3x + 2y a.Grafikdaripertidaksamaanlinearberbentuksuatudaerahyaitudaerah yangdiarsir. b.Nilaimaksimumdaripertidaksamaanlineardapatdiperolehdari mensubstitusi koordinat-koordinat titik A , BdanC ke persamaan : Z =3x + 2y sebagai berikut A(0,2) makaZ =3(0) + 2(2) = 4 C(3,0) makaZ =3(3) + 2(0) = 9 UntukkoordinatB(x,y)dapatdicaridenganmengeliminasipersamaan linear : x + y= 3| x5| 5x + 5y = 15 2x 5y = 10 | x1| 2x 5y = 103 B A 2 C 30-5 6 + 7x = 5 x = 75 x + y = 3 75+ y = 3 y = 3 75= 716 sehingga B(75 , 716) Z =3(75) + 2(716) = 715 + 732 = 747=766DarisubstitusiA,B,danCtersebutdisimpulkanbahwanilai maksimumnyaadalah 9yang diperoleh untuk x = 3 dany = 0 (atau pada titik B) 2.Model Matematika Modelmatematikaadalahsistempersamaanataupertidaksamaanyang mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y. Modelmatematikainimerupakancarasederhanauntukmemandangsuatumasalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika. Contoh 1 : Jika harga tiga buku dan lima pensil Rp. 30.000,00 sedangkan harga dua buku dan satu pensil Rp. 13.000,00. Buatlah model matematikanya. Penyelesaian: Misalkan satu buku = x Satu pensil = y Maka model matematikanya 3x + 5y = 30.000 2x + y= 13.000 Contoh 2 : Seorang pedagang akanmembuat 2 jenis roti dengan menggunakan bahan tepung 200 gram dan mentega 25 gram untuk jenis A. Sedangkan untuk jenis B digunakan bahan100gramtepungdan50grammentega.Jikabahanyangtersedia3kg tepung dan 1,1 kg mentega, tentukan : a.Model matematikanya b.Sketsa grafiknya c.FungsitujuanuntukkeuntunganmaksimumjikarotiAsehargaRp.3.600,00 dan roti B Rp. 2.400,00. 7 Penyelesaian: Misal roti A = x dan roti B = y Jenis rotiTepungMentegaHarga A B Persediaan 200 gr 100 gr 3 kg = 3000 gr 25 gr 50 gr 1,1 kg = 1100 gr 3600 2400 a.Model matematika: Roti A3000 100 200 s + y x 30 2 s + y xRoti B1100 50 25 s + y x 44 2 s + y xBanyaknya roti A adalah 0 > xBanyaknya roti B adalah 0 > yb.Sketsa grafik 3000 100 200 s + y x 30 2 s + y x 1100 50 25 s + y x 44 2 s + y x0 > x0 > y Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir. c.FungsitujuanZyangberupakeuntunganmaksimumberdasarkanbanyaknya roti yang dibuat yaitu : Z = 3600 x + 2400 y 3.Nilai Optimum Nilaioptimumdiperolehberdasarkannilaifungsitujuanyangdikehendaki,yaitu berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Cara mencarinya bias dengan : 30 04415 22 8 a.Mensubstitusikoordinattitik-titiksudutdalamdaerahpenyelesaian terhadap fungsi tujuan. b.Menggunakan garis selidik. a.d: a.Mensubstitusikoordinattitik-titiksudutdalamdaerahpenyelesaianterhadap fungsi tujuan. Contoh : Model matematikanya 12 2 s + y x 12 2 s + y x0 > x0 > yFungsi tujuan yang maksimum/minimum , Z = 5 x + y PeriksakoordinattitikO,A,BdanCsebagaititik-titiksudutdalamdaerah penyelesaian(x,y) Z = 5 x + y O(0,0) Z = 5(0) + 0 = 0 (minimum) A(0,6) Z = 5(0) + 6 = 6 B(4,4) Z = 5(4)+4 = 24 C(6,0) Z = 5(6)+0 = 30 (maksimum) Jadinilaimaksimumsebesar30dicapaipadax=6dany=0,sedangkannilai minimum sebesar 0 dicapai pada x = 0 dan y = 0 b.Menggunakan garis selidik Garisselidikadalahgarisyangdiperkirakanberpotongandengangarislainyang mendekati nilai optimum. Bentuk umum garis selidik : ax + by = k ;k e R ax+bydiperolehdaribentukfungsitujuangarisselidikinisemakinjauhdari0 harganya makin besar (maksimum). Contoh : Model matematikanya 12 2 s + y x 12 2 s + y x B(4,4) A C O 6 6 12 12 9 12 2 s + y x 12 2 s + y x0 > x ,0 > y

Fungsi tujuan yang maksimum/minimum , Z = 5 x + y Maka garis selidik ; k = 5 x + y , dengan k e R Tampak bahwa garis selidik terjauh dari titik O(0,0) adalah garis yang melalui titik C(6,0) yaitu Z = 5(6)+0=30. LATIHAN SOAL. Kerjakan soal-soal berikut: 1.Tentukan persamaan dari gambar berikut : 2.Gambarlah daerah HP dari3X + 2 Y < 12 5X + 6Y < 30 X > 0 Y > 0 3.Gambarlah grafik2X + Y = 12 12 2 s + y x 12 2 s + y x B(4,4) A C O 6 6 12 12 k y x = + 510 4X + 3Y = 12 4.Tentukan pertidaksamaan-pertidaksamaan dari gambar berikut 5.Tempatparkirseluas360 2mdapatmenampungtidaklebihdari30kendaraan. Untukparkirsebuahsedandiperlukanrata-rata6 2m dansebuahbus242m .Jika banyaksedandinyatakandenganxdanbanyakbusdinyatakandengany,maka tentukanlah model matematika dari persoalan tersebut. 11 BAB III MATRIKS A.PENGERTIAN MATRIKS 1.PengertianMatriksadalahsusunanbilanganyangdiaturdalambarisdankolomberbentuk persegi panjang. Susunan itu diletakkan dalam suatu kurung biasa atau kurung siku. Contoh : 1).||.|

\|yx2). (4 25)3). ||.|

\|5 4 310 8 6 2.Notasi Matriks Suatu matriks dilambangkan dengan huruf besar. Contoh : 1).A=||.|

\|yx2). B = (4 25)3).C =||.|

\|5 4 310 8 6 Setiapkolomdalamsuatususunandisebutelemen(unsur),yangditunjukkan pertama menyebutkan nomor barisnya dan kemudian nomor kolomnya. A = |||.|

\|6 4 3 10 3 2 12 5 4 3 1adalah elemen baris kedua kolom pertama 6adalah elemen baris ke tiga kolom ke empat. 3.Ordo Suatu Matriks Ordo suatu matriks diberikan dengan menyertakan banyaknya baris kemudian kolom. Contoh : A = ||.|

\|5 2 34 0 1 Banyaknya baris matriks A adalah 2 Banyaknya kolom matriks A adalah 3. Ordo matriks A adalah 2 x 3 ditulis 3 2ABaris 1 Baris 2 Baris 3 Kolom 1 Kolom 3 Kolom 2 Kolom 4 12 Secara umum : Jika banyaknya baris matriks A adalah m dan banyaknya kolomn maka ordo matriks A ialah m x n ditulis n mA. 4.Macam Macam Matriks a.Matriks Baris Bila suatu matriks hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris. Contoh : A = ( 2 4 7 ) b.Matriks Kolom Bila suatu matriks hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom. Contoh : B = |||||.|

\|5415 c.Matriks Bujur Sangkar Bila suatu matriks banyaknya baris dan banyaknya kolom sama, maka disebut matriks bujur sangkar. Contoh : A = ||.|

\|8 61 3 matriks bujursangkar berordo 2 B = |||.|

\| 1 1 60 2 51 3 2 matriks bujursangkar berordo 3 d.Matriks Identitas (Matriks Satuan). Bila suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen-elemen yang lain 0 , maka disebut matriks identitas.Contoh : I = ||.|

\|1 00 1

5.Kesamaan Matriks Dua matriks A dan B disebut sama jika : a.Kedua matriks mempunyai ordo yang sama b.Unsur (elemen) yang bersesuaian sama. Contoh : A = ||.|

\|8 61 3B = ||.|

\|+216261 51 13 Matriks A = B, sebab ordonya sama dan3 = 261 = 1 6 = 5 + 18 = 216 6.Transpose Matriks dan Notasinya Dari matriks A yang diketahui dibentuk matriks baru dengan ketentuan : a.Baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru. b.Baris kedua matriks A menjadi kolom ke dua matriks baru dan seterusnya. Matriks baru yang terbentuk itu disebut transpose matriks A dan ditulis A atau TA(dibaca tranpos A ). Contoh : A = ||.|

\|0 9 41 7 2 |||.|

\|=0 19 74 2TA LATIHAN SOAL. 1.Sebutkan banyaknya baris dan kolom dari matriks-matriks berikut : a. |||.|

\|=9 07 53 1Ac. P = |||.|

\|zyx b. ||.|

\| =9 1 0 54 3 2 1B d. R = ( 351 6) 2.Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut. a.A = ( 820 35)c. M = |||||.|

\|5301 b. ||.|

\|=8 7 2 05 0 1 4Bd. N = |||.|

\|5 0 61 0 24 5 0 3.Tentukan x dan y dari a.( 5x 2y) =( 10 4 ) b. ||.|

\|=||.|

\|+ +1822y xy x c. |||.|

\|=||.|

\|+ 21412 34y xy x 4.Tentukan transpose dari masing-masing matriks di bawah ini. 14 a.A = ||.|

\| 0 2 11 4 2c.C = |||||.|

\|8 21 06 43 5 b.B = |||||.|

\|0121d.D = ( 42590) 5.DiketahuiP = ||.|

\| yx39danQ = ||.|

\|4 93 5 JikaTP = Q,tentukan nilai x dan y. B.PENJUMLAHAN MATRIKS 1.Penjumlahan Matriks DuamatriksAdanBdapatdijumlahkan,jikaordomatriksAsamadenganordo matriksB.MenjumlahkanmatriksAdenganmatriksBdilakukandengancara menjumlahkanelemenmatriksAdenganelemenmatriksByangbersesuaian letaknya(seletak). Misal : A = ||.|

\|d cb a dan B = ||.|

\|h gf e

MakaA + B = ||.|

\|d cb a+ ||.|

\|h gf e = ||.|

\|+ ++ +h d g cf b e a Contoh : 1. Jika P = |||.|

\|323dan Q = |||.|

\|420 makaP + Q = |||.|

\|323+|||.|

\|420=|||.|

\|703 Q + P =|||.|

\|420+ |||.|

\|323=|||.|

\|703 karena P + Q = Q + P, maka penjumlahan matriks bersifat komutatif. 2.JikaA = ||.|

\|2 41 2B = ||.|

\|3 21 0dan C = ||.|

\|9 87 3 makaa). ( A + B ) + C =||.|

\|+((

||.|

\|+||.|

\|9 87 33 21 02 41 2 = ||.|

\|5 62 2 + ||.|

\|9 87 3 = ||.|

\|14 149 5 b). A + (B+ C)= ||.|

\|2 41 2+ ((

||.|

\|+||.|

\|9 87 33 21 0 15 =||.|

\|2 41 2 + ||.|

\|12 108 3 = ||.|

\|14 149 5 Dari contoh 2 a)dan2b) , maka berlaku hukum asosiatif penjumlahan matriks. 2.Pengurangan Matriks Jika A dan B dua matriksyang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks lawan B. Jadi A B = A + ( B). Contoh : JikaP = ||.|

\|2 37 4danQ = ||.|

\| 2 31 2 maka a). P Q = ||.|

\|2 37 4||.|

\| 2 31 2

= ||.|

\|2 37 4 +||.|

\| 2 31 2 = ||.|

\|4 06 2 b).Q P = ||.|

\| 2 31 2 ||.|

\|2 37 4 = ||.|

\| 2 31 2 +||.|

\| 2 37 4= ||.|

\| 4 06 2 Karena P Q tidak sama dengan Q P, maka pada pengurangan matriks tidak berlaku hukum komutatif. LATIHAN SOAL : Sederhanakan : 1. ||.|

\|+||.|

\| 8 4 3 56 6 6 76 3 2 42 4 7 6 2. ||.|

\|+||.|

\|yxyx3642 3. Manakah matriks-matriks berikut yang dapat dijumlahkan. a.||.|

\|+||.|

\|0423e. ||.|

\|d cb a4 33 2 +||.|

\|d cb a3 76 4 b.|||.|

\|+||.|

\| 2434 2 43 2 4f.( 4 7 ) + ( 3 0) c. (3) + ||.|

\|04g.( 7 ) + ( 0 ) 16 d. ( 46 ) + ||.|

\|36h.( 4- 2 3 ) + |||.|

\|741 4. Jika M = ||.|

\| 3 4 20 3 6danN = ||.|

\| 4 6 32 0 1. CarilahM + N danN + M. Hukum apakah dalam penjumlahan matriks yang dapat dilihat dari hasil tersebut ? 5.Selesaikan masing-masing persamaan di bawah ini, jika X matriks 2 x 2 a.||.|

\| = +||.|

\|2 03 26 32 4Xb.||.|

\|=||.|

\|3 71 23 52 3X c. ||.|

\| = ||.|

\|12 1016 1210 126 15X C.PERKALIAN MATRIKS 1.Perkalian Skalar . Perkalian skalar ialah perkalian suatu matriks dengan bilangan (skalar). Hasil kali matriks A dengan bilangan p ditulis p.A, ialah matriks yang ordonya sama dengan matriks A, dan elemen-elemennya didapat dari perkalian setiap unsurA dengan p. Misal : A = ||.|

\|d cb a makap.A = p.||.|

\|d cb a = ||.|

\|pd pcpb pa Contoh: Jika ||.|

\| =2 5 13 2 4Amaka||.|

\| =2 5 13 2 4. 4 . 4 A= ||.|

\| 8 20 412 8 16 2.Perkalian Matriks Dengan Matriks Dua matriks dapat dikalikan, apabila banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks ke dua . |||.|

\|+++=||.|

\||||.|

\|f y exdy cxby axyxf ed cb a Contoh 1 : 17 Jika ||.|

\|=2 4 30 1 2P dan|||.|

\|=3 72 61 5QMaka||.|

\|= 2 4 30 1 2Q P|||.|

\|3 72 61 5 =||.|

\|+ + + ++ + + +3 . 2 2 . 4 1 . 3 7 . 2 6 . 4 5 . 33 . 0 2 . 1 1 . 2 7 . 0 6 . 1 5 . 2 = ||.|

\|+ + + ++ + + +6 8 3 14 24 150 2 2 0 6 10=||.|

\|17 534 16 Matriks Identitas (Matriks Satuan.) Sifat-sifatnya menyerupai sifat-sifat satuan dalam sistem bilangan real.Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka I . A = A . I = A Misal : A = ||.|

\|4 25 3 ,I = ||.|

\|1 00 1 makaI . A =||.|

\|1 00 1||.|

\|4 25 3=||.|

\|+ ++ +4 0 2 00 5 0 3 = ||.|

\|4 25 3 A . I = ||.|

\|4 25 3||.|

\|1 00 1 = ||.|

\|+ ++ +4 0 0 25 0 0 3 = ||.|

\|4 25 3 Ternyata I . A = A . I = A Pemangkatan Matriks Bujur Sangkar Pemangkatan matriks bujur sangkar adalah perkalian antara matriks itu sendiri. Contoh : Jika||.|

\|=5 34 2Amaka tentukan 2AJawab : 2A = ||.|

\|5 34 2||.|

\|5 34 2=||.|

\|=||.|

\|+ + + +37 912 1625 12 15 620 8 12 4 Sifat-sifat perkalian matriks Jika antara matriks-matriks A , B dan C dapat saling dikalikan. 1. (A.B).C = A. (B.C)Asosiatif 2. I . A = A . I = AI matriks identitas 3. A . A1 = A1 .A = IA1 matriks kebalikan. 4. A . (B + C) = A.B + A. CDistributif 5. p . (A.B) = (p.A).B = A.(p.B) p (skalar) 18 LATIHAN SOAL. 1. Diketahuip = 3,A = ||.|

\|4 31 2 , B = ||.|

\|6 54 7 Tentukan : a.p. (A.B) b.(p.A).B c.(p.B).A 2.Jika A = ||.|

\|43, B = (313), C = |||.|

\|1 4 52 1 03 7 4 Tentukan: A . (B.C) dan (A.B).C 3.Jika A = ||.|

\|9 86 7, I = ||.|

\|1 00 1TentukanA.I danI . A 4.JikaA = ||.|

\|3 42 3; A1 =||.|

\|3 42 3.TentukanA . A1 danA1 . A 5.JikaA = ||.|

\|6 5 23 2 1,B = |||.|

\|4 68 73 1 , C = |||.|

\|0 12 34 7 Tentukan: a.B+C b.(B+A).A c.C . A d.B.A + C.A D.INVERS MATRIKS Pengertian Invers matriks / Kebalikan Matriks Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar yang ordonya sama sehinggaA.B = B.A =I ,maka B adalah invers A dan A adalah invers B. Dalam hal ini akan dibahas untuk matriks berordo 2 x 2 Contoh : Jika A = ||.|

\|1 32 5 danB = ||.|

\|5 32 1, tunjukkanlah matriks A dan B adalah saling invers. Jawab : A . B = ||.|

\|1 32 5.||.|

\|5 32 1= ||.|

\|=||.|

\| + + 1 00 15 6 3 310 10 6 5 19 B . A = ||.|

\|5 32 1.||.|

\|1 32 5=||.|

\|=||.|

\| + + 1 00 15 6 15 152 2 6 5 KarenaA.B = B.A = I,maka A adalah invers B dan sebaliknya. Rumus Umum : Jika A = ||.|

\|d cb amaka inversnya adalah, ||.|

\|=a cb dbc d aA.11 , dengan 0 = bc adbc ad dinamakandeterminan matriks A dan ditulisdetA =bc add cb a =atau biasa ditulisbc ad D =Jika 0 = = bc ad D , matriks A tersebut tidak mempunyai invers, dalam hal ini matriks A disebut matriks singular. Contoh : Diketahui matriks A = ||.|

\|3 41 2tentukan determinan dan inversnya. Jawab : 2 4 6 ) 1 )( 4 ( ) 3 )( 2 ( = = = = bc ad D||.|

\|=a cb dbc d aA.11 = ||.|

\|=||.|

\|1 2 2 41 3212123 Pemakaian matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Contoh : Tentukan harga X dan Y dari sistem persamaan dengan matriks. = = +3 5 45 2y xy x Jawab : ||.|

\|=||.|

\|||.|

\| 355 41 2yx Misal: A = ||.|

\|5 41 2 ||.|

\|=||.|

\| =14214414114512 41 54 101A||.|

\|=||.|

\| 35. . .1 1AyxA A||.|

\|||.|

\|=||.|

\|||.|

\|||.|

\| 355 41 2142144141145142144141145yx 20 ||.|

\|=||.|

\|||.|

\|121 00 1yx Jadi x = 2dany = 1 LATIHAN SOAL. 1.Tentukan invers tiap-tiap matriks berikut ini. a.||.|

\|=1 25 3Ab. ||.|

\| =0 12 3Bc.||.|

\|=2 41 2P 2.Jika ||.|

\|=1 03 2A dan ||.|

\|=3 14 2BTentukan : a.A . B b.(A.B)1 c. 1 Ad. 1 Be. 1 A .1 Bf. 1 B .1 A 3.Tentukan himpunan penyelesaian sistempersamaan berikut dengan metode matriks. a. = += +1 3 25 2y xy xb.= + += + +0 9 10 50 3 5 10y xy x 21 BAB IV VEKTOR 1.Vektor adalah ruas garis yang mempunyai besar (panjang) dan arah tertentu. 2.Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya pada titik pusat koordinat. 3.Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. 4.Dua buah vektor adalah sama, jika dan hanya jika arah dan panjangnya sama. 5.Vektor satuan pada sumbu x disebut i. Vektor satuan pada sumbu y disebut j. Vektor satuan pada sumbu z disebut k. 6.Jika titik A mempunyai koordinat A (a1, a2, a3), maka vektor posisi titik A adalaha = a1i + a2j + a3k ataua = (a1, a2, a3). 7.Jika A (a1, a2, a3) dan B (b1, b2, b3 ), maka vektorAB =b -a=( ) ( ) ( )k a b j a b i a b3 3 2 2 1 1 + + BA =a- b =( ) ( ) ( )k b a j b a i b a3 3 2 2 1 1 + + 8.Panjang/besar vektora = a1i + a2j + a3k adalah 232221a a a a + + = . 9.Jikaa +b=c , makao cos . 22 2 2b a a b c + + =Jikaa- b =c , maka o cos . 22 2 2b a a b c + =o = sudut antara vektoradan vektorb . z t i x j y aA ABB 22 10. Perkalian vektor. a.Perkalian vektor dengan bilangan/konstanta Jikaa = a1i + a2j + a3k, makaa = a1i + a2j + a3k. b.Perkalian skalar antara dua vektor hasilnya skalar/bilangan. Jikaa = a1i + a2j + a3k danb = b1i + b2j + b3k , maka a .b =a.bcoso= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3. c.Perkalian antara dua vektor hasilnya berupa vektor. Jikaa xb =c , makac=axbsino . Jikaa = a1i + a2j + a3k, danb = b1i + b2j + b3k , maka c =a xb =( ) ( ) ( )k b a b a j b a b a i b a b a3 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 + . 11. Sudut antara dua vektor. Jikaa = a1i + a2j + a3k b = b1i + b2j + b3k, maka a .b =a.bcoso , sehingga Coso= b ab a..= b ab a b a b a.3 3 2 2 1 1+ +. 12. Proyeksi vektor dan vektor proyeksi. Catatan : Proyeksi vektor panjang proyeksinya. Vektor proyeksi vektornya. Jika vektoradiproyeksikan ke vektorb , menjadi vektorc , maka proyeksi vektornya yaitu panjangc adalah :abb a +obb b a oaabuabuc23 c= bb a. Sedangkan vektor proyeksinya, yaitucadalah c =bbb a2. 13. Perbandingan vektor Jika A (a1, a2, a3) dan B (b1, b2, b3 ), sedangkan P (p1, p2, p3 ) terletak pada AB, sehingga AP : PB = m : n, maka : P1 = n mmb na++1 1 P2 = n mmb na++2 2 P3 = n mmb na++3 3 Contoh Soal: 1. Panjang vektork j i a 12 9 8 + + = adalah17 289 144 81 64 12 9 82 2 2= = + + = + + = a2. Jikak j i a 4 2 3 + =dank j i b 7 6 5 + = , maka a xb = ((-2).(-7) 4.6)i (3.(-7) 4.5)j + (3.6-(-2).(-7))k = (14-24)i (-21-20)j + (18-14)k = -10i + 41j +4k. 3. Besar sudut antara vektork j i a 3 2 + + =dank j i b + = 2 3 adalah .... Jawab: 06021143 2 614 . 141 . 3 ) 2 .( 1 3 . 2..cos14 1 4 914 9 1 4==+ =+ += == + + == + + =uub ab aba LATIHAN SOAL. Selesaikan soal-soal berikut ini dengan tepat. 1.Jikabesarsudutantaravektorp danvektorq adalah600,panjangp danq masing-masing 10 dan 6, maka panjang vektor ( p - q ) adalah .... A (a1, a2, a3) B (b1, b2, b3 ), P m n 24 2.DiketahuititikP(-3,-1,-5),Q(-1,2,0),danR(1,2,-2).Jikaa PQ= dan b PR QR = + , makaa .b = .... 3.Diketahuititik-titikP(2,-3,0),Q(3,-1,2),danR(4,-2,-1).Panjangproyeksi vektorPQ pada vektorPRadalah .... 4.Vektor yang merupakan proyeksi vektor ( 3, 1, -1 ) pada vektor ( 2, 5, 1 ) adalah .... 5.Diketahui vektorOA= ( 1, 2 ) dan vektorOB = ( 2, 1 ). Jika titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 1, maka panjang vektorOPsama dengan .... 25 BAB V TRANSFORMASITransformasi adalah suatu perpindaban/perubaban.1.TRANSLASI (Pergeseran sejajar) MatriksPerubahanPerubahan a ( b (x,y) (x+a, y+b)F(x,y) = 0 (x-a, y-b) = 0 Ket :x' = x + a x = x' - a y' = y + b y = y' -b Sifat: oDua buah translasi berturut-turuta ( diteruskan dengan b dapat digantikan denganc ( translasi tunggala + c( d b + d oPada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. 2.REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis) Pencerminan terhadap MatriksPerubahan TitikPerubahan fungsi sumbu-x 1 -0 ( 0 -1(x,y) (x,-y) F(x,y) = 0 F(x,-y) = 0 sumbu -y -1 0 ( -0 1 (x,y) (-x,y) F(x,y) = 0 F(-x,y) = 0 garis y = x 0 1 ( 1 0 (x,y) (y,x) F(x,y) = 0 F(y,x) = 0 garis y = -x -0 -1 ( 1 -0 (x,y) (-y,-x) F(x,y) = 0 F(-y,-x)= 0 Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1 SIFAT-SIFAT a.Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.b.Pengerjaanduarefleksiterhadapduasumbuyangsejajar,menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: 26 Jarak bangunasli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.Arahtranslasitegakluruspadakeduasumbusejajar, darisumbu pertamakesumbukedua.Refleksiterhadapduasumbu sejajar bersifat tidak komutatif. c.Pengerjaaanduarefleksiterhadapduasumbuyangsalingtegaklurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong darikeduasumbupencerminan.Refleksiterhadapduasumbuyangsaling tegak lurus bersifat komutatif. d.Pengerjaanduarefleksiberurutanterhadapduasumbuyangberpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat: Titikpotongkeduasumbupencerminanmerupakanpusat perputaran. Besarsudutperputaransamadenganduakalisudutantara kedua sumbu pencerminan. Arahperputaransamadenganarahdarisumbupertamakesumbu kedua.3.ROTASI (Perputaran dengan pusat 0) Rotasi MatriksPerubahan TitikPerubahan Fungsi t 0-1( 1 -0 (x,y) (-y,x)F(x,y) = 0 F(y,-x) = 0 t -10( 1 -1 (x,y) (-x,-y)F(x,y) = 0 F(-x,-y) = 0 3/2 t 0-1( -1 0 (x,y) (y,-x)F(x,y) = 0 F(-y,x) = 0 u cosu -sinu ( sinucosu (x,y) (x cos u - y sin u, x sin u + y cos u) F(x,y) = 0 F(x cos u + y sin u, -x sin u + y cos u) = 0 Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1 SIFAT-SIFAT a.Dua rotasi berturut-turut merupakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula. b.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan:Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran 27 (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.4.DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)DilatasiMatriksPerubahan titikPerubahan fungsi (0,k) k0( 0k (x,y)(kx,ky)F(x,y)=0F(x/k,y/k) Ket: (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k. Jika A' adalah peta dari A, maka untuk: a. k > 1A' terletak pada perpanjangan OA b. 0 < k < 1 A' terletak di antara O dan A c. k > 0 A' terletak pada perpanjangan AO 28 Semester 2 BAB I BARISAN DAN DERET A.BARISAN DAN DERET ARITMETIKA1.Barisan Aritmetika (Barisan Hitung) U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmetika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1 Suku ke-n barisan aritmetika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b U1, U2, U3 ............., Un Rumus Suku ke-n : Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) Fungsi linier dalam n 2.Deret Aritmetika (Deret Hitung) a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmetika. Dimana: a = suku awal b = bedan = banyak sukuUn = a + (n - 1) b adalah suku ke-n Jumlah n suku Sn = 1/2 n(a+Un) = 1/2 n[2a+(n-1)b] = 1/2bn + (a - 1/2b)n Fungsi kuadrat (dalam n) Keterangan: a.Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn") b.Barisan aritmetika akan naik jika b > 0 Barisan aritmetika akan turun jika b < 0 c.Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn" d.Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)dst.e.Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt Ut = Sn / n f.Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmetika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b 29 B.BARISAN DAN DERET GEOMETRI 1.Barisan Geometri (Barisan Ukur) U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r) Rasio r = Un / Un-1 Suku ke-n barisan geometri a, ar, ar , .......arn-1 U1, U2, U3,......,Un Suku ke n Un = arn-1 fungsi eksponen (dalam n) 2.Deret Geometri (Deret Ukur) a + ar + ....... + arn-1 disebut deret geometri a = suku awal r = rasio n = banyak suku Jumlah n suku Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1 = a(1-rn)/1-r , jika r Un-1 c.Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku Un < Un-1 Bergantian naik turun, jika r < 0 d.Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 e.Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

1 2 1 = =n n txU U xU U U , dst f.Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar. 3.Deret Geometri Tak Berhingga Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1 + U2 + U3 + .............................. 30 =1 nUn = a + ar + ar + ......................... dimana n dan -1 < r < 1 sehingga rn 0Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat : Jumlah tak berhinggaS = a/(1-r) Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk-1 < r < 1 Catatan: a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ................. Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r) Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + ......Sgenap = ar / 1 -rDidapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r LATIHAN SOAL Selesaikan soal-soal berikut ini. 1.Diketahui suatu deret 1 , 3 , 5 , 7 , Jumlah n suku yang pertama adalah 225, maka suku ke-n adalah . 2.Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = n2 + 4n. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya suku ke-5 dan beda deret tersebut adalah ....3.Jika tn adalah suku ke-n dari suatu deret geometri, dan p>3, maka tp-3 . t3p+5 sama dengan .... 4.Jumlah deret tak hingga ... cos . sin cos . sin sin4 2+ + + x x x x x , untuk 6t= xadalah .... 5.Jumlah deret tak hingga ... 16 log . ) 5 (log 16 log . ) 5 (log 16 log . 5 log 16 log3 2+ + + +adalah.... 31 BAB II EKSPONEN DAN LOGARITMA A.EKSPONEN Eksponen artinya perpangkatan, meliputi :-pangkat pecahan -pangkat nol -pangkat negatif a. Rumus-Rumus Eksponen 1.an= a.a.a.a ............. (sebanyak n faktor) 2.am . an= am+n 3.am : an= am-n 4.(am)n= am.n 5.a-n= na1 6.a0= 1, a = 0 7.am/n= n mab. Persamaan Eksponen Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah). [Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst]. BENTUK-BENTUK 1). af(x) = ag(x) f(x) = g(x) Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan. contoh : 2 SUKU1 SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI1. 3 28 x82x-3) = (32x+1)1/4 (23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/4 2(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4 (6x-9)/2 = (5x-5)/4 24x-36 = 10x+10 32 14x = 46 x = 46/14 = 23/7 2.3x-3x+2 + 3x-3x = 10 3.3x-3x+3x-3x = 10 9. 3x-3x + 3x-3x = 10 10. 3x-3x = 10 3x - 3x = 30 x - 3x = 0 x(x-3) = 0 x1 = 0 ; x2 = 3 3 SUKU GUNAKAN PEMISALAN1.22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 0 22.22x - 22.2x + 1 = 0 Misalkan : 2x = p 22x = (2x) = p 4p -4p + 1 = 0 (2p-1) = 0 2p - 1 = 0 p =1/2 2x = 2-1 x = -1 2.3x + 33-x - 28 = 10 3x + 33/3x - 28 = 10 misal : 3x = p p + 27/p - 28 = 0 p - 28p + 27 = 0 (p-1)(p-27) = 0 p1 = 1 3x = 30 x1 = 0 p2 = 27 3x = 33 x2 = 3 2). af(x) = bf(x) f(x) = 0 Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0. Contoh: 3x-x-2 = 7x-x-2 x - x -2 = 0 (x-2)(x+1) = 0 x1 = 2 ; x2 = -1 33 3). af(x) = bf(x) f(x) log a = g(x) log b Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma. Contoh: 4x-1 = 3x+1 (x-1)log4 = (x+1)log3 xlog4 - log4 = x log 3 + log 3 x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4 x (log4 - log3) = log 12 x log 4/3 = log 12 x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 124). f(x) g(x) = f(x) h(x)

Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda. Tinjau beberapa kemungkinan.1.Pangkat sama g(x) = h(x) 2.Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1g(x) = 1h(x) = 1 3.Bilangan pokok f(x) = -1 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil. ket : g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1 g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1 4.Bilangan pokok f(x) = 0 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif. ket : g(x) dan h(x) positif 0g(x) = 0h(x) = 0 Contoh: (x + 5x + 5)3x-2 = (x + 5x + 5)2x+3 1.Pangkat sama 3x - 2 = 2x + 3 x1 = 5 2.Bilangan pokok = 1 x + 5x + 5 = 1 x + 5x + 4 = 0 (x-1)(x-4) = 0 x2 = 1 ; x3 = 43.Bilangan pokok = -1 x - 5x + 5 = -1 x - 5x + 6 = 0 (x-2)(x-3) = 0 x = 1 ; x = 4 34 g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4= (-1)7 g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -14.Bilangan pokok = 0 x - 5x + 5 = 0 x5,6 = (5 5 )/2 kedua-duanya memenuhi syarat, karena : g(2 1/2 1/25 ) > 0 , h(2 1/2 1/25 ) > 0 Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah : HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 1/2 5 } c. Pertidaksamaan Eksponen Bilangan Pokok a > 0=1Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a > 10 < a < 1 af(x) > ag(x) f(x) > g(x) af(x) < ag(x) f(x) < g(x) (tanda tetap) af(x) > ag(x) f(x) < g(x) af(x) < ag(x) f(x) > g(x) (tanda berubah) Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1.Misal : 1/8 = (1/2)3 = 2-3 Contoh:1.(1/2)2x-5 < (1/4)(1/2x+1) (1/2)2x-5 < (1/2)2(1/2x+1) Tanda berubah (0 < a < 1) 2x - 5 > x +2 x > 7 2.32x - 4.3x+1 + 27 > 0 (3x) - 4.31.3x + 27 > 0 misal : 3x = p p -12p + 27 > 0 (p - 9)(p - 3) > 0 p < 3 atau p > 9 3x < 3 atau 3x > 3 x < 1 atau x > 2 B.LOGARITMA35 Definisi:n ba= log , artinya an = b Syarat: 01>=>bao a a.Rumus-Rumus Logaritma d d c babba n ab abab a b ab aa c b ammanbalog log . log . log . 6logloglog . 5log . log . 4log log ) log( . 3log log ) . log( . 2. 1log=== =+ == b.Persamaan Logaritma Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x. Rumus-rumus: alog f(x) = alog g(x) f(x) = g(x)alog f(x) = b f(x) =ab f(x)log a = b (f(x))b = a Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi.(Bilangan pokok > 0 dan bilangan pokok=1, dan numerus > 0 )Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !1. xlog 1/100 = -1/8 x-1/8 = 10-2 (x -1/8) -8 = (10-2)-8 x = 10 16 2. xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6 xlog 34 - 2 xlog33 + xlog3 + 1/2 xlog 36 = 6

4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6 3 xlog 3 = 6 xlog 3 = 2 x = 3 x = 3(x>0) 3. xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0 xlog(x+12) - xlog 4 = -1 xlog ((x+12)/4) = -1 36 (x+12)/4 = 1/x x + 12x - 64 = 0

(x + 16)(x - 4) = 0

x = -16 (TM) ; x = 4 c.Pertidaksamaan Logaritma Bilangan pokok a > 0 dan=1Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a > 10 < a < 1 a log f(x) > b f(x) > ab a log f(x) < b f(x) < ab (tanda tetap) a log f(x) > bf(x) < ab a log f(x) < b f(x) > ab (tanda berubah) syarat f(x) > 0 Contoh: Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan1. log(x - 2x) < 3 a = 2 (a>1) Hilangkan log Tanda tetap a.x - 2x < 2 x - 2x -8 < 0 (x-4)(x+2) < 0 -2 < x < 4 b.syarat : x - 2x > 0 x(x-2) > 0 x < 0 atau x > 2 HP : {x - 2 < x < 0 atau 2 < x < 4} 2. 1/2log (x - 3) < 0 a = 1/2 (0 < a < 1) Hilangkan log Tanda berubah a.(x - 3) > (1/2)0 x - 4 > 0 (x -2)(x + 2) < 0 x < -2 atau x > 2 b.syarat : x - 3 > 0 (x -3 )(x +3 ) > 0 x 337 HP : {xx < - 2 atau x > 2} LATIHAN SOAL 1.Jika 93x+2 = 5 2811 x, maka x = .... 2.Jumlah akar-akar persamaan {2(4x)}-5.2x + 2 = 0 adalah .... 3.Jika 3log 2 = x, hitung 1/4log 27. 4.Himpunan penyelesaian persamaan 9) 1 2 log(3 x= 25 adalah .... 5.Nilai-nilai x yang memenuhi (2x)x 2 log 12+> 64x3 adalah .... Selamat Belajar