Materi Kuliah : Matriks dan Ruang...

30
Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektor Bab VI TRANSFORMASI LINIER

Transcript of Materi Kuliah : Matriks dan Ruang...

Page 1: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

Materi Kuliah :Matriks dan Ruang Vektor

Bab VI

TRANSFORMASI LINIER

Page 2: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

1. Pengertian Transformasi

Definisi :

Dalam Kalkulus dikenal dengan kata FUNGSI, yaitu sebuah PEMETAAN yang bersifat khusus.

PEMETAAN disebut juga TRANSFORMASI karena Domain dan Codomainnya merupakan Vektor berdimensi n atau Rn, sedangkan FUNGSI Domainnya merupakan sebuah bilangan

Page 3: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

1. Pengertian Transformasi

TRANSFORMASI dari Rn ke Rn ditulis

Dengan rumus :

nn RRT :

2121 _,_, xnilaixnilaixxT

321321 _,_,_,, xnilxnilxnilxxxT

Page 4: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

1. Pengertian Transformasi

Contoh :

Diketahui Transformasi dengan rumus

tentukan hasil

Transformasi dari vektor

Hasil Transformasi biasanya disebut PETA

22: RRT

212121 3,2, xxxxxxT

3,2V

Page 5: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

1. Pengertian Transformasi

Jawab :

Diketahui vektor , maka berarti dan

Transformasinya

Maka :

merupakan PETA

3,2V 21 x

32 x 212121 3,2, xxxxxxT

332,3223,2 T

212121 3,2, xxxxxxT

92,343,2 T

11,13,2 T

Page 6: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

1. Pengertian Transformasi

Contoh :

Diketahui Transformasi dengan rumus

tentukan

Hasil Transformasi dari vektor

22: RRT

321312321 3,23,,, xxxxxxxxxT

1,2,2 V

Page 7: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

1. Pengertian Transformasi

Jawab :

Diketahui vektor , maka berarti ,

dan dengan Transformasinya

Maka :

1,2,2 V 21 x

22 x 13 x

321312321 3,23,,, xxxxxxxxxT

321312321 3,23,,, xxxxxxxxxT

1322,1223,21,2,2 T

Page 8: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

1. Pengertian Transformasi

Soal Latihan :

Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

Rumus Transformasi berikut :

3212132321 2,2,,,.1 xxxxxxxxxxT

2,1,3 V

321321321 3,,2,,.2 xxxxxxxxxT

32213321 2,,2,,.3 xxxxxxxxT

32212321 22,32,2,,.4 xxxxxxxxT

Page 9: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

2. Transformasi Vektor Linier

Sebuah Transformasi T disebut Transformasi

Vektor Linier jika memenuhi dua syarat berikut :

1. Untuk setiap vektor misalkan V1 dan V2, maka akan berlaku :

T[V1] + T[V2] = T[V1 + V2]2. Untuk setiap vektor misalkan V dan sebuah

bilangan , maka akan berlaku

T[V] = T[V]

Page 10: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

2. Transformasi Vektor Linier

Contoh :

Diketahui Transformasi dengan rumus

Apakah Transformasi

itu merupakan Transformasi Vektor Linier ?,

Tunjukan

22: RRT

212121 3,2, xxxxxxT

Page 11: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

2. Transformasi Vektor Linier

Contoh :

Diketahui Transformasi dengan rumus

Apakah Transformasi

itu merupakan Transformasi Vektor Linier ?,

Tunjukan

22: RRT

212121 2,, xxxxxxT

Page 12: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

2. Transformasi Vektor Linier

Contoh :

Diketahui Transformasi dengan rumus

Apakah Transformasi itu

merupakan Transformasi Vektor Linier ?,

Tunjukan

22: RRT

34,3, 1221 xxxxT

Page 13: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

2. Transformasi Vektor Linier

Contoh :

Diketahui Transformasi dengan rumus

Apakah

Transformasi itu merupakan Transformasi Vektor

Linier ?, Tunjukan

33: RRT

21312321 ,,2,, xxxxxxxxT

Page 14: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

2. Transformasi Vektor Linier

Contoh :

Diketahui Transformasi dengan rumus

Apakah

Transformasi itu merupakan Transformasi Vektor

Linier ?, Tunjukan

33: RRT

21312321 3,22,1,, xxxxxxxxT

Page 15: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Definisi :

Jika Diketahui T : Rn Rn merupakan Transformasi

vektor Linier , maka [T]e merupakan matriks

Transformasi yaitu Transpose dari matriks

Koefisien. Dan jika diketahui sebuah vektor V,

maka Peta dari vektor V yaitu T[V] dapat

ditentukan dengan Rumus

T[V] = [ T ]e V

Page 16: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Definisi Basis :

Jika Diketahui T : R2 R2 maka Basisnya :

Basis Sumbu X : e1 = 1,0 T[e1] = T[1,0]

Basis Sumbu Y : e2 = 0,1 T[e2] = T[0,1]

Misalkan T[x1,x2] = [ax1 + bx2 , cx1 + dx2], maka :

T[e1] = T[1,0] = ae1 + ce2

T[e2] = T[0,1] = be1 + de2

Jadi Matriks Koefisienya

db

caT

Page 17: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Maka Matriks Transformasinya

dc

baT e][

Page 18: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Contoh :

Jika Diketahui T : Rn Rn merupakan Transformasi

vektor Linier, dengan rumus

Matriks Koefisien :

T[e1] = T[1,0] = 2e1 + 1e2

T[e2] = T[0,1] = –1e1 + 3e2

matriks Transformasinya [T]e adalah

212121 3,2, xxxxxxT

31

12T

31

12eT

Page 19: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Contoh :

Jika Diketahui T : Rn Rn merupakan Transformasi

vektor Linier, dengan rumus

maka matriks Koefisienya ?

Matriks Transformasinya [T]e

212121 2,3, xxxxxxT

Page 20: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Contoh :

Jika Diketahui T : Rn Rn merupakan Transformasi

vektor Linier, dengan rumus

maka matriks Koefisienya ?

Matriks Transformasinya [T]e

12121 ,2, xxxxxT

Page 21: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Definisi Basis :

Jika Diketahui T : R3 R3 maka Basisnya :

Basis Sumbu X : e1 = 1,0,0 T[e1] = T[1,0,0]

Basis Sumbu Y : e2 = 0,1,0 T[e2] = T[0,1,0]

Basis Sumbu Z : e3 = 0,0,1 T[e3] = T[0,0,1]

Page 22: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Misalkan

T[x1,x2,x3]=[ax1+bx2+cx3, dx1+ex2+fx3, gx1+hx2+ix3]

maka :

T[e1] = T[1,0,0] = ae1 + de2 + ge3

T[e2] = T[0,1,0] = be1 + ee2 + he3

T[e3] = T[0,0,1] = ce1 + fe2 + ie3

Jadi Matriks Koefisienya

ifc

heb

gda

T

Page 23: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Jika ditranspose menjadi Matriks Transformasi

yaitu :

ihg

fed

cba

T e

Page 24: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Contoh :

Jika Diketahui T : Rn Rn merupakan Transformasi

vektor Linier, dengan rumus

Tentukan Matriks Koefisien dan Matriks

Transformasinya

3212132321 2,2,,, xxxxxxxxxxT

Page 25: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Diketahui :

T[e1] = T[1,0,0] = 0e1 + 1e2 + 1e3

T[e2] = T[0,1,0] = 1e1 + 2e2 + 2e3

T[e3] = T[0,0,1] = –1e1 + 0e2 + –1e3

Jadi :

maka

101

221

110

T

121

021

110

eT

3212132321 2,2,,, xxxxxxxxxxT

Page 26: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Contoh :

Tentukan Peta dari Vektor V[1, 2, 3] dengan

matriks Transformasi jika diketahui rumus

Transformasi

32212321 22,2,2,, xxxxxxxxT

Page 27: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Diketahui

Maka Petanya

200

212

020

T

220

012

020

eT

2

4

4

3

2

1

220

012

020

VTVT e

32212321 22,2,2,, xxxxxxxxT

Page 28: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Contoh :

Tentukan Peta dari Vektor V[1, 1, 2] dengan

matriks Transformasi jika diketahui rumus

Transformasi

3131321321 2,2,2,, xxxxxxxxxxT

Page 29: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

3. Matriks Transformasi

Contoh :

Tentukan Peta dari Vektor V[3, 3, 1] dengan

matriks Transformasi jika diketahui rumus

Transformasi

132132321 2,23,,, xxxxxxxxxT

Page 30: Materi Kuliah : Matriks dan Ruang Vektordinus.ac.id/repository/docs/ajar/Slide_Matrik_P6_Transformasi... · Contoh : Diketahui ... Soal Latihan : Diketahui sebuah vektor yaitu dengan

Transformasi Vektor Linier

Siip...

Lanjut Slide 7..