Materi Kuliah

download Materi Kuliah

of 51

  • date post

    30-Oct-2014
  • Category

    Documents

  • view

    14
  • download

    2

Embed Size (px)

description

Materi kuliah Kalkulus 2Dosen : Dr. Ir. H. Tjukup Marnoto, MT

Transcript of Materi Kuliah

Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk1 KALKULUS II Pendahuluan Ir.H. Tjukup Marnoto, MT, PhD E-mail: tjukup@gmail.com Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk2 Deskripsi Mata kuliah Kalkulus II merupakan mata kuliah wajib di Jurusan Teknik Kimia yang mempelajari: Hitung Intergral Intergral Lipat Dan Aplikasinya Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk3 Penilaian Penilaiandilakukandenganmenggunakan kriteria sebagai berikut : NilaiRentang A> 75 B65 74,9 C40 59,9 D30 39,9 E 29,9 Bobot untuk komponen-komponen penilaian: Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 4 Penilaian Tugas15% Kuis10% Ujian Tengah Semester30% Ujian Akhir Semester45% Anti Turunan Pada berbagai mesalah matematika mempunyaipasangan operasi balikan seperti +,-, x,:, ^, akar dsb. Telah dipelajari hal diferensiasi, jika kita bermaksud menyelesaiakan atau memecahkan persamaan yang melibatkan diferensiasi/turunan maka memerlukan operasi balikannya, yang disebut anti turunan atau anti diferensiasiyang disebut integral / integrasi. Sebut F adalah suatu anti turunan f(x) pada interval I, Jika I pada x f x F dx... ) ( ) ( =untuk semua x pada I ) ( ) ( ' x f x F =5 contoh c x x Fx f dari turunan antidsbx x Fx x F+ =+ =+ =444) ( ') ( . . ..5 ) ( '8 ) ( ' Notasi Leinbiz, untuk menyatakan anti turunan atau integral adalah dengan notasi}) (Integral6Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk }+ = c x dx x4 34}+ = c x dx x3 231Dx Turunan terhadap x Anti turunan terhadap x }dx ........}}+ ==C x f dx x Dxdanx f dx x f Dx) ( ) () ( ) (7Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk cnxdx xnn++=+}11c x cxdx xc x cxdx xc x cxdx x+ = + =+ = + =+ = + =}}}4 / 74 / 74 / 3332665744 / 733 3616}}+ =+ =c x xdxc x xdxsin coscos sin8Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk Misalkan ada f dan g adalah fungsi x maka berlaku :{ }} } }} } = =dx x g dx x f dx x g x fdx x f k dx x f k) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( .c x x xxdx xdx dx xdx x x x+ + = + = +} } }}2 3222 sin 24 cos 2 3} 4 cos 2 3 {9Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk 10 Integral standard }}+ =+ =c x xdxc x xdxsin coscos sin}}}}} }}+ =+ =+ =+ =+ = + == ++=+c x dx xc x dxxcaadx ac e dx ec ax adx c x dxn cnxdx xxxx xnntan . secln1ln... 11121Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk11 x xdxda a adxde edxdxxdxdx n xdxdx xx xn n21sec ) (tanln ) () (1) (ln. ) (=====}}}}}+ =+ =+ =+ == ++=+c x dx xcaadx ac e dx ec x dxxn cnxdx xxxx xnntan . secln..ln11121Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk12 212111) (cos11) (sincosh (sinh)sinh ) (cosh. ) (xxdxdxxdxdxdxdx xdxde k edxdkx kx=====}}}}}+ =+ =+ =+ =+ =c x dxxc x dxxc x dx xc x dx xckedx ekxkx1212cos11sin11sinh . coshcosh . sinhTeknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk13 x x xdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdln ) ln . (11) (tanh11) (cosh11) (sinh11tan21212121===+=+=}}}}}+ =+ =+ =+ =++ =+c x x dx xc x dxxc x dxxc x dxxc x dxxln . . lntanh11cosh11sinh11tan .1112121212Buatlah soal dan kerjakan sendiri 14 Integral dari Fungsi linier x }+ dx b axn. ) ( Misal : Jika variabel x diganti dengan fungsi linier x : } }= + + = . . ) ( ) ( dx u dx b ax b ax un nUntuk menyelesaiakan sesuai dengan integral standard harus mengubah variabel dx. Perhatikan definisi integral dudxdxdydudyxuxxyuy. 0 . = c cccc=cc}}= + = +n nn nududydu ub axdxdydx b ax ) ( . ) (Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk15 cxycudu u dududxu ydudxxux u dx x y++=+ = = == =+ = + =} }}15) 2 3 (5 3131. .3132) 2 3 ( ) 2 3 (554 44Contoh : Untuk integrasi fungsi linier x, sederhanakandengan mengganti x dengan hasil standard yang berhubungan dengan fungsi linier dan dibagi koefisien x pada fungsi liniernya Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk16 } } } }++= ++= ++ = +cxcxdx xcxdx x std dx x12) 3 4 (413) 3 4 () 3 4 (3. ) 3 4 (3 3232 2cec e dx ec e dx e std dx ecxc x dxc x xdx std xdxxx xx x x+ = + =+ = + = + =+ = ++ ++}} }}} }5 51.33 sin31. 3 sin . 3 cossin cos 3 cos2 52 5 2 52 517 Integral pembilang dan pengkalinya bentuk diferensiasi }}+ == = =c zzdzdx x f dz x fdxdzmaka x f zdxx fx fln) ( ' ) ( ' : ), () () ( '}}+ = == = =czdz zdx x f dz x fdxdzmaka x f zdx x f x f2.) ( ' ) ( ' : ), (). ( ' ). (2Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk18 Setiap kita menemui persoalan integral yang berbentuk pembagian dan perkalian, maka yang pertama dilakukan adalah chek apakah pembilangnya atau pengkalinya merupakan koefisien differnsial dari penyebutnya atau dari yang dikalikan?Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk19 c x xc zzdzx xx ddxx xxdx x dz xdxdzx x zdxx xxdxx xx+ + =+ = =+ =+ = = + =+ + } } }} }) 5 4 ln( 2ln 2 25 4 2) 4 2 (25 44 22) 4 2 ( ; 4 2 ; 5 4) 5 4 () 4 2 ( 2) 5 4 () 8 4 (2222 2Contoh: Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk20 c x dxxxdx xc x dxxxxdxc x dxxxdxxxc x x x dxx x xx x+ = =+ = =+ ==+ + = + + } }} }} }}sin lnsincos. cotcos lncossintan) 4 ln(3143314) 4 3 ln() 4 3 (3 2 3332322 32 32Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk21 } }}+ += + = = + ++ = + = + =+ +cx xczdz z dx x x xdx x dz xdxdzx x zdx x x x2) 5 3 (2. ) 3 2 ).( 5 3 () 3 2 ( 3 2 ; 5 3) 3 2 ( ) 5 3 (2 2 2222cx xdx x x xcxx d x dx x xcxx d x dxxx dxxx+ += + ++ = =+ = = =}} }} } }2) 4 7 () 7 2 )( 4 7 (2sin) (sin . sin . cos . sin2) (ln) (ln . ln1. lnln2 2222Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk22 Latihan soal soal: }}}}}+ + ++ ++dxxdx xdx edxx xxdx x x xx5 32) 3 2 sin(.6 44 2) 7 2 )( 4 7 2 (5 52}}}}} ++dx kedxxxdxdxx xdxxxkxx222) 3 2 sin() 3 2 cos( 25 ln . 5ln14 77 2Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk23 } } }+ = + = = ==c x c zzdzdxxdz x zdx xxdxx x) ln(ln ln1; ln. ln1ln1Teorema pangkat yang digeneralisir Jika u=g(x) adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dan n suatu bilangan rasional (n1). Maka: { }{ }{ }{ }}++==((

+=((

++++cnx gdx x g x gmakax g x gnx gdxdataudxduunudxdnnnnnn.1) (). ( ' . ) () ( ' . ) (1) (; .1111Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk24 | |cx gx fdxx gx g x f x f x gc x g x f dx x f x g x g x fBuktikan+ =+ = +}}) () (.) () ( ' ). ( ) ( ' ). () ( ). ( ) ( ' ). ( ) ( ' ). (:2Buatlah soal dan kerjakan sendiri Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk25 Jika udan v adalah fungsi x, maka kita ketahui bahwa: } }} }} } = =+ =+ =du v v u dv udxdxduv v u dxdxdvudxdxduv dxdxdvu v uegralkan didxduvdxdvu v udxd. . ...: int) . (Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk26 cxxece xe e xdx eexe xxdx eex dx e xev e dvx du x udv dan u sebagai mana pilih dx e xxx x xxx xxxxxxx+)`+ =+ + =)` = == == =}} }}9232327. 2923.313 323..323. . .32; . .233 3 3 233 3 2332 3 23323 2Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk27 Urutan prioritas untuk u : Jika salah satu faktornya adalah fungsi logaritma, maka ia diambil sebagai u. Jika tidak ada fungsi logaritma, tapi ada fungsi pangkat x, maka fungsi pangkat diambis sebagai u. Jika tidak ada fungsi logaritma maupun fungai pangkat x, maka fungsi eksponensial diambil sebagai u.Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk28 c xxcx x xdxxxx xxv x dvxdu x u xdx x+|.|

\| = + = == = = = }}21ln2 4 2ln .1.212ln .2;1; ln ln .2 2 2222Contoh: Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk29 cx xxece e x e x e xdx ee x e x e xdx x ee x e xdx e xe xev e dv x du x u dx e xxx x x xxx x xxx xxxxx x+||.|

\| + =+ + =)` + =)` = == = = = }} }}43232322 434. 34. 32..212.234. 32..222.232..232.2; 3 ; .2322 2 2 2 2 322 2 2 2 322 2 2 32 22 322 2 3 2 3Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk30 { }}}} }} + =+ = = == = dx e x kebentuk lagi kembalixdx e x x e x edx e x x e xdx ex v x dve du e u dx x exx xx x xx x x. . sin3 . sin 3 sin . 3 cos .. . cos 3 cos sin .cos ;. sin3 ; . sin .33 33 3 33 3 3Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk31 Setiap kita mengintegralkan fungsi berbentuk ekx sin x, atau ekx cos x, maka akan memperoleh kembali bentuk semula setelah menerapkan dua kali. Maka dimisalkan : c x xeIc x x e ImakaI x e x e Idx x e Ixxx xx+ =+ = + ==}) cos (sin10) cos (sin . 109 sin . 3 cos .. sin .333 33Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk32 Latihan soal soal: dx x edx x exdx exxx. .. 4 cos3 sin4 225}}}}}}+ dx x xdx x xxdx x). 3 ln( .. 2 cos .3 sin334Buatlah soal dan kerjakan sendiri Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk33 }}})`++ + + =+ + == =+= + =+dxxx x x xxx dxxxxxv x dvxdu x udx x x38127 9 341) 3 ln(43 41) 3 ln(44;31); 3 ln() 3 ln( .2 344 4433Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk34 Integrasi dengan pecahan parsial Kaedah: Derajat pembilang < penyebut, jika tidak harus membagi dengan pembagian biasa Faktorkan penyebut dengan faktor primanya. Faktor tersebut akan memberikan pecahan parsial sbb: c bx axB Axc bx axb axCb axBb axAb axb axBb axAb axb axAmemberikan b ax+ ++ + ++++++ ++++ ++ +223 2322); () ( ) (; ) () (; ) (); (Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk35 Contoh: ) 1 ( ) 2 ( 12 1 ) 2 )( 1 (12 312 3122 + = + += +=+ ++ +}x B x A xxBxAx xxx xxdxx xx3 ) 1 ( ) 0 ( 32 0 ) 2 ( :2 ) 0 ( ) 1 ( 21 0 ) 1 ( := + = = = = + = = = B B Ax subtitusi x AmbilA B Ax subtitusi x AmbilTeknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk36 c x xdxxdxxdxxdxxdxx xx+ + ==+=+ +} }} } }) 1 ln( 2 ) 2 ln( 311221323122 312}}}}++ +++ dxx xxdxx xxdxxxdxx xx22223222) 1 2 (1 4). 4) 1 )( 2 (). 3) 2 (1). 2) 1 ( ) 1 (). 1Latihan: Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk37 | || |522542 051541:540 5 4 2) )( 2 ( ) 1 () 1 ( ) 2 ( ) 1 )( 2 () 1 )( 2 (). 3022 22 2222= = = =+ = + = =+ = =+ + + =+++=+ + }C C C A xB B B A xkoef isien samakanA A xC Bx x x A xxC BxxAx xxdxx xxTeknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk38 C x x xdxxdxxxdxxdxxxxdxx xx+ + + + =++++=)`+++=+ } } }} }1 22 22 22tan52) 1 ln(101) 2 ln(54) 1 (152) 1 ( 51) 2 (154) 1 ( 52) 2 ( 54) 1 )( 2 (Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk39 2 22222 2222) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 () 1 ( ) 1 (1 ) 1 ( ) 1 (1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 ( + + + + = + ||.|

\|+++=+++=+ + }x C x B x x A xx xxCxBxAxxCxBxAx xxdxx xx| |43412241211 ; 1) () 4 ( ()) ) 0 ( 1 ; 1 0 ) 1 ( :) 0 ( ) 2 ( ) 0 ( 1 ; 1 0 ) 1 ( := + =+ = = + + = = = += + + == = A A C A xx misal pangkat koef isien SamakanC C B A x x AmbilB C B A x x AmbilTeknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk40 C xxxdxxdxxdxxdxx x xdxx xx+ + + =+++=)`+++=+ } } }} }) 1 ln(41) 1 ( 21) 1 ln(43) 1 (141) 1 (121) 1 (143) 1 ( 41) 1 ( 21) 1 ( 43) 1 ( ) 1 (22 22Buatlah soal dan kerjakan sendiri Teknik Kimia- UPN "Vetaran"Yk41 }}+ =+ =c x xdxc x xdxsin coscos sinIntegrasi fungsi-fungsi trigono metri,} }} }+|.|

\|+ = + =+|.|

\| = =+ = = = =Cxx dx x xdxCxx dx x xdxjadix x d