Materi Bilangan dan logika sma

1

BAGIAN I

PENDAHULUAN

A. Pengantar Isi

Merujuk pada Peraturan Menteri Pendayagunaan Aparatur Negara dan Reformasi

Birokrasi (Permenpan dan RB) Nomor 16 tahun 2009 tentang Jabatan Fungsional

Guru dan Angka Kreditnya memuculkan paradigma baru profesi guru. Guru tidak lagi

dianggap sekedar pelaksana teknis di kelas, tetapi dianggap sebagai suatu jabatan

fungsional. Jabatan fungsional guru adalah jabatan fungsional yang mempunyai ruang

lingkup, tugas, tanggung jawab, dan wewenang untuk melakukan kegiatan mendidik,

mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta

didik pada pendidikan anak usia dini jalur pendidikan formal, pendidikan dasar, dan

pendidikan menengah sesuai dengan peraturan perundang-undangan yang diduduki

oleh Pegawai Negeri Sipil (Pasal 1 ayat 1). Konsekuensinya adalah guru dituntut

melakukan pengembangan keprofesian berkelanjutan (PKB) sehingga guru dapat

menjalankan tugas dan fungsinya secara profesional.

B. Target Kompetensi

1. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan tentang sistem bilangan dan

operasi hitung bilangan.

2. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan aproksimasi (pendekatan) dan

estimasi (penaksiran) dari suatu perhitungan.

3. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan sifat bilangan berpangkat dan

bentuk akar.

4. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan hasil operasi pada bilangan

berpangkat.

5. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan perbedaan antara pernyataan

dan bukan pernyataan dan dapat menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan.

6. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan nilai kebenaran suatu

pernyataan majemuk dan nilai kebenaran dari negasi suatu pernyataan majemuk.

2

7. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan konvers, invers, dan

kontraposisi suatu implikasi dan menentukan nilai kebenarannya serta nilai

kebenaran dari negasi bentuk-bentuk tersebut.

8. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan nilai kebenaran suatu kalimat

berkuantor universal dan eksistensial serta dapat menentukan nilai kebenaran

dari negasi suatu pernyataan berkuantor.

9. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan kesahihan suatu penarikan

kesimpulan dan mampu menarik kesimpulan yang sahih dari premis-premis yang

ada.

C. Strategi dan Penilaian

Pembahasan pada modul ini lebih menitikberatkan pada pengertian sistem bilangan

dan operasi hitung bilangan, aproksimasi (pendekatan) dan estimasi (penaksiran)

dari suatu perhitungan, sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, operasi pada

bilangan berpangkat, pengertian logika, konjungsi, disjungsi, implikasi, konvers,

invers, kontraposisi, kuantor dan penarikan kesimpulan. Setiap bagian modul ini

dimulai dengan teori-teori, diikuti beberapa contoh dan diakhiri dengan latihan. Di

samping itu, dikemukakan juga tentang hal-hal penting yang perlu mendapat

penekanan para guru di saat membahas pokok bahasan ini di kelasnya. Karenanya,

para pemakai modul ini disarankan untuk membaca lebih dahulu teorinya sebelum

mencoba mengerjakan latihan yang ada, yang untuk mempermudahnya telah

disiapkan juga kunci jawabannya. Saran dan masukan untuk modul ini dapat

disampaikan kepada kami di PPPPTK Matematika dengan alamat: Jl. Kaliurang KM. 6,

Sambisari, Condongcatur, Depok, Sleman, DIY, Kotak Pos 31 YK-BS Yogyakarta 55281.

Telepon (0274) 881717, 885725, Fax. (0274) 885752, alamat email:

[email protected].

3

BAGIAN II

AKTIVITAS

Kegiatan 1. (In Service Learning 1)

1. Suatu bilangan dilambangkan dengan 𝑎 sedangkan lawannya dilambangkan

dengan 𝑏. Jika 𝑎 < 𝑏, manakah di antara 𝑎 dan 𝑏 yang merupakan bilangan positif

dan manakah di antara 𝑎 dan 𝑏 yang merupakan bilangan negatif?

2. Pak Aan tahu bahwa jumlah dari dua bilangan rasional selalu merupakan

bilangan rasional. Selanjutnya dia menyimpulkan bahwa jumlah dari dua bilangan

irrasional juga selalu merupakan bilangan irrasional. Berikan beberapa contoh

yang menunjukkan bahwa kesimpulan Pak Aan salah.

3. Bu Winda berpendapat bahwa bentuk 3

1−1

5

adalah bilangan irrasional karena

bukan merupakan rasio dari dua bilangan bulat. Apakah pendapat Bu Winda

dapat dibenarkan? Berikan alasannya.

4. Tuliskan enam bilangan rasional antara 3 dan 4.

5. Tuliskan sepuluh bilangan rasional antara 3

5 dan

4

5 .

6. Nyatakan apakah pernyataan berikut benar atau salah. Berikan alasannya.

a. Setiap bilangan asli merupakan bilangan cacah.

b. Setiap bilangan cacah merupakan bilangan asli.

c. Setiap bilangan bulat merupakan bilangan cacah.

d. Setiap bilangan cacah merupakan bilangan bulat.

e. Setiap bilangan rasional merupakan bilangan cacah.

f. Setiap bilangan cacah merupakan bilangan rasional.

7. Nyatakan apakah pernyataan berikut benar atau salah. Berikan alasannya.

a. Setiap bilangan irrasional merupakan bilangan real.

b. Setiap bilangan real merupakan bilangan irrasional.

Diskusikan permasalahan tersebut dan presentasikan hasil kerja Anda.


1. Taksirlah nilai dari 4,19×0,0309

0,0222 .

4


0,00118 .

3. Taksirlah nilai dari √990 .

4. Taksirlah nilai dari √8,05×24,78

1,984 .

5. Taksirlah nilai dari 7,94

2,01 sampai 1 angka penting.



7. Taksirlah nilai dari 97,85×√63,8


8. Taksirlah nilai dari 4870×1227+968×4870

1936×0,49 sampai 1 angka penting.



1. Jelaskan perbedaan antara −√9 dan √−9 .

2. Kita mengetahui bahwa 53 = 125 dan 54 = 625. Jelaskan mengapa √−1253

= −5

tetapi √−6254

≠ −5.

3. Bu Bilkis menyederhanakan bentuk √192 dengan menuliskan

√192 = √16 ∙ 12 = 4√12

a. Jelaskan mengapa 4√12 bukan bentuk paling sederhana dari √192 .

b. Tunjukkan cara menyederhanakan bentuk √192 dengan mulai dari 4√12 .

c. Tentukan bentuk paling sederhana dari √192 .

4. Pak Wahyu berpendapat bahwa (2)3(5)2 = (10)5. Apakah pendapat Pak Wahyu

dapat dibenarkan? Jelaskan alasannya.

5. Pak Faiz berpendapat bahwa (2)3(5)3 = (10)3. Apakah pendapat Pak Faiz dapat

dibenarkan? Jelaskan alasannya.

6. Bu Tata berpendapat bahwa 𝑎0 + 𝑎0 = 𝑎0+0 = 𝑎0 = 1. Apakah pendapat Bu Tata


7. Bu Futik berpendapat bahwa 𝑎0 + 𝑎0 = 2𝑎0 = 2. Apakah pendapat Bu Futik



5

Kegiatan 4. (On the Job Learning)

1. Bagaimana cara kita mengetahui bahwa tidak ada bilangan rasional positif yang

terkecil?

2. Jelaskan mengapa 2 adalah satu-satunya bilangan prima genap.

3. Jika 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan-bilangan prima yang tidak sama, apakah √𝑎𝑏

merupakan bilangan rasional atau bilangan irrasional? Berikan alasannya.

4. Tunjukkan bahwa hasil bagi dari dua bilangan irrasional dapat merupakan

bilangan rasional atau bilangan irrasional.

5. Apakah 0 merupakan bilangan rasional? Dapatkah Anda menuliskannya dalam

bentuk 𝑝

𝑞 , dengan 𝑝 dan 𝑞 adalah bilangan bulat dan 𝑞 ≠ 0? Jelaskan alasannya.

6. Apakah akar kuadrat dari seluruh bilangan bulat positif merupakan bilangan

irrasional? Jika tidak, berikan contoh akar kuadrat dari bilangan bulat positif yang

merupakan bilangan rasional.

7. Bu Mona tahu bahwa setiap bilangan, kecuali 2, yang angka terakhirnya kelipatan

2 adalah bilangan komposit. Selanjutnya Bu Mona menyimpulkan bahwa setiap

bilangan, kecuali 3, yang angka terakhirnya kelipatan 3 juga merupakan bilangan

komposit. Apakah pendapat Bu Mona dapat dibenarkan? Berikan alasannya.

8. Bu Ira berpendapat bahwa √18

50 adalah bilangan irrasional karena merupakan

rasio dari √18 yang merupakan bilangan irrasional dan √50 yang juga merupakan

bilangan irrasional. Apakah pendapat Bu Ira dapat dibenarkan? Berikan

alasannya.

Diskusikan permasalahan tersebut selama kegiatan On the Job Learning.


1. Taksirlah nilai dari 31,98÷8,03

48,109−29.989×0,995 sampai 1 angka penting.

2. Taksirlah nilai dari 20,02 × 9,99 − 6,112 ×16,027

(1,977)3 sampai 2 angka penting.

3. Taksirlah nilai dari √136,05 − (2,985 + 7,001)2 sampai 1 angka penting.

6

4. Pak Hafiz berpendapat bahwa 3,14 merupakan pendekatan yang lebih baik untuk

nilai 𝜋 daripada 22

7 . Apakah pendapat Pak Hafiz dapat dibenarkan? Berikan

alasannya.

5. Jika 12,5 = 12,50, jelaskan mengapa pengukuran sepanjang 12,50 meter lebih

tepat dan akurat daripada pengukuran sepanjang 12,5 meter.

6. Sebuah lintasan jalan berbentuk melingkar mempunyai jari-jari 63 meter. Bu

Mirna mengendarai sepedanya mengelilingi lintasan tersebut sebanyak 10 kali.

Selanjutnya Bu Mirna mengalikan jari-jari lintasan jalan dengan 2𝜋 untuk

memperoleh keliling lintasan. Bu Mirna mengatakan bahwa dia sudah

mengendarai sepedanya sejauh 4,0 kilometer. Tetapi temannya yang bernama Bu

Sita mengatakan bahwa lebih tepat jika Bu Mirna mengendarai sepeda sejauh 4

kilometer. Pendapat siapakah yang paling tepat? Berikan alasannya.



1. Gunakan eksponen untuk menunjukkan bahwa untuk 𝑎 > 0, maka (√𝑎𝑛)0= 1.

2. Gunakan eksponen untuk menunjukkan bahwa untuk 𝑎 > 0, maka √√𝑎 = √𝑎4

.

3. Pak Yafi berpendapat bahwa untuk setiap 𝑥 ≠ 0, bentuk 𝑥−2 adalah bilangan

positif kurang dari 1. Apakah pendapat Pak Yafi dapat dibenarkan? Berikan

alasannya.

4. Untuk nilai 𝑥 < 0 apakah berlaku √𝑥2 = −𝑥? Jelaskan alasannya.

5. Pak Dito mengatakan bahwa jika 𝑎 adalah bilangan bulat genap dan 𝑥 ≥ 0 maka

√𝑥𝑎 = 𝑥𝑎

2 . Apakah pendapat Pak Dito dapat dibenarkan? Jelaskan alasannya.

6. Pak Sonny menyederhanakan bentuk 7

2√7 dengan menuliskan 7 sebagai √49 ,

selanjutnya membagi pembilang dan penyebut dengan √7 .

a. Tunjukkan bahwa cara yang dilakukan Pak Sonny dapat dibenarkan.

b. Dapatkah 7

2√5 disederhanakan menggunakan cara yang sama? Jelaskan

alasannya.

7

7. Untuk merasionalkan penyebut dari 4

2+√8 , Bu Afiffah mengalikan dengan

2−√8

2−√8

sedangkan Bu Marisha mengalikan dengan 1−√2

1−√2 . Jelaskan bahwa cara yang

dilakukan Bu Afiffah dan Bu Marisha semuanya dapat dibenarkan.


8

BAGIAN III

BAHAN BACAAN

9

BAB I

SISTEM BILANGAN DAN OPERASI HITUNG BILANGAN

A. Bilangan Cacah, Asli, Bulat, Rasional

Bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, … dinamakan bilangan asli. Adapun bilangan-bilangan

0, 1, 2, 3, 4, … dinamakan bilangan cacah. Sistem bilangan yang kita gunakan sehari-

hari menggunakan sepuluh angka untuk melambangkan bilangan, yaitu

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sistem bilangan ini menggunakan sistem basis 10, sering

disebut juga sistem desimal. Dengan menggunakan kombinasi yang berbeda dalam

penyusunan kesepuluh angka tersebut, kita dapat membentuk seluruh bilangan

dalam sistem bilangan. Masing-masing sepuluh angka tersebut juga merupakan

bilangan cacah. Dengan demikian bilangan cacah terkecil adalah 0, sedangkan

bilangan cacah satu angka terbesar adalah 9. Bilangan-bilangan cacah yang tidak

sama dengan 0, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, … dinamakan bilangan asli. Bilangan-bilangan cacah

0, 2, 4, 6, 8, … dinamakan bilangan genap, karena bilangan-bilangan tersebut habis

dibagi 2. Adapun bilangan-bilangan cacah 1, 3, 5, 7, 9, … dinamakan bilangan ganjil,

karena bilangan-bilangan tersebut tidak habis dibagi 2.

Bilangan cacah bersama-sama dengan −1,−2,−3,−4,… membentuk himpunan

bilangan bulat. Bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, … dinamakan bilangan bulat positif, bisa

juga dinamakan bilangan asli. Adapun bilangan-bilangan −1,−2,−3,−4,…

dinamakan bilangan bulat negatif. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat

dinyatakan dalam bentuk 𝑎

𝑏 , dengan 𝑎 dan 𝑏 bilangan bulat, 𝑏 ≠ 0. Dari definisi

bilangan rasional, maka pecahan-pecahan seperti −3

4 ,1

2 , dan

5

3 merupakan bilangan

rasional. Jika kita mengganti nilai 𝑏 pada 𝑎

𝑏 dengan 1, kita akan memperoleh

𝑎

𝑏=𝑎

1= 𝑎.

Dengan demikian, bilangan-bilangan seperti 6 =6

1 , −5 =

−5

1 , −10 =

−10

1 , 0 =

0

1 juga

merupakan bilangan rasional. Bilangan-bilangan yang tidak dapat dapat dinyatakan

dalam bentuk 𝑎

𝑏 , dengan 𝑎 dan 𝑏 bilangan bulat, 𝑏 ≠ 0, dinamakan bilangan irrasional.

Sebagai contoh bilangan irrasional adalah √2, √3, √5, 𝜋.

10

B. Aturan dalam Operasi Hitung Bilangan

Apabila dua atau lebih operasi hitung terdapat dalam suatu ekspresi aritmetika, kita

menggunakan aturan sebagai berikut:

Untuk ekspresi aritmetika yang hanya melibatkan penjumlahan dan

pengurangan, kita melakukan operasi hitung secara berurutan dari paling kiri ke

yang paling kanan.

Contoh:

15 + 18⏟ − 9 = 33 − 9

= 24

Untuk ekspresi aritmetika yang hanya melibatkan perkalian dan pembagian, kita

melakukan operasi hitung secara berurutan dari paling kiri ke yang paling kanan.

Contoh:

12 × 8⏟ ÷ 3 ÷ 4 = 96 ÷ 3⏟ ÷ 4

= 32 ÷ 4= 8

Untuk ekspresi aritmetika yang melibatkan empat operasi (perkalian, pembagian,

penjumlahan, pengurangan), kita melakukan urutan operasi hitung dengan

perkalian atau pembagian harus dikerjakan terlebih dahulu sebelum

penjumlahan atau pengurangan.

Contoh:

20 ÷ 5⏟ + 2 × 3⏟ = 4 + 6

= 10

Untuk ekspresi aritmetika yang melibatkan sepasang tanda kurung, kita

melakukan urutan operasi hitung dengan mengoperasikan terlebih dahulu

ekspresi yang berada di antara sepasang tanda kurung.

Contoh:

(12 + 18)⏟ × 3 + (52 − 2)⏟ × 2 = 30 × 3⏟ + 50 × 2⏟

= 90 + 100= 190

Untuk ekspresi aritmetika yang melibatkan sepasang tanda kurung di antara

pasangan tanda kurung yang lain, kita melakukan urutan operasi hitung dengan

mengoperasikan terlebih dahulu ekspresi yang berada di antara sepasang tanda

kurung yang paling dalam.

11

Contoh:

((13 + 7)⏟ × 4 − (70 − 6)⏟ ÷ 8) × 2 = (20 × 4⏟ − 64 ÷ 8⏟ ) × 2

= (80 − 8) × 2

= 72 × 2= 144

C. Sifat-Sifat Pada Operasi Hitung Bilangan

Beberapa sifat pada operasi hitung bilangan

Sifat komutatif

Secara umum, untuk setiap bilangan bulat 𝑎 dan 𝑏 berlaku

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎…..(sifat komutatif pada penjumlahan)

𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎…..(sifat komutatif pada perkalian)

Sifat asosiatif

Secara umum, untuk setiap bilangan bulat 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 berlaku

(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)…..(sifat asosiatif pada penjumlahan)

(𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐)…..(sifat asosiatif pada perkalian)

Sifat distributif

Secara umum, untuk setiap bilangan bulat 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 berlaku

𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑐…..(sifat distributif perkalian terhadap

penjumlahan)

𝑎 × (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 × 𝑏 − 𝑎 × 𝑐…..(sifat distributif perkalian terhadap

pengurangan)

Contoh:

Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator:

a. 67 + 25 + 13

b. 5 × (60 + 4)

c. 7 × (100 − 5)

d. (100 + 10 + 2) × 4

e. 98 × 9 + 2 × 9

f. 56 × 11 + 24 × 11

g. 67 × 8 + 67 × 5 − 67 × 3

12

h. 46 + 52

i. 47 + 79

j. 24 × 999

k. 201 × 199

l. 54 × 56

m. 7972

Penyelesaian:

a. 67 + 25 + 13 = 67 + 13⏟ + 25

= 80 + 25= 105

b. 5 × (60 + 4) = 5 × 60⏟ + 5 × 4⏟

= 300 + 20= 320

c. 7 × (100 − 5) = 7 × 100⏟ − 7 × 5⏟

= 700 − 35= 665

d. (100 + 10 + 2) × 4 = 100 × 4⏟ + 10 × 4⏟ + 2 × 4⏟

= 400 + 40 + 8= 448

e. 98 × 9 + 2 × 9 = (98 + 2)⏟ × 9

= 100 × 9= 900

f. 56 × 11 + 24 × 11 = (56 + 24)⏟ × 11

= 80 × 11= 880

g. 67 × 8 + 67 × 5 − 67 × 3 = 67 × (8 + 5 − 3)⏟

= 67 × 10= 679

h. Cara I:

46 + 52 = 46 + 50 + 2= 96 + 2= 98

Cara II:

46 + 52 = 52 + 46= 52 + 40 + 6= 92 + 6= 98

13

i. 47 + 79 = 47 + (80 − 1)

= 47 + 80 − 1= 127 − 1= 126

j. 24 × 999 = 24 × (1000 − 1)

= (24 × 1000) − (24 × 1)

= 24000 − 24= 23976

k. Cara I:

201 × 199 = (200 + 1)(200 − 1)

= 2002 − 12

= 40000 − 1= 39999

Cara II:

201 × 199 = (200 + 1)(200 − 1)

= 200 × (200 − 1) + (200 − 1)

= 40000−200 + 200⏟ − 1

= 39999

l. Cara I:

54 × 56 = (50 + 4)(50 + 6)

= 50 × (50 + 6) + 4 × (50 + 6)

= 2500+300 + 200⏟ + 24

= 3024

Cara II:

54 × 56 = (60 − 6)(60 − 4)

= 60 × (60 − 4) − 6 × (60 − 4)

= 3600−240 − 360⏟ + 24

= 3024

m. 7972 = (800 − 3)2

= (800 − 3)(800 − 3)

= 800 × (800 − 3) − 3 × (800 − 3)

= 640000 − 2400 − 2400 + 9= 635209

D. Sifat Keterbagian Bilangan Bulat

Apabila kita membagi 42 dengan 6, maka tidak akan menghasilkan sisa bagi karena

42 ÷ 6 = 7. Kita katakan bahwa 42 habis dibagi 6 atau 6 adalah faktor/pembagi dari

42. Karena 42 juga habis dibagi 7, kita dapat mengatakan bahwa 7 juga merupakan

14

faktor dari 42. Secara umum, jika 𝑎 habis dibagi 𝑏, maka 𝑏 adalah faktor dari 𝑎, atau

dengan kata lain, faktor-faktor dari suatu bilangan membagi habis bilangan tersebut

tanpa bersisa.

Karena 14 habis dibagi 2, yaitu 14 ÷ 2 = 7, maka dikatakan bahwa 14 merupakan

kelipatan 2. Secara umum, jika 𝑎 habis dibagi 𝑏, maka 𝑎 adalah kelipatan dari 𝑏.

Beberapa sifat keterbagian suatu bilangan:

Suatu bilangan asli habis dibagi 2 jika angka satuan dari bilangan tersebut adalah

0, 2, 4, 6, dan 8.

Suatu bilangan asli habis dibagi 3 jika jumlah angka-angka pada bilangan tersebut

habis dibagi 3.

Suatu bilangan asli habis dibagi 4 jika dua angka terakhirnya adalah 0 atau habis

dibagi 4.

Suatu bilangan asli habis dibagi 5 jika angka terakhirnya adalah 0 atau 5.

Suatu bilangan asli habis dibagi 6 jika bilangan tersebut habis dibagi 2 dan 3.

Suatu bilangan asli habis dibagi 8 jika tiga angka terakhirnya habis dibagi 8.

Suatu bilangan asli habis dibagi 9 jika jumlah angka-angka pada bilangan tersebut

habis dibagi 9.

Suatu bilangan asli habis dibagi 10 jika angka terakhirnya adalah 0.

Suatu bilangan asli habis dibagi 11 jika selisih jumlah angka pada posisi genap

dengan jumlah angka pada posisi ganjil adalah 0 atau kelipatan 11.

E. Soal Latihan

1. Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator:

a. 3 × 5 + 7

b. 4 × 6 + 3 × 5

c. 30 − 2 × 8

d. 50 ÷ 5 + 3 × 4

e. 64 ÷ 4 × 5 − 37

f. 28 − 35 ÷ 7 + 2 × 4


a. 7 × 10 + 4 × 10 + 5

b. 64 ÷ 4 − (3 + 3) × 2

15

c. 70 ÷ (4 + 3) + 60 ÷ (4 + 2)

d. 8 × (2 + 3) − (4 + 2) × 3

e. 20 + 4 × (2 + 7) − 3 × (10 − 5)

f. 15 ÷ (4 + 1) − 8 × 3 + 7 × (2 + 3)


a. 108 ÷ ((4 + 2) × 3)

b. ((20 + 5) ÷ 5 + 4) × 12

c. (300 ÷ 6 − (4 + 2) × 3) + 8

d. (2 + 5) × 9 − ((3 + 2) × 4 − 8)

e. 6 × ((20 − 12) × 2 − 5 × 3)

f. (((19 + 23) ÷ 21) + 19) × 19


a. 37 + 25 + 43

b. 73 + 18 + 27

c. 81 + 19 + 33 + 17

d. 45 × 7 + 45 × 3

e. 59 × 19 − 59 × 9

f. 61 × 123 − 23 × 61

g. 1291 × 1291 − 1291 × 1281

h. 5 × 816 × 20

i. 25 × 1999 × 4

j. 2 × 6505 × 50

k. 8888 × 25

l. 8888 × 125

m. 4 × 8 × 9 × 5 × 5

16

BAB II

APROKSIMASI (PENDEKATAN) DAN ESTIMASI (PENAKSIRAN)

A. Pembulatan

Secara umum, langkah-langkah untuk melakukan pembulatan terhadap suatu

bilangan desimal sampai 𝑛 tempat desimal adalah sebagai berikut:

Perhatikan bilangan desimal yang akan dibulatkan.

Jika bilangan tersebut akan dibulatkan sampai 𝑛 tempat desimal, maka cek angka

yang berada tepat pada posisi ke-(𝑛 + 1) di sebelah kanan tanda koma.

Apabila nilainya kurang dari 5 maka bulatkan ke bawah.

Apabila nilainya lebih dari atau sama dengan 5 maka bulatkan ke atas.

Contoh:

1. Bulatkan 4,136 sampai:

a. 1 tempat desimal.

b. 2 tempat desimal.

Penyelesaian:

a. 4,136 akan dibulatkan sampai 1 tempat desimal, sehingga kita cek angka yang

berada pada posisi kedua di sebelah kanan tanda koma, yaitu 3. Karena

nilainya kurang dari 5 (3 < 5), maka lakukan pembulatan ke bawah menjadi

4,1. Kita menuliskan 4,136 = 4,1 (sampai 1 tempat desimal).

b. 4,136 akan dibulatkan sampai 2 tempat desimal, sehingga kita cek angka yang

berada pada posisi ketiga di sebelah kanan tanda koma, yaitu 6. Karena

nilainya lebih dari 5 (6 > 5), maka lakukan pembulatan ke atas menjadi 4,14.

Kita menuliskan 4,136 = 4,14 (sampai 2 tempat desimal).


a. Bilangan bulat terdekat.

b. 1 tempat desimal.

c. 2 tempat desimal.

Penyelesaian:

a. Karena 7,6378 lebih dekat ke 8 daripada ke 7 maka 7,6378 dibulatkan ke atas

menjadi 8. Kita menuliskan 7,6378 ≈ 8.

17

b. 7,6378 akan dibulatkan sampai 1 tempat desimal, sehingga kita cek angka

yang berada pada posisi kedua di sebelah kanan tanda koma, yaitu 3. Karena



c. 7,6378 akan dibulatkan sampai 2 tempat desimal, sehingga kita cek angka

yang berada pada posisi ketiga di sebelah kanan tanda koma, yaitu 7. Karena

nilainya lebih dari 5 (7 > 5), maka lakukan pembulatan ke atas menjadi 7,64.

Kita menuliskan 7,6378 = 7,64 (sampai 2 tempat desimal).

3. Tuliskan 8,6052 sampai:

a. 3 tempat desimal

b. 2 tempat desimal

c. 1 tempat desimal

Penyelesaian:

a. 8,6052 akan dibulatkan sampai 3 tempat desimal, sehingga kita cek angka

yang berada pada posisi keempat di sebelah kanan tanda koma, yaitu 2.

Karena nilainya kurang dari 5 (2 < 5), maka lakukan pembulatan ke bawah

menjadi 8,605. Kita menuliskan 8,6052 = 8,605 (sampai 3 tempat desimal).

b. 8,6052 akan dibulatkan sampai 2 tempat desimal, sehingga kita cek angka

yang berada pada posisi ketiga di sebelah kanan tanda koma, yaitu 5. Karena

nilainya sama dengan 5, maka lakukan pembulatan ke atas menjadi 8,61. Kita

menuliskan 8,6052 = 8,61 (sampai 2 tempat desimal).

c. 8,6052 akan dibulatkan sampai 1 tempat desimal, sehingga kita cek angka

yang berada pada posisi kedua di sebelah kanan tanda koma, yaitu 0. Karena



4. Bulatkan bilangan-bilangan berikut sampai puluhan terdekat:

a. 137

b. 353

c. 65

Penyelesaian:

a. Karena 137 lebih dekat ke 140 daripada ke 130, maka 137 dibulatkan ke atas

sampai puluhan terdekat menjadi 140. Kita menuliskan 137 ≈ 140.

18

b. Karena 353 lebih dekat ke 350 daripada ke 360, maka 353 dibulatkan ke

bawah sampai puluhan terdekat menjadi 350. Kita menuliskan 353 ≈ 350.

c. Karena 65 tepat di pertengahan antara 60 dan 70, maka 65 dibulatkan ke atas

sampai puluhan terdekat menjadi 70. Kita menuliskan 65 ≈ 70.

B. Angka Penting

Angka penting menunjuk ke angka-angka pada suatu bilangan, tidak termasuk angka

0 yang posisinya di sebelah kiri dari seluruh angka lain yang bukan 0. Angka penting

digunakan untuk melambangkan derajat keakuratan. Semakin banyak angka penting

yang dimiliki oleh suatu bilangan, semakin besar derajat keakuratan dari bilangan

tersebut.

Pandang beberapa bilangan berikut: 84,015; 0,0063; 0,05600. Pada bilangan 84,015

terdapat 5 angka penting. Pada bilangan 0,0063 hanya terdapat 2 angka penting.

Adapun pada bilangan 0,05600 terdapat 4 angka penting, karena dua angka 0

terakhir digunakan untuk menunjukkan keakuratan dari bilangan tersebut.

Berikut ini beberapa aturan untuk menentukan banyak angka penting:

Semua angka bukan 0 merupakan angka penting. Sebagai contoh, 214 mempunyai

3 angka penting.

Angka 0 yang terdapat di antara angka bukan 0 merupakan angka penting.

Sebagai contoh, 603 mempunyai 3 angka penting.

Pada bilangan desimal, semua angka 0 sebelum angka bukan 0 yang pertama

bukan merupakan angka penting. Sebagai contoh, 0,006 hanya mempunyai 1

angka penting.

Angka 0 setelah angka bukan 0 merupakan angka penting. Sebagai contoh, 23000

mempunyai 5 angka penting, dan 2,00 mempunyai 3 angka penting.

Apabila suatu bilangan cacah sudah dibulatkan, angka 0 yang terletak di sebelah

kanan dari angka bukan 0 terakhir bisa merupakan angka penting ataupun bukan

merupakan angka penting, tergantung dari bilangan itu dibulatkan sampai ke

berapa. Sebagai contoh, apabila dibulatkan sampai ratusan terdekat, 23000 hanya

mempunyai 2 angka penting. Apabila dibulatkan sampai puluhan terdekat, 23000

mempunyai 3 angka penting.

19

Untuk melakukan pembulatan dari suatu bilangan sehingga mempunyai 𝑛 angka

penting yang ditentukan, kita mengikuti aturan berikut:

Perhatikan nilai dari angka yang berada pada posisi ke-𝑛, dimulai dari kiri ke

kanan dari angka pertama yang bukan 0. Selanjutnya cek nilai angka pada posisi

ke-(𝑛 + 1) yang tepat berada di sebelah kanan angka ke-𝑛.

Apabila angka ke-(𝑛 + 1) nilainya kurang dari 5, hapuskan angka ke-(𝑛 + 1) dan

seluruh angka di sebelah kanannya. Sebagai contoh, 2,04045 = 2,040 (4 angka

penting), 0,400127 = 0,400 (3 angka penting).

Apabila angka ke-(𝑛 + 1) nilainya lebih dari atau sama dengan 5, tambahkan 1 ke

nilai angka ke-𝑛 dan hapuskan angka ke-(𝑛 + 1) dan seluruh angka di sebelah

kanannya.

Contoh:

1. Tentukan banyaknya angka penting dari bilangan-bilangan berikut:

a. 0,0401

b. 3,1208

c. 0,0005

d. 0,10005

e. 3,56780

f. 73000 (sampai ribuan terdekat)

Penyelesaian:

a. 3 angka penting.

b. 5 angka penting.

c. 1 angka penting.

d. 5 angka penting.

e. 6 angka penting.

f. 2 angka penting.

2. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk yang mempunyai banyak

angka penting seperti ditunjukkan:

a. 0,003468; supaya mempunyai 3 angka penting.

b. 0,07614; supaya mempunyai 2 angka penting.

c. 14,408; supaya mempunyai 5 angka penting.

d. 28,7026; supaya mempunyai 4 angka penting.

20

Penyelesaian:

a. Untuk menyatakan dalam bentuk yang mempunyai 3 angka penting, kita cek

angka keempat dari kiri yang bukan 0. Ternyata angkanya adalah 8. Karena

nilainya lebih dari 5, kita tambahkan 1 ke angka ketiga dari kiri yang bukan 0.

Sehingga 0,003468 = 0,00347 (sampai 3 angka penting).

b. Untuk menyatakan dalam bentuk yang mempunyai 2 angka penting, kita cek

angka ketiga dari kiri yang bukan 0. Ternyata angkanya adalah 1. Karena

nilainya kurang dari 5, kita hapuskan angka ketiga dan seluruh angka di

sebelah kanannya. Sehingga 0,07614 = 0,076 (sampai 2 angka penting).

c. 14,4089 = 14,409 (sampai 5 angka penting).

d. 28,7026 = 28,70 (sampai 4 angka penting).

C. Estimasi (Penaksiran)

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menggunakan estimasi (penaksiran) apabila

untuk memperoleh jawaban akhir yang pasti diperkirakan tidak memungkinkan

ataupun tidak diperlukan. Estimasi sering menggunakan pembulatan, baik

pembulatan ke bawah, pembulatan ke atas, ataupun pembulatan sampai 𝑛 tempat

desimal.

Secara umum, langkah-langkah untuk melakukan penaksiran adalah sebagai berikut:

Selalu cari bilangan-bilangan yang nantinya akan memudahkan dalam melakukan

perhitungan, misalnya satuan, puluhan, ratusan, atau ribuan. Sebagai contoh,

45,4 × 95,72 ≈ 45 × 100.

Selalu ingat bilangan desimal sederhana yang ekuivalen dengan bilangan

pecahan, misalnya 0,25 =1

4 , 0,5 =

1

2 , 0,125 =

1

8 .

Dalam melakukan perhitungan, supaya hasil estimasinya mendekati jawaban

sebenarnya, satu faktor dibulatkan ke atas dan satu faktor lain dibulatkan ke

bawah. Sebagai contoh, 3578 × 4127 ≈ 3600(↑) × 4000(↓) .

Untuk ekspresi berupa pecahan, bulatkan sampai ke bilangan yang mudah untuk

dilakukan pembagian. Sebagai contoh, 18,52×4,31

1,79≈20×4

2 .

Contoh:

1. Taksirlah hasil perhitungan berikut:

21

a. 59,67 − 24,265 + 11,32

b. 58,75 × 47,5 ÷ 44,65

Penyelesaian:

a. Kita bulatkan 59,67 ke 60, kemudian 24,265 ke 20, dan 11,32 ke 10. Sehingga

59,67 − 24,265 + 11,32 ≈ 60 − 20 + 10 = 50.

b. Kita bulatkan 58,75 ke 60, kemudian 47,5 ke 50, dan 44,65 ke 40. Sehingga

58,75 × 47,5 ÷ 44,65 ≈ 60 × 50 ÷ 40 = 75.

2. Taksirlah hasil perhitungan berikut:

a. 26,5 + 19,85 − 8,21

b. 7,56 × 4,105

c. 5015 ÷ 198

Penyelesaian:

a. 26,5 + 19,85 − 8,21 ≈ 27 + 20 − 8= 39

b. 7,56 × 4,105 ≈ 8 × 4= 32

c. 5015 ÷ 198 ≈ 5000 ÷ 200= 25

3. Taksirlah hasil perhitungan berikut sampai 1 angka penting:

a. 39,7 × 1,61

b. 39,7 ÷ 1,61

c. √39,7

d. 1

39,7

Penyelesaian:

a. 39,7 × 1,61 ≈ 40 × 1,6= 64≈ 60 (sampai 1 angka penting)

Keterangan:

39,7 (punya 3 angka penting) dibulatkan menjadi 40 (punya 2 angka

penting).

1,61 (punya 3 angka penting) dibulatkan menjadi 1,6 (punya 2 angka

penting).

22

64 (punya 2 angka penting) dibulatkan menjadi 60 (punya 1 angka

penting).

b. 39,7 ÷ 1,61 ≈ 40 ÷ 1,6= 25≈ 30 (sampai 1 angka penting)

c. √39,7 ≈ √36= 6 (sampai 1 angka penting)

Keterangan:

39,7 dibulatkan menjadi 36 (bilangan kuadrat terdekat)

d. 1

39,7≈

1

40

= 0,025≈ 0,03 (sampai 1 angka penting)

23

BAB III

SIFAT BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

A. Bilangan Berpangkat Positif

Secara umum jika 𝑎 adalah bilangan real dan 𝑛 bilangan bulat positif, maka dapat

disimpulkan

𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 ×⋯× 𝑎⏟ 𝑛 faktor

Pada bentuk di atas 𝑎 disebut bilangan pokok/basis, sedangkan 𝑛 disebut

pangkat/eksponen.

Contoh:

Hitunglah.

a. (−5)3

b. −34

c. (0,1)3

d. (5𝑧)2

Penyelesaian:

a. (−5)3 = (−5) × (−5) × (−5)

= −125

b. −34 = −(3 × 3 × 3 × 3)

= −81

c. (0,1)3 = (0,1) × (0,1) × (0,1)

= 0,001

d. (5𝑧)2 = (5𝑧) × (5𝑧)

= 25𝑧2

B. Bilangan Berpangkat Nol dan Bilangan Berpangkat Negatif

Perhatikan bilangan berpangkat-bilangan berpangkat berikut ini:

33 = 2732 = 931 = 3

Jika dicermati, pola pada bagian pangkatnya dari baris teratas ke bawah, ternyata

pangkatnya berkurang dengan 1. Berarti kita selanjutnya berhadapan dengan bentuk

30. Berapa nilai 30?

24

Perhatikan bagian ruas kanan dari pola di atas. Bilangan-bilangan yang menjadi hasil

perpangkatan tersebut diperoleh dengan membagi 3 dari bilangan di atasnya. Karena

3 dibagi 3 hasilnya adalah 1, maka kita peroleh 30 = 1.

Apabila pola diteruskan, kita akan memperoleh bentuk:

3−1 =1

3=

1

31

3−2 =1

9=

1

32

3−3 =1

27=

1

33

Secara umum dari pola perpangkatan tersebut kita memperoleh pengertian bilangan

berpangkat nol dan bilangan berpangkat negatif:

𝑎0 = 1, dengan 𝑎 ≠ 0

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 , dengan 𝑛 bilangan bulat positif dan 𝑎 ≠ 0

Contoh:

Hitunglah.

a. 50

b. (−2)0

c. 2−4

d. (−3)−2

Penyelesaian:

a. 50 = 1

b. (−2)0 = 1

c. 2−4 =1

24

=1

16

d. (−3)−2 =1

(−3)2

=1

(−3)×(−3)

=1

9

C. Bentuk Akar

Yoga mempunyai sebidang kebun berbentuk persegi dengan luas 1600 m2. Dia

merencanakan untuk membuat pagar di sekeliling kebun tersebut. Berapa panjang

25

pagar yang diperlukan oleh Yoga? Supaya dapat membantu Yoga, kita terlebih dahulu

harus mengetahui panjang sisi kebun agar dapat menghitung keliling kebun tersebut.

Misal panjang sisi kebun adalah 𝑝 meter. Berarti Yoga harus menyusun persamaan

𝑝 × 𝑝 = 1600. Dalam hal ini 𝑝 = 40 karena 40 × 40 = 1600 atau 402 = 1600. Dengan

demikian Yoga harus membangun pagar sepanjang 4 × 40 = 160 meter. Proses

menentukan nilai 𝑝 = 40 ini disebut proses melakukan penarikan akar kuadrat atau

akar pangkat dua dari 1600 dan ditulis sebagai √1600 = 40. Bentuk √1600 dibaca

“akar kuadrat dari 1600” atau “akar pangkat dua dari 1600”.

Penting untuk dicermati bahwa walaupun (−40) × (−40) = 1600, akan tetapi dalam

situasi ini panjang sisi tidak mungkin negatif sehingga kita hanya menggunakan nilai

𝑝 = 40.

Secara umum, jika 𝑎 tidak negatif (𝑎 ≥ 0) maka √𝑎 adalah suatu bilangan tidak

negatif yang hasil kuadratnya sama dengan 𝑎.

Pada permasalahan berikutnya, Ira ingin mencari panjang rusuk sebuah kubus yang

sudah diketahui volumenya. Dalam hal ini Ira berhadapan dengan masalah bentuk

akar yang lain yaitu akar pangkat tiga. Misal volume kubus tersebut diketahui 125

cm2, berapakah panjang rusuk kubus tersebut?

Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 𝑟 dan volume kubus adalah 𝑉, maka kita

dapat menyusun persamaan untuk volume kubus sebagai berikut:

𝑉 = 𝑟 × 𝑟 × 𝑟 = 𝑟3

Sehingga diperoleh 𝑟3 = 125. Kita tahu bahwa 53 = 125. Dengan demikian 𝑟 = 5.

Proses menentukan 𝑟 = 5 ini disebut proses melakukan penarikan akar pangkat tiga

dari 125 dan ditulis sebagai √1253

= 5. Bentuk √1253

dibaca “akar pangkat tiga dari

125”.

Secara umum kita dapat menyimpulkan:

Jika 𝑎 ≥ 0, maka √𝑎𝑛

= 𝑏 jika dan hanya jika 𝑏𝑛 = 𝑎 dan 𝑏 ≥ 0.

Jika 𝑎 < 0 dan 𝑛 bilangan ganjil, maka √𝑎𝑛

= 𝑏 jika dan hanya jika 𝑏𝑛 = 𝑎.

Bagaimana dengan situasi mencari penyelesaian 𝑝2 = 2?

Karena kita tidak dapat mencari bilangan rasional 𝑝 sedemikian hingga 𝑝2 = 2, maka

√2 disebut bilangan irrasional.

26

D. Soal Latihan

1. Hitung nilai dari bilangan berikut:

a. 35

b. (−3)3

c. −32

d. (−6)4


a. (1

2)4

b. (2

3)3

c. (−1

2)4

d. (−2

3)3


a. 90

b. (−9)0

c. 7−2

d. (−5)−2

27

BAB IV

OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT

A. Aturan Pertama Bilangan Berpangkat

Pandang bentuk 34 × 35.

Sesuai dengan sifat bilangan berpangkat, 34 = 3 × 3 × 3 × 3⏟ 4 faktor

dan

35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3⏟ 5 faktor

. Sehingga bentuk 34 × 35 dapat dituliskan sebagai

34 × 35 = (3 × 3 × 3 × 3)⏟ 4 faktor

× (3 × 3 × 3 × 3 × 3)⏟ 5 faktor

= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3⏟ 9 faktor

= 39

Perhatikan pada bagian pangkat/eksponennya, jelas bahwa 4 + 5 = 9. Dengan

demikian kita dapat menuliskan 34 × 35 = 34+5 = 39.

Secara analog, pandang bentuk 𝑎2 × 𝑎4. Kita tuliskan 𝑎2 = 𝑎 × 𝑎⏟ 2 faktor

dan

𝑎4 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎⏟ 4 faktor

. Sehingga bentuk 𝑎2 × 𝑎4 dapat dituliskan sebagai

𝑎2 × 𝑎4 = (𝑎 × 𝑎)⏟ 2 faktor

× (𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎)⏟ 4 faktor

= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎⏟ 6 faktor

= 𝑎6

Perhatikan pada bagian pangkat/eksponennya, jelas bahwa 2 + 4 = 6. Dengan

demikian kita dapat menuliskan 𝑎2 × 𝑎4 = 𝑎2+4 = 𝑎6.

Kedua contoh di atas memperlihatkan bahwa ketika mengalikan bilangan-bilangan

berpangkat dalam basis/bilangan pokok yang sama kita harus menjumlahkan

pangkat/eksponennya.

Secara umum, Aturan Pertama Bilangan Berpangkat dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

dengan 𝑚 dan 𝑛 adalah bilangan bulat positif, 𝑎 ≠ 0.

Contoh 1:

Sederhanakan yang berikut ini, tuliskan hasilnya dalam bentuk bilangan berpangkat.

a. 53 × 57

b. 62 × 63 × 65

28

Penyelesaian:

a. 53 × 57 = 53+7

= 510

b. 62 × 63 × 65 = (62 × 63)

= 62+3 × 65

= 65 × 65

= 65+5

= 610

× 65

Contoh 2:

Sederhanakan yang berikut ini.

a. 𝑝2 × 𝑝5

b. 3𝑝 × 6𝑝2

Penyelesaian:

a. 𝑝2 × 𝑝5 = 𝑝2+5

= 𝑝7

b. 3𝑝 × 6𝑝2 = 3 × 𝑝 × 6 × 𝑝2

= 3 × 6 × 𝑝1+2

= 18𝑝3

B. Aturan Kedua Bilangan Berpangkat

Pandang bentuk 25 ÷ 22.

Sesuai dengan sifat bilangan berpangkat, 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2⏟ 5 faktor

dan 22 = 2 × 2⏟ 2 faktor

.

Sehingga bentuk 25 ÷ 22dapat dituliskan sebagai

25 ÷ 22 =2 × 2 × 2 × 2 × 2

2 × 2= 2 × 2 × 2= 23

Perhatikan pada bagian pangkat/eksponennya, jelas bahwa 5 − 2 = 3. Dengan

demikian kita dapat menuliskan 25 ÷ 22 = 25−2 = 23.

Secara analog, pandang bentuk 𝑎6 ÷ 𝑎4. Kita tuliskan 𝑎6 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎⏟ 6 faktor

dan

𝑎4 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎⏟ 4 faktor

. Sehingga bentuk 𝑎6 ÷ 𝑎4 dapat dituliskan sebagai

𝑎6 ÷ 𝑎4 =𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎

𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎= 𝑎 × 𝑎= 𝑎2

29

Perhatikan pada bagian pangkat/eksponennya, jelas bahwa 6 − 4 = 2. Dengan

demikian kita dapat menuliskan 𝑎6 ÷ 𝑎4 = 𝑎6−4 = 𝑎2.

Kedua contoh di atas memperlihatkan bahwa ketika membagi bilangan-bilangan

berpangkat dalam basis/bilangan pokok yang sama kita harus mengurangkan

pangkat/eksponennya.

Secara umum, Aturan Kedua Bilangan Berpangkat dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

dengan 𝑚 dan 𝑛 adalah bilangan bulat positif, 𝑚 > 𝑛, 𝑎 ≠ 0.

Contoh 1:

Sederhanakan yang berikut ini, tuliskan hasilnya dalam bentuk bilangan berpangkat.

a. 48 ÷ 43

b. 57 ÷ 52 ÷ 53

Penyelesaian:

a. 48 ÷ 43 = 48−3

= 45

b. 57 ÷ 52 ÷ 53 = (57−2) ÷ 53

= 55 ÷ 53

= 55−3

= 52

Contoh 2:


a. 𝑝5×𝑝6

𝑝7

b. 9𝑎7 ÷ 3𝑎3 × 6𝑎2

Penyelesaian:

a. 𝑝5×𝑝6

𝑝7=

𝑝5+6

𝑝7

=𝑝11

𝑝7

= 𝑝11−7

= 𝑝4

b. 9𝑎7 ÷ 3𝑎3 × 6𝑎2 = 3𝑎7−3 × 6𝑎2

= 3𝑎4 × 6𝑎2

= 18𝑎4+2

= 18𝑎6

30

C. Aturan Ketiga Bilangan Berpangkat

Pandang bentuk (2 × 3)2.

Sesuai dengan sifat bilangan berpangkat, bentuk (2 × 3)2 dapat dituliskan sebagai

(2 × 3)2 = (2 × 3) × (2 × 3)

= 2 × 2 × 3 × 3= 22 × 32

Perhatikan bahwa masing-masing faktor, yaitu 2 dan 3 semuanya dipangkatkan

dengan 2. Dengan demikian (2 × 3)2 = 22 × 32.

Secara analog, pandang bentuk (𝑎𝑏)3. Sesuai dengan sifat bilangan berpangkat,

bentuk (𝑎𝑏)3 dapat dituliskan sebagai

(𝑎𝑏)3 = (𝑎𝑏) × (𝑎𝑏) × (𝑎𝑏)

= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑏 × 𝑏 × 𝑏= 𝑎3𝑏3

Perhatikan bahwa masing-masing faktor, yaitu 𝑎 dan 𝑏 semuanya dipangkatkan

dengan 3. Dengan demikian (𝑎𝑏)3 = 𝑎3𝑏3.

Kedua contoh di atas memperlihatkan bahwa ketika suatu bentuk perkalian

dipangkatkan dengan suatu eksponen, masing-masing faktor dari bentuk perkalian

tersebut dipangkatkan dengan eksponennya.

Secara umum, Aturan Ketiga Bilangan Berpangkat dapat dituliskan sebagai berikut:

(𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚𝑏𝑚

dengan 𝑚 adalah bilangan bulat positif, 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0.

Contoh:


a. (2 × 4)3

b. (𝑥𝑦)3 × 𝑥2

c. (2𝑎)3 × (3𝑎)2

Penyelesaian:

a. (2 × 4)3 = 23 × 43

= 8 × 64= 512

b. (𝑥𝑦)3 × 𝑥2 = 𝑥3𝑦3 × 𝑥2

= 𝑥3+2 × 𝑦2

= 𝑥5𝑦2

31

c. (2𝑎)3 × (3𝑎)2 = 23 × 𝑎3 × 32 × 𝑎2

= 8 × 𝑎3 × 9 × 𝑎2

= 72𝑎3+2

= 72𝑎5

D. Aturan Keempat Bilangan Berpangkat

Pandang bentuk (3

2)3

.

Sesuai dengan sifat bilangan berpangkat, bentuk (3

2)3

dapat dituliskan sebagai

(3

2)3

= (3

2) × (

3

2) × (

3

2) =

27

8 …..(i)

Selanjutnya perhatikan bentuk 33 ÷ 23. Menurut Aturan 2, bentuk 33 ÷ 23 dapat

dituliskan sebagai

33 ÷ 23 =33

23=3×3×3

2×2×2=27

8 …..(ii)

Dengan demikian dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa (3

2)3

=33

23 .

Contoh di atas memperlihatkan bahwa ketika suatu bentuk pecahan dipangkatkan

dengan suatu eksponen, masing-masing pembilang dan penyebut dari bentuk

pecahan tersebut dipangkatkan dengan eksponennya.

Secara umum, Aturan Keempat Bilangan Berpangkat dapat dituliskan sebagai berikut:

(𝑎

𝑏)𝑚

=𝑎𝑚

𝑏𝑚

dengan 𝑚 adalah bilangan bulat positif, 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0.

Contoh:


a. (𝑥

𝑦)3

× 𝑥4

b. (𝑎

2)4

× 8𝑎2

Penyelesaian:

a. (𝑥

𝑦)3

× 𝑥4 =𝑥3

𝑦3× 𝑥4

=𝑥3×𝑥4

𝑦3

=𝑥7

𝑦3

32

b. (𝑎

2)4

× 8𝑎2 =𝑎4

24× 8𝑎2

=𝑎4×8𝑎2

16

=8

16× 𝑎4 × 𝑎2

=1

2𝑎6

E. Aturan Kelima Bilangan Berpangkat

Pandang bentuk (32)4.

Sesuai dengan sifat bilangan berpangkat, bentuk (32)4dapat dituliskan sebagai

(32)4 = 32 × 32 × 32 × 32

= 32+2+2+2

= 38

Contoh di atas memperlihatkan bahwa ketika suatu bentuk bilangan berpangkat

dipangkatkan lagi dengan suatu eksponen, kita harus mengalikan eksponen-

eksponennya.

Secara umum, Aturan Kelima Bilangan Berpangkat dapat dituliskan sebagai berikut:

(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

dengan 𝑚 dan 𝑛 adalah bilangan bulat positif, 𝑎 ≠ 0.

Contoh 1:

Sederhanakan (𝑎2)4 ÷ (𝑎3)2.

Penyelesaian:

(𝑎2)4 ÷ (𝑎3)2 = 𝑎2×4 ÷ 𝑎3×2

= 𝑎8 ÷ 𝑎6

= 𝑎2

Contoh 2:

Hitunglah.

a. (3−4)2 × (34)3

b. (7−2×76)

2

(72)3

Penyelesaian:

a. (3−4)2 × (34)3 = 3−4×2 × 34×3

= 3−8 × 312

= 34

= 81

33

b. (7−2×76)

2

(72)3=

(7−2)2×(76)

2

(72)3

=7−2×2×76×2

72×3

=7−4×712

76

= 7−4+12−6

= 72

= 49

F. Bilangan Berpangkat Nol


Menggunakan Aturan Kedua Bilangan Berpangkat kita peroleh

73 ÷ 73 = 73−3

= 70 …..(i)

Kita juga mengetahui bahwa

73 ÷ 73 =73

73

=7×7×7

7×7×7

= 1

…..(ii)

Dari (i) dan (ii) dapat kita simpulkan bahwa 70 = 1.

Secara umum, untuk bilangan berpangkat nol kita peroleh:

𝑎0 = 1

dengan 𝑎 ≠ 0.

Contoh:

Hitunglah.

a. 4 × 80

b. 3𝑎0 + 4𝑏0

c. 6𝑥2 × 𝑥4 ÷ 3𝑥6

Penyelesaian:

a. 4 × 80 = 4 × 1= 4

b. 3𝑎0 + 4𝑏0 = 3 × 1 + 4 × 1= 7

c. 6𝑥2 × 𝑥4 ÷ 3𝑥6 = 6𝑥2+4 ÷ 3𝑥6

= 2𝑥2+4−6

= 2𝑥0

= 2

34

G. Bilangan Berpangkat Negatif


Menggunakan Aturan Kedua Bilangan Berpangkat kita peroleh

53 ÷ 57 = 53−7

= 5−4 …..(i)

Kita juga mengetahui bahwa

53 ÷ 57 =53

57

=5×5×5

5×5×5×5×5×5×5

=1

54

…..(ii)

Dari (i) dan (ii) dapat kita simpulkan bahwa 5−4 =1

54.

Secara umum, untuk bilangan berpangkat negatif kita peroleh:

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

dengan 𝑛 adalah bilangan bulat positif, 𝑎 ≠ 0.

Contoh 1:

Tuliskan dalam bentuk bilangan berpangkat positif.

a. 7𝑎−3

b. (2𝑦)−1

c. 1

2−4

Penyelesaian:

a. 7𝑎−3 = 7 ×1

𝑎3

=7

𝑎3

b. (2𝑦)−1 =1

2𝑦

c. 1

2−4=

1

(1

24)

= 1 ÷1

24

= 24

Contoh 2:

Sederhanakan yang berikut ini dan tuliskan hasilnya dalam bentuk bilangan

berpangkat positif.

a. 7−9 × 74

35

b. 𝑏−8 ÷ 𝑏−3 × 𝑏5

Penyelesaian:

a. 7−9 × 74 = 7−9+4

= 7−5

=1

75

b. 𝑏−8 ÷ 𝑏−3 × 𝑏5 = 𝑏−8−(−3)+5

= 𝑏−8+3+5

= 𝑏0

= 1

H. Bilangan Berpangkat Pecahan

Pandang bentuk 𝑎1

2.

Aturan Pertama Bilangan Berpangkat juga berlaku untuk bilangan berpangkat

pecahan sehingga diperoleh:

𝑎1

2 × 𝑎1

2 = 𝑎1

2+1

2 = 𝑎1 = 𝑎 …..(i)

Menurut definisi bilangan berpangkat:

𝑎1

2 × 𝑎1

2 = (𝑎1

2)2

…..(ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh:

(𝑎12)2

= 𝑎

Selanjutnya dengan menarik akar kuadrat pada kedua ruas diperoleh:

𝑎1

2 = √𝑎 …..(iii)


3.

Aturan Pertama Bilangan Berpangkat juga berlaku untuk bilangan berpangkat

pecahan sehingga diperoleh:

𝑎1

3 × 𝑎1

3 × 𝑎1

3 = 𝑎1

3+1

3+1

3 = 𝑎1 = 𝑎 …..(iv)

Menurut definisi bilangan berpangkat:

𝑎1

3 × 𝑎1

3 × 𝑎1

3 = (𝑎1

3)3

…..(v)

Dari (iv) dan (v) diperoleh:

(𝑎13)3

= 𝑎

36

Selanjutnya dengan menarik akar pangkat tiga pada kedua ruas diperoleh:

𝑎1

3 = √𝑎3

…..(vi)

Secara umum, berdasarkan (iii) dan (vi) kita dapat menyimpulkan:

𝑎1𝑛 = √𝑎

𝑛

dengan 𝑛 adalah bilangan bulat positif, 𝑎 ≠ 0.


3.

Aturan Kelima Bilangan Berpangkat juga berlaku untuk bilangan berpangkat pecahan

sehingga diperoleh:

(𝑎23)3

= 𝑎2

Selanjutnya dengan menarik akar pangkat tiga pada kedua ruas diperoleh:

𝑎2

3 = √𝑎23

…..(vii)

Karena Aturan Kelima Bilangan Berpangkat juga berlaku untuk bilangan berpangkat

pecahan maka kita juga dapat menuliskan:

𝑎2

3 = (𝑎1

3)2

…..(viii)

Identitas (viii) juga dapat kita tuliskan

𝑎2

3 = (√𝑎3)2

…..(ix)

Secara umum, berdasarkan (vii) dan (ix) kita dapat menyimpulkan:

𝑎𝑚𝑛 = (√𝑎

𝑛)𝑚= √𝑎𝑚

𝑛

dengan 𝑚 dan 𝑛 adalah bilangan bulat, 𝑎 ≠ 0 .

Catatan:

Seluruh aturan bilangan berpangkat bilangan bulat juga berlaku untuk bilangan

berpangkat pecahan.

Setiap ekspresi yang melibatkan tanda akar √𝑛

, dengan 𝑛 adalah bilangan bulat

positif disebut bentuk akar.

Contoh 1:

Tuliskan yang berikut ini ke dalam bentuk akar dan hitunglah hasilnya.

a. 41

2

37

b. 27−1

3

c. 82

3

Penyelesaian:

a. 41

2 = √4 = 2

b. 27−1

3 =1

√273 =

1

3

c. Cara I

823 = (√8

3)2

= 22

= 4

Cara II:

823 = √82

3

= √643

= 4

Cara III:

823 = (23)

23

= 22

= 4

Bandingkan cara I, II, dan III tersebut. Cara mana yang lebih Anda sukai?

Mengapa?

Contoh 2:

Tuliskan yang berikut ini ke dalam bentuk bilangan berpangkat pecahan.

a. √𝑝5

b. √𝑎35

c. 1

√𝑥𝑚𝑛

Penyelesaian:

a. √𝑝5 = (𝑝5)1

2 = 𝑝5

2

b. √𝑎35

= (𝑎3)1

5 = 𝑎3

5

c. 1

√𝑥𝑚𝑛 =

1

(𝑥𝑚)1𝑛

=1

𝑥𝑚𝑛

= 𝑥−𝑚

𝑛

38

I. Soal Latihan

1. Nyatakan bentuk perkalian berikut sebagai satu bilangan berpangkat:

a. 34 × 36

b. 712 × 725

2. Nyatakan bentuk perkalian berikut sebagai satu bilangan berpangkat dengan

𝑎 ≠ 0:

a. 𝑎5 × 𝑎𝑛, dengan 𝑛 bilangan asli

b. 𝑎𝑚 × 𝑎10, dengan 𝑚 bilangan asli

3. Nyatakan bentuk pembagian berikut sebagai satu bilangan berpangkat:

a. 25 ÷ 23

b. 510 ÷ 510

c. 35 ÷ 38

4. Nyatakan bentuk pembagian berikut sebagai satu bilangan berpangkat:

a. 𝑎6 ÷ 𝑎2

b. 𝑎7 ÷ 𝑎7

c. 𝑎3 ÷ 𝑎8

d. 𝑎𝑚 ÷ 𝑎4, dengan 𝑚 bilangan asli

e. 𝑎5 ÷ 𝑎𝑛, dengan 𝑛 bilangan asli

5. Sederhanakan bentuk berikut:

a. (32)4

b. (53)𝑛, dengan 𝑛 bilangan asli

c. (7𝑚)5, dengan 𝑚 bilangan asli

d. (2𝑚)𝑛, dengan 𝑚 dan 𝑛 bilangan asli


a. (2352)3

b. (22𝑏4)2

c. (𝑎32𝑛)𝑝, dengan 𝑛 dan 𝑝 bilangan asli

d. (𝑎𝑚𝑏𝑛)𝑝, dengan 𝑚, 𝑛 dan 𝑝 bilangan asli

39

BAB V

PENGERTIAN LOGIKA MATEMATIKA, PERNYATAAN, DAN PERAKIT

Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan, maupun

para ahli merupakan hal yang sangat menentukan reputasi mereka. Untuk

mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk mengaitkan suatu fakta atau

data dengan fakta atau data lainnya melalui suatu proses penalaran yang sahih atau

valid. Sebagai akibatnya, logika merupakan ilmu yang sangat penting dipelajari. Di

dalam mata pelajaran matematika maupun IPA, aplikasi logika seringkali ditemukan

meskipun tidak secara formal disebut sebagai belajar logika. Bagian ini akan

membahas tentang logika yang didahului dengan pengertian penalaran, diikuti

dengan pernyataan, perakit-perakit pembentuk: negasi, konjungsi, disjungsi,

implikasi dan biimplikasi.

A. Pengertian Logika

Perhatikan pernyataan menarik yang dikemukakan mantan Presiden AS Thomas

Jefferson sebagaimana dikutip Copi (1978) berikut ini: "In a republican nation, whose

citizens are to be led by reason and persuasion and not by force, the art of reasoning

becomes of first importance" (p. vii). Pernyataan itu menunjukkan pentingnya logika,

penalaran dan argumentasi dipelajari dan dikembangkan di suatu negara sehingga

setiap warga negara akan dapat dipimpin dengan daya nalar (otak) dan bukannya

dengan kekuatan (otot) saja. Karenanya, seperti yang dinyatakan mantan Presiden AS

tadi, seni bernalar merupakan hal yang sangat penting. Di samping itu, Copi (1978)

juga mengutip pendapat Juliana Geran Pilon yang senada dengan yang diucapkan

mantan Presiden AS tadi: "Civilized life depends upon the success of reason in social

intercourse, the prevalence of logic over violence in interpersonal conflict" (p. vii).

Dua pernyataan di atas telah menunjukkan pentingnya penalaran (reasoning) dalam

percaturan politik dan pemerintahan di suatu negara.Tidak hanya di bidang

ketatanegaraan maupun hukum saja kemampuan bernalar itu menjadi penting.Di

saat mempelajari matematika maupun ilmu-ilmu lainnya penalaran itu menjadi

sangat penting dan menentukan. Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani

'logos' yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu

40

pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang

mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang

tidak sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan

atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataanyang diketahui benaratau

dianggap benar itu sering juga disebut dengan penalaran (reasoning).

B. Pernyataan

Dimulai sejak ia masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit melengkapi

perbendaharaan kata-katanya. Di saatberkomunikasi, seseorang harus menyusun

kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat yang memiliki arti atau

bermakna.Kalimat adalah susunan kata-kata yang memiliki arti yang dapat berupa

pernyataan ("Pintu itu tertutup."), pertanyaan ("Apakah pintu itu tertutup?"),

perintah ("Tutup pintu itu!") ataupun permintaan ("Tolong pintunya ditutup."). Dari

empat macam kalimat tersebut, hanya pernyataan saja yang memiliki nilai benar atau

salah, tetapi tidak sekaligus benar atau salah. Meskipun para ilmuwan,

matematikawan ataupun ahli-ahli lainnya sering menggunakan beberapa macam

kalimat tersebut dalam kehidupan sehari-harinya, namun hanya pernyataan saja

yang menjadi perhatian mereka dalam mengembangkan ilmunya.

Setiap ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk

menghasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar. Suatu teori tidak akan ada

artinya jika tidak bernilai benar. Karenanya, pembicaraan mengenai benar tidaknya

suatu kalimat yang memuat suatu teori telah menjadi pembicaraan dan perdebatan

para ahli filsafat dan logika sejak dahulu kala. Beberapa nama yang patut

diperhitungkan karena telah berjasa untuk kita adalah Plato (427 347 SM),

Aristoteles (384 322 SM), Charles S Peirce (1839 1914) dan Bertrand Russell

(1872 1970). Paparan berikut akan membicarakan tentang kebenaran, dalam arti,

bilamana suatu pernyataan yang dimuat di dalam suatu kalimat disebut benar dan

bilamana disebut salah. Untuk menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini perhatikan

dua kalimat berikut.

a. Semua manusia akan mati.

b. Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180.

41

Pertanyaannya, dari dua kalimat tersebut, kalimat manakah yang bernilai benar dan

manakah yang bernilai salah. Pertanyaan selanjutnya, mengapa kalimat tersebut

dikategorikan bernilai benar atau salah, dan bilamana suatu kalimat dikategorikan

sebagai kalimat yang bernilai benar atau salah. Untuk menjawab pertanyaan tersebut,

Suriasumantri (1988) menyatakan bahwa ada tiga teori yang berkait dengan kriteria

kebenaran ini, yaitu: teori korespondensi, teori koherensi, dan teori pragmatis.

Namun sebagian buku hanya membicarakan dua teori saja, yaitu teori korespondensi

dan teori koherensi sehingga pembicaraan kita hanya berkait dengan dua teori

tersebut.

1. Teori Korespondensi

Teori korespondensi (the correspondence theory of truth) menunjukkan bahwa suatu

kalimat akan bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan

tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya. Contohnya,

“Surabaya adalah ibukota Propinsi Jawa Timur” merupakan suatu pernyataan yang

bernilai benar karena kenyataannya memang demikian, yaitu Surabaya memang

benar merupakan ibukota Propinsi Jawa Timur. Namun pernyataan “Tokyo adalah

Ibukota Singapura”, menurut ini akan bernilai salah karena hal-hal yang terkandung

di dalam pernyataan itu tidak sesuai.

Teori-teori Ilmu Pengetahuan Alam banyak didasarkan pada teori korespondensi ini.

Dengan demikian jelaslah bahwa teori-teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu

Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika pernyataan itu melaporkan,

mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya.

Sedangkan Matematika yang tidak hanya mendasarkan pada kenyataan atau fakta

semata-mata namun mendasarkan pada rasio dan aksioma telah melahirkan teori

koherensi yang akan dibahas pada bagian berikut ini.

2. Teori Koherensi

Teori koherensi menyatakan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika

pernyataan yang terkandung di dalam kalimat itu bersifat koheren, konsisten, atau

tidak bertentangan dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar.

Contohnya, pengetahuan Aljabar telah didasarkan pada pernyataan pangkal yang

dianggap benar.Pernyataan yang dianggap benar itu disebut aksioma atau postulat.

42

Vance (19..) menyatakan ada enam aksioma yang berkait dengan bilangan real a, b,

dan c terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) berlaku sifat:

1) tertutup, a + b R dan a.b R.

2) asosiatif, a + (b + c) = (a + b) + c dan a .(b . c) = (a . b) . c

3) komutatif, a + b = b + a dan a.b = b.a

4) distributif, a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a

5) identitas, a + 0 = 0 + a = a dan a.1 = 1. a = a

6) invers, a + (a) = (a) + a = 0 dan a. = .a = 1

Berdasar enam aksioma itu, teorema seperti b + (a + b) = a dapat dibuktikan.

Bukti:

b + (a + b) = b + (b + a) Aks 3 - Komutatif

= (b + b) + a Aks 2 - Asosiatif

= 0 + a Aks 6 - Invers

= a Aks 5 - Identitas

Demikian juga pernyataan bahwa jumlah sudut-sudut suatu segi-n adalah: (n 2)

180° akan bernilai benar karena konsisten dengan aksioma yang sudah disepakati

kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah

terbukti. Dengan demikian jelaslah bahwa bangunan matematika didasarkan pada

rasio semata-mata, kepada aksioma-aksioma yang dianggap benar tadi.Suatu hal yang

sudah jelas benar pun harus ditunjukkan atau dibuktikan kebenarannya dengan

langkah-langkah yang benar.

Dari paparan di atas jelaslah bahwa pada dua pernyataan berikut.

a) Semua manusia akan mati.

b) Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180.

Baik pernyataan a) maupun b) akan sama-sama bernilai benar, namun dengan alasan

yang berbeda. Pernyataan a) bernilai benar karena pernyataan itu melaporkan,

mendeskripsikan ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya.

Sampai detik ini, belum pernah ada orang yang hidup kekal dan abadi. Pernyataan a)

tersebut akan bernilai salah jika sudah ditemukan suatu alat atau obat yang sangat

canggih sehingga akan ada orang yang tidak bisa mati lagi. Sedangkan pernyataan b)

a

1

a

1

43

bernilai benar karena pernyataan itu konsisten atau koheren ataupun tidak

bertentangan dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten

juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Itulah sekilas

tentang teori korespondensi dan teori koherensi yang memungkinkan kita untuk

dapat menentukan benar tidaknya suatu pernyataan.

Beberapa istilah lain yang perlu mendapat perhatian Bapak dan Ibu Guru adalah

tentang konstanta, variabel (peubah), dan kalimat terbuka. Konstanta adalah

lambang yang menunjuk anggota tertentu dari suatu semesta pembicaraan, variabel

(peubah) adalah lambang yang menunjuk anggota sembarang dari semesta

pembicaraan, sedangkan kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat

dinyatakan benar atau salah. Contoh kalimat terbuka adalah x + 2 = 10.

Lembar Kerja

1. Manakah di antara kalimat berikut yang merupakan pernyataan?

a. x + 3 = 2.

b. x + 3 = 2 adalah suatu pernyataan.

c. 111 adalah bilangan prima.

d. Tadi pagi Fahmi bertanya: "Pak Guru kapan ulangan?"

e. 2n + 1 untuk n A adalah bilangan ganjil.

2. Pilihlah pernyataan-pernyataan yang benar di bawah ini. Pilihan pernyataan yang

benar dapat lebih dari satu. Akar-akar persamaan (x 1) (x + 2) = 0 adalah:

a. x = 1 atau x = 2 c. 1 atau 2

b. x = 1 dan x = 2 d. 1 dan 2

3. Pilihlah pernyataan-pernyataan yang benar di bawah ini.

Himpunan penyelesaian persamaan (x 1) (x + 2) = 0 adalah:

a. {1 , 2}

b. {x R | x = 1 atau x = 2}

c. {x R | x = 1 dan x = 2}

4. Seorang siswa menulis kata-kata yang tidak pantas di papan tulis. Berikut

pernyataan lima siswa ketika ditanya gurunya.

Ali: “Tulisan seperti itu adalah tulisan Budi atau Chandra.”

44

Budi: “Bukan Edo dan juga bukan saya yang menulis kata-kata kotor

itu.”

Chandra: “Baik Ali maupun Budi sama-sama berbohong.”

Deni: “Hanya satu dari A atau B yang berkata benar.”

Edo: “Deni telah berbohong.”

Jika tiga orang dari siswa itu selalu berkata benar dan dua lainnya masih

mungkin berbohong, siapakah yang menulis tulisan kotor tersebut?

5. Andi berbohong pada hari Senin, Selasa, dan Rabu, sedangkan pada hari-hari

yang lain ia berkata benar. Teman karibnya, si Badu berbohong pada hari Kamis,

Jumat, dan Sabtu, sedangkan pada hari-hari yang lain ia berkata benar. Pada

suatu hari, Andi berkata: "Kemarin adalah hari di mana saya berbohong." Badu

lalu menimpali: "Kemarin adalah hari di mana saya berbohong juga."

a. Pada hari-hari apakah mereka berdua dapat menyatakan hal itu.

b. Jika mereka berdua sama-sama menyatakan bahwa hari kemarin adalah

hari di mana mereka berkata benar, pada hari-hari apakah mereka

berdua dapat menyatakan hal itu?

Tugas selama on the job learning (OJL)

Bagaimana sebaiknya langkah-langkah guru dalam membantu siswanya

mempelajari materi ‘Pernyataan’?

45

BAB VI

PERAKIT DAN NEGASINYA

Sudah dibahas bahwa kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan,

matematikawan, maupun para ahli merupakan hal yang sangat menentukan reputasi

mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk mengaitkan

suatu fakta atau data dengan fakta atau data lainnya melalui suatu proses penalaran

yang sahih atau valid. Setiap pernyataan harus ditentukan lebih dahulu

kebenarannya. Adakalanya, mereka harus menegasikan atau membuat pernyataan

baru yang menunjukkan pengingkaran atas pernyataan yang ada, dengan

menggunakan perakit “bukan” atau “tidak”. Di samping itu, mereka harus

menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit “atau”,

“dan”, “Jika … maka ….”, maupun “… jika dan hanya jika ….” yang dikenal di

matematika sebagai konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Bagian ini akan

membahas perakit-perakit tersebut

A. Perakit atau Perangkai

Perakit atau perangkai ini sering juga disebut dengan operasi. Dari satu atau dua

pernyataan tunggal dapat diberikan perakit “tidak” , “dan”, “atau”, “jika … maka …”,

dan “ … jika dan hanya jika … “ sehingga terbentuk suatu negasi, konjungsi, disjungsi,

implikasi, dan biimplikasi. Sub bagian ini akan membahas tentang perakit atau

penggandeng tersebut.

1. Negasi

Jika p adalah "Surabaya ibukota Jawa Timur", maka negasi atau ingkaran dari

pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu: "Surabaya bukan ibukota Jawa Timur," atau

"Tidak benar bahwa Surabaya ibukota Jawa Timur."

Dari contoh di atas nampak jelas bahwa p merupakan pernyataan yang bernilai benar

karena Surabaya pada kenyataannya memang ibukota Jawa Timur, sehingga ~p

akan bernilai salah. Namun jika p bernilai salah maka ~p akan bernilai benar seperti

ditunjukkan oleh tabel kebenaran di bawah ini.

46

p ~p B S

S B

2. Konjungsi

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "dan".

Contohnya, pernyataan Adi berikut.

"Fahmi makan nasi dan minum kopi."

Pernyataan tersebut ekivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut.

"Fahmi makan nasi." dan sekaligus "Fahmi minum kopi."

Dalam proses pembelajaran di kelas, berilah kesempatan kepada para siswa untuk

bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai

benar dan dalam hal mana bernilai salah dalam empat kasus berikut.

Kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi.

Kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi.

Kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi.

Kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.

Pada kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi.

Dalam kasus seperti ini, tidaklah mungkin Anda akan mengatakan pernyataan Adi

tadi bernilai salah. Alasannya, pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataannya.

Pada kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi. Dalam hal ini,

tentunya Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah

karena meskipun Fahmi sudah makan nasi namun ia tidak minum kopi sebagaimana

yang dinyatakan Adi.

Sejalan dengan itu, pada kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi meskipun ia sudah

minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi, Anda akan menyatakan bahwa

pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena Fahmi tidak makan nasi

sebagaimana yang dinyatakan Adi bahwa Fahmi makan nasi dan minum kopi.

Akhirnya, pada kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.

Dalam hal ini Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai

salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan kenyataan yang

sesungguhnya.

47

Berdasar penjelasan di atas, dapatlah disimpulkan bahwa suatu konjungsi p q akan

bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya

bernilai benar, sedangkan nilai kebenaran yang selain itu akan bernilai salah

sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut.

p q p q B B S S

B S B S

B S S S

3. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau".Contohnya,

pernyataan Adi berikut.

"Fahmi makan nasi atau minum kopi."

Sekarang, bertanyalah kepada diri Anda sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di

atas akan bernilai benar dalam empat kasus berikut.

Kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi.

Kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi.

Kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi.

Kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.

Pada kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi.

Dalam kasus seperti ini, tidaklah mungkin Anda akan mengatakan pernyataan Adi

tadi bernilai salah, karena pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataannya.

Pada kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi. Dalam hal ini,

tentunya Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai benar

karena Fahmi sudah benar makan nasi meskipun ia tidak minum kopi sebagaimana

yang dinyatakan Adi.

Pada kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi. Sebagaimana kasus

kedua tadi, Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai

benar karena meskipun Fahmi tidak makan nasi namun ia sudah minum kopi

sebagaimana yang dinyatakan Adi.

Akhirnya, pada kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.

Dalam hal ini Anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai

48

salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan kenyataan yang

sesungguhnya. Ia menyatakan Fahmi makan nasi atau minum kopi namun

kenyataannya, Fahmi tidak melakukan hal itu.

Berdasar penjelasan di atas, dapatlah disimpulkan bahwa suatu disjungsi p q akan

bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya

bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar sebagaimana ditunjukkan pada

tabel kebenaran berikut.

p q p q B B S S

B S B S

B B B S

Contoh: Tentukan nilai kebenaran "3 5".

Jawab:

3 5 dapat dinyatakan dengan 3 5 atau 3 = 5.

Pilih 2R, di mana 2 0 dan 3 + 2 = 5, sehingga 3 5.

Jika (p) berarti atau dibaca "Nilai kebenaran pernyataan p.", maka (3 5) =

B. Di samping itu, (3 = 5) = S.

Jadi, (35 atau 3=5) = B atau (3 5) = B. Dengan kata lain, "3 5" merupakan

pernyataan yang bernilai benar.

4. Implikasi

Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan

maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p

bernilai benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai

keinginannya tersebut, diletakkanlah kata "Jika" sebelum pernyataan pertama lalu

diletakkan juga kata "maka" di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua,

sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi,

pernyataan bersyarat, kondisional atau hypothetical dengan notasi "" seperti ini:

p q

Notasi di atas dapat dibaca dengan:

1) Jika p maka q,

49

2) q jika p,

3) p adalah syarat cukup untuk q, atau

4) q adalah syarat perlu untuk p.

Implikasi p q merupakan pernyataan majemuk yang paling sulit dipahami para

siswa SMA. Untuk membantu para siswa memahami kalimat majemuk implikasi

tersebut, Bapak dan Ibu Guru dapat memulai proses pembelajaran dengan

berceritera bahwa Adi menyatakan pernyataan majemuk berikut ini.

Jika hari hujan maka saya (Adi) membawa payung.

Dalam hal ini dimisalkan:

p: Hari hujan.

q: Adi membawa payung.

Berilah kesempatan bagi siswa untuk berpikir, dalam hal manakah pernyataan Adi

tadi akan bernilai benar atau salah untuk empat kasus berikut.

Kasus pertama: Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.

Kasus kedua: Hari benar-benar hujan namun Adi tidak membawa payung.

Kasus ketiga: Hari tidak hujan namun Adi membawa payung.

Kasus pertama: Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

Pada kasus pertama, hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung

sebagaimana yang ia nyatakan. Bagaimana mungkin ia akan dinyatakan berbohong

dalam kasus ini? Dengan demikian jelaslah bahwa kedua komponen yang sama-sama

bernilai benar itu telah menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi) yang

dinyatakan Adi tadi akan bernilai benar.

Pada kasus kedua, hari itu benar-benar hujan akan tetapi Adi tidak membawa payung

sebagaimana yang seharusnya ia lakukan seperti yang telah dinyatakannya,

bagaimana mungkin pernyataan Adi tadi akan dinilai benar? Dengan kata lain,

komponen p yang bernilai benar namun tidak diikuti dengan komponen q yang

seharusnya bernilai benar juga, akan menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi)

yang dinyatakan Adi tadi akan bernilai salah.

Akhirnya, untuk kasus ketiga dan keempat, di mana hari itu tidak hujan, tentunya

Anda tidak akan menyebut pernyataan majemuk (implikasi) Adi tersebut sebagai

50

pernyataan yang salah, karena Adi hanyalah menyatakan bahwa sesuatu akan terjadi

yaitu dia akan membawa payung jikalau hari hujan.

Dengan demikian jelaslah bahwa implikasi p q hanya akan bernilai salah untuk

kasus kedua di mana p bernilai benar namun q-nya bernilai salah, sedangkan yang

selain itu implikasi p q akan bernilai benar seperti ditunjukkan tabel kebenaran

berikut ini.

p q Pp q B B S S

B S B S

B S B B

5. Biimplikasi

Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p

dan q yang dinotasikan dengan p q yang bernilai sama dengan (p q) (q p)

sehingga dapat dibaca: "p jika dan hanya jika q" atau "p bila dan hanya bila q."

Tabel kebenaran dari p q adalah:

p q p q B B S S

B S B S

B S S B

Dengan demikian jelaslah bahwa biimplikasi dua pernyataan p dan q hanya akan

bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama.

Contoh biimplikasi:

1. Suatu segitiga adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada

hipotenusanya sama dengan jumlah luas dari persegi-persegi pada kedua sisi

yang lain.

2. Suatu segitiga adalah segitiga sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya

sama.

6. Tabel Kebenaran Pernyataan Majemuk

Tabel kebenaran dari suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi di

atas merupakan dasar dalam mencari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan

51

majemuk seperti di saat menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk (~p r)

(~r q) seperti pada tabel berikut ini.

p q r ~p ~r (~p r) (~r q) (~p r) (~r q) B B B B S S S S

B B S S B B S S

B S B S B S B S

S S S S B B B B

S B S B S B S B

S S S S B S B S

B B B S B B B S

B B B S B B B S

Lembar Kerja

1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!

a. Jika x2 = 4 maka x = 2.

b. Jika x = 2 maka x2 = 4.

c. Jika 3x + 4 = 2 dan x B, maka x = 1.

d. 3 + 2 = 6 4 + 2 = 5.

e. 3 + 2 = 5 4 + 2 = 5.

f. 3 + 2 = 5 atau Jakarta ibukota DI Aceh.

2. Jika p: 10 habis dibagi 5.

q: 8 adalah bilangan prima.

Nyatakan dalam kalimat sehari-hari pernyataan-pernyataan di bawah ini lalu

tentukan nilai kebenarannya.

a. ~p b. ~q c. p q

d. p q e. ~p ~q f. ~p q

g. p ~q h. p q i. p q.

j. (p ~q) (~p q)

3. Jika a: Lisa gadis cantik dan

b: Lisa gadis cerdas,

Nyatakan pernyataan di bawah ini dengan menggunakan a, b dan simbol-simbol

logika matematika.

a. Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas.

b. Lisa gadis yang tidak cantik dan tidak cerdas.

52

c. Meskipun Lisa bukanlah gadis yang cantik namun ia gadis yang cerdas.

d. Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis yang cerdas.

e. Tidak benar bahwa Lisa gadis yang cantik dan cerdas.

f. Jika Lisa gadis yang cantik maka ia tidak cerdas.

g. Jika Lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak cerdas.

4. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan ini:

a. p q ~p q b. p q (q ~q r q)

c. ~[(~pr) (p ~q)] r

B. Ingkaran atau Negasi Suatu Pernyataan

1. Negasi Suatu Konjungsi

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit

"dan".Contohnya, pernyataan Adi berikut.

"Fahmi makan nasi dan minum kopi."

Pernyataan tersebut ekivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut.

"Fahmi makan nasi." dan sekaligus "Fahmi minum kopi."

Suatu konjungsi p q akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu

baik p maupun q, keduanya bernilai benar. Sedangkan negasi atau ingkaran suatu

pernyataan adalah pernyataan lain yang bernilai benar jika pernyataan awalnya

bernilai salah dan bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar. Karena itu,

negasi dari: "Fahmi makan nasi dan minum kopi." adalah suatu pernyataan majemuk

lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari komponen pernyataan

awalnya. Dengan demikian, negasinya adalah “"Fahmi tidak makan nasi atau tidak

minum kopi."; sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut.

p q p q ~p ~q ~p ~q B B S S

B S B S

B S S S

S S B B

S B S B

S B B B

2. Negasi Suatu Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau".Contohnya,

pernyataan Adi berikut.

53

"Fahmi makan nasi atau minum kopi."

Suatu disjungsi p q akan bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu

baik p maupun q, keduanya bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar.

Karenanya, negasinya adalah ~(p v q) atau “Tidak benar Fahmi tmakan nasi atau minum

kopi”. Apakah pernyataan ini bernilai sama dengan “Fahmi tidak makan nasi atau tidak

minum kopi?” ataukah ada pernyataan lain yang senilai? Mari kita lihat tabel kebenaran

dari beberapa pernyataan berikut ini.

Jadi dapat disimpulkan, dengan melihat tabel kebenaran berikut bahwa ingkaran dari

pernyataan tersebut adalah "Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi."

p q Pp q ~p ~q ~p ~q ~(p q) ~p ~q B B S S

B S B S

B B B S

S S B B

S B S B

S S S B

S S S B

S B B B

3. Negasi Suatu Implikasi

Perhatikan pernyataan berikut yang merupakan suatu implikasi:

“Jika hari hujan maka Adi membawa payung.”

Telah dibahas di bagian depan bahwa pada suatu implikasi p q, pernyataan p

memuat pernyataan q. Karenanya, negasi pernyataan tersebut adalah suatu

pernyataan yang pernyataan p-nya bernilai benar namun pernyataan q-nya bernilai

salah. Pada contoh di atas, negasinya adalah: “Hari hujan namun Adi tidak membawa

payung,” seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini.

p q ~q p q p~q B B S S

B S B S

S B S B

B S B B

S B S S

Berdasar penjelasan di atas, p q ~[~ (p q)] ~( p ~q) ~p q

4. Negasi Suatu Biimplikasi

Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p

dan q yang dinotasikan dengan p q yang ekuivalen (p q) (q p); sehingga:

~ (p q) ~[(p q) (q p)]

~[(~p q) (~q p)]

54

~(~p q) ~(~q p)]

(p ~q) (q ~p)

Tabel kebenaran dari suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi di

atas merupakan dasar dalam mencari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan

majemuk seperti di saat menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk (~p r)

(~r q) seperti berikut ini.

p q r ~p ~r (~p r) (~r q) (~p r) (~r q) B B B B S S S S

B B S S B B S S

B S B S B S B S

S S S S B B B B

S B S B S B S B

S S S S B S B S

B B B S B B B S

B B B S B B B S

Lembar Kerja

1. Tentukan negasi dari pernyataan berikut ini lalu tentukan nilai kebenarannya.

a. 3 + 2 = 6 4 + 2 = 5

b. 3 + 2 = 5 4 + 2 = 5.

c. 3 + 2 = 5 atau Jakarta ibukota DI Aceh.

d. Jika saya makan maka saya menjadi kenyang

e. Amir makan nasi dan minum kopi

f. Amir ke rumah Anto atau ia nonton film bersama chandra

2. Jika p: 10 habis dibagi 5.

q: 8 adalah bilangan prima.

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan di bawah ini lalu tentukan nilai

kebenarannya.

a. ~p b. ~q c. p q

d. p q e. ~p ~q f. ~p q

g. p ~q h. p q i. p q.

j. (p ~q) (~p q)

3. Jika a: Lisa gadis cantik dan

b: Lisa gadis cerdas,

55

Nyatakan pernyataan di bawah ini dengan menggunakan a, b dan simbol-simbol

logika matematika lalu tentukan negasinya.

a. Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas.

b. Lisa gadis yang tidak cantik dan juga tidak cerdas.

c. Meskipun Lisa bukanlah gadis yang cantik namun ia gadis yang cerdas.

d. Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis yang cerdas.

e. Tidak benar bahwa Lisa gadis yang cantik dan cerdas.

f. Jika Lisa gadis yang cantik maka ia tidak cerdas.

g. Jika Lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak cerdas.

4. Buatlah negasi dari pernyataan ini.

a. p q ~p q

b. p q (q ~q r q)

[(~pr) (p ~q)] r

56

BAB VII

KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI SUATU IMPLIKASI

A. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Perhatikan pernyataan berupa implikasi ini:

Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna

merah dan putih.

Sudah dipelajari, bentuk umum suatu implikasi adalah: p q

Pada kasus diatas,

p: Bendera RI

q: Bendera berwarna merah dan putih

Dari implikasi di atas, dapat dibentuk implikasi berikut.

a. Jika suatu bendera berwarna merah dan putih maka bendera tersebut adalah

bendera RI.

b. Jika suatu bendera bukan bendera RI maka bendera tersebut tidak berwarna

merah dan putih.

c. Jika suatu bendera tidak berwarna merah dan putih, maka bendera tersebut

bukan bendera RI.

Berdasar penjelasan di atas, jawablah pertanyaan berikut.

Jika implikasinya dinotasikan dengan p q, maka nyatakan implikasi pada a, b, dan c

di atas dalam p, q, ~p, atau ~q dan .

Manakah yang menjadi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi p q jika:

Konversnya adalah q p

Inversnya adalah ~p ~q

Kontraposisinya adalah ~q ~p

Tentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.

Hal menarik apa saja yang Anda dapatkan dari kegiatan c di atas?

57

B. Ingkaran Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisinya

Sudah dibahas di bagian depan tentang negasi atau ingkaran suatu pernyataan,

termasuk ingkaran dari suatu implikasi. Untuk mengingatnya, tentukan ingkaran

pernyataan berikut.

1. p q

2. p q

3. p q

4. q p

5. ~p ~q

6. ~q ~p

ITentukan negasi atau ingkaran pernyataan-pernyataan di atas.

Lembar Kerja

1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut:

a. Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada bendera

tersebut.

b. a> 0 a3> 0

c. a = 0 ab = 0

d. Jika dua persegipanjang kongruen maka luasnya sama.

e. x = 3 x2 = 9

f. Jika segitiga ABC adalah segitiga samasisi maka sisi-sisi segitiga tersebut sama

panjang.

2. Tentukan nilai kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dari soal di

atas.

3. Apa yang anda dapatkan dari hasil pada kegiatan 2 itu?

4. Buatlah ingkaran dari implikasi, beserta konvers, invers, dan kontraposisinya.

5. Apa yang anda dapatkan dari hasil pada kegiatan 4 itu?



mempelajari materi ‘Konvers, Invers dan Kontraposisi Suatu Implikasi.’

58

BAB VIII

PERNYATAAN BERKUANTOR DAN NEGASINYA

Bagian ini dimulai dengan membahas perbedaan antara kalimat terbuka dan

pernyataan sebagai suatu pengetahuan prasyarat.Soal-soal berikutnya adalah

menyusun beberapa kalimat yang didapat dengan menambahkan kata-kata tertentu

terhadap suatu kalimat terbuka.Kata-kata tertentu yang ditambahkan terhadap suatu

kalimat terbuka itulah yang dikenal sebagai kuantor (quantifier), sehingga didapat

pernyataan berkuantor yang bernilai benar saja atau salah saja. Dari contoh-contoh

tersebut, pengertian kuantor yang terdiri atas dua macam yaitu kuantor universal

dan kuantor eksistensial secara terinci akan dibahas. Pembahasan materi ini akan

menggunakan pertanyaan-pertanyaan sehingga memungkinkan bagi Anda untuk

mengalami sendiri proses pembelajaran ‘Kuantor’ yang berbasis pada pemecahan

masalah (problem-solving), dengan harapan pengalaman itu dapat diaplikasikan

langsung di dalam proses pembelajaran tentang ‘Kuantor’ ini di kelasnya masing-

masing.

A. Kalimat Terbuka, Pernyataan, dan Kuantor

Perhatikan tiga kalimat berikut.

1. 3 + 4 = 6

2. – 5x + 6 = 0, xA

3. 2x + 5 > 4, xA

Ada beberapa pertanyaan berkait dengan kalimat di atas, di antaranya:

1. Mengapa kalimat pertama disebut dengan pernyataan? Mengapa kalimat kedua

dan ketiga disebut dengan kalimat terbuka?

2. Dapatkah Anda mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan? Bagaimana

caranya?

Kalimat 1 bernilai salah, sedangkan kalimat 2 dan 3 belum dapat ditentukan nilai

kebenarannya sebelum peubah atau variabel x-nya diganti dengan salah satu anggota

semesta pembicaraannya. Karenanya, kalimat pertama dapat dikategorikan sebagai

2x

59

pernyataan, sedangkan kalimat kedua dan ketiga dikategorikan sebagai kalimat

terbuka.

Yang perlu mendapat perhatian adalah, kalimat terbuka – 5x + 6 = 0, xA akan

bernilai benar hanya jika peubahnya diganti dengan x = 2 atau x = 3. Artinya, hanya

ada dua anggota bilangan asli A yang jika digantikan atau disubstitusikan ke kalimat

terbuka tersebut akan menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi bernilai

benar. Sedangkan kalimat terbuka 2x + 5 > 4, xA akan bernilai benar jika peubah x-

nya diganti oleh setiap anggota semesta pembicaraannya.

Cara lain mengubah kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan adalah dengan

menambahkan kata-kata yang berkait dengan banyaknya pengganti variabel atau

peubah x-nya, seperti contoh berikut.

1. Untuk setiap bilangan asli x, – 5x + 6 = 0.

2. Terdapat bilangan asli x sedemikian sehingga – 5x + 6 = 0.

3. Tidak ada bilangan asli x, sedemikian sehingga – 5x + 6 = 0.

4. Untuk semua bilangan asli x, 2x + 5 > 4

5. Ada beberapa bilangan asli x sedemikian sehingga 2x + 5 > 4

6. Tidak ada bilangan asli x sedemikian sehingga 2x + 5 > 4

Perhatikan sekali lagi ke-enam kalimat di atas. Beberapa pertanyaan yang dapat

diajukan kepada siswa adalah:

1. Dapatkah Anda menentukan nilai kebenaran ke-enam kalimat di atas?

2. Tentukan nilai kebenaran setiap kalimat di atas. Jelaskan jawaban Anda.

Dari beberapa contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa terhadap suatu kalimat

terbuka dapat ditambahkan kata-kata seperti:

“Untuk semua x … ” atau “Untuk setiap x … ”;

“Beberapa x … ”; “Terdapat x … ”; ataupun “Ada x …”.

“Tidak ada x …”

Karena itulah Wheeler (1977:23) menyatakan: “Quantifiers are most useful in

rewriting assertions that cannot be classified as true or false … so that they can be

classified either as true or false.” yang dapat diterjemahkan menjadi: “Kuantor sangat

berguna dalam mengubah kalimat berita yang tidak dapat dinyatakan bernilai benar

2x

2x

2x

2x

60

atau salah … sedemikian sehingga kalimat berita tersebut dapat dikategorikan

sebagai kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja.”

Menurut jenisnya kuantor dibedakan menjadi 2, yaitu Kuantor Universal (Kuantor

Umum) yang menggunakan kata “untuk setiap” atau “untuk semua” dan Kuantor

Eksistensial (Kuantor Khusus) yang menggunakan kata “beberapa”, “terdapat’” atau

“ada”. Sedangkan kuantor “tidak ada x” dapat diubah ke bentuk “semua x tidak” atau

“setiap x tidak”. Secara lengkap kedua macan kuantor tersebut akan dibahas pada

bagian berikut ini.

B. Kuantor Universal

Kuantor jenis ini mempunyai lambang dan dibaca “untuk setiap” atau “untuk

semua”. Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, pernyataan x . p(x) dibaca

“untuk setiap x berlaku p(x)” atau “untuk semua x berlaku p(x)”. Berikut ini adalah

beberapa contoh pernyataan berkuantor universal:

Contoh 1

‘Semua artis adalah cantik.’ Pernyataan berkuantor universal ini menggambarkan

adanya dua himpunan, yaitu himpunan artis dan himpunan orang cantik.Di samping

itu, pernyataan tadi menjelaskan tentang semua artis namun tidak menjelaskan

tentang semua orang cantik.Pernyataaan itu menjelaskan bahwa setiap anggota

himpunan artis adalah merupakan anggota himpunan orang cantik, namun

pernyataan itu tidak menjelaskan bahwa setiap anggota himpunan orang cantik

adalah merupakan anggota himpunan artis. Hal terpenting yang pada akhirnya

didapat adalah, pernyataan berkuantor: “Semua artis adalah orang cantik,”

menunjukkan bahwa himpunan artis termuat atau menjadi himpunan bagian dari

himpunan orang cantik.

Pernyataan “Semua artis adalah cantik,” ini akan bernilai benar jika telah ditentukan

kriteria artis dan kriteria cantik serta dapat ditunjukkan bahwa setiap artis yang

merupakan anggota himpunan artis adalah cantik. Namun pernyataan berkuantor

universal tadi akan bernilai salah jika dapat ditunjukkan adanya satu atau beberapa

orang yang dapat dikategorikan sebagai artis namun ia tidak termasuk pada kriteria

cantik. Contoh yang menunjukkan salahnya suatu pernyataan berkuantor universal

ini disebut dengan counterexample atau contoh sangkalan sebagaimana dinyatakan

61

Clemens, O’daffer, dan Cooney (1984: 49) berikut: “A counterexample is a single

example that shows a generalization to be false. ”

Contoh 2

Jika p(x) adalah “x + 4 > 1” dengan x adalah peubah pada himpunan bilangan bulat B

maka ( B) p(x) adalah ( B) x + 4 > 1 dan dibaca: “Untuk setiap bilangan bulat

x berlaku x + 4 > 1.” Pernyataan ini bernilai salah, karena jika x-nya diganti dengan

bilangan bulat –5 misalnya akan didapat pernyataan –5 + 4 > 1 yang bernilai salah.

Contoh 3

Jika q(n) berarti: 2n – 1 adalah bilangan prima untuk n bilangan bulat, maka (n B)

q(n) berarti: (n B) 2n – 1 adalah bilangan prima, dan dibaca: “Untuk setiap

bilangan bulat n berlaku 2n – 1 adalah bilangan prima”. Pernyataan ini bernilai salah.

Mengapa salah?

Bagaimana dengan pernyataan (x R) x2 = x, bernilai

salah juga. Mengapa?

Jika pernyataan berkuantor universal, seperti “Semua artis

adalah cantik” bernilai benar maka pernyataan itu dapat

ditunjukkan dengan Diagram Venn di sebelah kanan ini.

Sebagaimana dijelaskan di bagian depan, himpunan artis A harus termuat atau

menjadi himpunan bagian dari himpunan manusia cantik C; atau A C. Paling tidak, A

dan C bisa saja sama atau A = C.

M = {semua manusia}

A = {artis}

C = {cantik}.

Berdasarkan Diagram Venn di atas, para siswa diharapkan dapat menyimpulkan

bahwa suatu pernyataan berkuantor universal dapat diubah menjadi suatu implikasi.

Pada contoh di atas, pernyataan berkuantor universal: “Semua artis adalah cantik.”

adalah ekivalen dengan implikasi: “Jika x adalah artis maka x adalah cantik.”

Sebagaimana dinyatakan di bagian depan, pernyataan berkuantor dengan kata awal

“Tidak ada… .” dapat diubah ke bentuk pernyataan berkuantor universal. Contohnya,

jika pernyataan berkuantor “Tiada murid SMU yang senang mendapat nilai ulangan

M

A C

62

jelek,” bernilai benar, maka pernyataan tersebut dapat digambarkan dengan Diagram

Venn berikut.

M = {semua manusia}

U = {murid SMU}

J = {manusia yang senang mendapat nilai jelek}.

Dengan demikian, jika pernyataan “Tiada murid SMU yang senang mendapat nilai

ulangan jelek,” bernilai benar dan jika digambarkan dengan Diagram Venn,

pernyataan itu akan menyebabkan UJ = . Alasannya, tidak ada satupun siswa SMU

yang senang mendapat nilai jelek, sehingga kedua himpunan tersebut akan saling

asing. Karenanya, pernyataan “Tiada murid SMU yang senang mendapat nilai ulangan

jelek,” itu adalah sama dengan pernyataan berkuantor universal: “Semua murid SMU

tidak senang mendapat nilai ulangan jelek.”

C. Kuantor Eksistensial

Kuantor jenis ini mempunyai lambang dan dibaca “beberapa”, “terdapat”,

atau “ada”. Jika dimisalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka maka x p(x) dibaca

“untuk beberapa x berlaku p(x)” atau “ada x sedemikian sehingga berlaku p(x)”.

Contoh 1

“Terdapat bilangan asli x sedemikian sehingga x2 – 5x + 6 = 0,” atau “Beberapa

bilangan asli x memenuhi – 5x + 6 = 0.”

Kata “beberapa” atau “some” menurut Copi (1978:179) adalah indefinite atau tidak

terdefinisikan secara jelas. Apakah kata “beberapa” berarti “paling sedikit satu,”

“paling sedikit dua,” ataukah berarti “paling sedikit seratus”?.Karena itu, meskipun

dapat berbeda dengan pengertian sehari-hari, kata ‘beberapa’ adalah berarti “paling

sedikit satu”.

Dengan demikian, untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berkuantor

eksistensial adalah cukup dengan menunjukkan adanya satu anggota Himpunan

Semesta yang memenuhi. Karena dapat ditunjukkan bahwa untuk x = 2 atau x = 3

memenuhi persamaan – 5x + 6 = 0 sehingga dapat disimpulkan bahwa

2x

2x

M

U J

63

pernyataan berkuantor eksistensial “Beberapa bilangan asli x memenuhi – 5x + 6

= 0,” memiliki nilai benar.

Contoh 2

Jika p(x) adalah “x2 + 4x + 3 = 0 dengan x bilangan asli A, ” maka (x A) p(x) adalah

(x A) x2 + 4x + 3 = 0 yang dibaca “Ada bilangan asli x sedemikian sehingga x2 + 4x

+ 3 = 0”. Pernyataan ini bernilai salah. Mengapa?

Jika p(x) adalah “x2 + 4x + 3 = 0 dengan x bilangan real R, ” maka (x R) p(x) adalah

(x R) x2 + 4x + 3 = 0 yang dibaca “Ada bilangan real x sedemikian sehingga x2 + 4x

+ 3 = 0”. Pernyataan ini bernilai benar. Mengapa?

(x B) 2x + 3 = 4. Pernyataan ini bernilai salah. Mengapa?

Pernyataan berkuantor eksistensial “Ada pria yang baik,” menunjukkan adanya

himpunan manusia sebagai himpunan semestanya (E), adanya himpunan pria (P) dan

adanya himpunan manusia yang baik (B). Jika pernyataan berkuantor eksistensial

“Ada pria yang baik,” bernilai benar maka dapat ditarik suatu kesimpulan akan

adanya anggota Himpunan Semesta (minimal satu anggota) yang merupakan anggota

himpunan pria dan juga merupakan anggota manusia yang baik. Artinya, kedua

himpunan tersebut tidak saling asing.Dengan demikian, PB ≠ , yang dapat

ditunjukkan dengan Diagram Venn berikut.

E = {semua manusia}

P = {semua pria}

B = {semua orang baik}.

Berdasar Diagram Venn di atas yang menunjukkan PB ≠ , maka pernyataan

berkuantor eksistensial dapat dinyatakan dalam bentuk konjungsi. Contohnya,

pernyataan berkuantor eksistensial: “Ada pria yang baik,” adalah sama dengan

konjungsi berikut: “Ada x sedemikian sehingga x adalah pria dan x adalah baik”.

Lembar Kerja

1. Dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat, gunakan kuantor

dengan urut-urutan: “Semua…”, “Beberapa…”, “Tidak ada…”, pada kalimat

2x

E B P

64

terbuka di bawah ini, sehingga didapat pernyataan berkuantor yang bernilai

benar.

a. 2x – 4 = –5

b. x + 2 = –5

c. x2 – 16 = 0

d. x + 3 = 3 + x

2. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini.

a. Setiap perwira TNI adalah laki-laki.

b. Beberapa Gubernur di Indonesia adalah perempuan.

c. Setiap bilangan jika dipangkatkan 0 akan bernilai sama dengan 1.

d. Setiap bilangan memiliki lawan (invers penjumlahan).

e. Setiap bilangan memiliki kebalikan (invers perkalian).

f. Setiap persegi adalah jajargenjang.

g. Setiap jajargenjang adalah trapesium.

h. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika ditambahkan ke

bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

i. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika dibagi dengan

bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

j. Setiap jajargenjang memiliki simetri setengah putaran.

k. Beberapa siswa menganggap matematika sulit.

l. Setiap tahun yang habis dibagi 4 adalah tahun kabisat.

3. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini dengan semesta

pembicaraan himpunan bilangan real.

a. x (x2 = x) e. x (x2 – 2x + 1 = 0)

b. x (|x| = 0) f. x (x2 + 2x + 1 > 0)

c. x (x < x + 1) g. x (|x| 0)

d. x (x – 1 = x) h. x (x2 – 3x + 2 = 0)

4. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan di atas dengan semesta

pembicaraan himpunan bilangan asli.

5. Dengan menggunakan huruf yang disarankan, buatlah Diagram Venn-nya lalu

tulis implikasi atau konjungsi yang sesuai dengan pernyataan-pernyataan

berikut:

65

a. Senua anjing mempunyai empat kaki (A, K).

b. Beberapa matriks tidak memiliki invers (M, I).

c. Semua laki-laki dapat dipercaya (L, P).

d. Ada segitiga sama kaki yang bukan segitiga sama sisi (K, S).

e. Tidak semua pulau di Indonesia didiami oleh penduduk (P, D).

6. Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan di bawah ini dengan semesta

pembicaraannya adalah X = {1,2,3,4,5}.

a. x (4 + x < 10)

b. x (4 + x = 7)

c. x (4 + x 7)

d. x (4 + x > 8)

D. Negasi Pernyataan Berkuantor Universal

Sudah dibahas di bagian depan bahwa pernyataan p (contohnya 10 habis

dibagi 5) yang bernilai benar akan mengakibatkan pernyataan ~p (yaitu 10 tidak

habis dibagi 5) bernilai salah. Sebaliknya, pernyataan q (contohnya 8 adalah bilangan

prima) yang bernilai salah mengakibatkan pernyataan ~q (yaitu 8 adalah bukan

bilangan prima) bernilai benar. Secara umum, suatu pernyataan p yang bernilai benar

akan menyebabkan ~p bernilai salah, dan jika p bernilai salah maka ~p akan bernilai

benar seperti ditunjukkan tabel kebenaran di bawah ini.

p ~p B S

S B

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa negasi pernyataan berkuantor

adalah pernyataan lain yang bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah

dan akan bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar. Kesimpulan inilah

yang menjadi dasar penentuan negasi atau ingkaran suatu pernyataan berkuantor.

Bagian berikut ini akan membahas tentang negasi atau ingkaran pernyataan

berkuantor, dimulai dengan negasi pernyataan berkuantor universal, lalu negasi

pernyataan berkuantor eksistensial, dan diakhiri dengan negasi pernyataan

berkuantor yang memuat dua peubah atau lebih.

Perhatikan dua pernyataan berkuantor r dan s berikut:

66

r: Semua Guru Indonesia kaya.

s: Semua bilangan jika dibagi 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

Pertanyaan tantangan yang dapat diajukan Bapak atau Ibu Guru kepada siswa di

antaranya adalah: “Bagaimana menentukan negasi dari dua pernyataan berkuantor

universal di atas?” dan “Apa yang dapat Anda lakukan untuk menjawab pertanyaan di

atas?” Untuk menjawab pertanyaan di atas, dengan bantuan Bapak atau Ibu Guru

para siswa harus mengingat dan menyimpulkan lebih dahulu bahwa: Karena

pernyataan: “Semua Guru Indonesia kaya,” merupakan pernyataan awal yang bernilai

salah, maka untuk mencari negasi atau ingkaran dari pernyataan tadi adalah

menurunkan dari pernyataan awal tersebut suatu pernyataan lain yang bernilai

benar. Sedangkan negasi atau ingkaran dari pernyataan “Semua bilangan jika dibagi 1

akan menghasilkan bilangan itu sendiri”, yang bernilai benar adalah suatu pernyataan

lain yang bernilai salah.

Di dalam kehidupan sehari-hari, jika ada orang yang menyatakan di depan Bapak atau

Ibu Guru bahwa “Semua Guru Indonesia kaya”, apa yang Bapak atau Ibu akan

lakukan? Mungkin Bapak atau Ibu akan menyatakan “Yang benar saja, masak saya

yang berprofesi guru sampai saat ini belum punya rumah termasuk orang kaya?” Hal

ini menunjukkan bahwa satu orang gurupun yang tidak termasuk kategori kaya dapat

dijadikan dasar untuk mengingkari atau menegasikan pernyataan berkuantor tadi.

Dengan demikian, negasi dari pernyataan berkuantor universal tadi adalah

pernyataan berkuantor eksistensial yang dapat dipenuhi oleh minimal satu orang saja

yang tidak memenuhi kriteria kaya tadi. Dengan demikian, negasi atau ingkaran

“Semua Guru Indonesia kaya” adalah pernyataan berkuantor eksistensial yang tidak

memenuhi kriteria kaya, yaitu “Beberapa Guru Indonesia tidak kaya”

Pernyataan berkuantor “Semua Guru Indonesia kaya”, sebagaimana dibahas pada

Bagian III di depan, menunjukkan bahwa himpunan Guru Indonesia (G) termuat atau

merupakan himpunan bagian dari

himpunan orang-orang kaya (K),

sebagaimana ditunjukkan pada

Diagram Venn ini.

Berdasar Diagram Venn di atas, negasi dari pernyataan “Semua Guru Indonesia kaya”

yang bernilai salah adalah adanya minimal satu anggota G yang berada di luar K.

K G

E

67

Dengan kata lain, ada anggota G yang tidak menjadi anggota K sebagaimana

ditunjukkan Diagram Venn berikut.

Dengan cara sama, negasi atau ingkaran dari pernyataan berkuantor universal

“Semua bilangan jika dibagi 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri,” dengan nilai

benar adalah pernyataan berkuantor eksistensial “Beberapa bilangan jika dibagi 1

akan tidak menghasilkan bilangan itu sendiri.” Negasi atau ingkaran dari “Semua

bunga indah” adalah “Tidak benar bahwa semua bunga indah” atau “Beberapa bunga

tidak indah”. Dengan simbol, negasi dari “x (x2 0)” adalah “x (x2< 0)”.

Secara umum negasi pernyataan kuantor universal dapat dinyatakan sebagai berikut.

Pernyataan Negasi

x p(x) ~ (x p(x)) x ~p(x) Negasi Pernyataan Berkuantor Eksistensial

Beberapa contoh pernyataan berkuantor eksistensial adalah: “Beberapa Guru

Indonesia kaya,” dan “Beberapa segitiga merupakan segitiga siku-siku samakaki.”

Di dalam kehidupan nyata sehari-hari, jika ada orang yang menyatakan di depan

Bapak atau Ibu Guru bahwa “Beberapa Guru Indonesia kaya”, apa yang Bapak atau

Ibu akan lakukan? Mungkin Bapak atau Ibu akan menyatakan “Memang benar bahwa

beberapa Guru Indonesia kaya”. Pernyataan lain yang jelas salahnya dari pernyataan

tadi adalah “Semua Guru Indonesia tidak kaya.” Dengan demikian, negasi dari suatu

pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal yang

seluruh anggotanya tidak memenuhi kriteria kaya tadi. Intinya, negasi atau ingkaran

“Beberapa Guru Indonesia kaya” adalah pernyataan berkuantor universal yang tidak

memenuhi kriteria kaya, yaitu “Semua Guru Indonesia tidak kaya” yang bernilai salah.

Pernyataan berkuantor “Beberapa Guru Indonesia kaya”, sebagaimana dibahas pada

Bagian III di depan, menunjukkan adanya (paling sedikit satu dan tidak tertutup

kemungkinan untuk semua) anggota himpunan Guru Indonesia (G) yang sekaligus

merupakan himpunan bagian dari himpunan orang-orang kaya (K), sebagaimana

ditunjukkan pada Diagram Venn berikut.

E

K G

68

Berdasar Diagram Venn di atas, dapatlah disimpulkan bahwa negasi pernyataan

“Beberapa Guru Indonesia kaya” bukanlah “Semua Guru Indonesia kaya”, dan juga

bukan “Beberapa Guru Indonesia miskin”. Alasannya, dua pernyataan terakhir ini

dapat bernilai benar juga, padahal yang akan dicari adalah pernyataan yang bernilai

salah. Sekali lagi, berdasar Diagram Venn di atas, dapatlah disimpulkan bahwa negasi

“Beberapa Guru Indonesia kaya” dengan nilai benar adalah ‘semua’ Guru Indonesia

harus tidak termasuk himpunan K. Dengan kata lain, semua anggota G harus tidak

menjadi anggota K sebagaimana ditunjukkan Diagram Venn berikut.

Dengan cara sama, negasi atau ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial

lainnya, yaitu “Beberapa segitiga merupakan segitiga siku-siku samakaki,” dengan

nilai benar adalah “Semua segitiga tidak ada yang merupakan segitiga siku-siku

samakaki.” Negasi dari pernyataan “Ada siswa yang senang matematika” adalah

“Tidak benar bahwa ada siswa yang senang matematika” atau “Semua siswa tidak

senang matematika”. Secara umum negasi pernyataan kuantor eksistensial dapat

dinyatakan sebagai berikut:

Pernyataan Negasi

x p(x) ~ (x p(x) x ~p(x)

Lembar Kerja

1. Tentukan negasi dari pernyataan berikut:

a. x (x2 = x) e. x (x2 – 2x + 1 = 0)

b. x (|x| = 0) f. x (x2 + 2x + 1 > 0)

c. x (x < x + 1) g. x (|x| 0)

d. x (x – 1 = x) h. x (x2 – 3x + 2 = 0)

K G

E

K G

E

69

2. Tuliskan negasi pernyataan-pernyataan berikut.

a. Semua laki-laki dapat dipercaya.

b. Ada segitiga sama kaki yang bukan segitiga sama sisi.

c. Beberapa matriks tidak memiliki invers.

d. Setiap perwira TNI adalah laki-laki.

e. Beberapa Gubernur di Indonesia adalah perempuan.

f. Setiap bilangan jika dipangkatkan 0 akan bernilai sama dengan 1.

g. Setiap bilangan memiliki kebalikan (invers perkalian).

h. Setiap jajargenjang adalah trapesium.

i. Tidak semua pulau di Indonesia didiami oleh penduduk.

3. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut, lalu tentukan nilai kebenaran

negasi pernyataan itu dengan semesta pembicaraannya adalah X = {1,2,3,4,5}.

a. x (4 + x < 10)

b. x (4 + x = 7)

c. x (4 + x 7)

d. x (4 + x > 8)

4. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut ini.

a. x p(x) y q(y)

b. x p(x) y q(y)

c. x p(x) V y q(y)

d. x p(x) y ~q(y)

E. Negasi Pernyataan Berkuantor Yang Memuat Lebih Dari Satu Peubah

Pernyataan berkuantor dengan dua peubah atau lebih sering juga ditemui,

terutama pada mata pelajaran Aljabar.Contohnya, pernyataan berikut.

1. Ada (terdapat) bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y akan berlaku x

y = y. Pernyataan tersebut akan bernilai benar, karena 1 yang merupakan salah

satu anggota himpunan bilangan asli jika dikalikan dengan bilangan asli lainnya

akan menghasilkan bilangan asli itu sendiri. Notasi matematisnya adalah (x A)(

y A) x y = y. Pernyataan berkuantor dengan dua peubah di atas bernilai

benar.

70

2. Ada (terdapat) bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y akan berlaku x

+ y = y. Pernyataan seperti ini bernilai salah karena tidak ada bilangan asli yang

memenuhinya. Pengganti x yang memenuhi adalah 0, namun 0 bukan anggota

himpunan bilangan asli namun 0 anggota himpunan bilangan cacah. Bagaimana

notasi matematisnya?

Ada empat variasi untuk pernyataan berkuantor dengan dua peubah (Bunarso

Tanuatmodjo, 1987:45–46) beserta artinya yaitu:

x y p(x, y): “Untuk setiap x dan untuk setiap y berlaku p(x, y).”

x y p(x, y): “Untuk setiap x, ada y sehingga berlaku p(x, y).”

x y p(x, y): “Ada x sehingga untuk setiap y berlaku p(x, y).”

x y p(x, y): “Ada x dan ada y sehingga berlaku p(x, y).”

Contoh

1. (x A)(y A) x < y.

Dibaca “Untuk setiap bilangan asli x ada bilangan asli y sedemikian sehingga x < y”.

Untuk x = 10 misalnya dapat ditentukan y = 12 yang memenuhi x < y. Begitu juga

untuk nilai x lainnya, dapat ditentukan nilai y yang memenuhi x < y. Dengan

demikian, untuk setiap nilai x, dapat ditentukan satu atau lebih nilai y yang

memenuhi x < y. Karena itu, pernyataan ini bernilai benar.

2. (x A)(y A) x < y.

Dibaca: “Ada bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y berlaku x < y.”

Pernyataan ini bernilai salah, Anda tahu sebabnya?

Negasi dari kuantor yang memuat lebih dari satu peubah menggunakan pola yang

sama dengan negasi pernyataan berkuantor dengan satu peubah, yaitu:

Pernyataan Negasi

x p(x) x p(x)

~ (x p(x)) x ~p(x) ~ (x p(x) x ~p(x)

3. ~ [ x y p(x, y) ] ~ [ x {y p(x, y)} ]

x ~[ y p(x, y)]

x y ~p(x, y).

4. ~ [ x y (p(x) q(y))] x y ~[p(x) q(y)]

x y (p(x) ~q(y)).

71

Contoh ini menunjukkan bahwa untuk menentukan negasi pernyataan berkuantor

dengan dua peubah atau lebih haruslah menggunakan kombinasi pola atau aturan

dasar yang bersesuaian.

Lembar Kerja


pembicaraan A = {1, 2, 3}.

a. x y (x + y = 4) h. x y (x2< y + 1)

b. x y (x + y = 4) i. x y (x2< y + 1)

c. x y (xy = x) j. x y (x2 + y2< 10)

d. x y (xy = y) k. x y (x2 + y2> 10)

e. x y (x2< y + 1) l. x y (x2 + y2> 10)

f. x y z (x2 + y2< z2) m. x y z (x2 + y2< z2)

g. x y z (x2 + y2< z2) n. x y z (x2 + y2< z2)

2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut dengan semesta

himpunan bilangan real R.

1

a. xy (x + y = 6)

b. xy (x + y = 6)

c. xy (x + y = 6)

d. xy (x + y = 6)

e. xy (x + y = x)

f. xy (x + y = x)

g. xy (x + y = y)

h. xy (x + y > 0)

i. xy (xy = 6)

3. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut.

a. xy [p(x) q(y)]

b. xy [~p(x) V q(y)]

c. xy [p(x) q(y)]

d. xy z (x2 + y2< z2)

e. xy ( |x y| = | x | | y | )

F. Negasi Pernyataan Berkuantor Yang Memuat Lebih Dari Satu Peubah

Pernyataan berkuantor dengan dua peubah atau lebih sering juga ditemui, terutama

pada mata pelajaran Aljabar.Contohnya, pernyataan berikut.

1. Ada (terdapat) bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y akan berlaku x y

= y. Pernyataan tersebut akan bernilai benar, karena 1 yang merupakan salah satu

anggota himpunan bilangan asli jika dikalikan dengan bilangan asli lainnya akan

menghasilkan bilangan asli itu sendiri. Notasi matematisnya adalah (x A)( y A)

x y = y. Pernyataan berkuantor dengan dua peubah di atas bernilai benar.

2. Ada (terdapat) bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y akan berlaku x + y

= y. Pernyataan seperti ini bernilai salah karena tidak ada bilangan asli yang

memenuhinya. Pengganti x yang memenuhi adalah 0, namun 0 bukan anggota

himpunan bilangan asli namun 0 anggota himpunan bilangan cacah. Bagaimana

notasi matematisnya?

Ada empat variasi untuk pernyataan berkuantor dengan dua peubah (Bunarso

Tanuatmodjo, 1987:45–46) beserta artinya yaitu:

x y p(x, y): “Untuk setiap x dan untuk setiap y berlaku p(x, y).”

x y p(x, y): “Untuk setiap x, ada y sehingga berlaku p(x, y).”

x y p(x, y): “Ada x sehingga untuk setiap y berlaku p(x, y).”

x y p(x, y): “Ada x dan ada y sehingga berlaku p(x, y).”

Contoh

(x A)(y A) x < y.

Dibaca “Untuk setiap bilangan asli x ada bilangan asli y sedemikian sehingga x < y”.

Untuk x = 10 misalnya dapat ditentukan y = 12 yang memenuhi x < y. Begitu juga untuk

nilai x lainnya, dapat ditentukan nilai y yang memenuhi x < y. Dengan demikian, untuk

setiap nilai x, dapat ditentukan satu atau lebih nilai y yang memenuhi x < y. Karena itu,

pernyataan ini bernilai benar.

(x A)(y A) x < y.

Dibaca: “Ada bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y berlaku x < y.”

Pernyataan ini bernilai salah, Anda tahu sebabnya?

Negasi dari kuantor yang memuat lebih dari satu peubah menggunakan pola yang sama

dengan negasi pernyataan berkuantor dengan satu peubah, yaitu:

Pernyataan Negasi

x p(x) x p(x)

~ (x p(x)) x ~p(x) ~ (x p(x) x ~p(x)

~ [ x y p(x, y) ] ~ [ x {y p(x, y)} ]

x ~[ y p(x, y)]

x y ~p(x, y).

~ [ x y (p(x) q(y))] x y ~[p(x) q(y)]

x y (p(x) ~q(y)).

Contoh ini menunjukkan bahwa untuk menentukan negasi pernyataan berkuantor

dengan dua peubah atau lebih haruslah menggunakan kombinasi pola atau aturan dasar

yang bersesuaian.

Lembar Kerja


pembicaraan A = {1, 2, 3}.

a. x y (x + y = 4) h. x y (x2< y + 1)

b. x y (x + y = 4) i. x y (x2< y + 1)

c. x y (xy = x) j. x y (x2 + y2< 10)

d. x y (xy = y) k. x y (x2 + y2> 10)

e. x y (x2< y + 1) l. x y (x2 + y2> 10)

f. x y z (x2 + y2< z2) m. x y z (x2 + y2< z2)

g. x y z (x2 + y2< z2) n. x y z (x2 + y2< z2)

2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut dengan semesta himpunan

bilangan real R.

a. xy (x + y = 6)

b. xy (x + y = 6)

c. xy (x + y = 6)

d. xy (x + y = 6)

e. xy (x + y = x)

f. xy (x + y = x)

g. xy (x + y = y)

h. xy (x + y > 0)

i. xy (xy = 6)

3. Tentukan negasi pernyataan-

pernyataan berikut.

a. xy [p(x) q(y)]

b. xy [~p(x) V q(y)]

c. xy [p(x) q(y)]

d. xy z (x2 + y2< z2)

e. xy ( |x y| = | x | | y | )



mempelajari materi ‘Pernyataan Berkuantor dan Negasinya’?

BAB IX

PENARIKAN KESIMPULAN

A. Penarikan Kesimpulan atau Argumen

Jika pernyataan atau proposisi dilambangkan dengan kalimat yang memiliki nilai

benar saja atau salah saja, maka istilah sahih atau tidak sahih berkait dengan

penarikan kesimpulan, penalaran, ataupun argumen.Beda kedua istilah menurut

Soekardijo (1988) adalah, kalau penalaran itu aktivitas pikiran yang abstrak maka

argumen ialah lambangnya yang berbentuk bahasa atau bentuk-bentuk lambang

lainnya.Dikenal dua macam penarikan kesimpulan.Yang pertama adalah induksi atau

penalaran induktif dan yang kedua adalah deduksi atau penalaran deduktif. Yang

akan dibicarakan pada modul ini adalah penalaran deduktif atau deduksi.

Contoh deduksi atau penalaran deduktif adalah:

Premis 1: Semua manusia akan mati.

Premis 2: Amri manusia.

Kesimpulan: Jadi, Amri pada suatu saat akan mati.

B. Sahih Tidaknya Penarikan Kesimpulan

Perhatikan contoh penarikan kesimpulan ini:

(1) Semarang terletak di sebelah barat Surabaya.

(2) Jakarta terletak di sebelah barat Semarang.

Jadi, Jakarta terletak di sebelah barat Surabaya.

Pada proses pembelajaran di kelas, ketiga kota tersebut sebaiknya dimodifikasi

sehingga sesuai dengan lingkungan siswa. Dengan cara seperti itu, diharapkan proses

pembelajarannya akan lebih bermakna bagi para siswa. Berilah kesempatan kepada

para siswa untuk berpikir dengan mengajukan pertanyaan ini:

“Jika kedua premis argumen tadi bernilai benar, apakah mungkin kesimpulannya

bernilai salah?”

Jawabannya adalah tidak mungkin. Untuk meyakinkan mereka, dapat saja digunakan

peta pulau Jawa atau diagram berikut.

Semarang

Surabaya Jakarta

Contoh di atas menunjukkan penarikan kesimpulan yang valid atau sahih

sebagaimana dinyatakan Giere (84:39) berikut: “Any argument in which the truth of

the premises makes it impossible that the conclusion could be false is called a

deductively valid argument." Yang artinya, setiap argumen di mana kebenaran dari

premis-premisnya tidak memungkinkan bagi kesimpulannya untuk salah disebut

dengan argumen yang sah atau valid.

Giere (1984) mencontohkan bahwa dari suatu premis-premis yang bernilai salah

akan dapat dihasilkan suatu kesimpulan yang bernilai benar melalui suatu proses

penarikan kesimpulan yang valid seperti:

Kuda adalah binatang bersayap. (Salah)

Semua binatang bersayap tidak dapat terbang. (Salah)

Jadi, kuda tidak dapat terbang (Benar)

Giere (1984) mencontohkan juga bahwa dari suatu premis-premis yang bernilai salah

akan dapat dihasilkan suatu kesimpulan yang bernilai salah melalui suatu contoh

proses penarikan kesimpulan yang valid berikut ini.

Bulan lebih besar daripada bumi. (Salah)

Bumi lebih besar daripada matahari. (Salah)

Jadi, bulan lebih besar daripada matahari (Salah)

C. Beberapa Penarikan Kesimpulan yang Sahih

Beberapa penarikan kesimpulan yang sahih atau valid yang akan dibahas pada

bagian ini di antaranya adalah modus ponens, modus tolens, dan silogisme.

1. Modus Ponens

Perhatikan contoh berikut.

Premis 1: Semua manusia akan mati

Premis 2: Amri manusia.

Kesimpulan: Jadi, Amri pada suatu saat akan mati.

Premis 1 adalah senilai dengan: ”Jika x manusia maka x akan mati.” Pada contoh

ini, premis-premis yang bernilai benar tidak akan memungkinkan bagi

kesimpulannya untuk bernilai salah, sehingga penarikan kesimpulan bentuk

seperti itu disebut dengan penarikan kesimpulan sah, sahih, valid, atau correct.

Bentuk umumnya adalah:

p q p q

Untuk mengetahui validitas suatu argumen deduktif adalah dengan membentuk

kondisional atau implikasi di mana konjungsi premis-premis dari argumen

tersebut dijadikan sebagai antesedennya dan konklusi dari argumen tersebut

dijadikan sebagai konsekuennya. Sebagai contoh, untuk mengetahui valid

tidaknya argumen berikut:

p q (Premis 1)

p (Premis 2)

Jadi q (Kesimpulan)

adalah dengan membentuk konjungsi dari premis 1 dan 2, yaitu:

(p q) p lalu konjungsi tersebut diimplikasikan dengan konklusi argumen

yang ada sehingga menjadi: (p q) p q.

Bentuk terakhir ini harus dibuktikan melalui tabel kebenaran apakah termasuk

tautologi atau tidak. Jika bentuk terakhir tadi merupakan tautologi maka argumen

tadi valid. Jika tidak dihasilkan suatu tautologi maka argumen tadi tidak valid.

Untuk membuktikannya, dapat ditunjukkan bahwa [(p q) p] q merupakan

suatu tautologi lewat tabel kebenaran di bawah ini.

p q [(p q) p] q

B B B B B B B B B B S B S S S B B S S B S B B S S B B S S S B S S S B S

Langkah ke 1 2 1 3 1 4 1

Pada langkah terakhir (langkah ke-4) terlihat nilai kebenaran pada semua kolom

adalah benar (tautologi), sehingga modus ponens termasuk penarikan

kesimpulan yang sah, valid, absah, atau sahih.

Contoh modus ponens:

a. Jika seseorang berada di Jakarta maka ia berada di Jawa.

Anita berada di Jakarta.

Jadi, Anita berada di pulau Jawa.

b. Pada hari Senin di sekolah ada pelajaran logika.

Tanggal 2 April 2001 adalah hari Senin.

Jadi, pada tanggal 2 April 2001 ada pelajaran logika.

c. Jika suatu segitiga mempunyai 2 sisi yang sama panjang maka segitiga itu

sama kaki.

Pada segitiga ABC, AB = AC.

Jadi, segitiga ABC sama kaki.

2. Modus Tolens

Perhatikan contoh berikut.

Premis 1: Jika seseorang adalah siswa SMK maka ia pintar

Premis 2: Orang itu tidak pintar.

Kesimpulan: Orang itu bukan siswa SMK.

Pada contoh ini, premis-premis yang bernilai benar tidak memungkinkan bagi

kesimpulannya untuk bernilai salah juga, sehingga penarikan kesimpulan bentuk

seperti itu disebut dengan penarikan kesimpulan sah, sahih, valid, atau correct.

Bentuk umum modus tolens adalah:

p q

~q

~p

Argumen di atas dapat dibuktikan sendiri seperti pada saat membuktikan modus

ponens, yaitu dengan membuktikan implikasi [(p q) (~ q)] ~ p sebagai

suatu tautologi.

Contoh Modus Tolens

a. Seorang vegetarian tidak makan daging ataupun hasil olahannya.

Amin makan ayam goreng.

Jadi, Amin bukan vegetarian

b. Bilangan prima adalah bilangan yang faktornya adalah 1 dan dirinya sendiri

x mempunyai 3 buah faktor.

Jadi, x bukan bilangan prima.

c. Seluruh grafik y = ax2 + bx + c di atas sumbu-X bila a > 0 dan b2 – 4ac < 0

y = 2x2 + 4x – 5 dengan a = – 2 0

Jadi, tidak seluruh grafik y = 2x2 + 4x – 5 terletak di atas sumbu-X

3. Silogisme

Perhatikan contoh ini.

(1) Rumah Amin terletak di sebelah barat rumah Akbar.

(2) Rumah Akbar terletak di sebelah barat rumah Abdur.

Jadi, rumah Amin terletak di sebelah barat rumah Abdur.

Tentunya para siswa dan Anda sendiri tidak akan mengetahui apakah ketiga

orang tersebut benar-benar memiliki rumah seperti yang dinyatakan kalimat

tersebut. Tetapi Anda dapat menyatakan bahwa jika premis-premisnya bernilai

benar maka kesimpulannya tidaklah mungkin bernilai salah, sehingga penarikan

kesimpulan seperti itu merupakan contoh penarikan kesimpulan yang sahih atau

valid. Bentuk umum penarikan kesimpulan yang dikenal dengan nama silogisme

itu adalah:

p q

q r

p r

Kesahihan argumen silogisme ini dapat dibuktikan sendiri seperti di atas, yaitu

dengan menunjukkannya pada tabel kebenaran bahwa bentuk (p q) (q r)

(p r)

Contoh Silogisme:

a. Setiap hari Sabtu ayah tidak bekerja (libur).

Ayah berkebun jika tidak bekerja.

Jadi, setiap hari Sabtu ayah berkebun.

b. Jika x dan y adalah dua bilangan bulat berurutan maka yang satu genap dan

yang satunya lagi ganjil.

Jika salah satu bilangan genap dan yang satunya lagi ganjil maka jumlah kedua

bilangan itu ganjil.

Jadi, jika x dan y bilangan bulat berurutan maka jumlah kedua bilangan itu

ganjil.

Perlu diingatkan sekali lagi bahwa dalam penarikan kesimpulan, premis-premisnya

diasumsikan atau dianggap benar dan argumennya harus valid, dan berikut ini

adalah beberapa contoh soal tentang penarikan kesimpulan.

Contoh 1

Perhatikan premis-premis ini.

(1) Jika Anita mendapat nilai A pada ujian akhir maka Anita mendapat nilaiA untuk

mata kuliah itu.

(2) Jika Anita mendapat nilaiA untuk mata kuliah itu maka ia dinominasikan

menerima beasiswa.

(3) Anita tidak dinominasikan menerima beasiswa.

Buatlah suatu kesimpulan dari tiga premis tersebut.

Penyelesaian

Misal p: Anita mendapat nilai A pada ujian akhir

q: Anita mendapat nilai A untuk mata kuliah itu

r: Anita dinominasikan mendapat beasiswa

Peryataan-pernyataan di atas dapat diterjemahkan secara simbolik:

(1) p q

(2) q r

(3) ~ r

Dari premis (1) dan (2), dengan silogisme, akan diperoleh p r. Jika dilanjutkan

dengan premis (3) akan terjadi modus tolens berikut:

p r

Kesimpulannya, Anita tidak mendapat nilai A pada ujian akhir.

Contoh 2

Contoh 2 berikut ini meskipun di bawah sub judul ‘silogisme’, tetapi bukan contoh

silogisme, namun untuk memperdalam pemahaman pembaca.

Apakah penarikan kesimpulan berikut ini valid?

Jika x = 3 maka x2 = 9

x2 = 9

Jadi, x = 3

Penyelesaian:

Bentuk simbolik penarikan kesimpulan di atas adalah:

p~

r~

p q

q

Jadi, p

Bentuk di atas bukan modus ponens, modus tolens, maupun silogisme. Untuk

menentukan valid atau tidaknya, dibuat tabel kebenaran [(p q) q] p berikut.

p q [(p q) q] p

B B B B B B B B B B S B S S S S B B S B S B B B B S S S S S B S S S B S

Langkah 1 2 1 3 1 4 1

Nilai kebenaran [(p q) p] q yang diperlihatkan dalam langkah 4 ternyata

bukan tautologi. Dengan demikian bentuk penarikan kesimpulan di atas tidak valid.

Argumen yang tidak valid lainnya berbentuk:

p q

~p

~q

LembarKerja

Untuk soal nomor 1 sampai 5, buatlah suatu kesimpulan dari pernyataan-pernyataan

berikut.

1. (1) Suatu fungsi disebut fungsi bijektif jika fungsi itu fungsi injektif (satu-satu) dan

fungsi onto.

(2) Fungsi f bukan fungsi bijektif.

2. (1) Jika petani merabuk dua kali sebulan maka ia akan panen raya.

(2) Jika rabuk harganya mahal maka petani akan menangis.

(3) Jika orang tidak merabuk dua kali sebulan maka petani tidak menangis.

3. (1) Lingkaran dapat digambar melalui 3 titik jika ke-3 titik tidak segaris.

(2) Suatu lingkaran tidak dapat digambar.

4. (1) Nilai sinus akan positif jika di kuadran I atau II.

(2) di kuadran II.

5. (1) Jika A B maka A B = A.

(2) A B A.

Untuk soal nomor 6 sampai 10, tentukan apakah penarikan kesimpulan di bawah ini

valid ? Berikan penjelasannya.

6. Jika besar sudut negatif maka cosinus positif.

Sudut A = 600

Jadi, cosinus A negatif

7. Jika n bilangan ganjil maka n2 bilangan ganjil.

Jika n2 bilangan ganjil maka n2 + 1 bilangan genap.

n2 + 1 bilangan ganjil.

Jadi, n bilangan genap.

8. Jika hujan lebat turun maka akan terjadi banjir.

Sekarang tidak banjir.

Jadi, hujan tidak lebat.

9. Wanita cantik adalah artis film.

Wanita yang pintar tidak cantik.

Jadi, artis film tidak pintar.

10. Jika ia tidak sakit maka ia masuk sekolah.

Jika ia tidak lelah maka ia masuk sekolah.

Ia tidak sakit dan tidak lelah.

Jadi, ia masuk sekolah.

11. Tentukan penarikan kesimpulan yang sahih di bawah ini:

a. (p q) , ~p. Jadi: q

b. p q, q r, r s. Jadi p s

c. p q, ~p. Jadi ~q

d. p, q. Jadi: p q

e. p. Jadi p q

f. p q r, p s, q s, r s. Jadi: s

g. p q, r s, ~q ~s. Jadi ~p ~q

h. p q, r s, p r. Jadi q s



mempelajari materi ‘Penarikan Kesimpulan’?

DAFTAR PUSTAKA

Chong, Lai Chee, Low Wai Cheng, Leong May Kuen, 2008, Mathematics Matters (Normal/Academic), Singapore: EPB Pan Pacific.

Huo, Fan Liang, Cheang Wai Kwong, Dong Feng Ming, dkk, 2007, New Express

Mathematics, Singapore: Panpac Education Pte. Ltd. Meng, Sin Kwai, 2004, Exploring Mathematics (Special/Express), Singapore: SNP

Panpac Pte. Ltd. Seng, Teh Keng, Looi Chin Keong, 2003, New Syllabus Mathematics 5th Edition,

Singapore: Shinglee Publishers Pte. Ltd. Seng, Teh Keng, Loh Cheng Yee, 2010, New Syllabus Mathematics 6th Edition,

Singapore: Shinglee Publishers Pte. Ltd. Wono Setya Budhi, 2004, Matematika untuk SMP, Jakarta: Penerbit Erlangga. Wuan, Lee Yee, Leong May Kuen, Low Wai Cheng, 2004, Exploring Mathematics

(Normal/Academic), Singapore: SNP Panpac Pte. Ltd. Copi, I.M, 1978, Introduction to Logic. New York: Macmillan. Giere, R. N., 1984, Understanding Scientific Reasoning (2ndEdition). New York: Holt,

Rinehart and Winston. Kusumah, Y. S., 1986, Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito. Krismanto, Al., 1991, Prima EBTA Matematika SMA. Klaten: PT Intan Pariwara. Lipschutz, S., Silaban, P., 1985, Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga. Prayitno, E., 1995, Logika Matematika. Yogyakarta: PPPG Matematika. Soekardijo, R. G., 1988, Logika Dasar, Tradisionil, Simbolik dan Induktif. Jakarta:

Gramedia. Suriasumantri, J. S., 1988, Filsafat Ilmu. Jakarta: Sinar Harapan. Tirta Seputro, Theresia, 1992, Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori

Himpunan. Jakarta: Erlangga. Tim Matematika, 1980, Matematika 12 untuk SMA. Jakarta: Depdikbud. Vance, E. P., 19.., Modern College Algebra. London: Addison Wesley.

BAGIAN 4

UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT

A. Evaluasi Diri

Untuk mengukur ketercapaian peserta diklat dalam mempelajari bahan belajar ini

lakukan evaluasi diri sebagai berikut secara jujur

Petunjuk:

Evaluasi terdiri dari sepuluh soal. Pada masing-masing soal, pengerjaan yang benar

mendapatkan skor maksimal 5. Jadi skor total 50. Capaian kompetensi (CK)

dirumuskan sebagai

CK =Skor yang diperoleh

50× 100%

Setelah mengerjakan semua soal evaluasi cocokkan jawaban Anda dengan jawaban

evaluasi pada lampiran untuk mengukur capaian kompetensi (CK).

Soal evaluasi:

Bilangan

1. Menggunakan hanya angka-angka 5 dan 6 serta tanpa menggunakan tanda akar,

buatlah:

a. Sebuah bilangan irrasional

b. Tiga bilangan irrasional di antara 5 dan 6

c. Tiga bilangan irrasional di antara 0,55 dan 0,56


a. Sepersepuluhan terdekat.

b. Seperseratusan terdekat.

c. Seperseribuan terdekat.

3. Taksirlah hasil perhitungan berikut sampai 1 angka penting:

a. 65,8×24,1

32,3 .

b. 65,8×√24,1

3,232 .


a. (23

22)4

b. (2𝑚

32)3

, dengan 𝑚 bilangan asli

c. (𝑎2

25)2

d. (𝑎𝑚

𝑏𝑛)𝑝

, dengan 𝑚, 𝑛 dan 𝑝 bilangan asli

Logika

1. Apa yang dapat Anda nyatakan pada kalimat berikut: “Murid kelas X ini

berkacamata.”

2. Apa yang dapat Anda nyatakan pada kalimat berikut: “2𝑛 untuk 𝑛 𝐴 adalah

bilangan genap.”

3. Bagaimana cara Anda mengajarkan nilai kebenaran Konjungsi?

4. Bagaimana cara Anda mengajarkan nilai kebenaran Implikasi?

5. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut beserta konversnya: “𝑥 =

3 𝑥2 = 9.” Jelaskan mengapa?

6. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut beserta konversnya: Jika

segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga samasisi maka sisi-sisi segitiga tersebut sama

panjang. Jelaskan mengapa?

7. Jelaskan perbedaan ‘benar’ dengan ‘valid.’

8. Selesaikan masalah ini.

On January 29, the standing of Group B in the 2008 Africa Cup was shown in the

following table. At that time, every team had played two games.

Team Game Win Draw Lost Goal For-Against

Ivory Coast 2 2 0 0 5-1

Mali 2 1 1 0 1-0

Nigeria 2 0 1 1 0-1

Benin 2 0 0 2 1-5

Reading the table, what is the score of the game between Ivory Coast and Benin?

(Soal/Tes Bentuk Uraian Nomor 13 pada Olimpiade Sains Nasional 2008, 10 Agustus

2008 di Makassar).

9. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut dengan semesta pembicaraan

𝐴 = {1, 2, 3}.𝑥 𝑦 (𝑥 + 𝑦 = 4)

10. Tentukan apakah penarikan kesimpulan di bawah ini valid? Berikan

penjelasannya.

Jika 𝑛 bilangan ganjil maka 𝑛2 bilangan ganjil.

Jika 𝑛2 bilangan ganjil maka 𝑛2 + 1 bilangan genap.

𝑛2 + 1 bilangan ganjil.

Jadi, 𝑛 bilangan genap.

B. Tindak Lanjut

Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya bahwa evaluasi yang dilakukan

oleh diri sendiri secara jujur adalah kunci keberhasilan mengukur capaian

kompetensi (CK). Berkaitan dengan itu, pertimbangkan hal berikut

Perolehan CK

(dalam %)

Deskripsi dan tindak lanjut

91 ≤ CK ≤ 100 Sangat Baik, berarti Anda benar-benar memahami

pengertian bilangan dan logika. Selanjutnya

kembangkan pengetahuan dan tuangkan dalam

pembelajaran

76 ≤ CK < 91 Baik, berarti Anda cukup memahami pengertian

bilangan dan logika walaupun ada beberapa bagian

yang perlu dipelajari lagi. Selanjutnya pelajari lagi

beberapa bagian yang dirasakan belum begitu

dipahami.

50 ≤ CK < 76 Cukup, berarti Anda belum cukup memahami

pengertian bilangan dan logika. Oleh karena itu Anda

perlu mempelajari lagi bagian yang belum dikuasai dan

menambah referensi dari sumber lain

CK < 50 Kurang, berarti Anda belum dapat memahami

pengertian bilangan dan logika. Oleh karena itu Anda

perlu mempelajari lagi dari awal dan menambah

referensi dari sumber lain

C. Jawaban Evaluasi

Bilangan

1. Soal terbuka. Coba eksplorasikan berbagai kemungkinan bilangan yang dapat

dibentuk.

2. Penyelesaian

a. 0,1235 akan dibulatkan sampai sepersepuluhan terdekat, artinya sama saja

dengan membulatkan sampai 1 tempat desimal. Kita cek angka yang berada

pada posisi kedua di sebelah kanan tanda koma, yaitu 2. Karena nilainya

kurang dari 5 (2 < 5), maka lakukan pembulatan ke bawah menjadi 0,1. Kita

menuliskan 0,1235 = 0,1 (sampai sepersepuluhan terdekat).

b. 0,1235 akan dibulatkan sampai seperseratusan terdekat, artinya sama saja


pada posisi ketiga di sebelah kanan tanda koma, yaitu 3. Karena nilainya

kurang dari 5 (3 < 5), maka lakukan pembulatan ke bawah menjadi 0,12. Kita

menuliskan 0,1235 = 0,12 (sampai seperseratusan terdekat).

c. 0,1235 akan dibulatkan sampai seperseribuan terdekat, artinya sama saja


pada posisi keempat di sebelah kanan tanda koma, yaitu 5. Karena nilainya

sama dengan 5, maka lakukan pembulatan ke atas menjadi 0,124. Kita

menuliskan 0,1235 = 0,124 (sampai seperseribuan terdekat).

3. Penyelesaian

a. 65,8×24,1

32,3≈

66×22

33

= 44≈ 50 (sampai 1 angka penting)

Keterangan:

33 digunakan untuk menggantikan 32, karena 33 dan 66 mempunyai

faktor persekutuan 33 (memudahkan perhitungan).

22 digunakan untuk menggantikan 24, karena 22 dan 33 mempunyai

faktor persekutuan 11 (memudahkan perhitungan).

b. 65,8×√24,1

3,232≈

65×√25

32

=65×5

9

≈65×5

10

= 32,5≈ 30 (sampai 1 angka penting)

Keterangan:

3,23 dibulatkan menjadi 3 (punya 1 angka penting) untuk memudahkan

perhitungan.

24,1 dibulatkan menjadi 25 (bilangan kuadrat terdekat).

9 dibulatkan menjadi 10 (puluhan terdekat).

4. Gunakan aturan-aturan bilangan berpangkat.

Logika

1. Kalimat tersebut merupakan contoh kalimat terbuka. Karena kita tidak dapat

menentukan nilai kalimat terbuka tersebut sebelum mengganti “Murid kelas X

ini,” dengan nama anggota sesestanya.

2. Kalimat tersebut merupakan contoh pernyataan yang bernilai benar. Meskipun

pada kalimat “2n untuk n A adalah bilangan genap,” ada peubah n namun

kalimat itu bernilai benar.

3. Sebaiknya ketika mengajarkan nilai kebenaran Konjungsi, Anda dapat memulai

dengan ceritera dalam kehidupan nyata, misalnya ceritera tentang Bu Guru yang

meminta siswanya, si Agus, mengambil penghapus dan kapur di kantor.

Pertanyaan yang dapat diajukan: Bilamana si Agus dinyatakan melakukan

perintah gurunya? Bilamana si Agus dinyatakan tidak melakukan perintah

gurunya?

4. Sama seperti nomor 3, sebaiknya ketika mengajarkan nilai kebenaran implikasi,

Anda dapat memulai dengan ceritera dalam kehidupan nyata, misalnya ceritera

tentang seorang Bapak yang menyatakan; “Anakku, jika kau lulus ujian maka kau

akan kubelikan mobil.” Pertanyaan yang dapat diajukan ke siswa: Bilamana si

Bapak disebut melakukan pernyataan yang benar? Bilamana si Bapak disebut

melakukan pernyataan yang salah?

5. Nilai kebenaran dari pernyataan: “x = 3 x2 = 9,” adalah benar, karena unuk nilai

x = 3 maka x2 = 9 juga bernilai benar. Namun nilai kebenaran konversnya, yaitu

“x2 = 9 x = 3,” bernilai salah, karena untuk x = – 3 maka x2 = 9 akan bernilai

benar namun akan bernilai salah pada x = 3. Inilah yang menyebabkan pernyataan

“x2 = 9 x = 3,” bernilai salah

6. Nilai kebenaran dari pernyataan beserta konversnya: “Jika segitiga ABC adalah

segitiga samasisi maka sisi-sisi segitiga tersebut sama panjang,” adalah benar.

7. Istilah ‘benar’ adalah untuk pernyataan, sedangkan istilah ‘valid’ digunakan untuk

penarikan kesimpulan.

8. Jawaban soal di atas adalah skor pertandingan antara Pantai Gading melawan Benin

adalah 4-1. Aternatif alasan atau argumentasinya, Pantai Gading (Ivory Coast) menang

2 kali. Negara yang pernah kalah hanya Nigeria dan Benin. Dengan demikian, Pantai

Gading menang dari Nigeria dan Benin. Mali harus bermain seri dengan Nigeria.

Akibat selanjutnya, Mali harus menang dari Benin. Perhatikan selisih gol yang didapat

Mali, yaitu 1-0. Dengan demikian, Mali menang dari Benin dengan skor 1-0 (agar

menang), dan seri lawan Nigeria dengan skor 0-0 (agar seri). Karena Nigeria seri

melawan Mali dengan skor 0-0; maka Pantai Gading menang dari Nigeria dengan skor

1-0. Terakhir dapat disimpulkan hasil pertandingan Pantai Gading melawan Benin

adalah 4-1.

9. Dengan semesta pembicaraan A = {1, 2, 3}, maka nilai kebenaran dari pernyataan

x y (x + y = 4) yang dapat dibaca “Untuk semua x terdapat y sehingga x + y =

4. Karena semesta pembicaraannya adlah A = {1, 2, 3}, maka untuk x = 1 terdapat

y = 3 sehingga x + y = 4, untuk x = 2 terdapat y = 2 sehingga x + y = 4 dan untuk x =

3 terdapat y = 1 sehingga x + y = 4. Jadi pernyataan tersebut bernilai benar.

10. Jika n bilangan ganjil maka n2 bilangan ganjil. (gl k)

Jika n2 bilangan ganjil maka n2 + 1 bilangan genap. (k gp)

n2 + 1 bilangan ganjil. (gp)

Jadi, n bilangan genap. (gl)

Jadi penarikan kesimpulannya valid. Modus Tollens.

Materi Bilangan dan logika sma

Education

Transcript of Materi Bilangan dan logika sma